algebra lineare esercizio dato il vettore a := (3, 2, 5), scrivere lequazione cartesiana del piano...
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Algebra Lineare
Esercizio
Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per il punto Xo := (2, 6, 4 )
ed ortogonale ad a .
Xo
a
X
2
XXo
0)-( o XXa
3( x + 2 ) + 2( y + 6 ) + 5( z 4 ) = 0
3 x + 2 y + 5 z = 2
Esercizio
Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per il punto Xo := (2, 6, 4 )
ed ortogonale ad a .
2
0)-( o XXa
XXo = ( x + 2 , y + 6 , z 4 )
componenti di a
Xo
a
3 x + 2 y + 5 z = 2
3 x + 2 y + 5 z = 3
PARALLELI
PARALLELI
z5y2x3)z,y,x(L FORMA LINEARE
gradiente di L
)2(L 1
)3(L 1
L : R3 R
nn2211n21 xaxaxa)x,...,x,x(L )a,...,a,a(: n21a
xax )(L)x,...,x,x(: n21x
L : Rn RFORMA LINEARE
)()(L vuavu)(L)(L vuvaua ADDITIVITA’
)()(L xax)(L)( xxa
)(L)L()(L vuvu
)L()(L xx OMOGENEITA’
CONDIZIONI DI LINEARITA’
1zy2x
5z4y3x2
retta
infinite soluzioni3z2yx5 unica soluzione
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
3z2yx5
retta
1zy2x
5z4y3x2unica soluzioneinfinite soluzioni
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
3z2yx5
retta
1zy2x
5z4y3x2unica soluzioneinfinite soluzioninessuna soluzione
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
3z2yx5
1zy2x
5z4y3x2L1(x, y, z ) L2(x, y, z) L3(x, y, z)
)z,y,x(L
)z,y,x(L
)z,y,x(L
)z,y,x(L
3
2
1
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
TRASFORMAZIONE LINEARE
)(L)L()(L vuvu
)L()(L xx CONDIZIONI DI LINEARITA’
L : R3 R3
L : R 2 R 2
L(x) = ( , )
L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2
L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2
L2(x)L1(x)
a11 a12
a21 a22AA =
matrice di
L
a1 = L(e1)
a1 a2
1
1
0
0
1
1
0
0
a2 = L(e2)
1 , 0
1 , 0
0 , 1
0 , 1
( )
L : R 2 R 2
L(x) = ( , )
L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2
L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2
L2(x)L1(x)
a11 a12
a21 a22AA =( )
)(L: xxA
L : R 2 R 2
G : R 2 R 2
AABB
)()(L xBAxB ))(G(L))(GL( xx
)( BA
R p
G R n
R m
LAABB m x nn x p
GL m x pA BA B
m x pA BA B
colonna k-esima di : A BA B
R p
G R n
R m
LAABB m x nn x p
GL
))(G(L))(GL( kk ee
kk )(L bAb
1.....00
..............
0.....10
0.....01
idn : R n R n
Id(ej) = ejn...,,2,1j
In
matrice identica
di ordine n AIAIΑ mn
L : R n R m
L(x) = b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
mm
22
11
b)(L
..........
b)(L
b)(L
x
x
x
A A = (aij)
I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :
I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :f :A B è biettiva se e solo se :
b B , l’equazione :
f (x) = bha una e una sola soluzione
L : R 2 R 2
R2
u
d
b:
c
a: vu
dc
baA
R2
e1
u
e2v
x
b
L(x) = b
e1
L(e1)= L(e1)= u
R2R2
u
e1
e2
v
b
L(x) = b
1)L(rk 1)(rk ARango 1
L : R 2 R 2
d
b:
c
a: vu
dc
baA
R2R2
e1
u
e2v
L(x) = b
Rango 2 2)(rk A
L : R 2 R 2
d
d:
c
a: vu
dc
baA
d
b:
c
a: vu
L( I2 )
I2
u
v
u’
sin|||||||| vu
cos|||||||| vu cos||||||'|| vu vu ,'
dc
baA
d
b,
c
avu
a
c'u
bcad,' vuDet(A)
determinante di A dc
ba vu
prodotto esterno
uvvu
x
y
z
a12
a23
a31
212
231
223 aaaa
a
u
v
)c,b,a(u)'c,'b,'a(v
( c , a ) ( c , a ) (
c’ ,
a’ )
(
c’ ,
a’ )
( a , b ) ( a , b )
( b , c ) ( b , c )
( a’ , b’ )
( a’ , b’ )
( b’
, c’
)
( b’
, c’
)
'a'c
ac
'b'a
ba
'b'a
ba,
'a'c
ac,
'c'b
cb:vu
'b'a
ba,
'a'c
ac,
'c'b
cb:vu
sinvuvu
'c'b
cb
vu
prodotto vettorialecross productprodotto esterno
u v
u u xx vv
convesso
u v
v v xx uu
concavo
u u xx vvvuuv
0
R3R3
L(x) = b
i
L : R 3 R 3
k
u
x x
yy
z z
w
jI3vL( I3 )
Rango 3
u
v
w
v x
w
cos|||||||| uwv
prodotto misto
"c'cc
"b'bb
"a'aa
A
"c
"b
"a
,
'c
'b
'a
,
c
b
a
wvu
Det(A) := "c"b"a
'c'b'a
cba
)( wvu determinante di A
"b"a
'b'a,
"a"c
'a'c,
"c"b
'c'b:wv
"b"a
'b'ac
"a"c
'a'cb
"c"b
'c'ba wvu
"b"a
'b'ac
"c"a
'c'ab
"c"b
'c'ba wvu
"c"b"a
'c'b'a
cba
)( wvu =
A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
D E T E R M I N A N T E di A :
a11'
Det a a( ) 'A 11 11
A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Det a a( ) 'A 11 11
a12'
a a12 12'
D E T E R M I N A N T E di A :
A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33a13
'
Det a a( ) 'A 11 11 a a12 12' a a13 13
'
D E T E R M I N A N T E di A :
A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a Det Aiji j
ij' : ( ) ( ) 1complemento algebricoo cofattore o aggiunto di aij
A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Det a a( ) 'A 11 11 a a12 12' a a13 13
'
Regola di LAPLACE
0
R3R3
L(x) = b
i
L : R 3 R 3
k
u
x x
yy
z z
w
jI3vL( I3 )
Rango 3
0)(Det ABIETTIVA
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