algebra lineal-sandro lozano pÉrez

8/18/2019 ALGEBRA LINEAL-SANDRO LOZANO PÉREZ

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[“algebra lineal es una herramienta

básica para casi todas las ramas de lamatemática. Se comienza con lasdefiniciones básicas de estructurasalgebraicas necesarias para definir lanoción de espacio vectorial, paraseguir con la noción de sub-espacio,sistema de generadores eindependencia lineal. se definen yestudian las transformaciones lineales,el espacio dual y la teoría dedeterminantes. La diagonalizacion dematrices.”]

[ALGEBRALINEAL][Resumen del curso]

Sandro Lozano Pérez Codigo:14190171


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[ALGEBRA LINEAL]

1

INDICE

MATRICES

- Definicion y tipos de

matrices………………………………………………………….1

- Operaciones con

matrices……………………………………………………………….6

- Inversa de una

matriz…………………………………………………………………….11

- Rango de una

matriz……………………………………………………………………

..15- Determinantes…………………………………………………………………

……………22

- Inversa de una matriz con

determinantes……………………………………..25

- Solución de ecuaciones

lineales…………………………………………………….31

ESPACIOS VECTORIALES

-

Definicion y propiedades………………………………………………………………39

- Sub-espacios

vectoriales………………………………………………………………41

- Operaciones con espacios y sub-

espacios…………………………………….43

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Definicion………………………………………………………………………

………

...53- Matriz asociada a una

transformación…………………………………….55

- Rango de una transformación

lineal………………………………………..59

- Cambio de

base……………………………………………………………………….63

- Autovalores y

autovectores…………………………………………………….64

- Diagonalizacion………………………………………………………………

……65


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[ALGEBRA LINEAL]

2

Matriz:

Definición y elementos.

Definición: Llamaremos matriz de orden o dimensión nm a un conjunto de mxnelementos reales dispuestos en m filas y en n columnas. Los representaremos de la siguiente

forma:

mnm2m1

2n2221

1n1211

a..........aa

..........................

a..........aa

a..........aa

A

Definición: Llamamos elemento aij al que pertenece a la fila i y a la columna j.

Ejemplo: La siguiente matriz tiene dimensión 3x4.

4620

1513

0132

A Además, a23 = 5 y a33 = 6

Si llamamos a la matriz A, también denotaremos a dicha matriz como nmija A )( donde los

aij son elementos reales. Al conjunto de todas las matrices de orden nm sobre el conjunto delos números reales lo denotaremos como )(nm M .

Vectores fila y vectores columna

Dada una matriz cualquiera, por ejemplo,

2 0 3

3 1 2 A podemos escribirla separando sus filas,

o bien, sus columnas, es decir,

2 0 3

3 1 2 A 3121 A 2032 A A tiene dos vectores fila

2 0 3

3 1 2 A

3

2A1

0

1A 2

2

3A 3 A tiene tres vectores columna


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[ALGEBRA LINEAL]

3

Esto significa que podemos pensar en una matriz bien como una tabla de elementos,

bien como un conjunto de vectores puestos en fila, bien como un conjunto de vectores puestos

en columna.

mnm2m1

2n2221

1n1211

a..........aa

..........................

a..........aa

a..........aa

A

m A

A

A

A...

2

1

n A A A A .....21

Definición: Llamaremos submatriz de una matriz A de orden nm , a otra matriz M resultantede eliminar p filas y q columnas de A, donde p y q son números naturales tales que

nqm p 00

Ejemplo:

4620

1513

0132

A

Al eliminar la 2ª fila y la 3ª columna, nos queda:

420

032 M

Tipos de matrices.

Matriz fila.

Llamaremos matriz fila a la matriz que solo tiene una fila, es decir, a una matriz de orden n1

Ejemplo: 0341 A

Matriz columna.

Llamaremos matriz columna a la matriz que solo tiene una columna, es decir, a una matriz de

orden 1m

Ejemplo:

1

4

2

A


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[ALGEBRA LINEAL]

4

Matriz nula.

Llamaremos matriz nula a aquella en la que todos sus elementos son cero.

Ejemplo:

0 0 0

0 0 0

0

Matrices iguales.

Dos matrices A y B diremos que son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que

ocupan la misma posición son iguales, es decir,

A = (aij) y B = (bij) son iguales si aij = bij ij

Ejemplo: Si

5

3

3

1

53

31

d

c

b

a

d c

ba

Matriz traspuesta.

Dada una matriz A = (a ij), se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se

obtiene intercambiando en A las filas por las columnas. Si A es de orden nm , At es de ordenmn

Ejemplo:

Si

6 4 0

3 2 1-A que es de orden 2 x 3

6 3

4 2

0 1

A t que es de orden 3 x 2.

Propiedades de las matrices traspuestas:

1.- (At)t = A

2.- (A + B)t = At + Bt

3.- (k·A)t = k·At

4.- (A.B)t = Bt·At


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[ALGEBRA LINEAL]

5

Matriz cuadrada.

Llamamos matriz cuadrada de orden n a aquella que tiene igual número de filas que de

columnas, por tanto su orden es nn . Al conjunto de todas las matrices de orden n sobre elconjunto de los números reales lo denotaremos )(( n M .

Ejemplo:

253

017

384

A

Dada una matriz cuadrada de orden n, A=(a ij), llamaremos diagonal principal de A a los

elementos aii, donde ni 1 .

253

017

384

A es la diagonal principal

De igual forma llamaremos diagonal secundaria a los elementos aij tal que i+j=n+1.

253

017

384

A es la diagonal secundaria

Matriz triangular.

Dada una matriz cuadrada A entonces:

Diremos que A es una matriz triangular superior si todos los elementos por debajo de la

diagonal principal son ceros.

100

630

241

A


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[ALGEBRA LINEAL]

6

Diremos que A es una matriz triangular inferior si todos los elementos por encima de la

diagonal principal son ceros.

253

017

004

B

Matriz diagonal.

Diremos que A es una matriz diagonal si es una matriz triangular superior e inferior a la

vez, es decir, es la que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal.

Ejemplo:

3 0 0

0 4 0

0 0 5

D

Matriz escalar.

Llamaremos matriz escalar a una matriz diagonal en la que todos los elementos de la

diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

5 0 0

0 5 0

0 0 5

E

Matriz identidad o matriz unidad.

Llamamos matriz unidad o matriz identidad de orden n, a una matriz escalar especial en

la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. A dicha matriz la denotamos por I o

por In, donde n indica el orden de la matriz.

Ejemplo:

100

010

001

3 I

Matriz simétrica.

Dada una matriz cuadrada A, diremos que A es una matriz simétrica si es igual a su traspuesta, es

decir, si At = A. (el elemento aij = a ji.)

Ejemplo:

5 7 0

7 4 2

0 2 1

A y

5 7 0

7 4 2

0 2 1

A t por tanto, A es simétrica


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[ALGEBRA LINEAL]

7

Operaciones con matrices.

Suma de matrices

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij), A,B )( nm M , (de la misma dimensión)

entonces, se define la matriz suma de A y B como otra matriz C = (c ij) )( nm M tal que:

cij = aij + bij n ji ,....,1,

Así pues, de la anterior definición de suma de matrices extraemos como consecuenciaque, para poder sumar dos matrices, éstas tienen que tener el mismo orden, y que la suma sehace elemento a elemento.

Ejemplo:

51

76

73

31

07

31

20

71

42

Propiedades de la suma de matrices:

Con la definición vista de suma de matrices elemento a elemento es fácil imaginar que

las propiedades de la suma de matrices son las mismas que la de la suma de números reales.

Considerando entonces las matrices A, B, C )( nm M , tendremos las siguientes propiedades:

1.- Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

2.- Conmutativa: A + B = B + A

3.- Existe elemento neutro: El elemento neutro será la matriz nula 0, puesto que

A + 0 = A, sea cual sea la matriz A.

4.- Existe elemento opuesto: La matriz opuesta de A = (aij) será la matriz

–A = (-aij), ya que A + (-A) = 0.


