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Conceptos de Algebra Lineal

Fernando Lozano

Universidad de los Andes

21 de enero de 2015

Fernando Lozano (Universidad de los Andes)Conceptos de Algebra Lineal 21 de enero de 2015 1 / 23

Sistema de ecuaciones lineales

Ax = b

A Rmn: m ecuaciones, n incgnitas.x Rnb Rm



Ax = b

A Rmn: m ecuaciones, n incgnitas.

x Rnb Rm



Ax = b

A Rmn: m ecuaciones, n incgnitas.x Rn

b Rm



Ax = b

A Rmn: m ecuaciones, n incgnitas.x Rnb Rm


Visto desde las filas

Ax = b

cT1 xcT2 x...

cTmx

=b1b2...bm

cix = bi: Ecuacin de hiperplano (n dimensiones).Interseccin de m hiperplanos.



Ax = b

cT1 xcT2 x...

cTmx

=b1b2...bm

cix = bi:

Ecuacin de hiperplano (n dimensiones).Interseccin de m hiperplanos.



Ax = b

cT1 xcT2 x...

cTmx

=b1b2...bm

cix = bi: Ecuacin de hiperplano (n dimensiones).

Interseccin de m hiperplanos.



Ax = b

cT1 xcT2 x...

cTmx

=b1b2...bm

cix = bi: Ecuacin de hiperplano (n dimensiones).Interseccin de m hiperplanos.


2u+ v + w = 5

4u 6v = 22u+ 7v + 2w = 9


Visto desde las columnas

Ax = b

a1 a2 . . . anx1x2...xn

=b1b2...bm

x1a1 + x2a2 + + xnan = b

b combinacin lineal de a1, . . .anb span{a1, . . .an}?



Ax = b

a1 a2 . . . anx1x2...xn

=b1b2...bm

x1a1 + x2a2 + + xnan = b

b combinacin lineal de a1, . . .an

b span{a1, . . .an}?



Ax = b

a1 a2 . . . anx1x2...xn

=b1b2...bm

x1a1 + x2a2 + + xnan = b

b combinacin lineal de a1, . . .anb span{a1, . . .an}?


u 242

+ v 16

7

+ w10

2

= 52

9


Soluciones?

1 m = n:I Si A es de rango completo: solucin nica para cualquier b.I Si A no es de rango completo: depende de b:

F No hay solucin.F Infinitas soluciones.

2 m < nI Depende de b:

F No hay solucin.F Si hay una solucin, existen infinitas soluciones.

I Si b = 0, existe solucin no trivial.3 m > n

I Depende de b:F No hay solucin.F Existe una solucin nica.F Existen infinitas soluciones.


Soluciones?

1 m = n:

I Si A es de rango completo: solucin nica para cualquier b.I Si A no es de rango completo: depende de b:







Soluciones?

1 m = n:I Si A es de rango completo:

solucin nica para cualquier b.I Si A no es de rango completo: depende de b:







Soluciones?

1 m = n:I Si A es de rango completo: solucin nica para cualquier b.

I Si A no es de rango completo: depende de b:F No hay solucin.F Infinitas soluciones.






Soluciones?

1 m = n:I Si A es de rango completo: solucin nica para cualquier b.I Si A no es de rango completo:

depende de b:F No hay solucin.F Infinitas soluciones.






Soluciones?








Soluciones?


F No hay solucin.

F Infinitas soluciones.2 m < n

I Depende de b:F No hay solucin.F Si hay una solucin, existen infinitas soluciones.




Soluciones?








Soluciones?



2 m < n

I Depende de b:F No hay solucin.F Si hay una solucin, existen infinitas soluciones.




Soluciones?








Soluciones?




F No hay solucin.

F Si hay una solucin, existen infinitas soluciones.I Si b = 0, existe solucin no trivial.

3 m > nI Depende de b:

F No hay solucin.F Existe una solucin nica.F Existen infinitas soluciones.


Soluciones?








Soluciones?





I Si b = 0, existe solucin no trivial.

3 m > nI Depende de b:



Soluciones?






I Depende de b:



Soluciones?






I Depende de b:F No hay solucin.

F Existe una solucin nica.F Existen infinitas soluciones.


Soluciones?






I Depende de b:F No hay solucin.F Existe una solucin nica.

F Existen infinitas soluciones.


Soluciones?








