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Algebra LinealExamen Final

Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:1

1. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como

materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera

etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los

tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-

samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos

de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys

y 3 Zs se requirieron en total 515 As, 367 Bs y 462 Cs;

para armar 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 384

As, 273 Bs y 345 Cs; y que para armar 4 Xs, 2 Ys y 2 Zs

se requirieron en total 362 As, 262 Bs y 320 Cs. Ademas,

se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 4 Ns y

3 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 5 Ns y 2 Ps y para

un Z se requieren 4 Ms, 4 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,

cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un

X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.

Respuesta:

2. Si A es una matriz 3× 3 tal que

C33 = −17, C21 = 1

M23 = −11, M12 = −9

M11 = −10, M32 = 3

M31 = 8, C22 = −3

y

a33 = 1, a21 = 5

a23 = 2, a12 = 5

a11 = 4, a32 = 6

a31 = 7, a22 = 2

Determine |A|.

Respuesta:

3. Si:

A =

[−2 1

−3 1

]

B =

[−4 −1

−3 −1

]

C =

[3 1

−4 −1

]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(

(AX)TB)T

= C

Reporte el renglon 2.

Respuesta:

4. Determine la distancia de P (5, 4, 3, 3) al conjunto de so-

luciones a 2 5 3 4

1 2 5 2

3 7 8 6

x =

0

0

0

Respuesta:

5. La companıa LegoMex produce tres tipos de productos:

A, B y C. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-

ponentes basicos: X, Y y Z. Para ensamblar un producto

A requiere 4 Xs, 2 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un pro-

ducto B requiere 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs. Para ensamblar un

producto C requiere 11 Xs, 8 Ys y 8 Zs. Suponga que

debe utilizarse en su totalidad 40 Xs, 30 Ys y 29 Zs.

Por cada ensamble del tipo A la companıa gana 6 pesos,

por un ensamble tipo B gana 12 pesos, y por uno tipo C

gana 20 pesos. Determina cual es la combinacion que pro-

porciona una mayor ganancia. Indica en orden cuantos

productos del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del

tipo C se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.

Respuesta:

6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez a

cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces

{a1,a2} es linealmente dependiente.

b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.

c) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces

{a1,a2,a3} es linealmente independiente.

d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces


e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces

{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

dentro de las respuestas posibles:

1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

2

7. Los vectores

1.

1

3

−2

2.

−4

−10

12

3.

4

11

−9

4.

−2

−5

6

5.

8

22

−18

son vectores propios de la matriz

A =

192 −50 22

541 −141 62

−414 108 −47

De en orden los valores propios a los cuales corresponden.

Respuesta:

8. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:

x′ = 10x− 10 y + 8 z

y′ = 24x− 23 y + 18 z

z′ = 24x− 20 y + 14 z

sujeto a las condiciones iniciales:

x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 1

Determine el valor de t tal que x(t) = 5.676

Respuesta:

9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una

de las siguientes afirmaciones:

a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas

soluciones, entonces A no es invertible.

b) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene

infinitas soluciones.

c) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.

d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0

tiene solucion unica.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a

4x + 5 y + 14 z = 2

2x + 5 y + 12 z = 5

2x + 2 y + 6 z = 1

x + 4 y + 9 z = 1

se puede decir que:

1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones

de mınimos cuadrados y la formula general para ellas

es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1

2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-

ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 y

z = 4.

3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para

ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1

5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y

z = 4.

Indique su seleccion y reporte los numeros que completan

la respuesta.

Respuesta:

11. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es

una base para V , G es un conjunto generador para V , I es

un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-

junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de

elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como

son cada una de las afirmaciones

a) Si I tiene 15 elementos, entonces I es base.

b) G tiene a lo mas 16 elementos.

c) B tiene menos de 16 elementos.

d) D tiene menos de 16 elementos.

e) Si D tiene 16 elementos, entonces D es base.

Respecto a la respuesta

1) Cierto

2) Falso

MA1010, Examen Final, Tipo: 1 3

3) No hay suficiente informacion

Respuesta:

12. Si A y B son matrices 2× 2 tales que

|A| = 5 y |B| = 2

calcule los determinantes de las matrices:

i) (3A)−1

ii) A (3B)T

iii) AT B

iv) BT AT B−1

v) BT AT B−1 A−1

Respuesta:

13. Sean a1, a2, a3, b, y c vectores de Rn. Indique validez a


a) Si [a1,a2, 4a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

b) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 2a2|3 c] es inconsis-

tente, entonces [a1,b|b + c] es consistente.

d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-

sistente, entonces [a1,a2|c] es consistente.

e) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3a2|5 c] es consis-

tente, entonces [a1,a2|b + c] es inconsistente.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de

Calor es determinar la temperatura en estado estable de

una placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-

rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:

sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTd

sTd

sTe

sTf

Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodos

interiores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-

madamente igual al promedio de las temperaturas de los

cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, y

a la izquierda. Ası por ejemplo

T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.

Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que

Ta = 27o, Tb = 28o, Tc = 28o

Td = 20o, Te = 21o, Tf = 35o

Reporte solo el valor de T1.

Respuesta:

15. Se ha monitoreado el nivel de lıquido h(t) en un reactor

quımico. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

t h(t)

0 3

1 14

4 15

8 15

Por el metodo de mınimos cuadrados, ajuste los datos a

un modelo cuadratico:

h(t) = a + b t + c t2

Reporte en orden los valores de a, b y c ası como el nivel

pronosticado por el modelo para t = 10

Respuesta:




1. Sean A una matriz m×n y b1 y b2 dos vectores diferentes

ambos en Rm. Indique validez a cada una de las siguientes

afirmaciones:

a) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes si acaso tiene solucion.

b) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,

entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.

c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si

acaso tiene solucion.

d) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces

Ax = b2 tiene infinitas soluciones.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


luciones a 2 4 4 3

1 2 4 3

3 6 8 6

x =

0

0

0

Respuesta:
















Respuesta:



a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0

tiene infinitas soluciones.

b) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-

lucion, entonces A es invertible.

c) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-

tonces A es invertible.

d) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-

ne infinitas soluciones.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:


x′ = 11x− 16 y + 10 z

y′ = 24x− 35 y + 22 z

z′ = 30x− 42 y + 26 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2

Determine el valor de t tal que x(t) = −6.542

Respuesta:


|A| = 1 y |B| = −2


i) (−3A)−1

ii) A (−3B)T

iii) AT B

iv) BT AT B−1


Respuesta:



a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|6 c] es consis-


b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

2

c) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}d) Si [a1,a2, 3a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈

Gen {a1,a2}e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces

[a1, 2a3,a2|5b] es consistente.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


X, Y y Z. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-

ponentes basicos: A, B y C. Para ensamblar un producto

X requiere 2 As, 4 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un pro-

ducto Y requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un

producto Z requiere 10 As, 10 Bs y 7 Cs. Suponga que

debe utilizarse en su totalidad 34 As, 38 Bs y 27 Cs.

Por cada ensamble del tipo X la companıa gana 6 pesos,

por un ensamble tipo Y gana 12 pesos, y por uno tipo Z



productos del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del

tipo Z se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.

Respuesta:


−x + 3 y − 2 z = 3

−2x + 6 y − 4 z = 6

3x− 9 y + 6 z = −9

−x + 3 y − 2 z = 3

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:

10. Los vectores

1.

−10

−43

−26

2.

3

12

9

3.

−8

−34

−22

4.

−30

−129

−78

5.

1

4

3


A =

49 −2 −14

230 −12 −62

85 2 −32


Respuesta:

11. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[0 3

−1 0

]

D =

[−4 −10

0 −1

]Resuelva para X la siguiente ecuacion:

A (BX)T − 3C = D


Respuesta:









b) Si D tiene mas de 16 elementos, entonces D es base.

c) D tiene mas de 16 elementos.

d) G tiene al menos 16 elementos.

e) I tiene mas de 16 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



t h(t)

0 2

2 8

3 9

8 9



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.


Ta = 33o, Tb = 26o, Tc = 28o

Td = 24o, Te = 18o, Tf = 38o


Respuesta:


M23 = 0, M13 = −12

M22 = 12, C12 = 0

M31 = −6, C21 = −18

C11 = 24, C32 = −6

y

a23 = 4, a13 = 5

a22 = 6, a12 = 6

a31 = 4, a21 = 2

a11 = 4, a32 = 6

Determine |A|.

Respuesta:





|A| = −2 y |B| = 2


i) (4A)−1

ii) A (4B)T

iii) A−1 B

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:
















Respuesta:



t h(t)

0 4

2 15

3 19

9 19



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:







a) G tiene al menos 20 elementos.

b) D tiene menos de 20 elementos.

c) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D es base.

d) I tiene mas de 20 elementos.

e) B tiene 20 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

b) Si [a1,a2, 5a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

c) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|3 c] es consis-


d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-

te, entonces [a1,b|c] es consistente.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:







2








Respuesta:


M31 = 46, C21 = −11

C32 = −22, C23 = 36

M22 = −4, M33 = −15

C12 = 49, C11 = −25

y

a31 = 8, a21 = 5

a32 = 5, a23 = 8

a22 = 5, a33 = 3

a12 = 7, a11 = 4

Determine |A|.

