ALGEBRA CLS aXIIaLEGI DE COMPOZITIEDefinitie :Fie A o multime se numeste lege de compozitie pe A o regula prin care la oricare doua elemente asociem un element tot din A numit x compus cu y si notat in diverse moduri , , e.t.c.PARTE STABILA Definitie:Fie A o multime si ,,o” o lege pe multimea A. BA spunem ca B e parte stabila a lui A in raport cu legea,,o” daca atunci Exemple: Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+61) Sa se demonstreze ca e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o” e parte stabila daca atunci Fie adica x, y>2 sa demonstam ca xoy>2 xoy>2 xy-2x-2y+6>2 xy-2x-2y+4>0 x(y-2)-2(y-2)>0

(x-2)(y-2)>0dar x>2 si y>2 rezulta (x-2)(y-2)>0 deci e parte stabila2) Sa se demonstreze ca R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o”R\{2}e parte stabila daca atunci Fie adica x, y 2 sa demonstam ca xoy 2 Presupun xoy=2 xy-2x-2y+6=2 xy-2x-2y+4=0 x(y-2)-2(y-2)=0 (x-2)(y-2)=0 dar x 2 si y 2 rezulta (x-2)(y-2) 0 deci R\{2} e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o”3) Sa se demonstreze ca multimea H=(1,3) e parte stabila a lui R in raport cu legea ,,o”H e parte stabila daca atunci

1<x<3 -1<x-2<1 |x-2|<1

Fie |x-2|<1 si |y-2|<1 trebuie demonstrat ca |xoy -2|<1|xoy -2|<1 |xy-2x-2y+6-2|<1 |(x-2)(y-2)|<1 |x-2||y-2|<1ceea ce e adevarat tinand seama de faptul ca |x-2|<1 si |y-2|<1

4) fie sa se demonstreze ca M e parte stabila a

lui M3(R) in raport cu inmultirea matricelor M e parte stabila daca atunci si

rezulta

TABLA LEGII DE COMPOZITIE se poate face doar daca multimea pe care e definita legea e multime finita

* a1 a2 a3 a4

a1 a1*a1 a1*a2 a1*a3 a1*a4

a2 a2*a1 a2*a2 a2*a3 a2*a4

a3 a3*a1 a3*a2 a3*a3 a3*a4

a4 a4*a1 a4*a2 a4*a3 a4*a4

PROPRIETATI:ASCIATIVITATE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e asociativa daca (xoy)oz=xo(yoz) COMUTATIVITATE :Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea e comutativa daca xoy=yox ELEMENT NEUTRU : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A .Spunem ca legea are element neutru daca exista astfel incat xoe=eox=x Teorema: Elementul neutru daca exista e unic Observatie: in general pentru legile definite pe multime de numere egalitatea avand loc identificam coeficientii lui x din cei doi membriiELEMENTE SIMETRIZABILE : Fie A o multime si ,,o” o lege pe A care are element neutru . Spunem ca e simetrizabil daca astfel incat xox’=x’ox=e in acest caz x’ se numeste simetricul lui x Teorema: Daca x e simetrizabil simetricul lui x’ e unic Observatie : Pentru legile definite pe multimi de numere prcedez astfel :

plec de la xox’=e scot pe x’ in functie de x pentru expresia gasita pun conditia sa existe si sa faca parte din

multimea pe care e definita legea Exemplu:1)Pe R definim legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine elementele simetrizabileRezolvare : Elementul neutru: xoe=eox=x xe-2x-2e+6=x identificand coeficientiilui x obtinem e=3

e simetrizabil daca astfel incat xox’=x’ox=3

xx’-2x-2x’+6=3 x’(x-2)=2x-3 punand condita sa existe rezulta

cum rezulta ca orice element e simetrizabil , simetricul

lui e

Exemplu:2)Pe Z def legea xoy=xy-2x-2y+6 . Sa se determine elementele simetrizabile.Rezolvare :elementul neutru: xoe=eox=x xe-2x-2e+6=x identificand coeficientiilui x obtinem e=3

e simetrizabil daca astfel incat xox’=x’ox=3

xx’-2x-2x’+6=3 x’(x-2)=2x-3 punand condita sa existe rezulta

punem conditia ca si deci x-2 divide pe 1

rezulta x-2=1 sau x-2=-1 deci elementele simetrizabile sunt 3 si 1 OBSERVATIE:pentru legile definite pe multimi finite la care se poate construi tabla legii de compozitie proprietatile se pot vedea din tabla astfel:

comutativitate:daca tabla e simetrica fata de diagonala principala elementul neutru : e elementul pe linia caruia se regasesc elementele

