algebra di boole e funzioni binarie lezione prima

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  • Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima
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  • Prof. Abramo Carmelo2 Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- propriet Funzioni Minterm Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh Fine lezione
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  • Prof. Abramo Carmelo3 Variabili Binarie Variabile binaria: grandezza matematica che pu assumere due soli valori: 0 o 1. Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto.negazionesommaprodotto La negazione di una variabile binaria x si indica con x (non x o x negato)
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  • Prof. Abramo Carmelo4 Negazione Possiamo rappresentare il valore di x tramite tabella di verit: xx 01 10
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  • Prof. Abramo Carmelo5 Somma logica La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1in) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso. x1x1 x2x2 x 1 + x 2 000 011 101 111 esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verit
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  • Prof. Abramo Carmelo6 Prodotto logico Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1in) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso x1x1 x2x2 x 1. x 2 000 010 100 111 esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verit
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  • Prof. Abramo Carmelo7 Relazioni e propriet SommaProdotto x + 1 = 1x 0 = 0 x + 0 = xx 1 = x x 1 + x 2 = x 2 + x 1 x 1 x 2 = x 2 x 1 x 1 + x 2 + x3 = (x 1 + x 2 ) + x3x 1 x 2 x3= (x 1 x 2 ) x3 x 1 x 2 + x 1 x 3 = x 1 (x 2 + x3)(x 1 + x 2 ) (x 1 + x3) = x 1 + x2 x3 Le relazioni e propriet degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella
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  • Prof. Abramo Carmelo8 Relazioni e propriet Per la negazione valgono le seguenti relazioni e propriet: Negazione 0 = 0 1 = 1 x = x x + x = 1 x x = 0 x x due volte negato
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  • Prof. Abramo Carmelo9 Funzioni Con n variabili binarie (x1, x2, xn) si possono formare 2 n configurazioni diverse. Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro pu valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (2 2 ) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11. Cos con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 2 3 =8 configurazioni diverse che sono: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
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  • Prof. Abramo Carmelo10 Funzioni Diremo che una variabile y funzione di n variabili indipendenti x1, x2, xn e si scrive: y = F (x1, x2, xn) quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).
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  • Prof. Abramo Carmelo11 Funzioni Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2,xn) che si possono costruire sono pari a (2 2 ) n Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a (2 2 ) 3 = 2 8 = 256
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  • Prof. Abramo Carmelo12 Funzioni Una funzione pu essere rappresentata sotto forma di tabella di verit, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, xn il valore assunto dalla y. Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verit di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarie Cliccare sullimmagine
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  • Prof. Abramo Carmelo13 Minterm Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x 1 x 2 x 3 = 011 indica tra le 2 3 =8 configurazioni possibili, quella in cui x 1 vale 0, x 2 vale 1 e x 3 vale 1. Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x 1 x 2 x 3 Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato. Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verit in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1fig.1 Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni: x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm
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  • Prof. Abramo Carmelo14 Minterm La funzione conoscendo la sua tabella di verit, potr essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi. Nel caso della funzione in esempio scriveremo y = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Se una funzione direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sar possibile costruire la sua tabella di verit, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.
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  • Prof. Abramo Carmelo15 Minterm Ad esempio data la funzione di 3 variabili F(x,y,z) = xyz + xyz + xyz la sua tabella di verit sar: xy zF(x,y,z) 0000 0010 0100 xyz0111 1000 xyz1011 xyz1101 1110
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  • Prof. Abramo Carmelo16 Teoremi TEOREMI DirettoDuale Idempotenzax + x + x + --- x = xx x x --- x = x Assorbimento x + xy = xx (x +y) = x x + xy = x + yx (x + y) = x y xy +yz + xz = xy + xz(x +y)(y+z)(x+z) = (x+y) (x+z) De Morgan(x+y) = x y(x y) = x + y
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  • Prof. Abramo Carmelo17 Maxtem Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo:fig.1 y = (x1+x2+x3) (x1+x2+x3) (x1+x2+x3).(x1+x2+x3) (x1+x2+x3) ossia sotto forma di prodotto di somme. Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).
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  • Prof. Abramo Carmelo18 Maxtem Lespressione della y come prodotto di maxterm si pu ottenere dalla tabella di verit della funzione; ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione; ogni maxterm la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.
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  • Prof. Abramo Carmelo19 Forma Canonica Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di: somme di prodotti (minterm) prodotti di somme (maxterm) si chiamano forme canoniche di una funzione binaria.
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  • Prof. Abramo Carmelo20 Mappe di KARNAUGH Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. 01 xx Mappa di K. per funzione ad 1 variabile x Mappa di K. per funzione a 2 variabili x,y con allinterno rappresentati i relativi minterm x 01 y 0xyxy 1xyxy
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  • Prof. Abramo Carmelo21 Mappe di KARNAUGH La mappa di K. per una funzione a 3 variabili x,y,z un rettangolo diviso in 8 celle come nellesempio. Al solito dentro le celle sono stati scritti i relativi minterm. xy 00011110 z 0xyzxyzxyzxyz 1xyzxyzxyzxyz Le coordinate della tabella vanno sistemate in modo che nel passaggio da una cella allaltra ci sia un sola variazione. Infatti le coordinate per la xy saranno 00 01 11 10.
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  • Prof. Abramo Carmelo22 Mappe di KARNAUGH Una mappa di K. per 4 variabili x,y,v,z un rettangolo diviso in 16 celle. Allinterno indichiamo al solito i relativi minterm. xy 00011110 vz 00 xyvz xyvzxyvzxyvz 01xyvzxyvzxyvzxyvz 11xyvzxyvzxyvzxyvz 10xyvzxyvzxyvzxyvz Si omette di parlare delle mappe di K. a 5 e 6 variabili
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  • Prof. Abramo Carmelo23 Mappe di KARNAUGH Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana; basta scrivere 1 in quelle caselle che hanno le coordinate della tabella di verit in cui la funzione vale 1. xyz F(x,y, z) 0001 0010 0101 0111 1000 1011 1100 1111 xy 00011110 z 011 1111 Rappresentazione con Mappa di K. della funzione a lato.
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  • Prossima Lezione: Semplificazioni di funzioni binarie Arrivederci!