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[ALGEBRA LINEAL]

8

3.2. Producto de una matriz por un escalar.

Dada la matriz A )( nm M y un número k , entonces la matriz producto k·A será el

producto de multiplicar cada elemento de A por k, es decir si A = (a ij) entonces: k·A = (k·aij)

Ejemplo:

28

610

214

14

35

17

2

Propiedades del producto de una matriz por un escalar:

Igual que decíamos antes para la suma de matrices, las propiedades del producto de una

matriz por un escalar serán las mismas que las del producto de números reales. Así sean A, B

)( nm M y , tendremos las siguientes propiedades:

1.- Distributiva respecto de la suma de matrices: ·(A + B) = ·A + ·B

2.- Distributiva respecto de la suma de escalares: ( + )·A = ·A + ·A

3.- Asociativa mixta: ·( ·A) = ( )·A

4.- Existe elemento neutro: Dicho elemento será el 1 (nº real), ya que: 1·A = A


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[ALGEBRA LINEAL]

9

3.3. Producto de dos matrices.

Antes de definir el producto de dos matrices con carácter general, vamos a definir el

producto de una matriz fila por una matriz columna:

Producto de una matriz fila por una matriz columna:

Si consideramos una matriz fila A y otra matriz columna B, (ambas con el mismo número de

elementos) entonces su producto será:

nn

n

n bababa

b

b

b

aaa

.......

....

...

......... 2211

2

1

21

Ejemplo: 1315865·3)4·(26·15

4

6

·321

Importante: obsérvese que el resultado de multiplicar una fila por una columna es un número.

Producto de dos matrices.

Dada una matriz A = (aij) )( nm M y otra matriz B = (bij) )( pn M , es decir, tales que el

número de columnas de A es igual al número de filas de B, entonces se define la matriz producto

A·B como otra matriz C = (c ij) )( pm M , tal que cij será el producto de la fila i de A por la

columna j de B, es decir:

cij = njin ji ji

nj

j

j

inii bababa

b

b

b

aaa

.......

....

.......... 2211

2

1

21 o también

n

h

hk ihik bac1

.


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[ALGEBRA LINEAL]

10

Ejemplo:

5135

107154

3140

2215

5016

110

321

2x3 3x4 2x4

Iguales

Explicación:

Para hallar c11 = -4 hemos hecho lo siguiente: elegimos la fila 1 de A y la multiplicamos por la

columna 1 de B :

40·3)5·(26·1

3140

2215

5016

110

32111

c

Para hallar c23 = -1 hemos hecho lo siguiente: elegimos la fila 2 de A y la multiplicamos por la

columna 3 de B :

11·12)·1(0·0

3140

2215

5016

110

32123

c

Consecuencias:

- Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A es igual al número de filasde B. (en el ejemplo anterior, A es de dimensión 2x3 y B de dimensión 3x4)-Además, la matriz producto C tendrá tantas filas como A y tantas columnas como B. (2x4)

Propiedades del producto de matrices

Sean A )( nm M , y B,C )( pn M , entonces se verifican las siguientes propiedades:

1.- No es una ley interna, ya que las matrices que se multiplican no tienen por qué ser del mismo

orden, y la matriz resultado normalmente no es de la misma dimensión que ninguna de las que

se multiplica.

A · B = C

(m,n) (n,p) (m,p)

Vemos que C no es de la misma dimensión que A, ni que B.


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[ALGEBRA LINEAL]

11

2.- Asociativa: Si A )( nm M , B )( pn M y C )( q p M entonces:

A·(B·C) = (A·B)·C

3.- No es conmutativa.

A·B B·A

Lo anterior no quiere decir que eso sea siempre distinto, sino que no son necesariamente

iguales. En general ni siquiera serán comparables, a menos que p = m; en cualquier otro caso

no podremos ni hacer el producto B·A.

Ejemplos:

Sean A=

142

131 B=

210

341102

Está claro que podemos realizar A · B

142

131 ·

210

341

102

Sin embargo es imposible realizar B · A

210

341

102

·

142

131

Pero aún en el caso de que pudiese realizarse, tampoco es cierto que salga el

mismo resultado como prueba el siguiente ejemplo:

Si A=

13

21 B=

3041 entonces: A · B =

93

101 pero B · A =

39

611

4.- Distributiva:

A·(B + C) = A·B + A·C

Además de las propiedades anteriores, que son válidas para todas las matrices,

independientemente de su orden, si consideramos una matriz cuadrada de orden n A )( n M

, podemos añadir las siguientes:


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[ALGEBRA LINEAL]

12

5.- Existe elemento neutro: El elemento neutro del producto de matrices ‘cuadradas’ de orden

n será la matriz unidad o matriz identidad In, puesto que:

A·In = In·A = A

Ejemplo:

320

541321

·

100

010001

=

320

541321

6.- Elemento inverso: No existe, en general, elemento inverso A-1 de una matriz cuadrada A

Ejemplo:

......

...... ·

10

00 =

10

01

Sin embargo, si hay matrices que tienen inverso, es decir tal que: A·A-1 = A-1·A = In

Ejemplo:

Si consideramos la matriz A =

012

020

121

podemos probar que la matriz =

21

43

21

21

41

1

00

0

verifica

que:

012

020

121

·

2

1

4

3

21

21

41

1

00

0

=

100

010

001

por tanto A-1=

2

1

4

3

21

21

41

1

00

0

1.- Si A·B = 0, entonces no necesariamente se tiene que verificar que A = 0 o que B = 0.

Aunque esta es una propiedad evidente de los números reales, en las matrices no tiene por qué

ocurrir. La causa o la propiedad que está detrás de esto es la existencia (para los números reales)

o la no existencia (para las matrices) de elemento inverso.


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[ALGEBRA LINEAL]

13

Ejemplo:

00

00

11

00

00

01

Ninguna de las matrices multiplicadas es la matriz nula, pero su producto sí lo es. La causa es

que ninguna de esas matrices tiene inversa.

2.- En general, (A + B)2 A2 + 2·A·B + B2.

La propiedad que subyace detrás de está afirmación es la no conmutatividad de las matrices, en

general. Veámoslo más claro:

(A + B)2 = A2 + A·B + B·A + B2 A2 + 2·A·B + B2

Puesto que en general A·B B·A.

3.- Por la misma razón, (A - B)2 A2 - 2·A·B + B2.

4.- Y de igual forma, (A + B)·(A - B) A2 - B2.

Matriz inversa de una matriz cuadrada.

Podemos comenzar diciendo que una matriz que no sea cuadrada, nunca tendrá inversa

y que entre las matrices cuadradas, en general, tampoco existen inversas (hemos visto en el

apartado anterior ejemplos en el que unas veces si tienen y otras no)

De existir la matriz inversa de una matriz cuadrada A, la representaremos por A-1 y la llamaremos

matriz inversa de A.

Por tanto, entre las matrices cuadradas podemos establecer una gran división: aquellas que tienen

inversa y aquellas que no la tienen.

Definición: Llamaremos matriz regular a toda matriz cuadrada que tenga inversa.

Definición: Llamaremos matriz singular a toda matriz cuadrada que no admita inversa.


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[ALGEBRA LINEAL]

14

Ejemplos:

A=

012

020

121

es una matriz regular porque tiene inversa.

B=

141

020

121

es una matriz singular porque no tiene inversa

Cálculo de la matriz inversa.

Una manera de proceder es mediante sistemas de ecuaciones y con operaciones vectoriales

(aunque ya veremos en el tema siguiente que hay una forma mucho más rápida)

Ejemplo: Vamos a calcular la inversa de la matriz A =

012

020

121

Esta matriz tiene inversa pero, ¿cómo la calculamos? Planteemos la situación.

Se trata de hallar una matriz X =

333231

232221

131211

xxx

xxx

xxx

que verifique que A · X = I, es decir:

012

020

121

·

333231

232221

131211

xxx

xxx

xxx

=

100

010

001

Pero si ponemos la matriz X y la matriz I en función de sus vectores filas tendremos:


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[ALGEBRA LINEAL]

15

X1 = (x11, x12, x13); X2 = (x21, x22, x23); X3 = (x31, x32, x33)

e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) ; e3 = (0, 0, 1)

por lo que el sistema anterior queda:

012

020

121

·

3

2

1

3

2

1

e

e

e

X

X

X

y haciendo la multiplicación, que se convierte en:

321

22

1321

2

2

2

e X X

e X

e X X X

donde X1, X2 y X3 son las incógnitas pero vectores.

Si resolvemos el sistema obtenemos

X1 = 2e e3 24

X2 = e22 X3 = 4e -3e -2e

41 2 3

lo que traducido a vectores significa que:

21

4-3

321

221

41

1 1=X 00=X 0=X

luego la matriz X pedida será

X =

3

2

1

X

X

X

=

21

43

21

21

41

1

00

0

Podemos probar que efectivamente X = A -1 , es decir, es la inversa viendo que


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[ALGEBRA LINEAL]

16

012

020

121

·

21

43

21

21

41

1

00

0

=

100

010

001

Rango de una matriz

Antes de definir el rango de una matriz, vamos a dar una serie de definiciones

relacionadas con los vectores.

