algarismos significativos e arredondamento

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1 Introduo medidaO papel da cincia est na acumulao de conhecimentos e o uso estruturado de conhecimento para prover uma melhor compreenso da natureza. Assim, com o uso de uma linguagem prpria um mtodo o mtodo cientfico o homem pode. Segundo o dicionrio Aurlio temos a seguinte definio de medida: Ato ou processo de comparar uma grandeza com outra com o objetivo de associar primeira um numero caracterstico do seu valor em face da grandeza com a qual foi comparada; medio. Informao Tomada de deciso Medida Grandeza (Entidade suscetvel de medida) Padro

Importante: Uma medida visa descrio quantitativa dos fenmenos fsicos. Grandezas mais comuns: Comprimento Massa rea Volume Temperatura Tempo = Escalar Unidade de medida

So expressas como: Exemplos:

Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Apostila de Fsica Experimental A Prof. Paulo Csar de Souza http://fisica.uems.br

3 (a) Comprimento

Figura 1-1 Medida de um objeto de comprimento L com uma rgua metlica.

L= 5,8 cm Escalar

Unidade

(b) Intervalo de tempo

t = 0,5 h = 30 min = 1800 sx = 72 km/h = 20 m/s t

(c) Rapidez

v=

Observao: Os processos (a) e (b) so realizados com medidas diretas e (c) por indiretas.

1.1 Instrumentos de MedidaUm instrumento de medida um agente mecnico na execuo de qualquer trabalho cujo fim a medio. Necessariamente qualquer instrumento necessita de um padro de referncia para sua devida calibrao. Tome-se, por exemplo, uma rgua que voc compra em lojas. Essa rgua vem com


4 riscos devidamente espaados de acordo com o padro existente na fbrica. Para termos uma medida de 1 metro confivel necessita-se de padres excelentes isto um problema tecnolgico. No caso da medida de comprimento usa-se o metro cuja recente definio a extenso percorrida pela luz no vcuo em 1/299.792.458 segundos. Nesse caso o uso de fontes de luz lasers essencial caracterizao do padro e da medida. Em resumo temos: Padres confiveis com a utilizao de alta tecnologia (experimentos complexos) Padres secundrios obtidos atravs de padres primrios previamente aferidos. Dessa forma, uma rgua comprada numa loja possui intrinsecamente uma incerteza instrumental ou at mesmo um instrumento de qualidade adquirido em departamentos especializados. O problema da falta de exatido crucial em qualquer cincia experimental, citamos alguns: Resoluo a aptido de um instrumento em distinguir valores muito prximos da grandeza a ser medida. Limiar ou limiar de sensibilidade a menor variao de um estimulo que provoca uma variao perceptvel na resposta de um instrumento de medir. Estabilidade a aptido de um instrumento de medio conservar seus padres metrolgicos. Justeza a aptido de um instrumento em apresentar medidas isentas de erros sistemticos. Fidelidade a aptido de um instrumento, sob condies definidas de utilizao, a respostas prximas a um mesmo estmulo. As medidas so realizadas com instrumentos adequados a cada situao. A necessidade em se medir uma dada grandeza vai depender em geral de muitos parmetros, e.g. preciso e exatido do instrumento utilizado. Os instrumentos mais comuns de medida so:


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Rgua milimetrada Paqumetro Micrmetro ou plmer Relgios mecnicos, eltricos, eletrnicos ou atmicos Balana de mola (dinammetro), de travesso ou eletrnica.

Os itens (1) ao (3) so medidas de comprimento, (4) de espao de tempo e (5) de massa.

1.1.1 Princpios de funcionamento do Nnio ou Vernier[1]Imagine a seguinte situao: voc realiza a medida de um objeto com uma rgua milimetrada e o resultado um nmero no inteiro de divises. O que fazer para a determinao da parte fracionria? A resposta a esse problema o uso do Nnio*. Esse dispositivo permite efetuar a leitura dessa parte fracionria (menor diviso da escala principal) atravs de uma escala auxiliar anexada a escala principal. Esse o princpio de funcionamento do paqumetro.

Figura 1-2 Representao da escala principal (verde) com o Nnio (azul) adaptado a mesma.

Um exemplo apresentado na Figura 1-2 com a presena de duas escalas principal e secundria (chamada aqui de Nnio ou Vernier) com zeros*

Forma latinizada de Nunes, inventor do aparelho.


