algebra de boole.docx

5/20/2018 Algebra de Boole.docx

1/17

MATEMTICA DISCRETA

Prof.Nancy AguilarProf. Graciela Del Valle Pgina 1

lgebra de Boole

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "TheMathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought"(1854), desarroll la idea de que las proposiciones lgicas podan ser tratadas

mediante herramientas matemticas. Las proposiciones lgicas (asertos, frases opredicados de la lgica clsica) son aquellas que nicamente pueden tomarvalores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas nicas respuestas posibles seanS/No. Segn Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediantesmbolos y la teora que permite trabajar con estos smbolos, sus entradas(variables) y sus salidas (respuestas) es la Lgica Simblica desarrollada por l.Dicha lgica simblica cuenta con operaciones lgicas que siguen elcomportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la LgicaSimblica se le denomina LGEBRA DE BOOLE.A mediados del siglo XX ellgebra Booleana result de una gran importancia prctica, importancia que se haido incrementando hasta nuestros das, en el manejo de informacin digital (por

eso hablamos de Lgica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular suteora de la codificacin y John Von Neumann pudo enunciar el modelo dearquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primerageneracin. Todas las variables y constantes del lgebra booleana, admiten slouno de dos valores en sus entradas y salidas: S/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estosvalores bivalentes y opuestos pueden ser representados por nmeros binarios deun dgito (bits), por lo cual el lgebra booleana se puede entender cmo el lgebradel Sistema Binario. Al igual que en lgebra tradicional, tambin se trabaja conletras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener elresultado de ciertas operaciones mediante una ecuacin o expresin booleana.Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones tambin sern

binarios. Todas las operaciones (representadas por smbolos determinados)pueden ser materializadas mediante elementos fsicos de diferentes tipos(mecnicos, elctricos, neumticos o electrnicos) que admiten entradas binariaso lgicas y que devuelven una respuesta (salida) tambin binaria o lgica.Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor),Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lgico0/Nivel lgico 1 (salida lgica de un circuito semiconductor), etctera. Losdispositivos con los cuales se implementan las funciones lgicas son llamadospuertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrnicos basados entransistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, sonlos que permiten el diseo, y la ulterior implementacin, de los circuitos de

cualquier ordenador moderno, as como de muchos de los elementos fsicos quepermiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control demquinas, etctera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquade niveles, la base o nivel inferior sera ocupada por la lgica digital (en el nivelms alto del ordenador encontraramos los actuales lenguajes de programacin dealto nivel).


2/17

MATEMTICA DISCRETA


Para saber ms sobre George Boole Visita:

http://es.wikipedia.org/wiki/George_Boole

Definicin de lgebra de Boole

Sea B un conjunto no vaco en el cual se definen dos operaciones binarias quellamaremos suma lgica (+) y producto lgico (), una operacin unitaria quellamaremos complemento ( o )y dos elementos distintos 0 y 1.

El conjunto (B, +, , , 0, 1)es un lgebra de Boole si se verifican los siguientesaxiomas:

: Leyes Conmutativas: a+b = b+a ; a.b = b.a

: Leyes Distributivas: a.(b+c) = ab+ac ; a+(b.c) = (a+b) . (a+c)

: Leyes de Identidad: a+0 = a ; a.1=a

: Leyes del Complemento:

Ejemplos de Algebra de Boole:

Ejemplo 1: El conjunto B={0,1} con las operaciones booleanas dadas por lastablas, el complemento de 1 es 0 y el complemento de cero es 1.

Ejemplo 2: El conjunto cuyos elementos son secuencias de n bits con lasoperaciones booleanas del ejemplo 1.Se suman y se multiplican elemento aelemento. El complemento de 1 es 0 y el complemento de 0 es 1.

a = 1 1 0 1 0 1 0

b = 1 0 1 1 0 1 1a+ b = 1 1 1 1 0 1 1

a . b = 1 0 0 1 0 1 0

a = 0 0 1 0 1 0 1

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

0 1

0 0 01 0 1


3/17

MATEMTICA DISCRETA


Ejemplo 3:

B: Conjunto de las proposiciones, donde la operacin + es la disyuncin, laoperacin es la conjunciny el complemento es la negacin.

Dualidad:

El dual de un enunciado de un lgebra de Boole se obtiene al intercambiar 0 por1. + por y viceversa.

