algebra completo anual aduni 2014

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materia preuniversitario 2015

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Page 1: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Preguntas Propuestas

ANUAL

ÁLGEBRA

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Page 2: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

2

Álgebra

Conjuntos numéricos y Operaciones básicas

1. Dadas las siguientes proposiciones – 2 ∈ Z ( ) 0 ∈ N ( ) 1/2 ∉ Q ( ) 0 3,

∈Q ( ) Z ⊂ R ( ) 43 ∈ I ( ) ¿cuántas son verdaderas?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

2. Dados los números x=9 – (6 – 5) – (– 2 – 1) y=5 – (– 7)+3 – (– 2) halle el valor de y – x.

A) 11 B) 17 C) 6D) 1 E) – 6

3. Sean los números a=20 ÷ 5+4 –17

b = + −( ) + ÷ −8 4 2 4 2 2· halle el valor de a+b.

A) – 4 B) – 2 C) 2D) 5 E) – 5

4. Calcule el número que falta. • 12+ ×4=120 • ÷ 2 – 3=12 Dé como respuesta la suma de los números

encontrados.

A) 36 B) 72 C) 62D) 70 E) 57

5. Dados los números

A B= + + = × +12

23

16

32

16

12

;

calcule el producto AB.

A) 2/3 B) 1 C) 1/2D) 1/6 E) 2

6. ¿Cuánto le falta al número

S = ÷

−3

512

0 3,

para que sea igual a la unidad?

A) 1/10 B) 1/15 C) 2/5D) 2/15 E) 3/10

7. En Q se define el operador * por a * b=ab+a+b.

calcule el valor de 213

312

* *

+

.

A) 10 B) 8 C) 5D) 3 E) 2/3

8. Si Alejandra tuviera 8 años menos tendría 35, y si Ulises tuviera 10 años más tendría 25. ¿Cuán-tos años es más joven Ulises que Alejandra?

A) 25 B) 26 C) 27D) 28 E) 29

Leyes de exponentes I

9. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. 12

13

14

2872 3 4

+

+

=− − −

II. 5 5 5 5 53 3 3 3

510

13+ + + + =...

sumandos

� ����� �����

III. x x2 3 2232

( )( ) = para todo x ∈ N – {1}

A) solo IIB) ningunaC) todasD) I y IIE) solo I

Page 3: Algebra Completo Anual Aduni 2014

3

Álgebra10. Si se cumple que

2 2 2 2 22 1

13· · ·...·x

x

+( )

−=factores

� �� ��

calcule el valor de x2.

A) 3 B) 2 C) 8D) 16 E) 4

11. Calcule el valor reducido de M.

M = × × × ×

( ) ×

5 5 5 15

5

7

2 15

...10 factores

43

� �� ��

A) 25 B) 3 C) 15D) 5 – 1 E) 25/3

12. Simplifique la expresión

3 9

3

2 21

2

xx

x

+ −

−−

A) 81 B) 27 C) 80D) 26 E) 72

13. Calcule el valor de M.

M =( ) + ( )

( )7 30 3 30

2 3 5 10

4 4

5 4 3 2· · ·

A) 1 B) 2 C) 4D) 1/2 E) 1/4

14. Calcule el valor de S.

S =

+

+

−14

12

13

12

2 12

11

( )10 0

A) 300 B) 265 C) 641D) 275 E) 263

15. Si se cumple que

x xy y

y

xx ym n2 2 3 1

2

2

11( )

=−

−+· · ·

calcule el valor de m · n – 1.

A) 3 B) 2 C) 3/2D) 1/3 E) 2/3

16. Si se cumple que

3 2792 1 3x x+= , ¿cuánto vale x?

A) – 2/3 B) – 1/3 C) – 1/2D) 2/3 E) 1/3

Leyes de exponentes II

17. Señale el valor de verdad de las siguientes afir-maciones.

I. 13

279

12

=−

II. 0 0001 10002 ,( ) =−mm

III. 3 5 4 5 7 533 33 3· ·+ =

e indique la secuencia correcta.

A) VVV B) FVV C) VFVD) VFF E) FVF

18. En la ecuación exponencial

m m mx xx x17 5 23+ =

con m > 0, determine el valor de x2+5x.

(m ≠ 1)

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

19. Si 32x equivale a 5, calcule el equivalente de

25 6 11

2

xx

x

− .

A) 1 B) 2 C) 5D) 6 E) 3

Page 4: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

4

Álgebra

20. Si se cumple que

14

22

12

4

=

x

,

¿cuánto vale x?

A) 1/2B) 2/3C) 1/4D) 1/3E) 1/8

21. Simplifique la expresión

x x x

x x x

· ·

· ·

2 33

3 4; si x > 0

A) x –1 B) x C) x2

D) x3 E) 1

22. ¿Qué valor debe tomar m para que se verifi-que la igualdad

0 1 0 01 0 001 102, · , ,( ) ( ) =− −m m ?

A) 1112

B) −1115

C) 118

D) 1211

E) − 1112

UNMSM 2009 - I

23. Si x = 2 2 2333 · · ... , calcule el valor aproximado

de x18

.

A) 0 2,

B) 0,3 C) 0,2D) 0 3,

E) 0,9

24. Calcule el valor aproximado de

2 42 42 42+ + + + ...

A) 1 B) 4 C) 2D) 6 E) 3

Productos notables I

25. Si se cumple quex2+x+1=0reduzca la expresión[5(x2+x)]3+[(x+4)(x – 3)]2

A) 44 B) – 125 C) 169D) 121 E) 64

26. Si se cumple que x2+8x+16=0; y2+4x+4=0indique el valor numérico de xy.

A) 16 B) 1

16 C) – 16

D) −1

16 E) 8

27. Si 2x – 2 – x=3, determine el valor de (42x+1)/4x.

A) 7 B) 11 C) 12D) 8 E) 16

28. Simplifique la siguiente expresión.

a b a bb a b a

b a+( ) − +( )

+( )( ) ≠−

2 22 2

;

A) 1 B) 2 C) 3D) –1 E) – 2

29. Simplifique la expresión1

3 22

5 33

5 2++

+−

+

A) 3 B) 2 C) 5D) 1 E) 0

30. Reduzca la expresión

a b a b

a b ab

+( ) − −( )

−( ) +

4 4

2 2

A) – ab B) ab C) 2abD) 8ab E) 4ab

Page 5: Algebra Completo Anual Aduni 2014

5

Álgebra31. Si se cumple que

x x− + =10 25 0

indique el valor numérico de x5

52

+

.

A) 25 B) 625 C) 100D) 10 000 E) 0

32. Si se cumple quea – b=6a2 – b2=84determine el valor de a+b+ab.

A) 40 B) 14 C) 54D) 12 E) 64

Productos notables II

33. Si m > 0, reduzca

m m m m m m2 2 1 14 6 2+ + +( ) + ÷ + +( )− − −

A) 2 B) 1 C) 4D) 1/2 E) 1/4

34. Si a b c a b c+ + = + + =

2 34

2 2 2

halle el valor de ab+ac+bc.

A) 24 B) 12 C) 26D) 13 E) 52

35. Reduzca la siguiente expresión

1 2 5 2 2 1 2 13

+( ) −{ }÷ +( ) −( )

A) 9 B) 5 C) 7D) 2 E) 1

36. Si a b ab− = ∧ =313

,

determine el valor de a3 – b3.

A) 32 B) 33 C) 30D) 24 E) 27

37. Si xx

+ =42, halle el valor de x3.

A) – 3 B) – 1 C) – 27D) – 8 E) – 2

38. Determine el valor numérico de J para n=17.

J n n n= +( ) − +( ) −2 4 23 1 1 1

A) 17 B) 625 C) 169D) 225 E) 289

39. Si a = −1 2, b = +2 44 y c=– 3,

determine el valor de abc

cab

bac

2 2 2+ + .

A) 1 B) 0 C) 7D) 3 E) 6

40. Si n y m son números reales, determine el va-lor de n+m si se sabe quen2 – 4n+4m2=– 4m – 5

A) 1B) – 1C) 1/2D) 5/2E) 3/2

Claves

Page 6: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

6

Álgebra

Expresiones matemáticas

1. Dada la expresión exponencial

f(x)=3x

determine el valor reducido de la expresión

M=f(10) f (5) f (–11)

A) 27 B) 9 C) 81

D) 3 E) 243

2. Si P x xx( ) = + −1indique el valor reducido de

K=P(1)+P(2)+P(3)+... P(8)

A) 2 B) 2 C) 2 1−D) 2 2 E) – 2

3. Se define la expresión

P(n)=an+bn; a ≠ b

reduzca la expresión

(a – b)P(1)P(2)P(4)+b8

A) a8 – b8 B) a8 C) a8+b8

D) b8 E) 0

4. Sea E una expresión matemática de modo

que E(x; y)=x+y – E(x; y)+1. Calcule el valor de

E(1; 2)+E(3; 4).

A) 9/2 B) 6 C) 8

D) 9 E) 10

5. Definimos la expresión A como

A xx x

x( )

;;

= ≤ ≤< <

2 0 32 3 5

sisi

Determine el valor de A(A(2))+A(A(1))+A(3).

A) 8 B) 10 C) 12

D) 14 E) 9

6. Sea R(x)=ax+b y

P(x)=(x – 2)2+(x+1)2+R(x)

tal que P(2)=13 ∧ P(–1)=10indique R(x)

A) x –1 B) x+1 C) x+2D) 2x+1 E) x –2

7. Sea P(x – 2)=5(x – 3)4+x

determine P(2)+P(0).

A) 9 B) 7 C) 16D) 15 E) 11

Polinomios I

8. Se define la siguiente expresión matemática A(x+1)=A(x)+x+2tal que A(0)=3determine el valor de A(10).

A) 68 B) 70 C) 78D) 18 E) 66

9. Dado el polinomio

P(x)=((n+1)2 –16)x10 – n2+(n+3)xn – 2+n

determine el valor de P(1)+P(2) si n es impar.

