algebra basic a

Anotac~oes sobre Aneis .

Rodrigo Carlos Silva de Lima z

[email protected]

z

Sumario

1 Aneis . 3

1.1 Relac~oes, aplicac~oes e operac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Relac~oes de equivale^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Subanel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Propriedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Corpo de frac~oes de um domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Anel ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2 Domnio bem ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.3 Princpio da induc~ao Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.4 Propriedade arquimediana em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Divis~ao Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Polino^mios com coecientes num anel comutativo com unidade. . . . . . . 25

1.8 Homomorsmo de aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Captulo 1

Aneis .

1.1 Relac~oes, aplicac~oes e operac~oes

m Denic~ao 1 (Operac~ao). Uma operac~ao de A em A e toda aplicac~ao de A A emA.

m Denic~ao 2 (Lei de composic~ao externa). Dados dois conjunto A e B, uma lei decomposic~ao externa sobre B toda aplicac~ao f : AB ! B. O conjunto A e chamado deconjunto dos operadores ou escalares.

m Denic~ao 3 (Operac~ao no sentido amplo). E toda aplicac~ao f : A B ! C, ondeA;B e C s~ao conjuntos dados.

1.1.1 Relac~oes de equivale^ncia

Uma relac~ao num conjunto G e dita de equivale^ncia quando s~ao satisfeitas as se-guintes propriedades

Reexividade

a a:

Simetria

Se a b implicar b a.

3

CAPITULO 1. ANEIS . 4

Transitividade

Se a b e b c implicar a c:Para quaisquer a; b e c 2 G.

Classes de equivale^ncia

m Denic~ao 4 (Classes de equivale^ncia). Seja uma relac~ao de equivale^ncia em G.Para cada a 2 G, a classe de equivale^ncia a de G e

a = fx 2 G j x ag

A classe de equivale^ncia de a e o conjunto de todos elementos de G que se relacionam

com a.

$ Corolario 1. x 6= ; pois x 2 x:b Propriedade 1.

Seja uma relac~ao de equivale^ncia em A vale a seguinte propriedade

a \ b 6= ; ent~ao a b: Demonstrac~ao.

Se a \ b 6= ;, existe c tal que c 2 a e c 2 b. Logo c a e c b pela denic~ao de classe,usando a simetria em c a temos, a c e c b usando transitividade temos a b.

b Propriedade 2.a b() a = b

Temos que mostrar que

a = b =) a b e a b =) a = b

vamos mostrar primeiro que

a = b =) a b:Se a = b temos a \ b 6= ;, porem pela propriedade anterior isso implica que a b.

Agora supondo a b vamos mostrar a = b:


Agora vamos mostrar que a b implica a = b: Seja x um elemento qualquer de atemos x a mas como temos a b por transitividade segue x b logo esse elementoqualquer x de a tambem pertence a b, a b . De forma analoga seja y um elementoqualquer de b tem-se y b mas a b implica b a e por transitividade y a logo y eelemento de a, b a, logo pelas duas inclus~oes b a e a b segue a = b:

$ Corolario 2. Existem ent~ao duas possibilidades para a e b ou a = b ou a \ b = ;:b Propriedade 3 (Propriedade de cobertura).

A =[a2A

a:

Demonstrac~ao.[a2A

a A pois a e um conjunto formado de elementos de A.

A [a2A

a pois dado a 2 A a 2 a, isto e, a pertence a sua classe a:

m Denic~ao 5 (Representante e conjunto dos representantes). Sejam A um conjuntoe uma relac~ao de equivale^ncia em A. Dizemos que b 2 A e um representante de umaclasse de equivale^ncia a sse b a: Denimos o conjunto A como o conjunto que possuium (e somente um) representante de cada classe de A pela relac~ao ; assim jAj e onumero de classes distintas de A pela relac~ao :

$ Corolario 3. [a2A

a e uma partic~ao de A, A =[a2A

a,\a2A

a = ;, pois temos que auni~ao cobre o conjunto A e as classes s~ao disjuntas.

Z Exemplo 1. Seja Z o conjunto dos inteiros e a congrue^ncia mod 3, escolhemosos representantes 0, 1 e 2, temos o conjunto dos representantes A = f0; 1; 2g e

A =[a2A

a = 0 [ 1 [ 2:

F Teorema 1. Dada uma partic~ao de A =[k2B

Ak, ent~ao existe uma unica relac~ao de

equivale^ncia em A tal que as classes de equivale^ncia distintas de s~ao os subconjuntosAk 6= ;:


Demonstrac~ao. Como temos uma partic~ao do conjunto A, existe para cada

a 2 A um ndice t 2 B tal que a 2 At e tal conjunto e unico pois cada a uni~ao e disjunta.Denimos a b sse existe t tal que a e b 2 At: A relac~ao denida assim e uma relac~ao deequivale^ncia pois a a, pois a e a pertencem ao mesmo conjunto.