Ejemplos: El dual de (1+a) . (b+0) = b es (0.a) + (b.1) = bEl dual de (a+b) = a.b es (a.b) = a+b

Debido a la simetra de los axiomas de un lgebra de Boole, se cumple que eldual de los axiomas de B es el mismo conjunto de axiomas.

Principio de Dualidad:

El dual de un Teorema de un lgebra de Boole es tambin un Teorema

Propiedades o Teoremas:

1) Leyes de idempotencia: a+a=a ; a.a=a

2) Leyes de acotamiento: a+1=1 ; a.0=0

3) Leyes de absorcin: [a+(a.b)] = a ; a.(a+b) = a

4) Leyes asociativas: (a+b)+c = a+(b+c) ; (a.b).c = a.(b.c)

5) Unicidad del complemento: Si a+x = 1 y a.x = 0 => x =

6) Ley de involucin: (a) = a

7)

8) Leyes de De Morgan:


4/17

MATEMTICA DISCRETA


1) a+a = a

a = a+0por Ident.

a = a+a.apor Comp.

a = (a+a) . (a+a)Prop. Distrib.

a = (a+a) . 1por Comp.

a = a+apor Ident.

Demostramos:

Circuitos Lgicos y el lgebra de Boole:

El lgebra de Boole se utiliza para modelar los circuitos de dispositivoselectrnicos. Cada entrada o salida de estos dispositivos se puede ver cmo un 0o un 1. Veremos circuitos combinacionales.

Circuitos combinacionales: son los circuitos donde las seales de salida dependennicamente de las seales de entrada

Los elementos bsicos de los circuitos son las Compuertas lgicas.

Compuertas Lgicas: son circuitos elementales a partir de los cuales seconstruyen los circuitos lgicos.

Nombre Smbolo Funcin Tabla de verdadAND

Producto lgico

F = A.B

A B F1 1 11 0 00 1 00 0 0

OR

Suma lgica

F = A+B

A B F1 1 11 0 10 1 10 0 0

2) a+1 = 1

a+1 = (a+1) . 1por Ident.

a+1 = (a+1) . (a+a)por Comp.

a+1 = a+1.apor Recp. Distrib.

a+1 = a+apor Ident.

a+1 = 1por Comp.

3) a+(a.b) = a

a+(a.b) = a.1 +( a.b)

a+(a.b) = a.(1+b)Re

a+(a.b )= a.(b+1)Co

a+(a.b )= a.1por Ac

a+(a.b )= apor Iden


5/17

MATEMTICA DISCRETA


Inversor NOT

_

Complemento

F =

A F1 00 1

NAND

Complemento deAND

A B F1 1 01 0 10 1 10 0 1

NOR

Complemento deOR

A B F1 1 01 0 00 1 00 0 1

FUNCIONES BOOLEANAS

Variables lgicas o binarias: son aquellas que slo pueden tomar los valores 0(ceroproposicin falsa) o 1 (unoproposicin verdadera). Las indicamos A, B,C, etc.

Funciones lgicas o booleanas:Una funcin de Boole es una expresin algebraica donde intervienen

variables binarias, los operadores binarios OR y AND, el operador unitario NOT,parntesis y el signo igual.

Para valores asignados a las variables la funcin (F) puede ser 0 o 1

Ejemplo: F1= A. B. C + A. B. C.AC (Expresin booleana)

El circuito correspondiente ser:

:


6/17

MATEMTICA DISCRETA


A B C

F1

Si aplicamos los axiomas y teoremas del Algebra de Boole podemos transformaresta expresin en otra con menos trminos.

(A . B . C A . B . C) A . C+ + = por asoc.

C.ACC.B.A por B3

C.A1.B.A por B5

2FC.AB.A por B4

El circuito de la expresin simplificada ser:A B C

F2

Para verificar si son expresiones equivalentes construimos las tablas de verdad:


7/17

MATEMTICA DISCRETA


Vemos entonces que una funcin booleana puede ser representada pormedio de:

a) Compuertas lgicas; b) expresiones algebraicas; c) tablas de verdad

Ejemplo:

Sean la funcin: F1= BACA ..

Y la funcin: F2= BACBACBA .....