Definición: Dado un conjunto de vectores nmvvvv

,......,,, 321 , diremos que dichos vectores

son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se pueda expresar en función de los otros,

o también, cuando alguno de ellos sea combinación lineal de los otros o, equivalentemente, si

existenn ,.....,,, 321

, alguno de ellos distinto de 0, tal que:

0..........332211

nn vvvv

Ejemplo:

Dados los vectores

5426

1224

2101

3

2

1

v

v

v

, podemos observar que el vector 3v

se obtiene a partir

de los otros dos de la siguiente forma: 3212 vvv

o equivalentemente, 02 321

vvv ,

por tanto, los vectores 321 ,, vvv

son linealmente dependientes.

Definición: Diremos que dichos vectores son linealmente independientes cuando ninguno de

ellos se pueda expresar en función de los otros, o también, cuando ninguno de ellos sea

combinación lineal de los otros o, equivalentemente, si la única forma de conseguir que:

0..........332211

nn vvvv

es cuando 0.....321 n


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[ALGEBRA LINEAL]

17

Ejemplo:

Dados los vectores

611

310

011

3

2

1

v

v

v

, puede comprobarse que ninguno es combinación de los

otros dos y para ella podemos verlo intentando escribir el vector 3v

en función de 1v

y de 2v

Deberíamos encontrar entonces dos valores x e y tales que 321 · vv yv x

, o también:

611310011· y x

Esto nos lleva a resolver el sistema:

630

1

10

y x

y x

y x

y de las ecuaciones primera y tercera obtenemos x = 1, y = 2, pero esas

soluciones no son válidas para la segunda ecuación, por lo que el sistema no tiene solución y por

tanto 3v

no se puede expresar en función de 1v

y de 2v

(Nota: Habría que comprobar todos los casos posibles pero sólo hemos hecho un ejemplo)

Una vez hechas las consideraciones oportunas anteriores referentes a vectores linealmente

dependientes e independientes, repasemos los conceptos de vector fila y vector columna con

los que iniciamos el tema:

Sea A =

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

a......aaa

..................

..................

a......aaaa......aaa

una matriz de orden mxn.

Podemos interpretar cada una de sus filas como un vector, y de esa forma la matriz A

tendría m vectores de n coordenadas y si denotamos la fila i mediante la expresión Ai,

tendríamos:


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[ALGEBRA LINEAL]

18

A1 = ( a11 a12 a13 ... ... a1n)

A2 = ( a21 a22 a23 ... ... a2n)

..............................................

Ai = ( ai1 ai2 ai3 ... ... ain )

..............................................

Am= (am1 am2 am3 ... ... amn)

y podríamos escribir A =

m

i

A

A

A

A

...

...

2

1

es decir, hemos abreviado la matriz A .

Llamamos vectores fila de una matriz a cada una de las filas de dicha matriz, pero

interpretadas como vectores (Si la matriz es de orden mxn obtendremos m vectores fila de ncomponentes).

Asimismo, podemos considerar ahora como vectores, en lugar de las filas, las columnas,

con lo que tendríamos n vectores de m componentes.

Si denotamos cada columna de A mediante la expresión A j (la columna j) tendríamos

a

...

...

a

a

=.........

a

...

...

a

a

=.........

a

...

...

a

a

=

a

...

...

a

a

mn

2n

1n

mj

2j

1j

m2

22

12

2

m1

21

11

1

n j A A A A


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[ALGEBRA LINEAL]

19

lo que nos permite abreviar la matriz A en función de sus columnas

A = ( A1 A2 ... .... A j ... .... An)

Llamamos vectores columna de una matriz a cada una de las columnas de dicha matriz, pero

interpretadas como vectores (Si la matriz es de orden mxn obtendremos n vectores columnas

de m componentes).

Esto nos permite también hacer el razonamiento inverso, es decir, dada una serie de vectores

podemos ponerlos en forma de matriz:

Ejemplo: Dados los vectores

3489

1224

2101

3

2

1

v

v

v

podemos representarlos en forma de

matriz, de dos formas:

-Considerando cada vector una fila:

A =

3489

1224

2101

- Considerando cada vector una columna.

B =

312

421

820

941

Una vez recordadas las definiciones anteriores podemos estamos en condiciones de dar

la definición de Rango de una matriz.


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[ALGEBRA LINEAL]

20

Dada una matriz A =

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

a......aaa

..................

..................

a......aaa

a......aaa

de orden mxn,

Definición: Se define Rango de la matriz A, y se denota K(A) o Rg A, al número de filas o columnas

de A linealmente independientes.

Por tanto, estudiar el rango de la matriz A se reduce a estudiar cuántos vectores

linealmente independientes hay en el sistema:

S = { A1, A2, A3, ...... , An} (sus vectores columnas).

Ejemplos:

A =

100

010001

B =

2110

3201

- Rg(A) = 3 pues observamos que cada una de sus columnas es un vector

independiente (de hecho, son los vectores de la base canónica de R3 ),

C1 = e1=( 1 0 0 )

C2 = e2=( 0 1 0 ) luego son independientes

C3 = e3=( 0 0 1 )

- Rg(B) = 2 porque las columnas segunda y tercera son combinación lineal de las

dos primeras, que son las dos únicas independientes:


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[ALGEBRA LINEAL]

21

C1= ( 1 0 )

C2= ( 0 1 )

C3= ( 2 1 ) C3= 2C1 + 1C2

C4= ( 3 2 ) C4= 3C1 + 2C2

A la hora de estudiar el rango de una matriz existe un teorema muy importante: es el

teorema del rango.

Por tanto, a la hora de calcular el rango de una matriz lo podemos hacer por filas o por

columnas.

Además, en una matriz cualquiera de orden mxn el rango máximo posible será el valor

más pequeño entre m y n. (Máximo Rg(A) = Min (m,n))

Ejemplo: A=

2110

3201

Máximo nº de filas independientes = 2.

Máximo nº de columnas independientes = 4

Luego, al tener que ser iguales, Rg(A) = 2 como mucho.

Teorema: En una matriz cualquiera, el número de vectores columnas linealmente

independientes es igual al número de vectores filas linealmente independientes.


23/69

[ALGEBRA LINEAL]

22

OPERACIONES EN FILAS (O COLUMNAS) QUE DEJAN INVARIANTE EL RANGO:

A la hora de calcular el rango de una matriz, podremos realizar determinadas operaciones con lasfilas y las columnas de forma que el rango no varía. Vamos a ver que operaciones son esas:

1.- Si en una matriz multiplicamos una fila (o columna) por un número distinto de 0, la matriz

resultante tiene el mismo rango que la anterior.

2.- Si en una matriz a una fila (o columna) le sumamos otra fila (o columna), la matriz resultante

tiene el mismo rango que la anterior.

3.- Si en una matriz a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de las restantes,

la matriz resultante tiene el mismo rango que la anterior.

4.- Si en una matriz eliminamos una fila (o columna) cuyos elementos sean todos 0, la matriz


5.- Si en una matriz eliminamos una fila (o columna) que sea igual o proporcional a otra, la matriz


6.- Si en una matriz intercambiamos dos filas (o columnas) entre sí, la matriz resultante tiene el

mismo rango que la anterior.

CÁLCULO DEL RANGO. MÉTODO DE GAUSS.

El método de Gauss consiste en llegar, mediante las operaciones vistas anteriormente que

me dejan invariante el rango, a una matriz escalonada a partir de nuestra matriz original, Una vez

hayamos obtenido una matriz escalonada (aij=0 cuando i>j), y después de haber eliminado las filas

o columnas nulas y las iguales o proporcionales a otras, el rango será el menor número de filas o

columnas que nos queden.


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[ALGEBRA LINEAL]

23

Aplicaciones del cálculo del rango.

* Ejemplos:

a) 2

000

110

011

220

110

011

211

112

011

233

122

133 2´

2´

´

rg f f f

f f f

f f f

b) 3

700

310

211

230

310

211

021

112

2112312

13

32

rg f f f f

f f

Teorema: Una matriz cuadrada A de orden n tendrá inversa si y sólo si su rango es n.