Se a b ent~ao a e b pertencem ao mesmo conjunto logo b a: Se a b e b c ent~aoa pertence ao mesmo conjunto de b que por sua vez pertence ao mesmo conjunto de c,

logo a pertence ao mesmo conjunto de c. Temos ent~ao uma relac~ao de equivale^ncia.

m Denic~ao 6 (Conjunto quociente). Seja A um conjunto n~ao vazio e uma relac~aode equivale^ncia em A. O conjunto quociente A= e denido por

A= = fa j a 2 Ag

e o conjunto que contem as classes de A por .

1.2 Aneis

m Denic~ao 7 (Anel). Um anel e uma estrutura (G;+;) formada por um conjunto Gmunido de duas operac~oes, uma adic~ao + e um produto que satisfazem as propriedadesseguintes

A1

Associatividade

Para todos elementos a ,b e c 2 G temos

(a+ b) + c = a+ (b+ c)

A2

Existe^ncia de elemento neutro

Existe^ncia de elemento neutro , existe um elemento neutro que simbolizaremos por 0,

tal que

a+ 0 = a

A3


Existe^ncia do simetrico

Para todo elemento a em G existir a0, que sera simbolizado por a, tal que

a+ (a) = 0

A4

Comutativa

Para todo a e b 2 G temosa+ b = b+ a

Isso signica que (G;+) e um grupo abeliano.

Tem-se tambem uma operac~ao que simbolizaremos por : (um ponto), satisfazendoM1

Associatividade

(a:b):c = a:(b:c)

e as duas operac~oes se relacionarem da seguinte maneira

AM

Distributividade a esquerda

(a+ b):c = a:c+ b:c

Distributividade a direita

c:(a+ b) = c:a+ c:b

Se temos essas propriedades vericadas, o conjunto G munido operac~oes e +, sim-bolizado por (G;+; :), sera chamado de Anel.

Diremos que se forem satisfeitas a distributividade a esquerda e a direita ent~ao a pro-

priedade sera chamada de totalmente distributiva. Ent~ao um anel possui as propriedades

Abeliano com a adic~ao.

Produto associativo e totalmente distributivo.

m Denic~ao 8 (Anel com unidade). Se o Anel tiver um elemento simbolizado por e talque


a:e = a = a:e

para todo e qualquer a 2 G, temos uma anel com unidade.

m Denic~ao 9 (Anel comutativo). Se o para todos elementos a e b 2 G tivermos

a:b = b:a

Temos um anel comutativo.

Z Exemplo 2. O conjunto N dos numeros naturais n~ao e um anel, pois n~ao existesimetrico para cada elemento x 2 N:

Os conjuntos Z;Q;R;C s~ao aneis comutativos com unidade.

O conjunto das matrizes n por n com entradas reais Mnn(R) e um anel .

1.2.1 Subanel

m Denic~ao 10 (Subanel). Um conjunto B A e um subanel de A, quando satisfazas propriedades

Fechado pra adic~ao

Fechado pelo produto

0 2 B

Para todo elemento a 2 A ent~ao a 2 A:

b Propriedade 4. Seja A um anel com unidade . A0 A e subanel de A , dadosa; b 2 A0 tem-se

1 2 A0

a bi 2 A0


a:b 2 A0:

)): Se A0 e subanel de A ent~ao as propriedades dadas s~ao vericadas .( :) Se em A0 A s~ao vericadas tais propriedades ent~ao

Elemento neutro . 0 2 A0 pois 1 1 = 0 2 A0:

Inverso aditivo . 0 a = a 2 A0:

Fechado para adic~ao. a; b 2 A0 ) b 2 A0 ) a + b = a (b) 2 A0: Como oconjunto tambem e fechado para o produto ent~ao segue que A0 e subanel de A.

Demonstrac~ao.

1.3 Propriedades basicas

b Propriedade 5 (Lei do corte da adic~ao). Se a+ b = a+ c ent~ao b = c:

Demonstrac~ao.

b = (a+ a) + b = a+ (a+ b) = a+ (a+ c) = (a+ a) + c = c

da b = c:

b Propriedade 6. Para qualquer a em um anel, vale que a:0 = 0.

Demonstrac~ao.

a:(0) = a(0 + 0) = a(0) + a(0);

por lei do corte segue a:0 = 0:

b Propriedade 7 (Unicidade). Em um anel s~ao unicos

O elemento neutro aditivo.

