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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSION PORLAMAR
PROFESOR: INTEGRANTES DAVID ORDAN YULLY A. CALDERON C.I:15.643.179 FABIANA RONDON CI: 20.537.804 ELVIS SIFUENTES CI: 22.890.259
PORLAMAR, FEBRERO 2013
ALGEBRA LINEALT R A N S F O R M A C I O N L I N E A L
I N T R O D U C C I O N A L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L
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INDICE
INTRODUCCION 3
CONTENIDO 4
Transformaciones lineales 4
Algebra de la transformaciones lineales 7
Suma 7
Multiplicación escalar 7
Multiplicación 8
Núcleo, rango e imagen de una transformación lineal 8
Transformaciones lineales mediante matrices 11
Introducción a la programación lineal 12
Definición geométrica de la programación lineal 14
Tipos de soluciones para un problema de programación lineal 19
Pasos para resolver un problema de programación lineal 21
CONCLUSIÓN 30
BIBLIOGRAFÍA 31
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INTRODUCCIÓN
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
La Programación Lineal es una técnica matemática utilizada para dar solución a problemas que se plantean muy comúnmente en diversas disciplinas como Economía, Ingeniería, Sociología, Biología, etc. En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, rango y la programación lineal así como los pasos a seguir para poder resolver este tipo de problemas.
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TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se
realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones
trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente
interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no
siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos
trabajar más fácilmente.
Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más
sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una
técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran maneragran
variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un
proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede
lograrse demostrando que estas operaciones forman una
transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación
lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios
vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una
función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de
vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k
perteneciente a K, se satisface que:
1. T= (u+v) T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
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Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen
incógnitas, las cuales podemos representar en una notación matricial,
se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica
de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran
interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema
lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones
forman una transformación lineal.
A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las
transformaciones lineales para tener como resultado escalares.
Por ejemplo
T: R2
R2 dado por T(X, Y)= (2X, X+2Y). Suponiendo que A (2,2) Y
B (1,2). Determinar la T(A+B)
T(A+B)= (2+1, 2+2)
= 2(2)+2(1), 2+2(2)+ 1+2(2)
= (4 + 2 , 6 + 2)
= ( 6 , 11)
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ALGEBRA DE LA TRANSFORMACIONES LINEALES
Suma
Se define la suma C=A+B donde A y B son transformaciones
lineales para hace la función C(x)=A(x)+B(x). Puede fácilmente
verificarse que es también y una transformación lineal. Puede verificar
que se dan dos transformaciones lineales A y B, tales que
1. A+B=B+A
2. (A+B)+C=C+(B+A)
3. A+0=A
4. A+(-A)=0 donde 0 es el operador cero, -A es la función -A(x) el
cual puede fácilmente verificar que se ha dado una transformación
lineal.
Multiplicación escalar
Dada una transformación a, definida por la función µA donde
µ es un elemento de un campo para hacer la función (µA)(x) = µ(A(x)).
Usted puede verificar fácilmente que dado las transformaciones lineales
A y B y unos elementos del campo µ, µ1, y µ2, tales que
1. µ1(µ2A) = (µ1µ2)A
2. 1A = A
3. (µ1 + µ2)A = µ1A + µ2A
4. µ(A + B) = µA + µB
Esto implica la forma lineal de las transformaciones en un
espacio de vector
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Multiplicación
Dado una transformación linear A de X a Y y una transformación
linear B de Y a Z, entonces defina la función AB de X a Z para ser la
composición de las dos funciones. Puede verificarse fácilmente de
que esto sea también una transformación lineal. Aquí están algunas
relaciones útiles que pueden ser verificadas fácilmente:
1. µ(AB) = (µA)B
2. (A + B)C = AC + BC
3. C(A + B) = CA + CB
4. (AB)C = A(BC).
NUCLEO, RANGO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la
siguiente manera:
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado
por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen
al vector nulo del condominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial
del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
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La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto
de todos los vectores del condominio que son imágenes de al menos
algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del
condominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
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Una función lineal es la correspondencia.