A) 9 B) 0 C) 24D) 2 E) 10

10. Sea P(x) un polinomio cuadrático de coeficien-te principal 1 tal que P(0)=4 ∧ P(2)=14, indi-que P(1)

A) 8 B) 4 C) 16D) – 8 E) 0

11. Dada la expresión f(x+1)=3x+5 tal que f(g(x))=3x –1, indique g(10).

A) 1 B) 9 C) – 9D) 0 E) 20

Page 7: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

7

Álgebra12. Dada la expresión matemática

P(x+1)=x(x+2)

determine P(x).

A) (x –1)(x – 2)

B) x2

C) x2 –1

D) x2 – 22

E) x(x –1)

13. Se sabe que

A(x)=2x+5 y A(B(x+1))=x+4

determine B(x).

A) x −12

B) x − 2

2 C) x +1

2

D) x − 23

E) x −13

14. Dada la expresión matemática

L(x+1)=(x+2)2+2010

determine el equivalente deL x L x( ) ( )− − 2

4

A) x –1 B) x2

C) 4x

D) x E) 1

15. Dada la expresión P de modo que

P(x)=(2x+1)(22x+1)(23x+1)...(210x+1)

determine el equivalente deP xP x( )( )2

A) 2 12 1

11xx

−−

B) 2 12 1

10 xx

++

C) 2 12 1

10 xx

−+

D) 2 12 1

11xx

+−

E) 2 12 1

11xx

++

16. Si f(x –1)=x2+2x y

f(a) – f(b)=b – a

¿Cuál es el valor de a+b+5?

A) 0 B) 5 C) –1

D) 1 E) – 2

UNMSM 2004 - II

Polinomios II

17. Sea P un polinomio constante, de modo que

P P

P

11 2

41

( ) +( ) +

=( )

ππ

entonces halle el valor de P(2012).

A) 2 B) 2012 C) 12

D) 4 E) 1

18. Sean los polinomios

M(x)=3x+n

N(x)=px2+6qx – 2

tal que R(x)=M(x)+N(x), determine el valor de

nq+p, si R(x) es el polinomio idénticamente

nulo.

A) – 3 B) 2 C) –1

D) 0 E) 4

19. Si el polinomio ax2+bx+c es idéntico al

polinomio (2x+2)(x – 3), ¿cuál es el equivalente

de abc?

A) 48 B) 212 C) –12

D) 32 E) 54

20. Si el polinomio P(x)=(x+2)3(x+1)2 es idéntico

al polinomio H(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+8,

determine el valor de a – b+c – d

A) –10 B) – 9 C) 7

D) – 8 E) – 7

Page 8: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

8

Álgebra

21. Si f(1)=0 tal que f(x)=x4+(n – 4)x3 – 5x2+n;

determine el término independiente de dicho

polinomio.

A) – 4 B) – 5 C) 5

D) 6 E) 4

22. Con respecto al polinomio

P(x)=(x –1)6 – x5+x2+2

Indique verdadero (V) o falso (F) según co-

rresponda.

I. Es de grado 6.

II. La suma de coeficientes es 2.

III. Su término independiente es 2.

A) VVF B) FFV C) FVV

D) VVV E) FVF

23. Dado el polinomio P(x –1)=2x2+(x – 2)6+x – 5,

indique verdadero (V) o falso (F) según co-

rresponda.

I. Su término independiente es – 5.

II. La suma de coeficientes es 5.

III. P(n)=2(n+1)2+(n –1)6+n – 4.

A) FFF B) FFV C) VFV

D) VVV E) FVV

24. Dada la secuencia de polinomios

P1(x)=1

P2(x)=2x+1

P3(x)=3x2+2x+1

P4(x)=4x3+3x2+2x+1

Calcule la diferencia entre, la suma de coefi-

cientes del polinomio P10(x) y el término inde-

pendiente de polinomio P12(x).

A) 66 B) 21 C) 64

D) 56 E) 54

División algebraica I

25. Si la división

( )x x

x

− + ++

2 12

1

10 7

2

genera un cociente cuya suma de coeficientes

es igual a 3, entonces, determine la suma de

coeficientes del resto.

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

26. Determine el resto de la siguiente división.

( )( )

x xx x− + +

−1 1

1

8 4

A) 2x+1 B) 2x C) 2

D) 1 E) x+1

27. Si al efectuar la división

6 7 4 10 3

3 2

4 3 2

2x x x x

x x

− − + −+ −

de obtiene como cociente y resto a q(x) y R(x)

respectivamente, halle q(x)+R(x).

A) 2x2

B) x2+6x

C) 2x2+2

D) 2x2+6x+2

E) 3x+2

28. Determine la suma del cociente con el resto

que genera la siguiente división.

15 1 2 2

5 2

5 2 4

3 2x x x x

x x x

+ + + +− +

A) x2+5x+1

B) 2x2+5x

C) x2 – x

D) x2+5x

E) x2+3x

Page 9: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

9

Álgebra29. Si la división

x n x x

x

n + − + −−

( )3 2

1

3

2

genera un cociente de grado 3, determine

dicho cociente.

A) x3+x+3

B) x3+3x

C) x3+3x2+1

D) x3+2x

E) x3+3

30. Determine el valor de 2b+a, si se sabe que la

siguiente división es exacta.

a bx x x

x x

+ + ++ −2 3

2

3 4

2

A) 6 B) 4 C) 2

D) 3 E) 0

31. Al dividir D(x)=2x12 – 5x9+x6+3x3+5 en-

tre x6 – 3x3+2 se obtiene como cociente a

q(x)=axn+bx5+cx3+d; entonces, ¿cuál es el

valor de n+a+b – c – d?

A) 10 B) 12 C) 8

D) 5 E) 7

32. Calcule el valor de a para que el polino-

mio 6x4+11x3+ax2 – 7x – 3a sea divisible por

3x2+4x+5.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

División algebraica II

33. Determine el coeficiente del término lineal

del cociente que genera la siguiente división.

14 3 2 7 87 1

5 4 3 2x x x x xx

+ + − + −−

A) – 7 B) 7 C) 2

D) 1 E) –1

34. Determine la suma del resto con el término

independiente del cociente de la siguiente di-

visión.

x x x x xx

9 7 6 5 42 3 4 82

− − − − − −−

...

A) 21 B) 20 C) 19

D) 18 E) 17

35. Al efectuar la división

3 12 23 1

4 3 2x ax x bxx

+ + + +−

se obtiene un cociente tal que sus coeficientes

son números impares consecutivos. Halle el

resto.

A) 3 B) 6 C) 9

D) 12 E) 1

36. Indique verdadero (V) o falso (F) según

corresponda.

I. El resto de ( ) ( )x x xx

+ + + ++

3 12

7 5 es – 2.

II. El resto de x x xx

10 82 21

+ − +−

es 4.

III. El resto de 3 2

3 1

10 9x xx− +−

A) FVV B) VFV C) VVF

D) VFF E) VVV

Page 10: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

10

Álgebra

37. Halle el residuo de la siguiente división

x

x

4

281

9

−+

A) x2+9

B) 0

C) x2 – 9

D) x2 – 3

E) x2+3

38. Determine el resto de la siguiente división.

x x x x

x

2 5 4 3

23 10

4

−( ) + + + −−

A) 17

B) – 3

C) 2x+5

D) 5x+7

E) 7x+5

39. Si el resto de P xx( )

es 1 y el resto de P xx( )−1

es 2,

determine el resto de la división P x

x x

( )2 −

.

A) x –1

B) x+1

C) 2x

D) 2x+1

E) 3x+1

40. ¿Qué condición debe cumplir los números

reales b y c para que el polinomio x2+bx+c se

divisible por x –1?

A) b – c=1 B) b+c=1 C) c – b=2

D) b – c= –1 E) b+c= –1

Claves

01 - C

02 - A

03 - B

04 - B

05 - C

06 - D

07 - C

08 - A

09 - C

10 - A

11 - B

12 - C

13 - B

14 - D

15 - E

16 - A

17 - D

18 - C

19 - A

20 - E

21 - E

22 - A

23 - E

24 - E

25 - C

26 - C

27 - A

28 - D

29 - B

30 - B

31 - E

32 - E

33 - E

34 - C

35 - C

36 - E

37 - B

38 - D

39 - B

40 - E

Page 11: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

11

Álgebra

Factorización I

1. Factorice el siguiente polinomio.

P(a; b; c)=a2+ab+ac+a+b+c

A) (a+b+c)2B) (a+b)(a+c)C) a(a+b+c)D) (a+1)(a+b+c)E) (a+1)(a+b)(b+1)

2. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente po-linomio?

T(a; b)=a3+a2b+ab2+b3

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. Si f (x; y)=ax+by es un factor primo del polino-

mio Q(x; y)=2x3y2 – 2x2y+xy2 – x2y3, evalúe f (a; b).

A) 1 B) 2 C) 4D) 5 E) 10

4. Si el polinomio P(n)=n 3+2n 2+n+2 tiene m

factores primos, determine el número de factores primos que presenta [P(x)]

m+1.

A) 3 B) 9 C) 6D) 2 E) 4

5. Respecto al polinomio sobre Z

R(a; b)=3a2+a2b+2ab+6a+b+3

indique lo correcto.

A) Admite un factor primo cuadrático.B) Admite tres factores primos.C) Admite solo un factor primo lineal.D) Admite dos factores primos lineales.E) No admite factores primos.

6. Determine un factor primo del siguiente poli-nomio.P(a; b; x)=(ax – 3b)2 – (bx – 3a)2

A) x+a B) x – a C) a – 3D) x+b E) a – b

7. Si f (x; y)=ax+by; a > 0 es un factor primo del polinomio Q(x; y)=(x2 – 2y2)2 – x2 y2, calcule el mayor valor de f(1; – 1).

A) – 1 B) 0 C) 1D) 2 E) 3

8. Si f(x) es el factor primo de mayor término independiente del polinomioP(x)=x2+2 nx – 1+n2 y, además, f (1)=2012, halle el valor de n.

