algebraische transformationsgruppen und invariantentheorie algebraic transformation groups and...

DMVSeminar Band 13

Springer Basel AG

Algebraische "D'ansformationsgruppen und Invariantentheorie Algebraic "D'ansformation Groups and Invariant Theory

Editedby

Hanspeter Kraft Peter Siodowy Tonny A. Springer

Springer Basel AG

The first seminar was made possible through the support of the Stiftung Volkswagen werk

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie = Aigebraic transformation groups and invariant theory / ed. by Hanspeter Kraft ... - Basel; Boston; Berlin : Birkhäuser,1989

(DMV-Seminar ; Bd. 13) ISBN 978-3-0348-7663-6 ISBN 978-3-0348-7662-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-7662-9

NE: Kraft, Hanspeter [Hrsg.]; PT; Deutsche Mathematiker-Vereinigung: DMV-Seminar

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© 1989 Springer Basel AG Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1989

ISBN 978-3-0348-7663-6

VORWORT

Der. vorliegende Band enthält eine Reihe von einführenden Vorlesungen, die von verschiedenen Autoren im Rahmen von zwei DMV-Seminaren zum Thema "Algebraische Transjormationsgruppen und Invariantentheorie" gehalten wurden.

Entsprechend der allgemeinen Zielsetzung der DMV-Seminare sollten sowohl grundlegende Techniken und Resultate vorgestellt als auch Einblicke in aktuelle Entwickl~ngen gegeben werden. Was die Grundlagen anbetrifft, so haben wir sie hier nicht in vollem Umfang widergegeben. Im Bedarfsfall mag der Leser unsere Bücher "Geometrische Methoden in der Invariantentheorie"l und "Invariant Theory"2 zu Rate ziehen, auf die sich die einführenden Vorträge stützten. Leider konnten auch nicht alle aktuellen Entwicklungen berücksichtigt werden, über die im Seminar berichtet wurde.

Die Ziele der hier vorliegenden Beiträge, auf deren Inhalt wir in der Einführung ausführlicher eingehen werden, sind entsprechend unterschiedlicher Natur. Einige liefern Darstellungen bereits publizierter Theorien, wobei sie allerdings ein größeres Gewicht auf Motivation und die Ausführung von Beispielen legen, als dies in den Originalarbeiten möglich war. Andere leiten grundlegende Resultate auf neue "reise her oder stellen sie aus anderer Sicht dar. Schließlich werden auch noch einzelne Einblicke in aktuelle Forschungsrichtungen gegeben.

Wir hoffen, daß durch diesen Band zahlreiche Resultate der Theorie der algebraischen Transformationsgruppen leichter zugänglich geworden sind, und daß der Leser mit ihm eine nützliche Basis für die Lektüre aktueller Forschungsarbeiten erhält.

Wir danken all denen, die uns mit Vorträgen während der Seminare unterstützt und Beiträge zu diesem Band geliefert haben, den Teilnehmern, die durch ihre Fragen, Wünsche und Mitarbeit zum Gelingen der Seminare beigetragen haben, sowie den Herren Professoren M. Barner und G. Fischer, die durch ihre Initiative und organisatorische Hilfe diese Veranstaltung überhaupt erst ermöglichten.

Basel, im August 1989 H. Kraft, P. Slodowy, T. A. Springer

1 H. Kraft; Aspekte der Mathematik 01, Vieweg Verlag, 1984 2 T. A. Springer; Lecture Notes in Math. 585, Springer Verlag, 1977

INHALTSVERZEICHNIS

Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Aktionen reduktiver Gruppen auf Varietäten......................... .... 3

TONNY A. SPRINGER

Klassische Invariantentheorie: Eine Einführung....................... ... 41

HANSPETER KRAFT

Local Properties of Algebraic Group Actions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63

FRIEDRICH KNOP, HANSPETER KRAFT,

DOMINGO LUNA, THIERRY VUST

The Picard Group of a G-Variety. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77

FRIEDRICH KNOP, HANSPETER KRAFT, THIERRY VUST

Der Scheibensatz für algebraische Transfonnationsgruppen. . . . . . . . . . . . . .. 89

PETER SLODOWY

Optimale Einparameteruntergruppen für instabile Vektoren .............. 115

PETER SLODOWY

Zur Geometrie der Bahnen reller reduktiver Gruppen .................... 133

PETER SLODOWY

Nonnale Einbettungen von sphärischen homogenen Räumen ............. 145

FRANZ PAUER

Fractions Rationelles Invariantes par un Groupe Fini: Quelques Exemples 157

MICHEL KERVAIRE, THIERRY VUST

Literatursammlung ...................................................... 181

ANSCHRIFT DER AUTOREN

Michel Kervaire Universite de Geneve Section de MatMmatiques 2-4, rue du Lievre Case post ale 240 CH-1211 Geneve 24 SUISSE

Hanspeter Kraft Mathematisches Institut Universität Basel Rheinsprung 21 CH-4051 Basel SCHWEIZ

Franz Pauer Institut für Mathematik Universität Innsbruck Technikerstrasse 25 A-6020 Innsbruck ÖSTERREICH

Tonny A. Springer Mathematisch Instituut Rijksuniversiteit Budapestlaan 6 NL-3508 TA U trecht NEDERLAND

Friedrich Knop Mathematisches Institut Universität Basel Rheinsprung 21 CH-4051 Basel SCHWEIZ

Domingo Luna Institut Fourier Universite de Grenoble F-38402 Saint-Martin-d'Heres FRANCE

Peter Slodowy Mathematisches Institut B Universität Stuttgart Paffenwaldring 57 D-7000 Stuttgart 80 WESTDEUTSCHLAND

Thierry Vust Universite de Geneve Section de MatMmatiques 2-4, rue du Lievre Case postale 240 CH-1211 Geneve 24 SUISSE

EINFÜHRUNG

Wir wollen nun kurz auf den Inhalt der einzelnen Beiträge dieses Bandes eingehen.

T.A. SPRINGER resümiert in "Aktionen reduktiver Gruppen auf Varietäten" die grundlegenden Definitionen und Resultate aus der Theorie der algebraischen Gruppen und ihrer Aktionen auf algebraischen Varietäten. Ausführliche Beachtung wird dabei den verschiedenen Definitionen der Reduktivität und ihrer invariantentheoretischen Konsequenzen geschenkt (Endlichkeitssatz für die Invarianten von Aktionen auf affinen Varietäten). Zudem werden die Techniken der Poincan~-Reihen und der Parametersysteme eingeführt.

In dem Artikel "Klassische Invariantentheorie" stellt H. KRAFT klassische Resultate über die Invarianten von Vektoren und Kovektoren, von Tensoren und Matrizen bezüglich der allgemeinen und speziellen linearen Gruppe in zeitgemäßer Formulierung vor. Diese Ergebnisse hatten ihren Ausgang in algebraischen und geometrischen Fragestellungen des letzten Jahrhunderts. Ihre Wechselbeziehungen bildeten einen Kernpunkt des Buches "Classical Groups" von WEYL.

Der Vier-Autoren-Beitrag "Local Properties of Algebraic Group Actions" präsentiert einen neuen Beweis des Einbettungssatzes von SUMIHIRO, der das lokale Studium von Aktionen zusammenhängender algebraischer Gruppen G auf normalen Varietäten auf die Betrachtung von linearen Aktionen in projektiven Räumen zurückführt. In diesem Zusammenhang werden G-Linearisierungen und Picardgruppen algebraischer Gruppen untersucht. In dem sich anschliessenden Artikel "The Picard Group of a G- Variety" wird diese Thematik noch einmal aufgegriffen und in mehrfacher Hinsicht ergänzt.

Die drei folgenden Aufsätze von P. SLODOWY führen in neue Techniken ein, die in der Invarianten- und Modulitheorie der letzten Jahre von großer Bedeutung geworden sind. "Der Scheibensatz für algebraische Transformationsgruppen" stellt LUNAs Lokalisationsprozeß mittels etaler Scheiben an abgeschlossenen Bahnen vor und erläutert ihn an verschiedenen Beispielen. In einem Anhang gibt F. KNOP einen kurzen Beweis dieses wichtigen Satzes. In "Optimale Einparameteruntergruppen für instabile Vektoren" wird die HILBERT-MuMFORD'sche Theorie der instabilen Vektoren nach KEMPF und ROUSSEAU verfeinert. Als Konsequenzen dieser Verfeinerung erhält man u.a. Stabilitätskriterien und Rationalitätsaussagen. Nach Ideen von KEMPF und NESS wird im Artikel "Zur Geometrie der Bahnen reeller reduktiver Gruppen" der Abstand zu Null auf der Bahn einer reellen reduktiven Gruppe in einem reellen Vektorraum untersucht. Für die zahlreichen Anwendungen dieser Theorie wird diesmal auf die Literatur verwiesen.

F. PAUER gibt in "Normale Einbettungen von sphärischen homogenen Räumen" einen Einblick in die von LUNA und VUST begründete Klassi-

2 Einführung

fikationstheorie der äquivarianten (partiellen) Kompaktifizierungen von homogenen Räumen reduktiver Gruppen. Ein Spezialfall dieser Theorie-für sogenannte symmetrische Varietäten-hat kürzlich alte Probleme der abzählenden Geometrie von Quadriken erhellen können (DECONCINI, PROCESI).

Im letzten Artikel unseres Berichtes, "Fractions rationelles invariantes par un graupe finite von M. KERVAIRE und TH. VUST, wird dargelegt, wie neue Resultate von SALTMAN über unverzweigte Brauergruppen zur negativen Lösung eines alten Problems der Invariantentheorie, nämlich der Frage nach der rein transzendenten Erzeugung von Invariantenkörpern endlicher Gruppen (NOETHER, BURNSIDE) geführt haben.

Der Band schließt ab mit einer "Literatursammlung" , welche eine große Anzahl von Literaturangaben zu algebraischen Transformationsgruppen und Invariantentheorie enthält. Sie ist in keiner Weise vollständig, sondern stellt eine von den Forschungsinteressen der Autoren und von vielen Zufälligkeiten beeinflusste Sammlung dar. Wir haben sie auf Wunsch vieler Teilnehmer angefügt und hoffen, daß sie dem einen oder andern Leser nützlich sein wird.

AKTIONEN REDUKTIVER GRUPPEN .. AUF VARIETATEN

Tonny A. Springer

Inhaltsverzeichnis

I. Einführung § 1 Affine Varietäten und Morphismen § 2 Algebraische Gruppen und Darstellungen. § 3 G-Varietäten ................ .

11. Reduktive Gruppen § 1 Lineare Reduktivität § 2 Beispiele . . . . . . .

111. Endlichkeitssatz, algebraische Quotienten § 1 Invariantenringe . . . . . . . § 2 Algebraische Quotienten . . . . . . . . § 3 Eigenschaften von (G\X, 7r) . . . . . . § 4 Isotypische Zerlegung und Kovarianten § 5 Die Zerlegung von k[Gl ........ . § 6 Gruppencharaktere .......... .

IV. Äquivalenzrelation einer Gruppenaktion § 1 Definitionen und Hilfssätze . § 2 Satz von ROSENLICHT . . . . § 3 Affine Quotienten . . . . . .

V. Andere Reduktivitätsbegriffe § 1 Gruppentheoretische Reduktivität . § 2 Geometrische Reduktivität .....

VI. Graduierte Algebren, Poincare-Reihen § 1 Poincare-Reihen .. § 2 Parametersysteme . . . . § 3 M-Sequenzen . .... . § 4 Cohen-Macaulay Moduln § 5 Invariantenringe von endlichen Gruppen § 6 Einige allgemeine Sätze .

Literaturverzeichnis ................ .

4 4 5

6 8

11 12 13 16 17 18

20 22 25

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29 31 32 34 36 37 39

4 Tonny A. Springer: Aktionen reduktiver Gruppen

I. Einführung Wir erinnern an einige Grundbegriffe aus der algebraischen Geometrie und der Theorie der linearen algebraischen Gruppen. Man findet diese z.B. im Anfang von [Sp3] oder im Anhang I von [Kr]. Bei manchen der besprochenen Ergebnisse braucht man nur wenig Vorkenntnisse aus diesen (oder anderen) Gebieten.

§ 1 Affine Varietäten und Morphismen Es sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. (Der Leser, der keinen allgemeinen Grundkörper mag, kann für k den Körper C der komplexen Zahlen nehmen.)

