1.4 El álgebra de conjuntos

Uno de lo resultados más importantes acerca de conjuntos es que bajo las operaciones de

unión, intersección y complemento se satisfacen ciertas leyes algebraicas a partir de la cuales

podemos desarrollar un álgebra de conjuntos. El álgebra de conjuntos es un ejemplo de una

estructura conocida como un álgebra de Boole; otro ejemplo es el álgebra de la lógica, donde

son las operaciones que actúan sobre proposiciones.

En esta sección trataremos las leyes básicas del álgebra de conjuntos.

Teorema 1.4.1 Si A y B son conjuntos, entonces

( i )

( ii )

Demostración:

( i) Para demostrar que debemos mostrar que .

.Definición de

( ii) Para demostrar que debemos mostrar que .

Definición de

Teorema 1.4.2SiA y B son conjuntos, entonces

( i )

( ii )

Ejercicio: Demostrar el teorema anterior.

Teorema 1.4.3SiA y B son conjuntos, entonces

( i )

( ii )

Demostración:

( i ) Hay que demostrar dos implicaciones: 8

Supongamos que . Para demostrar la igualdad debemos mostrar las

dos contenencias:

(a.1) DefiniciónU.

hipótesis

9

(a.2) Es verdadera por el teorema (1.4.4.i i ).

Supongamos que

por el teorema (1.4.4.i ).

De esta forma, reemplazando por B por la contenencia anterior obtenemos:

.

Ejercicio: Demostrar la parte ( ii ) del teorema anterior.

Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A y B,

( i ) .

(ii ) .

Demostración:

( i ) teorema ( 1.4.2.i )

Por lo tanto,

teorema ( 1.4.3.i )

Ejercicio: Demostrar la parte ( ii ) del teorema anterior.

Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A, B y C, se cumple lo siguiente:

( i ) Leyes conmutativas

( a )

( b )

( i i )Leyes asociativas

( a )

( b )

( i ii ) Leyes distributivas

( a )

( b )

( i v ) leyes idempotencia

( a )

( b )

( v ) leyes deidentidad

( a )

( b )

( c )

( d )

( v i ) leyes decomplemento

( a )

( b )

( c )

( d )

( e )

( v i i ) leyes de Morgan

( a )

( b )

Demostración:

( i ii.a ) hay que demostrar las dos contenencias:

( 1 )

( 2 )

( 1 )

( 2 )

Ejercicio: Demostrar las demás partes del teorema anterior.

Usando las leyes del álgebra de conjuntos que hemos desarrollado anteriormente, podemos

probar todas las propiedades elementales sobre conjuntos sin referirnos a las definiciones de lo

símbolos . El siguiente es un ejemplo de como tales pruebas se pueden realizar.

Ejemplo:

o Demostrar

Demostrar

Principio de dualidad

Si en una proposición se intercambian en todos los casos en que se presente por y

viceversa, y donde aparezca U por y viceversa, entonces la nueva proposición que resulta se

llama dual de la primera.

Ejemplo:

El dual de,

Obsérvese que la frase dual de cada una de las propiedades enunciadas anteriormente, sobre

álgebra de conjuntos, está también enunciada como una propiedad.

Teorema 1.4.6 Si t es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo entonces el dual

de t también es un teorema de la teoría de conjuntos.

La utilización de este teorema reduce el trabajo de forma considerable en la demostración de

propiedades. En cada una de las propiedades enunciadas anteriormente sobre álgebra de

conjuntos, para cada par de proposiciones duales sólo se necesita demostrar una de ellas y

recurrir a este teorema para quede establecida la demostración de la otra proposición del par.

El teorema anterior está basado en el siguiente principio:

El principio de dualidad: Si ciertos axiomas implican sus propios duales, entonces el dual de

cualquier teorema que sea consecuencia de los axiomas, es también consecuencia de los

axiomas. Pues dado cualquier teorema y su demostración, el dual del teorema se puede

demostrar del mismo modo empleando el dual de cada paso de la primera demostración.