Respuesta:

8. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz

A =

−506 −116 68

954 219 −128

−2196 −504 295

de la lista de vectores:

1.

−11

20

−49

2.

−3

5

−14

3.

−8

15

−35

4.

5

−9

22

5.

−4

7

−18

6.

1

−2

4

Respuesta:


luciones a 5 2 5 2

3 2 5 1

24 12 30 9

x =

0

0

0

Respuesta:

10. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[2 −3

1 −1

]

C =

[−2 −3

3 −3

]

D =

[7 2

−5 5


A (XB)−1 − 2C = D


Respuesta:



a) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene

solucion unica.

b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas



A es invertible.

d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


x′ = −15x− 7 y + 10 z

y′ = −18x− 8 y + 12 z

z′ = −35x− 17 y + 24 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 1


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-

ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces



c) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,


e) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTb

sTc

sTc

sTcs

Td

sTd

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 13o, Tb = 30o, Tc = 13o

Td = 14o, Te = 40o, Tf = 30o


Respuesta:


2x + y + 4 z = 5

4x + 5 y + 14 z = 5

x + 5 y + 11 z = 3

2x + 4 y + 10 z = 3

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:





R, S y T. Estos se produce ensamblando 3 tipos de com-


R requiere 3 Xs, 2 Ys y 4 Zs. Para ensamblar un producto

S requiere 2 Xs, 4 Ys y 3 Zs. Para ensamblar un producto

T requiere 8 Xs, 8 Ys y 11 Zs. Suponga que debe utili-

zarse en su totalidad 29 Xs, 30 Ys y 40 Zs. Por cada

ensamble del tipo R la companıa gana 4 pesos, por un

ensamble tipo S gana 8 pesos, y por uno tipo T gana 12

pesos. Determina cual es la combinacion que proporciona

una mayor ganancia. Indica en orden cuantos productos

del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo T se

realizaron, ası como la ganancia total obtenida.

Respuesta:


C31 = −14, M22 = −22

C32 = 7, M12 = 5

C21 = −24, C23 = 39

M33 = −7, M11 = 27

ya31 = 7, a22 = 5

a32 = 3, a12 = 6

a21 = 2, a23 = 1

a33 = 6, a11 = 1

Determine |A|.

Respuesta:

3. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[2 −3

1 −1

]

C =

[−4 −1

−3 −1


(AX)TB)C−B = 0


Respuesta:


x′ = −3x− 5 y + 7 z

y′ = −4x− 5 y + 8 z

z′ = −4x− 7 y + 10 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2


Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion

unica, entonces A no es invertible.


solucion unica.

c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0


d) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:
















Respuesta:

2

7. Los vectores

1.

5

19

−22

2.

−2

−7

11

3.

1

4

−4

4.

−15

−57

66

5.

3

12

−12


A =

272 −52 16

1048 −200 62

−1144 220 −66


Respuesta:







a) D tiene menos de 16 elementos.

b) I tiene a lo mas 16 elementos.

c) Si G tiene 16 elementos, entonces I es linealmente

independiente.

d) G tiene mas de 16 elementos.

e) B tiene mas de 16 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb

sTb

sTc

sTd

sTd

sTd

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 32o, Tb = 11o, Tc = 34o

Td = 14o, Te = 20o, Tf = 32o


Respuesta:



a) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-

ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}b) Si [a1,a2, 3a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈

Gen {a1,a2}c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces



e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|5 c] es inconsis-



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:



t h(t)

0 2

2 14

4 15

9 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:



|A| = 4 y |B| = 1


i) A (−2B)T

ii) (−2A)−1

iii) AB−1

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:


luciones a 1 3 5 3

3 4 3 1

12 21 24 12

x =

0

0

0

Respuesta:


3x− 9 y + 6 z = −9

3x− 9 y + 4 z = −7

−x + 3 y = 1

2x− 6 y + 6 z = −8

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0


z = 4.



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


la respuesta.

Respuesta:



afirmaciones:

a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.

b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces

Ax = 0 tiene solucion unica.

c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces


d) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:





|A| = −1 y |B| = −2


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) AB−1

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:

2. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[4 −1

−3 1

]

C =

[−1 3

1 3

]

D =

[−1 −5

−6 −5


A (BX)−1 − 2C = D


Respuesta:





b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces


c) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces




e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,

entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:














Respuesta:



a) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-

tonces A ·A es invertible.

b) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion




d) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene

solucion unica.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


−x + y − 3 z = 1

−2x + 2 y − 7 z = 3

−2x + 2 y − 7 z = 3

−2x + 2 y − 3 z = −1

se puede decir que:

2



z = 4.



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:


C23 = −13, M21 = −12

C32 = 36, C12 = −28

C11 = 24, M13 = 8

C31 = −60, M22 = 20

ya23 = 4, a21 = 8

a32 = 2, a12 = 1

a11 = 7, a13 = 8

a31 = 1, a22 = 8

Determine |A|.Respuesta:







a) I tiene a lo mas 15 elementos.

b) G tiene al menos 15 elementos.

c) Si G tiene 16 elementos, entonces G es linealmente

dependiente.

d) B tiene 15 elementos.

e) Si D tiene menos de 15 elementos, entonces D es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


x′ = 22x− 18 y + 12 z

y′ = 48x− 39 y + 26 z

z′ = 36x− 28 y + 18 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 1


Respuesta:


luciones a 4 3 2 4

1 2 1 2

14 13 8 16

x =

0

0

0

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.



Ta = 21o, Tb = 15o, Tc = 17o

Td = 31o, Te = 34o, Tf = 32o


Respuesta:

12. Los vectores

1.

2

−4

4

2.

1

−1

6

3.

−1

−2

−17

4.

3

6

51

5.

−3

3

−18


A =

−94 −36 10

272 106 −28

108 48 −8


Respuesta:



t h(t)

0 4

2 11

6 12

9 12



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:




ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}

b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-




d) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:
















Respuesta:










a) B tiene menos de 10 elementos.

b) Si I tiene 9 elementos, entonces I es base.

c) G tiene menos de 10 elementos.

d) Si D tiene 10 elementos, entonces D genera a V .

e) D tiene al menos 10 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



afirmaciones:

a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.

b) Si m > n, entonces, Ax = b1 tiene infinitas solucio-


c) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces

Ax = 0 tiene infinitas soluciones.

d) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


3x + y + 2 z = 5

3x + 5 y + 2 z = 4

3x + 3 y + z = 3

4x + 5 y + 5 z = 1

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:


|A| = −1 y |B| = −2


i) (4A)−1

ii) A (4B)T

iii) AB−1

iv) BT AT B−1 A−1

v) AT BA−1

Respuesta:





2

b) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-

ces A es invertible.



d) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.


Ta = 12o, Tb = 18o, Tc = 23o

Td = 36o, Te = 25o, Tf = 19o


Respuesta:



a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|3 c] es inconsis-


b) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-








1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:



t h(t)

0 2

2 12

6 16

7 16



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:
















Respuesta:


C12 = 13, M21 = −5

C23 = −1, C11 = 0

M13 = −13, C32 = 18

C31 = −20, M22 = −24


ya12 = 1, a21 = 7

a23 = 4, a11 = 6

a13 = 6, a32 = 1

a31 = 5, a22 = 4



luciones a 1 3 4 4

3 5 5 5

7 13 14 14

x =

0

0

0

Respuesta:


x′ = −5x− 5 y + 7 z

y′ = −12x− 10 y + 15 z

z′ = −12x− 12 y + 17 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2


Respuesta:

13. Los vectores

1.

5

−17

2

2.

−2

7

−1

3.

−10

34

−4

4.

1

−3

−1

5.

6

−21

3


A =

211 63 23

−707 −211 −77

71 21 7


Respuesta:

14. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[−2 −3

1 1


(AX)TB)T

= C


Respuesta:














Respuesta:






a) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-

ne solucion unica.



c) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-


d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un

conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto

de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como


a) Si D tiene 9 elementos, entonces D es base.


c) Si I tiene 9 elementos, entonces I genera a V .

d) B tiene mas de 9 elementos.

e) I tiene a lo mas 9 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


x′ = 19x− 15 y + 9 z

y′ = 39x− 31 y + 19 z

z′ = 27x− 21 y + 13 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 1


Respuesta:




{a1,a2} es linealmente independiente.

b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,


c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces


d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-

ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.

e) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:



t h(t)

0 3

1 9

3 13

7 13



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:

2


|A| = −4 y |B| = −2


i) A (2B)T

ii) (2A)−1

iii) AT B

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:


C33 = −13, C32 = 13

M21 = 12, M31 = 0

C11 = 4, C22 = 20

C12 = −37, M13 = 13

y

a33 = 7, a32 = 3

a21 = 6, a31 = 5

a11 = 5, a22 = 1

a12 = 3, a13 = 3

Determine |A|.

Respuesta:

8. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[−3 1

−4 1

]

C =

[−1 −1

3 0

]

D =

[−1 0

−10 −1


A (BX)T − 3C = D


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.


Ta = 30o, Tb = 18o, Tc = 34o

Td = 39o, Te = 32o, Tf = 38o


Respuesta:


2x + 2 y − 4 z = 2

2x + 2 y − 5 z = 1

3x + 3 y − 7 z = 2

2x + 2 y − 2 z = 4

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.


z = 4.



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0



ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


la respuesta.

