Álgebra linear. profª nazaré

UFPA Algebra Linear 1

UFPA

Matematica Licenciatura

Algebra Linear

Profa: Nazare Bezerra

Captulo 1

Escalonamento de matrizes

Objetivos

Conhecer as operacoes elementares sobre as linhas de uma matriz Usar as operacoes elementares no escalonamento de matrizes Calcular o posto de uma matriz

A tecnica que usaremos na resolucao de sistemas lineares, que seraestudada no Captulo 5, tem como primeiro passo a transformacao da matrizassociada ao sistema a uma matriz mais simples, a qual chamamos de matrizescalonada. Neste captulo vamos aprender a escalonar matrizes, preparando-nos para a resolucao de sistemas lineares. Outra utilizacao deste processo,como veremos no proximo captulo, e o calculo da inversa de uma matriz nao-singular. Ao longo deste captulo A representara uma matriz cujos elementostanto podem ser numeros reais como complexos.

1 Operacoes elementares sobre linhas

Chama-se operacao elementar sobre as linhas de uma matriz A, m n, aum dos seguintes procedimentos:

E1: Permutar duas linhas da matriz.

A notacao Li Lj indica que a linha Li da matriz A deve trocar de posicaocom a linha Lj .

Exemplos 1.

(1) Efetuando em A =

3 14 20 6

a operacao L1 L3 obtemos 0 64 2

3 1

.X Exerccios propostos 1.

2


(1) Determine a matriz obtida efetuarmos sobre A a operacao elementar indi-cada:

(a) A =(

0 13 2

)L1 L2

( )(b) A =

0 0 40 2 18 3 3

L1 L3

(c) A =

7 11 23 2 89 11 12 9 0

L2 L4

E2: Multiplicar uma linha da matriz por um escalar nao nulo c.

A notacao: Li c.Li - significa que devemos multiplicar todos os elementosda i-esima linha da matriz pelo escalar (numero real ou complexo) c.

Exemplos 2.

Efetuando sobre a matriz A =

3 14 20 6

a operacao L2 2.L2 obte-mos a matriz

3 18 40 6

.Observacao 1. O escalar c usado nesta operacao deve necessariamenteser nao nulo. Por exemplo, a operacao L1 0.L1 sobre A, resultando

a matriz

0 04 20 6

nao e considerada uma operacao elementarvalida, pois neste caso tomamos c = 0.

X Exerccios propostos 2.(1) Determine a matriz obtida efetuando sobre A a operacao elementarindicada:

(a) A =

(0 13 2

)L1 2.L1

( )(b)

0 0 40 2 18 3 3

L3 3L3

(c)

7 11 23 2 89 11 12 9 0

L2 73L2

4 Algebra Linear UFPA

E3: Somar a uma linha de A um multiplo escalar de uma outra linhade A.

O processo consiste em tomar duas linhas Li =(ai1 ai2 ... ain

)e

Lj =(aj1 aj2 ... ajn

)de A e efetuar a seguinte operacao:

Li + c.Lj = (ai1 + caj1 ai2 + caj2 ... ain + cajn)

A linha resultante desta operacao substitui entao a i-esima linha da ma-Li Li + c.Lj - indicaa substuicao da i-esima linha

pela soma da i-esima linha

com c vezes a j-esima (i 6= j).

triz, mantendo-se inalteradas todas as demais linhas.

Para indicar esta operacao escreveremos Li Li + c.Lj.

Exemplos 3.

Efetuando emA =

3 14 20 6

operacao L1 L1+2.L2 obtemos 11 34 2

0 6

.Observacao 2. Na pratica e comum executarmos as operacoes E2 e E3simultaneamente. Por exemplo, em vez de efetuarmos em uma matriz A ospassos E2 : Lj c1.Lj e depois E3 : Lj Lj+c2.Li na matriz resultante,efetuamos de uma so vez sobre A a operacao Lj c1.Lj + c2.Li, obtendoo mesmo resultado. (Verifique!)

X Exerccios propostos 3.(1) Determine a matriz obtida efetuando sobre A a operacao elementarindicada:

(a) A =

(0 13 2

)L1 L1 2.L2

( )(b)

0 0 44 2 18 3 3

L3 L3 2L2

(c)

7 11 23 2 89 11 12 9 0

L3 97L1

Exerccios resolvidos 1.

(1) Considere a matriz A =

2 3 22 3 02 0 0

. Encontre as matrizes A1, A2,A3 e A4, onde(a) A1 e a matriz obtida de A efetuando-se a operacao L1 L3;(b) A2 e a matriz obtida de A1 efetuando-se a operacao L2 L2 1.L1;


(c) A3 e a matriz obtida de A2 efetuando-se a operacao L3 L3 1.L1;(d) A4 e a matriz obtida de A3 efetuando-se a operacao L3 L3 1.L2

Solucao:(a) Neste caso apenas trocamos de posicao as linhas 1 e 3 da matriz.

Fazendo isto obtemos A1 =

2 0 02 3 02 3 2

.(b) Aqui devemos inicialmente efetuar duas operacoes matriciais: umamultiplicacao por escalar e uma soma de matrizes. As matrizes envolvi-das nas operacoes sao as linhas L1 e L2 da matriz A1:

L2 1.L1 = (2 3 0) + (1).(2 0 0) = (0 3 0)Substituindo agora a linha 2 da matriz A1 pela linha que resultou da

operacao acima obtemos A2 =

2 0 00 3 02 3 2

.(c) Como na letra (b), efetuamos as operacoes:

L3 1.L1 = (2 3 2) + (1).(2 0 0) = (0 3 2)Substituindo a linha 3 da matriz A2 pela linha acima obtemos A3 = 2 0 00 3 0

0 3 2

.(d) Tomando as linhas L2 e L3 da matriz A3 e efetuando as operacoes:

L3 1.L2 = (0 3 2) + (1).(0 3 0) = (0 0 2).Agora substituindo a linha 3 de A3 por esta linha ficamos com

A4 =

2 0 00 3 00 0 2


(1) Considere a matriz B =

3 2 1 01 3 0 22 1 2 0

. Encontre as matrizesB1, B2, B3 e B4, onde(a) B1 e a matriz obtida de B efetuando-se operacao L1 L2;(b) B2 e a matriz obtida de B1 efetuando-se a operacao L2 L2 + 3.L1;(c) B3 e a matriz obtida de B2 efetuando-se a operacao L3 L3 2.L1;(d) B4 e a matriz obtida de B3 efetuando-se a operacao L3 7.L3+5.L2;Observe a matriz B4. O que ela tem em comum com a matriz A4?

(2) Considere a matriz C =

1 2 4 3 01 0 3 1 02 0 6 0 32 4 8 6 0

. Encontre as matrizes


C1, C2, C3 e C4, onde(a) C1 e a matriz obtida de C efetuando se operacao L2 L2 L1;(b) C2 e a matriz obtida de C1 efetuando-se a operacao L3 L3 2.L1;(c) C3 e a matriz obtida de C2 efetuando-se a operacao L4 L4 2.L1;(d) C4 e a matriz obtida de C3 efetuando-se a operacao L3 L3 2.L2;Observe a forma da matriz C4. O que ela tem em comum com as matrizesA4 e B4?

2 Matriz escalonada

Na letra (d) do exerccio anterior voce deve ter encontrado a seguintematriz:

C4 =

1 2 4 3 00 2 1 4 00 0 0 2 30 0 0 0 0

.Circule o primeiro elemento nao nulo de cada linha nao nula da matriz eresponda:

- Quantos zeros existem antes do primeiro elemento nao nulo na primeiralinha?

- Quantos zeros existem antes do primeiro elemento nao nulo na se-gunda linha?

- Quantos zeros existem antes do primeiro elemento nao nulo na ter-ceira linha?

Obviamente que suas respostas foram 0, 1 e 3, respectivamente.Responda as mesmas perguntas, considerando agora as matrizes A4 e B4do Exerccio 4.

Observamos nestas matrizes que o numero de zeros precedendo o primeiroelemento nao nulo aumenta a cada linha, ate que sobrem somente linhasnulas, se houver. Matrizes com este formado sao chamadas de escalonadas,conforme definicao a seguir.

Definicao 1. Diz-se que uma matriz A, mn, esta na forma escalonadaou e uma matriz escalonada, se satisfaz as seguintes condicoes:

(i) todas as linhas nulas de A (se houver) ficam abaixo de todas aslinhas nao nulas;

(ii) se L1, L2, ..., Lr sao as linhas nao nulas de A e se o primeiroelemento nao nulo na linha Li (i = 1, 2, ..., r) ocorre na coluna ji, entaoj1 < j2 < ... < jr.

Os elementos a1j1, a2j2,..., arjr (primeiro elemento nao nulo de cadalinha nao nula) sao chamados elementos distinguidos da matriz A.Os elementos distinguidos de

uma matriz escalonada ficam

em forma de escada, que

desce para a direita pela

mattriz.


Exemplos 4.

(1) As matrizes A4, B4 e C4 do Exerccio 4 estao na forma escalonada;

(2) A matriz A =

1 1 2 3 20 1 3 2 10 0 4 2 10 0 0 3 3

esta na forma escalonada. Oselementos distinguidos de A estao nas posicoes a11, a22, a33 e a44.

(3) A matriz B =

0 3 2 0 00 0 0 1 00 0 0 0 70 0 0 0 0

esta na forma escalonada. Os ele-mentos distinguidos de B estao circulados.

(4) A matriz D =

1 7 14 00 2 7 80 0 0 00 0 6 13

nao esta escalonada, pois naosatisfaz a condicao (i) da definicao;

(5) A matriz E =

1 0 0 20 1 0 70 2 4 00 0 0 30 0 0 0

nao esta na forma escalonada, pois onumero de zeros precedendo o primeiro elemento nao nulo nao aumentouda segunda para a terceira linha como exige a condicao (ii) da Definicao 9.

Escalonamento de uma matriz

Se uma matriz nao esta na forma escalonada, sempre e possvel reduzi-la a esta forma, aplicando sobre ela um numero finito de operacoes ele-mentares, a exemplo do que fizemos com as matrizes A, B e C no Exerccio4. Ao escalonar uma matriz procure descobrir o que precisa ser feito emcada etapa e qual e a operacao elementar mais indicada para voce alcancaro objetivo naquele momento.

X Exerccios propostos 5.(1) Reduzir cada uma das matrizes abaixo a` uma forma escalonada:

(a) A =

(6 12 0

);

(b) B =

1 6 4 20 0 0 03 2 6 1

;(c) C =

0 0 3 4 10 0 2 1 00 0 0 8 4

;


Matrizes linha-equivalentes

Definicao 2. Dizemos que uma matriz B e linha equivalente a umamatriz A, e escrevemos B A, se B pode ser obtida de A por meio deuma sequencia finita de operacoes elementares sobre as linhas de A.

Exemplos 5.

(1) A matriz B =

(2 10 1

)e linha-equivalente a matriz A =

(5 32 1

),

pois foi obtida de A por meio de operacoes elementares (verifique);

(2) A Matriz D =

2 1 0 50 2 6 30 0 2 25

e linha equivalente a matrizC =

2 1 0 50 2 6 30 0 2 25

, pois foi obtida desta por meio de operacoeselementatares (C tambem pode ser obtida de D por meio de operacoeselementares, assim podemos dizer que C e D sao linha-equivalentes).

Posto de uma matriz

A forma escalonada de uma matriz nao e unica, porem o numero de linhasnao nulas e o mesmo, qualquer que seja a forma escalonada da matriz. Istojustifica a seguinte definicao.

Definicao 3. Chama-se posto de uma matriz A, denotado por posto(A),ao numero de linhas nao nulas que restam na matriz apos o seu escalona-mento.

Exemplos 6.

(1) O posto da matriz A =

2 2 13 2 01 0 6

e 3, pois este e o numero delinhas nao nulas da matriz

1 0 60 2 130 0 1

, que e uma forma escalonadada matriz A;

(2) O posto da matriz B =

3 1 49 3 1215 5 20

e 1. (Verifique!)X Exerccios propostos 6.(1) Para cada par de matrizes abaixo dizer quais as operacoes elementaresque se deve aplicar sobre as linhas de A para obter B:


(a) A =

(2 14 6

)e B =

(2 10 4

);

(b) A =

(2 4 61 2 4

)e B =

(1 2 31 2 4

);

(c) A =

2 4 3 11 2 3 40 1 4 6

e B = 1 2 3 40 1 4 6

2 4 3 1

.(2) Identifique as matrizes abaixo que estao na forma escalona:

A =

1 4 0 00 1 1 00 0 1 2

, B = 1 0 0 00 0 0 0

0 0 0 1

, C = 0 10 0

0 0

,D =

1 20 10 0

, E = 1 2 00 0 1

0 0 0

, F = 1 0 00 1 0

0 1 0

.(3) Determine o posto de cada uma das matrizes da questao anterior.