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TRANSFORMACIONES LINEALES MEDIANTE MATRICES
Estas interpretaciones geométricas se son representadas por
matrices elementales de 2 x 2. A continuación se hace un resumen de
los diversos tipos de matrices elementales 2x2 .
Matrices elementales de transformaciones lineales en un plano
Las matrices definidas por las siguientes transformaciones se
denominan reflexiones. Las reflexiones tiene el efecto de mapear un
punto del plano xy Con su imagen “especular”con respecto al os ejes
de de coordenadas o a la recta definida x=y. Como se muestra
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INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
La Programación Lineal es una pequeña parte de una teoría
matemática que se ha consolidado en el siglo XX con el nombre de
Optimización. En general, se trata de un conjunto de técnicas
matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de
sistemas económicos, sociales, tecnológicos, ... cuyo funcionamiento se
puede describir matemáticamente de modo adecuado.
Una terminología establecida desde los primeros tiempos de la
Optimización, denominaba a la solución óptima un programa de acción
a poner en práctica; de ahí que la búsqueda de un tal programa de
acción utilizando métodos matemáticos se llamase Programación
Matemática.
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Según las características de las funciones del problema y de las
variables se tienen diferentes tipos de problemas de Programación
Matemática. Si todas las funciones del problema, objetivo y
restricciones son lineales, se tiene un problema de Programación Lineal
Un problema de Programación Lineal consiste en optimizar
(maximizar o minimizar) la función:
z = F ( x1, x2, ... ,xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
sujeto a:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ = ≥ b
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ = ≥ b2
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ = ≥ bm
x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0
A la función z = F ( x1, x2, ... ,xn ) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn se le
denomina función objetivo o función criterio.
Los coeficientes c1, c2, ... , cn son números reales y se llaman
coeficientes de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada
del problema.
x1, x2, ... , xn son las variables de decisión (o niveles de actividad)
que deben determinarse.
Las desigualdades ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi , con i = 1, ... , m
se llaman restricciones.
Los coeficientes aij , con i = 1, ... , m y j = 1, ... , n son también
números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos.
El vector del lado derecho, es decir los términos b i , con i = 1, ... ,
m, se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son también
datos conocidos del problema.
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Las restricciones xj ≥ 0 con j = 1, ... , n se llaman restricciones de
no negatividad.
Al conjunto de valores de (x1, x2, ... ,xn) que satisfacen
simultáneamente todas las restricciones se le denomina región factible.
Cualquier punto dentro de la región factible representa un posible
programa de acción.
DEFINICION GEOMETRICA DE LA PROGRAMACION LINEAL
Un método sencillo para resolver problemas de programación
lineal con dos o a lo sumo tres variables, es mediante la representación
geométrica en el plano o en el espacio, de los conjuntos convexos que
cumplen las restricciones de desigualdad.
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Es decir, F(x) es la proyección del vector de posición X sobre el
hiperplano paralelo al que pasa por el origen, con vector de dirección
dado por c . Las desigualdades del tipo ai 1x1ai 2x2...ai nxn≤bi
(respectivamente ≥)
Significan que las soluciones deben estar en semiespacios i -
(respectivamente i+) asociados con los hiperplanos i de ecuaciones ai
1x1ai 2x2...ai nxn=bi Las desigualdades del tipo xi ≥ 0 Obligan a
los puntos a pertenecer a semiespacios +, correspondientes a los
hiperplanos de ecuaciones xi=0
Que en el caso particular del plano, corresponde a los puntos
pertenecientes al cuadrante formado por los ejes OX y OY positivos. Y
en el caso del espacio al octante formado por los ejes OX , OY y OZ
positivos.
En definitiva, un problema de programación lineal en un caso
simple, se reduce a determinar, dentro de un conjunto de intersecciones
de semiespacios, el punto cuyo vector de posición proporcione
proyección máxima ( en el caso de maximización ) o mínima (en el caso
deminimización ) sobre una dirección dada.
Si denominamos L={ai 1x1ai 2x2...ai nxn ≤ bi ó≥:
xi≥0,i=1,2,...,n} Se cumple
1.- En el caso de que L no esté acotado superiormente
(inferiormente), el P.P.L. no tiene máximo (mínimo) o tiene infinitas
soluciones no acotadas.