Eine affine algebraische Varietät über k ist ein Paar (X, k[X]), wo X ein topologischer Raum und k[X] eine k-Algebra von k-wertigen stetigen Funktionen auf X ist. Dann ist die Algebra k[X] reduziert, d.h. sie hat keine nilpotenten Elemente i= 0, und von endlichem Typ über k, d.h. Quotient einer Polynomalgebra k[T1 , ••• , Tn].

Die Punkte von X sind die k-Homomorphismen k[X] -t k. Die Topologie auf X ist die Zariski- Topologie, deren abgeschlossene Mengen die NullstelIengebilde V(I) = {x E X I xCI) = O} sind; hier durchläuft I die Menge der Ideale von k[X].

Die Funktionen aus k[X] heißen regulär, und wir sagen kurz (und etwas ungenau), daß X eine affine Varietät mit Koordinatenring k[X] ist. Jede endlich erzeugte reduzierte k-Algebra ist ein k[X). Es ist klar, daß k[X) ein k-Vektorraum ist mit höchstens abzählbarer Dimension.

Ist Y c X eine abgeschlossene Teilmenge und I C k[X) das Ideal der auf Y verschwindenden Funktionen, so ist Y eine affine Varietät mit Koordinatenring k[Y) = k[X)/ I.

Ein Morphismus c.p : X -t Y von affinen Varietäten ist eine stetige Abbildung induziert durch einen Algebra-Homomorphismus c.p* : k[Y]-t k[X). D.h.: c.p(x) = x 0 c.p* für xE X.

Für zwei affine Varietäten X und Y existiert eine affine Produktvarietät X X Y mit k[X x Y] = k[X]0k k[Y].

§ 2 Algebraische Gruppen und Darstellungen Die allgemeine lineare Gruppe G Ln der invertierbaren n x n-Matrizen über k ist eine affine Varietät mit k[GLn ) = k[T;j,det(T;j)-lh9,j::;n. GLn ist eine offene

Teilmenge von kn2 •

Eine lineare algebraische Gruppe G ist eine Untergrupppe einer GLn, die zugleich in GLn abgeschlossen ist. Dann ist G selbst eine affine Varietät mit Koordinatenring k[G) = k[GLnl/ I, wobei I das Ideal der auf GLn verschwindenden regulären Funktionen ist. Die Gruppenoperationen von G, nämlich die Multiplikation (g, h) 1-+ gh und das Inverse g 1-+ g-1, sind Morphismen

1.3 G-Varietäten 5

von Varietäten G X G -t G bzw. G -t G.

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über k. Die Gruppe GL(V) der bijektiven linearen Transformationen von V hat die kanonische Struktur einer linearen algebraischen Gruppe; jede Basiswahl in V liefert einen Isomorphismus mit einer GLn , n = dirn V. Ein Homomorphismus von algebraischen Gruppen g : G -t GL(V), d.h. g ist ein Gruppenhomomorphismus und gleichzeitig ein Morphismus von algebraischen Varietäten, heißt eine rationale Darstellung von G (auf V). Wir sagen auch, daß V ein G-Modul ist. Ein Unterraum W C V heißt G-invariant oder auch G-stabil falls g(g)W = W gilt für alle 9 E G. Die Einschränkung glw : G -t GL(W) ist dann ebenfalls eine rationale Darstellung. Ein typisches Beispiel ist der Fixpunktraum V G = {v E V I g(g)v = v für alle 9 E G}.

Wir werden auch unendlichdimensionale Darstellungen benützen. Es sei G wie oben und es sei V ein beliebiger k-Vektorraum. Ein Gruppenhomomorphismus g: G -t GL(V) heißt eine lokal endliche Darstellung von G, falls jeder Vektor v E V in einem endlichdimensionalen Teilraum W von Venthalten ist mit der Eigenschaft, daß g(g)W = W gilt für alle 9 E G und dass die Einschränkung glw : G -t GL(W) eine rationale Darstellung im obigen Sinne ist. Wir sagen dann auch, daß G lokal endlich (und rational) auf V wirkt oder daß V ein lokal endlicher G-Modul ist.

Wir werden meist voraussetzen, daß der Vektorraum V höchstens abzählbare Dimension hat. In diesem Fall ist die lokale Endlichkeit von g gleichbedeutend mit folgendem: Es gibt eine Folge VI C V2 C ... von endlichdimensionalen G-invarianten Teilräumen, so daß V = Ui>l V; und daß alle Restrik-tionen glv, rationale Darstellungen sind. -

§ 3 G-Varietäten Es sei X eine affine Varietät und G eine lineare algebraische Gruppe, die auf X im mengentheoretischen Sinne wirkt. Wir haben also eine Abbildung a : (g, x) I---t g.x mit den üblichen Eigenschaften. Wir sagen, daß X eine G- Varietät ist oder eine Varietät mit G-Aktion, wenn a : G x X -t X ein Morphismus von Varietäten ist. Es gibt dann also einen Algebra-Homomorphismus

a* : k[X) -t k[G X X) = k[G)0k k[X)

mit (a* f)(g, x) = f(g.x). Wir haben damit eine Darstellung g von G auf k[X) definiert durch

(g(g)f)(x) = f(g-l.x).

Für diese gilt:

Lemma. Die Darstellung g ist lokal endlich und rational.

Ist nämlich f E k[X) und a* f = L: hi 0 J; mit hi E k[G), J; E k[X), so liegen alle g(g)f im Teilraum aufgespannt von den fi. Der Spann der g(g)f ist also


endlichdimensional und natürlich auch G-invariant, und man sieht leicht, dass die Darstellung von G auf diesem Spann rational ist.

Insbesondere haben wir eine lokal endliche rationale Darstellung>. von G auf k[G] durch Linkstranslationen:

(>.(g)f)(h) = f(g-lh),

und eine analoge Darstellung e durch Rechtstranslationen.

11. Reduktive Gruppen

§ 1 Lineare Reduktivität Es sei G eine lineare algebraische Gruppe über k.

1.1. Definition. G heißt reduktiv, wenn folgendes gilt: Ist e : G ---t GL(V) eine endlichdimensionale rationale Darstellung und W C V ein G-invarianter Teilraum, dann existiert ein komplementärer G-invarianter Teilraum W' C V: V=W$W'.

(Wir sollten eigentlich sagen linear reduktiv; die anderen Begriffe der Reduktivität werden aber nur in Kapitel V erscheinen, wo sie kurz besprochen werden.)

Wir erinnern daran, daß eine Darstellung e : G ---t GL(V) irreduzibel heißt, wenn V -:f 0 ist und es keine G-invarianten Teilräume von V gibt außer o und V.

1.2. Satz. Die folgenden Eigenschaften einer linearen algebraischen Gruppe G sind äquivalent:

(a) G ist reduktiv.

(b) G hat die Eigenschaft der Definition für eine beliebige lokal endliche Darstellung.

(c) G hat die Eigenschaft der Definition für den Fall V = k[X] und W = k mit der Darstellung>. durch Linkstranslation.

(d) Es sei e : G ---t GL(V) eine lokal endliche Darstellung und V G der Teilraum der Fixpunkte unter G. Dann gibt es eine surjektive lineare Abbildung Pv : V - V G mit p~ = Pv und Pv 0 e(g) = Pv für alle gE G.

(e) Jede lokal endliche Darstellung e : G ---t GL(V) ist vollreduzibel, d.h. V ist direkte Summe von endlichdimensionalen G-invarianien irreduziblen Teilräumen.

BEWEIS: Wir beweisen die Implikationen (a) => (b) => (e) => (c) => (d) => (a).

II.1 Lineare Reduktivität 7

(a) ::::} (b): Es sei G reduktiv, und es sei e : G -+ G L(V) eine lokal endliche Darstellung. Wir nehmen eine Folge VI C V2 C ... von endlichdimensionalen Ginvarianten Teilräumen wie oben und setzen Vo = (0). Sei Wein G-invarianter Teilraum von V. Weil G reduktiv ist, gibt es endlichdimensionale G-invariante Teilräume W~, W~ (n ~ 1) von G mit W n Vn = W~ EB (W n Vn-t), Vn = W~ EB W~ EB Vn- 1 . Dann hat die direkte Summe W = EBn>1 W~ die in der Definition verlangten Eigenschaften. -

(b) ::::} ( e): Es sei e wie in (e) und man setze (b) voraus. Mit denselben Bezeichnungen wie oben nehme man jetzt eine Zerlegung Vn = V~ EB Vn - 1 in Ginvariante Teilräume. Dann ist V = EBn>l V~, und es genügt daher, (e) im endlichdimensionalen Fall zu beweisen. Das sei dem Leser überlassen.

(e) ::::} (c): Dieser einfache Beweis sei ebenfalls dem Leser überlassen.

(c)::::} (d): Wenn (c) gilt, gibt es ein invariantes Integral I auf k[X]: d.h. eine lineare Funktion I : k[G] -+ k mit 1(1) = 1 und I(>.(g)f) = 1(1) für alle 9 E G, f E k[X]. Es sei jetzt e wie in (d). Aus der lokalen Endlichkeit folgt, dass es eine Basis (e;)i~l von V gibt,so daß

e(g)ej = L eij(g)ei mit eij E k[G]. i 2:: 1

Man definiere PV durch

pv(ej) = LI(eij)ei. i

Ohne Mühe zeigt man nun, daß diese lineare Abbildung die gewünschten Eigenschaften hat; Pv wird also gefunden durch Integration von vektorwertigen regulären Funktionen auf G.

(d)::::} (a): Es seien V und W wie in der Definition. Wir haben eine rationale Darstellung g von G auf V /W und damit eine Darstellung 17 im Vektorraum Hom(V/W, V) gegeben durch

l7(g)f = e(g)fg(g)-I.

Es sei q die Projektion V ~ V/Wo Man wähle fE Hom(V/W, V) so, daß qof = id. Es sei A (bzw. B) der von allen Elementen l7(g)f (bzw. l7(g)f - 1) erzeugte Teilraum von Hom(V /W, V). Dann ist B =f A, weil das Bild von allen l7(g)f - f in W liegt. Weil A von Bund f erzeugt wird, hat B Kodimension 1 in A. Es sei feine Linearfunktion auf A mit Nullstellenraum B. Sie ist eindeutig bis auf einen Skalarfaktor. Die Darstellung 17 induziert eine rationale Darstellung T von G im Dualraum A* von A, und (A*)G wird von € aufgespannt. Anwendung von (d) auf T zeigt jetzt, daß es eine Linearform >. auf A* gibt mit Nullstellenraum (PA. - id)A*. Aber daraus folgt, daß es h E AG gibt mit €(h) =f O. Dann ist h(V/W) ein zu W komplementärer Teilraum. 0


Wir werden das folgende Korollar oft benützen.

1.3. Korollar. G ist genau dann reduktiv, wenn ezne lineare Abbildung I : k[G]--+ k existiert mit I(I) = 1 und Io >-.(g) = I für alle g E G.

Wir nennen eine solche Funktion I (oder I G ) kurz ein (invariantes) Integral auf k[G].

1.4. Bemerkung. Eine weitere äquivalente Eigenschaft zu (a), (b), ... , (e) ist die folgende, welche man sich leicht überlegt (vgl. Aufgabe 1):

(f) Ist 1 : V --+ Wein surjektiver G-Homomorphismus zwischen lokal endlichen G-Moduln, so gilt J(VG ) = W G .

§ 2 Beispiele Wir geben jetzt einige Beispiele reduktiver Gruppen:

2.1. Endliche Gruppen. Man überzeugt sich leicht, dass eine endliche Gruppe G die Struktur einer linearen algebraischen Gruppe über k hat, wobei k[G] die k-Algebra aller Funktionen G --+ k ist, mit punktweiser Multiplikation. Bekanntlich hat k[G] auch eine andere Algebrastruktur, die der Gruppenalgebra. (Siehe auch 111.5 und III, Aufgabe 6.)

Wenn es auf k[G] ein Integral I gibt, dann ist 1 = I(I) = IGII( 8), wobei 8(g) = 1 ist für g = e und 8(g) = 0 sonst. Also kann G nicht reduktiv sein, wenn die Charakteristik von k die Ordnung IGI teilt. Ist dies nicht der Fall, so definiert

I(J) = IGI-1 L l(g) gEG

ein Integral. Nach Korollar 1.3 ist G dann reduktiv.