O elemento neutro multiplicativo, se o anel possui unidade.

O inverso aditivo.

Demonstrac~ao.


Se x+ z = 0 e x+ y = 0 ent~ao y = z, segue da lei do corte pois x+ z = 0 = x+ y:

b Propriedade 8. (a:b) = (a):b = a:(b):

Demonstrac~ao. (a:b) e inverso aditivo de a:b, sendo unico. Vale

a:b+ (a):b = (a a):b = 0

a:b+ a:(b) = a(b b) = 0

ent~ao (a):b e a:(b) s~ao inversos aditivos de a:b, sendo portando iguais a (a:b) pelaunicidade.

b Propriedade 9. Vale que x2 = (x)2 para qualquer elemento x em um anel .

Demonstrac~ao. Mostrar que x2 = (x)2 equivale a mostrar que (x)2 x2 = 0,porem x2 = (x:x) = (x):x e da

(x)2 x2 = (x)(x) + (x)(x) = (x)(x+ x) = (x)(0) = 0:

Por isso (x)2 x2 = 0 e portanto x2 = (x)2. Demonstrac~ao. Provamos os dois primeiros items de uma vez, tomando uma

operac~ao com elemento neutro e e e0, tem-se e e0 = e = e0, logo elemento neutro eunico.

Supondo que existam dois inversos aditivos b e c para um elemento a, tem-se

a+ b = 0 = a+ c

por lei do corte segue que b = c logo o inverso e unico.

m Denic~ao 11 (Subtrac~ao). Denimos a operac~ao : AA! A por ab := a+(b):


1.3.1 x2 = x para todo x implica que o anel e comutativo

b Propriedade 10. Se em um anel vale x2 = x para todo elemento x do anel, ent~ao oanel e comutativo.

Demonstrac~ao. Vale (x + y)2 = x + y = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y

logo xy = yx , como z2 = (z)2 em aneis, ent~ao

(yx)2 = yx = (yx)2 = yx;

portanto xy = yx e usando yx = yx segue que xy = yx e o anel e comutativo.

m Denic~ao 12 (Divisor de zero). Um elemento a 6= 0 um anel A e dito divisor dezero se existe b 6= 0 em A tal que

a:b = 0:

Z Exemplo 3. O anel das func~oes contnuas em [0; 1] possui divisores de zero.Considere as func~oes f : [0; 1]! R dada por f(x) = 0 se x 1

2e f(x) = 2(x 1

2) se

x >1

2e g : [0; 1]! R dada por g(x) = 2(x 1

2) se x 1

2e g(x) = 0 se x >

1

2: Nenhuma

delas e identicamente nula , se x 12temos g(x): f(x)|{z}

=0

= 0 e se x >1

2, f(x): g(x)|{z}

=0

= 0,

sendo que ambas s~ao contnuas em [0; 1]

m Denic~ao 13 (Elemento nilpotente). Um elemento x de um anel e dito nilpotentese existe algum natural n tal que

xn = 0:

Z Exemplo 4. 0 e sempre nilpotente.O anel n~ao comutativo das matrizes 2 2 possui innitos elementos nilpotentes

A =

0B@ a ba

2

ba

1CAa matriz A com b 6= 0 e a real sempre satisfaz A2 = 0:


b Propriedade 11. Se x e y s~ao elementos nilpotentes e satisfazem x:y = y:x ent~aox+ y e um elemento nilpotente de A .

Demonstrac~ao. Suponha que xn = 0 = ym pela comutatividade do produto vale

(x+y)n+m =n+mXk=0

n+m

k

xkyn+mk =

nXk=0

n+m

k

xk ym|{z}

=0

ynk+m+nXk=n+1

n+m

k

xk|{z}=0

ymynk = 0

ent~ao x+ y e nilpotente.

b Propriedade 12. Se um anel A possui unidade e x e nilpotente ent~ao 1 x possuiinverso em A.

Demonstrac~ao. Seja n+1 o numero tal que xn+1 = 0 ent~ao o inverso de 1 x edado por

nXk=0

xk pois

(nXk=0

xk)(1 x) = (nXk=0

xk) = (xkn+10

) = (xn+1 1) = 1:

1.3.2 Domnio

m Denic~ao 14 (Domnio-Domnio de integridade). Um anel comutativo com unidadeA e chamado domnio ou domnio de integridade quando acontece

a:b = 0) a = 0 ou b = 0

que por contrapositiva e equivalente a

a 6= 0 e b 6= 0) a:b 6= 0:

m Denic~ao 15 (Domnio fatorial -Domnio de fatorac~ao unica). Um domnio de in-tegridade (D;+; ) e chamado de domnio fatorial ou domnio de fatorac~ao unica (DFU)

se todo elemento n~ao nulo e n~ao invertvel de D se escrever de modo unico, a n~ao ser

pela ordem e pela existe^ncia de elementos associados, como produto nito de elementos

irredutveis.