Respuesta:
















Respuesta:


luciones a 2 5 3 3

3 3 3 5

7 13 9 11

x =

0

0

0

Respuesta:



a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-



ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈

Gen {a1,a2}d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-





1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

14. Los vectores

1.

14

−10

25

2.

3

−2

5

3.

2

−2

4

4.

−9

6

−15

5.

1

−1

2


A =

−68 85 76

50 −63 −56

−125 155 139


Respuesta:














Respuesta:








b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|3 c] es inconsis-




d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-




1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:
















Respuesta:



t h(t)

0 5

2 13

4 15

8 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


x′ = −20x− 6 y + 12 z

y′ = −23x− 7 y + 14 z

z′ = −45x− 15 y + 28 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 2


Respuesta:


−2x− 4 y + 4 z = −6

−2x− 4 y + 4 z = −6

−2x− 4 y + 4 z = −6

3x + 6 y − 6 z = 9

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.

2


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



z = 4.


la respuesta.

Respuesta:


|A| = 5 y |B| = −4


i) A (−2B)T

ii) (−2A)−1

iii) A−1 B

iv) AT BA−1


Respuesta:

7. Los vectores

1.

−4

−7

−5

2.

1

2

1

3.

30

54

39

4.

−2

−4

−2

5.

12

21

15


A =

−147 46 54

−266 83 98

−193 61 70


Respuesta:






a) D tiene mas de 9 elementos.

b) G tiene mas de 9 elementos.

c) I tiene menos de 10 elementos.

d) B tiene menos de 9 elementos.

e) Si I tiene 8 elementos, entonces I es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


M21 = −18, M22 = −30

M23 = −1, C13 = −28

C12 = 16, C33 = 10

M32 = −9, M11 = 11

ya21 = 4, a22 = 6

a23 = 5, a13 = 6

a12 = 2, a33 = 6

a32 = 5, a11 = 3



luciones a 3 2 4 4

3 1 2 5

9 4 8 14

x =

0

0

0

Respuesta:



ponentes basicos: R, S y T. Para ensamblar un producto

A requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto

B requiere 4 Rs, 2 Ss y 3 Ts. Para ensamblar un producto

C requiere 11 Rs, 6 Ss y 10 Ts. Suponga que debe uti-

lizarse en su totalidad 39 Rs, 22 Ss y 38 Ts. Por cada

ensamble del tipo A la companıa gana 4 pesos, por un

ensamble tipo B gana 8 pesos, y por uno tipo C gana 16



del tipo A, cuantos del tipo B y cuantos del tipo C se


Respuesta:






sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.


Ta = 32o, Tb = 29o, Tc = 11o

Td = 18o, Te = 11o, Tf = 30o


Respuesta:

13. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[2 1

−3 −1

]

C =

[−4 −3

−1 −1

]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((

AX−1)T

B)T

= C


Respuesta:



afirmaciones:

a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces


b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-







1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:



a) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-




c) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-

ne solucion unica.




1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:




1. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−3 3

−3 1

]

D =

[9 −10

7 −3


A (BX)T − 2C = D


Respuesta:



a) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,






d) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.

e) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +

c3a3 = 0, entonces {a1,a2,a3} es linealmente inde-

pendiente.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:







a) Si D tiene mas de 17 elementos, entonces D genera a

V .

b) B tiene 17 elementos.

c) Si G tiene 18 elementos, entonces G es linealmente

dependiente.

d) I tiene mas de 17 elementos.

e) G tiene al menos 17 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



t h(t)

0 3

2 11

5 13

8 13



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

2






T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.


Ta = 19o, Tb = 27o, Tc = 31o

Td = 20o, Te = 12o, Tf = 20o


Respuesta:


C11 = −5, C22 = 7

C12 = −17, C31 = 14

M32 = 1, M13 = 36

M33 = −36, M21 = 17

ya11 = 3, a22 = 4

a12 = 6, a31 = 5

a32 = 7, a13 = 1

a33 = 4, a21 = 8

Determine |A|.

Respuesta:


luciones a 5 2 5 3

2 2 1 2

12 6 11 8

x =

0

0

0

Respuesta:


−x + 3 y + 3 z = 2

3x− 9 y − 9 z = −6

−2x + 6 y + 6 z = 4

−x + 3 y + 3 z = 2

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


la respuesta.

Respuesta:
















Respuesta:




R requiere 3 As, 4 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un pro-

ducto S requiere 2 As, 4 Bs y 3 Cs. Para ensamblar un

producto T requiere 8 As, 12 Bs y 7 Cs. Suponga que


Por cada ensamble del tipo R la companıa gana 6 pesos,

por un ensamble tipo S gana 12 pesos, y por uno tipo T



productos del tipo R, cuantos del tipo S y cuantos del tipo

T se realizaron, ası como la ganancia total obtenida.

Respuesta:




a) Si 4b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces




d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 3a2|4 c] es inconsis-




1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

12. Los vectores

1.

−14

31

17

2.

4

−9

−4

3.

1

−2

−2

4.

−4

9

4

5.

−28

62

34


A =

−617 −248 −60

1356 545 132

796 320 77


Respuesta:








A es invertible.

d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


x′ = −10 y + 8 z

y′ = x− 13 y + 10 z

z′ = 4x− 20 y + 14 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1


Respuesta:


|A| = 2 y |B| = −2


i) (−4A)−1

ii) A (−4B)T

iii) A−1 B


v) AT BA−1

Respuesta:




1. Si:

A =

[2 1

−3 −1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[−3 −4

1 1


(AX)TB)C−B = 0


Respuesta:


4x + 4 y + 5 z = 2

5x + 2 y + z = 3

2x + y + 4 z = 5

4x + 5 y + 2 z = 3

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:



afirmaciones:

a) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2


b) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-


c) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces


d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


luciones a 1 5 1 2

5 5 5 4

7 15 7 8

x =

0

0

0

Respuesta:





b) Si la matriz A no es invertible, entonces Ax = 0 tie-

ne solucion unica.


A es invertible.




2

1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

6. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz

A =

67 30 11

−160 −73 −28

60 30 14


1.

1

−3

2

2.

−2

6

−5

3.

0

1

−3

4.

2

−7

7

5.

−3

12

−15

6.

0

−1

2

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.


Ta = 10o, Tb = 16o, Tc = 28o

Td = 22o, Te = 13o, Tf = 24o


Respuesta:


|A| = 5 y |B| = 4


i) (3A)−1

ii) A (3B)T

iii) A−1 B

iv) AT BA−1


Respuesta:


M31 = 3, C12 = 16

M23 = −3, C33 = −5

C21 = 12, C11 = −7

C32 = 3, C13 = 4

y

a31 = 8, a12 = 3

a23 = 3, a33 = 2

a21 = 4, a11 = 7

a32 = 3, a13 = 6

Determine |A|.

Respuesta:







a) B tiene 13 elementos.

b) D tiene a lo mas 13 elementos.

c) Si I tiene 13 elementos, entonces I es base.

d) Si D tiene mas de 13 elementos, entonces D es base.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}



c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-




e) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:



t h(t)

0 4

1 13

4 14

7 14



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:
















Respuesta:














Respuesta:


x′ = −5x− 12 y + 8 z

y′ = −6x− 13 y + 9 z

z′ = −12x− 30 y + 20 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1


Respuesta:





C13 = −5, M23 = 34

M32 = 22, C22 = 17

M11 = −8, M21 = −17

C31 = −4, M33 = 23

ya13 = 6, a23 = 4

a32 = 7, a22 = 4

a11 = 7, a21 = 1

a31 = 3, a33 = 5



luciones a 4 1 2 3

5 3 2 2

22 9 10 13

x =

0

0

0

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 40o, Tb = 30o, Tc = 37o

Td = 29o, Te = 34o, Tf = 35o


Respuesta:



a) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.






ne solucion unica.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

5. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[−3 −4

1 1

]

C =

[3 3

−2 −3

]

D =

[−5 −10

3 10


A (XB)−1 − 3C = D


Respuesta:


A =

128 26 −8

−580 −118 36

36 6 −4

2


1.

1

−4

3

2.

15

−66

18

3.

2

−9

1

4.

9

−39

15

5.

6

−26

9

6.

−2

9

−2

Respuesta:



t h(t)

0 3

1 10

4 14

8 14



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:




sistente.


c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}

d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces


e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:






a) I tiene a lo mas 8 elementos.


c) G tiene mas de 8 elementos.


e) Si D tiene 8 elementos, entonces D genera a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


2x + 6 y − 4 z = 18

−2x− 6 y + 7 z = −27

3x + 9 y − 3 z = 18

3x + 9 y − 4 z = 21

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.



la respuesta.

Respuesta:
















Respuesta:



afirmaciones:

a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-

ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-

tas soluciones.

b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.



d) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:


|A| = −1 y |B| = −2


i) A (−4B)T

ii) (−4A)−1

iii) AB−1

iv) AT BA−1

v) BT AT B−1

Respuesta:


x′ = 10x− 8 y + 5 z

y′ = 24x− 19 y + 12 z

z′ = 24x− 18 y + 11 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2


Respuesta:














Respuesta:








b) Si el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, en-



A es invertible.




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


luciones a 3 2 4 5

3 1 5 5

6 3 9 10

x =

0

0

0

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.