Simplificando la funcin F2obtenemos:

12 ...1.......... FBACABACABABBCABACBACBAF

Actividad: Indicar las leyes aplicadas para simplificar F2 y obtener F1 .Hacer el

circuito y las tablas de verdad de F1 y F2.

Hemos visto con estos ejemplos que no hay una expresin algebraica nica parauna funcin de Boole dada.

Una de las aplicaciones ms importantes del lgebra de Boole es su utilizacinpara encontrar expresiones ms simples para la misma funcin.

A B C C A.B.C. CBA .. A CA. A.B 1F ABC ABC AC= + + 2F AB AC= +

1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0


8/17

MATEMTICA DISCRETA


Teniendo en cuenta que una funcin de Boole puede ser transformada de unaexpresin algebraica a un diagrama lgico formado por compuertas AND, OR yNOT, se deduce que para encontrar circuitos ms sencillos se debe conocer biencomo manipular las funciones de Boole para obtener funciones iguales perosimplificadas.

FORMAS CANNICAS O NORMALIZADAS

Trminos mnimos y trminos mximos:

Una variable binaria puede aparecer en su forma normal (A) o en forma de

complemento (A ).

Consideramos ahora dos variables binarias A y B combinadas con la operacinAND; como cada variable puede aparecer de dos formas, habr cuatrocombinaciones posibles:

; A ; ;AB B AB AB .

Cada uno de estos cuatro trminos recibe el nombre de trminosmnim os o m initrm inos, de un producto normal izado. Tambin se pueden combinar nvariables para determinar 2ntrminos mnimos.

De manera similar, podemos combinar las variables con OR, en este caso sellaman trm in os mxim os o max itrm in os de las sumas normal izadas. Si

consideramos dos variables, tendremos:

; A ; ;A B B A B A B+ + + + .

Veamos un ejemplo, con la construccin de una tabla para tres variables. Losnmeros binarios de 0 a 2n1 se listan debajo de la n variable. Cada trminomnimo se obtiene de un trmino AND, correspondiendo un 0 a la variable tildaday un 1 si no est tildada.

Un smbolo para cada minitrmino se indica en la tabla con mj, donde j es elequivalente decimal del nmero binario del trmino mnimo correspondiente.

Cada trmino mximo se obtiene de un trmino OR correspondiendo un 0 ala variable no tildada y un 1 a la variable tildada.

Ntese que cada maxitrmino es el complemento de su correspondienteminitrmino y viceversa.


9/17

MATEMTICA DISCRETA


Una funcin de Boole puede ser expresada algebraicamente a partir de unatabla de verdad dada, conformando un trmino mnimo por cada combinacin delas variables que producen un 1 en la funcin para luego obtener la OR de todoslos trminos.

Ejemplo:

Sea la tabla siguiente donde aparecen dos funciones de tres variables F1yF2

Para expresar algebraicamente la funcin F1 consideramos lascombinaciones de las variables que corresponden a los lugares donde aparece 1en la funcin, es decir las combinaciones 001,100 y 111 que corresponden a los

minitrminos . .A B C; ... CBA y A.B.C.

A B C

Trminos mnimos Trminos mximos

Trmino Designacin Trmino Designacin

0 0 0 CBA ..

m0 A+B+C M0

0 0 1 CBA .. m1 A+B+C M1

0 1 0 CBA .. m2 A+B +C M2

0 1 1 ... CBA m3 A+B +C M3

1 0 0 CBA .. m4 A +B+ C M4

1 0 1 CBA .. m5 A +B+C M5

1 1 0 CBA .. m6 A +B +C M6

1 1 1 A.B.C m7 A +B +C M7


10/17

MATEMTICA DISCRETA


Luego la expresin algebraica de F1ser:

CBACBACBA ......F1

y la de F2:

CBACBACBACBAF ........2

y sus respectivos complementos sern:

CBACBACBACBACBAF1

que es la funcin F1

expresada como producto de maxitrminos.

De igual manera obtenemos para F2:

CBACBACBACBAF 2

Con estos ejemplos hemos

visto que cualquier funcin de Boole puede expresarse como una suma deminitrminos o como el producto de maxitrminos.

A las funciones de Boole expresadas de esta manera se dice que estn enform a cannica.

