Álgebra - econometriaaplicada.files.wordpress.com · binomio suma al cuadrado binomio diferencia...

Curso Propedéutico

Álgebra y Cálculo

Diplomado en Administración de Riesgos

Expositor: Juan Francisco Islas

Monterrey, N.L. Julio 2013

Álgebra

Reglas algebráicas para los números realesabba +=+

baab =

( ) ( ) cbacba ++=++( ) ( )cabbca =

( ) acabcba +=+( ) acabcba −=−

( ) bcaccba +=+( ) bcaccba −=−

aa =+ 000 =⋅aaa =⋅1

( ) 0=−+ aa

( ) aa =−−

( ) aa −=−1( )baba −+=−

( ) baba +=−−

11=

a

a

ba

ba 1

⋅=

( ) ( ) ( )baabba −=−=−

( )( ) abba =−−

ba

ba=

−−

ba

ba

ba

−=−=

−

cba

cb

ca +

=+

cba

cb

ca −

=−

bdac

dc

ba

=⋅

bcad

dc

ba

=÷

bcac

ba=

( )0≠cPropiedad transitiva : Si ba = cb = ca =y entonces

Exponentes Radicales

( )010 ≠= aa

( )01≠=− a

aa n

n

nmnm aaa +=

( ) mnnm aa =

( ) nnn baab =

n

nn

ba

ba

=

nmn

m

aaa −=

nn aa1

=( ) aa

nn = ( )0>aaan n =

( ) nm

mn aa =

nm

n m aa =nnn baab =

n

nn

ba

ba=

mnm n aa =

Productos especiales

( ) xzxyzyx +=+

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2

( )( ) ( ) cdxcbadabxdbxcax +++=++ 2

( ) 222 2 aaxxax ++=+

( ) 222 2 aaxxax +−=−

( )( ) 22 axaxax −=−+

( ) 32233 33 axaaxxax +++=+

( ) 32233 33 axaaxxax −+−=−

Propiedad distributiva

Binomio suma al cuadrado

Binomio diferencia al cuadrado

Producto de suma y diferencia

Binomio suma al cubo

Binomio diferencia al cubo

Factorización

Factor común

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de cuadrados

Suma de cubos

Diferencia de cubos

Trinomio cuadrado perfecto

( )zyxxzxy +=+( ) ( )( )bxaxabxbax ++=+++2

( ) ( )( )dbxcaxcdxcbadabx ++=+++2

( )222 2 axaaxx +=++

( )222 2 axaaxx −=+−( )( )axaxax −+=− 22

( )( )2233 aaxxaxax +−+=+( )( )2233 aaxxaxax ++−=−

Fórmula cuadrática

Si

02 =++ cbxaxdonde

0≠a

entonces

aacbbx

242 −±−

=

Ecuación de la recta

bmxy +=

12

12

xxyym

−−

=

( )11 xxmyy −=−

( )112

121 xx

xxyyyy −

−−

=−

( )b,0

Desigualdades

Si entoncesba < cbca +<+

0>c

bcac <

( ) ( )cbca −>−

Si

entonces

ba < y

0>cSi

entonces

ba < y

•

•

•

Logaritmos

yxb =log ybx =( ) nmmn bbb logloglog +=

nmnm

bbb logloglog −=

mrm br

b loglog =01log =b

1log =bbrbrb =log

mb mb =log

bmma

ab log

loglog =

si y sólo si

Alfabeto griego

alfa

beta

gamma

delta

épsilon

zeta

nu

xi

ómicron

pi

ro

sigma

tau

ípsilon

fi

ji

psi

omega

eta

theta

iota

kappa

lambda

mu

αΑ

βΒ

γΓ

δ∆

εΕ

ηΗ

θΘ

ιΙ

κΚ

λΛ

µΜζΖ

ξΞ

νΝ

οΟ

πΠ

ρΡ

σΣ

τΤ

υΥ

ϕφ ,Φ

χΧ

ψΨ

ωΩ

Conjuntos de números reales

esirracionalracionales

reales

naturales)positivos(ceronegativos

enteros

K,3,2,1 −−−

0K,3,2,1

01−2−3− 1 2 322− ee−π− π2

121

−

π2

21

2 84

−75

26

−−

Cociente de enteros

qp

0≠q

Para practicar: Problemas 0.1 pares, página 3 de Haeussler, et. al.(2008)

Aplicación de las propiedades de los números reales

( ) ( )xwzywzyx 2323 +−=+− Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa( ) ( )543543 ⋅=⋅

2222 +−=− Propiedad conmutativa( ) ( )yxyx −+=−+ 88 Propiedad asociativa( ) 246128243 ++=++ yxyx Propiedad distributiva