Ta = 37o, Tb = 29o, Tc = 29o

Td = 21o, Te = 29o, Tf = 36o


Respuesta:



afirmaciones:

a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entonces


b) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,

entonces Ax = 0 tiene solucion unica.

c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si


d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.


1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:


x′ = −5x− 9 y + 6 z

y′ = −6x− 12 y + 8 z

z′ = −12x− 28 y + 18 z


x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2


Respuesta:

6. Si:

A =

[−3 1

−4 1

]

B =

[−3 1

−4 1

]

C =

[3 2

−1 2

]

D =

[−9 −8

3 −3

]

2

Resuelva para X la siguiente ecuacion:

A (BX)T − 2C = D


Respuesta:
















Respuesta:


5x + 4 y + 3 z = 5

2x + y + z = 2

4x + 5 y + 4 z = 1

3x + y + z = 5

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0



z = 4.


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:














Respuesta:







a) I tiene menos de 18 elementos.


c) Si D tiene 17 elementos, entonces D genera a V .

d) Si I tiene 17 elementos, entonces I genera a V .

e) B tiene menos de 17 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



t h(t)

0 5

1 17

6 20

8 20




h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:

12. Los vectores

1.

−3

8

−1

2.

2

−4

0

3.

−2

6

−2

4.

1

−3

1

5.

6

−16

2


A =

−23 −12 −15

66 34 42

−12 −6 −8


Respuesta:


M11 = 6, C22 = 14

C31 = 9, C12 = −16

M13 = 1, M23 = 0

C33 = −2, M21 = 7

ya11 = 4, a22 = 3

a31 = 2, a12 = 2

a13 = 1, a23 = 6

a33 = 4, a21 = 7

Determine |A|.

Respuesta:


|A| = −5 y |B| = −4


i) A (−3B)T

ii) (−3A)−1

iii) A−1 B


v) AT BA−1

Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces


b) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|2 c] es consis-






e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:



















Respuesta:




sistente.

b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces


c) Si [a1,a2, 2a3|5b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}






1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

3. Los vectores

1.

1

−3

1

2.

3

−12

−3

3.

−1

4

1

4.

−6

26

12

5.

−3

13

6


A =

85 24 −13

−389 −110 59

−232 −66 34


Respuesta:

4. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[−4 −3

−1 −1


(AX)TB)C−B = 0


Respuesta:


C11 = −14, M13 = 11

M31 = −16, C32 = 13

M23 = 0, C22 = −6

M33 = −11, C12 = −1

ya11 = 1, a13 = 8

a31 = 1, a32 = 8

a23 = 3, a22 = 5

a33 = 2, a12 = 8

2

Determine |A|.

Respuesta:


luciones a 5 5 3 4

3 3 3 5

18 18 12 17

x =

0

0

0

Respuesta:


|A| = −1 y |B| = −2


i) A (−3B)T

ii) (−3A)−1

iii) AT B


v) AT BA−1

Respuesta:














Respuesta:





b) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0


c) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-



solucion unica.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:






a) B tiene mas de 8 elementos.



d) D tiene mas de 8 elementos.

e) Si I tiene menos de 8 elementos, entonces I genera

a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


3x + 3 y + 9 z = 4

4x + 5 y + 14 z = 2

3x + 4 y + 11 z = 4

4x + 2 y + 8 z = 4

se puede decir que:



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1



ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 27o, Tb = 33o, Tc = 31o

Td = 18o, Te = 38o, Tf = 16o


Respuesta:



afirmaciones:



b) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-




d) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:



t h(t)

0 2

2 12

5 13

7 13



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


x′ = 3x− 6 y + 8 z

y′ = 6x− 13 y + 18 z

z′ = 5x− 9 y + 12 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2


Respuesta:








sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTd

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 18o, Tb = 32o, Tc = 36o

Td = 12o, Te = 40o, Tf = 33o


Respuesta:


luciones a 4 2 4 1

3 2 4 3

15 8 16 6

x =

0

0

0

Respuesta:














Respuesta:


|A| = −4 y |B| = 3


i) (−4A)−1

ii) A (−4B)T

iii) A−1 B

iv) AT BA−1


Respuesta:







a) Si D tiene 13 elementos, entonces D es base.




e) G tiene a lo mas 13 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


x′ = −3x− 14 y + 8 z

y′ = −4x− 17 y + 10 z

z′ = −8x− 38 y + 22 z


x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1

Determine el valor de t tal que x(t) = 25.

Respuesta:

2

7. Los vectores

1.

−3

6

9

2.

1

−1

1

3.

−2

−2

−16

4.

3

−3

3

5.

−1

2

3


A =

82 67 −18

−50 −41 12

185 151 −37


Respuesta:







c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-


d) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

9. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[4 −3

−1 1

]

C =

[0 3

0 0

]

D =

[3 −10

1 −1

]

Resuelva para X la siguiente ecuacion:

A (XB)−1 − 2C = D


Respuesta:


M32 = 7, C11 = −32

M22 = −2, M31 = 12

C13 = 29, M23 = 14

C33 = −9, C21 = 12

ya32 = 5, a11 = 4

a22 = 3, a31 = 2

a13 = 3, a23 = 7

a33 = 1, a21 = 7



−x− 2 y − z = −1

−x− 2 y − z = −1

3x + 6 y + 3 z = 3

−2x− 4 y − 2 z = −2

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.



z = 4.



la respuesta.

Respuesta:



t h(t)

0 4

1 12

5 14

9 14



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:
















Respuesta:



afirmaciones:

a) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces





d) Si m > n, entonces, Ax = b1 tiene infinitas solucio-



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:












1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:





luciones a 5 4 4 4

4 2 4 1

18 12 16 10

x =

0

0

0

Respuesta:
















Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.


Ta = 40o, Tb = 22o, Tc = 13o

Td = 10o, Te = 19o, Tf = 37o


Respuesta:



t h(t)

0 4

1 11

6 15

8 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:

5. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[2 −1

2 −1

]

D =

[−1 3

−8 1


A (XB)−1 − 2C = D


Respuesta:


|A| = −5 y |B| = 3


i) (−3A)−1

ii) A (−3B)T

iii) AT B

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

2

Respuesta:






C requiere 8 Rs, 8 Ss y 11 Ts. Suponga que debe utili-

zarse en su totalidad 29 Rs, 30 Ss y 40 Ts. Por cada







Respuesta:




sistente.


c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-







1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:







a) I tiene mas de 16 elementos.

b) D tiene mas de 16 elementos.


d) Si D tiene 16 elementos, entonces D es base.

e) G tiene mas de 16 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


3x− 6 y + 9 z = −3

−2x + 4 y − 3 z = −1

−2x + 4 y − 8 z = 4

−2x + 4 y − 4 z = 0

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:


M11 = 32, C33 = 17

C32 = 33, M13 = −36

C31 = −47, C23 = 13

M12 = 12, C21 = −7

ya11 = 5, a33 = 5

a32 = 1, a13 = 8

a31 = 6, a23 = 3

a12 = 3, a21 = 6











d) Si el sistema (AA)x = 0 tiene solucion unica, enton-



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:



afirmaciones:




nes.

c) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,





1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


x′ = −5x− 4 y + 8 z

y′ = −6x− 4 y + 9 z

z′ = −6x− 6 y + 11 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 1


Respuesta:

15. Los vectores

1.

3

−2

10

2.

−6

4

−20

3.

−3

0

−15

4.

1

−1

3

5.

−3

3

−9


A =

59 29 −11

−60 −27 12

160 85 −28


Respuesta:






a) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈Gen {a1,a2,a3}


ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-


d) Si [a1,a2, 3a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

e) Si 2b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:


|A| = −5 y |B| = −3


i) (3A)−1

ii) A (3B)T

iii) A−1 B

iv) AT BA−1


Respuesta:



t h(t)

0 3

1 15

6 19

9 19



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:



a) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0




c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene





1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTd

sTd

sTe

sTe

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.

2


Ta = 35o, Tb = 25o, Tc = 12o

Td = 20o, Te = 23o, Tf = 17o


Respuesta:







b) G tiene menos de 8 elementos.


d) Si D tiene 8 elementos, entonces D genera a V .

e) D tiene a lo mas 8 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


M33 = −16, C11 = −28

C12 = 34, C32 = −11

C22 = −2, M23 = −14

C31 = 20, C13 = 10

ya33 = 2, a11 = 3

a12 = 4, a32 = 6

a22 = 4, a23 = 6

a31 = 8, a13 = 1



x′ = −8x− 6 y + 9 z

y′ = −18x− 12 y + 19 z

z′ = −18x− 14 y + 21 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2


Respuesta:
















Respuesta:


x + 4 y + 5 z = 2

5x + 5 y + 2 z = 3

4x + y + z = 1

4x + 5 y + 3 z = 2

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


la respuesta.

Respuesta:


11. Si:

A =

[−2 −3

1 1

]

B =

[3 1

−4 −1

]

C =

[−2 3

0 1

]

D =

[1 −10

1 −1


A (BX)T − 2C = D


Respuesta:




X requiere 3 Rs, 2 Ss y 4 Ts. Para ensamblar un producto

Y requiere 4 Rs, 3 Ss y 2 Ts. Para ensamblar un producto

Z requiere 10 Rs, 7 Ss y 10 Ts. Suponga que debe uti-


ensamble del tipo X la companıa gana 10 pesos, por un

ensamble tipo Y gana 20 pesos, y por uno tipo Z gana 36



del tipo X, cuantos del tipo Y y cuantos del tipo Z se


Respuesta:

13. Los vectores

1.