2.- En el caso de que L esté acotado y algún hiperplano i sea
ortogonal al vector C, entonces existen infinitas soluciones acotadas
para el P.P.L.
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3.- En el caso de que L esté acotado y ningún hiperplano i sea
ortogonal al vector C , entonces existen solución única para el P.P.L.
Para comprender mejor la interpretación geométrica de
losproblemas de programación lineal, representaremos mediante el
siguiente ejemplo en elplano los distintos casos que pueden suceder a
la hora de resolver dichos problemas.
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TIPOS DE SOLUCIONES PARA UN PROBLEMAS DE
PROGRAMACION LINEAL
En un problema de Programación Lineal, según sean las
restricciones, se obtendrán poliedros diferentes, acotados o no, y según
sea la posición de la función objetivo respecto de dicho poliedro se
pueden originar diferentes situaciones. Según el tipo de soluciones que
presenten un problema de Programación Lineal puede ser:
Factible: si existe la región factible. En este caso nos podemos
encontrar:
Óptimo finito y único. La solución óptima está formada por un
único punto con coordenadas reales.
Múltiples óptimos. Un problema de Programación Lineal puede
tener más de un óptimo. Además, o bien el problema tiene un único
óptimo, o bien, tiene infinitos óptimos.
Óptimo infinito. Un problema de Programación Lineal puede
tener un óptimo no finito, es decir, la función objetivo puede tomar, un
valor tan grande o tan pequeño como se quiera sin abandonar la región
factible.
Región factible no acotada, óptimo finito. La no acotación de la
región factible no implica necesariamente óptimo infinito. Puede ocurrir
que la función objetivo alcance el óptimo en la zona acotada de la
región factible.
Región factible no acotada, óptimo finito e infinito. Puede darse el
caso que todos los puntos de una de las semirrectas que determinan la
región factible no acotada sean solución del problema.
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No factible. Región factible vacía. El conjunto de restricciones de
un problema de Programación Lineal puede ser incompatible,
conduciendo a una región factible vacía.
La solución óptima es el punto de la región factible que hace
máxima o mínima la función objetivo.
Ya hemos representado la región factible y hemos calculado sus
vértices. Ahora vamos a calcular el máximo o el mínimo de la función
objetivo en la región factible. Nos encontramos con dos procedimientos.
Procedimiento analítico.
Este procedimiento únicamente es válido para problemas con
regiones factibles acotadas. Para resolver un problema de
Programación Lineal mediante el procedimiento analítico, necesitamos
conocer e Teorema fundamental de la Programación lineal
Si un problema de Programación Lineal tiene región factible no
vacía, entonces, si existe el óptimo (máximo o mínimo) de la función
objetivo, se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región
factible.
Si una función alcanza el valor óptimo en dos vértices
consecutivos de la región factible, entonces alcanza también dicho valor
óptimo en todos los puntos del segmento que determinan ambos
vértices del siguiente teorema.
Teniendo en cuenta el teorema anterior, para calcular el máximo
o el mínimo de una función, será suficiente con evaluar la función
objetivo en todos los vértices de la región factible y quedarnos con el
que proporciona el valor óptimo.
Procedimiento gráfico.
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Este procedimiento es válido tanto para problemas con regiones
factibles acotadas como no acotadas. Como los problemas que vamos
a estudiar tienen dos variables, es posible efectuar una representación
gráfica en el plano y encontrar gráficamente la solución. Sin embargo,
este procedimiento no es generalizable para un número cualquiera de
variables.
Cualquier punto de la región factible es una solución factible para
el problema de Programación Lineal, sin embargo, nos interesa
encontrar en cualquier problema la solución óptima. Para encontrarla
hacemos F(x,y)=0 y representamos la recta que se obtiene llamada
recta de beneficio nulo. Posteriormente recorremos la región factible
con rectas paralelas a la que hemos representado, llamadas líneas de
nivel o rectas de beneficio constante. Observamos como varía la
función objetivo al desplazar las rectas de nivel en un sentido o en otro
y los últimos puntos de contacto de estas rectas con la región factible
proporcionan el valor o valores máximos y mínimos
Pasos para resolver un problema de programación l ineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escr ib ir la función objet ivo en función de los
datos del problema.