=cba

cab

Propiedad asociativa

cb

ca

cba

+=+

Propiedad distributiva

El mínimo común denominador es 15321

32

55

32

5352

1510

1546

154123

154

52

=×=×=××

==+

=×+×

=+

241

241

24109

245233

125

83

−=−

=−

=×−×

=− El mínimo común denominador es 24

Realizar las siguientes operaciones con fracciones: Para practicar: Problemas 0.2 pares, páginas 8 y 9 de Haeussler, et. al. (2008)

Exponentes y radicales

161

21

21

21

21

21

21

4

44

==×××=

2431

333331

313 5

5 =××××

==−

243331 55 ==− 120 =

10 =π ( ) 15 0 =−

xx =1 1486 xxx = 38523 bababa =

6511 xxx =−23

212

211

21

xxxxx ===+

+

zzzzzzz =====+

+ 155

532

53

52

53

52

81

421

441

441

41

4

141

22 2

2

2 3

2 3

23

23

23

=×

==×

===

( )8116

32

278

32

278

32

278

278

278

278

278

278

278

33

3

3

3

333

3

3

434

=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−=

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 223233

233

233

233

233

2

32

3 1644446464 aaaaaaa ====== ×

552

55

52

52

=⋅=

( ) ( ) xx

xx

x

x

xxxxx 3323

32

3

3

3

2

3

2

3

2

3

232 6 56 5

61

65

61

65

65

61

65

61

61

561

61

56 5=⋅=⋅====


2

23

2

32

xzy

zyx

=−

−

Eliminar exponentes negativos

Simplificar

xy

xy

xxyy

yxyx 2

23

57

23

57

53

72

=== −

−

−

−

( ) 40255855585 yxyxyx == ××

241064253184

918518

34

95

yxyxyxyx ===

××××

2

6

552

5565

515

52

56

51

zxy

z

yx

z

yx==

×

××

3

3

36

25

36

25

26

53

5

6

2

3

5

6

2

3

xy

xy

xxyy

yxyx

yxyx

yx

yx

=====÷ −

−

−

−

xyxy

yxyx +

=+=+ −− 1111

( )( ) 2222

22

4917

711777

xxxxxx +=+=+ −−


Eliminar exponentes negativos

( )( ) 22

22

2

22

22

2211

21

11

111yxyx

yxxyyx

xyxy

yx

yxyx

+−=

−=

−=

−

=

−=−

−−−−

Simplificar

( )11 21

22

21

21

22

21

21

22

21

21

23

−=

−=−=−=−

+xxxxxxxxxxx

58

21

52

56

52

21

52

56

52

21

52

56

21

52

2222 xyxxyxxxyxxyx +=+=+=

+

+


Para practicar: Problemas 0.3 pares, página 14 de Haeussler, et. al. (2008)

Simplificar

444 444 323231648 ==×= ( )21

5252 xx +=+

( )662

662

662

6

6

6

2

6

262 15

110315

10153

32

51

32

32

31

51

31

51

3

5 ×===⋅== 24

554

554

520

===×

=

3231

231

33

36

34

36

3 46 yyxyyxyxyxyx ====+

714

77

72

72

72

=⋅==

21010521525105215225102521550250 +=+−=+×−×=+−

<−≥

=0si0si2

xxxx

x

332 =( ) 33 2 −=−

39 ±=

Operaciones con expresiones algebráicasSuma

( ) ( )364123 22 −+++− xyxxyx

247316243364123

2

22

22

−+=

−++−+=

−+++−=

xyxxxyxyxxyxxyx

48316243364123

2

22

22

+−−=

++−−−=

+−−+−=

xyxxxyxyxxyxxyx

Resta

( ) ( )364123 22 −+−+− xyxxyx

Eliminación de símbolos de agrupación

[ ] ( )[ ] xxxx 43453223 2 −−++ [ ] [ ]

457872604560181220152064343453223

2

22

22

2

−+=

+−++=

+−++=

+−++=

xxxxxxxxxxxxxx

Operaciones con expresiones algebráicasProductos

( )( ) ( ) ( ) 103102552552 22 −−=−+−=−+−=−+ xxxxxxxxxx

( )( ) ( ) ( ) 204721203512214754734753 22 ++=+++=+++=++ zzzzzzzzzz

( ) ( ) 16816424 222 +−=+−=− xxxxx

( )( ) ( ) ( ) 891313131 2222222 −=−+=−+=−+++ yyyyy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 83654272233233323 2332233 +++=+++=+ xxxxxxx

Binomio de Newton

( ) ( )iin

n

i

n baiin

nba −

=∑ −

=+0 !!