2.2. Tori. Die Gruppe GL1 ist die multiplikative Gruppe Gm des Körpers k. Man hat k[Gm ] = k[T, T- 1]. Ein Torus über k ist eine algebraische Gruppe, die isomorph zu einern Produkt (Gm)n ist. Nun sieht man unmittelbar ein, daß

I : L aiTi f-t ao

ein Integral auf k[G m ] definiert. Nach dem Korollar 1.3 sind alle Tori reduktiv. (Nach einern Satz von NAGATA sind, wenn die Charakteristik von k nicht Null ist, die Tori auch die einzigen zusammenhängenden linear reduktiven Gruppen; siehe V.1.2.)

2.3. GLn in Charakteristik o. Es sei jetzt Char k = 0 und G = GLn . Wir erinnern daran, daß

A = k[GLn] = k[Tij, D-1 h~i,j~n, wobei D = det(Tij ).

Wir beweisen nun, daß G reduktiv ist. Es sei B der Teilraum von A, aufge-

11.2 Beispiele 9

spannt von den g.f - f (g E G, fE A). Es genügt zu zeigen, daß 1 t/. B. Dann gibt es nämlich eine lineare Funktion I auf A mit 1(1) = 1 und 1(J) = 0 für f E B. Das ist offenbar ein Integral, und die Behauptung folgt mit Korollar 1.3.

Die Aussage 1 E B ist gleichbedeutend mit der folgenden Aussage: Es gibt eine ganze Zahl N ~ 0 und endlich viele fh E k[Tij ], gh E G so, daß

D N = 2: (9h.!h - (det 9h)N fh). h

Wir können voraussetzen, daß die !h homogene Polynome sind (vorn Grad nN). Es ist klar, dass (*) unmöglich ist, wenn N = O. Um die Unmöglichkeit für beliebiges N zu beweisen, benutzen wir den Differentialoperator

o 0 0 0 n = 2: sgn(O") ... = det(-) t7ESn aT1,t7(1) aT2,t7(2) aTn,t7(n) aTij

Hier ist Sn die symmetrische Gruppe und sgn( 0") das Vorzeichen von 0" E Sn. Dieser Differentialoperator kommt in der klassischen Literatur über Invariantentheorie vor und heißt dort CAYLEYs n-Prozess.

Aus dem nächsten Lemma folgt durch Induktion, daß (*) nicht möglich ist, wenn Char k = O. Wir brauchen also nur das Lemma zu beweisen.

Lemma. (i) no A(g) = (det g)A(g) 0 n für 9 E GLn ( k).

(ii) Es gibt eine ganze Zahl CN,n mit n(D N) = cN,nDN-1, und es gilt CN,n > 0 für N > o.

BEWEIS: (i) Dieser Beweis ist einfach und kann übergangen werden.

(ii) Mit Hilfe von (i) sieht man, daß n(DN) ein Polynom in k[Tij] ist, homogen vorn Grad n(N - 1) und daß

A(g)n(D N) = (detg)N-1n(D N).

Daraus folgt, daß n(DN) ein Vielfaches ist von D N- 1. Um die Konstante CN,n zu finden, genügt es, den Koeffizienten von (T11 T22 ... Tnn)N-l in n(DN) zu bestimmen. Dazu braucht man nur die Koeffizienten der Terme

(Tn T22 ... Tnn)N-ITl,U(1)T2,U(2) ... Tn,u(n) (0" E Sn)

in D N zu kennen. Eine einfache Überlegung zeigt, daß CN,n > o. (Eine etwas längere Überlegung ergibt CN,n = N . (N - 1) ... (N + n - 1)). 0

2.4. Der Fall k = C. Es sei hier k = C. In diesem Fall hat eine affine Varietät X eine klassische (oder C-) Topologie, die feiner ist als die Zariski-Topolgie. (Diese kann ja charakterisiert werden als die gröbste Topologie, für die alle f E C(X] stetig sind.) Wir haben jetzt folgendes Kriterium für Reduktivität (vgl. [Kr, Anhang UD:


Satz. Die lineare Gruppe G ist reduktiv, wenn es eine Zariski-dichte Untergruppe K c G gibt, die kompakt in Bezug aul die C-Topologie ist.

BEWEIS: Der Beweis benutzt, daß es auf der kompakten topologischen Gruppe K ein invariantes Integral für stetige Funktionen gibt, d.h. ein lineares Funktional 1 auf dem Vektorraum C(K) der komplexwertigen stetigen Funtionen mit 1(1) = 1, l(>{y)f) = 1(1) für, E K (und 11(1)1 ~ max-yEK 1/(/)1). Wie früher ist A(,) die Linkstranslation mit, E K.

Aus der Dichtigkeitsvoraussetzung folgt nun, daß I(A(g)f) = 1(1) für I E C[G] und 9 E G. Daher ist G reduktiv nach Korollar 1.3. 0

2.5. Anwendungen

(i) Sei G ein Torus, also G ~ (c*)n und S C C* der Einheitskreis, S = {z E C 1 Izl = I}. Dann ist sn C (c*)n eine Untergruppe, die kompakt ist für die C-Topologie. Sie ist auch dicht für die ZariskiTopologie. Das bedeutet hier folgendes: Wenn F E C[T1 , ••• , Tnl ein Polynom ist mit F( ei'Pl, . .• , ei'Pn ) = 0 für alle <Pi, dann ist F = O. (Der Beweis dieser Tatsache sei dem Leser als Aufgabe überlassen.) Nach dem Kriterium 2.4 ist der Torus G reduktiv.

(ii) G = GLn(C). Es sei jetzt K die unitäre Gruppe Un , also K = {g E Gig· tg = I}. Offenbar ist K kompakt für die C-Topologie. Wir beweisen jetzt, daß K dicht ist für die Zariski-Topologie. Zuerst bemerken wir, daß der Zariski-Abschluß K wieder eine Untergruppe ist (nach einem elementaren Resultat über algebraische Gruppen [Sp2, S. 38]). Es sei D die Untergruppe der Diagonalmatrizen in G. Zudem gilt G = K D K; dies ist eine direkte Konsequenz der bekannten Tatsache, daß jede Hermitesche Matrix 9 E G in der Form 9 = ,d,-l mit , E Kund d E D dargestellt werden kann. Es genügt jetzt zu zeigen, daß D C K; dies folgt aber aus (i). Wir haben damit nochmals bewiesen, daß GLn reduktiv ist, diesmal für k = C. Ein ähnlicher Beweis kann für die anderen klassischen Gruppen On(C) und SP2n(C) geführt werden (vgl. [Kr, Anhang 11]).

(iii) Es sei G die Komplexijizierung der kompakten Lie-Gruppe K (siehe [BtD, 111.8]). Dann sind die Voraussetzungen des Kriteriums 2.4 erfüllt, und es folgt, daß G reduktiv ist.

Aufgaben

1. Situation von 1.2 (d): (a) Der Teilraum V G hat ein eindeutig bestimmtes Komplement, nämlich

den Teilraum, der von allen {l(g)v - v mit 9 E G, v E V erzeugt wird. Die lineare Abbildung pv : V ...... V G ist eindeutig bestimmt.

(b) Es sei <P : V ...... Weine lineare Abbildung von lokal endlichen GModulen. Dann ist <.p 0 pv = pw 0 <.p.

III.1 Invariantenringe

(c) Ist <p: V -+ W wie in (b) und <p surjektiv, so gilt <p(VG ) = W G .

2. Sei G eine reduktive Gruppe.

(a) Das Integral I aus dem Korollar in 1.3 ist eindeutig bestimmt.

11

(b) Es sei I} die Darstellung von G in k[G] durch Rechtstranslation. Dann ist I (I}(g )/) = 1(1). Insbesondere ist I auch ein Integral für die Rechtstranslation.

(c) Für h E k[G] sei hex) = h(X-i). Dann gilt I(h) = I(h). 3. Es sei <p : G -+ H ein surjektiver Homomorphismus von algebraischen

Gruppen. Ist G reduktiv, so auch H. 4. Es seien G und H zwei reduktive Gruppen.

(a) Das direkte Produkt G X H ist reduktiv.

(b) Jeder irreduzible G X H-Modul ist von der Gestalt V Q9k W mit einem einfachen G-Modul V und einem einfachen H-Modul W.

5. Die additive Gruppe Ga (= k mit Addition) ist nicht reduktiv.

6. Die spezielle lineare Gruppe SLn ist reduktiv, falls Char k = 0 gilt.

7. Es sei I} : G -+ GL(V) eine endlichdimensionale treue Darstellung der linearen algebraischen Gruppe G. Wenn alle Tensorpotenzen V®d vollständig reduzible G-Modulen sind, so ist G reduktiv.

8. Sei k = C. (a) Die treue Darstellung I} : G -+ GLn der algebraischen Gruppe G habe

die Eigenschaft, daß das Bild I}( G) invariant unter den Automorphismen X f-+ CX)-i von GLn ist. Dann ist die Darstellung I} vollreduzibel. Dasselbe gilt für die Tensorpotenzen V®d.

(b) Die klassischen Gruppen GLn , SLn , On, SOn, SPn sind reduktiv.

III. Endlichkeitssatz, algebraische Quotienten

§ 1 Invariantenringe

1.1. Es sei G eine reduktive Gruppe über k und X eine affine G-Varietät. Wir bezeichnen mit k[X]G die Menge der G-invarianten Funktionen in k[X], d.h.

k[X]G = {f E k[X] I f(g.x) = fex) für alle g E Gund alle x EX}.

k[X]G ist also gerade der Fixpunktraum der Wirkung von G auf k[X] (1.2). k[X]G ist eine Unteralgebra von k[X] und heisst Invariantenring von k[X].

1.2. Endlichkeitssatz. Der Invariantenring k[XjG wird von endlich vielen Elementen erzeugt.

BEWEIS: Aus der lokalen Endlichkeit der Darstellung von G in k[X] folgt, daß es endlich viele linear unabhängige Funktionen f1, ... ,J n in k[X] gibt so, daß k[X] = k[fI, ... , fn] und daß der von den J; aufgespannte Teilraum Ginvariant ist. Die fi definieren einen Isomorphismus 'P : x f-t (fI(x), ... , fn(x))


von X auf eine abgeschlossene Teilvarietät von V = knj der zugehörige AlgebraHomomorphismus r.p* : k[T1 , ••• , Tn ] -+ k[X] wird gegeben durch r.p*T; = k Nach Konstruktion gibt es eine lineare Darstellung e : G -+ GL(V) mit r.p(g.x) = e(g) r.p(g) (x E X,g E G). Es sei k[V]G der Invariantenring, definiert durch diese lineare Wirkung von G auf V. Aus Bemerkung II.1.4 folgt, daß der von r.p* induzierte Homomorphismus k[V]G -+ k[X]G surjektiv ist.

Aus diesen Überlegungen ist ersichtlich, daß es genügt, den Satz im Falle X = kn zu beweisen, wobei die Wirkung von G auf X durch eine rationale Darstellung gegeben wird. In diesem Fall sind k[X] und A = k[X]G graduiert. Es sei I das homogene Ideal in k[X], erzeugt von den homogenen Elementen von A mit Grad> o. Nach dem Hilbertschen Satz gibt es endlich viele solche Elemente h 1 , h2 , ••• , hs in A, die I erzeugen. Wir behaupten, daß A = k[h1 , h2 , ••• , hs ] gilt. Es sei h E A homogen vom Grad d > o. Dann gibt es /I, ... ,Js E k[X] mit

h = /Ih1 + ... + Jshs.

Es sei P = PA wie in IL1.2( d). Wenn J E k[X] homogen ist, dann ist Gradp(f) = GradJ (wie z.B. aus dem Beweis von IL1.2'folgt). Aus der Eindeutigkeit von p (II, AufgabeI) folgt, daß

h = p(/I)h1 + ... + p(fs)hs.

Dann sind die p(hi ) homogene Elemente von A mit Grad< d, und durch Induktion können wir voraussetzen, daß sie in k[h1 , .•• , hs] liegen. Es folgt hE k[h1 , ••• , hs ], womit der Satz bewiesen ist. 0

§ 2 Algebraische Quotienten Wie in 1.1 sei G eine reduktive Gruppe und X eine affine G-Varietät. Der Invariantenring k[X]G ist offenbar reduziert. Es folgt daher aus dem Endlichkeitssatz 1.2, daß es eine affine k-Varietät G\X gibt mit k[G\X] = k[X]G.

