ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

A.Paez, Escuela Politecnica Nacional

ROBOTICA

Contenido

NORMA VECTORIALNORMA MATRICIALCAMPO VECTORIALVALOR Y VECTOR PROPIOALGEBRA DE MATRICESMATRIZ INVERSAMATRIZ PSEUDOINVERSA

NORMA VECTORIAL

Un espacion vectorial es el objeto basico de estudio en algebra lineal. Alos elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Para conocerla longitud de los vectores se utiliza un operador norma que determina lalongitud o magnitud del vector.

La definicion general de norma se basa en generalizar a espacios vecto-riales abstractos el concepto de modulo de un vector de un espacio eucldeo.Dado un vector de un espacio vectorial eucldeo, la norma de un vectores definida como la distancia (en lnea recta) entre dos puntos A y B quedelimitan al vector.

Coincidiendo en un espacio eucldeo la norma de un vector con el modulodel vector AB. Ampliando lo anterior al espacio eucldeo de tres dimensio-nes, es de igual forma elemental que:

AB = (b1 a1)2 + (b2 a2)2 + (b3 a3)2En el caso general de un espacio eucldeo de n dimensiones se tiene que:

AB = (b1 a1)2 + (b2 a2)2 + ... + (bn an)2De esto se sigue que, fijada una base ortonormal B en la cual un vector

V se da a partir de sus componentes en esta base, VB=(v1,v2. . . ..,vn), lanorma de dicho vector vendra dada por:

1

2V = (v1)2 + (v2)2 + ... + (vn)2NORMA MATRICIAL

Se tranta ahora de extender la nocion de norma de vectores a matri-ces. Puesto que Mmxn(F ) es, como espacio vectorial practicamente F

n2 ,cualquier norma vectorial sobre Fn

2induce una meddida.en Mmxn(F ) pero

este es mas que un espacio vectorial, ya que hay es este espacio definidauna multiplicacion y con frecuencia es necesario relacionar el tamanodeun producto AB con los tamanos de A y B.La norma vectorial euclidiana o norma, aplicada a matrices, determina lafuncion N definida por:

N2(A) =n

i,j=1 aij2

CAMPO VECTORIAL

Fsicamente un campo vectorial representa la distribucion espacial deuna magnitud vectorial.Matematicamente se define un campo vectorial como una funcion vectorialde las coordenadas o como un caso especial de una transformacion no ne-cesariamente lineal. Rn Rm, en donde Rn representa el espacio vectorialque haces las veces de dominio y Rm el espacio vectorial que actua comorango.

VALOR Y VECTOR PROPIO

En algebra lineal, los vectores propios, autovectores de un operador linealson los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, danlugar a un multiplo escalar de s mismos, con lo que no cambian su direccion.

El multiplo escalar por el que ha sido multiplicado el vector propio recibeel nombre de valor propio.

ALGEBRA DE MATRICES

El concepto de matriz alcanza multiples aplicaciones tanto en la repre-sentacion y manipulacion de datos como en el calculo numerico y simbolicoque se deriva de los modelos matematicos utilizados para resolver problemasen diferentes disciplina. Se define una matriz de n filas y m columnas a unconjunto de nxm elementos de x, dispuestos en un arreglo rectangular de nfilas y m columnas.

3En el caso de la adicion de matrices se tiene que tomar en cuenta la dimen-sion de estas, puesto que deben de tener la misma dimension para poderrealizar la operacion. En este caso la suma se realiza termino por terminode cada una de las matrices.

Para realizar la diferencia de matrices, al igual que en el caso anteriorestas deben de tener la misma dimension y la diferencia se realizara terminopor termino y la matriz resultante tendra la misma dimension que las ma-trices diferenciadas.

En el caso de la multiplicacion de matrices Aij por la matriz Bjk a unamatriz Cik cuyos elementos son de la forma.

Cij = ai1b1k + ai2b2k + ... + aimbmk =m

j=1 aijbjkEs decir, los elementos que ocupan la posicion ik, en la matriz producto,

se obtiene sumando los productos que resultan de multiplicar los elementosde la fila i en la primera matriz por los elementos de la columna k de lasegunda matriz.

El operador / implica multiplicar una matriz A por la matriz inversa deB, mientras que el operador implica multiplicar la matriz inversa de A porla matriz B.

MATRIZ INVERSA

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz Bcon la propiedad de que:

A B = B A = I (1)

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A yla denotamos AUna matriz se die que es inversible o regular si posee inversa.En caso contrario se dice que es una singular.

MATRIZ PSEUDOINVERSA

La pseudoinversa de una matriz A es una generalizacion de la matrizinversa.

Si A es una matriz m x n, se llama pseudoinversa de A a la matriz A+=(AT A)-1 cuando m y n tienen rango(A)=n

Tambien se suele llamar inversa generaliza de Moore - Penrose.