!n∀ natural

Para practicar: Problemas 0.4 pares, páginas 18-19 de Haeussler, et. al. (2008)

Factorización

Para practicar: Problemas 0.5 pares, página 21 de Haeussler, et. al (2008)

( )kxxkxkxk 3393 2322 +=+

( )( )2362 +−=−− xxxx

( )( )341272 −−=+− xxxx

( )( )( )( )2

2

13

113123

+=

++=++=

x

xxxx363 2 ++ xx

Fracciones

Para practicar: Problemas 0.6 pares, página 26 de Haeussler, et. al (2008)

Simplificar

( )( )( )( ) 4

23423

1276

2

2

−+

=−−+−

=+−−−

xx

xxxx

xxxx

( )( )( )6262

626262

621

6262 +−+

=++

⋅−

=⋅−

=−

xxxx

( ) ( )3426

3426

36262 xxxx +

−=−+

=−+

=

Racionalización de denominador y binomio conjugado

Demuestre que

( )hxxhxhx

+−=

−+ 1

11

para 0≠h

Sistema de coordenadas cartesianas

++yx

−+yx

+−yx

−−yx

IIIIII IV

Pendiente de la recta

13 −= xy

313

1225

12

12 ==−−

=−−

=xxyym

( )5,2

( )2,1

( )1,0 −

( )22 , yx

( )11, yx

bmxy +=

312 =−=∆ yyy112 =−=∆ xxx


62 +−= xy bmxy +=

212 =−=∆ yyy

112 =−=∆ xxx( )2,2

( )22 , yx

( )11, yx

( )4,1

( )6,0

21

22124

12

12 −=−

=−−

=−−

=∆∆

=xxyy

xym


4=y

bmxy +=

012 =−=∆ yyy

212 =−=∆ xxx ( )4,3( )22 , yx( )11, yx

( )4,1( )4,0

020

1344

12

12 ==−−

=−−

=∆∆

=xxyy

xym


221

+−= xy

bmxy +=

112 =−=∆ yyy212 −=−=∆ xxx

( )2,0( )22 , yx

( )11, yx( )1,2

21

21

2012

12

12 −=−

=−−

=−−

=∆∆

=xxyy

xym

Solución de ecuaciones lineales simultáneasResolver : 102 =+ yx

823 =− yx xy 210 −=

423

−= xy

Despejando :y)1.....()2.....( )1.....( a

)2.....( aIgualando y )2( )1( aa

=− x210 423

−x

xx 223410 +=+

x2714 =

x=×7

214

4=∴ x

Resolviendo para x

( ) 28104210210 =−=−=−= xy2=∴ y

Sustituyendo en )1( a4=x

• ( ) ( )2,4, =yx

Solución de una ecuación cuadrática*Resolver : 035122 =++ xx

* o de segundo grado

•por factorización ( )( ) 057 =++ xxesto implica que

07 =+x 05 =+x71 −=x 52 −=x

•por fórmula general

35,12,1 === cbaa

acbbx2

42

2,1−±−

=

( )( )( ) 16

2212

2412

1235141212 2

2,1 ±−=±−

=±−

=−±−

=x

72 −=x51 −=x

Curso Propedéutico

Álgebra y Cálculo




Variables y Funciones

La función y sus variables

variable dependiente

( )xfy =

variable independientefunción

Función, variables, dominio y rango

Variable dependiente : variable cuyo valor depende de una variable más.

Variable independiente : variable que se considera dada en una función, relación o en un modelo.

Función : Regla que asigna a cada valor de una variable , uno y sólo un valor .( )xfxDominio : Conjunto de posibles valores que puede tomar la variable independiente.

Rango : Conjunto de posibles valores que resultan para la variable dependiente.

Tarea 1

i) Defina el concepto de relación.

ii) Establezca la diferencia entre el concepto de relación y el de función.

iii) Muestre con un ejemplo gráfico la diferencia entre relación y función.

Identificación de funciones a partir de gráficas

Sí es función

No es función

No es función

No es función

Sí es función

Sí es función

Identificación analítica de funciones (a partir de ecuaciones)¿ Cuáles de las siguientes ecuaciones son funciones y por qué ?