2.1. Definition. Die affine Varietät G\X heißt (algebraischer) Quotient von X nach Gj er wird auch mit X//G bezeichnet. Die Inklusion k[X]G L-t k[X] definiert einen Morphismus 7rx = 7r : X -+ G\X, welcher Quotientenabbildung genannt wird.

Allgemeiner kann man auch bei einer nicht-reduktiven algebraischen Gruppe G den Quotienten G\X definieren, sobald k[X]G von endlichem Typ ist.

Wir werden einige Eigenschaften von G\X und 7r besprechen. Doch zuerst stellen wir ein paar Hilfsmittel bereit.

2.2. Bahn und Stabilisator. Die Bezeichnungen sind wie in 1.1. Die Bahn (oder G-Bahn) Ox von x E X ist die Menge

Ox = G.x = {g.x I 9 E G}.

III.3 Eigenschaften von (G\X,7l") 13

Die Isotropiegruppe (oder der Stabilisator) von x E X in G ist die abgeschlossene Untergruppe

Gx = {g E G I g.x = x}.

Die Bahnabbildung G -+ Ox c X ist der Morphismus 9 1--+ g.x von G auf Ox· Sie ist konstant auf den Nebenklassen gG x • Wir brauchen nun ein Lemma von BOREL.

2.3. Lemma. Eine Bahn Ox ist offen in ihrem Abschluß Ox.

Der Beweis folgt schnell aus der folgenden elementaren (aber nicht trivialen) Eigenschaft (siehe [Sp2, S.28] oder [Kr, II.2.2]): Es sei cp : X -+ Y ein Morphismus von affinen Varietäten, wobei X irreduzibel sei. Dann enthält das Bild cp(X) eine nichtleere offene Teilmenge vom Abschluß cp(X).

Im nächsten Lemma sind die Bezeichnungen wieder wie in 1.1.

2.4. Lemma. Es sei I ein Ideal in k[X]G. Dann ist Ik[X] n k[X]G = I. (Hier ist Ik[X] das von I in k[X] erzeugte Ideal.)

BEWEIS: Wenn f E k[X]G und f = L:s ishs mit is E I und hs E k[X], dann hat man f = Pk[X]f = L:s is(Pk[Xjhs), woraus ersichtlich ist, daß Ik[X]nk[X]G Cl. Die Inklusion in der anderen Richtung ist evident. D

§ 3 Eigenschaften von (G\X, rr) Im folgenden sei X eine affine G-Varietät und 7r : X -+ G\X der Quotient.

3.1. Universelle Eigenschaft. Es sei cp : X -+ Y ein Morphismus von affinen Varietäten, welcher konstant auf den G-Bahnen in X ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus 1jJ : G\X -+ Y mit cp = 1jJ 0 7r.

BEWEIS: Der Beweis folgt aus der Bemerkung, daß das Bild von k[Y] unter dem Homomorphismus 1jJ* in k[X]G liegt. D

Aus dieser Eigenschaft folgt, daß 7r einen Funktor von affinen G-Varietäten nach affinen Varietäten definiert. Übrigens gilt die universelle Eigenschaft auch mit einer beliebigen, nicht notwendig affinen G-Varietät Y. (Diese haben wir jedoch nicht eingeführt. Siehe auch IV.2.)

3.2. Surjektivität. 7r ist surjektiv.

BEWEIS: Es sei ~ ein Punkt von G\X, d.h. ein Homomorphismus k[X] -+

k. Dann ist 7r- 1 (O die abgeschlossene Menge in X definiert durch das Ideal Ker(O C k[X]. Nach obigem Lemma 2.4 ist das ein echtes Ideal. Daher ist 7r-1(O t- 0. D

3.3. Abgeschlossenheit. Es sei Y eine G-invariante abgeschlossene Untervarietät von X. Dann ist 7r(Y) abgeschlossen in G\X, und 7rly : Y -+ X ist


der Quotient, d.h. isomorph zu (G\ Y, 7rY).

(In der letzten Aussage ist 7rly die Einschränkung von 7r auf Y.)

BEWEIS: Es sei I das G-invariante Ideal von k[X] mit k[Y] = k[X]/I. Der Homomorphismus k[X] --+ k[XJj I induziert einen Isomorphismus k[X]G / I G ..::::-. (k[XJjIP. Dies ergibt sich aus der Surjektivität von k[X]G --.. (k[X]/I)G (Bemerkung 11.1.4). Hieraus folgt, daß (G\Y,7ry) isomorph ist zu (7r(Y),7rly)' ist. Aus der Surjektivität von 7ry (3.2) sieht man, daß 7rly : Y --+ 7r(Y) surjektiv ist, so daß 7r(Y) abgeschlossen sein muss. Das beweist die Behauptung. 0

3.4. Trennungseigenschaft. Es seien Y1 , Y2 zwei G-invariante abgeschlossene Untervarietäten von X. Dann ist 7r(Y1 n Y2 ) = 7r(YI) n 7r(Y2 ).

BEWEIS: Es sei k[Y;] = k[XJj I;, i = 1,2. Dann ist k[Y1 n Y2 ] = k[X]/ J, wo J = J 11 + 12 das Radikal von h + 12 ist (d.h. das Ideal derjenigen Elemente von k [X], von denen eine Potenz in 11 + h liegt). Es folgt aus Eigenschaft (f) in 1.4, daß die Additionsabbildung 11 x 12 --+ 11 + 12 eine surjektive Abbildung If x If --.. (11 + I2 )G induziert. Es ist daher (11 + I2 )G = If + If und damit

JG = JI1 + 12 G = V(11 + I2 )G = VIf + If,

woraus die Behauptung folgt. o

Insbesondere gilt also folgendes: Wenn Y1 n Y2 = 0, dann ist auch 7r(Y1 ) n 7r(Y2 ) = 0 , d.h. die Invarianten trennen disjunkte abgeschlossene Ginvariante Teilmengen.

3.5. Quotiententoplogie. Die Topologie auf G\X ist die Quotiententopologie in Bezug auf 7r.

BEWEIS: Dies bedeutet folgendes: Eine Teilmenge U c G\X ist offen genau dann, wenn 7r-1(U) offen ist. Es folgt aus der Surjektivität 3.2, daß man hier statt "offen" auch "abgeschlossen" nehmen kann. Dann ist die Aussage eine Konsequenz von der Abgeschlossenheit 3.3. 0

3.6. Fasern. Jede Faser 7r- 1(e) (e E G\X) enthält genau eine abgeschlossene Bahn.

BEWEIS: Es sei e E G\X. Es gibt eine Bahn 0 C 7r- 1(O so, daß der Abschluß <5 minimal ist (in der Menge der Bahnabschlüsse). (Das ist eine Folge der Noethersehen Eigenschaft von k[X].) Nach Lemma 2.3 muss dann 0 abgeschlossen sein. Daß es nur eine solche Bahn geben kann, folgt aus der Trennungseigenschaft 3.4. 0

Wir sehen also, daß G\X die Menge der abgeschlossenen Bahnen von G in X algebraisch parametrisiert. Es ist im allgemeinen nicht richtig, daß G\X die Menge aller Bahnen von G in X parametrisiert, d.h. daß alle G-Bahnen in

III.3 Eigenschaften von (G\X, rr) 15

X abgeschlossen sind. Ist dies der Fall, so redet man von einem geometrischen Quotienten (siehe auch IV.2).

3.7. Invariantenkörper. Es sei X jetzt irreduzibel, d.h. k[X] nullteilerfrei. Dasselbe gilt dann für k[X]G, also ist dann auch G\X irreduzibel. Es sei k(X) der Quotientenkörper von k[X]. Es ist klar, daß G als Automorphismengruppe auf k(X) wirkt und daß k(G\X) im Fixkörper k(X)G enthalten ist.

Satz. Es gilt k(G\X) = k(X)G in folgenden Fällen:

(a) G ist endlich. (b) X ist ein Vektorraum, wo G linear wirkt, G ist zusammenhängend

und alle Charaktere von G sind trivial.

(Ein Charakter von G ist ein Homomorphismen G -+ Gm von algebraischen Gruppen.)

BEWEIS: Es sei G endlich. Sindp,q E k[X] und q-lp E k(X)G, so kann man q-lp auch schreiben als Quotient (q')-lp' mit Nenner q' = ITgEaCg.q) E k[X]G. Der Zähler p' liegt dann auch in k[X]G, was (a) beweist.

Im Falle (b) benutzen wir, daß wir in k[X] die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren haben. Ist u E k(X)G, so schreibe man u = ITi ft', wo die fi verschiedene Primelemente in k[X] sind und ai E Z " {O}. Dann folgt aus dem Zusammenhang von G, daß g.fi = Qi(g)j; gilt mit Qi(g) E k*, und man sieht leicht, daß Qi ein Charakter von G ist. Weil diese alle trivial sind, ist Qi(g) = l. Damit ist (b) gezeigt. 0

Es ist nicht allgemein richtig, daß k(X)G = k(G\X) gilt. (Gegenbeispiel: X = k n , G = Gm wirkend durch Skalarmultiplikation. )

Bemerkung. Ist G zusammenhängend, dann ist der Invariantenkörper k(X)G in k(X) algebraisch abgeschlossen. (Der Beweis folgt leicht aus der Tatsache, daß eine zusammenhängende Gruppe G keine Untergruppen mit endlichem Index> 1 hat; siehe [Kr, 11.1.2].)

3.8. Dimensionsformel. Es sei X irreduzibel und k(X)G = k(G\X). Dann ist dirn X - dimG\X die maximale Dimension der G-Bahnen in X.

Wir erinnern daran, daß die Dimension dirn X einer irreduziblen Varietät X der Transzendenzgrad des Quotientenkörpers k(X) über k ist. Wenn X reduzibel ist, dann ist dirn X die maximale Dimension der irreduziblen Komponenten von X. Den Beweis der Dimensionsformel werden wir in IV.2.3 geben.

3.9. Ein Kriterium ltir Quotienten. Wir bemerken zunächst, daß für eine normale G-Varietät X (d.h. X ist irreduzibel und k[X] ist ganz abgeschlossen in k(X)) auch der Quotient G\X normal ist. (Der Beweis ist einfach.) In diesem Zusammenhang erwähnen wir folgendes Resultat, das nützlich bei der Identifikation von Quotienten ist (siehe [Kr, H.4] für Anwendungen). Es sei X eine


irreduzible G-Varietät und c.p : X -t Y ein Morphismus von affinen Varietäten, der auf den G-Bahnen konstant ist. Nach der universellen Eigenschaft 3.1 gibt es einen Morphismus 'Ij; : G\X -t Y mit c.p = 'Ij; 0 'Tr.

Quotientenkriterium. Man setze folgendes voraus:

(a) 7r ist surjektiv.

(b) Y ist normal.

(c) Es gibt eine dichte offene Teilmenge U C Y, so daß die Faser c.p-l(y) für y E U genau eine abgeschlossenen G-Bahn enthält.

(d) Chark = O.

Dann ist 'Ij; : G\X -t Y ein Isomorphismus.

Der Beweis beruht auf einer einfachen (affinen) Version von ZARISKI's Main Theorem (siehe [Kr, II.3]).

§ 4 Isotypische Zerlegung und Kovarianten

4.1. Es sei G eine reduktive Gruppe und C die Menge der Isomorphieklassen der irreduziblen rationalen Darstellungen von G. Wenn A E C, so sei (2). : G -t

GL(M>.) eine Darstellung in A und dCA) = dimM>..

Sind V und W zwei G-Moduln, so schreiben wir RomG(V, W) für den Vektorraum der G-linearen Abbildungen V -t W. Weiter bezeichnen wir mit V* den dualen G-Modul zu V.

Wenn V ein lokal endlicher Modul ist, so ist V nach dem Satz 11.1.2 eine direkte Summe EBi Vi von irreduziblen Moduln. Für A E C sei V>' die direkte Summe der Vi, die in A liegen. Das folgende Lemma zeigt, daß V). nicht von der Zerlegung von V abhängt.

Lemma. (i) V>' wird aufgespannt von den f(M>.) mit f E RomG(M)., V).