0

2

−7

2.

−4

18

−24

3.

0

4

−14

4.

2

−8

8

5.

−2

9

−12


A =

197 70 20

−732 −262 −76

612 224 68


Respuesta:


luciones a 3 4 1 3

3 1 1 4

18 15 6 21

x =

0

0

0

Respuesta:



a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,


b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-


c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces


d) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.

e) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:











c) Si D tiene mas de 9 elementos, entonces D es base.

d) Si I tiene 9 elementos, entonces I genera a V .

e) D tiene menos de 9 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



t h(t)

0 3

1 12

5 13

9 13



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTb

sTc

sTc

sTcs

Td

sTd

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 13o, Tb = 36o, Tc = 40o

Td = 29o, Te = 25o, Tf = 28o


Respuesta:














Respuesta:


A =

−240 62 −27

−766 198 −86

444 −114 51

2


1.

6

19

−11

2.

5

16

−8

3.

12

39

−18

4.

1

3

−2

5.

15

48

−27

6.

−3

−10

4

Respuesta:












1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:


luciones a 2 1 4 1

1 3 1 3

6 8 10 8

x =

0

0

0

Respuesta:


x′ = −2x− 6 y + 12 z

y′ = −4x− 13 y + 26 z

z′ = −9 y + 16 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2


Respuesta:
















Respuesta:








d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces


e) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:



afirmaciones:

a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-




c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

d) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-


tas soluciones.


1) No se sabe


2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


|A| = −1 y |B| = −4


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) A−1 B

iv) AT BA−1


Respuesta:

13. Si:

A =

[2 −3

1 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−3 3

0 1

]

D =

[7 −12

1 −2


A (BX)−1 − 3C = D


Respuesta:


C13 = −27, M12 = −2

M22 = −6, M21 = 4

M32 = −4, C33 = −5

M11 = 6, M31 = −2

ya13 = 2, a12 = 5

a22 = 6, a21 = 7

a32 = 3, a33 = 2

a11 = 5, a31 = 8

Determine |A|.

Respuesta:


3x + 3 y − 6 z = 3

3x + 3 y − 6 z = 3

3x + 3 y − 6 z = 3

2x + 2 y − 4 z = 2

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:




1. Los vectores

1.

−1

−2

−2

2.

−2

−3

−8

3.

4

5

19

4.

−4

−5

−19

5.

−6

−9

−24


A =

173 −72 −16

164 −71 −14

1004 −408 −97


Respuesta:


5x + 2 y + 9 z = 5

5x + 2 y + 9 z = 4

5x + 2 y + 9 z = 4

3x + 4 y + 11 z = 5

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:



t h(t)

0 3

2 9

3 10

9 10



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


luciones a 1 2 2 4

4 5 2 3

5 7 4 7

x =

0

0

0

Respuesta:









2




1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:














Respuesta:

7. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[2 1

−3 −1


(AX)TB)C−B = 0


Respuesta:
















Respuesta:




A es invertible.



c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion





1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:



afirmaciones:

a) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,


b) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2




d) Si m > n, entonces, Ax = b1 tiene infinitas solucio-



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


x′ = 2x− 10 y + 8 z

y′ = 6x− 23 y + 18 z

z′ = 12x− 30 y + 22 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1


Respuesta:



|A| = −1 y |B| = 3


i) (2A)−1

ii) A (2B)T

iii) A−1 B


v) BT AT B−1

Respuesta:


C31 = −4, C33 = −31

M13 = 53, M21 = −28

C32 = 63, C22 = −17

C12 = −53, M23 = −5

ya31 = 3, a33 = 7

a13 = 8, a21 = 8

a32 = 7, a22 = 1

a12 = 4, a23 = 1









b) Si G tiene 10 elementos, entonces I es linealmente

independiente.

c) Si D tiene mas de 10 elementos, entonces D genera a

V .


e) I tiene a lo mas 10 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTd

sTd

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 14o, Tb = 19o, Tc = 21o

Td = 23o, Te = 29o, Tf = 25o


Respuesta:

















Respuesta:


|A| = 3 y |B| = −1


i) (4A)−1

ii) A (4B)T

iii) AB−1


v) BT AT B−1

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTd

sTd

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 11o, Tb = 37o, Tc = 16o

Td = 23o, Te = 16o, Tf = 30o


Respuesta:




A es invertible.








1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:


M12 = 16, C11 = 12

C23 = −4, M22 = −31

M32 = −29, M31 = −24

M13 = 2, C33 = 2

ya12 = 2, a11 = 3

a23 = 2, a22 = 4

a32 = 6, a31 = 7

a13 = 7, a33 = 6








2


b) I tiene menos de 16 elementos.

c) B tiene mas de 15 elementos.

d) G tiene mas de 15 elementos.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:
















Respuesta:



t h(t)

0 3

1 9

4 12

7 12



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


4x + 2 y + 8 z = 5

2x + 3 y + 8 z = 1

5x + 3 y + 11 z = 2

5x + 5 y + 15 z = 4

se puede decir que:



z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:


x′ = 5x− 17 y + 10 z

y′ = 6x− 20 y + 12 z

z′ = 9x− 27 y + 16 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1


Respuesta:





b) Si 2b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

c) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces







1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


luciones a 2 1 3 3

2 5 5 1

10 17 21 9

x =

0

0

0

Respuesta:



afirmaciones:



b) Si m > n, entonces, Ax = b1 tiene infinitas solucio-


c) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tiene

solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucion

unica.




1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:

14. Si:

A =

[−2 −3

1 1

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[−1 −1

2 −3

]

D =

[5 3

−8 5


A (BX)T − 2C = D


Respuesta:


A =

251 44 26

−945 −165 −99

−805 −142 −82


1.

−2

7

7

2.

3

−13

−7

3.

1

−4

−3

4.

−1

5

1

5.

−4

16

11

6.

2

−9

−4

Respuesta:





A =

34 8 −4

−198 −50 6

207 58 23


1.

−12

45

−6

2.

−8

28

2

3.

5

−18

0

4.

1

−4

1

5.

8

−29

1

6.

−3

11

−1

Respuesta:






a) G tiene mas de 8 elementos.

b) I tiene mas de 8 elementos.


d) D tiene al menos 8 elementos.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:














Respuesta:
















Respuesta:


luciones a 4 2 5 1

3 5 5 5

7 7 10 6

x =

0

0

0

Respuesta:






c) Si 6b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.

d) Si b ∈ Gen {a1,a2} y [a1,a3|c] es consistente, enton-


2

e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:

7. Si:

A =

[2 −3

1 −1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[−4 −1

−3 −1


(AX)TB)C−B = 0


Respuesta:






ne solucion unica.

c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas





1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 35o, Tb = 21o, Tc = 27o

Td = 36o, Te = 38o, Tf = 23o


Respuesta:



t h(t)

0 5

1 11

3 15

9 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


M32 = 7, C31 = −40

C13 = −52, C12 = 13

C33 = 32, M23 = −36

M11 = 52, C21 = −32

y

a32 = 4, a31 = 7

a13 = 8, a12 = 8

a33 = 8, a23 = 3

a11 = 5, a21 = 1

Determine |A|.

Respuesta:



|A| = 1 y |B| = −2


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) AT B

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:


3x + 3 y + 9 z = 9

−2x− 2 y − 7 z = −8

3x + 3 y + 11 z = 13

2x + 2 y + 9 z = 12

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


la respuesta.

Respuesta:


x′ = −8x− 10 y + 8 z

y′ = −9x− 13 y + 10 z

z′ = −18x− 30 y + 22 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2


Respuesta:



afirmaciones:










1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

















Respuesta:
















Respuesta:


A =

323 128 −58

−936 −371 168

−292 −116 53


1.

−2

5

0

2.

10

−28

−7

3.

21

−60

−18

4.

6

−16

−2

5.

1

−3

−1

6.

4

−11

−2

Respuesta:







a) Si D tiene 13 elementos, entonces D genera a V .

b) D tiene a lo mas 13 elementos.


d) I tiene al menos 13 elementos.

e) Si I tiene 13 elementos, entonces I genera a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


x′ = −5x− 12 y + 8 z

y′ = −6x− 13 y + 9 z

z′ = −12x− 30 y + 20 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 2


Respuesta:

2


2x + 2 y + 2 z = −6

−x− y − z = 3

2x + 2 y + 2 z = −6

−x− y − z = 3

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTd

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 35o, Tb = 22o, Tc = 37o

Td = 32o, Te = 12o, Tf = 17o


Respuesta:


C12 = −1, M11 = 2

C31 = −1, C21 = −4

M23 = −20, M33 = −13

M22 = −7, C32 = 5

ya12 = 8, a11 = 1

a31 = 3, a21 = 2

a23 = 1, a33 = 2

a22 = 3, a32 = 4




t h(t)

0 5

1 17

6 18

9 18



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


luciones a 1 2 3 3

2 2 5 3

7 10 19 15

x =

0

0

0

Respuesta:






b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.