(4) Determine as condicoes de que devem ser impostas a a, b e c para

que a A =

1 2 a3 5 b0 3 c

tenha posto 2.(5) Que valores podemos atribuir a x e y para que a matrizA =

1 2 42 3 13 x y

tenha posto 2.

(6) Dada uma matriz A e uma operacao elementar Ej, vamos denotarpor Ej(A) a matriz obtida de A apos efetuarmos sobre A a operacao

Ej. Por exemplo, se A =

(1 32 2

)e E2 : L2 L2 2.L1, entao

E2(A) =

(1 30 4

). Dada a matriz D =

0 1 5 60 i 1 60 0 3 + 2i 01 4 3i 8

e E3 :L2 L2 + (i)L1, obtenha E3(D).


3 0 112

6 24 7 96 0 2

.(a) Determine B = E1(A), onde E1 : L1 L2.(b) Descreva a operacao elementar que devemos efetuar sobre as linhas deB para obter novamente a matriz A.(c) Determine a matriz C = E2(A), onde E2 : L2 2.L2.(d) Descreva a operacao elementar que devemos efetuar sobre as linhas deC para obter novamente a matriz A.


(e) Determine a matriz D = E3(A), onde E3 : L4 L4 2.L1.(f) Descreva a operacao elementar que devemos efetuar sobre as linhas damatriz D para obter novamente a matriz A.

(8) No exerccio anterior voce deve ter constatado que a cada operacaoelementar corresponde uma operacao elementar de mesmo tipo, que fazo processo inverso, ou seja, desfaz a operacao executada anteriormente.Formalizamos isto no seguinte teorema:

Teorema 1. A cada operacao elementar sobre linhas Ej (j = 1, 2 ou 3)corresponde uma operacao elementar E j de mesmo tipo, tal queToda operacao elementar e

reversvel.

E j(Ej(A)) = Ej(Ej(A)) = A

para qualquer matriz A, m n.

Faca a demonstracao do teorema acima. (sugestao: faca a demon-stracao para cada uma das operacoes em separado).

Captulo 2

Matriz Inversvel

Objetivos

Reconhecer quando uma matriz e inversvelUsar operacoes elementares para calcular a inversa de matrizes inversveis

Na captulo anterior aprendemos a escalonar matrizes usando as operacoeselementares sobre linhas. Agora, veremos como utilizar estas operacoes el-ementares no calculo da inversa de uma matriz inversvel.

1 Definicao

Definicao 4. Diz-se que uma matriz quadrada A e inversvel se existeuma matriz B, chamada a inversa de A, tal que

AB = BA = I

onde I e a matriz identidade de mesma ordem que A.

Uma matriz inversvel e tambem chamada de nao-singular e matrizesnao inversveis sao chamadas de singulares.

Exemplos 7.

(1) A matriz A =

(3 52 3

)e inversvel, pois B =

( 3 52 3

)e tal que

AB = BA = I2 (verifique).

(2) A matriz C =

1 3 43 1 61 5 1

e inversvel, pois tomando D =11


312 172 1192

52

37 4 5

, entao CD = DC = I3.Proposicao 1. Se A e uma matriz inversvel entao sua inversa e unica.

Demonstracao:Suponha que B e C sejam inversas de uma matriz inversvel A. Entaotemos que AB = BA = I e tambem AC = CA = I. Como o produto dematrizes e associativo segue que:

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

Assim, B = C e portanto a inversa e unica.

A inversa de uma matriz inversvel A, que e unica, sera denotada porA1. E por definicao,

AA1 = A1A = IO smbolo A1 indica a in-

versa da matriz A. A definicao acima diz que A e inversvel, se existe uma matriz A1, talque AA1 = A1A = I. Mas como saber se tal matriz existe? E se existecomo encontra-la? Vejamos um resultado que nos ajuda a responder aprimeira pergunta.

Proposicao 2. Uma matriz A, n n, e inversvel se, e somente se,posto(A) = n.

Exemplos 8.

(1) A =

(2 00 1

)e uma matriz 2 2 que e inversvel, pois posto(A) = 2.

(2) B =

(3 59 15

)e uma matriz 2 2 que e nao inversvel, pois

posto(A) = 1.

(3) C =

1 0 22 0 03 1 1

e uma matriz 3 3 que e inversvel, poisposto(A) = 3.

(4) D =

1 2 36 1 02 9 12

e uma matriz 3 3 que e nao inversvel, poisposto(A) = 2.


2 Calculo da Inversa

Se A e uma matriz nn nao-singular (inversvel), entao posto (A) = n =posto (In). Isto implica dizer que A e linha-equivalente a matriz iden-tidade In, e portanto e possvel, usando operacoes elementares sobre aslinhas de A, obter a matriz identidade. Mostraremos no proximo captuloque esta mesma sequencia de operacoes elementares, quando aplicadas so-bre a identidade produzem a matriz A1. Segue da um algoritmo para ocalculo da inversa. Vejamos o exemplo abaixo:

X Calcular a inversa da matriz A =(

1 34 0

)Inicialmente devemos aplicar em A uma sequencia de operacoes ele-

mentares ate obter a matriz identidade.

A =

(1 34 0

)L2 L2 4.L1

(1 30 12

)L1 4.L1 + L2(

4 00 12

)L1 14 .L1

(1 00 12

)L2 112 .L2(

1 00 1

)= I2.

Em seguida, aplicamos esta mesma sequencia de operacoes elementaressobre a identidade I2. A matriz obtida no final e A

1.

I2 =

(1 00 1

)L2 L2 4.L1

(1 04 1

)L1 4.L1 + L2(

0 14 1

)L1 14 .L1

(0 1

44 1)L2 112 .L2(

0 14

13 1

12

)= A1.

A fim de agilizar o processo, aplicamos as operacoes elementares si-multaneamente sobre A e I. Para isto construimos a matriz aumentada[A|I], anexando a` direta de A a matriz identidade I. O processo encerra-sequando A for reduzida a` matriz identidade. Vejamos um exemplo.

X Calcular a inversa da matriz B =

2 5 14 1 26 4 2

.Vamos aplicar as operacoes elementares simultaneamente sobre as ma-

trizes B e I3, construindo a matriz aumentada [B | I3].


[B|I3] = 2 5 1| 1 0 04 1 2| 0 1 0

6 4 2| 0 0 1

L2 L2 2.L1 2 5 1| 1 0 00 11 4| 2 1 06 4 2| 0 0 1

L3 3.L1 + L3 2 5 1| 1 0 00 11 4| 2 1 00 11 5| 3 0 1

L3 1.L2 + L3 2 5 1| 1 0 00 11 4| 2 1 00 0 1| 1 1 1

L1 5.L2 + 11.L1 22 0 9| 1 5 00 11 4| 2 1 00 0 1| 1 1 1

L1 9.L3 + L1 22 0 0| 10 14 90 11 4| 2 1 00 0 1| 1 1 1

L2 4.L3 + L2 22 0 0| 10 14 90 11 0| 2 5 40 0 1| 1 1 1

L1 122 .L1 1 0 0| 1022 1422 9220 11 0| 2 5 40 0 1| 1 1 1

L2 111 .L2 1 0 0| 511 711 9220 1 0| 211 5

11411

0 0 1| 1 1 1

.Entao B1 =

511 711 922 211 5

114111 1 1


(1) Verificar se as matrizes abaixo sao inversveis, caso afirmativo, cal-cular sua inversa.

(a) A =

(6 10 3

);

(b) B =

1 1 06 4 24 6 1

;(c) C =

1 3 50 2 31 1 1

;


(d) D =

6 1 01 2 32 9 12

;(2) Use a proposicao 2 para mostrar que a matriz A =

(a bc d

)e in-

versvel, se e somente se, ad bc 6= 0.

(3) Mostre que se A e uma matriz inversvel, entao A1 e tambem in-versvel e (A1)1 = A.

(4) Mostre que se A e B sao matrizes n n inversveis, entao AB etambem inversvel e (AB)1 = B1A1.

(5) (Lei do cancelamento) Sejam A, B e C matrizes n n com A in-versvel. Mostre que:(a) Se AB = AC, entao B = C;(b) Se BA = CA, entao B = C.

(6) Mostre que a Lei do cancelamento nao e valida se nao assumirmosA nao-singular, dando exemplos de matrizes quadradas A, B e C, A naonula, para as quais AB = AC, mas B 6= C.

Captulo 3

Matrizes elementares

Objetivos

Definir matriz elementar Caracterizar uma matriz inversvel por sua linha-equivalencia com amatriz identidade

No captulo anterior vimos um algoritmo para o calculo da inversade uma matriz, quando esta e inversvel, e foi dada (sem demonstracao)uma condicao necessaria e suficiente para que uma matriz seja inversvel.Neste captulo faremos as demonstracoes dos fatos afirmados no capituloanterior. Vamos comecar estudando as chamadas matrizes elementares.

1 Matriz elementar

X Exerccios propostos 8.


1 2 3 41 0 4 57 1 1 2

e I a matriz identidade de3a ordem. Determine:

(a) E1(A), E1(I) e E1(I).A, sendo E1 : L1 L3.(b) E2(A), E2(I) e E2(I).A, sendo E2 : L2 2.L2.(c) E3(A), E3(I) e E3(I).A, sendo E3 : L3 L3 + 2.L2.(2) O que voce observou na questao anterior?

Vamos formalizar os resultados obtidos neste exerccio na seguinteproposicao:

Proposicao 3. Sejam A uma matriz mn e Ej uma operacao elementar

16


sobre linhas, com j {1, 2, 3} . EntaoEj(A) = Ej(I).A

onde I e a matriz identidade mm.

Demonstracao:Vamos considerar:Ej - uma operacao elementar, com j {1, 2, 3};I = (ij) - a matriz identidade mm;E = (eij) - a matriz obtida de I pela acao de Ej, isto e, E = Ej(I);B = (bij) - a matriz obtida de A pela acao de Ej, isto e, B = Ej(A);C = (cij) o produto de E por A, isto e, C = EA.

Mostraremos que C = B. Trataremos cada uma das operacoes ele-mentares em separado.

Caso 1 - E1 : Lr Ls (permutar as linhas r e s da matriz, com1 r, s m)

Como B = E1(A) e E = E1(I), tem-se para todo i, j, k:

bij =

aij, se i 6= r e i 6= sasj, se i = rarj, se i = s

e eik =

ik, se i 6= r e i 6= ssk, se i = rrk, se i = s

Da definicao do produto segue que:

cij =m

k=1 eik.akj =

m

k=1 ik.akj = aij, se i 6= r e i 6= smk=1 sk.akj = asj, se i = rmk=1 rk.akj = arj, se i = s

.

Observe que a definicao de cij coincide com a de bij, ou seja, cij = bij,para todo i, j.

Caso 2 - E2 : Lr c.Lr, (c 6= 0 e 1 r m)Agora temos para todo i, j, k:

bij =

{aij, se i 6= rc.arj, se i = r

e eik =

{ik, se i 6= rc.rk, se i = r

Entao cij =m

k=1 eik.akj =

{ mk=1 ik.akj = aij, se i 6= rmk=1 c.rk.akj = c.arj, se i = r

.

Assim cij = bij, para todo i, j.

Caso 3 - E3 : Lr Lr + c.Ls, (1 r, s m e r 6= s)Da definicao desta operacao tem-se para todo i, j, k:

bij =

{aij, se i 6= rarj + c.asj, se i = r

e eik =

{ik, se i 6= rrk + c.sk, se i = r

Entao cij =m

k=1 eik.akj =

{ mk=1 ik.akj = aij, se i 6= rmk=1(rk + c.sk).akj = arj + c.asj, se i = r

.

Logo cij = bij, para todo i, j.


Em todos os casos obtivemos que cij = bij, para todo i, j. Logo B = C,ou seja, Ej(A) = Ej(I).A, para j = 1, 2 ou 3.

Esta proposicao diz que temos duas maneiras de executar uma operacaoelementar sobre as linhas de uma matriz A, m n. A primeira, como javinhamos fazendo, executando a operacao diretamente sobre as linhas damatriz A e a segunda, aplicando a operacao elementar a` matriz identidadeIm, obtendo uma matriz, que chamamos de elementar, e posteriormentepre-multiplicando (multiplicando a` esquerda ) esta matriz elementar porA. E claro que na pratica o primero processo e mais viavel. Mas estasegunda forma sera de grande utilidade na demostracao dos proximos re-sultados.

Definicao 5. Chama-se matriz elementar a toda matriz obtida da matrizidentidade, de qualquer ordem, por meio de uma unica operacao elemen-tar.

Exemplos 9.

1) As matrizes

(0 11 0

),

(2 00 1

),

(1 00 3

),

(1 40 1

),(

1 03 1

)sao matrizes elementares, pois foram obtidas de I =

(1 00 1

)por meio de uma unica operacao elementar (verifique em cada caso, quala operacao elementar usada).