Así la matriz del apartado a) anterior no tendrá inversa porque su orden es 3 pero su rango es 2.

Sin embargo, la matriz del apartado b) sí tiene inversa ya que su orden y su rango coinciden.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un escalar (un número), obtenido a partir de los elementos deuna matriz por operaciones especificadas, y que es característico de la matriz. Los determinantesestán definidos solamente para matrices cuadradas. En esta sección se estudiarán los métodos

para obtener los determinantes y las propiedades de éstos.

El determinante de una matriz 2 2 .

A a11 a12

a21 a22

Está dado por:

det A A a11a22 a12a21


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[ALGEBRA LINEAL]

24

Ejemplos:

Si A 3 6

4 1

entonces A

3 6

4 1 3 24 27

Si A 1 06 10

entonces A

1 0

6 10 100 10

Análogamente, el determinante de una matriz 3 3 ,

A

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Está dado por:

A a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a13a22a31 a23a32a11 a33a21a12

METODOS PARA HALLAR LOS DETERMINANTES

El determinante M i j

es un menor de la matriz A. El escalar C i j

1

i j M

i j

se denomina cofactor del elemento ai j de la matriz A. La matriz n x n C i j se denomina

adjunta de A y se representa por adj A.

Como se señaló antes, el determinante de una matriz se puede obtener por un

procedimiento conocido como desarrollo por cofactores. El determinante de A puededesarrollarse en términos de la fila i por la fórmula:

A ai j C i j j1

n

Para cualquier fila i = 1, 2, …, n,

y en términos de la columna j por la fórmula:


26/69

[ALGEBRA LINEAL]

25

A ai j C i ji1

n

Para cualquier columna j = 1, 2, …, n

Por tanto el determinante de A33

expresado antes como

A a11a22 a23

a32 a33 a12

a21 a23

a31 a33 a13

a21 a22

a31 a32

se puede escribir

A a11C 11 a12C 12 a13C 13 a1 jC 1 j

j1

3

EJEMPLO

Evalúe el determinante de la matriz

A

3 0 2

6 8 10 3 4

A 960 36 090 141

o bien, desarrollando en términos de la primera fila,

A 38 13 4

026 80 3

3 32 3 2 180 105 36 141

Efectuando el desarrollo en función de la segunda columna,

A 083 2

0 4 3

3 2

6 1 08 120 3 312 96 45 141


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[ALGEBRA LINEAL]

26

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las siguientes propiedades de los determinantes frecuentemente son útiles en su evaluación:

1. El intercambio de las correspondientes filas y columnas de un determinante no altera su

valor, es decir, A A .

2. Si todos los elementos de una fila (o de una columna) de un determinante son iguales a cero,el valor del determinante es nulo.

3. Si todo elemento de una fila (o de una columna) de un determinante se multiplica por unmisma constante, el valor del determinante queda multiplicado por dicha constante.

4. Si se intercambian dos filas (o dos columnas) de un determinante, el signo del determinantecambia, pero su valor absoluto no.

5. Si dos filas (o dos columnas) de un determinante son idénticas, el valor del determinante es

cero.6. El valor de un determinante no cambia si cada elemento de cualquier fila (o cualquiercolumna), o cada elemento multiplicado por la misma constante, se suma o se resta delcorrespondiente elemento de cualquier otra fila (o columna).

7. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes delas dos matrices, es decir,

8. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal.

INVERSA DE UNA MATRIZ

La inversa de una matriz se emplea en la resolución de ecuaciones lineales simultáneas y en

otros análisis. En esta sección se define la inversa de una matriz y se analizan varios métodos

de inversión; tales procedimientos incluyen la inversión por medio de la eliminación

gaussiana, la inversión por medio de adjuntas y determinantes, y la inversión por medio de

adjuntas y determinantes, y la inversión de matrices subdivididas. Asimismo, se consideran

las propiedades de las inversas.

Si para una matriz A de orden n x n (cuadrada) existe otra matriz B de orden n x n

(cuadrada) tal que su producto es la matriz identidad de orden n, es decir, si

Ann Bnn I n Bnn Ann

Entonces se dice que B es la recíproca o la inversa de A, y se escribe

B A1 ai j 1

a i j bi j


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[ALGEBRA LINEAL]

27

Ejemplos:

A.

Determinar, si existe, la inversa de la matriz1 6

4 3

1 6

4 3 324 27, de manera que la inversa existe.

b11 3

27

1

9b12

627

2

9b21

427

4

27b22

127

1

27

y así,1 6

4 3

1

1

929

427

127

Observemos que1 6

4 3

19

29

427

127

1 0

0 1

B.

Determinar, si existe, la inversa de la matriz3 15

1 5

3 15

1 5

1515 0, de manera que no existe la inversa (es decir, la matriz es singular).

EJEMPLOS

A.

Encontrar la inversa, si existe, de la matriz

0 2 3

1 3 3

1 2 2

Siguiendo el procedimiento ya expresado,


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[ALGEBRA LINEAL]

28

Intercambiode la primera

y segunda filas Paso1 Paso 2

0 2 3 1 0 0

1 3 3 0 1 0

1 2 2 0 0 1

1 3 3 0 1 0

0 2 3 1 0 0

1 2 2 0 0 1

1 3 3 0 1 0

0 2 3 1 0 0

0 1 1 0 1 1

1 3 3 0 1 0

0 1 32

12

0 0

0 1 1 0 1 1

Paso 2 Paso 3 Paso 3

1 0 32

32

1 0

0 1 32

12

0 0

0 0 12

12

1 1

1 0 32

32

1 0

0 1 32

12

0 0

0 0 1 1 2 2

1 0 0 0 2 3

0 1 0 1 3 3

0 0 1 1 2 2

Por lo tanto,

0 2 3

1 3 3

1 2 2

1

0 2 3

1 3 3

1 2 2

y esta matriz es igual a su inversa. Observemos que

0 2 3

1 3 3

1 2 2

0 2 3

1 3 3

1 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B.

Obtener la inversa, si existe, de la matriz

1 2 3

1 0 4

0 2 2

Paso1 Paso 2 Paso 2

1 2 3 1 0 0

1 0 4 0 1 0

0 2 2 0 0 1

1 2 3 1 0 0

0 2 7 1 1 0

0 2 2 0 0 1

1 2 3 1 0 0

0 1 72

12

12

0

0 2 2 0 0 1

1 0 4 0 1 0

0 1 72

12

12

0

0 0 5 1 1 1

Paso 3 Paso 3

1 0 4 0 1 0

0 1 72

12

12

0

0 0 1 15

15

15

1 0 0 45

15

45

0 1 0 15

15

710

0 0 1 15

15

15

En consecuencia,

1 2 3

1 0 4

0 2 2

1

45

15

45

15

15

710

15

15 15


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[ALGEBRA LINEAL]

29

Observemos que

1 2 3

1 0 4

0 2 2

45

15

45

15

15

710

15

15

15

1 0 0

0 1 0

0 0 1

y

45

15

45

15

15

710

15

15

15

1 2 3

1 0 4

0 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

INVERSIÓN MEDIANTE ADJUNTAS Y DETERMINANTES

Un método alternativo de inversión de matrices implica la obtención de la adjunta y el

determinante de la matriz que se desea invertir. Si A es no singular, es decir, si A 0 , entonces

A1

1

Aadj A

EJEMPLOS

A.

Encontrar la inversa, si existe, de la matriz

A

0 2 3

1 3 3

1 2 2

A 066 90 4 1

o bien, desarrollando con los elementos de la primera fila,

A 0 2 1 12 1 3

1 2 3 1 13 1 3

1 2 02 2 3 3 2 3 1

o efectuando el desarrollo con los elementos de la segunda columna,

A 2 1 12 1 3

1 2 3 1 22

0 3

1 2 2 1 32

0 3

1 3 2 2 3 3 0 3 2 00 3 1


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[ALGEBRA LINEAL]

30

Obteniendo las adjuntas

C 11 1 11 3 3

2 2 6 6 0 C 12 1

12 1 3

1 2 2 3 1 C 13 1

13 1 3

1 2 2 3

C 21 1 21 2 3

2 2 4 6 2 C 22 1

22 0 3

1 2 0 3 3 C 23 1

23 0 2

1 2 0

C 31 1 31 2 3

3 3 69 3 C 32 1

32 0 3

1 3 0 3 3 C 33 1

33 0 2

1 3 02

Por lo tanto, adj A C i j

0 2 3

1 3 3

1 2 2

A1

1

Aadj A

0 2 3

1 3 3

1 2 2

PROPIEDADES

Las siguientes propiedades de las inversas frecuentemente son útiles en su valuación.