Z Exemplo 5. O anel Z[p5] e noetheriano , pois e isomorfo a um quociente de Z[x]]porem n~ao tem fatorizac~ao unica, pois por exemplo 6 = 2 3 = (1 +p5)(1p5).


b Propriedade 13 (Lei do corte para o produto). Seja A um domnio. Se a:b = a:ccom a 6= 0 ent~ao b = c:

Demonstrac~ao. De a:b = a:c tem-se a:b ab = a:c ab logo 0 = a(c b) comoA e domnio ent~ao c b = 0 da c = b:

Um domnio n~ao e um grupo em relac~ao a operac~ao, porem com a relac~ao distributivado produto com a soma e a propriedade de domnio conseguimos provar a lei do corte para

o produto. Precisamos ent~ao nessa demonstrac~ao de grupo (A;+) (n~ao necessariamente

comutativo), da distributividade a esquerda e da propriedade de domnio.

b Propriedade 14. a:0 = 0 = 0:a:

Demonstrac~ao. a(0 + 0) = a:0 + a:0 = a:0 + 0, pela lei do corte da adic~ao segue

que a:0 = 0:

$ Corolario 4. Em um domnio vale a2 = 0 sse a = 0. ). a2 = 0 implica a = 0, eequivalente a a 6= 0 implica a2 6= 0, usamos a denic~ao de domnio a 6= 0 e b 6= 0) a:b 6=0:, tomando a = b e da a2 6= 0: ). Temos 0:0 = 0 por propriedade basica de aneis.

$ Corolario 5. Se a:b = 0 e b 6= 0 ent~ao a = 0: Pois se pela denic~ao tem-se a = 0 oub = 0, como n~ao vale b = 0 ent~ao a = 0:

$ Corolario 6. a2 = a sse a = 0 ou a = 1 pois a(a 1) = 0 da segue por propriedadede domnio que a = 0 ou a 1 = 0 implicando a = 1:

b Propriedade 15. Seja A um anel e um elemento a 2 A xo, denimos

a:A = fa:x j x 2 Ag:

Tal conjunto munido com as operac~oes de A e um subanel de A.

Demonstrac~ao.

A soma e fechada, pois dado ax; ay 2 A vale ax + ay = a(x + y) 2 aA peladistributividade.

O produto e fechado, pois ax(ay) = a(xay) 2 aA.


0 esta no conjunto pois a:0 = 0:

Dado ax ent~ao a(x) 2 A cuja soma da ax+ a(x) = a(x x) = a:0 = 0:

b Propriedade 16 (Produto cartesiano de aneis). Sejam (Ak)n1 aneis ent~ao o produtocartesiano

nYk=1

Ak e um anel com as operac~oes

(ak)n1 + (bk)

n1 := (ak +k bk)

n1

(ak)n1 (bk)n1 := (ak k bk)n1

onde +k e k s~ao adic~ao e multiplicac~ao do k-esimo anel.

Demonstrac~ao. No texto de grupos mostramos que com a denic~ao de adic~ao

temos um grupo abeliano, seguindo o mesmo esquema mostramos que o produto e asso-

ciativo, falta mostrar ent~ao a distributividade a esquerda e a direita.

(ak)n1 [(bk)n1 + (ck)n1 ] = (ak)n1 [(bk +k ck)n1 ] = (ak k [bk +k ck])n1 = (ak k bk +k ak k ck)n1

(ak)n1 (bk)n1 + (ak)n1 (ck)n1 = (ak k bk)n1 + (ak k ck)n1 = (ak k bk +k ak k ck)n1

s~ao iguais!

$ Corolario 7. Se cada Ak possui unidade ent~ao nYk=1

Ak possui unidade, pelo caso que

ja provamos para grupos.