72 +−= xy xy =22xy =

1562 ++−= xxy 6422 =+ yx

4=x

No es función

No es función

No es función

Sí es función

Sí es función

Sí es función

Valuación de funciones

6=x•ii) en

( ) 106 =∴ f

Valuar la función

• i) en 4=x

( ) 10220

27261

17

267

266 ==

×+×=+=+=f

( ) 9727244 =+=+=f ( ) 94 =∴ f

( ) 72+=xxf

Tipos de funciones

•Función lineal

•Función cuadrática

•Función polinomial de grado

•Función racional

•Función potencia

( ) bmxxf +=

( ) 02 ≠++= acbxaxxfn

( ) 001

1 ≠+++= −− n

nn

nn aaxaxaxf L

( ) ℜ∈= naxxf n

( ) ( )( ) ( ) 0≠= xhxhxgxf

Gráficas de funciones

xxf =)(

1)( −= xxf

3)( 2 −= xxf

1254)( 2

2

++

=xxxf

linealcuadrática

racionalpotencia

Tipos de funciones. Caracterización de dominio

•El dominio de las funciones lineales, cuadráticas y polinomiales es el conjunto de los números reales.

x•El dominio de las funciones racionales y

potenciales excluye cualquier valor de que implique una operación indefinida.

( ) 47 −= xxf ( ) 285 2 −+= xxxf ( ) 5924 23 +−+= xxxxf

( ) 4492

−≠+−

= xxxxf

( ) 021

≥== xxxxg

( ) 044 33 ≠== − xx

xxh

Ejemplos de identificación de dominio

1974 2 −+= xxy ℜ∈= xxD |( )∞∞− ,

∞<<∞− x

∞− ∞0

El dominio de esta funcióncuadráticaes el conjunto de los números reales.

Función cuadrática

x

x


5−= ty Función potencia( )21

5−= t

El dominio de esta función potencia excluye a todo

que implica una operación indefinida:la raíz cuadrada no está definida para los números negativos.

5<t

5,| ≥ℜ∈= tttD)[ ∞,5

∞<≤ t5

∞− ∞0 5 t

[ t5


( )96+

=xx

yFunción racional conformada por una función lineal

entre una función cuadrática.

El dominio de esta función racional excluye a

yque implican una operación indefinida:la división entre cero no estádefinida.

0=x 0,9,| ≠−≠ℜ∈= xxxxD

( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞− ,00,99,∞<<<<−−<<∞− xxx 0y09y9

∞− ∞0

x

(

9−=x

9−

() )9− 0 x

Asíntota Asíntota 0=x9−=x

Asíntota 0=y


xy 5=

Función racional conformada por una función lineal entre una función potencia.

El dominio de esta función racional excluye a todo

que implican una operación indefinida:la división entre cero no está definida y la raíz cuadrada para números negativos no está definida.

0≤x

0,| >ℜ∈= xxxD( )∞,0

∞<< x0

∞− ∞0

x

(0

x

Tipos de funciones. Ejemplos

•Funciones lineales

•Funciones cuadráticas

•Funciones polinomiales

•Funciones racionales

•Funciones potencia

( ) 47 −= xxf

( ) 285 2 −+= xxxf

( ) 5924 23 +−+= xxxxf

( ) 62xxf =

( ) 4492

−≠+−

= xxxxf

( ) xxg 3−= ( ) 9=xh

( ) xxxg 62 −= ( ) 26xxh =

( ) 72 35 +−= xxxg

( ) 22

5≠

−= xxxxg

( ) 21

xxg = ( ) 34 −= xxh


362 −=xxy ( )( )66 −+

=xxx Función racional

conformada por una función lineal entre una función cuadrática.


y queimplican una operación indefinida: la división entre cero no está definida.

6−=x 6=x

6,6,| ≠−≠ℜ∈= xxxxD( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞− ,66,66,

∞<<<<−−<<∞− xxx 6y66y6

∞− ∞0

x6− 6

(() )6− 6 x

Asíntota6−=x

Asíntota 6=x


( )47−

=xx

yFunción racional



y queimplican una operación indefinida: la división entre cero no está definida.

0=x 4=x

4,0,| ≠≠ℜ∈= xxxxD( ) ( ) ( )∞∪∪∞− ,44,00,

∞<<<<<<∞− xxx 4y40y0

(() )0 4

0 4∞− ∞

x

x

0=x

4=x

Asíntota

Asíntota

Asíntota0=y


xxy−

=83 Función racional conformada por una

función lineal entre una función potencia.

El dominio de esta función racional excluye a todo

que implica una operación indefinida:la división entre cero no estádefinida y la raíz cuadrada para números negativos no está definida.

8≥x 8,| <ℜ∈= xxxD

( )8,∞−8<<∞− x

∞− ∞0

x

8)x

8


( )( )956

−−=

xxxy Función racional



y queimplican una operación indefinida: la división entre cero no estádefinida.