A) 2007B) 2008C) 2009D) 2010 E) 2011

9. Halle la suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio P.P(x)=a2b2x2+(a3+b3)x+ab

A) a2+1 B) a+2b C) a+b

D) a2+b2 E) 2a+b

10. Si f (x)=x – 2 es un factor primo del polinomio P(x)=ax3 – 2ax2+a2x – 8, determine el menor valor de a.

A) – 4 B) – 2 C) – 1D) 2 E) 4

Page 12: Algebra Completo Anual Aduni 2014

12

ÁlgebraFactorización II

11. Si (x2+a) es un factor del polinomio P(x)=x3+x2+9x+9, entonces halle el valor de a.

A) 9 B) – 9 C) 1D) – 1 E) 3

12. Si el polinomio P(x)=x3+βx2 – x+1 tiene una raíz entera, entonces halle el valor de β.

A) 1 B) 2 C) – 2D) – 1 E) – 3

13. Halle el equivalente de la expresión P(x)=x3 – 3x+2

A) (x+1)(x – 1)(x+2)B) (x 2 – 2x+2)(x+1)C) (x – 1)2(x+2)D) (x 2+2x+2)(x – 1)E) (x2 – 2x – 2)(x+1)

14. Si 2 es raíz del polinomio P(x)=x 3+3x2 – 6ax+2aindique el factor primo de mayor suma de coeficientes.

A) x – 2B) x 2+5x – 2C) 2x – 1D) x 2+5x – 1E) x 2 – 5x – 2

15. Halle la suma de los factores primos del poli-nomio P(x)=x3 – x2 – x+1.

A) 3x – 1 B) 2x+1 C) 3x+1D) 2x – 1 E) 2x

16. Factorice el polinomio P(x)=x3 – 2x2 – 5x+6indique la menor suma de coeficienes de un factor primo.

A) – 4 B) – 2 C) 0D) 1 E) 3

17. Halle un factor primo del siguiente polinomioT(x)=2x3 – 3x2 – 8x – 3

A) 2x+1 B) 2x – 1 C) x+3D) x – 1 E) 2x+3

18. Si 2 es una de las raíces del polinomioP(x)=2x3 – x2 – 5x+m

Halle el factor primo de mayor suma de coeficientes de P(x).

A) x – 2 B) x – 1 C) 2x+1D) x+1 E) x+2

19. Respecto al polinomio sobre QR(x)=x3+2x – 1indique lo correcto.

A) Admite 3 factores primos.B) Admite un factor primo lineal y otro factor

primo cuadrático.C) Admite dos raíces racionales iguales.D) f (x)=x+1 es un factor primo.E) R(x) es primo sobre Q.

20. Respecto al polinomio sobre QS(x)=x4+2x3+2x2+3x – 2indique lo correcto.

A) No es factorizable.B) Es factorizable por aspa doble especial.C) Admite una raíz igual a 2.D) Admite dos factores primos cuadráticos.E) Un factor primo es de tercer grado.

Page 13: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

13

Álgebra

Introducción a los números complejos

21. Determine el valor reducido de la expresión i+2i2+3i3+4i4

A) 2 – 2i B) 2+2i C) 2iD) 0 E) – 2i

22. Dado el complejoz=1+i –1+i – 2+i – 3+i – 4+i – 5

calcule Re(z)+Im(z).

A) –1 B) 0 C) 1D) i E) –i

23. Si los números complejosz=(a+b)+yi; w=x+(a – b)ison iguales y, además, a2+b2=8, indique el valor de x2+y2.

A) 1 B) 4 C) 8D) 16 E) 8

24. Dados los complejosz=1+2i ; w=2 – iindique Re(zw).

A) – 4 B) –1 C) 3D) 4 E) 12

25. Sean los números complejosz1=a+3i ∧ z2=b+4icalcule el valor de a+b si se sabe quez1(1– i)=(1+i) z2

A) 1 B) 0 C) –1D) 2 E) 3

26. Determine el valor reducido de la expresión R=(2+i)2 – 2(2+i)

A) 1 – 2i B) – 1+2i

C) 1+2i

D) – 1 – 2i

E) 2i

27. Reduzca la siguiente expresión

P=(1 – i)2+(1 – i)4

A) 2+i

B) 4 –2i

C) 4+2i

D) – (2 – i)

E) – 2(2+i)

28. Respecto al número complejo z= – 5+12i

indique lo incorrecto.

A) z= – (5+12i)

B) z*=5 –12i

C) z = +165 16

D) Im(z)=12i

E) Re(z)+Im(z)=7

29. Determine el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

p: si z=1+i, entonces, z2=2i

q: si z=1– i, entonces, z3=– 2+2i

r: si z=1+i, entonces, zz

i=

s: si z=1– i, entonces, z4=( z )4

A) VVVV B) VFVF C) VFVV

D) VFFF E) VFFV

30. Sea Z=3+2i; W=2 – i

indique el valor reducido de la expresión

F=Z · Z+W · W

A) 18 B) – 18 C) 20

D) – 20 E) 13

Page 14: Algebra Completo Anual Aduni 2014

14

ÁlgebraEcuaciones

31. Si 2 es solución de la ecuación polinomial de variable x.

2x3 – ax2+ax – 2=0, deermine el valor de a.

A) 7 B) 6 C) 5

D) 4 E) 3

32. Si a es solución de la ecuación

x2 – x+3=0

determine la expresión equivalente a a5.

A) a –17

B) a+17

C) 2a+17

D) 2a –1

E) a+15

33. De la siguiente ecuación de x:

n(n – 1)x=(n2+n – 2)n

indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.

I. Si n=0, es compatible determinado.

II. Si n=1, es consistente.

III. Si n=– 2, es compatible indeterminado.

A) VVV

B) FVF

C) VFV

D) FVV

E) FFF

34. Despeje la incógnita x en la siguiente ecuación

a(x – a)+2bx=b(b+2a+x),

si se sabe que a ≠ – b.

A) a +12

B) a+b C) a2+b2

D) ab E) a2+b2+2ab

35. Dada la ecuación

b(x+a) – a[b – (x – b+a)+a]=a2; b ≠ 0.

Si luego de despejar la incógnita x en la ecua-

ción se obtiene la expresión 2 – a, entonces el

valor de a es

A) 1 B) – 1 C) 12

D) −12

E) 3

36. Resuelva la ecución lineal siguientex x+ = +23

32

A) {– 1}

B) {– 5}

C) {1}

D) {– 1}

E) {– 5}

37. Sean las siguientes expresiones

A=3 – {x – 4(3 – x)} – ( – x+3)

B=4x – 2(x – 5) – ( – 2x+7)

¿Cuál debe ser el valor de x para obtener A=B?

A) 0 B) 98

C) −98

D) 89

E) 158

38. Resuelva la siguiente ecuación lineal

x x x x2 6 12 20

112

113

114

+ + + = +

+

+

A) 258

B) 282

C) 6

D) 16

E) {6}

Page 15: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

15

Álgebra

39. Se tiene que la ecuación2 511

47 3

1x x x+ + + = +

presenta como conjunto solución a CS={a}. Determine el valor de a4 – 2a2+1.

A) 49 B) 9 C) 242

D) 144 E) 64

40. Determine la solución de la ecuación de incóg-nita x.

x x k ik

n

i

n+ +( ) =

= =

+

∑ ∑1 1

1

A) 14

B) 12

C) 1

D) −12

E) −14

Ecuación cuadrática I

41. Si x1 es una de las raíces de 12x2 – 4x – 16=0, entonces, indique lo correcto.

A) 2 31031x + =

B) x123

+

∈Z+

C) x12 25

3=

D) 3 4 313 x + =

E) x1 ∉ Q

42. Calcule la mayor raíz de la siguiente ecuación cuadrática.

(x – 3)(x – 5)=2(x – 3)

A) 6 B) 7 C) 9

D) 11 E) 3

43. De la siguiente pareja de ecuaciones cuadráticos

3 5 2 0

6 67 42 0

2

2

x x

x x

− + =

− + =

Calcule la raíz en común.

A) 212

B) 23

C) 1

D) 2 E) – 1

44. Si a y b son raíces de la ecuación cuadrática

2x2 – 6x+8=0. Determine el valor de 2 2a b+ .

A) – 1 B) 15

C) 34

D) 65

E) 32

45. Si x2+x+1=0 tiene raíces a y b.

Indique el valor de (a+b)+(a2+b2)+(a3+b3)

A) 1 B) 2 C) 10

D) – 1 E) 0

46. Si x1 ∧   x2 son raíces de la ecuación

x2 – 6x+1=0

halle el mayor valor de x15 x2

3 – x25 x1

3.

A) 20 2 B) 18 2 C) 12 2

D) 24 2 E) 0

47. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación

x2 – 4x+2=0, halle el valor de

xx

xxx

x12

21

22

123 3+ + +

A) 32 B) 64 C) 16

D) 24 E) 48

Page 16: Algebra Completo Anual Aduni 2014

16

Álgebra48. Si la ecuación cuadrática

x2 – (m+3)x+m+3=0

tiene CS={ab+1; ab}

calcule la suma de valores que toma m.

A) –1 B) – 2 C) – 3

D) – 4 E) – 5

49. Si la ecuación cuadrática

(13 – m)x2 – x+(mn+n+m)=0

tiene raíces recíprocas y además

{m; n} ⊂ Z+ ∪ {0}, calcule la suma de valores

que puede tomar (m+n).

A) 15

B) 18

C) 23

D) 27

E) 31

50. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación x2+px+25=0 tal que 5x1=x2, indique el mayor valor de p.