1. La inversa de la inversa de una matriz es la matriz original, es decir, A1 1

A .

2. El determinante de la inversa de una matriz es igual al recíproco del determinante de la

matriz; es decir, A1 1 / A .

3. La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de la matriz;es decir, A

1 A1

.

4. La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de sus inversas en orden

contrario; es decir, AB 1 B1 A1.

DEPENDENCIA LINEAL Y RANGO

Un conjunto de m vectores a1 , a2 ,...,am cada uno con n elementos, se dice que es linealmente

dependiente si existe una combinación lineal (no trivial) de los vectores, que sea igual al vector

cero con n elementos. Es decir, si existe un conjunto de números 1 , 2 ,... m con al menos unode ellos (distinto de cero).

1a1 2a2 ... mam i aii1

m

0

entonces el conjunto de vectores a1 , a2 ,...,am se dice que es linealmente dependiente. Si no

existe un conjunto de términos (excepto cuando todos valen cero) de modo que i aii1

m

0,se dice que el conjunto de vectores es linealmente independiente.

Puede considerarse a una matriz como un conjunto de vectores fila o un conjunto de vectores

columna. Es demostrable que para cualquier matriz, el número de filas linealmenteindependiente es igual al número de columnas linealmente independientes; este número es el


32/69

[ALGEBRA LINEAL]

31

rango de la matriz. De modo que si una matriz es m x n y su rango se denota por r , entonces r min (m, n).

EJEMPLOS

A.

Determinar el rango de la matriz

1 4

5 10

3 2

Min (m, n) = 2, por tanto, r 2.Cada posible par de filas es linealmente independiente, También lo son las dos columnas. De

ahí que el rango de la matriz es 2.

B.

Determinar el rango de la matriz

3 6

1 2

2 4

Min (m, n) = 2, por tanto, r 2.

Cada posible par de filas es linealmente dependiente. ya que

(primera fila) - 3(segunda fila) = 02(primera fila) - 3(tercera fila) = 02(segunda fila) - (tercera fila) = 0

Nótese que las dos columnas son también linealmente dependientes, puesto que 2 (primeracolumna) - (segunda columna) = 0.

El rango de la matriz es 1.

El siguiente resultado (muy útil) proporciona un método sistemático para probar ladependencia lineal: Considerar todas las submatrices cuadradas de A cuyos determinantes seandistintos de cero. El rango de A es el orden del determinante de mayor orden. Por lo tanto, un

método para calcular el rango de una matriz es buscar el determinante no nulo de mayor ordende la matriz o de una submatriz; el orden de este determinante es el rango de la matriz.

Las siguientes propiedades son útiles para determinar el rango de una matriz:

1. Puesto que el determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus elementos

diagonales, si A es una matriz diagonal, entonces r A es el número de elementosdiagonales distintos de cero en A. En particular r I n n .

2. Puesto que cualquier submatriz de A es la transpuesta de una submatriz de A y como B B , entonces r A r A .

3. El rango del producto de dos matrices no puede exceder al menor rango de las dos

matrices; es decir, r AB min r A , r B .


33/69

[ALGEBRA LINEAL]

32

4. Si A es una matriz n x n, (cuadrada), entonces r A n si y sólo si A es no singular;r A n sólo si A es singular. Luego, si una matriz cuadrada es singular; sus filas (ytambién sus columnas) son linealmente dependientes; si es no singular, son linealmenteindependientes.

Considere la solución de un sistema general de n ecuaciones lineales en n variables x1 , x2 ,...xn , y A x

en donde y es n x 1, A es n x n y x es n x 1. Si A es no singular, la única solución es

x A1 y

y recíprocamente, si y A x tiene una única solución, entonces A es no singular.

Más generalmente, si y A x , entonces el conjunto completo de ecuaciones es compatible ytiene por lo menos una solución si r A r A y . La solución es única sólo sir A r A y n , es decir si y sólo si A es no singular.

En el caso especial (homogéneo) y 0, si A es no singular, la única solución es x 0, y nopuede haber solución distinta de cero. Por lo tanto, cuando el conjunto de ecuaciones A x 0 tiene una solución diferente de cero, A debe ser singular.

Supóngase que y A x y A es m x n (no cuadrada), es decir, que hay m ecuaciones en n variables, en donde m puede ser menor que, igual a, o mayor que n; entonces r A min m, n .

El siguiente resumen acerca de la solución de ecuaciones lineales simultáneas se aplica alcaso general de m ecuaciones en n variables, y también al caso especial de n ecuaciones en n variables.

Si r A y r A , entonces todas las ecuaciones en el conjunto son lógicamente compatibles yhay por lo menos una solución.

Si r A y r A n , hay una solución única.

Si r A y r A n , hay un número infinito de soluciones y las filas (y columnas) de A sonlinealmente dependientes.

Si r A y r A , no son lógicamente compatibles las ecuaciones del conjunto y no hay

solución.SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS

Hay varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas que tienesolución única. Varios de estos métodos se tratan en esta sección. Si uno de los métodos seaplica a un conjunto de ecuaciones lineales que no tiene solución única, el método no puedeterminar, indicando, por consiguiente, que no hay solución única.

Como se indicó antes, un conjunto de n ecuaciones lineales simultáneas en n incógnitas sepuede escribir en forma matricial como Ann X n1 cn1

y la solución obtenida por inversión de A se puede denotar por X n1 Ann1

cn1


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[ALGEBRA LINEAL]

33

De otra forma, el procedimiento estándar descrito previamente se puede usar para cambiar la

disposición A I c a la forma I A1 x

el cual se puede obtener la solución directamente.

Un tercer método matricial para resolver ecuaciones lineales simultáneas está dado por laregla de Cramer :

La solución de Ann X n1 cn1

se puede obtener como los cocientes de determinantes

x1

c1 a12 a1n

c2 a22 a2n

cn an2 ann

A x2

a11 c1 a1n

a21 c2 a2n

an1 cn ann

A xn

a11 a12 c1

a21 a22 c2

an1 an2 cn

A

Para cada xi , i 1 ,2 ,...,n , el denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes,y el numerador es el determinante de la matriz de los coeficientes con la i -ésima columnareemplazada por la columna de los términos constantes del segundo miembro de lasecuaciones. Observemos que si no hay solución única para un conjunto de ecuaciones lineales,

A 0 y estos cocientes no están definidos,

EJEMPLOS

A.Resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas

3 x1 x2 x3 2

x1 2 x2 x3 9

4 x1 3 x2 2 x3 1

Aplicar el procedimiento normal a la disposición A I c

para obtener I A1 x

Entonces la solución se puede obtener directamente de I x

o bien, obtenerse como

x A1c


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[ALGEBRA LINEAL]

34

3 1 1 1 0 0 2

1 2 1 0 1 0 9

4 3 2 0 0 1 1

1 2 1 0 1 0 9

3 1 1 1 0 0 2

4 3 2 0 0 1 1

1 2 1 0 1 0 9

0 7 4 1 3 0 29

0 11 2 0 4 1 37

1 0 17 27 17 0 570 1 4

717

37

0 297

0 0 307

117

57

1 607

1 0 0 730 16 130 10 1 0 1

15 1

32

15 3

0 0 1 1130

16

730

2

Por tanto, leyendo directamente en la tabla

x1

x2

x3

1

3

2

o usando la matriz inversa, x A1

c ,

x1

x2 x3

730

16

130

1

15 1

3

2

15

1130

16

730

2

91

1

32

En la práctica, se obtendría la solución a partir de x A1c si y sólo si A1 se hubiera obtenido

sin la tabla I A1 x .

Por medio de la regla de Cramer.

A

3 1 1

1 2 1

4 3 2

12 4 3 892 30

x1

2 1 1

9 2 1

1 3 2

30

8127 2618 30

30

30 1

x2

3 2 1

1 9 1

4 1 2

30

54 81 36 3 4

30

90

30

3

x3

3 1 2

1 2 9

4 3 1

30

6 366 16811 30

60

30 2


36/69

[ALGEBRA LINEAL]

35

RAÍCES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ

Las raíces y vectores característicos de una matriz A de orden n x n se obtienen resolviendo la

ecuación Ax

x

para determinar un y un vector x 0. El escalar es una raíz característica de A, y x es unvector característico de A.