5=x 9=x

9,5,| ≠≠ℜ∈= xxxxD( ) ( ) ( )∞∪∪∞− ,99,55,

∞<<<<<<∞− xxx 9y95y5

∞− ∞0

x

(() )95

95

x

5=xAsíntota

9=xAsíntota

0=yAsíntota

Ejemplos de identificación de rango

xy 2=

ℜ∈= yyR |

( )∞∞− ,∞<<∞− y

∞− ∞0

y

El rango de esta funciónlineales el conjunto de los números reales.

Función lineal

y

Ejemplos de identificación de rango 2xy =

El rango de esta funcióncuadráticaes el conjunto de los números reales no negativos.

Función cuadrática 0,| ≥ℜ∈= yyyR

)[ ∞,0

∞<≤ y0

∞− ∞0y

[0

y


xy 5−= ℜ∈= yyR |

( )∞∞− ,

∞<<∞− y

∞− ∞0

y


Función lineal

y

Ejemplos de identificación de rango (dominio acotado)

41para5 ≤≤−= xxyFunción lineal condominio acotado

El rango de esta funciónlinealcon dominio acotado es el conjunto cerrado

que pertenece al conjunto de los números reales.

520,| −≤≤−ℜ∈= yyyR[ ]5,20 −−

520 −≤≤− y

[ ]5,20 −−∞− ∞0

y

y20− 5−[ ]

20− 5−

d o m i n i o

r a n

g o


23 −= xy ℜ∈= yyR |

( )∞∞− ,

∞<<∞− y

∞− ∞0

y


Función lineal

y

Ejemplos de identificación de rango (dominio acotado)

22para23 ≤≤−−= xxyFunción lineal condominio acotado

El rango de esta funciónlinealcon dominio acotado es el conjunto cerrado

que pertenece al conjunto de los números reales.

48,| ≤≤−ℜ∈= yyyR[ ]4,8−

48 ≤≤− y[ ]4,8−

∞− ∞0y

y8− 4

8− 4[ ]

d o m i n i o

r a n

g o

Álgebra de funciones

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) 0≠÷=÷

⋅=⋅

−=−

+=+

xgxgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgfadición

diferencia

producto

cociente

Álgebra de funciones. Ejemplos

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

÷=÷

⋅=⋅

−=−

+=+

Sean las funcionesentonces

35)( += xxf 84)( −= xxgy

( ) ( ) 598435 −=−++= xxx

( ) ( ) 118435 +=−−+= xxx

( ) ( ) 2428208435 2 −−=−⋅+= xxxx

28435

≠−+

= xxx

Tarea 2

i) Para cada una de las funciones mostradas en la diapositiva 8, determine el dominio, el rango y elabore sus gráficas.

ii) Determine el rango para cada una de las funciones mostradas en las diapositivas 9 a 16.

iii) Elabore, en forma analítica y con apoyo del método de tabulación, las gráficas de las funciones matemáticas de las diapositivas 9 a 22.

iv)Resuelva los ejercicios 3.7, 3.8, 3.9 y 3.10 de Dowling (1992), páginas 71-74 .

Familias de Funciones PotenciaPotencias pares positivas

Potencias impares positivas

4xy = 63xy =

5xy = 74xy =

Familias de Funciones PotenciaPotencias pares negativas

Potencias impares negativas

2−= xy

43 −= xy

1−= xy 34 −= xy

Familias de Funciones PotenciaPotencias fraccionarias menores que 1

Potencias fraccionarias mayores que 1

21

xy = 31

xy =

23

xy = 35

xy =

denominador par denominador impar

denominador par denominador impar

Desplazamientos rígidos

Si es una función y entonces

para obtener la gráfica de

la gráfica se desplaza C unidades hacia .

( )xfy = 0>C( ) Cxfy +=( ) Cxfy −=

arribaabajo

2xy = 32 += xy 32 −= xy

Desplazamientos rígidos

Si es una función y entonces

para obtener la gráfica de

la gráfica se desplaza C unidades a la .

( )xfy = 0>C( )Cxfy +=( )Cxfy −=

derechaizquierda

2xy = ( )23+= xy ( )23−= xy

Si la gráfica de se estira verticalmente en un factor .

1>C ( )xf

3xy = 32xy = 3

21 xy =

Distorsiones

( )xCfy =

CSi la gráfica de se comprime verticalmente en un factor .

10 <<C ( )xfC

Si la gráfica de se comprime horizontalmente en un factor .

1>C ( )xf

( )32xy =2

21

= xy

Distorsiones

( )Cxfy =

C1

Si la gráfica de se estira horizontalmente en un factor .

10 <<C ( )xfC1

3xy =

Reflejos

La gráfica se invierte verticalmente

( )xfy −=

arribaabajo arriba

abajode a .