(ii) V>' ist G-isomorph zu M>. ®k RomG(M>., V), und RomG(M)., V) (M; ® V)G.

(iii) V = EB>'EG V>'.

(Der einfache Beweis sei dem Leser überlassen.)

V>' heißt die A-isotypische Komponente von V und die Zerlegung von (iii) ist die isotypische Zerlegung von V. Die Dimension von RomG(M)., V) ist die Multiplizität von A in V. Der Vektorraum (M).®V)G ist der Raum der Kovarianten von V vom Typ A. (Für die Klasse der trivialen Darstellung>. ist dies der Raum V G der Invarianten, d.h. der Fixpunkte von G.)

4.2. Es sei jetzt X eine affine G-Varietät. Dann ist der Vektorraum k[X]>' der Kovarianten vom Typ>. offenbar ein k[X]G-Modul.

Satz. k[X]>' ist eine endlicher k[X]G -Modul.

I1I.5 Die Zerlegung von k[G] 17

BEWEIS: Etwas allgemeiner beweisen wir folgendes: Ist Mein endlichdimensionaler G-Modul, so ist (M 0 k[X]f ein endlicher k[X]G-Modul. Der Dualraum M* ist eine affine G-Varietät und k[M*] ist die symmetrische Algebra Symk(M). Wir wenden den Endlichkeitssatz 1.2 auf das Produkt der GVarietäten M* und X an. Es folgt, daß die Algebra (Symk(M) 0k k[X])G von endlichem Typ ist. Die Graduierung von Symk(M) definiert eine Graduierung dieser Invariantenalgebra, und (M 0 k[X])G ist die Menge der homogenen Elemente mit Grad 1. Daß dies ein endlicher k[X]G-Modul ist, folgt nun direkt aus dem Endlichkeitssatz. 0

§ 5 Die Zerlegung von k[G] G ist immer reduktiv vorausgesetzt. Wir definieren eine symmetrische Bilinearform ( , ) auf dem Vektorraum k[G] durch

(f,h) = leih),

wo I das Integral auf k[G] ist und hex) = h(X-I) ist. Die Symmetrie folgt mit 11, Aufgabe 2.

5.1. Lemma. Es seien g : G --t GLm und u : G --t GLn zwei irreduzible rationale Darstellungen von G, g(g) = (gij(g)) und o-(g) = (Uij(g)) die zugehörigen Matrizen. Wenn g und U nicht isomorph sind, so gilt

(ghi, Ujl) = 0 für 1 ~ h, i ~ m, 1 ~ j, l ~ n.

Weiter ist

BEWEIS: Dies zeigt man mit der Methode, die I. SCHUR für endliche Gruppen benutzte (siehe [Se, S. 27]). Es sei Airgendeine m X n-Matrix und es sei A das Integral der m x n-Matrix g(x)Au(x)-1 mit Elementen in k[X]. Dann ist g( x)A = Au( x) für alle x E G. Die Behauptungen folgen dann schnell aus dem Lemma von SCHUR. 0

Wir betrachten jetzt die isotypische Zerlegung von k[G] in Bezug auf die Darstellung von G durch Linkstranslation. Wir benutzen auch die durch

(g,h)J(x) = J(g-Ixh)

definierte Darstellung von G x G in k[G]. Der folgende Satz gibt ein Analogon der bekannten Zerlegung der Gruppenalgebra einer endlichen Gruppe und des Satzes von PETER und WEYL für kompakte Gruppen [BtD, Kap. !II].

5.2. Satz. Sei G reduktiv.

(i) k[G] ist orthogonale direkte Summe der isotypischen Teilräume k[G]A. Die Restriktion der Bilinearform auf k[G]A ist nicht ausgeartet;


(ii) k[G]A ist G X G-invariant und isomorph zum Endomorphismenraum End(MA) mit G X G- Wirkung (g, h)f = e).(g) 0 f 0 e).(h)-l;

(iii) dimk[G]). = d(>Y, und die Multiplizität von A in k[G] ist dCA).

BEWEIS: Es sei A E G und e : G -+ GLm eine Darstellung in der Klasse A. Der Raum k[ G] A wird aufgespannt von Teilräumen, die eine Basis (fl' ... , fm) haben mit

m

J;(g-l.X) = L'eji(g)fi(x). j=l

Es folgt, daß m

fi = Lfj(e)eji' j=l

woraus ersichtlich ist, daß k[G]). von den m 2 Funktionen eij, 1 ~ i,j ~ m, aufgespannt wird. Aus dem Lemma 5.1 sieht man, daß die Restriktion von ( , ) auf k[G]). nicht ausgeartet ist und daß dirn k[G]A = m 2 ist, womit (iii) bewiesen ist. Die Orthogonalitätsaussage in (i) folgt ebenfalls aus dem Lemma, und (ii) ist einfach nachzuweisen. 0

5.3. Wir können die Analogie von k[G] mit einer Gruppenalgebra noch etwas weiter treiben. Wir definieren durch

(J * h)(x) = (I, e(x)h),

ein neues Produkt auf k[G], die Faltung. (e(x) ist wie oben die Rechtstranslation. )

Korollar. (i) k[X]A * k[X]Jl = 0 für A -=f p" und k[X]A * k[X]). c k[X]A.

(ii) Es gibt einen G x G-Isomorphismus 'P). : k[X]A ~ End(M).), so daß 'P).(f * h) = 'PA(f) . 'PA(h) gilt, wobei das Produkt in End(M).) das kanonische ist.

(iii) Die Faltung definiert die Struktur einer assoziativen Algebra auf k[ G]. Diese Algebra ist eine direkte Summe von endlichdimensionalen Matrizenalgebren.

BEWEIS: Die Aussagen (i) und (ii) folgen aus dem obigen Lemma 5.1, und (iii) ist eine einfache Konsequenz von (i) und (ii). 0

§ 6 Gruppencharaktere

6.1. Schließlich geben wir noch ein paar Eigenschaften der Gruppencharaktere von G. Es sei e : G -+ GL(V) eine endlichdimensionale rationale Darstellung von G. Ihr Charakter XI! ist die Funktion in k[G] definiert durch

I1I.6 Aufgaben 19

Xq(X) = Spe(x),

wobei Sp die Spur auf V bezeichnet. Der Charakter hängt nur von der Isomorphieklasse von e ab. Wir schreiben kurz X>. für Xq.\. Sei Ce k[G] die Teilalgebra der Klassenfunktionen:

C = {f E k[G] I f(ghg- 1 ) = f(h) für alle g,h E G}.

Offenbar ist Xq E C.

6.2. Korollar. (i) Die X>., >. E C, bilden eine Basis von C.

(ii) (X>., X,) = DA,. (iii) Die Darstellung (! ist bis auf Isomorphie durch Xq eindeutig festgelegt.

BEWEIS: (i) folgt aus Teil (ii) des Satzes 5.2, und (ii) aus dem Lemma 5.1. Wie bei den endlichen Gruppen folgt (iii) aus den Orthogonalitätsrelationen (ii).

o

Aufgaben

1. Es sei (aij) eine mX n-Matrix mit ganzzahligen Elementen. Die Lösungsvektoren (Xl, ... ,X n ) E N n des Gleichungssystems

n

I>ijXj = 0, 1::; i ::; m) j=l

sind Linearkombinationen von endlich vielen solchen, mit ganzzahligen Koeffizienten:::: 0 (Satz von Gordan). Man beweise, daß dies eine Folgerung des Endlichkeitssatzes 1.2 ist. (Man nehme für G einen n-dimensionalen Torus.)

2. Es sei G = (Gmt ein n-dimensionaler Torus und X eine affine G-Varietät. Die isotypischen Komponenten von k[X] (in Bezug auf die Darstellung von Gin k[X]) definieren eine Zn-Graduierung auf k[X]. Umgekehrt: Ist X eine affine Varietät, dann definiert eine Zn-Graduierung von k[X] die Struktur einer G- Varietät auf X.

3. G ist ein Torus und X eine irreduzible affine G- Varietät, welche eine dichte G-Bahnen enthält. Zeige: (a) k(X)G = kj

(b) die G-isotypischen Komponenten von k[X] haben Dimension::; 1.

Umgekehrt impliziert (b), daß es eine dichte Bahn (sogar nur endlich viele Bahnen) gibt (siehe [Kr, 11.3.3 Satz 5]).

4. Es sei G = Gm und X eine affine G- Varietät. Wenn 0 eine G-Bahn ist, dann hat () '" 0 höchstens einen Punkt.

5. Sei

G=SL2={( ~ ; )lxt- YZ=l},

und T die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Wir lassen Tauf G durch Linksmultiplikation wirken.


(a) Nach 2.1 existiert der Quotient T\G. Beweise, daß T\G isomorph ist zur affinen Quadrik Q = {(x,y,z) E k31 xy+z2 = I}. (Q ist isomorph zu pl X pl " Diagonale.)

(b) (Char k f::. 2.) Es sei N der Normalisator von T in G. Man beweise, daß N\G existiert und isomorph ist zum Komplement eines Kegelschnittes in der projektiven Ebene p2(k).

6. In der Situation von 5.3 sei k = C und G eine endliche Gruppe. Beweise, daß die Algebra (k[G],*) isomorph zur Gruppenalgebra kG ist.

IV. Aquivalenzrelation einer Gruppenaktion

§ 1 Definitionen und Hilfssätze

1.1. Es sei G eine beliebige algebraische Gruppe und X eine affine G-Varietät. Die G-Aktion definiert eine (mengentheoretische ) Ä quivalenzrelaiion auf X, nämlich eine Teilmenge R von X x X gegeben durch

R = {(x,y) I y = g.X für ein 9 E G}.

Im Rahmen der algebraischen Geometrie geht man nun folgendermaßen vor. Sei t.p : G x X --+ X x X der Morphismus mit t.p(g,x) = (g.x,x). Dann ist t.p( G x X) = R. Man kann im allgemeinen jedoch nicht erwarten, daß R gute Eigenschaften hat, also z.B. abgeschlossen ist.

Es sei nun A = k[X]G die Invariantenalgebra (nicht notwendigerweise von endlichem Typ) und I C k[X x X] = k[X] &h k[X] das Ideal erzeugt von den Elementen a ® 1-1 ® a mit a E A. Das Ideal I definiert eine abgeschlossene Teilvarietät Y von X x X, nämlich

Y = ((x,y) E X x X I a(x) = a(y) für alle a E A}.

Dann ist

k[Y] = (k[X] ®k k[X])/JI,

wo v'l das Radikal von I ist. Es ist klar, daß R c Y, also induziert t.p einen Morphismus G x X --+ Y, den wir auch mit t.p bezeichnen. Er wird durch einen Homomorphismus t.p* : k[Y] --+ k[G] ® k[X] definiert.

1.2. In gewissen Fällen kann man mehr aussagen. So folgt etwa im Falle einer reduktiven Gruppe G aus der Eigenschaft 111.3.2 (Surjektivität von 7r), daß der Morphismus t.p : GxX --+ Y surjektiv ist, falls alle G-Bahnen in X abgeschlossen sind. Insbesondere ist dann R = Y, also R abgeschlossen in X x X.

Wir werden einige weitere Resultate dieser Art besprechen. Dazu brauchen wir einiges aus der kommutativen Algebra.

IV.1 Definitionen und Hilfssätze 21

1.3. Lemma. E8 8ei B ein Ring ohne Nullteiler und A ein Teilring, 80 daß B von endlichem Typ über A i8t. Die Quotientenkörper von A und B 8eien K und L. Man 8etze voraU8: (a) B i8t flach über A, (b) L i8t 8eparabel über K. Dann i8t B ®A B reduziert. Wenn außerdem K in L algebrai8ch abge8chl088en i8t, dann i8t B ®A B nullteilerfrei.

Die Flachheit bedeutet bekanntlich, daß der Funktor M I-t B®AM in der Kategorie der A-Moduln exakte Folgen erhält. Die Separabilität von LI K bedeutet folgendes: Es sei p der charakteristische Exponent von L. Sind Xl, . .. , X 8 E L über K linear unabhängig, so auch xi, ... , x~.

BEWEIS: Es sei S = A , {O}. Dann ist (B ®A B)s ~ Bs ®K Bs. Aus der Flachheitsvoraussetzung folgt, daß der kanonische Homomorphismus B®AB -+

(B ®A B)s injektiv ist. Wir haben also die Injektionen

B ®A B '---+ B s ®K Bs '---+ L ®K L.

