ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

GRUPO:

PRESENTADO POR:

TUTOR:

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo registra los conocimientos adquiridos en la unidad 3, logrando la resolución de una variedad de ejercicios y la habilidad de plantear alternativas de solución de las Secciones cónicas, Sumatorias y Productorias. Es así que de acuerdo al estudio teórico y el análisis de casos modelos que se presenta en el material del curso en la unidad 3, los cuales sirven como herramienta Matemática en la solución a situaciones problema de su campo social y académico.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

RESOLVER CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS PROPUESTOS

1. De la siguiente elipse: x2+4 y2−4 x−8 y−92=0 Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

Solución:

x2+4 y2−4 x−8 y−92=0

Escribimos en forma canónica

x2−4 x2+4 y2−8 y=92

(x¿¿2−4 x+4)+4( y¿¿2−2 y+1)=92+4+4¿¿

Completamos los cuadrados

( x−2 )2

100+

4 ( y−1 )2

100=100

100

( x−2 )100

+ ( y−1 )2

25=1

h=2 , k=1

a=10

b=5

c=√75=5√3

centro (2,1 )

focos f (h±c , k )

f ¿

f ´ ¿

vérticesV (h± a , k )

v (12,1 )

v ´ (−8,1 )

Solución 2: Dividimos todo entre 4 

( 14 ) x2+ y2−x−2 y−23=0

( 14 ) x2−x+ y2−2 y−23=0

( 14 ) x2−x+ y2−2 y+1−1−23=0

( 14 ) x2−x+ ( y−1 )2−1−23=0

( 14 ) x2−x+ ( y−1 )2=24

Multiplicamos todo por 4:

x2−4 x+4 ( y−1 )2=96

x2−4 x+4−4+4 ( y−1 )2=96

( x−2 )2−4+4 ( y−1 )2=96

( x−2 )2+4 ( y−1 )2=100

Dividimos todo entre 100:

( x−2 )2

100+

4 ( y−1 )2

100=1

( x−2 )2

102 + ( y−1 )2

52 =1

En toda elipse, a>b

Luego será a=10, b=5

Esta ecuación que hemos obtenido se corresponde con

(x−x0 )2

a2 +( y− y0 )2

b2 =1

En donde x0∧ y0son las coordenadas del centro, a & b son la longitud del eje mayor y menor respectivamente, luego:

c (2, 1)

Distancia desde el foco al centro de la elipse:

c=√a2−b2=√102−52=√75

La excentricidad de la elipse vale:

e= ca=√75

10

La distancia focal nos ayudará a hallar las coordenadas de los focos. Como la elipse es “horizontal” (eje horizontal más largo que le vertical) las coordenadas de los focos serán las mismas que las del centro. En cuanto a sus abscisas

f (x0+c , y0 )= f (2+√75 ,1)

f∗( x0−c , y0 )=f (2−√75 ,1)

2. De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:

√ ( x−c )2+ y2+√ (x+c )2+ y2=2a

En la ecuación:

x2

a2 + y2

b2 =0

Solución:

(√(x−c )2+ y2 )2=(2a−√(x−c)2+ y2 )2

(x−c)2+ y2=4 a2−2 (2a ) √ (x−c )2+ y2+ (x−c )2+ y2

x2+2xc+c2+ y2=4a2−4a √( x−c )2+ y2+x2−2 xc+c2+ y2

2 xc+2 xc=4a2−4 a√( x−c )2+ y2

4 xc=4 ¿

xc=a2−a√ ( x−c )2+ y2

( xc−a2 )2=(−a√ ( x−c )2+ y2)2

( xc )2−2 xca2+a4=(−a )2 (√( x−c )2+ y2 )2

x2c2−2xc a2+a4=a2 [ ( x−c )2+ y2 ]

x2c2−2xc a2+a4=a2 [ x2−2 xc+c2 y2 ]

x2c2−2xc a2+a4=a2 x2−2 xca2+a2 c2+a2 y2

c2=a2−b2

x2c2+a4=a2 c2+a2 x2+a2 y2

x2 (a2−b2 )+a4=a2 (a2−b2 )+a2 x2+a2 y2

x2 a2−x2b2+a4=a4−a2b2+a2 x2+a2 y2

−x2b2=−a2b2+a2 y2

a2b2=x2 b2+a2 y2

Dividido para a2 b2

x2 b2

a2 b2 + a2 y2

a2b2 =a2 b2

a2 b2

x2

a2 + y2

b2 =1

3. De la siguiente hipérbola: −x2+4 y2−2x−16 y+11=0 Determine:

a. Centro b. Focos c. Vértices

Solución:

−x2+4 y2−2x−16 y+11=0

Se debe escribir a forma cónica

(−x2−2 x )+(4 y2+16 y )=−11

−( x2+2x+1 )+4 ( y2+4 y+4 )=−11−1+16

−¿¿

¿¿

h=−1 , k=−2

a=1 , b=2

b2=c2−a2

c2=b2+a2

c2=4+1

c=√5

centro (−1,−2 )

vertices (h , k ± a )

v (−1 ,−1 )

v ´ (−1 ,−3 )

focos (h , k ±c )

f ¿

f ´ ¿

4. Deducir la ecuación de la hipérbola: x2

a2 −y2

b2 =1

Apartir de la ecuación: √ ( x−c )2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=±2a

Solución:

(√( x−c )2+ y2 )2=(2a−√ ( x+c )2+ y2 )2

( x−c )2+ y2=4a2−4 a√( x+c )2+ y2+( x−c )2+ y2

x2−2 xc+c2+ y=4 a2−4a√ ( x+c )2+ y2+x2−2 xc+c+ y2

4 a√ ( x+c )2+ y2=4a2+4cx

Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

(a√ (x+c )2+ y2 )2=(a2+cx )2

a2 [ ( x+c )2+ y2 ]=a4+2a2 c+c2 x2

a2 [ x2+2cx+c2+ y2 ]=a4+2a2 cx+c2 x2

a2 x2+2a2cx+a2 c2+a2 y2=a4+2 a2 cx+c2 x2

a2 x2−c2 x2+a2 y2=a4−a2 c2

(a2−c2 ) x2+a2 y2=a2 (a2−c2 )

Dividiendo paraa2 ( a2−c2 )

x2 (a2−c2 )a2 (a2−c2 )

+ a2 y2

a2 (a2−c2 )=

a2 ( a2−c2 )a2 ( a2−c2 )

x2

a2 + y2

a2−c2 =1

finalmente , llamandob2=a2−c2tenemos

x2

a2 + y2

b2 =1

Ecuación canónica de la elipse con centro (0,0) y eje focal horizontal

5. Demostrar que la ecuación x2+ y2+6x−2 y+6=0 es una circunferencia. Determinar:

a. Centro b. Radio

Solución:

x2+ y2+6x−2 y+6=0

x2+6 x+9+ y2−2 y+1=−6+9+1

¿

¿

Centro (-3,1)

Radio =2

6. De lasiguiente par ábola y=2x2+4 x−6 Determine :.

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

Solución:

y=2x2+4 x−6

y2=x2+2 x−3

y2+3=(x2+2 x+1)

y2+3+1=¿

y2+ 4

1=¿

( y+82 )=¿

( x+1 )2=12( y+8)

4 P=12=¿ P=1

8

V (−1 ,−8 )

Foco(−1 ,−8+ 18 )

Foco(−1 ,−638 )

y=−8−18=−64−1

8

y=−658

Directríz

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3), y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Escribir la ecuación de la recta de forma general.

m1=m2 Puntos (4,1) y (-2, 2)

m1=y2− y1

x2−x1= 2−1

−2−1= 1

−6

m2=y2− y1

x2−x1

−16

=y2− (−3 )

x2−2=

y2+3x2−2

−16

=y2− (−3 )

x2−2=

y2+3x2−2

−16

( x−2 )= y2+3

−( x−2 )=6 y2+18

−x+2=6 y2+18

−x+2−6 y2−18=0

−x−6 y2−16=0

Se multiplica x (-1)

Ecuación general de la recta x+6 y+16=0

8. Calcular las siguientes sumatorias:

a).

∑k =1

5

(−1 )k+1 (2k−1 )2

(−1 )2 ¿

(−1 )3 ¿

(−1 )4 ¿

(−1 )5 ¿

(−1 )6 ¿

1−9+25−49+81=49

b).

∑k =1

4 (−2 )k +1

k

(−2 )2

1=4

(−2 )3

2=−4

(−2 )4

3= 16

3

(−2 )5

4=−32

4=−8

4−4+ 163

=−81

=16−243

=−83

9. Calcular las siguientes productorias:

a.

∏i=−2

4

2 i+5

2 (−2 )+5=1

2 (−1 )+5=3

2 (o )+5=5

2 (1 )+5=7

2 (2 )+5=9

2 (3 )+5=11

2 (4 )+5=13

13∗33∗45∗7=135.135

b.

∏i=1

3 ii+1

+2

12+2=5

2

23+2=8

3

34+2=11

4

( 52 )( 8

3 )(114 )=55

3

CONCLUSIÓN

La unidad vista contribuyó en el desarrollo de habilidades para describir e interpreta analítica y críticamente los diversos tipos de ecuaciones e inecuaciones, a través del estudio teórico y el análisis de casos modelos, para que puedan ser utilizados como herramienta matemática en la solución a situaciones de problemas en nuestro campo social y académico.

BIBLIOGRAFÍA

Lectura y práctica de los ejercicios contenidos en el material de estudio del curso UNIDAD 3 http://152.186.37.91/inter0804_20152/mod/lesson/view.php?id=1907

Rondón, J. (2011). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 278 – 328. Recuperado de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/301301-AVA-INT-2015-1-INT_8- 03/unidad_tres.pdf