Reflejo con respecto al eje x

( )xfy =13 −= xy ( )13 −−= xy

Reflejos

Reflejo con respecto al eje y

( )xfy =13 −= xy ( ) 13 −−= xy

( )xfy −=

La gráfica se invierte horizontalmente

derechaizquierda

izquierdaa .derecha

Tarea 3

Para cada una de las funciones mostradas en las diapositivas 2, 3 y 4 :

• Elabore las gráficas de .






( )xfy =

( ) 3−= xfy

( )3−= xfy

( )xfy31

=

( )xfy 3=

( )xfy −=

( )xfy −=

Funciones definidas en partes

La regla para una función definida por partes o segmentada está dada por más de una expresión.

El valor de la variable independientedeterminará cuál expresión debe aplicarse para determinar el correspondiente valor de la variable dependiente .

A continuación algunos ejemplos:

( )xf

x

y


≤<≤≤−<≤

=75453130

)(xxxxx

xfsisisi

70 ≤≤ x

40 ≤≤ y

Dominio

Rango

d o m i n i o

r a n

g o


=

≠−

+−=

32

3334

)(

2

x

xxxx

xfsi

si

Dominio

Rango

Por factorización

( )( )31342 −−=+− xxxx

=≠−

=3231

)(xxx

xfsisi ( )∞∞− ,

( )∞∞− ,


<−≥

=0101

)(xx

xfsisi

Dominio Rango 1,1,| =−=ℜ∈= yyyyR ℜ∈= xxD |


≤<−≤≤<≤−

=823210111

)(xxxx

xfsisisi

Dominio][ 8,1−

]( 5,1−Rango

d o m i n i o

r a n

g o


≥−<≤

<

=10100

02)( 2

xxxx

xxxf

sisisi

Dominio

)( 100,∞−Rango( )∞∞− ,

Función Valor Absoluto

<−≥

=00

xxxx

xsisi

Dominio

)[ ∞,0Rango( )∞∞− ,

Composición de funcionesSi y son funciones, la composición de con es la función definida por

donde el dominio de es el conjunto de todas las en el dominio de , tales que esté en el dominio de .

La composición es asociativa:

A continuación algunos ejemplos:

f g fg

( )( ) ( )( )xgfxgf =o

f

gf ox g

( )xg

gf o

( ) ( )hgfhgf oooo =

Composición de funciones

Dadas las funciones

la función compuesta se obtiene sustituyendo para cada ocurrencia de en .

2)( xxf = y xxg 3)( =

( )( ) [ ])(xgfxgf =o)(xg

)(xfxAsí ( )[ ] ( )[ ]2xgxgf =

( )2

2

93xx

=

=

( )( ) [ ] 29)( xxgfxgf ==∴ o


Dadas las funciones

la función compuesta se obtiene sustituyendo para cada ocurrencia de en .

3)( += xxf y 72)( 2 −+= xxxg( )( ) [ ])(xfgxfg =o

)(xf)(xgx

Así ( )[ ] ( )[ ] ( ) 722 −+= xfxfxfg( ) ( )

8876296

7323

2

2

2

++=

−++++=

−+++=

xxxxx

xx

[ ])(xfg∴ 882 ++= xx


Dadas las funciones34)( 2 −+= pppF

12)( += ppG

Se determinan las siguientes composicionesppH =)(

( )( ) ( )12 += pFpGF( ) ( ) 2124312412 22 ++=−+++= pppp

( )( )( ) ( )( )pGFpHGF =( ) ( ) 2124312412 22 ++=−+++= pppp

( )( ) ( )( ) ( )231411 2 GGFG =−+=( ) 5122 =+=

Tarea 4

Resolver los siguientes problemas del texto de Ernest Haeussler y PaulRichard (2008):

• Problemas 7, 11, 18, 19 y 21 de la sección 2.2, página 85

• Problemas 1, 3, 5, 7, 9, 21 y 23 de la sección 2.3, páginas 90 y 91

Curso Propedéutico

Álgebra y Cálculo




Límites y Continuidad

Reglas de Límites

ccax

=→lim nn

axax =

→lim

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfaxaxax →→→

±=± limlimlim

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfaxaxax →→→

⋅=⋅ limlimlim

( ) ( )xfcxcfaxax →→

= limlim

Reglas de Límites

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

ax

ax

ax→

→

→=lim

limlim ( ) 0lim ≠

→xg

axsi

( ) ( )nax

nax

xfxf→→

= limlim

Reglas de Límites

fSi es una función polinomial, entonces

( ) ( )afxfax

=→lim

01lim =∞→ px x

01lim =−∞→ px x

Reglas de Límites

fSi es una función racional, entonces

( ) mm

nn

xx xbxaxf

∞→∞→= limlim

( ) mm

nn

xx xbxaxf

−∞→−∞→= limlim

11)(

3

−−

=xxxf

( )( ) 31111limlimlim1lim1

11lim11lim

11

2

1

2

1

2

1

3

1=++=++=++=

−++−

=−−

→→→→→→ xxxxxxxxxx

xxxx

xx

311lim

3

1=

−−

→ xx

x

x f(x) x f(x)