$ Corolario 8. nYk=1

Ak possui divisores de zero. Tomamos (ak)n1 com ak = 0 se k par e

ak 6= 0 com k mpar. (bk)n1 com bk = 0 se k mpar e bk 6= 0 se k par. Ambos elementoss~ao n~ao nulos pois n~ao possuem todos elementos iguais a zero , porem tem-se

(ak)n1 (bk)n1 = (ak k bk)n1 = (0)n1

pois se k e par temos 0 k bk = 0 se k mpar tem-se ak k 0 = 0 ent~ao tal anel possuidivisores de zero.

m Denic~ao 16 (Elemento invertvel). Um elemento a 2 A de um anel com unidade edito invertvel , existe a0 tal que a:a0 = 1 = a0:a: a0 e dito inverso de a:


$ Corolario 9. 1 e invertvel e seu inverso e 1, pois 1:1 = 1:mDenic~ao 17. SendoA um anel com unidade, denimosA = fa 2 A j a e invertvelg:

Z Exemplo 6. Se A = M22(Z): Ent~ao A e o conjunto das matrizes do tipo0@ a b

c d

1Aonde ad bc = 1 ou ad bc = 1 pois0@ a b

c d

1A0@ d bc a

1A 1ad cb =

0@ 1 00 1

1A :Z Exemplo 7. Se A = Z Z, ent~ao A = f(1;1); (1; 1); (1;1); (1;1)g pois se

(a; b)(c; d) = (1; 1)

ent~ao a:c = 1 e b:d = 1, logo a e b devem ser invertveis. Cada elemento listado e invertvel

pois

(1;1)(1;1) = (1; 1)

(1; 1)(1; 1) = (1; 1)

(1; 1)(1; 1) = (1; 1)

(1;1)(1;1) = (1; 1):

Z Exemplo 8. Seja A = Z[i] = fa+ bi 2 C j a; b 2 Zg, ent~ao A = f1;1; i;ig pois

(a+ bi)(a bi)a2 + b2

= 1

temos que tera

a2 + b2;

ba2 + b2

2 Z: Vale a2 + b2 0, para que seja a2 + b2 = 1, temosque ter a = 1; b = 0 ou b = 1; a = 0 que fornecem os numeros 1;1; i;i: No caso dea; b 6= 0 vale a2 + b2 > 1. Com a > 0, a2 + b2ja ent~ao a2 + b2 a, porem a2 + b2 > a quee absurdo, no caso a < 0, a2 + b2j(a), mas a2 + b2 > a que e absurdo tambem, ent~aoas unicas possibilidades s~ao as ja listadas.

Z Exemplo 9. Se A = Q ent~ao A = Q n f0g, pois o unico elemento n~ao invertvelem Q e 0.


b Propriedade 17. Se o inverso existe ele e unico.

Demonstrac~ao. Suponha existe^ncia de dois inversos c e b para a, ent~ao

c = c(a:b) = (c:a):b = b

da c = b:

m Denic~ao 18 (Corpo). Um corpo e um anel comutativo com unidade onde todoelemento n~ao nulo e invertvel.

1.4 Corpo de frac~oes de um domnio

F Teorema 2. Para cada domnio D e possvel construir um corpo K, chamado corpo

de frac~oes de D tal que

D K.

As operac~oes de adic~ao e multiplicac~ao de K s~ao as de D.

K e o menor corpo contendo D.

Demonstrac~ao. Denimos S = D (D n f0g): Para (a; b); (c; d) 2 S denimos(a; b) (c; d) , a:d = b:c: Para lembrar a denic~ao dessa relac~ao podemos chamar em(a; b) (c; d) os elementos a; d de extremos e b; c de meios , ent~ao a relac~ao diz que oproduto dos meios e igual ao produto dos extremos, na ordem em que aparecem.

b Propriedade 18. A relac~ao em S e uma relac~ao de equivale^ncia.

Demonstrac~ao.

Vale a reexividade (a; b) (a; b) pois a:b = b:a. Propriedade que vale pois domnioss~ao comutativos.

Simetria. Se (a; b) (c; d) ent~ao (c; d) (a; b): Pois da primeira tem-se a:d = b:cque implica por comutatividade que c:b = d:a logo vale (c; d) (a; b):


Transitividade. Se (a; b) (c; d) e (c; d) (e; f) ent~ao (a; b) (e; f): Da primeirarelac~ao temos a:d = b:c e da segunda c:f = d:e multiplicando a primeira por f a

direita temos a:d:f = b:(c:f) como c:f = d:e substitumos na anterior, de onde segue

a:d:f = b:d:e como d 6= 0 podemos aplicar a lei do corte cancelando d, que implicaa:f = b:e da tem-se (a; b) (e; f):

Tomando o conjunto quociente pela relac~ao de equivale^ncia K = S=

K = f(a; b) j (a; b) 2 Sg:

Denotamosa

b:= (a; b), da

a

b=

c

d, (a; b) (c; d), ad = bc:

m Denic~ao 19 (Frac~ao). Chamamos o elemento ab2 K de frac~ao, a e b de numerador

e denominador (Respectivamente) da frac~aoa

b:

Iremos agora munir K de uma estrutura de corpo, denido as operac~oes

m Denic~ao 20 (Adic~ao).a

b+c

d:=

ad+ bc

bd

m Denic~ao 21 (Multiplicac~ao).a

b:c

d=a:c

b:d

onde no numerador e denominador as operac~oes + e s~ao as do domnio D.

b Propriedade 19. (K;+; :) e um corpo.