3. Escr ib ir las restr icciones en forma de sistema
de inecuaciones.
4. Aver iguar el conjunto de soluciones fact ib les
representando gráf icamente las restr icciones.
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5. Calcular las coordenadas de los vért ices del
recinto de soluciones fact ib les (s i son pocos).
6. Calcular el valor de la función objet ivo en cada
uno de los vért ices para ver en cuál de el los presenta
el valor máximo o mínimo según nos pida el problema
(hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia
de solución si e l recinto no está acotado).
Ejemplos de programación l ineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabr icante
pantalones y chaquetas deport ivas. El fabr icante
dispone para la confección de 750 m de tej ido de
algodón y 1000 m de tej ido de pol iéster. Cada pantalón
precisa 1 m de algodón y 2 m de pol iéster. Para cada
chaqueta se necesi tan 1.5 m de algodón y 1 m de
pol iéster.
El precio del pantalón se f i ja en 50 € y el de la
chaqueta en 40 €.
¿Qué número de pantalones y chaquetas debe
suministrar el fabr icante a los almacenes para que
éstos consigan una venta máxima?
1) Elección de las incógnitas.
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
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2) Función objet ivo
f(x,y)= 50x + 40y
3) Restr icciones
Para escr ib ir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
Panta lones y chaquetas d ispon ib le
A lgodón 1 1,5 750
Pol iés ter 2 1 1000
x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son
números naturales, tendremos dos restr icciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4) Hal lar el conjunto de soluciones fact ib les
Tenemos que representar gráf icamente las
restr icciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, t rabajaremos en el
pr imer cuadrante. Representamos las rectas, a part i r
de sus puntos de corte con los
ejes.
Resolvemos gráf icamente la
inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para
el lo tomamos un punto del plano,
por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500
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Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se
encuentra en el semiplano donde se cumple la
desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 000
La zona de intersección de las soluciones de las
inecuaciones sería la solución al s istema de
inecuaciones, que const i tuye el conjunto de las
soluciones fact ib les.
5) Calcular las coordenadas de los vért ices del
recinto de las soluciones fact ib les.
La solución ópt ima, s i es única, se encuentra en
un vért ice del recinto. Estas son las soluciones a los
s istemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
6) Calcular el
valor de la función
objet ivo
En la función
objet ivo sust i tu imos
cada uno de los
vért ices.
f (x, y) = 50x + 40y
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f (0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 €
f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 €
f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 € Máximo
La solución ópt ima es fabr icar 375 pantalones y 250
chaquetas para obtener un benef ic io de 28750 €.
La solución no siempre es única, también podemos
encontrarnos con una solución múlt ip le .
Ejemplo
Si la función objet ivo del ejercic io anter ior
hubiese sido:
f (x,y)= 20x + 30y
f(0,500) = 20·0 + 30·500 = 15000 € Máximo
f(500, 0) = 20·500 + 30·0 = 10000 €
f(375, 250) = 20·375 + 30·250 = 15000 € Máximo
En este caso todos los pares, con soluciones
enteras, del segmento t razado en negro serían
máximos.
f (300, 300)= 20·300
+ 30·300 = 15000 €
Máximo
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Ejercicio No 2
Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) X < 3 b) y ≥ 0
x – 3 y > 6 3 x + y > 6
De las soluciones anteriores concluyes que la solución del
sistema es la indicada en
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CONCLUSIÓN
Se han visto más detallado y con más exactitud los teoremas y
propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se
ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados
en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las
propiedades que se han visto en temas anteriores.
Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un
amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya
que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos
forman las bases para comprender y analizar y poder poner en práctica
los temas futuros
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BIBLIOGRAFIA
http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_3.html
http://www.frsn.utn.edu.ar/tl/deftl.html
http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
materiales_didacticos/prog_lineal_lbc/solucion_pl.htm