DETERMINACIÓN DE LAS RAÍCES CARÁCTERÍSTICAS

La ecuación Ax x o A I x 0 tiene una solución no trivial, x 0, si y sólo si A I es singular, es decir, sólo si A I 0

este determinante es un polinomio de n-ésimo grado en , y por lo tanto, A tiene n raíces

características, 1 , 2 ,..., n , que no necesariamente son distintas.

Consideremos la matriz general 2 x 2 A a11 a12

a21 a22

De ahí que, Ax x o A I x 0 puede expresarse como

a11 x1 a12 x2 0 a21 x1 a22 x2 0

que tiene un solución no trivial, x 0, si y sólo si A I 0; es decir,

a11 a12

a21 a22 0

a11 a22 a122 0

2 a11 a22 a11a22 a12a21 0

cuya solución es


37/69

[ALGEBRA LINEAL]

36

1 12

a11 a22 a11 a22 2

4 a11a22 a12a21 2 12

a11 a22 a11 a22 2

4 a11a22 a12a21

Para el caso especial de una matriz simétrica a12 a21, la solución es

1 12

a11 a22 a11 a22 2

4a122

2 1

2 a11 a22 a11 a22

2 4a12

2

Obsérvese que las raíces características de una matriz simétrica siempre son reales, ya que la

expresión a11 a22 2

4a122 siempre es no negativa.

EJEMPLO

Obtener las raíces características de la matriz A 10 3

3 2

A es una matriz simétrica, y sus raíces características están dadas por

12

a11 a22 2

a11 a22 2

4a122

1

2 12 64 36 11 ,1

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CARACTERÍSTICAS

Estos elementos tienen las siguientes propiedades:

1. Las raíces características de una matriz simétrica real son reales.

2. El producto de las raíces características de una matriz A es igual A ; es decir, i1n i A

. 3. La suma de las raíces características de una matriz A es igual a la traza* de A ; esto es,

ii1

n

tr A . 4. La raíces características de una matriz diagonal son sus elementos diagonales. Obsérvese que

en el ejemplo anterior i12 i 11 A y i

i1

2

12 tr A .


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[ALGEBRA LINEAL]

37

DETERMINACIÓN DE LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS

Un vector característico, xi se halla relacionado con cada raíz característica i de A , lo cual

satisface el sistema homogéneo de ecuaciones A i I xi 0

Por definición de las raíces características, A I 0, y siempre existe una solución no trivialpara xi . No obstante, los elementos de xi sólo se determinan con base en un factor de escala,

dado que si xi satisface a A i I xi 0, también lo hace kxi en donde k es una constantearbitraria. Los vectores característicos suelen normalizarse de manera que

xi x j 1 para todo

valor de i .

EJEMPLO

En el caso de la matriz A dada en el ejemplo anterior, las raíces características son

1 11 y 2 1. Los vectores característicos correspondientes se pueden obtener como

sigue.

Para 1 11,

A 1 I x1 10 3

3 2

11 0

0 11

x11

x12

0

0

x11 3 x12 03 x11 9 x12 0

x11 3 x12

Normalizando de modo que x1 x1 1

x112 x12

2 1

9 x122 x12

2 1

x12 1

10

x11 3

10

x1 3

10

, 1

10

Para 2 1,

A I x2 10 3

3 2

1 0

0 1

x21

x22

0

0

9 x21 3 x22 0

3 x21 x22 0

x22 3 x21


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[ALGEBRA LINEAL]

38

Al normalizar de modo que x2 x2 1

x212 x22

2 1

x212 x212 1

x21 1

10 x22

3

10 x2

1

10 ,

3

10

Observemos que x1 x2 x2 x1 0. Así pues, x1 y x2 son vectores ortogonales. Un conjunto devectores ortogonales normalizados es un conjunto ortonormal . Como x1 y x2 están

normalizados, constituyen un conjunto ortonormal.

PROPIEDADES DE LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS

Estos elementos tienen las siguientes propiedades:

1. Los vectores característicos de una matriz simétrica real son ortogonales.

2. Si una raíz característica tiene multiplicidad k , esto es, si es repetida k veces, habrá k vectores ortogonales correspondientes a esta raíz.


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[ALGEBRA LINEAL]

39

CONCLUSION:

Se concluye que en este capítulo, se muestra un cierto tipo de ordenamiento que facilita las

operaciones. Esto permitiría resolver problemas de diversos tipos tanto en física, matemática

hasta en la vida diaria. Ya que se ven involucrados un conjunto de variables que pueden

representar diversas cosas y más aun con un determinado ordenamiento.


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[ALGEBRA LINEAL]

40

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio vectorial real

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dosoperaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar, y que satisfacen lossiguientes diez axiomas.

i) Si x ϵ V y y ϵ V , entonces x , y ϵ V (cerradura bajo la suma).

ii)Para todo x, y y z en V , (x + y) + z = x + (y + z)

(ley asociativa de la suma de vectores).

iii)Existe un vector 0 ϵ V tal que para todo x ϵ V , x + 0 = 0 + x = x

(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo).

iv)Si x ϵ V , existe un vector -x ϵ V tal que x + (-x) = 0(2x se llama inverso aditivo de x).

v)Si x y y están en V , entonces x + y = y + x

(ley conmutativa de la suma de vectores).

vi) Si x ϵ V y a es un escalar, entonces αx ϵ V

(cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

vii) Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy

(primera ley distributiva).

viii) Si x ϵ V y α y β son escalares, entonces (α + β)x= αx + βx(segunda ley distributiva).

ix) Si x ϵ V y α y β son escalares, entonces α(βx)=(αβ)x

(ley asociativa de la multiplicación por escalares).

x) Para cada vector x ϵ V , 1x = x

Ejemplo:

E.1 El conjunto de todas las n-nadas con componentes reales Demostración:La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector también con n componentescuya componente i-esima es la suma de las componentes i-esimas de los vectores que se estánsumando:

(xi) + (yi) = (xi + yi)

El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se tambiénun vector de n componentes cuya componente i-esima es el producto del escalar por la i−esimacomponente del vector que se multiplica:

c · (xi) = (c · xi)

Obs: siendo c,c1, c2 escalares


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[ALGEBRA LINEAL]

41

Ii.- x + (y + z) = (x + y) + z Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al compararlas componente i se tiene

xi + (yi + zi) = (xi + yi) + zi

Iii.-Existe el vector neutro bajo la adición: Este vector es el vector con todas sus componentescero 0 = (0) y cumple 0 + x = x + 0 = x pues al comparar las i-esimas componentes se cumple:

0 + xi = xi + 0 = xi

Iv.- Cada vector de tiene su inverso aditivo: Para cada vector x = (xi) el vector −x = (−xi) cumplex+ (−x) = (−x)+x = 0 pues al comparar las i-esimas componentes se cumple:

−xi + xi = 0 = xi + −xi

v.- x + y = y + x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar lascomponente i se tiene

xi + yi = yi + xi

Vii.- c(x + y) = cx + cy: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar lascomponentes i se tiene

c(xi + yi) = c xi + c yi

Viii.- (c1 +c2)x = c1 x+c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al compararlas componentes i se tiene

(c1 + c2)xi = c1 xi + c2 xi

Ix.- (c1 · c2)x = c1 (c2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al compararlas componentes i se tiene

(c1 · c2)xi = c1(c2xi)

x.- (xi) = (1 · xi) = (xi)

Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que con las operaciones- (xi) + (yi) = (xi + yi)

- c(xi) = (c xi)

Si es un espacio vectorial


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[ALGEBRA LINEAL]

42

Ejemplo2:

Sea V = {1}. Es decir, V consiste únicamente del número 1. Este no es un espacio vectorial ya

que viola el axioma i) el axioma de cerradura. Para verlo con más claridad, basta con observarque:

1 + 1 = 2 no ϵ V .

También viola otros axiomas; sin embargo, con solo demostrar que viola al menos uno de losdiez axiomas

Queda probado que V no es un espacio vectorial.

Otros ejemplos de espacios vectoriales son:

- Sea V = {0}. Es decir, V consiste solo en el número 0. Como 0 + 0 = 1 x 0 = 0 + (0 + 0) =

(0 + 0) + 0 = 0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre de

Espacio vectorial trivial.

- El conjunto de puntos en R2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituyeun espacio vectorial

- El espacio vectorial Mmxn

- El espacio C [a, b] 5 {funciones reales continuas en el intervalo [a, b]}.

