algebra lineal 2014-07-26

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

Álgebra Lineal – Parte 2

26 de julio de 2014

Conocemos transformaciones lineales del tipo 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 tal que 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛.

Nótese que es bastante sencillo determinar el núcleo y el recorrido de estas transformaciones, pues

tenemos:

𝑁𝑢(𝑇) = {𝑋 ∈ ℝ𝑛 | 𝐴𝑋 = 0ℝ𝑚} = 𝑁𝑢(𝐴)

𝑅𝑒(𝑇) = {𝑌 ∈ ℝ𝑚 | 𝐴𝑋 = 𝑌 ; 𝑋 ∈ ℝ𝑛} = 𝑅𝑒(𝐴) = 𝐶𝐴

Básicamente, esta transformación lineal se puede definir en términos de una regla de

correspondencia, o en términos de la matriz 𝐴. Veamos un ejemplo:

Sea 𝑇: ℝ3 → ℝ3 tal que 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 = (2 1 −13 −1 −21 2 3

).

Sea 𝑋 = (𝑥𝑦𝑧

) ∈ ℝ3 entonces 𝑇(𝑋) = 𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = (2 1 −13 −1 −21 2 3

) (𝑥𝑦𝑧

) = (

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧

)

Tenemos entonces que la transformación lineal pudo haberse definido originalmente como

𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = (

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧

) pero se la puede representar por medio de la matriz (2 1 −13 −1 −21 2 3

).

Esto aparentemente sólo ocurriría con transformaciones 𝑇: ℝ𝑛 → ℝ𝑚, sin embargo cuando las

transformaciones son 𝑇: 𝑉 → 𝑊 con espacios vectoriales cualesquiera 𝑉, 𝑊, se puede utilizar

coordenadas respecto a bases específicas de estos espacios, pues los vectores de coordenadas son

elementos de ℝ𝑛 donde 𝑛 es la dimensión del espacio en cuestión. Bajo este punto de vista, si

tenemos bases definidas de espacios vectoriales 𝑉, 𝑊 podemos definir una transformación lineal

en términos de una matriz, como si fuese una transformación entre ℝ𝑛, ℝ𝑚.

Representación Matricial de una Transformación Lineal

Sean 𝐵1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} y 𝐵2 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑚} bases de los espacios vectoriales de

dimensión finita 𝑉 y 𝑊 respectivamente. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Se dice que la

representación matricial o matriz asociada a 𝑇, denotada 𝐴𝑇, tiene por columnas a las

coordenadas de las transformadas de los vectores de la base 𝐵1, respecto de la base 𝐵2.

𝐴𝑇 = ([𝑇(𝑣1)]𝐵2[𝑇(𝑣2)]𝐵2 … [𝑇(𝑣𝑛)]𝐵2

)

∀𝑣 ∈ 𝑉 [𝑇(𝑣)]𝐵2= 𝐴𝑇[𝑣]𝐵1


Ojo: La matriz asociada a una transformación lineal podría no ser cuadrada, su número de filas es

igual a la dimensión del espacio de llegada, y su número de columnas es la dimensión del espacio

de salida. Además, si la matriz es cuadrada, podría ser que su inversa no exista.

La notación utilizada para la representación matricial de 𝑇 o matriz asociada a 𝑇 es el nombre de

la matriz y como subíndice el nombre de la transformación 𝐴𝑇 o el nombre de la transformación

entre corchetes y como subíndice las bases de partida y llegada [𝑇]𝐵1𝐵2

Transformación Lineal Inyectiva, Sobreyectiva e Isomorfismo

Definición: Transformación Lineal Inyectiva: Se dice que la transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es

inyectiva, si ocurre que:

∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 [𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2) ⇔ 𝑣1 = 𝑣2]

Teorema: Una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es inyectiva, si y sólo si, el único vector que se

encuentra en el núcleo de 𝑇 es el 0𝑉:

𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉}

Definición: Transformación Lineal Sobreyectiva: La transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es llamada

sobreyectiva si para todo vector 𝑤 ∈ 𝑊 existe al menos un vector 𝑣 ∈ 𝑉, tal que 𝑇(𝑣) = 𝑤.

∀𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑤 = 𝑇(𝑣)

En otras palabras, 𝑇 es sobreyectiva si 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊.

Ojo: Notar que 𝑇 es inyectiva si y sólo si 𝜈(𝑇) = 0 y sobreyectiva si y sólo si 𝜌(𝑇) = dim 𝑊

Definición: Isomorfismo: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Se dice que 𝑇 es un

isomorfismo si 𝑇 es inyectiva y 𝑇 es sobreyectiva. Es decir, 𝑇 es llamada un isomorfismo si 𝑇 es

biyectiva.

Definición: Espacios Vectoriales Isomorfos: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión

finita. Se dice que 𝑉 y 𝑊 son espacios isomorfos, lo cual denotaremos 𝑉 ≅ 𝑊, si existe una

transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 que es un isomorfismo.

Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita, y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación

lineal. Entonces:

i. Si dim 𝑉 > dim 𝑊, 𝑇 no es inyectiva.

ii. Si dim 𝑉 < dim 𝑊, 𝑇 no es sobreyectiva.

iii. Si dim 𝑉 = dim 𝑊, 𝑇 es inyectiva si y sólo si 𝑇 es sobreyectiva.


Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita. Los espacios 𝑉 y 𝑊 son isomorfos

(𝑉 ≅ 𝑊) si y sólo si tienen la misma dimensión (dim 𝑉 = dim 𝑊).