Caso m n, A de rango completo

n variables

{nm variables libresm variables bsicas

Escogemos m columnas linealmente independientes de A:

a1 a2 . . . am am+1 am+2 . . . an

x1x2...xmxm+1xm+2

...xn

=

b1b2...bm

a1 a2 . . . amx1x2...xm

=b1b2...bm


Caso m n, A de rango completon variables

{nm variables libresm variables bsicas

Escogemos m columnas linealmente independientes de A:

a1 a2 . . . am am+1 am+2 . . . an

x1x2...xmxm+1xm+2

...xn

=

b1b2...bm

a1 a2 . . . amx1x2...xm

=b1b2...bm


Vectores y Valores Propios

DefinicinSea A una matriz n n. Se dice que u Rn es un vector propio de Asi existe C tal que

Au = u

Podemos escribir:(A I)u = 0

es decir:El vector u est en el espacio nulo de la matriz A I.El nmero se escoge de manera que A I tenga espacio nulo.




Au = u


es decir:

El vector u est en el espacio nulo de la matriz A I.El nmero se escoge de manera que A I tenga espacio nulo.




Au = u


es decir:El vector u est en el espacio nulo de la matriz A I.

El nmero se escoge de manera que A I tenga espacio nulo.




Au = u


es decir:El vector u est en el espacio nulo de la matriz A I.El nmero se escoge de manera que A I tenga espacio nulo.


Receta

1 Calcule el determinante de A I. (polinomio de grado n)2 Halle las races de este polinomio: 1, 2, . . . , n.3 Para cada i solucione

(A iI)ui = 0

(dado que det(A iI) = 0 existen soluciones no triviales).


Receta

1 Calcule el determinante de A I. (polinomio de grado n)

2 Halle las races de este polinomio: 1, 2, . . . , n.3 Para cada i solucione

(A iI)ui = 0



Receta

1 Calcule el determinante de A I. (polinomio de grado n)2 Halle las races de este polinomio: 1, 2, . . . , n.

3 Para cada i solucione

(A iI)ui = 0



Receta

1 Calcule el determinante de A I. (polinomio de grado n)2 Halle las races de este polinomio: 1, 2, . . . , n.3 Para cada i solucione

(A iI)ui = 0



Algunas Propiedades

1 + 2 + + n =

a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann

1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n =

det(A)

Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)

Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son

linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.

Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un]

entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

=

yA = SS1


Algunas Propiedades

1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann1 2 n = det(A)Si u1,u2, . . .uk corresponden a valores propios diferentes entoncesu1,u2, . . .uk son linealmente independientes.Si u1,u2, . . .un son linealmente independientes yS = [u1|u2| . . . |un] entonces

S1AS =

1

2. . .

n

= y

A = SS1


Matriz simtrica real (A = AT )

1, 2, . . . .n R.Si 1, 2, . . . .n son diferentes vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales base ortonormal!.En este caso S1 = ST , y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn

Podemos representar vectores como combinacin lineal de vectorespropios.

e =nj=1

ajuj donde aj = e,uj



1, 2, . . . .n R.

Si 1, 2, . . . .n son diferentes vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales base ortonormal!.En este caso S1 = ST , y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1




1, 2, . . . .n R.Si 1, 2, . . . .n son diferentes

vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales base ortonormal!.En este caso S1 = ST , y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1




1, 2, . . . .n R.Si 1, 2, . . . .n son diferentes vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales

base ortonormal!.En este caso S1 = ST , y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1




1, 2, . . . .n R.Si 1, 2, . . . .n son diferentes vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales base ortonormal!.

En este caso S1 = ST , y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1




1, 2, . . . .n R.Si 1, 2, . . . .n son diferentes vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales base ortonormal!.En este caso S1 =

ST , y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1




1, 2, . . . .n R.Si 1, 2, . . . .n son diferentes vectores propios u1,u2, . . . ,un sepueden escoger ortonormales base ortonormal!.En este caso S1 = ST ,

y podemos diagonalizar:

A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1





A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1





A = SST =

1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1





A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =nj=1





A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =

nj=1

ajuj

donde aj = e,uj




A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =

nj=1

ajuj donde aj =

e,uj




A = SST = 1u1uT1 + 2u2u

T2 + + nunuTn


e =

nj=1



Podemos expresar el tamao del vector en trminos de los aj :

e2 = e, e

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiui

=i,j

aiajui,uj

=j

a2j

Pitgoras!


Norma (espectral) de una matriz Q

Mxima ganancia:

Q = maxx 6=0Qxx

= maxx 6=0

xT (QTQ)x

x

1 2 n valores propios, v1,v2, . . . ,vn vectores propiosde QTQ, x =

j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1



Mxima ganancia:

Q = maxx 6=0Qxx = maxx 6=0

xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x

1 2 n valores propios, v1,v2, . . . ,vn vectores propiosde QTQ,

x =

j ajvj :x, (QTQ)x

x2 =

j a

2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a

2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2

=

j a

2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 =

1 Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1

Q2 = 1



Mxima ganancia:


xT (QTQ)x

x


j ajvj :

x, (QTQ)x

x2 =

j a2jj

j a2j

1

Si x = v1, v1, (Q

TQ)v1

v1 = 1 Q2 = 1


Matrices positivas definidas

DefinicinUna matriz Q Rnn es positiva definida (denotado Q > 0), six Rn, x 6= 0:

xTQx > 0

Tests:Todos los valores propios i de Q satisfacen i > 0.Todos los pivotes di de Q (sin intercambio de filas) satisfacendi > 0.Todas las submatrices superior izquierdas Qk tienen determinantespositivos.