Aus der Separabilität von LII< folgt bekanntlich, daß L ®K L' für jede Erweiterung L' I I< reduziert ist. Daher ist B ®A B reduziert. Wenn außerdem K in L algebraisch abgeschlossen ist, dann ist L ®K L' für alle L' nullteilerfrei. Also ist dann B ®A B nullteilerfrei. 0

1.4. Lemma. E8 8eien A und B wie in Lemma 1.9 und e8 8ei überdie8 A noether8ch. E8 gibt a E A , {O}, 80 daß Ba ein freier A a ·Modul i8t. In8be80ndere i8t Ba flach über A a.

Einen Beweis findet man etwa in [Ma, S. 156].

1.5. Lemma. E8 8ei L ein Körper, reine Automorphi8mengruppe von L und K der Fixkörper von r.

(i) E8 uien Xl,"" x 8 Elemente von L, die über K linear unabhängig 8ind. Sind Y1, ... , Y8 E L und gilt für alle "( E r

("(.Xt)Y1 + ("(,X2)Y2 + ... + ("(.xs)Ys = 0,

dann i8t Y1 = ... = Ys = O.

(ii) LI I< i8t 8eparabel.

BEWEIS: (i) wird durch Induktion bewiesen. Für s = 1 ist die Aussage evident. Wir können voraussetzen, daß die Yi über K linear unabhängig sind. Nun gilt für alle ,,(, OE r:

8

L ("t.(x l 1Xi) - xI1Xi)o'Yi = O. i=2

Mit Induktion (angewendet auf die Yi) folgt, daß x l 1xi E I< für i = 2, ... , n. Das aber bedeutet, daß die Xi über K linear abhängig sind: Widerspruch!

Es seien jetzt Xl, ... X 8 Elemente von L so, daß xi, ... , x~ über K linear abhängig sind, d.h. 2::=1 XfYi = 0 mit Yi E I< und nicht alle Yi Null. Es


sei L' = L(y~/p, . .. , y!/P). Die Wirkung von f auf L kann auf L' fortgesetzt werden. Es sei (Zj) eine Basis von L'/L, welche aus f-invarianten Elementen

von L' besteht (z.B. aus ein paar der y:/P). Man schreibe y:/p = 2:j XijZj.

Dann liegen alle Xi)' in Kund 0 = 2:. XiY:/P = E· . XiXi)·Z)·. Hieraus folgt, daß I I,}

Ei XiXij = 0, also sind die Xi über K linear abhängig, was (ii) beweist. 0

1.6. Wir kehren jetzt zu der Situation von 1.1 zurück und wir benützen die dort eingeführten Bezeichnungen. Wir setzen voraus, daß k[X]G eine k-Algebra von endlichem Typ ist. Sie definiert wieder eine Varietät G\X und wir haben einen Morphismus 7rx : X -+ G\X. Die Varietät Y kann man auch als das Faserprodukt

X xG\X X = ((x,y) E X X X l7rx(x) = 7rx(Y)}

interpretieren.

1. 7. Satz. Wir setzen folgendes voraus:

(a) X ist irreduzibel.

(b) X ist flach über G\X. (c) k( X)G ist der Quotientenkörper von k[X]G.

Dann gilt:

(i) VI = I und die Algebra k[X]0k[G\X] k[X] ist reduziert und isomorph zu k[Y].

(ii) X x G\X X ist der Abschluß von R. (iii) Wenn G zusammenhängend ist, dann ist X xG\X X irreduzibel.

BEWEIS: Die Voraussetzung (b) bedeutet bekanntlich, daß k[X] flach ist über k[X]G. Die Behauptungen von (i) folgen direkt mit Hilfe von Lemma 1.3 und Lemma 1.5(ii). Wenn G zusammenhängend ist, dann ist k(X)G algebraisch abgeschlossen in k(X) (Bemerkung in 111.3.7), und Lemma 1.3 zeigt, daß k[Y] nullteilerfrei ist, d.h. daß X x G\X X irreduzibel ist. Mit Lemma 1.4 und Lemma 1.5(i) folgt, daß der Homomorphismus <p* injektiv ist, womit (ii) und (iii) bewiesen sind.

Wenn G beliebig ist, sei GO die Einheitskomponente. Die Behauptung (ii) folgt dann, indem man bemerkt, daß die endliche Gruppe G /Go die Komponenten von X xG\X X transitiv permutiert. 0

§ 2 Satz von ROSENLICHT

2.1. In den Rahmen dieses Kapitels paßt auch ein Satz von ROSENLICHT [Ro], den wir nun besprechen werden.

Sei G eine algebraische Gruppe über dem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Wir betrachten eine nicht notwendig affine G-Varietät X, die wir

IV.2 Satz von ROSENLICHT 23

als irreduzibel voraussetzen. (Hier wird also Bekanntschaft mit allgemeinen Varietäten vorausgesetzt. Man findet das Benötigte z.B. in [Sp3, Kap. 1,2].)

Eine rationale Funktion I auf X ist eine reguläre Funktion auf einer offenen affinen Teilvarietät U von X (die von I abhängt). Die rationalen Funktionen bilden einen Körper k(X). Ist U wie vorher, so ist k(X) kanonisch isomorph zum Quotientenkörper k(U) von k[X]. Die Gruppe G wirkt auf k(X) als k-lineare Automorphismengruppe. Es sei k(X)G der Invariantenkörper.

Definition. Ein geometrischer Quotient von X nach G ist ein Paar (Y,7l"), wo Y eine algebraische Varietät ist und 7l" : X _ Y ein surjektiver Morphismus so, daß

(a) die Fasern 7l"-l(7l"(X» (x E X) genau die G-Bahnen in X sind, und

(b) 7l" einen Isomorphismus k(Y) ~ k(X)G induziert.

Ein geometrischer Quotient braucht nicht zu existieren: Dazu notwendig ist, daß alle G-Bahnen in X abgeschlossen sind, was schon in einfachen Beispielen nicht der Fall ist.

2.2. Satz von ROSENLICHT. Es gibt eine offene G-stabile Teilvarietät U von G, so daß ein geometrischer Quotient von U nach G existiert.

BEWEIS: Der Invariantenkörper k(X)G ist eine Teilerweiterung der Erweiterung von endlichem Typ k(X)/k. Man benutzt nun die folgende bekannte Tatsache: Wenn K = k(Xl' ... , x m ) eine Erweiterung von endlichem Typ ist, so auch jede Teilerweiterung L. (Man reduziert den Beweis schnell auf den Fall m = 1. Falls Xl transzendent ist über k, benutze man den Satz von LÜROTH, und ist Xl algebraisch über k, so die Endlichdimensionalität von k(Xl)/k.)

Es seien ft, ... ,fn rationale Funktionen auf X so, daß k(X)G = k(ft, ... ,fn). Es gibt eine affine Varietät Z mit k[Z] = k[ft, ... ,fn]. Dann ist Z eine abgeschlossene Teilvarietät von kn .

Es sei U eine offene Teilvarietät von X so, daß ft, ... ,f n E k[U]. Wegen der G-Invarianz der Ii ist dann auch 11, ... , In E k[g.U] für jedes gE G. Wir ersetzen X durch die G-stabile offene Teilvarietät UgEG g.U. Dann definiert 7l"(x) = (ft(x), ... ,fn(x» einen Morphismus 7l": X -+ Z, und 7l" ist dominant (d.h. 7l"(X) = Z). Bekanntlich gilt für jedes X EX

dim7l"-l(7l"(x» ~ dimX - dimZ,

mit Gleichheit auf einer nichtleeren offenen Teilvarietät. Nachdem wir X wieder durch eine offene Teilvarietät ersetzt haben, können wir erreichen, daß alle Fasern 7l"-l(7l"(X» die gleiche Dimension dimX - dimZ haben.

Aus 1.4 folgt, daß es eine offene Teilvarietät Yo von Y gibt, so daß 7l" einen flachen Morphismus 7l"-l(YO) -+ Yo definiert. Indem wir X wieder verkleinern, können wir daher auch erreichen, daß 7l" flach ist.

Wir betrachten jetzt den Morphismus cp : G x X -+ X x X von 1.1.


Es sei Y der Abschluß des Bildes von t.p. Es gibt eine nicht leere dichte offene Teilmenge V von G X X so, daß für ~ E V gilt

dimt.p-l(t.p(O) = dimG + dimX - dirn Y.

Das Bild von V unter der Projektion G x X --+ X ist dicht in X und enthält eine nicht leere offene Teilvarietät von X. Wir können daher X ersetzen durch eine offene Teilvarietät, so daß alle Fasern von t.p dieselbe Dimension haben. Weil die Faser t.p-lt.p(g.X) isomorph ist zur Isotropiegruppe G x , haben alle Isotropiegruppen dieselbe Dimension.

Man zeigt nun wie im Beweis von 1. 7 (wobei Z die Rolle von G\X spielt), daß Y = X Xz X = {(x, x') E X x X I 7r(x) = 7r(x')}. Folglich ist für alle x EX

dirn G x = dim G x X - dirn Y = dirn G - dirn X + dirn Z,

und alle G-Bahnen haben Dimension dirn X - dirn Z. Nach Konstruktion hat (Z, 7r) die Eigenschaft (b) eines geometrischen Quotienten. Falls t.p surjektiv ist, gilt auch die Eigenschaft (a).

Es sei jetzt t.p(X) =f Y und sei F eine irreduzible Komponente von ::-:---:-:-:-:-Y ..... t.p( X). Dann ist F eine echte abgeschlossene Teilvarietät von Y = X x z X. Man beachte: Ist (x, y) E F, so auch (x, g. y) E F für alle g in der Einhei tskomponente GO. Wenn prl die erste Projektion X x X --+ X bezeichnet, dann gilt

dimprl(F) + dimX - dimZ dimprl(F) + dimG.y

< dimF< 2dimX - dimZ,

woraus folgt, daß prl(F) eine echte abgeschlossene Teilvarietät von X ist. Wir ersetzen X durch das Komplement der Vereinigung aller prl(F). Dann haben wir erreicht, daß (Z, 7r) die Eigenschaften (a) und (b) des geometrischen Quotienten besitzt. Indem wir schließlich noch X ersetzen durch das inverse Bild einer geeigneten offenen Teilvariatät von Z, erreichen wir auch noch, daß 7r surjektiv ist. 0

2.3. Wir können jetzt den Beweis der Dimensionsformel 111.3.8 (in etwas allgemeinerer Fassung) nachholen.

Korollar. Es sei G eine lineare algebraische Gruppe und X eine irreduzible affine G- Varietät. Man setze voraus: (a) k[X]G ist von endlichem Typ, und (b) k(X)G ist der Quotientenkörper von k[X]G. Dann ist dirn X - dimG\X die maximale Dimension der G-Bahnen in X.

BEWEIS: Mit den Bezeichnungen des Beweises von 1.9 folgt aus diesem Beweis, daß dimX - dirn Z die maximale Bahndimension ist. Nun ist dirn Z der Transzendenzgrad von k(X)G über k. Nach Voraussetzung (b) ist dies gerade dimG\X. 0

IV.3 Affine Quotienten 25

Die Beweismethoden der letzten bei den Abschnitte gehen zurück auf Luna [Lu, Kap. 4].

§ 3 Affine Quotienten Es sei G eine lineare algebraische Gruppe und H eine abgeschlossene Untergruppe. Man lasse H in G durch Rechtstranslation operieren. In der Theorie der algebraischen Gruppen zeigt man (siehe z.B. [Sp3, Kap. 5]), daß es eine Quotientenvarietät G / H gibt, deren Punkte die Nebenklassen gH parametrisieren. Sie wird durch eine universelle Eigenschaft wie in IIL3.1 charakterisiert. Es sei r.p: H x G -+ G x G der Morphismus mit r.p(h,g) = (gh-1,g).

3.1. Lemma. Sei G/H affin. Dann gilt:

(i) k[G] ®k[G/HJ k[G] ißt reduziert.

(ii) r.p definiert einen bomorphißmw H x G'::-' G XG/H G. (iii) r.p definiert einen bomorphißmw

r.p* : k[G] ®k[G/HJ k[G] ~ k[H] ®k k[G]

mit r.p* 0 (e(h) ® id) = (A(h) ® id) 0 r.p* hE H.