0.8 2.44 1.2 3.640.9 2.71 1.1 3.310.95 2.8525 1.05 3.15250.99 2.9701 1.01 3.03010.995 2.985025 1.005 3.0150250.999 2.997001 1.001 3.003001

Para x > 1Para x < 1

Límites. Ejemplos

3)( += xxf

5323limlim3lim222

=+=+=+→→→ xxx

xx

53lim2

=+→x

x

x f(x) x f(x)

1.5 4.5 2.5 5.51.9 4.9 2.1 5.11.95 4.95 2.05 5.051.99 4.99 2.01 5.011.999 4.999 2.001 5.001

Para x < 2 Para x > 2

Límites. Ejemplos

2

1)(x

xf =

x f(x)

-1 1-0.5 4-0.1 100-0.01 10,000-0.001 1,000,000

Para x < 0x f(x)

1 10.5 40.1 1000.01 10,0000.001 1,000,000

Para x > 0

20

1limxx→

Límites. Ejemplos

95.242.101.2)( 2

23

−++−+

=xx

xxxxf

( )( )( )( ) 5.4

21.4lim5.42221.4lim

95.242.101.2lim

2

2

2

22

23

2 +−+

=+−

−−+=

−++−+

→→→ xxx

xxxxx

xxxxx

xxx

( )( ) 1.57

5.62.10

5.4222.84

5.4limlim

2lim1.4limlim

5.4lim

21.4lim

22

22

2

2

2

2

2 ==+

−+=

+

−+=

+

−+=

→→

→→→

→

→

xx

xxx

x

x

x

xx

x

xx

5.421.4lim

95.242.101.2lim

2

5.42

23

5.4 +−+

=−+

+−+−→−→ x

xxxx

xxxxx

Límites. Ejemplos

( ) ex xx

=+→

1

01lim

x f(x) x f(x)

-0.5 4.0000 0.5 2.2500 -0.1 2.8680 0.1 2.5937 -0.01 2.7320 0.01 2.7048 -0.001 2.7196 0.001 2.7169

Para x < 0 Para x > 0

71828.2=e

Límites. Ejemplos

3)( −= xxf

03lim3

=−+→x

x

Límites. Ejemplos

1254)( 2

2

++

=xxxf

21lim2

5lim4

12

54

lim1254lim

2

2

22

2

22

2

2

2

=+

+=

+

+=

++

∞→

∞→

∞→∞→

x

x

xxx

xxx

xx

x

x

xx

21254lim 2

2

=++

∞→ xx

x2

1254lim 2

2

=++

−∞→ xx

x

Límites. Ejemplos

<≥+

=1si31si1

)(2

xxx

xf

( ) 21lim)(lim 2

11=+=

++ →→xxf

xx

33lim)(lim11

==−− →→ xx

xf

≠+→

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx→

∴

( ) ∞=+=∞→∞→

1lim)(lim 2xxfxx

33lim)(lim ==−∞→−∞→ xx

xf

Límites. Ejemplos

( )af( )xf

ax→lim

( ) ( )afxfax

=→lim

f aUna función es continua en , si y sólo si

i)

ii)

iii)

=≠

=1si21si

)(xxx

xf

xxf =)(

Discontinuidad en 1=x

Continua en ∞<<∞− x

Continuidad. Ejemplos

xxf 1)( =

Discontinuidadinfinita en 0=x


3)( 2 −= xxf

Continua en ∞<<∞− x


<−=>

=0si10si00si1

)(xxx

xf

)(lim0

xfx→

Discontinuidaden 0=x

1)(lim0

=+→

xfx

1)(lim0

−=−→

xfx


Curso Propedéutico

Álgebra y Cálculo




Álgebra Matricial

Notación

vector unitario

vector columna vector renglón

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

na

aM1

a ( )naa L1=Ta

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1

1Mi ( )11 L=Ti

Notación

matriz rectangular

matriz identidad

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nmn

m

aa

aa

L

MOM

L

1

111

A

matriz cuadradasi mn =matriz simétricasi jiaa jiij ≠∀=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

10

01

L

MOM

L

Imatriz cuadradacon

jiaia

ij

ii

≠∀=∀=

01

Sistemas de Ecuaciones Lineales

)1(102 L=+ yx)2(823 L=− yx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 8