Operaciones con Transformaciones Lineales

Las transformaciones lineales a la larga son funciones, y así como podemos realizar operaciones

con funciones, también podemos hacerlo con las transformaciones lineales. Normalmente,

nosotros definimos la suma, resta, multiplicación y división entre funciones, el producto por

constantes y la composición de funciones. Para efectos de álgebra lineal utilizaremos la suma entre

transformaciones lineales y el producto por escalares (obviamente, esto incluirá la resta). Entonces,

tal como lo haríamos con funciones, tenemos la siguiente definición:

Definición: Transformaciones Suma y Multiplicación por Escalar: Sean 𝑉, 𝑊 dos 𝐾-espacios

vectoriales, sean 𝑇1: 𝑉 → 𝑊 y 𝑇2: 𝑉 → 𝑊 dos transformaciones lineales, y sea 𝑘 ∈ 𝐾. Se definen

la suma y la multiplicación por escalar de la siguiente manera:

Transformación Suma: 𝑇1 + 𝑇2: 𝑉 → 𝑊 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) = 𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣)

Transformación Multiplicación por Escalar: 𝑘𝑇1: 𝑉 → 𝑊 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑘𝑇1)(𝑣) = 𝑘𝑇1(𝑣)

Es decir, la transformación suma, que toma un vector 𝑣 ∈ 𝑉 y devuelve un vector 𝑤 ∈ 𝑊, se define

de tal manera que la transformada de 𝑣 es la suma de 𝑇1(𝑣) y 𝑇2(𝑣). Asimismo la transformación

multiplicación por escalar, que toma un vector 𝑣 ∈ 𝑉 y devuelve un vector 𝑤 ∈ 𝑊, se define de

tal manera que la transformada de 𝑣 es el producto del escalar 𝑘 por 𝑇1(𝑣). Notamos que son

transformaciones puesto que toman vectores del espacio 𝑉 y devuelven vectores del espacio 𝑊,

pero ¿son transformaciones lineales? Verifiquemos que cumplan los criterios de linealidad:

¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1) + (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣2)?

(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇1(𝑣1 + 𝑣2) + 𝑇2(𝑣1 + 𝑣2) Definición de 𝑇1 + 𝑇2

(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇1(𝑣1) + 𝑇1(𝑣2) + 𝑇2(𝑣1) + 𝑇2(𝑣2) Linealidad de 𝑇1 y 𝑇2

(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑇1(𝑣1) + 𝑇2(𝑣1)) + (𝑇1(𝑣2) + 𝑇2(𝑣2)) Asociatividad de la suma

(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣1) + (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣2) Definición de 𝑇1 + 𝑇2

¡Se cumple!

¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣)?

(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝑇1(𝛼𝑣) + 𝑇2(𝛼𝑣) Definición de 𝑇1 + 𝑇2

(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇1(𝑣) + 𝛼𝑇2(𝑣) Linealidad de 𝑇1 y 𝑇2

(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣)) Distribución de multiplicación por escalar respecto a suma


(𝑇1 + 𝑇2)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) Definición de 𝑇1 + 𝑇2

¡Se cumple!

∴ 𝑇1 + 𝑇2 es una transformación lineal ∎

Hagamos la verificación para la transformación multiplicación por escalar:

¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 (𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑘𝑇1)(𝑣1) + (𝑘𝑇1)(𝑣2)?

(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑘𝑇1(𝑣1 + 𝑣2) Definición de 𝑘𝑇1

(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑘(𝑇1(𝑣1) + 𝑇1(𝑣2)) Linealidad de 𝑇1

(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑘𝑇1(𝑣1) + 𝑘𝑇1(𝑣2) Distribución de la multiplicación respecto a suma

(𝑘𝑇1)(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑘𝑇1)(𝑣1) + (𝑘𝑇1)(𝑣2) Definición de 𝑘𝑇1

¡Se cumple!

¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑘𝑇1)(𝑣)?

(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝑘𝑇1(𝛼𝑣) Definición de 𝑘𝑇1

(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝑘𝛼𝑇1(𝑣) Linealidad de 𝑇1

(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑘𝑇1(𝑣)) Asociatividad de multiplicación por escalar

(𝑘𝑇1)(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑘𝑇1)(𝑣) Definición de 𝑘𝑇1

¡Se cumple!

∴ 𝑘𝑇1 es una transformación lineal ∎

Con esto podemos notar que, dadas dos transformaciones lineales de un espacio vectorial 𝑉 a un

espacio vectorial 𝑊, la suma entre ellas también es una transformación lineal de 𝑉 a 𝑊, es decir,

la suma es “cerrada” entre transformaciones lineales de 𝑉 a 𝑊. Asimismo, la multiplicación entre

una transformación lineal de 𝑉 a 𝑊 y un escalar cualquiera de un campo 𝐾, da como resultado una

transformación lineal de 𝑉 a 𝑊, de forma que la multiplicación por escalar también es “cerrada”

en transformaciones lineales de 𝑉 a 𝑊.

Consideremos todas las transformaciones lineales que van de 𝑉 a 𝑊 como parte del conjunto

𝐿(𝑉, 𝑊). Sabemos que la suma y la multiplicación por escalar son cerradas en este conjunto.

Realizaremos un análisis para demostrar que en este conjunto se cumplen las 8 propiedades que

definen a los espacios vectoriales:

1. ¿∀𝑇1, 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝑇1 + 𝑇2 = 𝑇2 + 𝑇1?


∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) = 𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣) = 𝑇2(𝑣) + 𝑇1(𝑣) = (𝑇2 + 𝑇1)(𝑣)

2. ¿∀𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝑇1 + 𝑇2) + 𝑇3 = 𝑇1 + (𝑇2 + 𝑇3)?

∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑇1 + 𝑇2) + 𝑇3)(𝑣) = (𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) + 𝑇3(𝑣) = 𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣) + 𝑇3(𝑣)

= 𝑇1(𝑣) + (𝑇2 + 𝑇3)(𝑣) = (𝑇1 + (𝑇2 + 𝑇3))(𝑣)

3. ¿∃0𝐿(𝑉,𝑊) ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) ∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝑇 + 0𝐿(𝑉,𝑊) = 𝑇?

Se encuentra la regla de correspondencia de 0𝐿(𝑉,𝑊) (demostrando así su existencia)

∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇 + 0𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣)

𝑇(𝑣) + 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣) = 𝑇(𝑣)

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣) = 0𝑊 ; ∀𝑣 ∈ 𝑉

Se verifica que 0𝐿(𝑉,𝑊) ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊), es decir, se verifica si es una transformación lineal

¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1) + 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣2)?

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0𝑊

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0𝑊 + 0𝑊

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1 + 𝑣2) = 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣1) + 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣2)

¡Se cumple!

¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 𝛼0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)?

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 0𝑊

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 𝛼0𝑊

0𝐿(𝑉,𝑊)(𝛼𝑣) = 𝛼0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)

¡Se cumple!

∴ 0𝐿(𝑉,𝑊) es una transformación lineal ∎

Se verifica que se cumple la condición

¿∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇 + 0𝐿(𝑉,𝑊) = 𝑇?

(𝑇 + 0𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣) + 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)

(𝑇 + 0𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣) + 0𝑊

(𝑇 + 0𝐿(𝑉,𝑊))(𝑣) = 𝑇(𝑣)

¡Se cumple!

4. ¿∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) ∃�̃� ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝑇 + �̃� = 0𝐿(𝑉,𝑊)?

Se encuentra la regla de correspondencia de �̃� (demostrando así su existencia)

∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑇 + �̃�)(𝑣) = 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)

𝑇(𝑣) + �̃�(𝑣) = 0𝑊


�̃�(𝑣) = 𝑇(𝑣)̃

�̃�(𝑣) = (𝑛∙)+′ 𝑇(𝑣) ; ∀𝑣 ∈ 𝑉

Se verifica que �̃� ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊), es decir, se verifica si es una transformación lineal

¿∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 �̃�(𝑣1 + 𝑣2) = �̃�(𝑣1) + �̃�(𝑣2)?

�̃�(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑛∙)+′ (𝑇(𝑣1 + 𝑣2))

�̃�(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑛∙)+′ (𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2))

�̃�(𝑣1 + 𝑣2) = (𝑛∙)+′ 𝑇(𝑣1) + (𝑛∙)+

′ 𝑇(𝑣2)

�̃�(𝑣1 + 𝑣2) = �̃�(𝑣1) + �̃�(𝑣2)

¡Se cumple!

¿∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 �̃�(𝛼𝑣) = 𝛼�̃�(𝑣)?

�̃�(𝛼𝑣) = (𝑛∙)+′ 𝑇(𝛼𝑣)

�̃�(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑛∙)+′ 𝑇(𝑣)

�̃�(𝛼𝑣) = 𝛼�̃�(𝑣)

¡Se cumple!

∴ �̃� es una transformación lineal ∎

5. ¿∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝛼(𝛽𝑇) = (𝛼𝛽)𝑇?

∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝛼(𝛽𝑇))(𝑣) = 𝛼((𝛽𝑇)(𝑣)) = 𝛼 (𝛽(𝑇(𝑣))) = (𝛼𝛽)(𝑇(𝑣)) = ((𝛼𝛽)𝑇)(𝑣)

6. ¿ ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝛼 + 𝛽)𝑇 = (𝛼𝑇) + (𝛽𝑇)?

∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝛼 + 𝛽)𝑇)(𝑣) = (𝛼 + 𝛽)𝑇(𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣) + 𝛽𝑇(𝑣) = (𝛼𝑇)(𝑣) + (𝛽𝑇)(𝑣)

7. ¿ ∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑇1, 𝑇2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) 𝛼(𝑇1 + 𝑇2) = (𝛼𝑇1) + (𝛼𝑇2)?

∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝛼(𝑇1 + 𝑇2))(𝑣) = 𝛼(𝑇1 + 𝑇2)(𝑣) = 𝛼(𝑇1(𝑣) + 𝑇2(𝑣)) = 𝛼𝑇1(𝑣) + 𝛼𝑇2(𝑣)

= (𝛼𝑇1)(𝑣) + (𝛼𝑇2)(𝑣)

8. ¿∀𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) (𝑛∙)𝑇 = 𝑇?

∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑛∙)𝑇)(𝑣) = (𝑛∙)𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑣)

∴ 𝐿(𝑉, 𝑊) es un 𝐾-espacio vectorial ∎

Definición: Espacio de Transformaciones Lineales: Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales, se dice

que 𝐿(𝑉, 𝑊) es el espacio vectorial de las transformaciones lineales que van de 𝑉 a 𝑊.