Demonstrac~ao. Propriedades da adic~ao.

A adic~ao e comutativa pois

a

b+c

d=a:d+ c:b

b:d=c:b+ a:d

d:b=

c

d+a

b

Existe elemento neutro 0 =0

1da adic~ao

0

1+a

b=

0:b+ 1:a

1:b=a

b:

Valea

b=

0

1sse a:1 = b:0, a = 0:


Existe inverso aditivo para todo elementoa

b, sendo

ab, pois

ab

+a

b=a:b+ b:a

b2=

0

b2= 0:

Vale a associatividade

(a1b1

+a2b2) +

a3b3

=a1b2 + a2b1

b1b2+a3b3

=a1b2b3 + a2b1b3 + b1b2a3

b1b2b3

a1b1

+ (a2b2

+a3b3) =

a1b1

+a2b3 + a3b2

b2b3=a1b2b3 + b1a2b3 + b1b2a3

b1b2b3

que s~ao iguais logo a adic~ao e associativa.

O produto e comutativo pois

a

b:c

d=a:c

b:d=c:a

d:b=

c

d:a

b

O elemento neutro do produto e1

1:= 1 pois

1

1

a

b=

1:a

1:b=a

b:

Se a 6= 0 ent~ao existe inverso de abque e

b

atal elemento e inverso multiplicativo

poisa

b:b

a=a:b

b:a= 1

ea:b

b:a=

1

1pois a:b:1 = b:a:1:

Associatividade da multiplicac~ao

(a

b:c

d):e

f=ac

bd:e

f=ace

bdf

a

b:(c

d:e

f) =

a

b:ce

df=ace

bdf

Antes de mostrar a distributividade vamos mostrar quebc

bd=

c

d, isto e, podemos

anular elementos iguais que aparecem no numerador e no denominador. Tal identidade

vale pois

b:c:d = b:d:c:

Agora a propriedade que liga a multiplicac~ao com a adic~ao, a distributividade.


a

b(c

d+e

f) =

a

b

c:f + e:d

df=acf + aed

bdf

a

b

c

d+a

b

e

f=a:c

b:d+a:e

b:f=a:c:b:f + :d:b:e:a

b:f:d=a:c:f + :d:e:a

b:f:b:d

b Propriedade 20. D pode ser visto como subanel de K.

Demonstrac~ao. Associamosa

1com a 2 D, sabemos que a

1=

b

1sse b:1 = a:1,

logo b = a:

A soma e fechada, poisa

1+b

1=a:1 + b:1

1:1=a+ b

1= a+ b:

Existe inverso aditivoa1

tal que

a

1+a1

=a:1 + (1)(a

1:1=

0

1= 0:

A multiplicac~ao e fechada, pois

a:b =a

1:b

1=

a:b

1:1= a:b

b Propriedade 21. Se K e um corpo e D e um subanel de K ent~ao Q(D) e subcorpode K. (Q(D) e o menor corpo gerado por D.)

Demonstrac~ao.

1.5 Anel ordenado

m Denic~ao 22 (Anel ordenado). Seja A um anel comutativo com unidade. A e ditoum anel ordenado quando existe uma relac~ao binaria entre seus elementos denotada por

, que satisfaz as seguintes propriedades

(Reexiva) a a.

(Antisimetrica) Se b a e a b ent~ao a = b.

(Transitiva) Se c b e b a ent~ao c a.


(Total) Vale b a ou a b.

Monotonicidade da adic~ao. Se b a ent~ao b+ c a+ c.

Monotonicidade da multiplicac~ao . Se b a e c 0 ent~ao c:b c:a .

Denotamos b a para a b. a < b para a b e a 6= b:Vale apenas uma das propriedades a > b , a < b ou a = b:

m Denic~ao 23 (Elemento positivo). Um elemento a e dito positivo se a > 0.

m Denic~ao 24 (Elemento negativo). Um elemento a e dito negativo se a < 0.

b Propriedade 22. Se 0 a ent~ao a 0.

Demonstrac~ao. De 0 a , somamos a de ambos lados de onde segue a 0.

b Propriedade 23. Se a 0 ent~ao 0 a.

Demonstrac~ao.