1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

12. Si:

A =

[−4 −3

−1 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−4 −3

−1 −1


(AX)TB)T

= C


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces




c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces

{a1,a2} es linealmente independiente.

d) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,


e) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:


|A| = −2 y |B| = −2


i) (4A)−1

ii) A (4B)T

iii) AB−1

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:












1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:











b) I tiene a lo mas 12 elementos.

c) G tiene a lo mas 12 elementos.


e) Si D tiene menos de 12 elementos, entonces D genera

a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


x′ = 5x− 16 y + 10 z

y′ = 6x− 19 y + 12 z

z′ = 9x− 26 y + 16 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 2


Respuesta:


luciones a 3 2 3 1

2 4 4 4

13 14 17 11

x =

0

0

0

Respuesta:



afirmaciones:





c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-


d) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:
















Respuesta:


5x + 2 y + 9 z = 1

x + 5 y + 11 z = 2

4x + y + 6 z = 1

3x + 4 y + 11 z = 2

se puede decir que:



z = 4.

2



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:

7. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[−1 3

0 1

]

D =

[4 −9

1 −3


A (XB)−1 − 2C = D


Respuesta:


|A| = −3 y |B| = −1


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) AB−1

iv) BT AT B−1


Respuesta:


A =

−448 −122 40

1976 538 −176

934 254 −82


1.

−7

32

18

2.

1

−5

−4

3.

−24

108

57

4.

1

−4

−1

5.

2

−9

−5

6.

−9

41

23

Respuesta:














Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTd

sTd

sTe

sTe

sTe

sTf







T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 29o, Tb = 28o, Tc = 29o

Td = 39o, Te = 20o, Tf = 34o


Respuesta:


C13 = −9, C33 = 7

C11 = −3, C22 = −23

M21 = −17, M12 = −6

C32 = −1, C31 = −5

ya13 = 4, a33 = 1

a11 = 5, a22 = 2

a21 = 1, a12 = 3

a32 = 5, a31 = 7




t h(t)

0 5

2 14

3 16

8 16



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:





b) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·Ax = 0




d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:






c) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}

d) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.




1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:






t h(t)

0 2

2 14

5 18

8 18



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion




c) Si la matriz A es invertible, entonces Ax = 0 tiene

solucion unica.




1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


C33 = −3, C21 = 2

C11 = 16, M32 = −22

C22 = −8, C12 = −24

M13 = −4, M31 = −13

ya33 = 4, a21 = 8

a11 = 1, a32 = 2

a22 = 5, a12 = 1

a13 = 3, a31 = 4

Determine |A|.

Respuesta:
















Respuesta:


luciones a 3 5 2 4

3 2 4 4

9 9 10 12

x =

0

0

0

Respuesta:














Respuesta:




2






ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}e) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-



1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:

8. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[4 −1

−3 1


(AX)TB)T

= C


Respuesta:


|A| = −4 y |B| = −1


i) A (4B)T

ii) (4A)−1

iii) AT B

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 12o, Tb = 30o, Tc = 18o

Td = 34o, Te = 22o, Tf = 31o


Respuesta:



afirmaciones:









1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

12. Los vectores

1.

3

6

21

2.

−2

0

0

3.

1

2

7

4.

1

1

3

5.

−3

−3

−9


A =

1 −26 8

0 −37 12

0 −126 41


Respuesta:



x′ = −3x− 12 y + 7 z

y′ = −4x− 13 y + 8 z

z′ = −8x− 30 y + 18 z


x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1


Respuesta:








b) D tiene mas de 11 elementos.


d) Si D tiene menos de 11 elementos, entonces D es base.

e) B tiene 11 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


−2x− 6 y + 4 z = −6

−x− 3 y + 2 z = −3

−2x− 6 y + 4 z = −6

−x− 3 y + 2 z = −3

se puede decir que:



z = 4.



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:






a) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-









1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:


M31 = −16, M33 = −3

C23 = 5, M13 = −3

M22 = −21, C12 = −5

M21 = −12, C32 = 17

ya31 = 4, a33 = 3

a23 = 1, a13 = 6

a22 = 3, a12 = 2

a21 = 3, a32 = 3















Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.


Ta = 21o, Tb = 13o, Tc = 39o

Td = 20o, Te = 15o, Tf = 21o


Respuesta:




ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-




d) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 3a2|3 c] es consis-





1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

2

Respuesta:
















Respuesta:

7. Los vectores

1.

−26

−86

−66

2.

12

39

30

3.

1

3

2

4.

3

9

6

5.

4

13

10


A =

−157 70 −27

−528 237 −93

−404 182 −72


Respuesta:


2x + 5 y + 12 z = 3

x + 4 y + 9 z = 3

2x + y + 4 z = 2

3x + 5 y + 13 z = 4

se puede decir que:


z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



z = 4.


la respuesta.

Respuesta:








b) B tiene 18 elementos.

c) G tiene a lo mas 18 elementos.

d) D tiene al menos 18 elementos.

e) Si D tiene 18 elementos, entonces D es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


|A| = −2 y |B| = 4



i) (−4A)−1

ii) A (−4B)T

iii) A−1 B

iv) AT BA−1


Respuesta:


luciones a 4 5 5 2

1 5 2 4

13 20 17 10

x =

0

0

0

Respuesta:

12. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[−2 −3

1 1

]

C =

[−1 3

−2 −2

]

D =

[6 −7

1 5


A (BX)−1 − 2C = D


Respuesta:



a) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-

ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.

b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,




d) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.

e) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces



1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:



t h(t)

0 2

2 9

4 13

7 13



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


x′ = −18x− 4 y + 10 z

y′ = −20x− 4 y + 11 z

z′ = −40x− 10 y + 23 z


x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1


Respuesta:





|A| = 5 y |B| = −3


i) (−3A)−1

ii) A (−3B)T

iii) AT B

iv) AT BA−1

v) BT AT B−1

Respuesta:



afirmaciones:


nes.



c) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tiene


unica.

d) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:
















Respuesta:


−x− y + 2 z = 1

−x− y + 2 z = 1

2x + 2 y − 4 z = −2

−2x− 2 y + 4 z = 2

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


la respuesta.

Respuesta:




A es invertible.

2








1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTd

sTd

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 24o, Tb = 13o, Tc = 36o

Td = 31o, Te = 37o, Tf = 18o


Respuesta:






Z requiere 12 Rs, 7 Ss y 8 Ts. Suponga que debe utili-








Respuesta:



t h(t)

0 3

1 14

3 15

9 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:










d) I tiene a lo mas 15 elementos.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


luciones a 4 4 4 3

2 5 4 2

16 22 20 13

x =

0

0

0

Respuesta:



C12 = 28, C22 = 1

C32 = −17, C21 = 4

M31 = −1, M13 = −29

C33 = 20, C11 = −22

ya12 = 1, a22 = 7

a32 = 6, a21 = 1

a31 = 5, a13 = 1

a33 = 2, a11 = 3


12. Los vectores

1.

12

−26

−33

2.

1

−2

−2

3.

−4

9

12

4.

4

−9

−12

5.

−2

4

4


A =

478 324 −84

−1026 −695 180

−1278 −864 223


Respuesta:


x′ = −9x− 4 y + 8 z

y′ = −20x− 8 y + 17 z

z′ = −20x− 10 y + 19 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2


Respuesta:












1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:

15. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[−3 −4

1 1

]

C =

[0 −3

0 2

]

D =

[−3 2

1 −3


A (BX)T − 2C = D


Respuesta:






a) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

b) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces


c) Si existen unicos c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 = a3,







1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:














Respuesta:





sistente.








1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:








b) G tiene a lo mas 10 elementos.

c) B tiene 10 elementos.

d) Si D tiene 10 elementos, entonces D es base.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf

2






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.


Ta = 26o, Tb = 31o, Tc = 11o

Td = 35o, Te = 20o, Tf = 38o


Respuesta:


|A| = −3 y |B| = −2


i) (−3A)−1

ii) A (−3B)T

iii) AT B


v) BT AT B−1

Respuesta:


x′ = −2x− 6 y + 6 z

y′ = −4x− 13 y + 13 z

z′ = −18 y + 16 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 2


Respuesta:



t h(t)

0 2

1 11

3 15

8 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


2x + y + 4 z = 1

4x + y + 6 z = 4

4x + 4 y + 12 z = 4

x + y + 3 z = 2

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:

10. Los vectores

1.

1

4

−3

2.

−26

−96

100

3.

3

11

−12

4.

−3

−11

12

5.

2

8

−6



A =

354 −75 19

1344 −285 72

−1218 258 −65


Respuesta:
















Respuesta:


luciones a 2 1 1 2

4 4 5 5

12 10 12 14

x =

0

0

0

Respuesta:










solucion unica.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


M12 = −3, M13 = −2

C21 = 16, M31 = −13

M23 = 37, C33 = 51

C11 = −10, C22 = 22

y

a12 = 5, a13 = 6

a21 = 1, a31 = 1

a23 = 7, a33 = 4

a11 = 7, a22 = 8

Determine |A|.