A) 5 5 B) −6 5 C) 6 5

D) −5 5 E) 5

Claves

01 - D

02 - B

03 - D

04 - D

05 - D

06 - E

07 - E

08 - D

09 - C

10 - B

11 - A

12 - D

13 - C

14 - B

15 - E

16 - B

17 - A

18 - C

19 - E

20 - E

21 - A

22 - B

23 - D

24 - C

25 - C

26 - B

27 - E

28 - A

29 - C

30 - A

31 - A

32 - E

33 - B

34 - B

35 - A

36 - B

37 - B

38 - A

39 - E

40 - C

41 - B

42 - B

43 - B

44 - E

45 - E

46 - D

47 - A

48 - B

49 - C

50 - C

Page 17: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

17

Álgebra

Ecuaciones cuadráticas II

1. ¿Para qué valores del parámetro k la ecuación

x xb2 74

0− + = presenta raíces reales y diferentes?

A) b > 49 B) b ∈ R C) b < 50D) b > 50 E) b < 49

2. Determine los valores del parámetro k de modo que la ecuación x2+kx+k+8=0 presente raí-ces iguales.

A) 8 y 4 B) 8 y – 4 C) – 8 y – 4D) 6 y – 2 E) – 6 y 2

3. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.

I. La ecuación 53

535

02x x− + = presenta raí-

ces reales y diferentes.

II. La ecuación 34

63

29

02x x+ + = presenta raí-

ces reales pero iguales.

III. La ecuación nx nx2 n12

0+ + +

= no tiene so-

luciones reales para cualquier valor n ∈ Z+.

A) FVV B) VVF C) VFVD) VVV E) VFF

4. Determine el menor valor de k para que la ecuación2x2 – (k – 0,5)x+4,5=0presente como conjunto solución a CS = { }1α .

A) – 5,5 B) – 7,5 C) – 3,5D) – 2,5 E) – 4,5

5. Determine una ecuación cuadrática de raíces2 2

1 2x x∧

tal que la ecuación x2 – 4x+2=0 posee raíces x1 ∧ x2.

A) x2 – 6x+1=0B) 2x2 – 8x+4=0

C) x2 – 3x+4=0D) 3x2 – 12x+5=0E) x2 – 6x – 5=0

6. Halle la ecuación cuadrática de raícesx

xx

x1

1

2

2

1 1+∧

+

si x2 – 3x+4=0 tiene como CS={x1; x2}

A) x2 – 3x+1=0B) 4x2 – 11x+8C) 2x2 – 3x+11=0D) 8x – 22x+15=0E) x2 – 5x+7=0

7. Si las ecuaciones cuadráticas(m – 1,5)x2 – (n – 1)x+5=0(m+3)x2 – (n+2)x+2=0son equivalentes, calcule el valor de n – m.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8. Si a es la raíz común que presentan las ecua-cionesx2+(m3+1)x – 15=0x2 – (23 – m3)x+12=0determine la suma de las raíces no comunes.

A) 9 B) – 9 C) 1D) – 1 E) 0

9. Si la ecuación x2 – 3x+(2n – 1)=0 tiene raíces positivas, calcule la variación de n.

A) n ∈

1213;8

B) n ∈ −∞

;138

C) n ∈ R

D) n∈121;

E) n ∈ + ∞12;

Page 18: Algebra Completo Anual Aduni 2014

18

Álgebra10. Si las siguientes ecuaciones presentan una raíz

en común5x2+ax – 1=0 a ≠ 45x2+4x+b=0 b ≠ – 1determine dicha raíz.

A) ab−+41

B) ab

C) 1

D) ba+−14

E) ba−−14

Ecuaciones de grado superior

11. Resuelva la siguiente ecuación polinomialx3 – 3x2 – 25x+75=0

A) { – 1; 1; 0}B) {3; 5; 7} C) { – 2; 0; 1}D) { – 5; 3; 5}E) { – 3; – 2; 1}

12. Sean x1, x2 y x3 las raíces de la ecuación

x3 – kx2+15kx – 3=0.Calcule el valor de k si se sabe que

1 1 135

1 2 3x x x+ + =

A) 3 B) 2 C) 7D) 1 E) 9

13. Calcule el valor de l si se sabe que la ecuación x3+7x2 – lx – 27=0 tiene raíces en progresión geométrica.

A) 27 B) – 19 C) 3D) 17 E) 21

14. Si a, b, c son raíces de la ecuación x3+mx+52=0; determine el valor numérico de a3+b3+c3.

A) – 52 B) 52 C) – 156D) 156 E) 106

15. Dada la ecuación polinomialx3 – 5x2+11x – 10=0indique la suma de soluciones no reales.

A) 3 B) – 3 C) 5D) – 5 E) 10

16. Determine el valor de b si se sabe que 2 3−( )es una de las raíces de la ecuación3x3+ax+b= – 8x2 de coeficientes racionales.

A) 10 B) 20 C) 30D) – 15 E) 18

17. Dada la ecuación

x3 – 6x2+mx+2n=0; m, n∈R

de raíces x1, x2 y x3

calcule el valor de x x x12

22

32+ + si se sabe que

x1=4+i.

A) 17B) – 2C) 34D) –1E) 15

18. Se sabe que 1 2+ i es una de las raíces de la ecuación polinomial2x3+ax2+bx+6=0; {a; b} ⊂ REntonces, ¿cuál es el valor de a3+a2+2?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) – 2

19. Indique la ecuación polinomial de grado 3 tal que su conjunto solución es CS={– 2; 2; 5}

A) x3+5x2 – 4x+20=0B) x3 – 5x2 – 4x – 20=0C) x3 – 5x2 – 4x+20=0D) x3+5x2 – 4x – 20=0E) x3 – 5x2+4x – 20=0

Page 19: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

19

Álgebra

20. Si los números – 3 y – 5 son raíces múltiples del polinomio P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, indique el valor numérico de a+b+c+d.

A) 576 B) 575 C) 577D) 0 E) 1

Ecuación bicuadrada y fraccionaria

21. Resuelva la siguiente ecuación3x4 – 39x2+108=0

A) {– 3; 3; – 2; 2}

B) 313

313

; ; ;− −{ }C) 2 2

12

12

; ; ;− −{ }D) 1 1

32

32

; ; ;− − −{ }E) {}

22. Dada la ecuación bicuadrada

x4 – (b+6)x2+4b2=0

calcule el valor positivo de b si se sabe que la diferencia de dos de sus raíces opuestas es 2.

A) 2/3 B) 3 C) – 6

D) 5/4 E) 1

23. Dada la ecuación

2009x4 – 2007x2+1=0

de raíces x1, x2, x3 y x4

calcule el valor de

x12009+ x2

2009+ x32009+ x4

2009

A) 2009 B) 2007 C) senp

D) sen≠2

E) cosp

24. Dada la ecuación bicuadrada

x4 – x2+5=0

de raíces x1, x2, x3 y x4

calcule el valor de

E x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + +13

23

33

43

12

22

32

42

1 2 3 4

A) 0 B) – 2 C) 2

D) 1 E) 4

25. Determine la suma de la mayor y menor solu-ción de la ecuación bicuadrada

x4 – (4a2+9)x2+36a2=0; si a > 1,5

A) 2a+3 B) 2a C) 2a – 3

D) – 2a – 3 E) 0

26. Resuelva la siguiente ecuación

x xx

x xx

x2 22

12

12

+ −−

+− −+

= −

A) {– 2}

B) {2}

C) {2; – 2}

D) {0; 2}

E) {2; – 2; 1}

27. Determine el conjunto solución de la ecuaciónxx

xx

+−

+−

=11 2

2

A) 23{ } B) −{ }23 C)

13{ }

D) −{ }32 E) 32{ }

28. Halle el conjunto solución de la ecuación

x x

x x

2

22

3 23

− −− +

= .

A) {1; 2}B) f C) {1}D) { – 1; – 2} E) {4; 5}

Page 20: Algebra Completo Anual Aduni 2014

20

Álgebra29. Resuelva la siguiente ecuación fraccionaria.

xx

x xx

x x2 2

242

22

3 5−−

++ −+

= + −

A) {0; – 3} B) {} C) { – 3; 2}D) {2} E) { – 3}

30. Determine la solución de la siguiente ecuaciónxx

xx x x

+−

+−+

=−

−−

+44

44

84

56

2

A) 48/5 B) 34/5 C) 36/7D) 42/9 E) 68/3

Sistema de ecuaciones lineales

31. Si el sistema lineal2 9

3 57

x y

x y

− =

+ =

tiene solución (x0; y0), calcule el valor de

x y0 02 1−( ) + .

A) 5 B) 10 C) 17D) 26 E) 1

32. Si (2; y0) es solución del sistema

53 14

x y b

x y

− =+ =

calcule el valor de M.

M by yy

=

+−( ) −( ) −( )

2007 0 1 0 20 10

19...

A) 2007 B) 2010 C) 2013

D) 2015 E) 2009

33. Del siguiente sistema lineal de incógnitas x e y.

ax y

x y

+ =+ =

3 86 6

determine el valor de x. (a ≠ 0 ∧ a ≠ 1/2)

A) 1

2 1a +B)

102 1a +

C) 10

2 1a −

D) 1

1a + E)

51a −

34. Dado el sistema de ecuaciones1

4

312

xay

xay

+ =

− =

determine el valor de 1x.

A) 12 B) 1/12 C) 1/4

D) 0 E) 3

35. Dado el sistema de ecuaciones

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =− + =

5 142 2 3 153 2 7

indique la suma de componentes de su solución.

A) 5 B) 7 C) 9

D) 6 E) 10

36. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones2 3 133 21

3 5

x y z

x y z

x y z

+ + =+ − =

− − =

A) CS={(6; 1; – 2)}B) CS={(1; 6; – 2)}C) CS={(0; 0; 0)}D) CS={}E) CS={(x; 3x; 5x) / x ∈ R}

37. Si el sistema lineal de coeficientes realesx a b y

x a b y

+ +( ) =

+ + +( ) =

3 2 9

2 13 182 2

tiene más de una solución, calcule el valor de 32ba

.

