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Álgebra Linear
Matrizes
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Matrizes
1
2
3
7654321
4
5
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Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
2
3
7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
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Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
2
3
7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57
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Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
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7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.
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Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
7 0 0 0 3 6
-10 76 6532 54 89
1
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7654321
0
10
89
0 9
-1 65 32 12 0
0 276 4
4
5
Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)
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1234
010103
106734
A
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010103
106734
A
A tem dimensão 34A tem dimensão 34
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010103
106734
A
13a13
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A
13 1a 13
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010103
106734
A
21a 21a
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1234
010103
106734
A
321 a 321 a
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Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por e representa-se por
[aij] i =1,…,m; j=1,…,n
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Matrizes especiais:
• Matrizes nulasOmn
Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulastodas nulas
• O23=
000
000
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Matrizes especiais:
• Matrizes quadradasAnn
Matriz com n linhas e n colunas
• A33=
365
435
874
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Matrizes especiais:
• Matriz triangular superiorAnn
aij = 0 se i > j
• A33=
100
120
013
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Matrizes especiais:
• Matriz triangular inferiorAnn
aij = 0 se i < j
• A33=
151
024
003
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Matrizes especiais:
• Matriz diagonalAnn
aij = 0 se i j
• A33=
100
020
003
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Matrizes especiais:
• Matrizes colunaAn1
Matriz com n linhas e 1 coluna
• A51=
2
0
1
5
4
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Matrizes especiais:
• Matrizes linhaA1n
Matriz com 1 linha e n colunas
• A15= 53210
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Matrizes especiais:
• Matrizes identidadeInn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.todas as entradas principais iguais a 1.
• I33=
100
010
001
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Matrizes especiais:
• Matrizes escalaresAnn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .todas as entradas principais iguais a .
• A33=
4.300
04.30
004.3
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Matriz simétrica de outra:
• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se asentradas de B forem os simétricos dasentradas correspondentes de A.
• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =
B = - A
560
142
203
560
142
203
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Matriz transposta doutra:
• A matriz B diz-se transposta da matriz A se asentradas de B foram tais que bik = aki.
• Escreve-se B = AT
A= B = AT =
b12 = a21 = 2
252
141
21
54
21
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Multiplicar uma matriz por um escalar:
• Todas as entradas da matriz são multiplicadaspelo mesmo valor .
• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =3 A =
560
142
203
15180
3126
609
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Somar matrizes
• Só se podem somar matrizes da mesmadimensão.
• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição
de A e de B
A= B =
A + B =
014
233
102
125
112
118
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Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcoluna
Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmonúmero de elementos.número de elementos.
C = A BA= B = 2101
5
1
4
0
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Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcolunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas deA for igual ao número de linhas de B.C = A BC = A B
A= B = 2101
5
1
4
0
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Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcolunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas deA for igual ao número de linhas de B.
C = A B 0C = A BA= B =
A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]
2101
5
1
4
0
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Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matrizcolunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matrizfor igual ao número de elementos da coluna.
C = A B
A= B =
5
1
4
0
1321
0201
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Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por umamatriz colunaC = A B
0
A= B =
5
1
4
0
1321
0201
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Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por umamatriz colunaC = A B
A= B =
4
0
0201
A= B =
C = =
5
1
1321
0201
51)1(34201
50)1(24001
10
2
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Multiplicar Matrizes CASO GERAL
• Multiplicar uma matriz Anp
por uma matriz BpmC = A BC = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm
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4215
6226
2417
0213
2011
12
13
21
ABC
32 24 3424 34
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4215
6226
2417
0213
2011
12
13
21
ABC
32 24 3424 34
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B
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O produto de matrizes não é comutativo.
Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.
Mesmo quando ambos os produtos são Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.
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Matriz Inversa:
• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1 2121B = A-1
10
21
10
21BA
10
01
10
21
10
21
10
01
10
21
10
21
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Propriedades das operações com matrizes
• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A
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Propriedades das operações com matrizes
• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT• ( A + B) T = AT + BT
• ( A) T = AT
• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)
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Propriedades das operações com matrizes
• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT
• ( A) T = AT
• (A-1)-1 = A• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1
• (AT ) -1 = (A -1) T
• ( A) -1 = -1 A -1