Teorema: Sean𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita. El espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊)

es entonces de dimensión finita, tal que:

dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = (dim 𝑉)(dim 𝑊)


Observación: Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sean 𝐵𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}

y 𝐵𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑚} bases de 𝑉 y 𝑊 respectivamente. Diremos que la base canónica del

espacio 𝐿(𝑉, 𝑊) es la siguiente:

𝐵 = {𝑇11, 𝑇12, … , 𝑇1𝑛, 𝑇21, 𝑇22, … , 𝑇2𝑛, … , 𝑇𝑚1, 𝑇𝑚2, … , 𝑇𝑚𝑛}

Donde, para cualquier vector 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 ∈ 𝑉:

𝑇11(𝑣) = 𝛼1𝑤1 , 𝑇12(𝑣) = 𝛼2𝑤1, … , 𝑇1𝑛 = (𝑣) = 𝛼𝑛𝑤1

𝑇21(𝑣) = 𝛼1𝑤2 , 𝑇22(𝑣) = 𝛼2𝑤2, … , 𝑇2𝑛 = (𝑣) = 𝛼𝑛𝑤2

⋮𝑇𝑚1(𝑣) = 𝛼1𝑤𝑚 , 𝑇𝑚2(𝑣) = 𝛼2𝑤𝑚, … , 𝑇𝑚𝑛 = (𝑣) = 𝛼𝑛𝑤𝑚

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Demostraciones.

A continuación demostraré algunos de los teoremas de la sección teórica de este documento como

refuerzo para entenderlos mejor.

Teorema: Una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es inyectiva, si y sólo si, el único vector que se

encuentra en el núcleo de 𝑇 es el 0𝑉:

𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉}

El teorema nos indica una forma mucho más fácil de determinar si una transformación lineal es

una función inyectiva (es decir, es uno a uno).

Demostración:

Primero demostraré la proposición en el orden 𝑝 → 𝑞, es decir:

Si 𝑇 es inyectiva, entonces 𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉}

Sea 𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) un elemento cualquiera del núcleo de la transformación, se demostrará que ese

elemento debe obligatoriamente ser cero.

𝑇(𝑣) = 0𝑊

Pero conocemos que 𝑇(0𝑉) = 0𝑊. Por hipótesis, 𝑇 es inyectiva, por lo que tenemos que:

0𝑊 = 0𝑊

𝑇(𝑣) = 𝑇(0𝑉)

𝑣 = 0𝑉

Admin

Resaltado

Admin

Nota adhesiva

Esto si toman

Admin

Resaltado

Admin

Resaltado


∴ 𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉} ∎

Ahora demostraré la proposición en el orden 𝑞 → 𝑝, es decir:

Si 𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉}, entonces 𝑇 es inyectiva.

Sean 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 tales que 𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2), demostraremos que esto implica que los vectores 𝑣1 y

𝑣2 son iguales:

𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2)

𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2)̃ = 𝑇(𝑣2) + 𝑇(𝑣2)̃

𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2̃) = 0𝑊

𝑇(𝑣1 + 𝑣2̃) = 0𝑊

𝑣1 + 𝑣2̃ ∈ 𝑁𝑢(𝑇)

Por hipótesis, 𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉} es decir, en el núcleo sólo hay un elemento que es el vector cero, por

lo que si 𝑣1 + 𝑣2̃ está en el núcleo, entonces obligatoriamente sólo podrá ser cero:

𝑣1 + 𝑣2̃ = 0𝑉

𝑣1 + 𝑣2̃ + 𝑣2 = 0𝑉 + 𝑣2

𝑣1 = 𝑣2

∴ 𝑇 es inyectiva ∎

Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita, y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación

lineal. Entonces:




Este teorema es de gran ayuda, así podemos con sólo observar la dimensión de los espacios

vectoriales de partida y llegada, saber si la transformación tiene opción de ser inyectiva,

sobreyectiva o un isomorfismo.

Demostración:

Para facilitar la escritura de esta demostración, se dirá que dim 𝑉 = 𝑛 y que dim 𝑊 = 𝑚



Se conoce que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = 𝑛. Como 𝑅𝑒(𝑇) ⊆ 𝑊 entonces sabemos que 𝜌(𝑇) ≤ 𝑚

𝜌(𝑇) ≤ 𝑚

𝑛 − 𝜈(𝑇) ≤ 𝑚

−𝜈(𝑇) ≤ 𝑚 − 𝑛

𝑛 − 𝑚 ≤ 𝜈(𝑇)

Por hipótesis 𝑛 > 𝑚 por lo tanto 𝑛 − 𝑚 > 0

𝜈(𝑇) > 0

𝑁𝑢(𝑇) ≠ {0𝑉}

∴ 𝑇 no es inyectiva ∎


Se conoce que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = 𝑛. Como 𝑁𝑢(𝑇) ⊆ 𝑉 entonces sabemos que 0 ≤ 𝜈(𝑇) ≤ 𝑛

0 ≤ 𝜈(𝑇) ≤ 𝑛

0 ≤ 𝑛 − 𝜌(𝑇) ≤ 𝑛

−𝑛 ≤ −𝜌(𝑇) ≤ 0

𝜌(𝑇) ≤ 𝑛

Por hipótesis 𝑛 < 𝑚 por lo que:

𝜌(𝑇) < 𝑚

𝜌(𝑇) < dim 𝑊

𝑅𝑒(𝑇) ≠ 𝑊

∴ 𝑇 no es sobreyectiva ∎


Se conoce que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = 𝑛. Veamos el orden 𝑝 → 𝑞:

Si 𝑇 es inyectiva, entonces 𝜈(𝑇) = 0 y por lo tanto 𝜌(𝑇) = 𝑛. Pero por hipótesis 𝑛 = 𝑚, por lo

tanto 𝜌(𝑇) = 𝑚 = dim 𝑊. Finalmente concluimos que 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊

Admin

Resaltado

Admin

Resaltado


∴ 𝑇 es sobreyectiva ∎

Veamos ahora el orden 𝑞 → 𝑝:

Si 𝑇 es sobreyectiva, entonces 𝜌(𝑇) = dim 𝑊 = 𝑚 y por lo tanto 𝜈(𝑇) + 𝑚 = 𝑛. Pero por

hipótesis 𝑛 = 𝑚, por lo tanto 𝜈(𝑇) = 𝑛 − 𝑛 = 0. Finalmente concluimos que 𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉}

∴ 𝑇 es inyectiva ∎

Teorema: Sean 𝑉 y 𝑊 espacios vectoriales de dimensión finita. Los espacios 𝑉 y 𝑊 son isomorfos

(𝑉 ≅ 𝑊) si y sólo si tienen la misma dimensión (dim 𝑉 = dim 𝑊).

El teorema se puede inferir del anterior. Dice que sólo es posible definir un isomorfismo entre dos

espacios vectoriales (es decir, estos son isomorfos) si la dimensión de dichos espacios es igual.

Demostración:

Veamos la forma 𝑝 → 𝑞, es decir, Si 𝑉 ≅ 𝑊 entonces dim 𝑉 = dim 𝑊.

Ya que 𝑉 ≅ 𝑊 entonces existe una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇 es un isomorfismo.

Siendo así, 𝑇 es inyectiva por lo que 𝜈(𝑇) = 0 y 𝑇 es sobreyectiva por lo que 𝜌(𝑇) = dim 𝑊. Con

esto, el teorema de la dimensión dice que:

𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉

∴ dim 𝑊 = dim 𝑉 ∎

Veamos la forma 𝑞 → 𝑝, es decir, Si dim 𝑉 = dim 𝑊 entonces 𝑉 ≅ 𝑊.

Sea 𝐵𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉 y sea 𝐵𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛} una base de 𝑊, se puede

construir una transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Ahora bien,

veamos si 𝑇 es un isomorfismo. Para esto veamos si 𝑇 es inyectiva:

𝑁𝑢(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑣) = 0𝑊}

Sea 𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) entonces 𝑇(𝑣) = 0𝑊

𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 0𝑊

𝛼1𝑤1 + 𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑤𝑛 = 0𝑊

Ya que los vectores 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 constituyen una base de 𝑊, son linealmente independientes, y

esto implica que:

𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0


𝑣 = 0𝑉

𝑁𝑢(𝑇) = {0𝑉}

𝑇 es inyectiva

Veamos ahora si 𝑇 es sobreyectiva:

𝑅𝑒(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑊 | 𝑤 = 𝑇(𝑣); 𝑣 ∈ 𝑉}

Sea 𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) entonces 𝑤 = 𝑇(𝑣) para 𝑣 ∈ 𝑉

𝑤 = 𝑇(𝑣)

𝑤 = 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛)

𝑤 = 𝛼1𝑤1 + 𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑤𝑛

𝑤 ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝐵𝑊)

𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊

𝑇 es sobreyectiva

∴ 𝑇 es un isomorfismo ∎

Teorema: Sean𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita. El espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊)

es entonces de dimensión finita, tal que:

dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = (dim 𝑉)(dim 𝑊)

El teorema nos indica cómo determinar la cantidad de elementos en una base cualquiera del espacio

vectorial de transformaciones lineales. Usaremos esta demostración para obtener cualquier base

de este espacio.

Demostración:

Siendo 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales de dimensión finita, podemos decir que dim 𝑉 = 𝑛 y que

dim 𝑊 = 𝑚 para evitar nomenclatura complicada. Podemos entonces saber que existen bases para

cada uno de estos espacios, que respectivamente serían:

𝐵𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} y 𝐵𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑚}

Sea 𝑣 ∈ 𝑉 un elemento cualquiera de 𝑉 que se puede escribir como combinación lineal de la base

𝐵𝑉 como:


𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛

Se definen las siguientes transformaciones de 𝑉 a 𝑊:

𝑇11(𝑣) = 𝛼1𝑤1 , 𝑇12(𝑣) = 𝛼2𝑤1, … , 𝑇1𝑛(𝑣) = 𝛼𝑛𝑤1

𝑇21(𝑣) = 𝛼1𝑤2 , 𝑇22(𝑣) = 𝛼2𝑤2, … , 𝑇2𝑛(𝑣) = 𝛼𝑛𝑤2

⋮𝑇𝑚1(𝑣) = 𝛼1𝑤𝑚 , 𝑇𝑚2(𝑣) = 𝛼2𝑤𝑚, … , 𝑇𝑚𝑛(𝑣) = 𝛼𝑛𝑤𝑚

Es notorio que cada una de ellas son transformaciones lineales. Sea:

𝑇𝑖𝑗(𝑣) = 𝛼𝑗𝑤𝑖 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

¿∀𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝑉 𝑇𝑖𝑗(𝑎1 + 𝑎2) = 𝑇𝑖𝑗(𝑎1) + 𝑇𝑖𝑗(𝑎2)?