Forma normal disyuntiva: cuando la funcin est expresada como sumade minitrminos(FND)

Forma normal conjuntiva: cuando la funcin est expresada comoproducto de maxitrminos(FNC)

Cuando una funcin de Boole no est en la forma normal disyuntiva(FND) se puede llegar a ella expandiendo primero la expresin a una suma detrminos AND. Luego se inspecciona cada trmino para ver si contiene todas lasvariables. Si le falta una o ms variables, se aplica la funcin AND con unaexpresin tal como A + A , donde A sea una de las variables faltantes.

Por ejemplo:Expresar la funcin F = A + B .C como suma de trminos mnimos.

La funcin tiene tres variables A, B y C.

Multiplico el primer trmino por B +B (que es una de las variables que falta)


11/17

MATEMTICA DISCRETA


A= A. (B +B ) = A.B + A. B

Como la expresin carece de variable C:

A = A.B.(C+C) + A. B .( C+C ) = A.B.C +ABC+ A. B .C + A. B .C

El segundo trmino carece de variable A, luego

B .C = B .C ( A + A ) = A. B .C + A .B .C

Combinado todos los trminos se tendr:

F = A + B .C = A.B.C + A.B. C+A. B .C+A. B .C+A. B .C+A .B .C

Pero como A. B .C aparece dos veces, es posible suprimir uno de ellos(por el teorema i ) y obtenemos la funcin normalizada (FND)

F= A.B.C+ A.B. C+ A. B .C+ A. B .C+ A .B .C

Para expresar una funcin de Boole en la FNC o sea como productode trminos mximos. En este caso se debe llevar primero la funcin a una formade trminos OR. Esto puede lograrse usando la ley distributiva A + BC =(A+B)(A+C) y si hay una variable faltante A en cada trmino OR junto con A.A .

Por ejemplo:

F = AB + AC

Aplicamos la propiedad distributiva para convertir la funcin en trminos OR

F = AB + A C = (AB + A )(AB+C )= (A+ A )(B+ A )(A+C)(B+C) = = (B+ A)(A+C)(B+C)

Como la funcin tiene tres variables, a cada trmino OR le hace falta unavariable, por lo tanto:

A + B = A + B + CC = (A + B + C) ( A + B + C )

A + C = A + C + BB = ( A + B + C) ( A + B + C )

B + C = B + C + A A = ( A + B + C) ( A + B + C )


12/17

MATEMTICA DISCRETA


Combinando todos los trminos y suprimiendo los que aparecen ms de

una vez, se obtiene: F = ( A + B + C) ( A + B + C) ( A + B + C) ( A + B +

C)

Una funcin de Boole se dice que est normalizada cuando se

expresa como suma de productos o como producto de sumas, donde cada trminopuede tener cualquier nmero de literales.

Por ejemplo:

F1= B + AB + ABC

F2= A (B + C ) ( A + B + C + D )

Una funcin de Boole se dice que est totalmente normalizadacuando se expresa, por ejemplo, en suma de productos y en cada producto seusan todas las variables.

Por ejemplo:

F3 =ABC + ABC +ABC (FND)

MAPAS DE KARNAUGH

La complejidad de las compuertas lgicas digitales con que se representanlas funciones de Boole se relacionan directamente con la complejidad de laexpresin algebraica en la cual se origina la funcin.

Las funciones de Boole pueden ser simplificadas por medios algebraicos,como ya hemos visto, pero este procedimiento no tiene reglas especficas para

predecir cada paso sucesivo en el proceso de simplificacin.

El mtodo del Mapa presenta un procedimiento simple y directo paraminimizar las funciones de Boole.

Este mtodo puede ser considerado como una extensin de los diagramasde Venn, fue propuesto primero por Veitch y luego ligeramente modificado porKarnaugh y se conocen como diagramas de Veitchy mapas de Karnaugh.

Las tablas, diagramas o mapas de Karnaugh constituyen un mtodo grficopara simplificar y minimizar funciones booleanas de hasta un mximo de seisvariables.

Propiamente un mapa K es una especie de tabla de verdad que tiene unaserie de casillas cuya propiedad esencial, es que estn colocadas de modo quedos casillas contiguas en horizontal y vertical (pero no en diagonal) correspondencon minitrminos (o maxitrminos) que nicamente difieren en una variable.

El nmero de casillas de un mapa K es de 2n, siendo n el nmero devariables.