6 coincidentes. A escala principal possui N = 10 divises e a escala do Vernier corresponde a N 1 = 9 divises da escala principal. Assim, cada diviso do Nnio mais curta que1 1 da escala principal, em nosso caso (conforme N 10

assinalado na figura anterior), ou seja, a parte ou diviso que ficou para as escalas serem iguais foi diluda negativamente na escala do Vernier. Na Figura 1-2 podemos observar que a 1a diviso do Nnio 1 mais curta que a 1 10 2 da 2 diviso da 10

diviso da escala principal. A 2 diviso do Nnio est escala principal e a 3 diviso do Nnio est

3 da 3 diviso da escala 10

principal. Isso se repete at que a 10 marca do Nnio coincida com a 9 marca da escala principal e, obviamente, a distncia entre as dcimas marcas ser10 . 10

Uma escala construda dessa forma, i.e. Vernier, quando a movemos para a direita faz com que haja sempre uma coincidncia entre as marcas de ambas as escalas. Quando realizamos uma medida de um objeto o zero do Nnio ir marcar a quantidade inteira de divises deslocadas da escala principal e a parte fracionria da medida ser de acordo com a coincidncia da escala do Vernier com a escala principal. Na Figura 1-3a podemos observar que o deslocamento fracionrio da escala principal foi de 7 1 , i.e. onde a 7 marca do Nnio coincidiu com uma 10

marca da escala principal. Entretanto, na Figura 1-3b o deslocamento do Nnio foi de 2 divises da escala principal adicionado uma parte fracionria de8 1 ,conforme a coincidncia assinalada. Assim, observamos que o Nnio 10 1 da escala principal. 10

nos d uma preciso de


7

Figura 1-3 Exemplos de leitura com um Nnio de N = 10 divises. Na parte superior o Nnio se deslocou uma frao da 1 diviso da escala principal e essa frao foi de

7 . 10

J na parte inferior o deslocamento do Vernier foi 2 divises da escala principal e uma frao cuja leitura no Nnio foi de principal.

8 , ou seja, a leitura final de 2,8 divises da escala 10

Na Tabela 1-1 podemos observar os parmetros da medida feita na Figura 1-3b. Note que nessa tabela a 8 marca do vernier coincide exatamente com a 10 marca na escala principal, ou seja, a parte fracionria da media 0,8.Tabela 1-1 Os valores e erros associados medida mostrada na Figura 1-3b. Marca do Nnio Leitura da escala principal Erro a marca mais prxima Marca mais prxima da escala principal 0 2,8 0,2 3 1 3,7 0,3 4 2 4,6 0,4 5 3 5,5 0,5 ? 4 6,4 0,4 6 5 7,3 0,3 7 6 8,2 0,2 8 7 9,1 0,1 9 8 10 0,0 10 9 10,9 0,1 11 10 11,8 0,2 12


8 No caso geral a preciso P do Nnio dada pela seguinte equao:

P=

D N

(1.1)

onde D a menor diviso da escala principal e N o nmero de divises do Nnio ou Vernier. Numa leitura cujo zero do Vernier se deslocou L0 divises inteiras da rgua principal mais um nmero n de fraes de divises do Vernier, o valor total ser: L = L0 + nP mercado:Tabela 1-2 Parmetros de alguns Verniers existentes.

(1.2)

Na Tabela 1-2 apresentamos alguns tipos de Nnio existentes no

NNmero de divises do Vernier

C (mm)Comprimento total do Vernier

D (mm)Comprimento da menor diviso da escala principal

d (mm)Comprimento da menor diviso do Vernier

P (mm)Preciso do dispositivo

10 10 20 50

9 19 39 49

1 1 1 1

9

10 10 20 50

0,1 0,1 0,05 0,02

19 39 39

Na tabela anterior a menor leitura possvel com um Nnio de 50 divises de P = 0, 02 mm . Entretanto, isso na pratica difcil de se obter devido dilatao trmica do material e uma eventual folga durante a medida. Dessa forma o grande nmero de divises do Nnio pode ser um problema na determinao das marcas que h coincidncia.