Respuesta:

15. Si:

A =

[3 1

−4 −1

]

B =

[−4 −1

−3 −1

]

C =

[3 1

−4 −1


(AX)TB)T

= C


Respuesta:












e) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:







a) Si D tiene menos de 10 elementos, entonces D es base.

b) D tiene al menos 10 elementos.

c) Si I tiene 10 elementos, entonces I es base.

d) I tiene menos de 11 elementos.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



t h(t)

0 4

1 15

5 18

9 18



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTd

sTd

sTe

sTe

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 20o, Tb = 38o, Tc = 39o

Td = 21o, Te = 20o, Tf = 14o


Respuesta:

2














Respuesta:


|A| = −2 y |B| = 5


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) AB−1


v) AT BA−1

Respuesta:
















Respuesta:


2x + 6 y − 4 z = −10

2x + 6 y − 2 z = −4

−2x− 6 y + 3 z = 7

2x + 6 y − 6 z = −16

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.



es x

y

z

=

2

0

2

+ y

4

1

0


la respuesta.

Respuesta:


C11 = −31, C13 = 32

M33 = −16, M22 = 12

M21 = 3, C12 = 12

M23 = 24, C32 = −48

y

a11 = 8, a13 = 1

a33 = 2, a22 = 2

a21 = 8, a12 = 4

a23 = 7, a32 = 5

Determine |A|.

Respuesta:


A =

−30 −42 33

81 117 −93

54 96 −81



1.

1

−3

−3

2.

5

−14

−13

3.

−5

14

12

4.

−8

22

19

5.

−3

8

7

6.

−9

25

22

Respuesta:


luciones a 1 4 5 5

5 4 5 1

8 16 20 16

x =

0

0

0

Respuesta:

12. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[−4 −1

−3 −1

]

C =

[−4 −3

−1 −1


AXT)T

B

)T= C


Respuesta:




A es invertible.








1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:



afirmaciones:



tas soluciones.

b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si


c) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.




1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:


x′ = −10x− 5 y + 7 z

y′ = −12x− 5 y + 8 z

z′ = −24x− 12 y + 17 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2


Respuesta:





2x + 2 y − 4 z = −4

−2x− 2 y + 4 z = 4

2x + 2 y − 4 z = −4

3x + 3 y − 6 z = −6

se puede decir que:



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:



t h(t)

0 3

1 13

6 16

9 16



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:

3. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[4 −1

−3 1

]

C =

[4 −1

−3 1


AXT)T

B

)T= C


Respuesta:


C22 = −17, M23 = 0

C32 = 12, M13 = 9

M21 = −17, C31 = 9

C33 = −12, C12 = 8

y

a22 = 1, a23 = 4

a32 = 3, a13 = 7

a21 = 4, a31 = 3

a33 = 1, a12 = 4

Determine |A|.

Respuesta:


luciones a 4 2 4 2

4 3 1 5

24 15 15 21

x =

0

0

0

Respuesta:

2


|A| = 4 y |B| = −3


i) (4A)−1

ii) A (4B)T

iii) A−1 B

iv) BT AT B−1


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTb

sTc

sTc

sTcs

Td

sTd

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 37o, Tb = 35o, Tc = 18o

Td = 10o, Te = 35o, Tf = 22o


Respuesta:














Respuesta:

9. Los vectores

1.

6

−27

3

2.

−2

9

−1

3.

1

−4

1

4.

−1

4

−1

5.

2

−6

6


A =

−104 −22 14

414 88 −54

−126 −26 20


Respuesta:



afirmaciones:



b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si


c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:









ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}e) Si [a1,a2,a3|b] es inconsistente, entonces b ∈

Gen {a1,a2}


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


x′ = −8x− 18 y + 12 z

y′ = −9x− 21 y + 14 z

z′ = −18x− 46 y + 30 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1


Respuesta:
















Respuesta:









d) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:







a) G tiene al menos 15 elementos.

b) Si I tiene 15 elementos, entonces I genera a V .

c) I tiene a lo mas 15 elementos.

d) B tiene mas de 15 elementos.

e) Si D tiene 15 elementos, entonces D genera a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





luciones a 3 1 5 5

2 5 5 1

5 6 10 6

x =

0

0

0

Respuesta:



t h(t)

0 3

2 15

4 18

8 18



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


M32 = 28, C31 = 23

M23 = 9, M33 = 2

C12 = −9, C13 = 2

M21 = 37, C11 = 4

y

a32 = 2, a31 = 1

a23 = 5, a33 = 7

a12 = 7, a13 = 6

a21 = 2, a11 = 8

Determine |A|.

Respuesta:

4. Los vectores

1.

−2

−8

−8

2.

−6

−27

−15

3.

2

9

5

4.

1

4

4

5.

4

20

5


A =

−209 40 12

−1160 221 68

40 −5 −6


Respuesta:


x′ = −11x− 6 y + 8 z

y′ = −14x− 7 y + 10 z

z′ = −27x− 15 y + 20 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2


Respuesta:














2



Respuesta:


2x + 4 y − 2 z = 2

−x− 2 y + z = −1

3x + 6 y − 3 z = 3

2x + 4 y − 2 z = 2

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.


z = 4.



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


la respuesta.

Respuesta:














Respuesta:


|A| = −3 y |B| = −2


i) (2A)−1

ii) A (2B)T

iii) AT B

iv) BT AT B−1


Respuesta:

10. Si:

A =

[2 −3

1 −1

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[−3 1

−4 1


AX−1)T

B)T

= C


Respuesta:







ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}d) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces




1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:




a) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas


b) Si el sistema Ax = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.




solucion unica.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:








b) Si I tiene 15 elementos, entonces I genera a V .

c) I tiene mas de 15 elementos.

d) D tiene a lo mas 15 elementos.

e) G tiene al menos 15 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.


Ta = 27o, Tb = 13o, Tc = 36o

Td = 12o, Te = 31o, Tf = 17o


Respuesta:



afirmaciones:



b) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entonces


c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.

d) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:



















Respuesta:



a) Si [a1,a2|b] es inconsistente y [a1, 6a2|2 c] es consis-



sistente.

c) Si [a1,a2, 4a3|4b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}






1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:









d) G tiene menos de 8 elementos.

e) I tiene al menos 8 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


4x + y + 6 z = 2

3x + y + 5 z = 2

4x + y + 6 z = 2

x + 3 y + 7 z = 5

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1

2


la respuesta.

Respuesta:














Respuesta:


M12 = 12, C13 = 8

M21 = 7, C31 = 5

M23 = 7, M32 = 13

C33 = −3, M22 = 35

y

a12 = 2, a13 = 3

a21 = 5, a31 = 7

a23 = 4, a32 = 3

a33 = 8, a22 = 1

Determine |A|.

Respuesta:




A es invertible.


solucion unica.



d) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene solucion



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:


luciones a 5 4 4 5

3 5 2 1

13 13 10 11

x =

0

0

0

Respuesta:

9. Si:

A =

[2 1

−3 −1

]

B =

[−3 −4

1 1

]

C =

[0 −3

2 3

]

D =

[−2 3

−3 −5


A (XB)−1 − 2C = D


Respuesta:


|A| = 3 y |B| = −1


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) A−1 B

iv) BT AT B−1

v) AT BA−1

Respuesta:



afirmaciones:



b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

c) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,


d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:




t h(t)

0 3

1 9

3 10

7 10



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTd

sTd

sTe

sTe

sTe

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 21o, Tb = 19o, Tc = 31o

Td = 39o, Te = 39o, Tf = 23o


Respuesta:


A =

28 −12 6

−9 −2 −3

−105 42 −23


1.

−3

0

11

2.

3

2

−10

3.

−4

−1

14

4.

4

2

−14

5.

1

1

−3

6.

−6

−2

21

Respuesta:


x′ = −11x− 3 y + 6 z

y′ = −14x− 4 y + 8 z

z′ = −27x− 9 y + 16 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −1


Respuesta:





x′ = 7x− 12 y + 8 z

y′ = 14x− 25 y + 17 z

z′ = 18x− 30 y + 20 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2


Respuesta:


2x + 4 y + 10 z = 2

4x + 3 y + 10 z = 1

3x + y + 5 z = 3

x + y + 3 z = 2

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1


z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:



t h(t)

0 3

1 10

4 12

8 12



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


luciones a 4 3 4 5

5 3 2 3

9 6 6 8

x =

0

0

0

Respuesta:




ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}b) Si [a1,a2,a3|b] es consistente, entonces b ∈

Gen {a1,a2,a3}c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-






1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

2

Respuesta:
















Respuesta:


A =

830 −212 49

2324 −594 137

−3872 988 −229


1.

−13

−36

63

2.

−8

−22

39

3.

5

14

−24

4.

4

11

−20

5.

−27

−75

129

6.

1

3

−4

Respuesta:














Respuesta:

9. Si:

A =

[3 −4

1 −1

]

B =

[3 1

−4 −1

]

C =

[3 −4

1 −1


AXT)T

B

)T= C


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTb

sTb s

Tc

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf s

Tf






T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.


Ta = 28o, Tb = 12o, Tc = 27o

Td = 18o, Te = 23o, Tf = 27o


Respuesta:








b) B tiene mas de 18 elementos.




e) Si G tiene 19 elementos, entonces G es linealmente

dependiente.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





b) Si existen c1 y c2 tales que c1a1+c2a2 = a3, entonces




d) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


|A| = 1 y |B| = −3


i) A (−4B)T

ii) (−4A)−1

iii) A−1 B


v) AT BA−1

Respuesta:




A es invertible.


solucion unica.

c) Si para un vector b el sistema Ax = b tiene infinitas





1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


C23 = 0, C22 = −14

C12 = 51, M31 = 12

M33 = 13, C32 = −41

C21 = 6, M11 = −20

y

a23 = 8, a22 = 4

a12 = 3, a31 = 7

a33 = 1, a32 = 3

a21 = 5, a11 = 7

Determine |A|.