13/17

MATEMTICA DISCRETA


0 1

Los diagramas que usaremos son:

a) Para dos variables b) Para tres variables

a) Para dos variables b) Para tres variables c) Para cuatro variables

A AB 00 01 11 10 AB 00 01 11 10B C CD0 0 001 1 01

1110

Dentro de cada casilla se colocar el valor que posea la funcin para esecaso, que ser 0 o 1. Adems, es importante darse cuenta de que la casilla dondese coloque el minitrmino mi ser la misma que aquella donde se coloque elmaxitrmino Mi.

En los diagramas de 3 y 4 variables, para las entradas AB, se han colocadolos valores 00, 01,11, 10, que en decimal corresponden, respectivamente, a 0, 1,3, 2. Este salto del final es debido a que, como se ha dicho anteriormente, lascasillas contiguas en horizontal y vertical deben diferenciarse en una sola variable.De haber seguido el orden natural 00, 01, 10, 11, entre la segunda y tercera habraun cambio de dos variables, lo cual puede no puede suceder por definicin.

En la de tres variables hay cuatro cuadrados de cada variable donde es

igual a 1 y cuatro donde es igual a 0. Donde hay 1 la variable aparece sin tildar,donde hay 0 aparece tildada

En la esquina inferior derecha de cada una de las casillas hay un nmeroque corresponde al decimal asociado con los valores de su casilla, y que, porsupuesto coincide con la numeracin de los minitrminos y maxitrminos. Unminitrmino y un maxitrmino de igual nmero corresponden, por tanto, a la mismacasilla.

REGLAS DE SIMPLIFICACIN DE MAPAS DE KARNAUGH

1. Inicialmente hay que decidir si se va a realizar la simplificacinagrupando los 0 (maxterm) o los 1 (minitierm). En este curso lo haremosagrupando 1

2. Se pueden agrupar casillas contiguas (horizontales y verticales), queson las que se diferencian en una variable.


14/17

MATEMTICA DISCRETA


Para las casillas sealadas con x, son contiguas las marcadas con .

Hay que suponer que en el mapa estn unidos los bordes superior einferior, as como los lados izquierdo y derecho. De este modo son contiguas lascasillas que sealamos.

3. Se pueden agrupar elementos en grupos de 2m casillas, con m =1,2,... y en cada agrupacin desaparecern m variables.

Agrupaciones vlidas en un mapa de Karnaugh

4. Una casilla puede ser agrupada varias veces en distintasagrupaciones.


15/17

MATEMTICA DISCRETA


5. Todas las casillas con 1 deben estar en alguna agrupacin. Nopueden quedar ningn 1 sin agrupar.

6. Hay que intentar elegir el menor nmero de agrupaciones, con lacondicin de que cada una de ellas contenga el mayor nmero de casillas posible.

7. Si todas las casillas tienen el mismo valor de la variable en cuestin,el resultado es precisamente ese valor.

8. Si tienen valores diferentes (pero compensados, porque si no estaramal hecha la simplificacin o mal elegida la agrupacin), dicha variable no apareceel resultado.

Ejemplo 1

Minimizar la siguiente funcin: F=

a) Utilizando los teoremas del lgebra de Boole

Aplicamos: Prop. Recproca de la Distrib.Ley del complemento.PropDistributiva y nuevamente Ley del complemento.

b) Resolvemos ahora el mismo ejemplo usando el mapa de Karnaugh.Para poder aplicar este mtodo hay que obtener FND

c)Recordar que

BC B C Morgan

d)

F=

En el segundo trmino agregamos la variable que falta: En el tercer trmino agregamos la variable que falta:

Finalmente F=

111+110+100+101 A

11 111 BC F= A + BC12


16/17

MATEMTICA DISCRETA


c) Hacemos los circuitos:

F=

F = A + B.C

e) Hacemos la tabla de la funcin original y la de la funcin simplificada:

Funcin original F

A B C A BC BC ABCA

BC

A

BCF(ABC)

0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 0 00 1 0 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1 0 1 0 11 1 0 0 0 1 0 1 0 11 1 1 0 1 0 1 0 0 1

Funcin simplificada:

Como se puede observar coinciden las tablas de la funcin original y de lasimplificada

A B C BC A+BC

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1


17/17

MATEMTICA DISCRETA


algebra de boole.docx

Documents