2) As matrizes

0 0 10 1 01 0 0

, 1 0 00 8 0

0 0 1

, 1 6 00 1 0

0 0 1

saomatrizes elementares obtidas de I3 por meio de uma unica operacao ele-mentar (verifique).

3) A matriz

(1 03 2

)nao e elementar, pois so pode ser obtida de I2

com no mnimo duas operacoes elementares.

Vamos mostrar agora que toda matriz elementar e inversvel.

Proposicao 4. Toda matriz elementar e inversvel.Se E e uma matriz elementar,entao existe E1.

Demonstracao:Seja A, n n, uma matriz elementar. Mostaremos que existe uma matrizB, tal que AB = BA = I e portanto A e inversvel.

Como A e uma matriz elementar, entao A = Ej(I), para algumaoperacao elementar Ej. Se E

j e a operacao elementar inversa de Ej,

entao pelo Teorema 1 (veja questao (8) no Captulo 1):I = E j(Ej(I))

= E j(A) - pois Ej(I) = A= E j(I).A - pela Proposicao 4


Fazendo B = E j(I), temos que I = B.A. De modo analogo, tem-se queI = Ej(E

j(I)) = Ej(B) = Ej(I).B = A.B. Entao A.B = B.A = I, onde

B = E j(I) e uma matriz elementar. A demonstracao da Proposicao 4 mostra como calcular a inversa de

uma matriz elementar A. Ela e obtida efetuando sobre as linhas da matrizidentidade de mesma ordem que A, a operacao elementar inversa quese executou sobre a identidade para obter a matriz A. Em linguaguemsimbolica:

Se A = Ej(I) entao A1 = E j(I), sendo E

j a operacao inversa de Ej.

Exemplos 10.

(1) Se A =

(2 00 1

), entao A e uma matriz elementar, obtida da matriz

identidade I2 por meio da operacao E1 : L1 2.L1, isto e, A = E1(I2).Como E 1 : L1 12 .L1 e a operacao inversa de E1, entao A1 = E 1(I2) =(

12

00 1

).

(2) Se B =

1 0 00 1 00 4 1

, quem e B1?Veremos agora que matrizes linha-equivalentes (veja Definicao 2) estao

relacionadas por meio de matrizes elementares.

Proposicao 5. Sejam A e B matrizes mn. Entao B e linha-equivalentea A, se e somente se, B = PA, onde P e um produto de matrizes ele-mentares.

Demonstracao:Vamos supor inicialmente que B A e mostrar que B = PA, com P umproduto de matrizes elementares.

SendoB A, entaoB e obtida de A por uma sequencia Ej1 , Ej2 , ..., Ejkde operacoes elementares, ou seja

B = Ejk(...(Ej2(Ej1(A)))...) = Ejk(I)...Ej2(I).Ej1(I).A

conforme Proposicao 4. Assim B = PA, com P = Ejk(I)...Ej2(I).Ej1(I),um produto de matrizes elementares.

Suponha agora que B = PA, com P = Ej1(I).Ej2(I)...Ejk(I) um pro-duto de matrizes elementares. Usando novamente a Proposicao 4, segueque B = Ej1(Ej2(...(Ejk(A))...)) e assim B A.


2 Matriz linha-reduzida escalonada

Definicao 6. Diz-se que uma matriz escalonada esta na forma linha-reduzida escalonada se satisfaz as condicoes adicionais:

(i) Os elementos distinguidos da matriz sao todos iguais a 1;

(ii) Os elementos distinguidos da matriz sao os unicos elementos naonulos em suas respectivas colunas.

Exemplos 11.

(1) A matriz identidade In (n 1) e linha-reduzida escalonada;

(2) A matriz A =

1 0 0 50 1 0 30 0 1 6

esta na forma linha-reduzida escalon-ada. Os elementos distinguidos de A sao a11 = a22 = a33 = 1 e sao osunicos elementos nao nulos em suas respectivas colunas.

(3) A matriz B =

0 1 0 0 00 0 0 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0

esta na forma linha-reduzidaescalonada.

(4) A matriz C =

0 1 0 1 50 0 1 0 00 0 0 1 0

esta na forma escalonada, mas naoe linha-reduzida escalonada (por que?)

(5) A matriz D =

0 0 1 0 30 1 0 0 30 0 0 1 00 0 0 0 0

nao e linha-reduzida escalonada(por que?)

Teorema 2. Toda matriz A, mn, e linha-equivalente a uma e somenteA forma linha-reduzidaescalonada de qualquer

matriz e unica.

uma matriz linha-reduzida escalonada.

Demonstracao:Dada uma matriz A, m n, e sempre possvel, usando operacoes ele-mentares, obter uma matriz linha-reduzida escalonada R, tal que R A.Resta mostrar a unicidade de R. Suponha S outra matriz linha-reduzidaescalonada com A S, entao tambem temos que R S. Isto implicaque S pode ser obtida de R por meio de operacoes elementares. Comoambas estao na forma linha-reduzida escalonada entao a unica operacaoelementar que podemos efetuar sobre as linhas nao nulas de R para obterS e Li 1.Li, para algum i m. Assim R = S.


Se A e linha-equivalente a uma matriz escalonada R, dizemos que Re uma forma escalonada de A. Se R e linha-reduzida escalonada entaodizemos que R e a forma linha-reduzida escalonada de A, pois esta e unica.

3 Matriz inversvel

Lema 1. Seja R uma matriz quadrada, linha-reduzida escalonada. EntaoR e inversvel, se e somente se, R = I. A unica matriz linha-

reduzida escalonada que

e inversvel e a matriz

identidade.

Demonstracao:Se R = I o resultado e imediato. Suponha R, n n, linha-reduzidaescalonada e inversvel. Entao existe R1 tal que

R.R1 = I

Isto implica que R nao pode conter linhas nulas e portanto tem n linhasnao nulas. Sejam r1j1 , r2j2 , ..., rnjn os elementos distinguidos de R. Como1 j1 < j2 < ... < jn n, devemos ter j1 = 1, j2 = 2, ..., jn = n.Assim, os elementos distinguidos de R sao r11 = r22 = ... = rnn = 1. LogoR = I. Teorema 3. Seja A uma matriz nn. Entao A e inversvel, se e somente An e inversvel An In.se, e linha-equivalente a matriz identidade In.

Demonstracao:Seja A uma matriz n n. Pelo Teorema 2, existe uma matriz linha-reduzida escalonada R, tal que R A. Pela Proposicao 5, R = PA,com P um produto de matrizes elementares, portanto inversvel e assimA = P1R. Como produto de matrizes inversveis e inversvel, segue queA e inversvel se e somente se, R e inversvel. Mas pelo lema anterior, Re inversvel se e somente se R = I.

A proposicao 2 enunciada no captulo anterior, pode agora ser demon-strada como um corolario deste teorema.

Corolario 1. Uma matriz A, nn, e inversvel se, e somente se, posto(A) =n.

Demonstracao:Pelo teorema, A e inversvel se, e so se, A In, mas isto acontece se, e sose, posto(A) = posto (In) = n.

Calculo da inversa

Mostraremos agora porque o algortmo dado no captuloa anterior,determina de fato a inversa de uma matriz nao-singular A.


Se A e um matriz inversvel, entao ela e linha-equivalente a` identidade,isto e, I A. Pela Proposicao 5, existe uma matriz P , produto de ma-trizes elementares, tal que I = PA. Como P e um produto de matrizeselementares, e inversvel, consequentemente tambem temos I = AP . As-sim AP = PA = I. Isto implica A1 = P . Se P = Ejk(I)...Ej2(I).Ej1(I),entao

I = PA = Ejk(...(Ej2(Ej1(A))) e A1 = P = Ejk(...(Ej2(Ej1(I))).

Observando estas duas identidades, a` esquerda vemos que efetuandosobre as linhas de A, sucessivamente, as operacoes elementares Ej1 , Ej2 ,..., Ejk obtem-se no final a matriz identidade. E a` direita ve-se que quandoefetuamos sobre a matriz identidade esta mesma sequencia de operacoeselementares obtemos no final a inversa A1. Isto justifica o algortmo dadono captulo anterior.

X Exerccios propostos 9.(1) A Proposicao 5 afirma que B A, se e somente se, existe uma ma-triz P , tal que B = PA. Baseada na demonstracao feita para aquelaproposicao, determine uma matriz R, linha-reduzida escalonada, que seja

linha-equivalente a matriz A =

(3 22 1

)e uma matriz P tal que R = PA.

(2) Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se AB = 0, entao A = 0ou B = 0 ou ambas, A e B sao singulares (nao inversveis).

(3) Diz-se que uma matriz quadrada A possui uma inversa a` esquerda, seexiste uma matriz B de mesmo tipo, tal que BA = I. De modo analogo,dizemos que A possui inversa a` direita se existe uma matriz C para a qualAC = I. Mostre que se A possui uma inversa a` esquerda B e uma inversaa` direita C, entao B = C.

(4) Mostre que se A e uma matriz inversvel, entao sua tranposta AT

e tambem inversvel e a inversa da transposta e a transposta da inversa,isto e, (AT )1 = (A1)T .(5) Sejam A, B matrizes n n. Mostre que se B e AB sao inversveis,entao A e tambem inversvel.(6) Sejam A, B e P matrizes, com P inversivel. Resolva em B a equacaoA = PBP1.(7) Seja A Mn(R). Prove que se A e inversvel, entao det(A) 6= 0, ondedet(A) denota o determinante da matriz A.(8) Sejam n 1 um inteiro e A, n n, uma triangular superior. Mostreque A e inversvel, se e somente se, aii 6= 0, para todo i = 1, 2, ..., n.

(09) Seja A, nn, uma matriz nao-singular. Mostre que se A e simetrica,entao A1 e simetrica.


(10) Uma matriz A, n n e dita ortogonal se AAT = ATA = In.(a) De exemplo de uma matriz ortogonal 2 2.(b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonal e uma matriz ortog-onal.(c) Mostre que a inversa de uma matriz ortogonal e uma matriz ortogonal.(11) Diz-se que uma matriz quadrada A possui uma inversa a` esquerda, seexiste uma matriz B de mesmo tipo, tal que BA = I. De modo analogo,dizemos que A possui inversa a` direita se existe uma matriz C para a qualAC = I. Mostre que toda matriz quadrada com inversa a` esquerda ou a`direita e inversvel.(12) Uma matriz A Mn(R) e dita positiva-definida se e simetrica exTAx > 0, para todo x Rn. Mostre que toda matriz positiva-definida enao-singular.

Captulo 4

Sistema de Equacoes Lineares

Objetivos

Definir equacao linear Calcular o conjunto solucao de uma equacao linear Identificar as variaveis livres no conjunto solucao Apresentar solucoes particulares de uma equacao linear Definir sistema de equacoes lineares

Os sistemas de equacoes lineares ocupam um papel central emalgebra linear. Alem de suas aplicacoes em diversos campos, tais comonas engenharias, ciencia da computacao, economia, biologia, estatsticae etc, muitos dos problemas da propria algebra linear, recaem no estudode sistemas lineares. Assim todo o material visto nesta unidade sera degrande utilidade ao longo de todo o curso.

1 Equacao linear

X Exerccios propostos 10.Uma pessoa entra em uma academia de ginastica disposta a perder 260quilocalorias em atividades fsica naquele dia, usando para isto a esteirae/ou a bicicleta. Sabe-se que a cada 1 hora de caminhada na esteira elaperde 220 Kcal e em 1 de hora de pedaladas na bicicleta ela perde 300Kcal. Determine todas as possibilidades que ela tem de perder as caloriasdesejadas usando estes dois aparelhos.

Definicao 7. Uma equacao linear sobre R e uma expressao da forma

a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b. (4.1)

x1, x2, ... , xn sao chamadas as variaveis, incognitas ou indeterminadasO subndice n indica onumero de incognitas da

equacao. Ele pode ser qual-

quer numero inteiro positivo.

24


da equacao.

a1, a2, ..., an sao numeros reais, chamados os coeficientes das incognitas.

b R e o termo constante da equacao.Em geral quando temos uma quantidade pequena de variaveis (uma,

duas ou tres ), para simplificar a notacao, e costume usar letras distintaspara representar as variaveis tais como x, y, z, no lugar de x1, x2, x3.

Exemplos 12.

(1) 2x+3y = 7 e uma equacao linear com duas incognitas. Os coeficientesdas incognitas x e y sao 2 e 3, respectivamente e 7 e o termo constante daequacao.(2) x+ y+2z = 0 e uma equacao linear em tres variaveis e 1, 1 e 2sao os coeficientes de x, y e z, respectivamente. Zero e o termo constante.

(3) 2x1+3x2pix3+16x4 13 = 0 e uma equacao linear nas incognitasx1, x2, x3, x4 com 13 sendo o termo constante da equacao.