Ejemplo:

Demostrar:

El dual de este teorema fue demostrado en un ejemplo anterior; por tanto, este teorema es

cierto por el principio de dualidad.

Familia de conjuntos

Ocurre a veces que los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Para evitar decir

“conjunto de conjuntos”, se suele decir ”familia de conjuntos” o “colección de conjuntos” .

Utilizaremos letras como

A, B, C,… , para denotar familias o colecciones de conjuntos

Ejemplo:

El conjunto es una familia de conjuntos.

Sus elementos son los conjuntos .

Una colección de conjuntos importante es el conjunto de todos los subconjuntos de un

conjunto dado.

Definición: 1.4.1 Conjunto potencia. Sea A un conjunto. Al conjunto de todos los subconjuntos

de A se le llama el conjunto potencia de A o las partes de A,y se denota P(A). Es decir,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Recordemos que dado un conjunto A se cumple que:

.

Por lo tanto, para cualquier conjunto A se tiene que:

y .

Ejemplo:

Intersección y unión generalizadas

Puesto que la unión e intersección de conjuntos satisfacen las leyes asociativas, los conjuntos

y están bien definidos cuando A, B, y C son conjuntos. Obsérvese que

contiene aquellos elementos que están en por lo menos uno de los conjuntos A, B, y

C, y que contiene aquellos elementos que están en A, B, y C.

Ejemplo:

Sean

Entonces,

En general, podemos considerar uniones e intersecciones de un número arbitrario de conjuntos.

Para esto, introducimos las siguientes definiciones.

Definición: 1.4.2 Unión generalizada de conjuntos. La unión de la colección de conjuntos

es el conjunto de elementos que pertenece a por lo menos un conjunto de la

colección.

Si usamos la notación . Para denotar la unión de los conjuntos o

de manera más abreviada, la notación

Entonces

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo:

Sean

Entonces,

Sean

Entonces,

Ahora generalizamos la intersección de conjuntos

Definición: 1.4.3 Intersección generalizada de conjuntos. La intersección de la colección de

conjuntos , es el conjunto de elementos que pertenece a todos los conjuntos de

la colección.

Si usamos la notación . Para denotar la intersección de los conjuntos

o de manera más abreviada, la notación

Entonces,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo:

Sean

Entonces,

Sean

Entonces,

Familia de conjuntos con índices

En la ultima sección al considerar la colección de conjuntos tenemos lo que se

llama una familia de conjuntos con índices. Si llamamos entonces vemos que a

cada elemento le corresponde un conjunto . En este caso se dice que es el conjunto

de índices, y que la suscrita de , es decir, cada , es un índice de la colección conjuntos.

Más generalmente, utilizamos un conjunto cuyos elementos (no necesariamente

números) sirven como índices para designar los elementos de una colección . La

familia es llamada una familia de conjuntos con índices, es llamado su

conjunto de índices y los elementos de son llamados índices. Una notación compacta para

designar la familia es:

Ejemplo:

Sea , donde

Entonces,

Sea , donde

Entonces,

Obsérvese que puede suceder que , con .

Sea , donde

Entonces,

Sea el conjunto de palabras en español.

Si definimos , entonces,

Obsérvese que los elementos del conjunto de índices, en este caso, no son números.

Sea

Entonces,

Nótese que en la sección anterior las operaciones de intersección y unión de conjuntos fueron

generalizadas para la familia con índices, con conjuntos de índices

. Ahora extendemos estas definiciones a cualquier familia de conjuntos con

índices

Definición: 1.4.4. Sea una familia de conjuntos con índices. La unión de la familia

consiste en aquellos elementos que pertenecen al menos a uno de los de la familia.

En símbolos,

Por lo tanto,

En consecuencia:

Ejemplo:

Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,

Sea el conjunto de palabras en español.

Si definimos,

Entonces,

Sean para .

Entonces,

Ahora definimos la intersección generalizada para una familia con índices:

Definición: 1.4.5. Sea una familia de conjuntos con índices. La intersección de la familia

consiste en aquellos elementos que pertenecen a todos los de la familia. En

símbolos,

Por lo tanto

En consecuencia:

.