9 O estudante pode recortar o exemplo de Nnio apresentado na Figura 1-4 para praticar a leitura do paqumetro.

0

Figura 1-4 Exemplo de Nnio para recortar e praticar.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,05mm

10 20 30 40 50 60 70 80

10

1.2 Algarismos significativos e arredondamentosAlgarismos significativos so os algarismos que indicam, com significado fsico, a medida de uma grandeza. No faz sentido que a medida venha afetada de uma aproximao maior do que aquela que permitida pelo valor do limite superior do erro. Se fizermos uma medida da largura de uma mesa com uma rgua graduada, cuja menor diviso da escala 1 mm e o resultado vir apresentado pelo nmero, L = 97, 65 cm . Neste caso, nem todos os algarismos deste nmero merecem o mesmo grau de confiana. Assim, os algarismos 9,7 e 6 so algarismos lidos na escala da rgua (exatos) enquanto que o 5 s por estimativa poder aparecer. Ele refere-se a meio milmetro, diviso que no existe na escala dessa rgua. Numa medida adota-se a seguinte regra: 1) O nmero no-nulo a esquerda o mais significativo; 2) O nmero a direita o menos significativo, zero inclusive; 3) Todos os nmeros entre o menos e o mais significativo devem ser tomados como relevantes. Exemplos: 0,4230 ou 4,230x10-1

Algarismos significativos

Os clculos com medidas feitas em instrumentos com diferentes incertezas devem ser efetuados da seguinte forma: Sempre o resultado deve ser expresso com a preciso do aparelho de menor fidelidade:


11

exemplo: a) Soma de dois comprimentos: 12,5 mm + 0,75 mm = 13,25 mm 13,2 mm.Medida com rgua de incerteza 0,5 mm Medida paqumetro incerteza 0,05 mm com de

b) No clculo de rea: 12,5 mm x 0,75 mm = 9,375 mm2 9,4 mm2.

1.2.1 ArredondamentosCorriqueiramente temos que realizar operaes de arredondamento. Seja na soma ou subtrao de mesmas quantidades o nmero de algarismos significativos deve ser mantido. Mas, quando h excessos de algarismos adotase a regra a seguir[2]:

...W , YX ABCD...significativos excesso

Os algarismos ABCD... devem ser eliminados e o algarismo X deve ser acrescido de uma unidade ou no. Os arredondamentos devem ser feitos como a seguir: a) As fraes de 0,000... a 0,499... so eliminadas e o algarismo X permanece inalterado. b) As fraes de 0,500... a 0,999... so eliminadas e o algarismo X deve ser mudado para X + 1 . c) Se a frao a ser eliminada exatamente 0,50000..., ento o resultado no algarismo X deve ser par aps o arredondamento.


12 Alguns exemplos: 2,43 2,4 3,688 3,7 5,6500 5,6 5,7500 5,8


13 Exerccios 1) Uma vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do tamanho do besouro[3]? a) Entre 0 e 1 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,5 e 1,6 cm d) Entre 1,54 e 1,56 cm e) Entre 1,546 e 1,547 cm 2) Qual o dimetro da moeda na figura ao lado[3]? a) Entre 0 e 2 cm b) Entre 1 e 2 cm c) Entre 1,9 e 2,0 cm d) Entre 1,92 e 1,94 cm e) Entre 1,935 e 1,945 cm

3) Quantos algarismos significativos existem em cada um dos valores a seguir?(a)13,5 cm (f) 2002,0 cm/s (b) 0,010 kg (g) 978,7 cm/s2 (c) 1,01x10-3 s (h) 6,02x1023 (d) 4,123 g (i) 3,14159 (e) 11,342 g/cm3 (j) 3x108 m/s

4) Arredonde os valores abaixo, para apenas dois algarismos significativos:(a) 34,48 m (f) 0,0225 N (b) 1,281 m/s (g) 2787 m (c) 8,563x103 s (h) 0,04095 km (d) 4,35 cm3 (i) 143768900 (e) 9,97x10-6 g (j) 2,54 cm

5) Escreva os resultados das operaes matemticas a seguir, respeitando o uso de algarismos significativos:(a) 1,02x105kg 3,1m3 (b) 345m + 23,3m + 1,053m (c) 390,5g 22,4cm3


14(d) 1,89x102g - 2,32g (e) 10,0m 0,01s (f) 12g 6,02x1023

6) As figuras apresentadas abaixo representam um paqumetro em duas posies. Na primeira (1), o instrumento est fechado e na segunda (2), est aberto, medindo a dimenso L de um objeto. (a) Qual a resoluo do paqumetro?

[1]

[2]


algarismos significativos e arredondamento

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