Novamente somamos a de ambos lados.

b Propriedade 24. a2 0:

Demonstrac~ao. Dividimos a demonstrac~ao em dois casos, o primeiro se a 0.Tem-se pela monotonicidade da multiplicac~ao

a 0 =) a:a 0:a =) a2 0:

Agora se temos 0 a implica a 0 usando a monotonicidade da multiplicac~ao

a 0 =) (a)(a) (a)0 =) a2 0:

b Propriedade 25.1 > 0:

Demonstrac~ao. 1 = 12 0 e 1 6= 0 =) 1 > 0.

b Propriedade 26. Se a < b e c < d ent~ao a+ c < b+ d:

Demonstrac~ao. De a < b tem-se a + c < b + c e de c < d tem-se c + b < d + b

por transitividade segue a+ c < d+ b:


1.5.1 Valor absoluto

m Denic~ao 25 (Modulo ou Valor absoluto). Seja A um anel ordenado. Denimos ovalor absoluto de a 2 A por

j a j =8 a

b Propriedade 27. jaj 0 ^ jaj = 0 sse, a = 0.

b Propriedade 28. jaj a jaj

b Propriedade 29. j aj = jaj

b Propriedade 30. jabj = jajjbj

b Propriedade 31. jaj+ jbj ja+ bj

b Propriedade 32. Se b+ c a+ c ent~ao b a:

Demonstrac~ao.

Somando c em ambos os lados, pela monotonicidade da adic~ao segue

b+ c c a+ c c =) b a:

Se b a e d c ent~ao b+ d a+ c,tomando a primeira desigualdade e somando d pela compatibilidade com adic~ao

b+ d a+ d

tomando a segunda desigualdade e somando a, camos com

d+ a c+ a

pela transitividade camos com

b+ d c+ a

m Denic~ao 26 (Mnimo ou menor elemento).


O menor elemento de A, quando existe, denomina-se mnimo de A e indica-se por

mnA.

x = mnA() 8 t 2 A =) x t

m Denic~ao 27 (Conjunto limitado inferiormente). Seja S 6= ; um subconjunto de umanel ordenado A. Dizemos que S e limitado inferiormente se existir um elemento a 2 A,tal que 8s 2 S temos s a.

b Propriedade 33 (Unicidade do menor elemento). Quando o menor elemento existeele e unico.

Demonstrac~ao. Suponha que o conjunto S possua dois mnimos a e b, pela

denic~ao de mnimo temos

a = mnS () 8 t 2 S =) a t

Como b 2 S temos a b e como b e mnimo temos

b = mnS () 8 t 2 S =) b tComo a 2 S temos b a, pela propriedade antisimetrica da relac~ao de ordem temosa = b.

1.5.2 Domnio bem ordenado

m Denic~ao 28 (Domnio bem ordenado). Um domnio ordenado A e chamado bemordenado sse todo subconjunto n~ao vazio de A limitado inferiormente te^m mnimo.

b Propriedade 34. Seja A um domnio bem ordenado e seja a 2 A. Se a > 0 ent~aoa 1, isto e, vamos provar que n~ao existe elemento entre x tal que 0 < x < 1:

Demonstrac~ao. Suponha por absurdo que exista elemento a 2 A tal que 0 b ent~ao a b+1, pois a b > 0 implica a b 1 e da a 1+ b:Z Exemplo 10. Num domnio se vale xp+1 = xp com p natural e x no domnio, temosduas possibilidades, p = 0, da x0 = 1 = x, ent~ao x = 1 ou p > 0 temos os casos x = 0

ou se x 6= 0 podemos aplicar lei do corte em xp cortando tem-se x = 1: Ent~ao caso p > 0temos duas soluc~oes x = 0 ou x = 1:

b Propriedade 35. Se a:b = 1 num domnio bem ordenado, ent~ao a = b = 1 oua = b = 1.

Demonstrac~ao. a nem b podem ser nulos. Suponha que a > 0, ent~ao a 1,deve valer tambem b > 0 pois o produto e positivo, logo b 1: Supondo por absurdo queb > 1 ent~ao b 2, ab 2a 2, logo n~ao pode ser b > 1, sendo b = 1, b:a = 1:a = a = 1.

Se a < 0 ent~ao b < 0 logo (1)(1)a:b = 1, (a)(b) = 1, sendo a > 0 e b > 0recamos sobre o primeiro caso, ent~ao a = b = 1 implicando a = b = 1:

1.5.3 Princpio da induc~ao Matematica

Vamos adotar o princpio da boa ordenac~ao como um axioma. Todo subconjunto n~ao

vazio A de inteiros n~ao negativos possui um elemento mnimo (isto e, existe n0 2 A talque n n0, para todo n 2 A).

b Propriedade 36. Se um subconjunto n~ao vazio de inteiros e limitado inferiormenteent~ao ele possui um elemento mnimo.