Respuesta:





C33 = 24, M23 = 18

C12 = −2, M13 = 0

M31 = −36, C21 = 26

M11 = 2, C32 = 21

y

a33 = 4, a23 = 5

a12 = 4, a13 = 7

a31 = 6, a21 = 8

a11 = 7, a32 = 6

Determine |A|.

Respuesta:
















Respuesta:







a) B tiene menos de 15 elementos.

b) Si G tiene 15 elementos, entonces I es linealmente

independiente.


d) G tiene a lo mas 15 elementos.

e) D tiene a lo mas 15 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 18o, Tb = 15o, Tc = 11o

Td = 26o, Te = 16o, Tf = 17o


Respuesta:

5. Si:

A =

[3 −4

1 −1

]

B =

[4 −1

−3 1

]

C =

[3 −4

1 −1


AXT)T

B

)T= C


Respuesta:

2




ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}b) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-


c) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,b|c] tambien es con-




e) Si [a1,a2, 3a3|3b] es inconsistente, entonces b ∈Gen {a1,a2}


1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:


A =

−19 −24 −10

−16 −3 −4

72 48 27


1.

0

−3

8

2.

1

1

−4

3.

2

8

−24

4.

2

3

−11

5.

2

4

−14

6.

0

−2

5

Respuesta:



a) Si existen unicos c1, c2 y c3 tales que c1a1 + c2a2 +


pendiente.

b) Si [a1,a2|b] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,b}es linealmente dependiente.

c) Si [a1,a2, |a3] tiene solucion unica, entonces


d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-


e) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:



t h(t)

0 5

1 15

4 18

8 18



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


2x + 6 y − 2 z = 2

3x + 9 y − 3 z = 3

−x− 3 y + z = −1

−x− 3 y + z = −1

se puede decir que:


z = 4.



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:


|A| = −4 y |B| = −3


i) A (−3B)T

ii) (−3A)−1

iii) A−1 B

iv) BT AT B−1


Respuesta:






Z requiere 10 Rs, 6 Ss y 11 Ts. Suponga que debe uti-








Respuesta:


luciones a 1 5 5 1

3 5 4 3

12 30 27 12

x =

0

0

0

Respuesta:


x′ = −10x− y + 5 z

y′ = −12x− y + 6 z

z′ = −24x− 4 y + 13 z


x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1


Respuesta:






solucion unica.






1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:





A =

37 −3 −9

155 −25 −21

125 −29 −5


1.

6

21

14

2.

2

6

3

3.

4

15

11

4.

1

4

3

5.

−2

−7

−5

6.

−6

−22

−16

Respuesta:



afirmaciones:



tas soluciones.

b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica si


c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


luciones a 1 3 3 3

4 5 1 3

15 24 12 18

x =

0

0

0

Respuesta:


x + y + 4 z = 5

4x + 2 y + 2 z = 1

3x + 4 y + 4 z = 4

2x + 2 y + 5 z = 1

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1



z = 4.


z = 4.


la respuesta.

Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema Ax = b no tiene so-



ne solucion unica.

2


A es invertible.




1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:






c) Si 3b ∈ Gen {a1,a2}, entonces [a1,a2,a3|b] es con-

sistente.





1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:






a) I tiene al menos 9 elementos.


c) B tiene menos de 9 elementos.

d) Si D tiene mas de 9 elementos, entonces D es base.

e) Si G tiene 9 elementos, entonces I es linealmente in-

dependiente.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


x′ = −8x + 6 z

y′ = −17x + 13 z

z′ = −7x− 2 y + 9 z


x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −1


Respuesta:


|A| = −5 y |B| = 3


i) (−4A)−1

ii) A (−4B)T

iii) A−1 B

iv) BT AT B−1


Respuesta:

10. Si:

A =

[2 1

−3 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[4 −3

−1 1


AXT)T

B

)T= C


Respuesta:


M11 = −10, C22 = 20

C23 = −15, M12 = 15

M31 = 9, M33 = −17

C13 = 25, M21 = 5

ya11 = 7, a22 = 1

a23 = 3, a12 = 4

a31 = 5, a33 = 5

a13 = 3, a21 = 6


















Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTe

sTf

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 34o, Tb = 36o, Tc = 11o

Td = 39o, Te = 23o, Tf = 36o


Respuesta:



t h(t)

0 3

1 14

4 15

8 15



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:






C requiere 10 Rs, 10 Ss y 7 Ts. Suponga que debe uti-








Respuesta:





x + 2 y + 5 z = 3

x + 2 y + 5 z = 1

4x + 3 y + 10 z = 3

x + 2 y + 5 z = 4

se puede decir que:


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


z = 4.



es x

y

z

=

2

3

0

+ z

4

5

1



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


la respuesta.

Respuesta:



afirmaciones:




nes.






1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:





sistente.


ces b + c ∈ Gen {a1,a2,a3}d) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1, 5a2|4 c] es inconsis-





1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTa

sTb

sTc

sTd

sTd

sTd

sTe

sTe

sTe

sTf

2






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 14o, Tb = 12o, Tc = 31o

Td = 37o, Te = 13o, Tf = 21o


Respuesta:


x′ = −14x− 6 y + 12 z

y′ = −30x− 13 y + 26 z

z′ = −30x− 15 y + 28 z


x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2


Respuesta:


|A| = 4 y |B| = 2


i) A (3B)T

ii) (3A)−1

iii) AT B


v) BT AT B−1

Respuesta:


luciones a 4 3 2 5

1 4 1 5

6 11 4 15

x =

0

0

0

Respuesta:







a) Si I tiene menos de 10 elementos, entonces I genera

a V .


c) G tiene al menos 10 elementos.

d) Si D tiene mas de 10 elementos, entonces D genera a

V .

e) I tiene al menos 10 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

9. Si:

A =

[3 −4

1 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[0 −1

−3 0

]

D =

[4 0

8 1


A (XB)T − 3C = D


Respuesta:


A =

261 50 56

−877 −168 −188

−393 −75 −85


1.

−9

31

13

2.

−30

102

45

3.

3

−10

−5

4.

4

−14

−6

5.

1

−3

−2

6.

−12

41

18

Respuesta:




a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0









1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


M11 = 6, M23 = −24

M33 = −32, C13 = −1

M22 = −8, C31 = 0

C12 = −13, M21 = 16

ya11 = 8, a23 = 3

a33 = 4, a13 = 8

a22 = 3, a31 = 5

a12 = 8, a21 = 7

















Respuesta:



t h(t)

0 5

1 13

4 16

7 16



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:














Respuesta:





luciones a 4 5 5 4

4 4 3 3

12 13 11 10

x =

0

0

0

Respuesta:





sT1

sT2

sT3

sT4

sT5

sT6

sTa

sTa

sTb

sTc

sTc

sTcs

Td

sTd

sTd

sTe

sTf

sTf






T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.


Ta = 40o, Tb = 19o, Tc = 20o

Td = 20o, Te = 18o, Tf = 35o


Respuesta:



a) Si [a1,a2|b] es consistente y [a1,a2|c] es inconsisten-










1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:


M23 = −30, C21 = −17

C33 = −9, C13 = −3

C11 = −5, M31 = 52

C32 = −32, C22 = −5

ya23 = 8, a21 = 2

a33 = 3, a13 = 4

a11 = 5, a31 = 5

a32 = 1, a22 = 1















Respuesta:



a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces Ax = 0


2




A es invertible.


ne solucion unica.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

7. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[−2 −3

1 1

]

C =

[−2 −3

1 1


AXT)T

B

)T= C


Respuesta:








b) Si D tiene menos de 12 elementos, entonces D genera

a V .


d) G tiene a lo mas 12 elementos.

e) Si I tiene menos de 12 elementos, entonces I genera

a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:
















Respuesta:

10. Los vectores

1.

−36

−48

63

2.

−3

−3

9

3.

−12

−16

21

4.

−2

−3

2

5.

2

3

−2


A =

−435 252 −60

−522 303 −72

999 −576 138


Respuesta:



afirmaciones:





c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-

nes.

d) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tiene


unica.


1) Cierto

2) Falso


3) No se sabe

Respuesta:


2x + 3 y + 4 z = 3

2x + y + 2 z = 4

5x + 4 y + 3 z = 5

x + 5 y + 5 z = 4

se puede decir que:



es x

y

z

=

2

0

3

+ y

4

1

0


ellas es x

y

z

=

2

0

0

+y

3

1

0

+z

4

0

1


z = 4.



z = 4.


ellas es x

y

z

=

2

3

0

+ y

4

5

1


la respuesta.

Respuesta:


|A| = 1 y |B| = −5


i) A (−3B)T

ii) (−3A)−1

iii) A−1 B


v) BT AT B−1

Respuesta:



t h(t)

0 5

1 14

3 18

8 18



h(t) = a + b t + c t2



Respuesta:


x′ = 11x− 16 y + 10 z

y′ = 24x− 35 y + 22 z

z′ = 30x− 42 y + 26 z


x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1


Respuesta:

algebra lineal - teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-final-2011-ene.pdf · grupo: matr...

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