Ejemplo:

Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,

Sea , donde .

Entonces,

Sea el conjunto de palabras en español.

Si definimos, .

Entonces,

Sean para .

Entonces,

CAPITULO II: RECURSIÓN Y MATRICES

1.5 Sucesiones

Las sucesiones son un modelo matemático importante en computación para representar

estructuras de datos, como son las listas de objetos.

Es decir, las sucesiones sirven para representar conjuntos de objetos donde interesa tener una

noción de orden lineal entre ellos. El orden en este caso está definido en términos de la

“posición” que ocupan los elementos dentro de la sucesión. Para fijar la posición de un

elemento dentro de una sucesión se utilizan los números naturales o un subconjunto de ellos,

asociando cada número natural con un elemento y sólo un elemento del conjunto de objetos.

Definición: 1.5.1 Sucesión finita. Sea A un conjunto. Una sucesión finita con valores en A es una

correspondencia que asocia con cada número un elemento y sólo un elemento

de A. Utilizamos la representación

para referirnos a la sucesión finita que asocia el elemento con . Gráficamente esta

correspondencia la podemos ilustrar de la siguiente forma:

Decimos en este caso que:

N es la longitud de la sucesión. (el número de elementos)

es el primer elemento.

es el último elemento.

precede a para .

está en la posición .

es el conjunto de valores.

Ejemplo:

Considérese la sucesión

De acuerdo a las definiciones anteriores para esta sucesión tenemos que: 1 es el primer

elemento; 1/6 es el último elemento; 1/3 precede a 1/2; 1/2 sucede a 1/3y 1/4 está en la

posición 4. La longitud de la sucesión es 6 y su conjunto de valores es .

La sucesión es una sucesión finita de longitud 7 con elementos repetidos.

Es decir;

En este caso el conjunto de valores es Además el elemento 0 aparece en las posiciones 2,

3, 4 y 5 Por consiguiente el elemento 0 en la posición 2 precede al elemento 0 en la posición 4.

Dos sucesiones y son iguales si sus correspondientes elementos

son iguales, es decir,

Ejemplo:

Las sucesiones

Son distintas. Obsérvese, sin embargo, que el conjunto de valores de las tres sucesiones es el

mismo: .

Una sucesión que asocia con cada número natural un objeto se le llama sucesión

infinita.

Definición: 1.5.2 Sucesión infinita. Sea A un conjunto. Una sucesión infinita con valores en A es

una correspondencia que asocia con cada número un elemento y sólo un elemento de A.

Utilizamos la representación

para referirnos a la sucesión infinita que asocia el elemento con . Gráficamente

esta correspondencia la podemos ilustrar de la siguiente forma:

Las mismas definiciones dadas para sucesiones finitas se utilizan para las sucesiones infinitas. A

excepción de los conceptos de último elemento y longitud. En este caso no están definidos.

En la sucesión infinita

Es decir,

Su primer elemento es 1; 1/50 está en la posición 50; precede a 1/20 y 1/30 sucede a 1/10. Su

conjunto de valores es: .

En matemáticas es costumbre nombrar las sucesiones por letras minúsculas como a, b, s, y

referirnos a las sucesiones y de manera abreviada por

respectivamente. Con frecuencia llamamos al elemento ,que está en

la posición n de la sucesión s, el término n-esimo de la sucesión.

En computación es más usual nombrar una sucesión por un identificador, por ejemplo, “fact.”.

También se prefiere la notación para el término n-esimo de la sucesión s. Así

representa el término n-ésimo de la sucesión fact.

Ejemplo:

Consideremos la sucesión donde .Esta es la sucesión

Consideremos la sucesión dada por para .Es decir, donde

.Esta es la sucesión .En este caso, su conjunto de

valores es .