1023

12yx

Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas

En forma matricial

En notación compacta

bAx =

Regla de Cramer

La solución al sistema de ecuaciones lineales incógnitas de la formaes

bAx =

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 4

728

132218210

2312

28110

1 =−−

=−−−−

=

−

−==

AA

x

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 2

714

132210382

231283

102

2 =−−

=−−

−=

−

==AA

y

-

Método de la Matriz Inversa

A partir debAx =

Despejando

bAIx 1−=

Premultiplicando ambos lados por 1A−

bAAxA 11 −− =

bAx 1−=

x


donde

( )AA

A Adj11 =−

Para el sistema de ecuaciones considerado:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=−

2312

2312

11 AdjA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−

=2312

71

2132

)1)(3()2)(2(1

T


x⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=−

72

73

71

72

1A

Por lo tanto, la matriz inversa de es

El vector de solución al sistema es

A

( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−== −

24

714728

87210

73

87110

72

810

72

73

71

72

1bAx

Notas generales

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

aaaa

A

22xALa matriz inversa deSea

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== −

2221

1211

2221

1211

1 11aaaa

Adj

aaaa

Adj AA

Ax

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=1121

1222

122122111112

2122

12212211

11aaaa

aaaaaaaa

aaaa

T

Notas generales

=∴ −1A

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−

12212211

11

12212211

21

12212211

12

12212211

22

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

Notas generales

=− AA 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−

2221

1211

12212211

11

12212211

21

12212211

12

12212211

22

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

IAAAA == −− 11

Demostración

I=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−

−+−

−−

−−

=1001

12212211

22111221

12212211

21111121

12212211

22121222

12212211

21121122

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

Notas generales

=−1AA⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12212211

11

12212211

21

12212211

12

12212211

22

2221

1211

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaa

I=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−

−−

−+−

−−

=1001

12212211

11221221

12212211

21222221

12212211

11121211

12212211

21122211

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

Notas generales

=Ix ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+××+×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

21

21

2

1

1001

1001

xx

xxxx

xx

=Ix T ( ) ( ) ( )21212121 10011001

xxxxxxxx =×+××+×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ejercicio

)3(9.154.72.65.4)2(8.106.78.54.3)1(1.117.23.49.7

L

L

L

=−−=−+=+−

zyxzyxzyx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

9.158.101.11

4.72.65.46.78.54.3

7.23.49.7

zyx

Resolver el siguiente sistema de tresecuaciones lineales en tres incógnitas

Planteamiento bAx =

Método de la Matriz Inversa 3x3

SoluciónbAx =

Despejando

bAIx 1−=bAAxA 11 −− =

bAx 1−=

x

donde

( )AA

A Adj11 =−


Para el sistema de ecuaciones considerado:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

−−−

−=−

4.72.65.46.78.54.3

7.23.49.7

4.72.65.46.78.54.3

7.23.49.711 AdjA


El determinante de es

4.72.65.46.78.54.3

7.23.49.7

−−−

−=A

A

7.9 -4.3 2.73.4 5.8 -7.6

---

-799.83108.188-372.248-70.47-147.0656.916--339.068 =+=A


La matriz adjunta de es

T

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−−

−−−−

−−−

−−

−−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

8.54.33.49.7

6.74.37.29.7

6.78.57.23.4

2.65.43.49.7

4.75.47.29.7

4.72.67.23.4

2.65.48.54.3

4.75.46.74.3

4.72.66.78.5

4.72.65.46.78.54.3

7.23.49.7Adj

A


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−−

−−−−

−−

−−−

−−−−

=

60.4429.6347.18-69.2270.61-9.04-17.0248.56-90.04-

31.269.2217.0229.6370.61-48.56-47.18-9.04-90.04-

8.54.33.49.7

6.74.37.29.7

6.78.57.23.4

2.65.43.49.7

4.75.47.29.7

4.72.67.23.4

2.65.48.54.3

4.75.46.74.3

4.72.66.78.5

T

T


Por lo tanto, la matriz inversa de es

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==−

60.4429.6347.18-69.2270.61-9.04-17.0248.56-90.04-

799.83-111 A

AA Adj

A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

0.03704537-0.03704537-0.058987530.08654339-0.01130240.01130240.02127952-0.06071290.11257392

799.83-60.44

799.83-29.63

799.83-47.18-

799.83-69.22

799.83-70.61-

799.83-9.04-

799.83-17.02

799.83-48.56-

799.83-90.04-

1A


Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛== −

95.030.0

57.1

9.158.101.11

0.03704537-0.03704537-0.058987530.08654339-0.01130240.01130240.02127952-0.06071290.11257392

1bAx

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