(4) 2x + 2y2 = 0 nao e uma equacao linear, pois nao e uma expressaoda forma (4.1) ja que uma das variaveis esta elevada ao quadrado.

(5) 2x + 3y + 4xy = 0 nao e uma equacao linear. Em uma das parce-las temos um produto das variaveis, e portanto nao esta de acordo com aforma dada em (4.1).

Solucao de uma equacao linear

Toda sequencia (c1, c2, ..., cn) com c1, c2, ..., cn R, para a qual temosa identidade:

a1c1 + a2c2 + ...+ ancn = b

e uma solucao da equacao (4.1).

Observe que uma solucao da equacao e uma sequencia (c1, c2, .., cn),isto porque a ordem dos elementos na solucao e importante. Para verificarse uma n-upla (c1, c2, ..., cn) e solucao da equacao (4.1) devemos substituira primeira variavel x1 pelo valor c1, a segunda variavel x2 por c2, ..., xnpor cn, exatamente nesta ordem.

O conjunto de todas as solucoes de uma equacao linear e chamado S = {(c1, c2, ..., cn) Rn |a1c1 + a2c2 + ...ancn = b}.o conjunto solucao da equacao. Usaremos a letra S para representar tal

conjunto.

Exemplos 13.

(1) O par ordenado (2, 1) e uma solucao da equacao 2x + 3y = 7, pois2.2 + 3.1 = 7.


(2) O par (12, 12) e uma solucao da equacao 220x+ 300y = 260.

(3) O terno (2, 2, 0) e uma solucao da equacao x+ y +2z = 0, ja que(1).2 + 1.2 +2.0 = 0.(4) A quadrupla (0,1, 0, 1) e uma solucao da equacao 2x1+3x2 pix3+16x4 13 = 0, uma vez que 2.0 + 3.(1) pi.0 + 16.1 13 = 0.


(1) Considere a equacao linear 4x 6y + 2z = 20:(a) Determine o conjunto solucao desta equacao.(b) Determine o numero de variaveis livres no conjunto solucao.(c) De duas solucoes particulares para esta equacao.

Solucao:(a) Como 4x 6y+2z = 20 e uma equacao linear com tres incognitas, assolucoes desta equacao sao ternos (x, y, z) de numeros reais. Se (x, y, z) R3 e uma solucao tem-se:

4x 6y + 2z = 20Isolando uma das variaveis nesta equacao (no caso z) tem-se:

z = 10 + 3y 2x.Entao S = {(x, y, z) R3 | z = 10 + 3y 2x} = {(x, y, 10 + 3y 2x) |x, y R}.

(b) Na resolucao da equacao optamos por isolar a variavel z. Fazendoisto, o valor de z ficou em funcao das variaveis x e y. Diz-se que z e avariavel dependente, pois ela depende dos valores escolhidos para x e ye estes por sua vez sao escolhidos livremente, ja que nenhuma restricaoe imposta a eles na solucao. Dizemos por isto que x e y sao as variaveislivres. Temos portanto duas variaveis livres.

(c) Para encontrar uma solucao particular, escolhemos livremente val-ores para x e y, que sao as variaveis livres e substituimos estes valoresna equacao z = 10 + 3y 2x para encontrar o valor de z. Por exemplo,tomando x = 2 e y = 1, obtemos z = 10 + 3.1 2.2 = 9. Entao (2, 1, 9) euma solucao particular. Outra solucao e (6, 1, 1) (Verifique!).

X Exerccios propostos 11.(1) Considere a equacao linear 2x+ 6y = 14.(a) Determine os coeficientes das incognitas x e y, respectivamente.(b) Determine o conjunto solucao desta equacao.(c) Determine o numero de variaveis livres no conjunto solucao.(d) De duas solucoes particulares para esta equacao.

(2) Considere a equacao linear x1 + 5x2 +2x3 x4 30 = 0.


(a) Determine os coeficientes das incognitas x1, x2, x3 e x4, respectiva-mente.(b) Determine o termo constante da equacao.(c) Determine o conjunto solucao desta equacao.(d) Determine o numero de variaveis livres no conjunto solucao.(e) De duas solucoes particulares para esta equacao.

(3) Determine o conjunto solucao das seguintes equacoes:(a) 0.x = 3(b) 3x =

2

(c) 0.x = 0(d) 0.x+ 0.y = 0(e) 0.x+ 0.y = 3(f) 0.x1 + 0.x2 + ...+ 0.xn = 0(g) 0.x1 + 0.x2 + ...+ 0.xn = b, com b 6= 0.

2 Sistema de equacoes lineares

X Exerccios propostos 12.Resolva o Exerccio 10, proposto no incio do captulo, considerando agoraque a pessoa deseja perder as 260 Kcal em 1 hora.

Definicao 8. Um sistema de m equacoes lineares a n incognitase um sistema do tipo: Em muitas aplicacoes

praticas um sistema linear

tem em geral de 50 a 5.000

equacoes.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...

......

......

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

(4.2)

onde cada linha do sistema e uma equacao linear sobre R nas mesmasincognitas.

Quando m = n, isto e, o

numero de incognitas e igual

ao de equacoes, diz-se que o

sistema e quadrado.

Quando b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0 o sistema e dito homogeneo. Casocontrario, ele e nao homogeneo.

Exemplos 14.

(1)

{2x + 3y = 13x + 2y = 4 e um sistema linear nao homogeneo com duas

equacoes a duas incognitas.

(2)

{2x + 2y 4z = 0

y + z = 0e um sistema linear homogeneo com Se em uma equacao do sis-

tema o coeficiente de uma

incognita e zero, e cos-

tume nao escrever a incognita

naquela equacao.

duas equacoes a tres incognitas.


(3)

x + 2y 3z = 02x y + 4z = 2 5y + 10z = 2

4x 2z = 14e um sistema linear nao homogeneo

com quatro equacoes a tres incognitas.

(4)

{3x + y = 32x + 3y2 = 0

nao e um sistema linear pois a segunda equacao

nao e linear.

(5)

x + seny + 4z = 03x + 3y z = 0

2y + 2z = 0nao e um sistema linear, pois a

primeira equacao nao e linear.

Solucao do sistema

Definicao 9. Toda n-upla (c1, c2, ..., cn) com c1, c2, ..., cn R, que sa-tisfaz simultaneamente a todas as m equacoes do sistema (4.2) e chamadauma solucao do sistema. O conjunto S de todas as solucoes e chamadoconjunto solucao do sistema.

Exemplos 15.

(1) O par (2, 3) e uma solucao do sistema

{2x + 3y = 13x + 2y = 4 , pois{

2.2 + 3.3 = 132 + 2.3 = 4

O par (1, 5) nao e solucao deste sistema, pois ele satisfaz apenas umadas equacoes do sistema, ja que

{2.(1) + 3.5 = 131.(1) + 2.5 6= 4

X Exerccios propostos 13.(1) Para cada uma das equacoes abaixo determine o numero de variaveisda equacao e os coeficientes de cada uma das variaveis:(a) 2x+ 3y = 7;(b) 5x+ 6y + 3z = 0;(c) 2x1 +

7x2 pix3 x4 = 9.

(2) Encontre o conjunto solucao de cada uma das equacoes abaixo e iden-tifique o numero de variaveis livres em cada um deles:(a) 7x+ 3y 3z = 0;(b) 9x 4y 5z +2w = 1;(c) 4y = 8;

(3) De uma solucao particular, para cada uma das equacoes abaixo, casotais solucoes existam.


(a) x1 + 6x2 = 3;(b) 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 = 3;(c) x1 + 6x2 = 3;

(4) Considere a equacao ax+ by = c, com a, b, c R. Faca um estudo daspossveis solucoes desta equacao.

(5) Encontre uma solucao particular para cada um dos sistemas abaixo:

(a)

x 2y +3z = 05x +2y z = 0

y +7z = 0;

(b)

{2x y +4z = 12x +3y z = 2 ;

(c)

2x +3y z = 14x 11y +5z = 9

6y 2z = 6.

(6) De exemplo de um sistema linear de duas equacoes a duas incognitasque nao tenha solucao.(7) De exemplo de um sistema linear de duas equacoes a duas incognitasque tenha infinitas solucoes.(8) Considere o sistema de m equacoes lineares nas incognitas x1, x2, ..., xn

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2... + ... + ... + ... = ...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Mostre que toda solucao deste sistema e tambem uma solucao da equacaoc1(a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn) + c2(a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn) + ... +cm(am1x1+ am2x2+ ...+ amnxn) = c1b1+ c2b2+ ...+ cmbm, para quaisquernumeros reais c1, c2, ..., cm.

Captulo 5

Resolucao de SistemasLineares

Objetivos

Apresentar uma tecnica para resolucao de sistemas lineares.

Neste captulo, usaremos a tecnica de escalonamento de matrizes naresolucao de sistema lineares. O metodo que iremos aprender consiste emtransformar o sistema a ser resolvido em um sistema linear mais simplese que tem as mesmas solucoes do sistema original. Resolve-se entao esteCarl Friedrich Gauss,

nasceu na Alemanha em

1777. Foi uma crianca

prodgio, aos 17 anos ja tinha

comecado a fazer descober-

tas supreendentes. Deu

grandes contribuicoes tanto

a` matematica pura quanto a`

aplicada. Permaneceu ativo

ate sua morte, em 1855.

sistema mais simples, o qual tem uma forma escalonada. Este metodo,chamado de eliminacao gaussiana, tem a vantagem de ser aplicavel naresolucao de um sistema linear qualquer.

1 Resolucao por retro-substituicao

Inicialmente vamos resolver sistemas que apresentam uma forma particu-larmente simples. Observe!


(1) Encontrar o conjunto solucao dos sistemas abaixo:

(a)

{2x + 3y = 10

2y = 4

Solucao:

A segunda equacao envolve somente a variavel y (o coeficiente de x enulo), resolvendo esta equacao encontramos y = 2.

Como este valor deve satisfazer tambem a primeira equacao, substi-tuimos y por 2 na primeira equacao e resolvemos esta equacao em x:

30


2x+ 3.2 = 10 x = 2.Assim S = {(2, 2)}. O sistema tem solucao unica.

(b)

2x + 3y z = 4 2y + 3z = 8

5z = 20

Solucao:

Resolvendo a terceira equacao em z encontramos z = 4. Substituindoeste na valor na segunda equacao e resolvendo-a em y, tem-se:

2y + 3.4 = 8 y = 2.Substutindo agora na primeira equacao, os valores de z e y ja encon-

trados obtemos x = 1. Segue que (1, 2, 4) e o unico terno que e solucaodo sistema. Assim S = {(1, 2, 4)}.

(c)

{3x + y z = 12

y + 2z = 0

Solucao:

Isolando y na segunda equacao obtemos y = 2z. Substituindo estena valor na primeira equacao tem-se x = 4+z. Logo S = {(4+z,2z, z) |z R}. Para cada valor real atribudo a z encontramos uma solucao par-ticular do sistema. Como z percorre R, que e um conjunto infinito, entao osistema tem infinitas solucoes. Neste caso, z e a variavel livre do conjuntosolucao.

(d)

{x + 3y z + w = 7

2z + w = 4

Solucao:

Resolvendo a ultima equacao em w obtemos w = 4 2z. Substuindoeste valor na primeira equacao ficamos com uma equacao em tres variaveis:

x+ 3y 3z = 3.Podemos resolver esta equacao em qualquer das variaveis. Isolando x

temos x = 3 3y + 3z. Assim S = {(3 3y + 3z, y, 4 2z) | y, z R},sendo y e z as variaveis livres.

Este tipo de resolucao na qual o valor das variaveis ja encontradossao substitudos nas demais equacoes ate se encontrar o valor de todas asvariaveis e chamado resolucao por retro-substituicao.

X Exerccios propostos 14.(1) Usando retro-substituicao resolva os sistemas lineares abaixo:

(a)

{2x + 3y = 1

2y = 0


(b)

2x + 3y z = 10

2y + 3z = 04z = 8

(c)

{x + y 6z + 2w = 0

y w = 12

A resolucao de sistemas lineares por retro-substituicao se aplica quandoo sistema tem uma forma especial, chamada forma escalonada. Para estadefinicao precisamos antes considerar algumas matrizes associadas a umasistema linear, o que sera feito a seguir.

2 O Sistema em notacao matricial

O sistema linear dado em (4.2) pode ser reescrito como

AX = b

onde

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n.... ... ... ...am1 am2 ... amn

e chamada a matriz dos coeficientes,

X =

x1x2....xn

e a matriz (ou vetor) das incognitas e

b =

b1b2....bm

e a matriz (ou vetor) dos termos constantes.

Outra matriz associada ao sistema e

[A|b] =

a11 a12 ... a1n | b1a21 a22 ... a2n | b2.... ... ... ... | ...am1 am2 ... amn | bm

chamada de matriz aumentada ou ampliada.


Exemplos 16.