A) 3/2 B) 1/2 C) 1D) – 1 E) 0

Page 21: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

21

Álgebra

38. Calcule el valor de a para que el sistema

a x y

x a y a

+( ) + =+ +( ) = +( )

2 3

6 1 2 2

se incompatible.

A) 2 B) – 4 C) 1D) – 1 E) – 3

39. Determine el valor de n para que el siguiente sistema de incógnitas x e y sea indeterminadonx n y n

nx y n

+ +( ) = −+ = −

2 1 7 13 15 20 1

∧ n ≠ 0

A) – 1 B) 2 C) – 2D) 4 E) 1

40. Si sumo el triple de mi edad con las edades de mi papá y mamá, se obtiene 123 años. Pero si al quíntuple de mi edad le resto la suma de las edades de mi papá con mi mamá, resulta 5 años. ¿Qué edad tengo?

A) 14 B) 15 C) 16D) 17 E) 18

Introducción a los números reales

41. Sean M=[ – 1; +∞⟩ y N=⟨– 3; 3⟩ dos intervalos. Halle la suma de los elementos enteros de M ∩ N.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0

42. Dados los conjuntosP={x ∈ R/–1 ≤ x < 3}Q={x ∈ R/3 ≤ x < 5}halle P ∪ Q.

A) ⟨ – 1; 5⟩B) [ – 1; 3]C) ⟨ – 1; 5]D) [ – 1; 5⟩E) f

43. Dados los intervalos S=⟨3; 8⟩ y T=⟨– 5; 7]. Halle la suma de los valores enteros de T – S.

A) 0 B) – 6 C) – 3D) – 7 E) – 4

44. Sean los intervalos

A=⟨– 2; 4⟩, B=⟨5; 8] y C=⟨1; 7]

Determine (A ∪ B) – C

A) ⟨– 2; 1⟩ ∪ [7; 8]B) ⟨– 2; 1] ∪ ⟨5; 7⟩C) ⟨1; 4⟩ ∪ ⟨5; 7]D) ⟨– 2; 1] ∪ ⟨7; 8]E) [4; 5]

45. Dados los conjuntosM={x ∈ R / – 5 < x ≤ 2}N=⟨2; 8⟩Indique cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas.I. M – N=⟨– 5; 2]II. N – M=⟨2; 8⟩III. M ∩ N={2}

A) solo IB) solo IIC) todasD) I y IIE) II y III

46. Determine el cardinal de (A – B) ∩ C si se sabe que

A x x x

B x x

C x x

= ∈ − ≤ ≤ ∨ <{ }= ∈ − < <{ }= ∈ − ≤ ≤{ }

R

R

Z

5 1 3

4 7

4 13

A) 6 B) 9 C) 10D) 7 E) 8

Page 22: Algebra Completo Anual Aduni 2014

22

Álgebra47. Determine el complemento del siguiente conjunto.

A=(⟨– ∞; 2] ∪ [5; +∞⟩ ∪ {3}) – {6}

A) ⟨2; 5⟩ – {3}B) ⟨2; 6] – {3}C) ⟨2; 5⟩ – {6}D) ⟨2; 3⟩ ∪ ⟨3; 5⟩ ∪ {6}E) ⟨2; 6⟩ – {3}

48. Se tiene queA={x ∈ R / x ≥ 3 ∨ x < – 2}B={x ∈ R / – 3 < x ∧ x ≤ 7}Halle A ∩ B.

A) A ∩ B={x ∈ R / – 3< x < – 2 ∧ 3 ≤ x ≤ 7}B) A ∩ B={x ∈ R / – 2< x < 3 ∧ 3 ≤ x ≤ 7}C) A ∩ B={x ∈ R / – 3< x < – 2 ∨ 3 ≤ x ≤ 7}D) A ∩ B={x ∈ R / – 3 ≤ x < – 2 ∨ 3 ≤ x ≤ 7}E) A ∩ B={x ∈ R / – 3 ≤ x < – 2 ∧  3 ≤ x ≤ 7}

49. Dado el conjuntoM={(2x+1) ∈ R / (1 – x) ∈ ⟨– 1; 1⟩}escríbalo como intervalo.

A) M=⟨– 3; 1⟩B) M=⟨1; 5⟩C) M=⟨– 2; 0⟩D) M=⟨0; 2⟩E) M=⟨– 1; 3⟩

50. Dados los intervalos no vacíosA=[2n – 1; n2⟩ y B=⟨n+1; 9⟩si A ⊂ B, halle los valores de n.

A) n ∈ ⟨2; +∞⟩B) n ∈ ⟨0; 3]C) n ∈ ⟨2; 3⟩D) n ∈ ⟨0; 2]E) n ∈ ⟨2; 3]

Claves

01 - E

02 - B

03 - D

04 - A

05 - B

06 - B

07 - B

08 - D

09 - A

10 - D

11 - D

12 - C

13 - E

14 - C

15 - A

16 - B

17 - C

18 - E

19 - C

20 - B

21 - A

22 - D

23 - C

24 - C

25 - E

26 - A

27 - E

28 - B

29 - E

30 - E

31 - B

32 - C

33 - C

34 - D

35 - D

36 - A

37 - C

38 - B

39 - B

40 - C

41 - B

42 - D

43 - E

44 - B

45 - D

46 - E

47 - D

48 - C

49 - B

50 - E

Page 23: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

23

Álgebra

Desigualdades I

1. Halle el intervalo de variación de (3 – 5x) si se sabe que (2x – 1) varía en el intervalo [– 5; 1⟩.

A) [–2; 13⟩B) ⟨– 13; 2]C) ⟨– 2; 13]D) ⟨– 1; 12] E) ⟨– 3; 13]

2. Dado el conjuntoM x x= − ∈ − ∉ + ∞{ }( ) /( ) ; ;1 2 1 1R

si M ⊂ R–, halle su mayor longitud posible.

A) 2 B) – 3 C) 1D) 3 E) 0

3. Si 21

0− ≤x

; determine los valores de x.

A) x ≤ 2

B) x ″ 12

C) 0 < x ≤ 2

D) 012

< ≤x

E) x ∈

01

; ;2

2

4. Determine la variación de Nx

=−

15 4

si se sabe que (6x – 3) ∈ [3; 9⟩.

A) 15

1;

B) [1; 5⟩ C) 16

1;

D) 16

15

;

E) 16

15

;

5. Si x ∈ ⟨1; 2], calcule la variación de xx

++

51

.

A) 37

13

;

B) 37

13

;

C) 73

3;

D) 73

3;

E) 73

3;

6. Indique verdadero (V) o falso (F), según co-rresponda, si se sabe que – 2 ≤ x<1 ∧ 2<y ≤ 3.I. (x – y) ∈ [– 5; 1⟩II. xy ∈ ⟨– 5; 3]III. (3y+xy) ∈ ⟨2; 12⟩

A) VFVB) FFFC) VVFD) FVV E) FFV

7. Se sabe que– 2 ≤ x < – 1 ∧ – 2 < y ≤ 2Halle la variación de x2+y2+1.

A) ⟨2; 9]B) ⟨1; 8]C) ⟨2; 8]D) ⟨1; 9]E) [2; 9⟩

8. Utilizando la desigualdad – 2 < x < 3 llegamos a m ≤ x2 – 2x+4 < n; entonces, ¿cuál es el valor de m+n?

A) 36 B) 9 C) 15D) 14 E) 12

Desigualdades II

9. Si x ∈ R+, entonces, determine el menor valor entero de 2

3x

x+ .

A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4

10. Si el perímetro de un rectángulo es 16 u, calcule el área máxima de la región rectangular.

A) 64 u2 B) 40 u2 C) 16 u2

D) 24 u2 E) 10 u2

Page 24: Algebra Completo Anual Aduni 2014

24

Álgebra11. Determine la variación de la expresión

fx

xxx( ) = +∈

2 1; si .R

A) ⟨– 2 – 1; 2 – 1⟩B) [– 2 – 1; 2 – 1]C) ⟨– 2 – 1; 2 – 1⟩ – {0}D) [– 2 – 1; 2 – 1] – {0}E) ⟨– 2 – 1; 2 – 1]

12. Dado el conjunto A.

Ax xx

x= − +−

>

( )1

11

2

determine el menor elemento del conjunto A.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) no existe

13. Determine todos los x reales que cumplan las condiciones siguientes.

I. 13

12

2 113

12

< −( ) −

x x

II. (5 – π)> x(π – 5)

A) – 1 < x < 1B) x < 0 ∨ x > 1C) x < 0D) x > 1E) – 1 < x < 0

14. Resuelva la siguiente inecuación lineal en x(a – 2)x2+ax > x – (a2+a+1)

A) CS=⟨– 3; +∞⟩B) CS=⟨7; +∞⟩C) CS=⟨3; +∞⟩D) CS=⟨3; 7⟩E) CS=⟨– 7; +∞⟩

15. El triple de mi dinero disminuido en un sol supera los S/.26 y no supera los S/.59; pero el cuádruplo aumentado en un sol no es menor que S/.21 y es menor que S/.121. ¿Cuál es la mayor cantidad de dinero que puedo tener?

A) S/.30 B) S/.25 C) S/.50

D) S/.20 E) S/.18

16. ¿Cuántos enteros positivos satisfacen simultá-neamente las inecuaciones adjuntas?

n n n3

143 24

21

310 29+ ≤ + ∧ + + ≤

A) 57 B) 56 C) 55

D) 54 E) 53

Inecuaciones polinomiales

17. Determine la suma de todos los enteros que no son solución de la inecuación cuadrática

3x2 – 17x+10 > 0

A) 55 B) 1 C) 0D) 5 E) 15

18. Resuelva la siguiente inecuación

(x – 6)(x+4)+5x < (x – 3)2– (x – 1)2+12

A) ⟨– 5; 9⟩

B) ⟨– 7; 10⟩

C) ⟨– 9; 12⟩

D) ⟨–11; 4⟩

E) ⟨– ∞; –11⟩ ∪ ⟨4; +∞⟩

19. De los siguientes resultados• x2+10x+25 > 0 → CS1=R – {a}• x2+14x+49 ≤ 0 → CS2={b}Determine el valor de a+b.

A) 12 B) – 12 C) 7D) – 7 E) 1

Page 25: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

25

Álgebra

20. Si el conjunto solución de la inecuación cuadrática (x+1)2< n es S=⟨m; 2⟩, calcule el valor de mn.

A) – 36 B) – 4 C) 0

D) 12 E) 16

21. Si la inecuación cuadrática 2x2 – 2ax+b ≤ 0 tiene conjunto solución unitario, calcule el va-lor de a2/b.

A) 1 B) 2 C) 1/2

D) 3/2 E) –1

22. Al resolver la inecuación cuadráticaax2+bx+c ≤ 0 por el criterio de los puntos críticos se obtiene

+∞– ∞

–+ +

– 2 1

es decir, CS=[– 2; 1]. Calcule el valor de b/c.