(A und e sind die Links- und Rechtstranslationen wie in L3.)

BEWEIS: Man reduziert den Beweis leicht auf den Fall, daß G zusammenhängend ist. Unter Benützung der Tatsache, daß G auf G / H durch Linkstranslation transitiv wirkt, folgt aus Lemma 1.4, daß G flach über G/H ist. Aus der Konstruktion des Quotienten G / H ist ersichtlich, daß k( G / H) der Quotientenkörper von k[G/H] ist (siehe [Sp3, Kap. 5]). Eine Anwendung von Satz 1.7 gibt (i). Weil r.p offenbar surjektiv ist, folgen die beiden äquivalenten Aussagen (ii) und (iii) aus Teil (iii) des Satzes. 0

3.2. Ein lokal endlicher G-Modul I heißt injektiv, wenn er folgende Eigenschaft besitzt: Ist V ein lokal endlicher G-Modul und Wein G-invarianter Teilraum, so kann jeder G-Homomorphismus W -+ I zu einem G-Homomorphismus V -+ I fortgesetzt werden. Ein Beispiel eines injektiven Moduls ist k[G] (mit der GAktion durch Linkstranslationen). Allgemein sind alle lokal endliche Moduln k[G] ® V injektiv, wenn G trivial auf V operiert, d.h. g.(1 ® v) = A(g)f ® v. (Der Beweis ist einfach.)

Nach diesen Vorbereitungen können wir jetzt ein wichtiges Reduktivitätskriterium beweisen (siehe [CPS]).

3.3. Satz. Eß ßei G eine reduktive Gruppe und H eine abgeßchloßßene Untergruppe. Die folgenden Eigenßchaften ßind äquivalent:

(a) H ißt reduktiv; (b) G / H ißt affin; (c) k[G] ißt ein injektiver H -Modul (via Rechtßtranßlation).


BEWEIS: (a)~(b): Wenn H reduktiv ist, so ist der Quotient im Sinne von Kap. III, §2 ein Quotient GI H im Sinn der Theorie der algebraischen Gruppen, wie man leicht verifiziert.

(b)~(c): Es sei GIH affin. Der H-Modul k[H] ®k k[G] (mit der Operation ..\ ® id) ist injektiv, also ist es der H-Modul M = k[G] ®k[GjHJ k[G] (mit der Wirkung l.' ® id) nach Lemma 3.1(iii) auch. Wir definieren Homomorphismen von H-Moduln i : k[G] -+ Mund p : M -+ k[G] durch i/ = / ® 1 bzw. pU ® /') = //'. Dann ist po i = id.

Es sei jetzt V ein lokal endlicher H-Modul und Wein Teilmodul. Ist cp: W -+ k[G] ein H-Homomorphismus, dann ist iocp ein H-Homomorphismus W -+ M. Wegen der Injektivität von M kann man iocp zu einem H-Homomorphismus tP : V -+ M fortsetzen. Dann ist po tP : V -+ k[G] eine Fortsetzung von cp. Folglich ist k[G] injektiv.

(c) ~ (b): Wenn k[G] ein injektiver H-Modul in Bezug auf Rechtstranslationen ist, so ist er es auch bezüglich Linkstranslationen. Aus der Injektivität folgt, daß es bezüglich Linkstranslationen einen H-Homomorphismus 0 : k[H] -+ k[G] gibt mit 0(1) = 1. Es sei IG das Integral auf k[G] im Sinne von 11.1.3. Dann ist IH = IG 0 0 ein Integral auf k[H], so daß H reduktiv ist (loc.cit.). 0

Wir erinnern daran, daß für einen abgeschlossenen Normalteiler H der linearen algebraischen Gruppe G der Quotient G / H wieder die Struktur einer linearen algebraischen Gruppe hat [Sp3, Kap. 5]. Insbesondere ist G / H affin.

3.4. Korollar. Es sei G eine lineare algebraische Gruppe und H ein abgeschlossener Normalteiler. G ist reduktiv dann und nur dann, wenn G / Hund H reduktiv sind.

BEWEIS: Wenn G reduktiv ist, so ist H reduktiv nach dem obigen Satz. Die Algebra k[GIH] = k[G]H ist immer eine Teilalgebra von k[G]. Die Beschränkung des Integrals I G auf k[ G / H] ist dann ein Integral auf k [G / H], so daß G / H reduktiv ist (11.1.3).

Es seien jetzt G und GI H reduktiv. Dann ist k[G I H] bezüglich der Rechtstranslation der Raum der H-Invarianten in k[G]. Es sei p : k[G] -+

k[GIH] eine H-äquivariante Projektion wie in Satz I1.1.2(d).Wenn I a/H ein Integral auf k[G/H] ist, so ist I G/H 0 p ein Integral auf k[G], so daß G nach dem Korollar 11.1.3 reduktiv ist. 0

3.5. Beispiel. Es sei Char k = 0 und G = GLn. Dann ist G reduktiv nach 11.2.3. Weiter sei H die orthogonale Gruppe On C GLn. Man beweist leicht, daß GIH isomorph zum Raum der nicht ausgearteten symmetrischen n x n-Matrizen ist (z.B. als einfache Anwendung des Quotientenkriteriums III.3.9). Dieser Raum ist offenbar affin, also ist On und damit auch SOn in Charakteristik 0 reduktiv. In derselben Weise sieht man, daß die symplektische Gruppe SP2n reduktiv ist.

V.1 Gruppentheoretische Reduktivität 27

In obigem Beispiel liegt ein Spezialfall der folgenden Situation vor: G ist reduktiv und H ist die Fixpunktgruppe eines halbeinfachen Automorphismus von G. Dann ist G/H affin nach einer Folgerung aus dem Satz in [Sp3, S. 124]. Also ist dann H reduktiv.

v. Andere Reduktivitätsbegriffe

§ 1 Gruppentheoretische Reduktivität Wir setzen jetzt Bekanntschaft mit der Theorie der algebraischen Gruppen voraus. Es sei G eine lineare algebraische Gruppe über k. Das unipotente Radikal RuG ist der maximale zusammenhängende unipotente Normalteiler von G. In der Theorie der algebraischen Gruppen heißt G reduktiv, wenn Ru G trivial ist. Wir werden hier (ausnahmsweise) die Bezeichnung gruppentheoreti8ch reduktiv verwenden.

1.1. Satz. (i) E8 8ei G reduktiv. Dann i8t G gruppentheoreti8ch reduktiv.

(ii) E8 8ei Char k = O. Wenn G gruppentheoreti8ch reduktiv i8t, dann i8t G reduktiv.

BEWEIS: (i) Aus dem Korollar IV.3.4 folgt, daß RuG reduktiv ist. Nun hat eine nichttriviale zusammenhängende unipotente algebraische Gruppe H einen zur additiven Gruppe isomorphen Quotienten. Aber dann kann H nach 11, Aufgabe 5 nicht reduktiv sein, womit (i) gezeigt ist.

(ii) (Skizze) Es sei Chark = 0 und G gruppentheoretisch reduktiv. Nach dem Korollar IV.3.4 können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß G zusammenhängend und halbeinfach ist. Wir benutzen den Ca8imirOperator C. Die Liealgebra g von G besteht aus allen Derivationen der kAlgebra k[G], die mit den Linkstranslationen A(g) kommutieren. Der CasimirOperator C ist ein quadratischer Differentialoperator der Gestalt

C = Li(XiY; + Zi) mit Xi, Y;, Zi E g,

der auch mit allen Rechtstranslationen vertauscht. Man kann ein solches C explizit hinschreiben [Spl]. Wenn dann e: G -+ GLn eine irreduzible rationale Matrixdarstellung von G ist, so folgt aus dem Lemma von SCHUR: Es gibt eine Konstante c(e) mit

Ceij = C(e)eij, 1 ~ i,j ~ n.

Wenn X = L:~=1 eii die Spurfunktion ist, dann folgt Cx = c(e)x. Man beweist nun, daß c(e) = 0 nur für die triviale irreduzible Darstellung gilt (z.B. unter Benutzung von [loc. cit., Prop. 2.9]). Es sei k[G]a der Teilraum von k[G] erzeugt von denjenigen FUnktionen, die durch eine Potenz von C - a annuliert werden. Dann ist k[X] die direkte Summe von k[X]o und dem A( G)-invarianten Teil-


raum EBa#o k[G]a. Wir behaupten, daß k[G]o = k ist. Dann folgt aus dem Satz 11.1.2(c), daß G reduktiv ist.

Um die Behauptung zu beweisen, bemerke man, daß nach der obigen Eigenschaft von C als Kompositionsfaktoren von k[G]o nur triviale Darstellungen auftreten können. Wäre dim k[G]o > 1, so gäbe es ein nichtkonstantes 1 E k[G] mit >.(g)1 - 1 E k für alle g E G. Aber so ein 1 wäre dann ein nichttrivialer Homomorphismus G -t Ga, und solche gibt es in halbeinfachen Gruppen nicht (nach 11, Aufgabe 5 und Korollar IV.3.4). Dieser Widerspruch zeigt, daß k[G]o = k ist, womit der Satz bewiesen ist. 0

1.2. Teil (ii) des Satzes ist in beliebiger Charakteristik nicht richtig. Aus dem Lemma 111.5.1 folgt nämlich bei Char k = p > 0 für jede irreduzible rationale Darstellung G -t GLn , daß p den Grad n der Darstellung nicht teilt. Es sei jetzt G zusammenhängend und p > O. Nun hat bekanntlich jede zusammenhängende halbeinfache Gruppe G eine irreduzible rationale Darstellung mit p-Potenzgrad > 1, die Steinberg-Darstellung (siehe [Ha, S. 73]). Es folgt, daß eine reduktive Gruppe G ein Torus sein muß.

Etwas allgemeiner sieht man, daß für Char p > 0 eine algebraische Gruppe G genau dann reduktiv ist, wenn die Einskomponente GO ein Torus ist und die Ordung der endlichen Gruppe GIGo zup prim ist (Satz von NAGATA).

§ 2 Geometrische Reduktivität Es sei G eine lineare algebraische Gruppe über k. Die Charakteristik p sei beliebig.

2.1. Definition. G heißt geometrisch reduktiv, wenn folgendes gilt: Ist (! : G -t

GL(V) eine endlichdimensionale rationale Darstellung und v E VG\{O}, so gibt es ein homogenes 1 E k[V]G mit I( v) =1= o.

Reduktive Gruppen sind geometrisch reduktiv: Eine reduktive Gruppe hat nämlich die Eigenschaft der Definition mit einer linearen Funktion l : V -t

k (dies folgt direkt aus der Definition 11.1.1). Die Umkehrung ist schon für endliche Gruppen in positiver Charakteristik falsch. Für Charakteristik 0 sind beide Begriffe äquivalent.

2.2. Der Begriff der geometrischen Reduktivität wurde von MUMFORD eingeführt. Es hat sich gezeigt, daß diese die "richtige" Voraussetzung für Endlichkeitsergebnisse wie in Kapitel 111 ist. Der Endlichkeitssatz 111.1.2 gilt für geometrisch reduktive Gruppen, und man kann damit auch algebraische Quotienten definieren. Die Eigenschaften 3.1,3.2,3.4,3.5 und 3.6 aus 111.3 gelten auch unter Voraussetzung der geometrischen Reduktivität. (Siehe [Sp2, §2] für mehr Einzelheiten über die genannten Tatsachen.)

Ein Hauptergebnis über geometrische Reduktivität ist der folgende

VI.1 Poincare-Reihen 29

2.3. Satz von HABOUSH. Gruppentheoretisch reduktive Gruppen sind geometrisch reduktiv.

Der Beweis benutzt Darstellungstheorie von reduktiven Gruppen ([Ha)). Für GLn kann man einen verhältnismäßig elementaren Beweis angeben (siehe [FP)).

Man zeigt auch-mehr oder weniger wie im Beweis von Teil (i) des obigen Satzes 1.I-daß geometrisch reduktive Gruppen gruppentheoretisch reduktiv sind. Daraus sieht man, daß geometrische und gruppentheoretische Reduktivität äquivalent sind.

2.4. Wir bemerken schließlich, daß der Satz IV.3.3 richtig bleibt, falls man dort "reduktiv" durch "geometrisch reduktiv" oder "gruppentheoretisch reduktiv" ersetzt.