Sean 𝑎1 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 y 𝑎2 = 𝛽1𝑣1 + 𝛽2𝑣2 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑣𝑛. Tenemos que:

𝑇𝑖𝑗(𝑎1 + 𝑎2) = 𝑇𝑖𝑗((𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) + (𝛽1𝑣1 + 𝛽2𝑣2 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑣𝑛))

= 𝑇𝑖𝑗((𝛼1 + 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼𝑛 + 𝛽𝑛)𝑣𝑛) = (𝛼𝑗 + 𝛽𝑗)𝑤𝑖

= 𝛼𝑗𝑤𝑖 + 𝛽𝑗𝑤𝑖 = 𝑇𝑖𝑗(𝑎1) + 𝑇𝑖𝑗(𝑎2)

¿ ∀𝑘 ∈ 𝐾 ∀𝑎1 ∈ 𝑉 𝑇𝑖𝑗(𝑘𝑎1) = 𝑘𝑇𝑖𝑗(𝑎1)?

𝑇𝑖𝑗(𝑘𝑎1) = 𝑇𝑖𝑗(𝑘(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛)) = 𝑇𝑖𝑗((𝑘𝛼1)𝑣1 + (𝑘𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (𝑘𝛼𝑛)𝑣𝑛)

= (𝑘𝛼𝑗)𝑤𝑖 = 𝑘𝛼𝑗𝑤𝑖 = 𝑘𝑇𝑖𝑗(𝑎1)

Las transformaciones propuestas constituyen una base para el espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊), la cual

denominaremos la base canónica de este espacio. Demostremos entonces que el conjunto 𝐵 =

{𝑇11, 𝑇12, … , 𝑇1𝑛, 𝑇21, 𝑇22, … , 𝑇2𝑛, … , 𝑇𝑚1, 𝑇𝑚2, … , 𝑇𝑚𝑛} es una base de 𝐿(𝑉, 𝑊) y, dado que

𝑁(𝐵) = 𝑚𝑛, esto demostraría que dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = (dim 𝑉)(dim 𝑊)

Demostremos entonces que 𝐿(𝑉, 𝑊) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵):

Sea 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊), sin importar su regla de correspondencia, al transformar cualquier vector de 𝑉

obtenemos un vector de 𝑊, y dicho resultado se puede entonces expresar como combinación lineal

de los elementos de la base 𝐵𝑊. Entonces, una regla de correspondencia general sería:

Sea 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛

𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

Por lo explicado anteriormente, el resultado para 𝑇(𝑣𝑗) ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 será combinación lineal de

los elementos de 𝐵𝑊:


𝑇(𝑣) = 𝛼1(𝑐11𝑤1 + 𝑐21𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑚1𝑤𝑚) + 𝛼2(𝑐12𝑤1 + 𝑐22𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑚2𝑤𝑚) + ⋯

+ 𝛼𝑛(𝑐1𝑛𝑤1 + 𝑐2𝑛𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑤𝑚)

𝑇(𝑣) = 𝛼1𝑐11𝑤1 + 𝛼1𝑐21𝑤2 + ⋯ + 𝛼1𝑐𝑚1𝑤𝑚 + 𝛼2𝑐12𝑤1 + 𝛼2𝑐22𝑤2 + ⋯ + 𝛼2𝑐𝑚2𝑤𝑚

+ ⋯ 𝛼𝑛𝑐1𝑛𝑤1 + 𝛼𝑛𝑐2𝑛𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑐𝑚𝑛𝑤𝑚

𝑇(𝑣) = 𝑐11𝛼1𝑤1 + 𝑐12𝛼2𝑤1 + ⋯ + 𝑐1𝑛𝛼𝑛𝑤1 + 𝑐21𝛼1𝑤2 + 𝑐22𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝑐2𝑛𝛼2𝑤2 + ⋯

+ 𝑐𝑚1𝛼1𝑤𝑚 + 𝑐𝑚2𝛼2𝑤𝑚 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝛼𝑛𝑤𝑚

𝑇(𝑣) = 𝑐11𝑇11(𝑣) + 𝑐12𝑇12(𝑣) + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛(𝑣) + 𝑐21𝑇21(𝑣) + 𝑐22𝑇22(𝑣) + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛(𝑣)

+ ⋯ + 𝑐𝑚1𝑇𝑚1(𝑣) + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2(𝑣) + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛(𝑣)

𝑇(𝑣) = (𝑐11𝑇11 + 𝑐12𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛 + 𝑐21𝑇21 + 𝑐22𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐𝑚1𝑇𝑚1

+ 𝑐𝑚2𝑇𝑚2 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛)(𝑣)

𝑇 = 𝑐11𝑇11 + 𝑐12𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛 + 𝑐21𝑇21 + 𝑐22𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐𝑚1𝑇𝑚1 + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2

+ ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛

𝐿(𝑉, 𝑊) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵)

Ahora verifiquemos que 𝐵 es linealmente independiente en 𝐿(𝑉, 𝑊):

𝑐11𝑇11 + 𝑐12𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛 + 𝑐21𝑇21 + 𝑐22𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐𝑚1𝑇𝑚1 + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2 + ⋯

+ 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛 = 0𝐿(𝑉,𝑊)

(𝑐11𝑇11 + 𝑐12𝑇12 + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛 + 𝑐21𝑇21 + 𝑐22𝑇22 + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛 + ⋯ + 𝑐𝑚1𝑇𝑚1 + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2

+ ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛)(𝑣) = 0𝐿(𝑉,𝑊)(𝑣)

