Álgebra Linear

Mais matrizes especiaisMais matrizes especiais

2ª aula

Matrizes escadasMatrizes escadas

Exemplo:

040201000

000200021

100000000

021000000

000110000

040201000

Exemplo:

040201000

000200021

100000000

021000000

000110000

040201000

Mas afinal como reconhecer seuma matriz está ou não em formauma matriz está ou não em forma

escalonada?

Definição: Matriz escada (ou em forma escalonada)

Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , macontecer:

• Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas;nulas;

• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo.

• Todos os pivôs são iguais a 1;

Definição: Matriz em forma de escada(usando notação matemática)

Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , macontecer:acontecer:

• Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro

elemento não nulo, então aik =1 e para p > i e q k, apq = 0.

Definição: pivô

Quando uma matriz está emforma de escalonada ao primeiroelemento não nulo de cada linhaelemento não nulo de cada linhachama-se pivô.(numa linha nula não há nenhum pivot)(em cada coluna há no máximo um pivot)

matriz em forma escalonada:

1 2 0 0 3 2 1 0 4

0 0 0 1 4 2 3 4 2

0 0 0 1 4 2 3 4 2

0 0 0 0 1 1 1 0 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Algumas considerações:

• As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz

• Pode haver colunas nulas em qualquer posiçãoposição

• Qualquer linha tem sempre o pivô para a direita dos pivots das linhas acima dela

Definição: Matriz condensada (escalonada reduzida por linhas)

Diz-se que uma matriz Amn está na forma escada reduzida por linhas se

• Está na forma escalonada.• Está na forma escalonada.• Se aik é o pivot da linha i todos os elementos

da coluna k acima de aik são nulos.

Exemplo de matriz condensada:

040201000

000200021

100000000

021000000

000110000

040201000

Exemplo de matriz condensada:

243201000

401200021

000000000

000000000

201110000

243201000

Qualquer matriz pode sertransformada numa matriz escadatransformada numa matriz escada

ou em uma matriz condensada

COMO?COMO?

Operações elementaressobresobre

as linhas de uma matriz

Tipos de Operações Elementares

01432

21609

76345

01432

Tipos de Operações Elementares

Tipo I: Trocar duas linhas

L1 L3

01432

76345

21609L1 L3

21609

76345

01432

76345

Tipos de Operações Elementares

Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo

L1 0.5L1

01432

76345

05.025.11L1 0.5L1

21609

76345

21609

76345

Tipos de Operações Elementares

Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar

L2 L2 L2- 0.5L1

01432

75.555.24

01432L2 L2 L2- 0.5L1

21609

76345

21609

75.555.24

Exemplos:

10100

11001

21010

Exemplos:

10100

11001

21010

10100

21010

11001

Exemplos:

10100

11001

21010

10100

21010

11001

Exemplos:

300

000

321

Exemplos:

300

000

321

000

300

321

Exemplos:

300

000

321

000

300

321

A partir de uma matriz podem-seobter várias matrizes em escada,obter várias matrizes em escada,

mas uma única matriz condensada

Definição: Posto de uma matriz

O posto de uma matriz Amn é igualao número de linhas não nulas numasua forma escada.(é também igual ao número de(é também igual ao número decolunas que têm um pivô e é igual aonúmero de pivôs)Representa-se por posto(Amn )

à variável de uma coluna onde nãohá um pivô cháma-se variável livre.á variável de uma coluna onde há umá variável de uma coluna onde há umpivô cháma-se variável principal oubásica.

EXEMPLO:Determinar o posto de:

11001

01110

12101

A

11001

01110

12101

A

L L + (-1) LL3 L3 + (-1) L1

11001

01110

12101

A

L L + (-1) LL3 L3 + (-1) L1

21100

01110

12101

A

11001

01110

12101

A

L L + (-1) LL3 L3 + (-1) L1

21100

01110

12101

A

21100

01110

12101

A

A matriz está em forma de escada.Há 3 pivôs A matriz tem característica 3.As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres;

Determinar o posto de:

4864

101193

2532

0321

A

18411

0530

4864

4420

10230

2110

0321

4864

101193

2532

0321

A

18110

0530

18411

0530

4864

4420

10230

2110

0321

8200

4100

2110

0321

18110

0530

16200

6200

8200

8200

4100

2110

0321

0000

4100

2110

0321

16200

6200

8200

8000

2000

0000

0000

4100

2110

0321

8000

4100

2110

0321

8000

2000

0000

2000

8000

8000

4100

2110

0321

8000

4100

2110

0321

0000

2000

0000

0000

8000

8000

4100

2110

0321

8000

4100

2110

0321

0000

2000

0000

0000

8000

A matriz está em forma escalonada. Há 4 pivôs. O posto da matriz é 4.