xTQx > 0

Tests:

Todos los valores propios i de Q satisfacen i > 0.Todos los pivotes di de Q (sin intercambio de filas) satisfacendi > 0.Todas las submatrices superior izquierdas Qk tienen determinantespositivos.




xTQx > 0

Tests:Todos los valores propios i de Q satisfacen i > 0.

Todos los pivotes di de Q (sin intercambio de filas) satisfacendi > 0.Todas las submatrices superior izquierdas Qk tienen determinantespositivos.




xTQx > 0

Tests:Todos los valores propios i de Q satisfacen i > 0.Todos los pivotes di de Q (sin intercambio de filas) satisfacendi > 0.

Todas las submatrices superior izquierdas Qk tienen determinantespositivos.




xTQx > 0

Tests:Todos los valores propios i de Q satisfacen i > 0.Todos los pivotes di de Q (sin intercambio de filas) satisfacendi > 0.Todas las submatrices superior izquierdas Qk tienen determinantespositivos.


Interpretacin 1

x

Qx


Interpretacin 2

Sea Q > 0 y S la matriz cuyas columnas son los vectores propiosde Q,

Q = SST

con i > 0.

Cambio de variable y = STx.xTQx = 1 se simplifica a:

xTSSTx = 1

yTy = 1

1y21 + + ny2n = 1

Elipsoide con ejes con longitud 1/1, . . . , 1/

n desde el centro,

que en el espacio original estn en la direccin de los vectorespropios.


Interpretacin 2


Q = SST

con i > 0.Cambio de variable y = STx.

xTQx = 1 se simplifica a:

xTSSTx = 1

yTy = 1

1y21 + + ny2n = 1


n desde el centro,



Interpretacin 2


Q = SST

con i > 0.Cambio de variable y = STx.xTQx = 1 se simplifica a:

xTSSTx = 1

yTy = 1

1y21 + + ny2n = 1


n desde el centro,



12

= 1


12

= 4


Producto punto con respecto a Q > 0DefinicinSea Q Rnn una matriz positiva definida. Para x,y Rn definimosel producto punto:

x,yQ = x,Qy

= xTQy

Chequeando propiedades:Simetra: x,yQ = y,xQLinealidad:

ax,yQ = a x,yQ , x + y, zQ = x, zQ + y, zQ

Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy



Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy

Chequeando propiedades:

Simetra: x,yQ = y,xQLinealidad:


Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy

Chequeando propiedades:Simetra: x,yQ = y,xQ

Linealidad:


Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy



Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy


ax,yQ = a x,yQ ,

x + y, zQ = x, zQ + y, zQ

Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy



Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0



x,yQ = x,Qy = xTQy



Positividad:

x,xQ 0 y x,xQ = 0 x = 0Fernando Lozano (Universidad de los Andes)Conceptos de Algebra Lineal 21 de enero de 2015 22 / 23

Norma con respecto a Qx2Q =

x,xQ = xTQx.Si Q tiene valores propios 1, 2, . . . , n > 0 con vectores propioscorrespondientes u1,u2, . . . ,un,

x =nj=1

ajuj donde aj = x,uj

y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj


Norma con respecto a Qx2Q = x,xQ

= xTQx.Si Q tiene valores propios 1, 2, . . . , n > 0 con vectores propioscorrespondientes u1,u2, . . . ,un,

x =nj=1


y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj


Norma con respecto a Qx2Q = x,xQ = xTQx.

Si Q tiene valores propios 1, 2, . . . , n > 0 con vectores propioscorrespondientes u1,u2, . . . ,un,

x =nj=1


y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj


Norma con respecto a Qx2Q = x,xQ = xTQx.Si Q tiene valores propios 1, 2, . . . , n > 0 con vectores propioscorrespondientes u1,u2, . . . ,un,

x =nj=1


y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj



x =

nj=1

ajuj

donde aj = x,uj

y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj



x =

nj=1

ajuj donde aj =

x,uj

y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj



x =

nj=1


y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=nj=1

a2jj



x =

nj=1


y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=

nj=1

a2jj



x =

nj=1


y

x2Q =

nj=1

ajuj ,Q

ni=1

aiui

=

nj=1

ajuj ,

ni=1

aiiui

=i,j

ajaii uj ,ui

=

nj=1

a2jj


Sistema de ecuaciones linealesVectores y Valores PropiosMatrices positivas definidasProducto punto y norma con respecto a Q>0

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