𝑐11𝑇11(𝑣) + 𝑐12𝑇12(𝑣) + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛(𝑣) + 𝑐21𝑇21(𝑣) + 𝑐22𝑇22(𝑣) + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛(𝑣) + ⋯

+ 𝑐𝑚1𝑇𝑚1(𝑣) + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2(𝑣) + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛(𝑣) = 0𝑊

Así, para 𝑣 = 𝑣1:

𝑐11𝑇11(𝑣1) + 𝑐12𝑇12(𝑣1) + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛(𝑣1) + 𝑐21𝑇21(𝑣1) + 𝑐22𝑇22(𝑣1) + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛(𝑣1) + ⋯

+ 𝑐𝑚1𝑇𝑚1(𝑣1) + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2(𝑣1) + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛(𝑣1) = 0𝑊

𝑐11𝑤1 + 𝑐21𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑚1𝑤𝑚 = 0𝑊

{

𝑐11 = 0𝑐21 = 0

⋮𝑐𝑚1 = 0

Así, para 𝑣 = 𝑣2:


𝑐11𝑇11(𝑣2) + 𝑐12𝑇12(𝑣2) + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛(𝑣2) + 𝑐21𝑇21(𝑣2) + 𝑐22𝑇22(𝑣2) + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛(𝑣2) + ⋯

+ 𝑐𝑚1𝑇𝑚1(𝑣2) + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2(𝑣2) + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛(𝑣2) = 0𝑊

𝑐12𝑤1 + 𝑐22𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑚2𝑤𝑚 = 0𝑊

{

𝑐12 = 0𝑐22 = 0

⋮𝑐𝑚2 = 0

⋮

Así, para 𝑣 = 𝑣𝑛:

𝑐11𝑇11(𝑣𝑛) + 𝑐12𝑇12(𝑣𝑛) + ⋯ + 𝑐1𝑛𝑇1𝑛(𝑣𝑛) + 𝑐21𝑇21(𝑣𝑛) + 𝑐22𝑇22(𝑣𝑛) + ⋯ + 𝑐2𝑛𝑇2𝑛(𝑣𝑛) + ⋯

+ 𝑐𝑚1𝑇𝑚1(𝑣𝑛) + 𝑐𝑚2𝑇𝑚2(𝑣𝑛) + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑇𝑚𝑛(𝑣𝑛) = 0𝑊

𝑐1𝑛𝑤1 + 𝑐2𝑛𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑤𝑚 = 0𝑊

{

𝑐1𝑛 = 0𝑐2𝑛 = 0

⋮𝑐𝑚𝑛 = 0

Con lo que observamos que 𝐵 es linealmente independiente en 𝐿(𝑉, 𝑊).

𝐵 es una base del espacio vectorial 𝐿(𝑉, 𝑊)

∴ dim 𝐿(𝑉, 𝑊) = 𝑁(𝐵) = 𝑚𝑛 = (dim 𝑉)(dim 𝑊) ∎

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Problemas.

Encuentre la matriz asociada a las siguientes transformaciones lineales respecto a las bases

canónicas de los espacios vectoriales correspondientes:

a) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑇 (𝑥𝑦) = (

3𝑥 − 2𝑦5𝑥 + 𝑦

)

b) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = (5𝑥 + 2𝑦 − 𝑧

3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧)

c) 𝑇: ℝ2 → ℝ4 𝑇 (𝑥𝑦) = (2𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 3𝑦 , 𝑥 , 𝑦)

d) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑝) = 𝑥𝑝


e) 𝑇: 𝑀2𝑥2 → 𝑀3𝑥2 𝑇 (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (𝑎 + 𝑏 𝑐

𝑑 𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑑

)

Sea 𝑉 un subespacio del espacio vectorial 𝐶(ℝ). Considere la transformación lineal 𝐷: 𝑉 → 𝑉 tal

que 𝐷(𝑓) = 𝑓′. Obtenga la matriz de 𝐷 respecto al conjunto generador que se propone para 𝑉 en

cada caso:

a) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑒𝑥, 𝑒−𝑥}

b) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑒𝑥, 𝑥𝑒𝑥 , 𝑥2𝑒𝑥, 𝑥3𝑒𝑥}

c) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{sin 𝑥 , cos 𝑥}

d) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑒𝑥 sin 𝑥 , 𝑒𝑥 cos 𝑥}

Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 3 y 𝑊 un espacio vectorial de dimensión 4. Sean 𝐵𝑉 =

{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} y 𝐵𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4} bases de 𝑉 y 𝑊 respectivamente. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una

transformación lineal tal que:

𝑇(𝑣1) = 2𝑤1 − 3𝑤2 + 𝑤3 − 𝑤4

𝑇(𝑣2) = 𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + 𝑤4

𝑇(𝑣3) = 𝑤1 − 2𝑤3

a) Obtenga la matriz de 𝑇 respecto a las bases 𝐵𝑉 y 𝐵𝑊

b) Obtenga la matriz de 𝑇 respecto a las bases 𝐵𝑉′ = {𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3, 3𝑣1 − 2𝑣2 + 2𝑣3, 𝑣3} de

𝑉 y 𝐵𝑊′ = {𝑤1 − 𝑤2, 𝑤1 + 2𝑤2 + 3𝑤4, 𝑤3 − 2𝑤4, 𝑤2 + 𝑤3 + 𝑤4} de 𝑊.

c) Obtenga la regla de correspondencia de 𝑇.