(1) Considere o sistema

{2x + 3y = 1

2y = 0.

Sua matriz dos coeficientes e A =

(2 30 2

), X =

(xy

)e o vetor

das incognitas e b =

(10

)e o vetor dos termos constantes. [A | b] =(

2 3| 10 2| 0

)e a matriz aumentada. Observe que a matriz aumentada

deste sistema esta na forma escalonada.

(2) Considere o sistema

6x 8y + 4z = 52x y = 33x 2z = 4

.

A =

6 8 42 1 03 0 2

e a matriz dos coeficientes e a matriz aumentadae [A | b] =

6 8 4| 52 1 0| 33 0 2| 4

, a qual nao esta na forma escalonada.Definicao 10. Diz-se que um sistema linear esta na forma escalonada,se sua matriz aumentada e uma matriz escalonada.

X Exerccios propostos 15.(1) Para cada um dos sistemas abaixo determine: a matriz dos coefi-cientes, a matriz aumentada, uma forma escalonada da matriz aumentada,o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada.

(a)

2x y z = 14x y + 3z = 75x + y 7z = 7

(b)

x + 2y 2z = 23x 2y z = 52x 5y + 3z = 4x + 4y + 6z = 0

(c)

x + y + z = 102x y + 3z = 53x + 4z = 12

Sistemas equivalentes

Definicao 11. Dois sistemas lineares sao ditos equivalentes se eles temo mesmo conjunto solucao. Se A1X = b1 e A2X = b2

sao sistemas lineares equiva-

lentes, entao seus conjuntos

solucao sao iguais.


Exemplos 17.

Os sistemas

4x + 2y = 145x y = 73x + 5y = 21

e

{2x + y = 7

3y = 9sao

equivalentes, pois ambos tem S = {(2, 3)} como conjunto solucao.

Lema 2. Sejam P uma matriz mm, A uma matriz m n, ambas comSe P e uma matriz mn, N ,uma matriz n k e b, n 1,entao P [N | b] = [PN | Pb].

elementos em R e A = PA. Se N , N sao as matrizes obtidas de A e Apela supressao de suas ultimas colunas Cn(A) e Cn(A

), respectivamente,entao N = PN e Cn(A) = PCn(A).

Demonstracao:

Sejam C1(A), C2(A), ..., Cn1, Cn(A) as colunas deA e L1(P ), L2(P ), ..., Lm(P )as linhas de P . Entao N =

(C1(A) C2(A) ... Cn1(A)

). Da definicao

do produto matricial segue que

PN =

L1(P ).C1(A) L1(P ).C2(A) ... L1(P ).Cn1(A)L2(P ).C1(A) L2(P ).C2(A) ... L2(P ).Cn1(A)

... ... ... ...Lm(P ).C1(A) Lm(P ).C2(A) ... Lm(P ).Cn1(A)

e

PCn(A) =

L1(P ).Cn(A)L2(P ).Cn(A)

...Lm(P ).Cn(A)

.Entao

[PN |PCn(A)] =

L1(P ).C1(A) ... L1(P ).Cn1(A) |L1(P ).Cn(A)L2(P ).C1(A) ... L2(P ).Cn1(A) |L2(P ).Cn(A)... ... ... |...Lm(P ).C1(A) ... Lm(P ).Cn1(A) |Lm(P ).Cn(A)

= PA = A.

Da definicao de N e Cn(A), segue que N = PN e Cn(A) = PCn(A).

Teorema 4. Sistemas lineares que possuem matrizes aumentada linha-Se A1X = b1 e A2X =b2 sao sistemas lineares com

[A1|b1] [A2|b2], entao seusconjuntos solucao sao iguais.

equivalentes sao equivalentes.

Demonstracao:Sejam A1X = b1 e A2X = b2, sistemas lineares com matrizes aumentadalinha-equivalentes, isto e, [A1|b1] [A2|b2]. Mostraremos que estes sis-temas tem as mesmas solucoes. Como [A1|b1] [A2|b2], pela proposicao


5 existe uma matriz inversvel P , tal que [A2|b2] = P [A1|b1]. Pelo lemaanterior, temos que

A2 = PA1 e b2 = Pb1 (5.1)

Multiplicando as identidades acima por P1 a` esquerda obtemos:

A1 = P1A2 e b1 = P1b2. (5.2)

Se X0 e uma solucao de A1X = b1, entao A1X0 = b1. Multiplicandoesta identidade pela matriz P (a` esquerda) obtemos, (PA1)X0 = Pb1. Epela identidade (5.1), segue que A2X0 = b2, logo X0 e tambem solucao deA2X = b2. De modo analogo, se Y0 e uma solucao de A2X = b2, entaoA2Y0 = b2. E isto implica que (P

1A2)Y0 = P1b2, ou ainda, por (5.2),A1Y0 = b1, logo Y0 e solucao de A1X = b1.

3 Eliminacao gaussiana

Ja vimos que e particularmente simples resolver um sistema linear A eliminacao gaussianaapareceu primeiramente no

texto Nine Chapters on the

Mathematical Art, escrito

200 a.c.. Foi usada por Gauss

quando estudava a orbita

do asteroide Pallas. Usando

as observacoes de Pallas

feitas entre 1803 e 1809,

Gauss obteve um sistema

linear com seis equacoes a

seis incognitas e apresentou

um metodo sistematico para

resolve-lo, que consistia em

eliminacoes sucessivas na

matriz dos coeficientes.

quanto este encontra-se escalonado. Mas quando o sistema nao esta naforma escalonada, como resolve-lo?

Considere o sistema AX = b. Se [A|b] e uma forma escalonada damatriz aumentada [A|b], entao estas matrizes sao linha-equivalentes e peloTeorema 4, os sistemas AX = b e AX = b tem o mesmo conjunto solucao.Entao, por que nao resolver o sistema mais simples, no caso o que estana forma escalonada, ja que as solucoes encontradas sao as mesmas dosistema original? Este e o princpio do metodo de eliminicao gaussianaou eliminacoes sucessivas, o qual e justificado pelo Teorema 4. Ele con-siste em reduzir o sistema original, atraves de operacoes elementares, aum sistema escalonado e entao resolver este ultimo por retro-substituicao.Como exemplificacao do metodo resolveremos o sistema dado abaixo :{

113x1 + 5x2 = 260x1 + x2 = 60

Passo 1 - Escrever a matriz aumentada associada ao sistema:

[A|b] =(

113

5| 2601 1| 60

).

Passo 2 - Reduzir a matriz aumentada a` forma escalonada usando operacoeselementares sobre as linhas da matriz:

[A|b] =(

113

5| 2601 1| 60

)L2 L2 311L1

(113

5| 2600 4

11| 120

11

).


Passo 3 - Escrever o sistema associado a` matriz escalonada encontradano passo 2:{

1133x1 + 5x2 = 260 4

11x2 = 12011

.

Passo 4 - Resolver o sistema encontrado no passo 3 por retro-substituicao:

Resolvendo a ultima equacao encontramos x2 = 30, substituindo estevalor na primeira e resolvendo-a em x1, obtemos x1 = 30. Logo S ={(30, 30)}. Pelo Teorema 4, este e tambem o conjunto solucao do sistemaoriginal, ja que suas matrizes aumentadas sao linha-equivalentes.

Vejamos mais alguns exemplos de resolucao de sistemas lineares pelaeliminacao gaussiana.


(1) Encontrar o conjunto solucao dos sistemas:

(a)

{2x + 3y = 73x y = 5

Solucao:Passo 1 - Escrever a matriz aumentada associada ao sistema:

[A|b] =(

2 3| 73 1| 5

).

Passo 2 - Reduzir a matriz aumentada a` forma escalonada usando operacoeselementares sobre as linhas da matriz:

[A|b] =(

2 3| 73 1| 5

)L2 3L1 + 2L2

(2 3| 70 11| 11

).

Passo 3 - Escrever o sistema associado a` matriz escalonada encontradano passo 2:{

2x + 3y = 7 11y = 11 .

Passo 4 - Resolver o sistema encontrado por retro-substituicao:

Resolvendo a ultima equacao encontramos y = 1, substituindo estevalor na primeira e resolvendo-a em x, obtemos x = 2. Portanto S ={(2, 1)}. O sistema tem solucao unica.

Observamos que posto(A) = posto([A|b]) = numero de incognitas = 2.

(b)

x + y z = 72x + 3y 3z = 2x 3y + 3z = 2


Solucao:

Passo 1 - Escrever a matriz aumentada do sistema:

[A|b] = 1 1 1| 72 3 3| 2

1 3 3| 2

.Passo 2 - Reduzir a matriz aumentada a` forma escalonada: 1 1 1| 72 3 3| 2

1 3 3| 2

L2 2L1+L2 1 1 1| 70 1 1| 12

1 3 3| 2

L3 L1+L3 1 1 1| 70 1 1| 120 4 4| 5

L3 L3 + 4L2 1 1 1| 70 1 1| 12

0 0 0| 53

.Passo 3 - Escrever o sistema cuja matriz aumentada seja a matriz escalon-ada encontrada no passo 4:

x + y z = 7y z = 12

0.z = 53.


Observamos agora que a ultima equacao 0.z = 53, nao tem solucao ,logo o sistema tambem nao tem solucao, portanto S = .

Neste sistema temos posto(A) = 2 < posto([A|b]) = 3.

(c)

x + y z = 12x + 3y + 2z = 3x + 2y + 3z = 2

Solucao:Passo 1 - Escrever a matriz aumentada do sistema:

[A|b] = 1 1 1| 12 3 2| 3

1 2 3| 2

.Passo 2 - Escalonar a matriz aumentada: 1 1 1| 12 3 2| 3

1 2 3| 2

L2 2L1 + L2 1 1 1| 10 1 4| 1

1 2 3| 2

L3 L1 + L3 1 1 1| 10 1 4| 10 1 4| 1

L3 L3 L2 1 1 1| 10 1 4| 1

0 0 0| 0

.


Passo 3 - Escrever o sistema associado a` matriz escalonada:{x + y z = 1

y + 4z = 1.


Da ultima equacao segue que y = 1 4z. Substituindo este valor naprimeira equacao encontramos x = 5z. Portanto S = {(5z, 1 4z, z) | z R}. O sistema tem infinitas solucoes.

Destacamos que posto(A) = posto([A|b]) = 2 < numero de incognitas= 3.

Observacao 3. Se apos o escalonamento ficamos com uma equacao daforma 0.x1 + 0.x2 + ...+ 0.xn = 0, ela e suprimida do sistema, sem afetara solucao do mesmo, uma vez que toda n-upla de numeros reais e solucaodesta equacao.

X Exerccios propostos 16.(1) Usando retro-substituicao resolva os sistemas lineares abaixo:

(a)

{4x 5y = 4 2y = 8

(b)

{13x + 6y 4z = 05x + 4z = 0

(c)

4x + 6y + 8z w = 12

2y + 4z w = 84z w = 8

(2) Usando eliminacao gaussiana encontre o conjunto solucao de cada umdos sistemas lineares abaixo:

(a)

2x + 3y 2z = 5x 2y + 3z = 24x y + 4z = 1

(b)

3x 2y + 3z = 8x + 3y 4z = 22x y + 3z = 44x 4y 6z = 6

(c)

2x + y = 0x + y + z = 0

y + 2z = 0

Nas questoes de (04) a (08) escreva o sistema linear que descreve oproblema proposto e em seguida encontre seu conjunto solucao.

(04) Ha dez anos, Carlos era quatro vezes mais velho que Bianca. Atual-mente, ele tem o dobro da idade de Bianca. Determine as idades atuaisde Carlos e Bianca.


(05) Um homem investiu R$ 4.000, 00, parte a 5% de juros simples ao anoe o restante a 3%. A renda total anual desses investimentos e R$ 168, 00.Quando ele investiu em cada aplicacao?

(06) A soma de dois numeros e 109. Se o maior deles for divido pelomenor, o quociente e 7 e o resto e 5. Encontre os numeros.

(07) Um agricultor tem uma area de 100 hectares na qual deseja plan-tar tres produtos A, B e C. Sabendo-se que cada hectare do produtoA produz 10 toneladas por colheita e cada hectare de B e C produzemrespectivamente 12 e 20 toneladas, quais as possibilidades de loteamentoda terra de modo a colher 1.500 toneladas de alimento por colheita?

(08) Um agricultor tem uma area de 100 hectares na qual deseja plan-tar tres produtos A, B e C. Sabendo-se que cada hectare do produto Aproduz 10 toneladas por colheita e ele os vende por R$ 3.000, 00 a tonelada.Cada hectare de B e C produzem 12 e 20 toneladas, respectivamente e eleos vende por R$ 1.500 a tonelada do produto B e R$ 800, 00 a tonelada deC. Determine as possibilidades de loteamento da terra de modo a colher1.500 toneladas de alimento e ter umA receita de R$ 2.300.000, 00 porcolheita?