SUB-ESPACIOS VECOTRIALES

Se dice que H es un sub-espacio vectorial de V si H es un subconjunto no vacío de V , y H es unespacio vectorial, junto con las operaciones de suma entre vectores y multiplicación por unescalar definidas para V .

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un sub-espacio de V si se cumplen lasdos reglas de cerradura:

V


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Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un sub-espacio

i) Si x ϵ H y y ϵ H, entonces x + y ϵ H.ii) Si x ϵ H, entonces αx ϵ H para todo escalar a.

Ejemplo de algunos sub-espacios

En = =

En =, = = ℝ

En ℝ =,, = = ℙ = ℝ

En =,,, = = ℙ = ó = ℝ

Conjunto Generador:

Definición:

Sea V es un espacio vectorial; ≠ ⊆

ℒ = ∑. ;

;

Propiedades:

ℒ es un subespac.vectorial(es el mínimo subespac. que contiene a X)

, ⊆ . . ⊆ ⇒ ℒ ⊆ℒ

⇒ ℒ =

⊆ ℒ


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[ALGEBRA LINEAL]

44

Ejemplo:

= ⇒ .

ℒ = ℒ = ; ⇒

⇒

Observación 1:

⊆

ℒ

⊆ℒ

Observación 2:

⇒ = 1. ℒ ⊆ ℒ

Ejemplo:

= ℒ, ⊂ ⊂

⊂ , ⊂ , ,

Observación del ejemplo:

= ℒ, = , , ⊂ ℒ, ℒ, , ⊂ ℒℒ, ℒ, , ⊂ ℒ , , ⇒, , ⊂


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[ALGEBRA LINEAL]

45

Ejemplo 2:

Halle el generador de la siguiente ecuación:

ℙ = , , / + 2 + 3 = 0 Solución:

ℙ = , , ℙ ⇒ + 2 + 3 = 0 ⇒ = −2 − 3 ℙ= , , = −2−3, ,

=−2,,0+−3,0, = −2,1,0 + −3,0,1

⇒ ℙ ⊂ ℒ−2,1,0, −3,0,1 …. Observación del ejemplo:

−2,1,0ℙ−3,1,0ℙ ⇒ ℒ−2,1,0, −3,1,0 ⊂ ℒ ℙ = ℙ … . I I

De (I)y(II) :

ℒ−2,1,0, −3,0,1 = ℙ

Notación:

≪ ⇒ . .

Definición:

Sea V un espacio vectorial.

ℒ, ,, . . . , = , ,, . . . ,

, ,, . . . , ⇒ , ,, . . . ,

⇒ℝ =


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[ALGEBRA LINEAL]

46

Teoremas:

ℒ{, ,, … , } =,dim = ⇒ {, ,, . . . , } .

{, ,, . . . , } . dim = ⇒ ℒ{, ,, … , } =

Ejemplo: Si se tienen

= , , ℝ

/ 2 + − 3 = 0

=,,ℝ/ = − , = a) Probar si son sub-espacios

b) Hallar los generadores, base y dimensión de X e Y

Solución:

a) ¿ ≪ ℝ? 0,0,0 , 20 + 10 − 30 = 0

⇒ , ; , ℝ ⇒¿ + ?

= , , ⇒ 2 − − 3=0. . .

= , , ⇒ 2 − − 3=0. . .

:

2 + −1 + −3 + = 0 + , + , +


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47

, , + , , ⇒ +

¿ ≪ ℝ?

0,0,0 ,0 = −0 = −0

, ; , ℝ ⇒¿ + ?

= , , ⇒ = − = − . . .

= , , ⇒ = − = − . . .

+ :

, −, − + , −, − ( + , − + , − + )

⇒ +

, ó.

-Para X

,, ⇒ 2 + − 3 = 0 = 3 − 2

⇒ ,, = ,3−2 ,

= ,−2,0 + 0,3,

=1,−2,0+0,3,1


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Como las 2 componentes 1,−2,0 0,3,1 son linealmente indep.

⇒∶ℒ1,−2,0, 0,3,1 ⇒ ∶ 1,−2,0, 0,3,1 ⇒ =2 -Para Y

,, ⇒ = − = −,, = ,−,−

=1,−1,−1

Como solo hay una componente 1,−1,−1 entonces no hay necesidad deanalizar su dependencia lineal.

⇒∶ℒ1,−1,−1

⇒ ∶ 1,−1,−1 ⇒ =1

Intersección y unión de espacios vectoriales:

Sea , ≪

¿ ∪ ≪ ? . . . . .

: = = , 0/ℝ, = 1,0 =0,/ℝ,=0,1 ∪ = , 0/ℝ ∪ 0, /ℝ ∪

∪

+ ∉


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¿ ∩ ≪ ? . . . . .

Por teorema:

0 ,0 ⇒ 0 ∩ , ∩ ; , ℝ ⇒¿ + ∩ ?

∩ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∩

∩ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∩

: + , + , ⇒ + ∩

Problema: Encontrar el menor sub-espacio vectorial. Que contenga a ∪

Respuesta: ℒ ∪ por propiedad del generador

Suma de espacios vectoriales:

Definición:

Sea , ≪ + = + / ,


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[ALGEBRA LINEAL]

50

Proposición:

X+Y es un sub-espacio de V tq. ∪ ⊂ +

En efecto:

= + ∈ +

, ∈ + ; , ∈ ℝ ¿ + ∈ + ?

∈ + → = + ; ∈ ∧ ∈ ∈ + → = + ; ∈ ∧ ∈

= + → ∈ + = + → ∈ +

+ = + + + + ∈ +

Observación:

= ,¿ ≠ 0? Supongamos que:

dim = 1 ⇒ ∧ ≠ =

⇒ = →/← Su dimensión es = 0


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[ALGEBRA LINEAL]

51

Teorema:

X+Y es el menor subespacio que contiene a XUY

X+Y= ℒ ∪ Observación:

Sea cualquier conjunto X:

⊂ ℒ ← ⇒ = 1. + 1.0 ⇒ ℒ

: ⇒ ∪ ⊂ ℒ ∪

Ejemplo: Probar que X + X = X

∪ ⊂ + ⇒ ⊂ +

+ ⇒ + , , ⇒ + ⊂

Finalmente se comprueba que X+X=X

Propiedades:

1) X+X=X

2) X+Y=Y+X

3) + = Teorema:

Sean , ≪ +=+−∩

Ejercicio: Halle la dimensión de P+Q:

Se aprecia que la intersección es una recta, que tiene dimensión 1.

Reemplazando en el teorema comprobaremos:

+ = + − ∩

3=2+2− ∩


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52

∩ = 1

Suma de Sub-espacios vectoriales

Sean X,Y dos sub-espacios vectoriales de V. Si X ∩ Y = , entonces al espacio suma X+Y se lellama suma directa de S1 y S2 y se denota por: X ⊕ Y

⊕ = + / ∧

Es claro que: ⊕ ≪

dim ⊕ =+

Propiedad:

≪ ∧ = ⇒ = ⇒ =

Ejercicio: Halle la suma directa de los siguientes sub-espacios:

Por teorema:

dim ⊕ =+

↦ = 2 ↦ = 1

Reemplazando:

dim ⊕ = 2 + 1 = 3

Y

O


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[ALGEBRA LINEAL]

53

CONCLUSION:

Este capítulo tiene un campo de acción enorme, ya que para definir cualquier operación

o cálculo se define primero el espacio en el que se trabaja. Siendo este un espacio

vectorial, un sub espacio, un cuerpo, un anillo, etc. Cada una de estos espacios con

determinadas propiedades y características únicas. El mundo está hecho de vectores.


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54

TRANSFORMACIONES LINEALES O APLICACIONES LINEALES

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una Funciónque asigna a cada vector v ϵ V un vector único T v ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cadaescalar α,

En nuestro tema E y F son espacios vectoriales y E → F es una función o aplicación lineal L.Nota: En teoría de conjuntos se suele reservar el nombre de función para aplicacionesnuméricas.

La aplicación L es lineal si cumple las siguientes propiedades:

1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ,

L L u v L u L v u v E

L L u L u u E

Que se pueden escribir juntas como la ley de combinaciones lineales:

( ) ( ) ( ) ( ) , , ,C L L u v L u L v u v E

E F

R

R

L


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Ejemplo 1. Aplicaciones entre espacios de una dimensión

R R L

R: conjunto de los números reales

uau L

ua Luu Lu L

Ru

)(

)1()1()(

El ejemplo de transformacion lineal en R se resume en la función lineal (rectas).