Verdadero o Falso:

Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 tales que

𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), … , 𝑇(𝑣𝑛) ∈ 𝑊 son linealmente independientes. Entonces 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 son

linealmente independientes. ¿Cuándo es la recíproca verdadera?

Para las siguientes transformaciones lineales, obtener núcleo, recorrido, y verificar que se cumple

el teorema de la dimensión:

a) 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦

b) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑇 (𝑥𝑦) = (

2𝑥 − 𝑦3𝑥 + 4𝑦

)

c) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 , 3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)


d) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2) = (𝑎0 − 𝑎1)(1 + 𝑥2) + (𝑎0 − 𝑎2)(𝑥 + 𝑥3)

e) 𝑇: ℝ2 → ℝ4 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 = (

13

24

5 67 8

)

f) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑝) = 𝑥2𝑝′

Indique, justificando su respuesta, si el espacio fila de una matriz es isomorfo al espacio columna

de dicha matriz. De serlo, construya un isomorfismo entre ellos.

Dadas las siguientes transformaciones lineales de ℝ3 a ℝ3:

𝑇1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 + 𝑧𝑥 − 𝑦 + 𝑧

3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧) 𝑇2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

5𝑥 + 𝑧2𝑦 + 3𝑧

𝑥 − 𝑦 − 𝑧)

a) Obtenga (𝑇1 + 𝑇2)(2,1,3), (3𝑇1)(1,1,1), (−2𝑇2)(2,4,0)

b) Encuentre la regla de correspondencia de 𝑇1 + 𝑇2, 3𝑇1, −2𝑇2

Encuentre bases para los siguientes espacios vectoriales:

a) 𝑉 = 𝐿(ℝ2, ℝ3)

b) 𝑉 = 𝐿(𝑃2, ℝ3)

c) 𝑉 = 𝐿(𝑃2, 𝑀2𝑥2)

d) 𝑉 = 𝐿(𝑀1𝑥2, 𝑀2𝑥1)

TAREA.

Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Si dim 𝑉 = 3 y dim 𝑊 = 𝑛, demuestre que:

1. Si 𝑛 = 3, 𝑇 es inyectiva si y solo si es sobreyectiva.

2. Si 𝑛 > 3, 𝑇 no es sobreyectiva.

3. Si 𝑇 es inyectiva, entonces 𝑛 ≥ 3


Sea 𝑇 la transformación de ℝ3 en ℝ3 definida por:

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧)

Determine la representación matricial de 𝑇 con respecto a la base canónica de ℝ3.

Sea 𝑇: ℝ3 → ℝ3 la transformación lineal definida por:

𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = (𝑥 − 2𝑦 + 𝑧

𝑦 + 𝑧𝑥 − 𝑦 + 3𝑧

)

Determine si 𝑇 es un isomorfismo.

Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑛 y {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉. Se define la

transformación 𝑇 de ℝ𝑛 en 𝑉 como sigue: si 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 entonces 𝑇(𝑢) = 𝑥1𝑣1 +

𝑥2𝑣2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑣𝑛. Demuestre que:

a) 𝑇 es uno a uno (inyectiva)

b) 𝑇 es sobreyectiva

En el espacio vectorial 𝑀3𝑥3 de las matrices cuadradas de orden 3, se definen las matrices 𝐼 y 𝑀

como sigue:

𝑀 = (3 2 02 3 00 0 3

) y 𝐼 = (1 0 00 1 00 0 1

)

a) Determine el valor de 𝛼 para que la matriz (13 12 012 13 00 0 𝛼

) pertenezca al subespacio

vectorial de 𝑀3𝑥3 generado por 𝐼 y 𝑀.

b) Se define el subconjunto 𝐸 de 𝑀3𝑥3 como 𝐸 = {𝑎𝐼 + 𝑏𝑀 + 𝑐𝑀2, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}. Demuestre

que 𝐸 es un subespacio vectorial.

c) Determine la dimensión de 𝐸.

d) Sea 𝑇 la transformación de 𝑃2 en 𝐸 definida por: para todo 𝑝(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 de 𝑃2,

𝑇(𝑝) = 𝑝(𝑀) = 𝑎𝐼 + 𝑏𝑀 + 𝑐𝑀2. Demuestre que 𝑇 es una transformación lineal y que es

biyectiva.


Sea 𝑇: ℝ3 → ℝ una transformación lineal definida por

𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧

Encontrar [𝑇]𝐵→𝐵′, donde 𝐵 = {(100

) , (110

) , (111

)} y 𝐵′ = {2}

Verdadero o Falso: Sea 𝑇: 𝑃2 → 𝑃1, entonces dim 𝑁𝑢(𝑇) > 0

Sea 𝑇 una función de 𝑃2 en 𝑃2 definida por:

𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = 𝑐 + (𝑐 − 𝑏)𝑥 + (𝑐 − 𝑏 − 𝑎)𝑥2

Determine si dicha transformación es un isomorfismo, y encuentre su matriz asociada respecto a

la base {−1 , 𝑥 + 1 , 𝑥2}

Sea el espacio vectorial 𝑉 = 𝐿(ℝ2, ℝ2) y sean las transformaciones lineales:

𝑇1 (𝑥𝑦) = (

𝑥0

) , 𝑇2 (𝑥𝑦) = (

𝑦0

) , 𝑇3 (𝑥𝑦) = (

0𝑥

) , 𝑇4 (𝑥𝑦) = (

0𝑦

)

Demuestre que {𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4} es una base de 𝑉

algebra lineal 2014-07-26

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