Captulo 6

Discussao de um sistemalinear

Classificar um sistema de equacoes lineares, quanto ao seu conjuntosolucao.

Em muitas ocasioes nao estamos interessados na solucao do sistema,mas apenas em saber se o sistema tem solucao e caso afirmativo, quantassao estas solucoes. Veremos que isto e possvel usando o posto das ma-trizes associadas ao sistema.

Conforme visto nos exemplos do captulo anterior, na resolucao de umsistema linear, seu conjunto solucao pode ser vazio, um conjunto unitario(contendo um unico elemento) ou um conjunto com mais de um elemento.De acordo com o conjunto solucao, um sistema linear recebe as seguintesdenominacoes:

Definicao 12. Diz-se que um sistema linear e

(a) impossvel (ou incompatvel ou inconsistente) se ele nao admitesolucao alguma, isto e, seu conjunto solucao S = ;

(b) possvel (ou compatvel ou consistente) se ele admite pelo menosuma solucao, sendo neste caso chamado de

(b.1) possvel determinado se admitir uma unica solucao e

(b.2) possvel indeterminado se admitir mais de uma solucao.Discurtir um sistema linear e

classifica-lo, segundo seu con-

junto solucao.

Discutir um sistema significa efetuar um estudo visando classifica-losegundo as denominacoes dadas na Definicao 12. Vamos ver que isto podeser feito, mesmo nao conhecendo o conjunto solucao do sistema.

Considere AX = b um sistema linear com m equacoes a n incognitas.

40


Ao compararmos o posto da matriz dos coeficientes A com o posto damatriz aumentada [A|b] temos somente dois casos possveis:

(1) posto(A) < posto([A|b]); Por que nao temosposto(A) > posto[A|b])?(2) posto(A) = posto([A|b]).

Se ocorre (1), isto e, posto(A) < posto([A|b]), entao apos o escalona-mento, a matriz aumentada tem a forma: Se posto(A) < posto([A|b]),

entao S = sistema im-possvel.

a1j1 a1j1+1 ... a1n | b10 ... a2j2 ... a2n | b20 ... .... ... ... | ...0 0 0 ... 0 | bk0 0 0 ... 0 | 0

. (6.1)

Isto implica que o sistema escalonado tem uma equacao do tipo:

0.x1 + 0.x2 + ...+ 0.xn = bk

a qual nao tem solucao e portanto o sistema tambem nao tem solucao.

Por outro lado, se posto(A) = posto([A|b]) = numero de incognitas,entao apos o escalonamento a matriz aumentada tem n linhas nao nulas,logo tem a forma: Se posto(A) = posto([A|b]) =

nr. de incognitas, entao S e

um conjunto unitario sis-tema possvel determinado.

[A|b] =

a1j1 ... a1n | b1

a2j2 ... a2n | b2a3j3 ... a3n | b3

.... ... ... ... ... | ...... anjn | bn

com 1 j1 < j2 < j3 < ... < jn n. Entao j1 = 1, j2 = 2, ..., jn =n e aiji 6= 0, para todo i. Resolvendo o sistema por retro-substituicaoencontramos:xn =

1ann

.bn, xn1 = 1an1n1

(bn1 an1nxn

), ..., x1 =

1a11

(b1 a12x2

... a1nxn). O sistema tem portanto solucao unica.

Por fim, vamos ver o caso em que posto(A) = posto ([A|b] < numero Se posto(A) = posto([A|b]) 0} com as operacoes abaixo definidas:A soma de x e y V e dada por:

x+ y = x.y (o ponto indica o produto em R) (7.1)


O produto escalar de c R por x V e dado por:

cx = xc. (7.2)

Solucao:

Como o produto de dois numeros positivos e a potencia de um numeropositivo sao sempre numeros reais positivos, segue que para quaisquerx, y V e c R, x + y e cx V . Assim V e fechado com relacao asoperacoes definidas. Resta verificar se estas operacoes tem as propriedadesnecessarias a um espaco vetorial.Propriedades da adicao:Para quaisquer x, y V , tem-se:(A1) (x+ y) + z = (x.y) + z - por (7.1)

= (x.y).z - por (7.1)= x.(y.z) - pela associatividade da multiplicacao em R= x.(y + z) - por (7.1)= x+ (y + z) - por (7.1)

Portanto, (x+ y) + z = (x+ (y + z).

(A2) x+ y = x.y - por (7.1)= y.x - pela comutatividade da multiplicacao em R= y + x - por (7.1)

Portanto, x+ y = y + x.

(A3) 1 V e o elemento neutro da adicao, pois para todo x V ,x+ 1 = x.1 = x;

(A4) Para todo x V , o elemento 1x V e tal que x + 1

x= x. 1

x= 1.

Logo todo elemento de V tem inverso aditivo.

Propriedades da multiplicacao por escalar:Sejam c, c1, c2 R, x, y V . Entao:(M1) (c1c2)x = x

(c1c2) -por (7.2)= (xc2)c1 - propriedade de potencia em R= c1(x

c2)- por (7.2)= c1(c2x) - por (7.2)

Portanto, (c1c2)x = c1(c2x)

(M2) (c1 + c2)x = x(c1+c2) -por (7.2)

= xc1 .xc2 - propriedade de potencia em R= xc1 + xc2- por (7.1)= c1x+ c2x - por (7.2)

Portanto, (c1 + c2)x = c1x+ c2x.


(M3) c(x+ y) = c(x.y) -por (7.1)= (x.y)c - por (7.2)= xc.yc- propriedade de potencia em R= xc + yc - por (7.1)= cx+ cy - por (7.2)

Portanto, c(x+ y) = cx+ cy.

(M4) 1x = x1 = x -por (7.2) e definicao de potencia em R.

Segue entao que (V , +, .) e um espaco vetorial real.

(b) V = {(x, y) | x, y R} = R2.A soma de (x1, y1) e (x2, y2) V e dada por:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (7.3)

O produto escalar de c R por (x, y) V e dado por:

c(x, y) = (cx, y). (7.4)

Solucao:

Observamos que V = R2 e a adicao e a mesma definida anteriormentepara vetores em Rn, a qual ja vimos tem as propriedades (A1), (A2), (A3)e (A4). Resta entao verificar as propriedades da multiplicacao por es-calar. Obviamente que (cx, y) V , para quaisquer c, x, y R. Sejamc, c1, c2 R, = (x1, y1), = (x2, y2) V . Entao:

(M1) (c1c2) = (c1c2)(x1, y1)= ((c1c2)x1, y1) - por (7.4)= (c1(c2x1), y))- pela associatividade da multiplicacao em R= c1(c2x1, y1) - por (7.4)= c1(c2(x1, y1)) = c1(c2) - pela Definicao (7.4).

(M2) (c1 + c2) = (c1 + c2)(x1, y1)

=((c1 + c2)x1, y1

)- por (7.4)

= (c1x1 + c2x1, y1)- pela propriedade P6= (c1x1, y1) + (c2x1, 0) - por (7.3)= c1+ c2(x2, 0).

E facil ver que existem escalares c1, c2 R e vetores R2, para osquais (c1 + c2) 6= c1 + c2. Logo a multiplicacao por escalar dada em(7.4) nao satisfaz (M2).

Como falha uma das propriedades, R2 como as operacoes definidasacima nao e um espaco vetorial.


X Exerccios propostos 28.

(1) Em cada um dos itens abaixo verifique se o conjunto V munido dasoperacoes dadas e um espaco vetorial real. Para aqueles que nao saoespacos vetoriais dizer quais as propriedades da definicao que nao se veri-ficam.(a) V = {(x, y) R2 | x > 0, y > 0} com as operacoes: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), (x1, y1), (x2, y2) V ; c(x, y) = (xc, yc), (x, y) V, c R.

(b) V = {(x, y, z) | x, y, z R}, com as operacoes: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) = (x1.x2, y1.y2, z1.z2), (x1, y1, z1), (x2, y2, z2)

V ;

c(x, y, z) = (x2c, y2c, z2c), (x, y, z) V, c R.

(c) V = {A M2(R) | A e nao-singular } com as seguintes operacoes: A+B = AB (produto usual de matrizes), A,B V ; cA = (c.aij), A = (aij) V e c R.

(d) Sejam U e W espacos vetorias reais e V = {(, ) | U, W}com as operacoes:

(, ) + (, ) = (+ + + ); c(, ) = (c, c), (, ) V, c R.As operacoes do lado direito sao as definidas em U na primeira coor-

denada e as definidas em W na segunda coordenada.

(e) Seja f : R R uma funcao nao nula fixada, a qual tem as seguintespropriedades f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x.y) = f(x).f(y), para todox, y R. Considere V = R2 {(0, 0)} com as seguintes operacoes: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1.x2, y1.y2), (x1, y1), (x2, y2) R; c(x, y) = (xf(c), yf(c)), (x, y) V, c R.

(2) Seja V um espaco vetorial real. Mostre que:(a) Em V existe um unico vetor nulo;(b) Cada elemento de V tem um unico inverso aditivo.

(3) Mostre que em um espaco vetorial real V vale a lei do cancelamento,isto e, para quaisquer u, v, w V , se u+ v = u+ w, entao v = w.

(4) Seja V um espaco vetorial real. Mostre que para qualquer Re qualquer u V temos:


u = (u) = (u)

(5) Seja V um espaco vetorial real e u V . Mostre, usando inducao emn, que nu = (u+ u+ ...+ u)

nparcelas

, para todo natural n 1.

(6) Sejam u e v vetores nao nulos de um espaco vetorial real V . Mostreque u e um multiplo escalar de v se, e somente se, v e tambem um multiploescalar de u.

(7) Sejam u e v vetores de um espaco vetorial V e R um escalar.Mostre que (u v) = u v.

Captulo 8

Subespacos

Objetivos

Definir subespacos vetoriais Reconhecer quando um subconjunto de um espaco e subespaco

Definicao 14. Seja V um espaco vetorial real. Um subconjunto nao vazioW de V e um subespaco de V se W e tambem um espaco vetorial,considerando as mesmas operacoes definidas em V .

Se V e um espaco vetorial, entao os subconjuntos {0} e V sao sube-spacos de V - chamados subespacos triviais. {0} e chamado o subespaco

nulo de V .

Dado um subconjunto W de um espaco vetorial real V , como saberse W e um subespaco de V ? Segundo a Definicao 14, devemos verificarse W , com as operacoes definidas em V , e um espaco vetorial. E istoimplica checar se W esta de acordo com a Definicao 13, ou seja, veri-ficar o fechamento de W com relacao a` soma e a multiplicacao escalardefinidas em V e posteriormente a validade das oito propriedades men-cionadas naquela definicao. O proximo teorema vai nos ajudar a sim-plificar consideravelmente este trabalho, pois ela garante que para umsubconjunto nao vazio seja subespaco, e necessario e suficiente apenas ofechadamento deste com relacao as operacoes do espaco.

Teorema 6. Sejam V um espaco vetorial real e W um subconjunto naovazio de V . Entao W e um subespaco de V , se e somente se, W verifica O fechamento com relacao

as operacoes do espaco e

condicao necessaria e sufi-

ciente para que um subcon-

junto nao vazio do espaco seja

subespaco.

as seguintes condicoes:

(a) Para todo u, v W , a soma u+ v esta em W ;(b) Para todo u W e para todo R, o produto u tambem esta

57


em W .

Antes de prosseguir leia mais uma vez o enunciado do teorema. Ob-serve que as condicoes dadas nas letras (a) e (b) sao simplesmente ofechamento de W com relacao as operacoes do espaco e esta e a unicacondicao exigida para que um subconjunto nao vazio de um espaco ve-torial seja subespaco. E bom que voce grave este teorema, pois ele serade grande utilidade no decorrer do curso. Antes de demonstra-lo, vamosaprender a utiliza-lo.


(1) Verifique se o conjunto W = {(x, y, 0) | x, y R} e um subespaco doR3.

Solucao:

Usaremos o Teorema 6 para isto. W e subespaco se satisfaz a todas ashipoteses daquele teorema.

(i) W e um subconjunto nao vazio do R3?

Como (0, 0, 0) W , logo W nao e vazio.(ii) Para quaisquer u, v W , tem-se u+ v W?Vamos tomar dois elementos arbitrarios em W , efetuar a soma destes

elementos, usando a adicao definida em R3, e ver se o resultado obtido etambem um elemento de W .

Observamos que W e formado pelos vetores do R3 que tem a terceiracoordenada nula. Assim, se u e v W , entao eles devem ter a formau = (x1, y1, 0) e v = (x2, y2, 0), com x1, x2, y1, y2 R. Somando u + v =(x1+x2, y1+y2, 0), o qual esta emW , pois e um vetor do R3 com a terceiracoordenada nula.