A) – 1/2 B) –1 C) 1/2

D) 1 E) 2

23. Si la ecuación cuadrática

x2+mx+(m+3)=0

no tiene raíces reales, halle los valores de m.

A) m ∈⟨2; 6⟩B) m ∈⟨– 6; 2⟩C) m ∈⟨– 2; 2⟩D) m ∈⟨– 2; 6⟩E) m ∈⟨– 6; – 2⟩

24. Si el intervalo I=⟨x2 – 2; 2x+1] es no vacío, halle el intervalo el cual pertenece x.

A) x ∈ ⟨– 1; 3⟩B) x ∈ ⟨– 1; 4⟩C) x ∈ ⟨– 3; 1⟩D) x ∈ ⟨1; 3⟩E) x ∈ ⟨0; 3⟩

Inecuaciones fraccionarias

25. Determine cuáles de los siguientes polinomios son siempre positivos para todo x ∈ R.

P x x

Q x x

T x x

x

x

x

( )

( )

( )

= + +

= − +

= − −

2

2

2

1

3 1

2 1

A) solo PB) P y QC) Q y TD) P, Q y TE) ninguno

26. Resuelva la siguiente inecuación cuadrática.

3 212

02x x− + >

A) CS = 2 3;

B) CS = −∞ ∪ + ∞; ;2 3

C) CS = − { }R 2 3;

D) CS=f

E) CS=R

27. Calcule el menor valor entero de m que verifica

502x x m+ +

> ;  x ∈R

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

28. Si la inecuación fraccionaria

n x n x n

x xn

−( ) + −( ) + −( )+ +

≤ ∈1 2 2

10

2

2 ; R

tiene CS={ }, halle los valores de n.

A) n ∈⟨1; +∞⟩

B) n ∈⟨2; +∞⟩

C) n ∈⟨– ∞; – 2⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩

D) n ∈⟨– ∞; – 2⟩

E) n ∈⟨– ∞; –1⟩

Page 26: Algebra Completo Anual Aduni 2014

26

Álgebra29. Sea S el conjunto solución de la inecuación

fraccionaria 2 1

11

xx−+

≤ , indique la alternativa

correcta.

A) S=⟨– ∞; 2] – {–1}

B) ⟨– 1; 1⟩ ⊂ S

C) S=⟨– 1; +∞⟩

D) S ⊂ ⟨– 1; 2⟩

E) S=[1; 2]

30. ¿Cuántos enteros verifican la inecuación frac-

cionaria 6

15

12

x x−+

−< − ?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) más de tres

31. Calcule la longitud del conjunto solución de la inecuación fraccionaria1

11

0−+

− >xx x

.

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 5/2

32. Respecto a la inecuación fraccionaria3 1

311

xx

xx

+−

≤ +−

indique lo correcto.

A) No tiene soluciones enteras.B) La menor solución es cero.C) La suma de soluciones enteras es cuatro.D) El conjunto solución es unitario.E) No tiene soluciones negativas.

Claves

01 - C

02 - D

03 - C

04 - C

05 - D

06 - A

07 - A

08 - C

09 - D

10 - C

11 - B

12 - D

13 - D

14 - E

15 - D

16 - B

17 - E

18 - D

19 - B

20 - A

21 - B

22 - A

23 - D

24 - A

25 - A

26 - E

27 - B

28 - B

29 - B

30 - A

31 - A

32 - E

Page 27: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

27

Expresiones irracionales

1. Halle el C.V.A. de la expresión f.

f xx( ) = −4 2

A) C.V.A.=⟨– ∞; 2]

B) C.V.A.=⟨– 2; 2⟩C) C.V.A.=[– 2; +∞⟩D) C.V.A.=[– 2; 2]

E) C.V.A.=[0; 2]

2. Determine el conjunto de valores admisibles

de la expresión matemática g.

g x xx( ) = + + −3 15 2 2

A) ⟨ – ∞; 3⟩ ∪ ⟨5; +∞⟩B) [ – 3; 5]

C) ⟨3; 5⟩ – {4}

D) ⟨ – ∞; 5⟩E) ⟨3; +∞⟩

3. Dado el conjunto

S xx

x x= +

∈ − =

12 1R

calcule el recíproco de un elemento de S.

A) 1/2 B) 2 C) 2/5

D) 5/2 E) 1

4. Resuelva la ecuación irracional

2 1 1x x+ + =

A) CS= −{ }12B) CS={0; 4}

C) CS ;= −

121

D) CS={0}

E) CS ;= −{ }121

5. Resuelva la ecuación irracional1

22 3

+ −+ + + =

x xx x

A) {1/2}B) {1/4}C) {2}D) {4}E) φ

6. Si α es solución de la ecuación

2 2 21 1

222

2x x

xx x

x

+ + −+

+ − −−

=

determine el valor de α2+α+1.

A) 5 B) 8 C) 9/4D) 7 E) 2

7. Dado el conjunto

A x x x= ∈ +( ) −( )<{ }R 1 2 0

escríbalo como intervalo.

A) A=⟨0; 2⟩B) A=⟨0; +⟩ C) A=[0; 2⟩D) A=[0; +⟩ E) A=⟨1; 2⟩

8. Resuelva la inecuación irracional

x x x3 23 1 1+ + ≤ +( )y determine la cantidad de número enteros que no son soluciones.

A) 2 B) 1 C) 3D) 4 E) 0

Valor absoluto I

9. Si x ∈⟨1; 2], calcule el menor valor de

fx x

xx( ) =− + +

−3 11

A) 1/2 B) 2 C) 3/4D) 3 E) 4

Page 28: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

28

10. Determine el valor reducido de la expresión F.

Fx x

xx=

− + −− + −

∀ ∈ − { }4 2 3 62 2 2

2; R

A) 1 B) x+3 C) x – 2D) 4 E) 5

11. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

I. x x x2 2 1 1+ + = +II. |x – 3|=|3 – x|

III. |x2+4|=x2+4

IV. Si |x3+1|=e – p → CS ≠ f

A) VVVV

B) FVVF

C) VVVF

D) VFVF

E) FVVF

12. Determine la suma de las soluciones de la

ecuación modular siguiente.|3|x+1|+1|=13

A) 2 B) 0 C) 1D) – 2 E) – 1

13. Si a, b y c son soluciones no negativas de la

ecuación ||x – 3|–5|=2, ¿cuánto vale a+b+c?

A) 12 B) 16 C) 6D) 2 E) 10

14. Resuelva la ecuación

||x|– 4|=3x – 1

A) −{ }54

45; B) 1

45;{ } C)

45{ }

D) 54{ } E)

25145

; ;{ }

15. Halle el cardinal del conjunto S.

S x x x= ∈ − = +{ }Q 2 1 2

A) 0B) 1C) 2D) 3E) más de tres

16. Luego de resolver la ecuación

xx

xx

− −−

=−−

4 24

54

se obtiene CS={α}, calcule el valor de 2α+4.

A) 15 B) 10 C) 18D) 20 E) 5

Valor absoluto II

17. Determine el número de enteros que verifican la siguiente inecuación.

3 1 1 72 2− + + ≤ +x x x

A) 5 B) 6 C) 4D) 3 E) 2

18. Al resolver las inecuaciones

x n

x

− ≤+ ≥

3

2 3

se obtiene como conjunto solución a

CS={– 5; 1}. Determine el valor de n.

A) 3 B) 2 C) –2D) – 1 E) 0

19. Al resolver la inecuación

0 ≤ |x – 5| ≤ 2x, se obtiene CS ;= + ∞mn

tal

que m y n son PESI, determine el valor de

m – n.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Page 29: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

29

20. Determine el complemento del conjunto solu-

ción de la siguiente inecuación.

x − + − >1 5 3 5

A) ⟨– ∞; – 2⟩ ∪ ⟨4; +∞⟩

B) [– 2; 4]

C) ⟨– 2; 4⟩

D) ⟨– ∞; – 2] ∪ [4; +∞⟩

E) ⟨– 2; 4]

21. Resuelve la inecuación siguiente.3 6 12 6 45− + − <x x

A) {– 2; 3}

B) {– 2; – 1; 0; 1; 2; 3}

C) ⟨– 2; 3]

D) [– 1; 2]

E) ⟨– 2; 3⟩

22. Al resolver la inecuación x|x|– 4 ≤ 0

se obtuvo como conjunto solución al intervalo

⟨ – ∞; 3a+5b]. Calcule el valor de 6a+10b.

A) 3/2 B) 5/3 C) 2D) 3/5 E) 4

23. Resuelve la inecuación

x x− − − ≤5 5 562

e indique cuántos enteros son soluciones.

A) 15 B) 16 C) 17D) 14 E) 13

24. Resuelva la inecuación

xx −

≤3

4

e indique cuántos enteros no son soluciones.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) más de 4

Logaritmos

25. Determine el valor reducido de la expresión J.

J = −( )( )+log5 2 6

3 2

52

A) 2B) –1/2C) 1/2D) –1E) –1/4

26. Determine el valor aproximado al centesimal de n si se sabe que

1

=n

.

Considere que log2=0,30.