Una sucesión importante en computación que se utiliza en problemas de conteo es la

sucesión factorial, definida por . Es decir, el

término n-ésimo de la sucesión factorial es el producto de los primeros n números. Por

ejemplo, ,

.Es costumbre considerar esta sucesión definida a partir de 0, y definir . Una

notación tradicional para denotar esta sucesión es . De esta forma, por ejemplo,

0!=1, 1!=1, 2!=2x1=2, 3!=3x2x1=6

1.6 Sucesiones definidas recursivamente

Los valores de los términos de una sucesión pueden definirse explícitamente mediante fórmulas

como . Hay sucesiones que se definen implícitamente mediante reglas que

permiten encontrar un término de la sucesión utilizando otros términos que lo preceden en la

sucesión.

Definición: 1.6.1 Definición recursiva de sucesión Una sucesión está definida

recursivamente siempre que:

(B)Cláusula base: Los valores de algunos términos de la sucesión, generalmente el primero, o los

primeros, se especifiquen explícitamente.

(R)Cláusula recursiva: Los valores de los otros elementos de la sucesión están definidos en

término de valores previos en la sucesión.

En la cláusula base se dan los valores de los elementos a partir de los cuales se generan los

demás valores de la sucesión.

La cláusula recursiva nos describe la manera (reglas o fórmulas) para obtener los otros valores

de la sucesión (de manera “recurrente”).

Ejemplo: Sucesiones aritméticas

La sucesión definida por , es decir,

Es un ejemplo de sucesión aritmética, en donde cada término se obtiene del anterior

sumándole 2.

Una definición recursiva de esta sucesión es:

(B)

(R) .

En general, una sucesión aritmética es una sucesión en la cual cada término después del primero

se obtiene sumando al término precedente un mismo número fijo d, llamado diferencia común.

Es decir, una sucesión aritmética es de la forma

Teniendo en cuenta la definición anterior, una manera de definir recursivamente una sucesión

aritmética con diferencia común d es:

(B)

(R) .

Utilizando esta definición para la sucesión aritmética con primer término y diferencia

común , podemos calcular por ejemplo,

,

,

,

.

Ejemplo: Sucesiones geométricas

La sucesión definida por , es decir,

Es un ejemplo de sucesión geométrica, donde cada término se obtiene del anterior

multiplicándolo por 2.

Una definición recursiva de esta sucesión es:

(B)

(R) .

En general, una sucesión geométrica es una sucesión en la cual cada término después del

primero se obtiene multiplicando el término precedente por un mismo número fijo r, llamado

razón o cociente común.

Es decir, una sucesión geométrica es de la forma

Teniendo en cuenta la definición anterior, una manera de definir recursivamente una sucesión

geométrica con razón común r es:

(B)

(R)

Utilizando esta definición para la sucesión geométrica con primer término y razón

común podemos calcular por ejemplo,

,

Ejemplo:Potencia entera positiva

Una sucesión importante es el caso particular de sucesión geométrica, en el cual la razón de la

sucesión coincide con el valor del primer término. Por ejemplo,

En este caso el término general de la sucesión es la potencia n-ésima de 2, y como es costumbre

se denota por .

Su definición recursiva es: .

Utilizando la otra notación tenemos .

En general, la potencia entera positiva de un número real se define de manera recursiva por:

(B)

(R) . Utilizando esta definición podemos calcular, por ejemplo,

.

,

,

,

,

.

Ejemplo:Factorial de un número

Como mencionamos antes, el factorial de un número n natural es el producto de los n primeros

números naturales, y el factorial de 0 es 1. Estos números definen la sucesión factorial fact,

donde el término n-ésimo es

La definición recursiva de esta sucesión es

(B)

(R)

Utilizando esta definición podemos calcular, .

,

,

,

,

Utilizando la notación para el factorial de n. La definición recursiva de la sucesión fact se

puede escribir como

(B)

(R)

Teniendo en cuenta la definición recursiva de y podemos tratar de expresar en

términos de su predecesor.

Para obtenemos

Luego .

Haciendo en la formula inicial, obtenemos que . Luego se define recursivamente

por:

(B)

(R)