(iii) Para todo u W e para todo R, u W?Sejam R e u = (x, y, 0) W . Entao u = (x, y, 0) W .Respondidos afirmativamente (i), (ii) e (iii), conclui-se que W e um

subespaco de R3. GeometricamenteW representa o plano XY . Constata-mos que somando vetores deste plano ou multiplicando-os por escalares,os vetores resultante permanecem neste plano.

(2) O conjunto W ={( a 0

b 0

)| a, b R

}e um subespaco de M2(R)?

Solucao:

Como no exemplo anterior, mostraremos que W satisfaz as hipotesesdo Teorema 6. Observe queW e o conjunto formado por todas as matrizes


2 2 com elementos reais, que tem a segunda coluna nula. Entao paraverificar se uma matriz A, 2 2, e um elemento de W , devemos verificarse ela tem estas propriedades, isto e, se seus elementos sao numeros reaise se sua segunda coluna e nula.

(i) W e nao vazio, pois a matriz nula

(0 00 0

) W ;

(ii) Para quaisquer matrizes A,B W , A+B W .

Sejam A =

(a1 0b1 0

)e B =

(a2 0b2 0

)matrizes arbitrarias de W ,

com a1, a2, b1, b2 R. Usando a definicao de soma de matrizes, segue queA + B =

(a1 + a2 0b1 + b2 0

) W , pois seus elementos sao numeros reais e

sua segunda coluna e nula.

(iii) Para toda matriz A W e todo R, temos A W .

Sejam A =

(a 0b 0

) W e R. Entao A =

(a 0b 0

) W .

Como W satifaz todas as condicoes do Teorema 6, este conjunto e umsubespaco de M2(R).

(3) O conjuntoW = {a3x3+a2x2+a1x+a0 | a0, a1, a2, a3 R e a1 = 2a3}e um subespaco de P3(R)?

Solucao:

Observe queW e o subconjunto de P3(R) formado por todos os polinoniosem que o coeficiente de x e o dobro do coeficiente de x3. Entao os elemen-tos de W sao polinomios da forma p(x) = a3x

3 + a2x2 + 2a3x + a0, com

a3, a2, a0 R. Vamos verificar se W satisfaz as hipoteses do Teorema 6.(i) W e nao vazio, pois o polinomio nulo esta em W ;

(ii) Para quaisquer p(x), q(x) W , a soma p(x) + q(x) W .Sejam p(x) = a3x

3+a2x2+2a3x+a0 e q(x) = b3x

3+b2x2+2b3x+b0 W ,

com a3, b3, a2, b2, a0, b0 R. Usando a definicao de soma de polinomios,segue que p(x)+q(x) = (a3+b3)x

3+(a2+b2)x2+2(a3+b3)x+(a0+b0) W ,

pois e um elemento de P3(R) no qual o coeficiente de x e o dobro docoeficiente de x3, como sao os polinomios de W .

(iii) Para todo p(x) W e todo R, p(x) W .Sejam p(x) = a3x

3 + a2x2 + 2a3x + a0 e R. Usando a definicao

do produto de um polinomio por em escalar, obtem-se p(x) = a3x3 +

a2x2 + 2a3x+ a0 W .

De (i), (ii) e (iii) conclumos que W e um subespaco de P3(R).


(4) W = {f F(R,R) | f(1) = f(6)} e um subespaco de F(R,R).Solucao:

Observamos que W e formado por todas as funcoes de F(R,R) paraas quais a imagem de 1 concide com a imagem de 6. Assim para verificarse uma funcao f F(R,R) arbitraria esta em W , devemos verificar se talcondicao e satisfeita.

(i) Observe que a funcao nula 0 : R R, e tal que 0(x) = 0 para todox R, entao 0(1) = 0 = 0(6). Assim a funcao nula esta em W e portantoW e um subconjunto nao vazio.

Verificaremos agora o fechamento de W com relacao as operacoes doespaco. Sejam f, g W arbitrarias e R. Devemos mostrar que:

(ii) f + g W ;Como ja dissemos f + g W , se (f + g)(1) = (f + g)(6). E de fato,

(f + g)(1) = f(1) + g(1) - pela definicao de soma de funcoes= f(6) + g(6) - pois f, g W= (f + g)(6) - definicao de soma de funcoes.

Portanto f + g W .(iii) f W ;(f)(1) = .f(1) - definicao do produto de uma funcao por um escalar

= .f(6) - pois f W= (f)(6) - definicao do produto de uma funcao por um escalar

Portanto W e um subepaco de V .

(6) O conjunto W = {(x, y, z) R3 | x y = 3} e um subconjuntode R3?

Solucao:

(i) W e nao vazio, pois (4, 1, 0) W ;(ii) Se u, v W , tem-se u+ v W?Observe que W e formado por todos os vetores do R3 para os quais a

diferenca entre a primeira e a segunda coordenadas e igual a 3. Assim, seu = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) W , segue que x1 y1 = 3 e x2 y2 = 3.Efetuando a soma obtemos u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Fazendo aprimeira menos a segunda coordenada, obtemos: (x1 + x2) (y1 + y2) =(x1 y1) + (x2 y2) = 3 + 3 = 6. Logo u+ v 6 W .

Como falha uma das hipoteses do Teorema 6, segue que W nao e umsubespaco do R3.

(7) W = {f F(R,R) | f(1) = f(6) + 1} e um subespaco de F(R,R)?


Solucao:

(i) W e nao vazio.

De fato, considere a funcao f : R R, definida por f(x) = x5+ 3 e

tal que f(1) = f(6) + 1.

(ii) Se f, g W , entao f + g W?Sejam f, g W . Da definicao de W , segue (f + g)(1) = f(1) + g(1) =

(f(6) + 1) + (g(6) + 1) = f(6) + g(6) + 1 + 1 = ((f + g)(6) + 1) + 1 6=(f + g)(6) + 1. Logo nao e verdade que a soma de f + g W , paraquaisquer f, g W . Assim W nao e subespaco.

Agora que voce ja esta familiarizado com o enunciado do Teorema 6,faremos sua demonstracao.

Demonstracao do Teorema 6: Veja aqui a demonstracao doTeorema 6.() W e um subespaco de V W satifaz os itens (a) e (b)

Por hipotese, W e subespaco, logo e espaco vetorial e portanto efechado com relacao a` soma e a` multiplicacao por escalar.

() W e um subconjunto nao vazio de V que satisfaz (a) e (b) We subespaco de V .

De acordo com a Definicao 14, para mostrar W e subespaco, deve-mos mostrar que W e um espaco vetorial. O Fechamanento de W comrelacao as operacoes de V esta garantido pela hipotese. Alem disso, aspropriedades (A1), (A2), (M1), (M2), (M3) e (M4) da Definicao 13 saovalidas para todos os elementos de V W , logo sao para os de W . Restaentao garantir as propriedades (A3) e (A4). Comecaremos por (A4).(A4) - Para todo u W , u W :

Seja u W . Por (b), u W para todo R. Em particulartomando = 1, segue que (1)u = (1u) = u W .

(A4) - O vetor nulo de V esta em W :

Como W 6= , existe u W . Pela propriedade (A4), u W epela letra (a) da hipotese, segue que 0 = u + (u) W . Portanto W esubespaco.

Obs: As condicoes (a) e (b) do Teorema 6 sao equivalentes a` condicao:u+ v W , para todo u, v W e todo R. (Prove isto!)X Exerccios propostos 29.

(1) Considere W ={( a b

a+ b 0

)| a, b R

}.

(a) W e subconjunto de que espaco vetorial?


(b) W e um conjunto vazio? Caso negativo, de exemplo de um elementode W .

(c) A matriz A =

(3 710 0

)e um elemento de W? Justifique.

(d) A matriz B =

(1 12 0


(e) A matriz A =

(2 11 1


(f) De exemplos de duas matrizes de ordem 2 2 que estejam em W e deduas, tambem 2 2, que nao estejam em W .(g) Use o Teorema 6 para verificar se W e subespaco de M2(R).

(2) Considere W = {a3x3+a2x2+a1x+a0 | a0, a1, a2, a3 R e a3+2a2 =0}.(a) W e subconjunto de que espaco vetorial?(b) W e um conjunto vazio? Caso negativo, de exemplo de um elementode W .(c) O polinomio p(x) = 2x3+x2+4x+7 e um elemento deW? Justifique.(d) O polinomio q(x) = 5x2 + 3 e um elemento de W? Justifique.(e) O polinomio r(x) = 5x3 + 10x2 + 15x+ 4 e um elemento de W? Jus-tifique.(f) De exemplos de dois polinomios de P3(R) que estejam emW e de dois,que nao estejam em W .(g) Use o teorema 6 para verificar se W e subespaco de P3(R).

(3) Considere W = {(x, y, z) R3 | 2x+ 3y z = 0}(a) W e subconjunto de que espaco vetorial?(b) W e um conjunto vazio? Caso negativo, de exemplo de um elementode W .(c) O terno (1, 1, 5) e um elemento de W? Justifique.(d) O terno (2, 0, 4) e um elemento de W? Justifique.(e) o terno (3, 2, 10) e um elemento de W? Justifique.(f) De exemplos de dois vetores do R3 que estejam em W e de dois, quenao estejam em W .(g) Use o Teorema 6 para verificar se W e subespaco de R3.

(4) Considere W = {(x, y, z) R3 | x+ y + z = 3}(a) W e um conjunto vazio? Caso negativo, de exemplo de um elementode W .(b) De exemplos de dois vetores do R3 que estejam em W e de dois, quenao estejam em W .(c) Use o Teorema 6 para verificar se W e subespaco de R3.

(5) Verifique quais dos subconjuntos W abaixo sao subespacos do Rn(n 3);


(a) W consiste de todos os vetores do Rn em que as primeiras k coorde-nadas (k n) sao nulas;(b) W consiste de todos as vetores (x1, x2, ...xn) do Rn, para as quaisxn2 3xn = xn1.(c) W consiste de todos as vetores (x1, x2, ...xn) do Rn, para as quaisx1.xn = 0.

(d) W consiste de todos os vetores do Rn, cujas coordenadas formamuma progressao geometrica de razao fixada.

(e) W consiste de todos os vetores do Rn, cujas coordenadas formamuma progressao geometrica.

(f) W consiste de todos os vetores do Rn, cujas primeiras k coordenadassao iguais.

(6) Verifique quais dos subconjuntos W abaixo sao subespacos de Mn(R):(a) W = {A Mn(R) | A e diagonal };(b) W = {A Mn(R) | A e simetrica };(c) W = {A Mn(R) | A e anti-simetrica };(d) W = {A Mn(R) | A e inversvel };(e) W = {A Mn(R) | AB = BA}, com B Mn(R), fixa.(Caso nao saiba, pesquise a definicao de matriz diagonal, simetrica e anti-simetrica)

(7) Verifique quais dos subconjuntos W abaixo sao subespacos de Pn(R):(a) W = {anxn + an1xn1 + ...+ a1x+ a0 Pn(R) |

ni=1 ai = 0};

(b)W = {anxn+an1xn1+ ...+a1x+a0 Pn(R) | an = a02 e an1 = a13 };(c) W = {anxn + an1xn1 + ...+ a1x+ a0 Pn(R) | an = 1};

(8) Verifique quais dos subconjuntosW abaixo sao subespacos de F(R,R):(a) W = {f F(R,R) | f e uma funcao par }(b) W = {f F(R,R) | f e uma funcao mpar };(c) W = {f F(R,R) | f e uma funcao afim } (uma funcao f : R Re dita afim se existem constantes a, b R, tais que f(x) = ax + b, paratodo x R);(d) W = {f C2(R) | f 3f f = 0}; (C2(R) indica o conjuntode todas funcoes f : R R que sao duas vezes derivaveis e f indica aderivada de f);(e) W = {f F(R,R) | f g = g f}, com g F(R,R), fixada.(Caso nao saiba, pesquise a definicao de funcao par e funcao mpar)

(9) Sejam a1, a2, ..., an, c numeros reais. Mostre queW = {(x1, x2, ..., xn) Rn | a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = c} e um subespaco de Rn se, e somente se,c = 0. De a interpretacao geometrica deste fato para n = 2 e n = 3.


(10) Seja A uma matriz m n. Mostre que o conjunto solucao do sis-tema linear homogeneo AX = 0 e um subespaco do Rn. Verifique se istotambem vale para um sistema AX = b, com b 6= 0.

(11) Mostre que os unicos subespacos de R sao os triviais.

Captulo 9

Operacoes com subespacos

Objetivos

Definir soma de subespacos Definir intersecao de subespacos Definir soma direta de subespacos

Intersecao de subespacos

Definicao 15. Sejam W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V . Aintersecao de W1 com W2 e o conjunto, denotado por W1 W2, dado por:

W1 W2 = {u V | u W1 e u W2}.

Exemplos 18.

(1) Dados W1 = {(x, y, 0) | x, y R} e W2 = {(0, y, z) | y, z R},subespacos de R3, vamos determinar a intersecao W1 W2.