multimi neschimbate elementele simetrizabile :sunt elementele pe linia carora gaseste

elementul neutruMONOIZI,GRUPURI . Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid daca legea ,,o”

e asociativa are element neutru

Definitie:Fie M o multime si ,,o” o lege de compozitie pe M spunem ca (M,o) are structura algebrica de monoid comutativ daca legea ,,o”

e asociativa are element neutru comutativa

Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca (G,o) are structura algebrica de grup daca legea ,,o”

e asociativa are element neutru orice element e

simetrizabil

Definitie:Fie G o multime si ,,o” o lege de compozitie pe G spunem ca (G,o) are structura algebrica de grup comutativ (abelian ) daca legea ,,o”

e asociativa are element neutru orice element e

simetrizabil comutativa

Definitie:Fie (G,o)un grup se numeste ordinul lui a si se noteaza ord(a) cel

mai mic numar natural n cu proprietatea ca unde e e elementul

neutru.Daca nu exista n cu aceasta proprietate atunci a are ordinul infinitDefinitie:Fie (G,o)un grup MG spunem ca (M,o) e subgrup al lui (G,o) daca:

M e parte stabila a lui G in raport cu legea ,,o” simetricul lui

Teorema: daca (M,o) e subgrup al lui (G,o) atunci M cu legea indusa are structura de grup Definitie:Fie (G,o) si ( H,) doua grupuri se numeste morfism intre cele doua grupuri o functie cu proprietatea Definitie:Fie (G,o) si ( H,) doua grupuri se numeste izomorfism intre cele doua grupuri o functie cu proprietatile

1) 2) f e bijectiva

Propritate : izomorfism intre (G,o) si ( H,) atunci f(e1)= e2 unde e1 este elementul neutru al lui (G,o) si e2 e elementul neutru al lui ( H,) INELE,CORPURIDefinitie:( A,+, )are structura de inel daca :

1) (A,+) grup abelian2) (A, ) monoid3) inmultirea e distributiva fata de adunare adica

x (y+z)=x y+x z si (y+z) x=y x+z x x,y,z ADefinitie :Daca in plus inmultirea e si comutativa se numeste inel comutativDefinitie :Elementul neutru de la + se numeste zeroul inelului ( ) Definitie :Elementul neutru de la a doua lege este elementul unitate al ineluluiDefinitie :Elementele simetrizabile in raport cu a doua lege de compozitie se numesc elemente inversabile in inel sau unitatile inelului Definitie: x,y A se numesc divizori ai lui zero in inel daca x,y astfel incat x y=Definitie: un inel fara divizori ai lui zero se numeste inel integru

Definitie: un inel comutativ fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate Definitie: un inel in care si x A x e invesabil (adica simetrizabil in raport cu a doua lege de compozitie )se numeste corp Observatie : un corp nu are divizori ai lui zero Definitie:Fie (A,+, ) (B,*, o) doua inele se numeste morfism de inele o functie f:A B cu proprietatile :

1) f(x+y)=f(x)*f(y) x,y A2) f(x y)=f(x)of(y) x,y A3) f(1)=f(1’) unde 1 este unitatea primului inel si 1’este unitate celui de-al

doilea inel Definitie: un morfism de inele se numeste izomorfism daca in plus fuctia e si bijectivaAnalog pentru morfism si izomorfism de corpuri INELUL CLASELOR DE RESTURI MODULO n Z n Fie n N* n 2 un numar natural fixat definim

=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 0 (clasa lui 0)=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 1 (clasa lui 1)=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul 2 (clasa lui 2)

……………..=multimea numerelor intregi care impartite la n dau restul n-1 (clasa lui n-1)

Multimea acestor clase de resturi o notam cu Zn={ , , ,…, } numita multimea claselor de resturi modulo n Pe aceasta multime definim doua legi de compozitie : Adunarea: restul impartirii lui x+y la nInmultirea ; restul impartirii lui x y la nProprietatile adunarii:

asociativitate comutativitate element neutru orice element e simetrizabil fata de + adica are un

opus Proprietatile inmultirii:

asociativitate comutativitate element neutru nu orice element e simetrzabil singurele elemente inversabile in Zn sunt numerele prime cu n

(Zn, +, )are structura de inel numit inelul claselor de resturi modulo n Observatie:

daca n e numar prim (Zn, +, ) are structura de corp pentru un sistem cu coeficienti in Zn se poate aplica regula lui Cramer

doar daca determinantul sistemului e numar prim cu n pentru o matrice coeficienti in Zn exista inversa ei doar doar daca

determinantul matricei e numar prim cu n A-1=(detA)-1 A* pentru polinoame cu coeficienti in Zn doar daca n e numar prim se

poate face impartirea