Álgebra Linear e

Geometria Analítica

2ª aula

Mais matrizes especiais

Matrizes em escada

Exemplo:

100000000125000000201130000243242000401230021

Exemplo:

100000000125000000201130000243242000401230021

Exemplo:

100000000125000000201130000243242000401230021

Matrizes condensadas

Exemplo:

100000000021000000000110000040201000000200021

Exemplo:

100000000021000000000110000040201000000200021

Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em forma

de escada ou está condensada?

Definição: Matriz em forma de escada

Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:

• Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas;

• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo.

Definição: Matriz em forma de escada(usando notação matemática)

Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:

• Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro

elemento não nulo, então para p > i e q k, apq = 0.

Definição: PIVOT

Quando uma matriz está em forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha chama-se pivot.(numa linha nula não há nenhum pivot)(em cada coluna há no máximo um pivot)

Exemplo matriz em escada:

100000000125000000201130000243242000401230021

Exemplo matriz em escada:

000000000000000000201130000243242000401230021

Algumas considerações:

• As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz

• Pode haver colunas nulas em qualquer posição

• Qualquer linha tem sempre o pivot para a direita dos pivots das linhas acima dela

Definição: Matriz condensada

Diz-se que uma matriz Amn está na forma condensada se é uma matriz em escada e

• Todos os pivots são iguais a 1;• Se aik é o pivot da linha i todos os elementos

da coluna k acima de aik são nulos.

Exemplo de matriz condensada:

100000000021000000000110000040201000000200021

Exemplo de matriz condensada:

000000000000000000201110000243201000401200021

Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em

escada ou numa matriz condensada

COMO?

Operações elementaressobre

as linhas de uma matriz

Tipos de Operações Elementares

216097634501432

Tipos de Operações Elementares

Tipo I: Trocar duas linhas

L1 L3

216097634501432

014327634521609

Tipos de Operações Elementares

Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo

0.5L1

216097634501432

216097634505.025.11

Tipos de Operações Elementares

Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar

L2 L2- 0.5L1

216097634501432

2160975.555.2401432

Exemplos:

101001100121010

Exemplos:

101001100121010

101002101011001

Exemplos:

101001100121010

101002101011001

Exemplos:

300000321

Exemplos:

300000321

000300321

Exemplos:

300000321

000300321

A partir de uma matriz podem-se obter várias matrizes em escada,

mas uma única matriz condensada

Definição: Característica de uma matriz

A característica de uma matriz Amn é igual ao número de linhas não nulas numa sua forma de escada.(é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots)Representa-se por car(Amn )

A uma coluna onde não há um pivot chama-se coluna livre.A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal.

EXEMPLO:Determinar a característica de:

110010111012101

A

Determinar a característica de:

110010111012101

A

L3 L3 + (-1) L1

Determinar a característica de:

110010111012101

A

L3 L3 + (-1) L1

211000111012101

A

Determinar a característica de:

110010111012101

A

L3 L3 + (-1) L1

211000111012101

A

211000111012101

A

A matriz está em forma de escada.Há 3 pivots A matriz tem característica 3.As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres;

Determinar a característica de:

184110530486410119325320321

A

Determinar a característica de:

18110053044201023021100321

184110530486410119325320321

A

Determinar a característica de:

18110053044201023021100321

1620062008200410021100321

Determinar a característica de:

1620062008200410021100321

800020000000410021100321

Determinar a característica de:

800020000000410021100321

000020008000410021100321

Determinar a característica de:

000020008000410021100321

000000008000410021100321

Determinar a característica de:

000020008000410021100321

000000008000410021100321

A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots. A característica da matriz é 4.