Demonstrac~ao. Seja A 6= ; um conjunto de numeros inteiros limitado inferior-mente por um numero t. Considere o conjunto

T = fx t j x 2 Ag

tal conjunto e n~ao vazio, pois existe a 2 A e da a t 2 T , como 8x 2 A vale t x ent~ao0 x t o conjunto T e formado por numeros n~ao negativos, ent~ao pelo PBO ele possuium menor elemento t0, tal que t0 = x0 t e da t0 + t = x0: Tal elemento x0 e o menorelemento de A, pois caso n~ao fosse, existiria x 2 A tal que x < x0 = t0+ t e da x t < t0o que contraria a minimalidade de t0, ent~ao n~ao pode existir x tal que x < x0 vale ent~ao

x x0:


b Propriedade 37 (Propriedade Arquimediana em Z). Dados m e n 6= 0 2 Z ent~aoexiste p 2 Z tal que p:n m:

Demonstrac~ao. Como n 6= 0, ent~ao jnj 0 e da jnj 1, temos tambem quejmj 0 e da por monotonicidade jmjjnj jnj n:

Se m > 0 temos jmj = m e da podemos tomar p = jnj tal que p:m n:

Se m < 0 ent~ao jmj = n e da podemos tomar p = jnj, pois

jnjm = jnj(m) = jnjjmj n:

b Propriedade 38 (Propriedade arquimediana de Q). Dados a; b 2 Q com b 6= 0, ent~aoexiste n 2 Z tal que n:b a:

Demonstrac~ao. Podemos tomar a =c

d, b =

r

scom r 6= 0, d; s positivos, ent~ao

d:s > 0 e1

d:s> 0, pela propriedade Arquimediana em Z existe n 2 Z tal que

nr:d c:s

como1

d:s> 0, podemos multiplicar por ele de ambos lados de onde tem-se

nr

s cd) na b:

Induc~ao matematica primeira forma

Seja N = fn0; n1; n2; : : : g um conjunto de inteiros n~ao negativos (suponha tambemn0 < n1 < n2 < :::) e seja Sn uma proposic~ao que depende de n 2 N , tal que:

Sn0 e verdadeira;

Se m 2 N e Sn e verdadeira para todo n 2 N tal que m > n, en~ao Sm e verdadeira.En~ao Sn e verdadeira para qualquer n 2 N .

Demonstrac~ao por contradic~ao.

F = fl 2 N j Sl Fg

suponha por absurdo que F 6= ; pelo princpio da boa ordenac~ao existe l0 2 F , l0 > n0


1.5.4 Propriedade arquimediana em Z

Dados a; b 2 Z com b 6= 0 existe n 2 Z tal que n:b a. Pela propriedade total dadesigualdade temos um dos casos vericados b a ou a b, no primeiro caso, n~ao temosnada fazer (basta tomar n = 1)

1.6 Divis~ao Euclidiana

1.7 Polino^mios com coecientes num anel comutativo

com unidade.

Iremos considerar A como um anel comutativo com unidade nessa sec~ao, a n~ao ser que

citado o contrario.

1.8 Homomorsmo de aneis

m Denic~ao 29 (Homomorsmo de aneis). Uma func~ao f : A ! A0, onde A e A0 s~aoaneis, e chamada de homomorsmo de aneis se vale

f(a:b) = f(a)f(b):

f(a+ b) = f(a) + f(b):

b Propriedade 39. Seja f : Z ! Z tal que

f(x+ y) = f(x) + f(y)

f(x:y) = f(x):f(y)

para quaisquer, x; y 2 Z, da f(x) = 0 ou f(x) = x8x 2 Z:

Demonstrac~ao. f(1:1) = f(1)f(1) da f(1) = f(1)2 e portanto f(1) = 1 ou

f(1) = 0:

Se f(1) = 0 ent~ao f(x:1) = f(x)f(1) = 0, portanto f(x) = 08x 2 Z:


Se f(1) = 1 ent~ao por induc~ao f(x) = x8x 2 N , pois f(x+1) = f(x)+f(1) = x+1e f(0) = 2f(0)) f(0) = 0:

f(0) = f(1) + f(1)) f(1) = 1

da segue tambem que dado x natural f(x) = f(1)f(x) = x, da vale para todointeiro x, f(x) = x.

algebra basic a

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nciauma relac

elementoqualquer x

conjunto dos representantes

x aga classe

toda aplicac

conjunto formado de

oesm denic

nciam denic