A) – 0,43

B) – 0,41

C) – 0,44

D) – 0,4

E) – 0,47

27. Calcule el valor de M.

Mk

kk k

=

+ +( )

= =∑ ∑log log

11

1

9

1

9

A) –1B) 0C) 1

D) 2

E) 2

28. Si n es un número entero positivo y

2 1 2 4 8 22 42 2 2 2

log log log log ... log− = + + + + n

halle el valor de log .1 4n

A) – 2 B) – 1/2 C) 2D) – 2/3 E) – 1

UNMSM 2012 - II

Page 30: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

30

Claves

01 - D

02 - B

03 - A

04 - D

05 - B

06 - D

07 - C

08 - B

09 - E

10 - E

11 - C

12 - D

13 - B

14 - D

15 - C

16 - A

17 - A

18 - C

19 - C

20 - B

21 - E

22 - E

23 - C

24 - A

25 - B

26 - A

27 - C

28 - A

29 - D

30 - D

31 - E

32 - D

29. Dados los números a; b ∈ ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩ y

que verifican log logb aa b+ = 8, calcule el

valor de log log .b aa b2 2 2 2( ) + ( )

A) 4 B) 6 C) 12D) 24 E) 36

30. Simplifique la expresión M.

M = × ×× ×

log log loglog log log

3 5 7

3 7

8 9 252 10 9

A) 12 B) 7 C) 8D) 6 E) 5

31. Si se cumple que x = log9 4 ∧ y = log5 3calcule log125 en términos de x e y.

A) 1

1+ xy B) x

y1+C)

yx1+

D) 2

1+ xy E)

31+ xy

32. Determine el valor de logx y si se cumple que

log log

log logy x

x y

x y

y x

+−

= 1312

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6av

Page 31: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

31

Ecuaciones logarítmicas

1. Calcule el valor de A.

A =

+ ( )

anti colog log log log (12

3 3 5181

125

A) 15 B) 16 C) 17D) 18 E) 19

2. Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación.

e xxln 2 1 2+( ) =

A) R B) R– {0} C) {0; 1}D) {1} E) φ

3. Determine la solución de la siguiente ecuación.loglog

log3 12 1

120++

= +x

A) 3 B) 34 C) 1,4D) 1,5 E) 0,5

4. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación?

log log ,2 0 51

12

xx

xx

+

+

+

=

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

5. Con respecto a la ecuación logarítmica2(logx)2 – 5logx+2=0indique verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda.I. La suma de soluciones es 5/2.II. El producto de soluciones es 1.III. El producto de soluciones es 100 10.

A) VFVB) VFFC) VVFD) FFVE) FVF

6. Si el conjunto solución de la ecuación

log logx x=

es CS={a; b}, halle el valor de alogb+bloga.

A) 104 B) 102 C) 2D) 1 E) 10

7. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica.log ·log logx x x2 2 2

28=

A) 1214;{ } B)

116

12;{ } C) 1

8116;{ }

D) 812;{ } E) 16

14;{ }

8. Determine el número de soluciones que pre-senta la siguiente ecuación logarítmica.logφ(x+3)=logφ(x2+1)

donde φ = +1 52

A) 1 B) 3 C) 2D) 0 E) 4

Teoría de funciones

9. Dados los conjuntosM={x ∈ Z / –1 ≤ x ≤ 3}N={y ∈ Z / 0 < y< 3}indique lo correcto.

A) M×N ⊂ ZB) n(M×N)=12C) (– 1; 0) ∈ M×ND) (3; 3) ∉ M×NE) M×N=N×M

10. Dada la funciónf={(1; a), (1; 3), (2; 4), (2; b), (3; 4)}halle Dom(f) ∩ Ran(f)

A) {3; 4} B) {2; 3} C) {3}D) {2} E) {1}

Page 32: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

32

11. Si el conjunto de pares ordenados de compo-nentes realesf={(2; 5), (– 1; 3), (2; 2a – b), (–1; a – b), (a+b2; a)}es una función, halle la suma de los elementos del rango.

A) 7 B) 6 C) 5D) 4 E) 10

12. Si el siguiente diagrama representa a una fun-ción, determine la sumas de los elementos de su rango.

4

6

Ah

B8+m

10 – m4

A) 5 B) 6 C) 17D) 18 E) 22

13. Dada la funciónf={(4; 5), (1; 5), (2; 8), (3; 7), (m; n+2)}tal que f(1)=2m+n y f(2)=3n – mcalcule f(m)+f(n).

A) 3 B) 5 C) 7D) 10 E) 12

14. Si f es una función definida por f={(x; y) ∈ z×z / y=2x+1}, calcule el valor def f f

f ff( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

2 1 0

3 0

2

2

+ −

+.

A) 3/2 B) –1/5 C) 1/3D) 3/5 E) 2/3

15. Sea f: A → R una función tal queA={– 3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5};f(x)=x2 – 1. Determine la suma de los elemen-tos del rango de f.

A) 45 B) 47 C) 49D) 51 E) 36

16. Dada la funciónf={(1– t2; t2+1) / t ∈ ⟨– 1; 1⟩}halle su regla de correspondencia.

A) y=x+2B) y=–x+2C) y=x – 2D) y=2x – 1E) y=2 – x

Funciones reales

17. Sea f: A →   B una función tal que

B={3; 4; 5; 6; 7} y fx

x( ) = +2

1. Calcule la suma

de los elementos del dominio de f.

A) 38 B) 40 C) 41D) 39 E) 42

18. Halle el dominio de la función f.

fx

xx( ) = −

2

1

A) ⟨0; 1⟩B) ⟨– ∞; 1]C) ⟨0; 1]D) ⟨– ∞; 1⟩E) ⟨– ∞; 0]

19. Halle el dominio de la función f.

f x xx( ) = + + −4

A) [0; 4]B) [– 4; 0]C) [0; 2]D) ⟨– 4; 0⟩E) [– 4; – 1]

Page 33: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

33

20. Dados los conjuntos A={x ∈ Z+/ 3 < x < 9}B={5; 6; 7; 8; 9; 10}y la función f: A →  B tal que f(x)=x+1,halle Ran f.

A) {5; 6; 7; 8}B) {5; 9}C) {5; 6; 7; 8; 9}D) {4; 5; 6}E) {5; 6; 7; 8; 9; 10}

21. Sea f: ⟨3; 10] → R x → 2x – 1

Halle el rango de f.

A) ⟨3; 10] B) ⟨5; 21]C) ⟨5; 19]D) ⟨3; 19]E) ⟨6; 19]

22. Sea f : ⟨– 1; 1⟩  →  R una función tal que

fx

xx( ) =+−2

1. Halle su rango.

A) Ran f=⟨– 1; 1⟩

B) Ran f = −∞ −; 12

C) Ran f = − 1212;

D) Ran f = + ∞12;

E) Ran f=R+

23. Indique cuál de las siguientes gráficas no re-presenta una función.

A) B)

C)

D) E)

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

24. Si f es una función tal que

x0

Y

X– 2 4

3

1

Calcule el valor de x0.

340 2 4 0

0 0

x f f f

f fx

x=

+ +

+−( ) ( ) ( )

( ) ( )

A) 2B) 4C) 1/2D) 1/4E) 1

Page 34: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

34

Funciones especiales I

25. Dada la gráfica de la función fhalle Ran f – Dom f.

Y

X– 2

2

–1 1

A) φ  B) {– 2; – 1} C) ⟨– 2; – 1⟩D) ⟨1; +∞⟩               E) ⟨– ∞; 2⟩       

26. Si f es una función tal quef(x)=n2 – n; n ∈ Z+ / f(1)+f(2)+f(3)+...+f(10)=20calcule f(n).

A) 0 B) 2 C) 4D) 5 E) 10

27. Determine la gráfica de la función gg(x)=2x – 6, ∀ x ∈ R

A) Y

Xg

B) Y

X

g

C) Y

X

g

D) Y

X

g

E)

Xg

Y

28. Esboce la gráfica de la función

f(x)=Ax+B, tal que

f(2)=3 y f(3)=2f(4)

A) B)

C)

D) E)

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

5

5

5

5

– 5

29. Esboce el gráfico de la función f.

fx

x xx( );;

=≤

− >

1 00

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

Page 35: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

35

30. Calcule el área de la región encerrada por la gráfica de la función f(x)=4 – |x+1| y el eje de abscisas.

A) 16 u2 B) 18 u2 C) 14 u2

D) 8 u2 E) 15 u2

31. Del gráfico tenemos la función f.

a

b

Y

X

12

f(x)=|x – a|+b

Calcule el valor de a+b.

A) 16B) 0C) 12D) 5E) 7

32. El gráfico de la función fxxx( ) =−−

2 42

y el gráfico

de la función g(x)=2x; se cortan en

A) un punto de abcisa 2.B) un punto cuya abcisa es 0.C) ningún punto.D) dos puntos equidistantes del eje y.E) dos puntos equidistantes del origen.

Claves

01 - A

02 - D

03 - D

04 - B

05 - D

06 - C

07 - D

08 - C

09 - D

10 - C

11 - E

12 - D

13 - E

14 - E

15 - C

16 - B

17 - B

18 - D

19 - B

20 - C

21 - C

22 - D

23 - D

24 - A

25 - C

26 - B

27 - B

28 - D

29 - D

30 - A

31 - C

32 - C

Page 36: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

36

Funciones especiales II

1. Esboce la gráfica de la función

f(x)=4x(x – 2)+3

A) Y

X

B) Y

X

C) Y

X

D) Y

X

E) Y

X

2. Sea f(x)=x2 – 4x+3 una función cuya gráfica se muestra a continuación

a b

c

Y

X

indique el valor numérico de b3+a2+c.