La cantidad )1( La es libre. La aplicación lineal se resume anotando la constante (que es una

matriz 1 1 x ), ( ) L a

Ejemplo 2. Aplicación en dos dimensiones. E=F= En R2

1 2 1 2( , ) ( , )

L

e e f f E F

Los espacios están referidos a sus bases (no son la misma en principio).

Sea E u un vector arbitrario, se tiene que 2211 e xe xu

Luego por linealidad:

(1) 2 2 1 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L u L x e L x e x L e x L e

)( 1e L Puede elegirse libremente en F (2) 1 11 211 2( ) L e a f a f

)( 2e L puede elegirse libremente en F (3) 2 12 221 2( ) L e a f a f

Sustituyendo (2) y (3) en (1), y agrupando, me queda:

1 2 1 2( , ) ( ) ( , )

L

u x x L u y y X Y


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Donde (4):2222112

1221111

a xa x y

a xa x y

Resumen

Las aplicaciones lineales de a pueden codificarse en forma de matriz.

2221

1211

aa

aa A

La cual permite expresar las coordenadas de L(u) en función de las coordenadas de u.

2

1

2221

1211

2

1

x

x

aa

aa

y

y

En lenguaje abreviado escribo la fórmula matricial de cálculo de coordenadas.

Y AX

Nota: las columnas de A tienen su propio sentido: son las coordenadas de las imágenes de cada

uno de los vectores de base, L(ei )

Matriz de una transformación lineal

En vista de esta lección podemos definir una transformación lineal como una operación que

toma un vector en coordenadas y lo premultiplica por una matriz para hallar las coordenadas de

la imagen. Esta matriz operativa se llama la matriz de la aplicación lineal.

Se tiene una transformación lineal L de E en F , espacios a los que nos referimos por sus bases.

1 2 1 2, ,:

e e f f L E F

Las imágenes de e1 y e2 vienen dadas por las expresiones:

1 11 211 2

2 12 221 2

( )

( )

L e a f a f

L e a f a f

lo que equivale a 11 121 2 1 2

21 22

( ) ( )a a

L e L e f f a a

Tenemos un vector u cualquiera expresado en la base del espacio E .

1 21 2

1 21 2( )

u x e x e

L u y f y f


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Sustituyendo tenemos:

1 11 12 11 2 1 2

1 21 22 2

1 1 11 12 1

1 2

2 2 21 22 2

( ) ( ) ( )

( )

x a a x L u L e L e f f

x a a x

y y a a x L u f f

y y a a x

Caso general

Se tiene un vector u cualquiera en un espacio = El sistema { 1,..., ne e } constituye una base del espacio y 1,..., n x x son las coordenadas del vector

u respecto de esa base.

1

1

,

,

,...

,...

n

n

e

x

eu

x

Si L es una transformacion linealn m E F , donde = , tenemos:

1

1

,...,( )

,...,

m

m

f f L u

y y

Existen aplicaciones lineales entre espacios de dimensiones distintas, por lo que m no coincide

necesariamente con n, y existe una matriz A de la aplicación lineal L.

En resumen,

1 2( ) ( ) L B B A

Donde B1 y B2 son las bases de E y F respectivamente.

Las columnas de la matriz de aplicación lineal A son las coordenadas de las imágenes de los

vectores de la base del espacio E .

1 2 1, , ..., , ..., | | ...n m

mxn

Le Le Le f f

A M

El número de columnas de la matriz A coincide con la dimensión del primer espacio, y el número

de filas con la dimensión del segundo.

Las transformaciones lineales entre espacios de dimensión distinta utilizan matrices no

cuadradas.


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Núcleo

Definición. El núcleo de una transformación lineal es el conjunto de vectores del primer espacio

(espacio de partida) cuya imagen es nula. El núcleo se denota como K(L), del inglés kernel .

( ) : ( ) 0 K L v E L v Propiedades de K(L):

(1) 0 ( ) K L . El vector nulo siempre está contenido en el núcleo.

(2) K(L) es un sub-espacio de E:

, ( ) ( ) 0, ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( )

( ) ( ) 0 0

v w K L L v L w

L v w L v L w v w K L

L v L v

Ecuación. Si las coordenadas de v son X y las coordenadas de L( v ) son Y , tenemos la ecuación

matricial: AX Y , donde Y, como hemos dicho, vale cero; la ecuación del núcleo encoordenadas nos queda:

0 AX

En la ecuación 0 AX , el rango de la matriz A nos dice cuántas ecuaciones son independientes.Si r(A) es el rango de la matriz A y n la dimensión de E se tiene

dim ( ) ( ) K L n r A

Cálculo de una base del núcleo

Partimos de la ecuación matricial 0 AX

r r X =0

A

Todos los sistemas homogéneos tienen al menos la solución trivial.

En la matriz A, tenemos un menor principal de orden r r (r es el rango), cuyo determinante esdistinto de cero. Las filas restantes serán combinaciones lineales de las anteriores (zona

sombreada).


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59

Las incógnitas que sobran después de encontrar el menor r r , son coordenadas libres y laspasamos al otro miembro de la ecuación. Pasan a ser parámetros y les podemos dar un valor

cualquier para resolver el sistema.

1 A 1 x + 2 A 2 x = 0

r r r ( )r n r n r

Nos queda la ecuación matricial:

1 1 2 2( )( ) A X A X

Como 1 ...r n x x son parámetros, les puedo dar valores:

1 21, 0, ..., 0r r n x x x y calculo 1,..., r x x , coordenadas del vector 1r w

1 20, 1, ..., 0r r n x x x y calculo 1,..., r x x , coordenadas del vector 2r w

. . .

1 20, 0, ..., 1r r n x x x y calculo 1,..., r x x , coordenadas del vector nw

Salen tantos vectores w como columnas libres hay en la matriz A.

Si hay variables libres, hay núcleo. Son estas variables libres las que generan el núcleo. Estos

vectores constituyen una base del núcleo.

Recordamos

* ( )n r

K L es un sub-espacio de E .

* dim ( ) ( ) K L n r A donde A es la matriz de la transformación L

El conjunto de vectores 1 2, ,...,r r nw w w es una base del espacio K(L).


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60

Completando una base de E

Para tener una base completa de E, necesito completar el sistema con vectores 1,..., r w w . Por

conveniencia, utilizo los vectores de la base canónica de L.

1 1 2 2

, , ...,r r

w e w e w e

Pero he comprobar la ind. Lineal del conjunto obtenido

1 2, ,...,r r nw w w es base del sub-espacio K(L) de dimensión n-r

1,..., r e e es la base de un sub-espacio de E de dimensión r

Son dos bases totalmente independientes. La suma de estos dos espacios genera el espacio E.

Se dice entonces que es una suma directa.

Definición:

1 2 E E E es una suma directa si y sólo si 1 2 0 E E

Notación: 1 2 E E E

La condición suficiente y necesaria es 1 2dim dim dim E E E

Demostración:

Tenemos la regla 1 2 1 2dim dim dim dim( ) E E E E E , luego 1 2dim( ) 0 E E

Ojo: todos los espacios tienen en común el sub-espacio nulo, notación {0}.

Al sub-espacio de E generado por 1,..., r e e lo denominamos 2 E y escribimos:

2( ) E K L E

Estudio de la Imagen o Rango de la transformación lineal

Se llama ( ) L E al conjunto de vectores del espacio final F que son imagen de algún vector de E.

Se demuestra que es un sub-espacio de F y se le llama espacio imagen.

Es fácil ver que lo generan las imágenes de los vectores de base de E

Vamos a demostrar también que su dimensión es r . Equivale a 2( ) L E . Para ello demostramos

que los r vectores de la base del espacio complementario 2 E dan como imagen vectores

independientes.


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Proposición

Sea 1,..., r e e una base de 2 E

Entonces 1,..., r Le Le es un conjunto linealmente independiente

El sistema 1,..., r Le Le genera el sub-espacio imagen L(E)

Demostración

Sea 1 1 0r r Le Le ,

por linealidad: 1 1( ) 0r r L e e

Como la imagen es nula: 1 1 ( )r r e e K L

Recordamos que 1 1 2r r e e E Luego si el vector se encuentra en los dos espacios complementarios, que como yahemos dicho antes tienen como único elemento común el espacio nulo.

1 1 10 , 0r r r e e

algebra lineal-sandro lozano pÉrez

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