Pela Definicao 15, W1 W2 = {(x, y, z) R3 | (x, y, z) W1 e(x, y, z) W2)} = {(x, y, z) R3 | z = 0 e x = 0} = {(0, y, 0) | y R}.

(2) Sejam W1 ={( a11 a12

0 0

)| a11, a12 R

}e W2 =

{( a11 0a21 0

)|

a11, a21 R}, subespacos de M2(R). Entao W1 W2 = {A = (aij)

M2(R) | A W1 e A W2} ={( a11 a12

a21 a22

)| a21 = a22 = 0 e

a12 = a22 = 0}={( a11 0

0 0

)| a11 R

}.

(3) Sejam W1 = {(x, y, z) R3 | x = y + z} e W2 = {(x, y, z) R3 | x =2y}, subespacos de R3. Entao W1 W2 = {(x, y, z) R3 | (x, y, z) W1

65


e (x, y, z) W2)} = {(x, y, z) R3 | x = y + z e x = 2y}. Segue que aintersecaoW1W2 e formado pelas ternas de numeros reais que satisfazemsimultaneamente as equacoes:{

x y z = 0x 2y = 0

o qual e um sistema linear homogeneo. Resolvendo este sistema encon-tramos como solucao W1 W2 = {(2y, y, y) | y R}.

X Exerccios propostos 30.(1) Em cada um dos exemplos anteriores, use o Teorema 6 para verificarse W1 W2 e um subspaco do espaco vetorial em questao. Nos exemplos(1) e (3) interprete geometricamente os conjuntos W1,W2 e W1 W2.

Em todos os itens do exemplo anterior voce deve ter constatado que aintersecao dos subespacos e tambem um subespaco. Vamos mostrar queisto nao e mera coincidencia, mas ocorre sempre.

Proposicao 6. Sejam W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V .A intersecao de subespacos etambem um subespaco. Entao a intersecao W1 W2 e tambem um subspaco de V .

Demonstracao:Para mostrar que W1 W2 e subespaco de V , usaremos o Teorema 6.ComoW1 eW2 sao subespacos, ambos contem o vetor nulo 0 de V . Assim0 W1 W2 6= . Sejam u, v W1 W2 e R, entao u, v W1 eu, v W2, logo u + v W1 e u + v W2. Consequentemente, u + v W1 W2. Alem disso, u W1 e u W2, pois ambos sao subspacos,logo u W1 W2. Como W1 W2 esta de acordo com as hipoteses doTeorema 6, segue que W1 W2 e um subespaco de V . X Exerccios propostos 31.(1) Calcule W1 W2 para cada um dos itens abaixo, sendo:(a)W1 = {(x, y, z) R3 | 3x2y+z = 0} eW2 = {(x, y, z) | 5x2y = 0};(b) W1 =

{(a11 a12a21 a22

)M2(R) |

2i=1 aii = 0

}e

W2 =

{(a11 a12a21 a22

)M2(R) | a12 = a21 = 0

};

(c) W1 = {a3x3 + a2x2 + a1x + a0 P3(R) | a3 = a0 e a2 = a1} eW2 = {a3x3 + a2x2 + a1x+ a0 P3(R) | a3 = a1 = 0}.

(2) Sejam V um espaco vetorial real, I um conjunto de ndices e F ={Wi V | i I} uma famlia de subespacos de V . Mostre que W =

iI Wi e um subespaco de V .


(3) Dados W1 e W2, subespacos de um espaco vetorial V , define-se auniao de W1 e W2 como o conjunto W1 W2 = {u V | u W1 ouu W2} (definicao analoga a de uniao de conjuntos). Mostre, atraves deum exemplo, que a uniao de dois subespacos nem sempre e um subespaco.

(4) Sejam W1,W2 dois subespacos de um espaco vetorial real V . MostrequeW1W2 e um subespaco de V se, e somente se,W1 W2 ouW2 W1.

Soma de subespacos

Definicao 16. Sejam W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V . Asoma de W1 e W2 e o conjunto, denotado por W1 +W2, dado por:

W1 +W2 = {u+ v | u W1, v W2}

Exemplos 19.

(1) Dados W1 = {(x, y, 0) | x, y R} e W2 = {(0, y, z) | y, z R},subespacos de R3, vamos determinar a soma W1 +W2.

Da Definicao 16, segue queW1+W2 = {(x1, y1, 0)+(0, y2, z2) | x1, y1, y2, z2 R} = {(x1, y1 + y2, z2) | x1, y1, y2, z2 R} = {(x, y, z) | x, y, z R} = R3,o qual ja sabemos que e um (sub)espaco vetorial.

(2) Sejam W1 ={( a11 a12

0 0

)| a11, a12 R

}e W2 =

{( a11 0a21 0

)|

a11, a21 R}subespacos de M2(R). Entao W1 +W2 = {A+ B | A W1

e B W2} ={( a11 a12

0 0

)+

(b11 0b21 0

)| a11, a12, b11, b21 R

}={( a11 + b11 a12

b21 0

)| a11, a12, b11, b21 R

}={( c11 c12

c21 0

)| c11, c12, c21

R}. Verifique se W1 +W2 e um subespaco de M2(R).

(3) Sejam W1 = {(x, y, z) R3 | x = y + z} e W2 = {(x, y, z) R3 | x =2y} R3. Entao W1+W2 = {(y1+z1, y1, z1)+(2y2, y2, z2) | y1, z1, y2, z2 R} = {(y1 + z1 + 2y2, y1 + y2, z1 + z2) | y1, z1, y2, z2 R} = {(x, y, z) |x, y, z R} = R3.Observe que dada (x, y, z) R3, tem-se que:(x, y, z) = (x2y, 0, x2y)+(2y, y, zx+2y) W1+W2. Isto confirmaa igualdade W1 +W2 = R3.

Tal como no caso da intersecao, tem-se que soma de subespacos etambem um subspaco. E o que mostraremos na proxima proposicao.


Proposicao 7. Sejam V um espaco vetorial real, W1 e W2 subespacos deV . Entao a soma W1 +W2 e um subspaco de V .

Demonstracao:Para mostrar que W1 +W2 e subespaco de V , usaremos o Teorema 6.A soma de subespacos e

tambem um subespaco. (i) 0 = 0 + 0 W1 +W2, logo 0 W1 +W2 6= ;Sejam u, v W1 +W2 e R. Pela definicao de soma de subespacos,existem u1, v1 W1 e u2, v2 W2, tais que, u = u1 + u2 e v = v1 + v2.Assim,(ii) u+ v = (u1 + u2) + (v1 + v2) = (u1 + v1) + (u2 +w2) W1 +W2, poisu1 + v1 W1 e u2 + v2 W2;(iii) u = (u1+u2) = u1+u2 W1+W2 - pois u1 W1 e 2u2 W2,ja que ambos sao subspacos.Segue de (i), (ii) e (iii) que W1 +W2 e um subespaco de V . X Exerccios propostos 32.(1) Calcule W1 +W2 para cada um dos itens abaixo, sendo:(a)W1 = {(x, y, z) R3 | 3x2y+z = 0} eW2 = {(x, y, z) | 5x2y = 0};(b) W1 =

{(a11 a12a21 a22

)M2(R) |

2i=1 aii = 0

}e

W2 =

{(a11 a12a21 a22

)M2(R) | a12 = a21 = 0

};

(c) W1 = {a3x3 + a2x2 + a1x + a0 P3(R) | a3 = a0 e a2 = a1} eW2 = {a3x3 + a2x2 + a1x+ a0 P3(R) | a3 = a1 = 0}.

Soma direta de subespacos

Definicao 17. Diz-se que um espaco V e soma direta dos subespacos W1e W2 se as seguintes condicoes forem satisfeitas:

(i) V = W1 +W2 (V e soma dos subespacos W1 e W2);

(ii) W1 W2 = {0} (os subespacos so tem em comum o vetor nulo).

Se V e soma direra de W1 e W2, escreve-se V = W1 W2 (le-se: V eUsa-se o smbolo para in-dicar a soma direta. soma direta de W1 e W2).

Exemplos 20.

(1) Sejam W1 = {(x, y, 0) x, y R} e W2 = {(0, 0, z) | z R}. ComoW1+W2 = {(x, y, 0)+(0, 0, z) | x, y, z R} = {(x, y, z) | x, y, z R} = R3eW1W2 = {(x, y, z) | x = y = z = 0} = {(0, 0, 0)}, entao R3 = W1W2.

(2) Sejam W1 = {(x, y, 0) | x, y R} e W2 = {(0, y, z) | y, z R}.Tem-se W1+W2 = {(x1, y1, 0)+(0, y2, z2) | x1, y1, y2, z2 R} = {(x, y, z) |x, y, z R} = R3, poremW1W2 = {(0, y, 0) | y R} 6= {(0, 0, 0)}. LogoR3 e soma de W1 e W2, mas a soma nao e direta.


X Exerccios propostos 33.(1) Escreva o vetor (2, 3, 7) R3 como uma soma, isto e,

(2, 3, 7) = u+ v

com u em W1 = {(x, y, 0) x, y R} e v em W2 = {(0, 0, z) | z R}.Verifique de quantos modos voce pode escrever esta soma.

(2) Como no exemplo anterior, escreva o vetor (2, 3, 7) como uma soma:

(2, 3, 7) = u+ v

com u W1 = {(x, y, 0) x, y R} e v W2 = {(0, y, z) | y, z R} .Verifique de quantos modos voce pode escrever esta soma.

(3) Expresse a conclucao que voce tirou das questoes (1) e (2) atravesde uma proposicao.

Formalizaremos agora o voce deve ter observado nas questoes anteri-ores na seguine proposicao:

Proposicao 8. Se V e soma direta de W1 e W2, entao todo vetor de Vse escreve de modo unico como soma de elementos de W1 e W2.

Demonstracao:Por hipotese, V e soma direta deW1 eW2, entao pelo item (i) da Definicao17, segue que para todo v V , existem vetores w1 W1 e w2 W2, taisque

v = w1 + w2 (9.1)

Resta mostrar a unidade desta soma. Suponha, por absurdo, que tambemexistam u1 W1 e u2 W2 tais que

v = u1 + u2 (9.2)

Fazendo (9.1) - (9.2) obtemos:0 = (w1 u1) + (w2 u2) w1 u1 = u2 w2.

Por um lado, w1 u1 W1 e por outro, u2 w2 W2. Segue entaodesta igualdade que w1 u1 W1 W2 = {0}. Entao w1 = u1 e u2 = w2.Logo a decomposicao em (9.1) e igual a decomposicao em (9.2).

X Exerccios propostos 34.(1) Sejam W1 = {(x, y, z) R3 | x + y + z = 0}, W2 = {(x, y, z) R3 |x = z} e W3 = {(0, 0, z) | z R} subespacos de R3. Determine:

(a) W1 +W2;(b) W1 +W3;


(c) W2 +W3;(d) W1 W2;(e) W1 W3;(f) W2 W3.(g) R3 = W1 W2? R3 = W1 W3? R3 = W2 W3?

(2) Sejam W1, W2 subespacos de um espaco vetorial V . Prove que:(a) Wj W1 +W2, para j = 1, 2;(b) Se W1 W2, entao W1 +W2 = W2;(c) Se W1 W2, entao W1 W2 = W1;(d) Se W1 +W2 = W1, entao W2 W1;

(3) Sejam W1 = {A M3(R) | A e diagonal }, W2 = {A M3(R) | Ae triangular superior } e W3 = {A M3(R) | A e triangular inferior }subespacos de M3(R). Determine:(a) W1 +W2;(b) W1 +W3;(c) W2 +W3;(d) W1 W2;(e) W1 W3;(g) W2 W3.(h) M3(R) =W1 W2? M3(R) =W1 W3? M3(R) =W2 W3?

(4) Sejam n 2 um natrual, W1 = {A Mn(R) | A e simetrica } eW2 = {A Mn(R) | A e anti-simetrica } subespacos de Mn(R). Mostreque Mn(R) =W1 W2.

(5) Sejam W1 = {f F(R,R) | f e par } e W2 = {f F(R,R) | fe mpar } subespacos de F(R,R). Mostre que F(R,R) =W1 W2.

Captulo 10

Gerador de um espaco

Objetivos

Definir combinacao linear Calcular o subespaco gerado por um conjunto Calcular geradores de um subespacos

Nesta unidade iremos introduzir o conceito de combinacao linear, oqual e um dos pilares para se definir base de um espaco vetorial.

1 Combinacao Linear

Considere o vetor u = (2, 3) R2. Usando as operacoes deste espacovetorial podemos escrever

(2, 3) = 2.(1, 0) + 3.(0, 1),

ou seja, expressamos u como uma soma de multiplos escalares dos vetoresv1 = (1, 0) e v2 = (0, 1).

Tambem po

Álgebra linear. profª nazaré

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