A) 31 B) 27 C) 36

D) 17 E) 30

3. Determine la regla de correspondencia de la función cuadrática representada en el siguien-te gráfico.

3

– 1

– 2

X

Y

A) y=x2 – 4x+3

B) y=2x2 – 8x+3

C) y=2x2+8x+3

D) y=x2+4x+3

E) y=2(x+2)2

4. Si f es una función tal que f(x)=a – x2, calcule las coordenadas del punto P.

P

Y

Xf

y=x+2

A) P = −

1212;

B) P = −

14

12;

C) P = −

1232;

D) P = −

1474;

E) P = −

1234;

Page 37: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

37

5. Dada la gráfica de la función

f(x)=x2+ax – b

Determine la secuencia correcta luego de de-

terminar el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones.

I. b < 0

II. a2+4b < 0

III. a < 0

A) VVF B) VFF C) VVV

D) FFF E) FVF

6. Esboce la gráfica de la función f.

f xx( ) = + −1 2

A) Y

X1

1

B) Y

X

2

2

C)

2

Y

X

1

D)

2

Y

X

1

E)

2

Y

X

1

7. Dada la gráfica de las funciones

f x a g xx x( ) ( )= − + = −1 1y

∀ x ∈ dominio maximal de f.

2 m

nY

X

indique el valor numérico de a+n+m.

A) 6

B) 7

C) 16

D) 8

E) 7/2

8. Resuelva la inecuación x x2 1 3+ ≤ + e indique

un intervalo solución.

A) ⟨0; 1]

B) ⟨– ∞;0⟩ C) ⟨1; +∞⟩D) [0; +∞⟩

E) ⟨– 3; 1⟩

Funciones exponenciales

9. Determine el rango de la siguiente función

f(x)=2logx ∀ x ∈ ⟨10; 104]

A) ⟨2; 16]

B) ⟨2; 16⟩C) [2; 16]

D) ⟨1; 4]

E) ⟨1; log105]

Page 38: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

38

10. Sea f xx

x

( ) ;=

∀ ∈ ]12

2 6

2

tal que Ran(f )=[a; b⟩ indique ab20 .

A) 4 B) 1/2 C) 1/4

D) 8 E) 1/8

11. Dada la función exponencial f(x)=2x definida

∀ x tal que |x – 3| ≤ 2. Determine Ran(f ).

A) [1; 32]

B) 1232;

C) 122;

D) [2; 16]

E) [2; 32]

12. Determine la suma de soluciones enteras de la

inecuación

ex

ex

ex x2 6 5

2 22 718

−≤

−=

−; , ...

A) 15 B) 13 C) 12

D) 11 E) 14

13. Determine el conjunto solución de la inecuación

10 15 1000− <x

A) ⟨6; 15]

B) [7; 15]

C) ⟨7; 15⟩D) ⟨7; 13⟩E) ⟨7; 10]

14. Determine el conjunto solución de la inecuación

15 3

15 3

2 1 3

− +

<− +

− − +

x x

x x

A) ⟨– ∞; 5]

B) 43; + ∞

C) 435;

D) 435;

E) 435;

15. Dada la función exponencial

f(x)=ex donde e=2,71...

cuya gráfica se muestra en la figura

3

P

Q

determine la ecuación de la recta que pasa por

P y Q.

A) y=(Ln3)x+1

B) y=2x+Ln3

C) y x= +23

1Ln

D) y x= +13

1Ln

E) y x= −23

1Ln

Page 39: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

39

16. Dada la gráfica de las funciones

f(x)=e – x; e=2,718... y g(x)=4, indique el área

de la región sombreada.

Y

X

A) Ln4

B) Ln81

C) Ln42

D) Ln642

E) 3Ln64

Funciones logarítmicas

17. Sea f(x)=1+log5(1 – x2) una función.

Si existe x0 ∈ Dom f tal que f(x0)=0, calcule el

menor valor de x0.

A) − 25

B) − 25

C) − 15

D) 25

E) 45

18. Halle el dominio de la función f.

f xxxx( ) = − −

log

1 2

A) ⟨–1; 1⟩B) ⟨0; 1⟩

C) ⟨–1; 0⟩D) ⟨–1; 0⟩ ∪ ⟨0; 1⟩E) ⟨0; +∞⟩

19. Esboce la gráfica de la función f.

f(x)=1+log(x – 2)

A) Y

X2

B) Y

X– 2 2

C) Y

X2

D) Y

X2

E) Y

X2

20. Dada la gráfica de la función f

Y

X

2

1

1 4

y=logbx+a

calcule el valor de log b a.

A) 0 B) 1 C) 1/2

D) – 1/2 E) 1/4

Page 40: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

40

21. Dada la gráfica de las funciones

f(x)=log2x y g(x)=ax+b

Y

4

8 X

determine el área de la región sombreada

A) 4 B) 1 C) 2

D) 16 E) 8

22. Determine el valor de a+b si

f(x)=log(ax+b), además f(2)=0; 10 f(3)=2.

A) 1 B) 0 C) 4

D) 2 E) 6

23. Dados los conjuntos

A={x ∈ R/log3 x > – 1}

B x x= ∈ > −

R log 1

3

2

halle A ∩ B.

A) ⟨3; 9⟩ B) 139; C)

133;

D) ⟨2; 3⟩ E) 19

13;

24. Resuelva la inecuación logarítmica.

1+log2(x+1) < x

e indique un intervalo solución

A) ⟨–1; 3⟩ B) ⟨0; 3⟩

C) ⟨1; 3⟩D) ⟨2; +∞⟩

E) ⟨3; +∞⟩

Aplicaciones de las funciones

25. Una empresa de panetones tiene costos fijos

por S/.1200; costos de producción de S/.800

por unidad y un precio de venta de S/.12.

Indique el número mínimo de panetones para

obtener ganancia.

A) 300 B) 400 C) 301

D) 401 E) 500

26. El costo de fabricar 100 cámaras a la semana

es de S/.700 y el de 120 cámaras a la semana

es de S/.800. Indique la ecuación de costos C(x)

suponiendo que es lineal.

A) C(x)=5x+100

B) C(x)=7x+100

C) C(x)=5x+300

D) C(x)=5x+200

E) C(x)=2x+700

27. Una caja rectangular abierta, con volumen

2 m3, tiene una base cuadrada. Indique el área

superficial de la caja como una función (f) de

la longitud de uno de los lados de la base.

A) f xxx( ) = +2 8

B) f xxx( ) = +2 4

C) f xx

x( ) = +2 28

D) f xxx( ) = +2 2

E) f xx

x( ) = +2 22

Page 41: Algebra Completo Anual Aduni 2014

. . .

Álgebra

41

28. Un automóvil WHW tiene un valor inicial de

$16 000 y se deprecia en forma lineal durante

10 años, con un valor de desecho de $4000.

Determine el valor del automóvil al final del

séptimo año.

A) $12 000

B) $12 800

C) $13 000

D) $14 000

E) $13 200

29. En una comunidad de 8000 personas, la veloci-

dad con la que se difunde un rumor es conjun-

tamente proporcional al número de personas

que lo han escuchado y al número de perso-

nas que no lo han escuchado.

Cuando 20 personas han escuchado el rumor

éste circula a una velocidad de 200 personas

por hora. ¿Qué tan rápido circula el rumor

cuando lo han escuchado 500 personas?

A) 4699 personas por hora

B) 500 personas por hora

C) 5000 personas por hora

D) 1500 personas por hora

E) 7980 personas por hora

30. Un empresario industrial fue encontrado asesi-

nado en su casa. La policía llegó a la escena a

las 11:00 p. m. La temperatura del cadáver en

ese momento era de 31 ºC y una hora después

era de 30 ºC. La temperatura de la habitación

en que se encontró el cadáver era de 22 ºC.

El modelo matemático para nuestro problema

forense, de acuerdo a la ley de enfriamiento

de Newton es

T=ae – kt+b

donde T: temperatura del cuerpo

b: temperatura ambiente

considere que la temperatura normal del cuer-

po humano es de 37 ºC. Indique el valor de ab.

A) 200

B) – 198

C) 198

D) – 200

E) 176

Problemas diversos

31. Indique el menor número M con la propiedad

que para todo x ∈ R.

1+6x – x2 ≤ M

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

32. Determine el conjunto solución de la ecuación

xx

x x2 43

32

−+

= ∈; Z

A) {– 1; – 8}

B) {– 8}

C) {– 1}D) f

E) {1; 8}

33. Determine la suma de soluciones de la ecuación

2 3 2 2x x+ = − +

A) 3

B) 11

C) 13

D) 14

E) 24

Page 42: Algebra Completo Anual Aduni 2014

Álgebra

. . .

42

34. Sea P(x)=x9+x8+x7+...+x+1

indique el valor de P(2).

A) 1024

B) 1023

C) 123

D) 1025

E) 2048

35. Sea F: R → R una función tal que:

F(1 – x) – 2F(x)=2x – 2; ∀ x ∈ R

Halle la gráfica de la función F.

A) Y

XF

B) YF

X

C) YF

X

D) Y

F

X

E) Y

F

X

36. Dada la función

f xx( ) log ( )= −12

21

halle su dominio.

A) ⟨– 4; – 1⟩B) ⟨– 2; – 1]

C) ⟨0; 1⟩D) ⟨– 1; 1⟩E) ⟨– 1; 0]

37. Determine el número de pares ordenados (x; y)

de componentes enteros positivos que verifican

el sistema

2 30

y x

x y

− ≤− ≤

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

38. Si el par ordenado (n; n – 1) es solución del

sistema de ecuaciones

2 3 15

x y m

x y m

+ = −+ =

indique el valor de m+n.

A) – 16 B) 0 C) 8

D) 16 E) 12

Claves

01 - D

02 - A

03 - D

04 - C

05 - C

06 - C

07 - A

08 - A

09 - A

10 - C

11 - E

12 - B

13 - A

14 - C

15 - C

16 - D

17 - B

18 - D

19 - C

20 - A

21 - E

22 - B

23 - B

24 - E

25 - C

26 - D

27 - A

28 - E

29 - A

30 - C

31 - C

32 - C

33 - D

34 - B

35 - B

36 - D

37 - E

38 - D