VI. Graduierte Algebren, Poincare-Reihen Es sei G eine reduktive Gruppe über kund!! : G --+ GL(V) eine endlichdimensionale rationale Darstellung. Dann wirkt G auf die graduierte Algebra k[V]. Die Invariantenalgebra A = k[V]G ist auch graduiert und von endlichem Typ über k (Endlichkeitssatz II.1.2). Wir besprechen hier einiges über solche Algebren.

§ 1 Poincare-Reihen Es sei A = EBn>O An eine graduierte Algebra über dem algebraisch abgeschlossenen Körper Ti mit der Eigenschaft, daß die homogenen Teile An endliche k-Dimension haben. Es sei M = EBnEZ Mn ein endlicher graduierter A-Modul. Dann sind die Mn endlichdimensional über k, und Mn = 0 für n < no.

1.1. Definition. Die Poincare-Reihe von A ist die formale Potenzreihe 00

PA(T) = ~)dimAn)Tn. n=O

Die Poincare-Reihe von Mist

n

diesmal eine formale Laurent-Reihe (d.h. mit endlich vielen negativen Potenzen).

1.2. Eigenschaften. Wir wollen einige Eigenschaften von Poincare-Reihen zusammenstellen.

(a) Wenn 0 --+ M' --+ M --+ M" --+ 0 eine exakte Sequenz von endlichen graduierten A-Moduln ist, dann gilt:

PM = PM' + PM",


(b) Es sei a E A homogen mit Gradd ~ O. Man setze aM = {m E M I am = O}. Dann gilt

(1 - Td)PM(T) = PM/oM(T) - PoM(T).

(c) Es sei A von endlichem Typ über k. Dann ist PM(T) eine rationale Funktion aus Q(T).

BEWEIS: Der Beweis von (a) ist trivial, und (b) folgt mit zweimaliger Anwendung von (a).

Die Behauptung (c) besagt, daß es J, g E Z[T] gibt mit 9(T)PM(T) = J(T). Zum Beweis schreibe man A = k[al, ... ,aB] mit homogenen ai. Wenn alle ai den Grad Null haben, ist A endlichdimensional und PM ist ein LaurentPolynom. Wenn z.B. aB den Grad > 0 hat, so wende man (b) mit a = aB an. Die Behauptung folgt durch Induktion nach s, indem man bemerkt, daß M/aBM und a.M beides Moduln über der von s - 1 Elementen erzeugten Algebra A/ asA sind. 0

1.3. Es sei jetzt A von endlichem Typ und es sei M wie oben. Wir definieren folgende numerische Invarianten von M:

• Die Dimension d( M) von M ist die Ordnung des Poles bei T = 1 der rationalen Funktion PM(T).

• Die Multiplizität e( M) von M ist der Wert von (1 - T)d(M) PM(T) für T = 1, eine rationale Zahl> o.

• Der Grad 6(M) ist die Ordnung von PM(T) für T = 00, d.h. für PM(T) = J(T)g(T)-l mit J,g E Z[T] gilt 6(M) = Gradg - GradJ.

1.4. Eigenschaften. Die Beweise folgender Behauptungen seien dem Leser als Übung überlassen.

(a) Es sei a E A homogen vom Grad d ~ 0 und es sei a kein Nullteiler in M, d.h. aM = o. Dann ist

deM) = deM/aM) + 1, e(M) = e(M/aM), 6(M) = 6(M/aM) + d.

(b) Es sei A = k[al' . .. , aal mit homogenen algebraisch unabhängigen ai vom Grad di. Dann ist

1 PA(T) = (I-Td1 ) ••• (I-Td.)"

(c) Es sei A ganz über einer Teilalgebra k[al, . .. ,aB] wie in (b). Dann ist dCA) = s.

1.5. Beispiel. Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über C und G eine endliche Untergruppe von GL(V). Für die Poincare-Reihe der zugehörigen Invariantenalgebra A hat man Mo LIENs Formel (siehe z.B. [Sp2, S. 73]):

PA(T) = IGI-l L det(1 ~ T)· gEG 9

VI.2 Parametersysteme 31

§ 2 Parametersysteme Es sei A = ffin>O An wieder eine graduierte k-Algebra von endlichem Typ mit endlichdimensi~nalem Ao. Wir schreiben A+ = ffin>O An.

2.1. Lemma. E8 8ei A = k[al, ... , a.] mit homogenen ai.

(i) E8 gibt algebrai8ch unabhängige Elemente bl , ... , bt in A+, 80 daß A ganz i8t über k[bl , ... , bt ]. Wenn die ai algebrai8ch abhängig 8ind, 80 i8t t < s.

(ii) E8 8eien die bi wie in (a), di = Grad bi, und K 8ei der Quotientenkörper von k[bl , ... , bt ]. Wenn M ein endlicher graduierter AModul i8t, dann i8t

F(T) PM(T) = (1 _ Td1 ) ... (1 _ Td, )

mit F E Z[T] und F(1) = dimK(K ®A M).

Der elementare Beweis von (i) findet sich im wesentlichen in [Sp2, S. 27], wo ein etwas schwächeres Resultat bewiesen wird. Ein Beweis von (ii) steht in [loc. cit., S.30].

2.2. Es sei M wieder ein endlicher graduierter A-Modul. Der Annulator von M ist das homogene Ideal Ann(M) = {a E AI aM = O}.

Definition. Ein homogene8 Parameter8Y8tem für M ist eine endliche Familie von homogenen Elementen (al,'" ,aB) aus A+, so daß MlalM + ... + aBM endliche k-Dimension hat und daß die Zahl s so klein wie möglich ist. (Wir sagen auch kurz Parameter8Y8tem.)

2.3. Satz. E8 8eien al, ... , a" homogene Elemente in A + . (i) E8 i8t (al, ... , a,,) genau dann ein Parameter8Y8tem für M, wenn (a)

die Bilder ai der ai in AI Ann(M) algebrai8ch unabhängig 8ind und (b) AI Ann( M) ganz über k[al, ... , aB] i8t;

(ii) Die Anzahl der Elemente eine8 homogenen Parameter8Y8tem8 für M i8t d(M).

BEWEIS: Indem wir A durch AI Ann(M) ersetzen, können wir Ann(M) = 0 erreichen. Das wird im Folgenden vorausgesetzt. Es seien al, ... ,as wie in (a). Setze B = k[al,'" ,a,,]. Es sei MlalM + ... + a.M endlichdimensional. Wir nehmen mi so, daß die Bilder in MlalM + .. . +asM eine k-Basis bilden. Dann sieht man durch Induktion nach n, daß Mn C Ei Bm;, woraus M = Ei Bm; folgt. (Dies ergibt sich auch mit NAKAYAMA's Lemma.) Wenn a E A ist, dann gibt es bij E B mit


Daraus folgt det( a6ij - bij )mh = 0 für alle h, also det( a6ij - bij ) = 0, da Ann( M) = 0 ist. Daraus ist ersichtlich, daß A ganz über B ist. Im umgekehrten Fall ist Aja1A + ... + a"A endlichdimensional, woraus folgt, daß für jeden endlichen graduierten A-Modul M auch M/alM + .. . +a"M endlichdimensional ist.

Wenn nun (al, ... , a.) ein Parametersystem ist, dann gilt also (b). Aus Lemma 2.1(i) folgt, daß auch (a) gilt. Die Aussage (ii) folgt dann mit Hilfe von Lemma 2.1(ii).

Wenn (a) und (b) gelten, dann ist Mja1M + .. . +aBM endlichdimensional, wie oben schon bemerkt wurde. Aus Lemma 2.1(ii) folgt, daß s = d(M) gilt, woraus man mit (ii) sieht, daß (al, ... , aB) ein Parametersystem ist. 0

2.4. Korollar. Es seien al, ... , ah homogene Elemente von A+. Dann ist d( M / al M + ... + ahM) ~ d( M) - h. Gleichheit gilt dann und nur dann, wenn (al, ... , ah) Teil eines Parametersystems ist.

BEWEIS: Aus Eigenschaft 1.2(b) folgt, daß für homogene Elemente a E A+ gilt: d(MjaM) ~ d(M) - 1. Daraus ergibt sich die behauptete Ungleichung. Wenn die Gleichheit gilt, so nehme man ein Parametersystem (ah+l, ... ,a,,) für Mja1M + ... + ahM. Nach Teil (ii) des obigen Satzes gilt s = d(M). Dann ist M / al M + ... + a"M endlichdimensional, und folglich ist (al, ... , aB) ein Parametersystem für M.

Ist umgekehrt (al, ... , a,,) ein Parametersystem für Mist, so folgt leicht, daß d(M/alM + ... + ahM) = d(M) - h gilt für h = 1, ... , s. 0

§ 3 M-Sequenzen Es seien A und M wie oben.

3.1. Definition. Eine endliche Folge (al, ... , a,,) von homogenen Elementen aus A+ heißt eine M-Sequenz, wenn ai kein Nullteiler in Mja1M + .. . +ai-lM ist für i = 1, ... , s. (Man setze ao = 0).

Man beachte, daß nach NAKAYAMA's Lemma M 'f alM + ... + ai-1M.

Im folgenden stellen wir einige wichtige Eigenschaften von M-Sequenzen zusammen.

3.2. Lemma. Jede M -Sequenz ist in einem Parametersystem enthalten. Die Anzahl der Elemente einer M-Sequenz ist höchstens d(M).

BEWEIS: Mit Eigenschaft 1.4(a) folgt: Ist (al, ... ,as ) eine M-Sequenz, so gilt d(M/alM + ... + aBM) = d(M) - s. Daraus folgen mit dem Korollar 2.4 die Behauptungen. 0

3.3. Satz. Eine Folge (al, ... , as ) von homogenen Elementen aus A + ist genau dann eine M -Sequenz, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

VI.3 M-Sequenzen 33

(a) Die ai (1 ~ i ~ s) sind algebraisch unabhängig über k;

(b) M ist ein freier k[al, ... ,as]-Modul mit einer aus homogenen Elementen bestehenden Basis.

BEWEIS: Daß die Bedingungen hinreichen, folgt aus der Bemerkung, daß für A = M = k[al, ... ,aS ] und algebraisch unabhängige aj die Folge (al, ... ,as) eine M-Sequenz ist.

Es sei jetzt (al,"" as) eine M-Sequenz und FE k[TI , ... , T s], so daß h

F =f 0, F(al, ... ,as) = O. Wir schreiben F(TI, ... ,Ts) = 2: T{Fi(T2, ... ,Ts) i=O

und setzen voraus, daß der Grad von F minimal ist. Ist s = 1, dann können wir wegen der Homogenität von al voraussetzen, daß F = Tlh , h > O. Aber dann ist al nilpotent, was der Voraussetzung widerspricht, daß al kein Nullteiler in M ist. Es sei jetzt s > 1. Durch Induktion können wir annehmen, daß die Bedingung (a) für die MjalM-Sequenz (a2, ... ,as) erfüllt ist. Es folgt Fo = 0, also ist F durch Tl teilbar. Da al kein Nullteiler ist, hat TIF dieselben Eigenschaften wie F, was der Minimalität von Grad F widerspricht. Damit ist ( a) bewiesen.

Wir wählen nun eine homogene Basis (mo) des graduierten Vektorraumes Mj(A+ n k[al"" ,as])M. Wie oben im Beweis des Satzes 2.3 sieht man, daß M über B = k[al"'" as] von den mo erzeugt wird. Es sei jetzt (bo ) eine Familie von Elementen aus B (nur endlich viele ungleich Null), so daß 2:0 bomo = 0 gilt. Da al kein Nullteiler ist, können wir voraussetzen, daß nicht alle bo durch al teilbar sind. Durch Induktion nach s, mit s = 0 beginnend, können wir weiter voraussetzen, daß die Bilder der mo in MjalM eine k[a2, ... , as]-Basis bilden. Daraus folgt aber, daß die bo alle durch al teilbar sind: Widerspruch. Damit ist auch (b) gezeigt. D

3.4. Korollar. Es sei (al, ... , a .. ) eine M -Sequenz. Für jede Permutation er von {l, 2, ... , s} ist (a"l, ... , a"s) auch eine M -Sequenz.

(Dies ist eine unmittelbare Folge der obigen Eigenschaft 3.3.)

3.5. Satz. Jede M -Sequenz ist in einer maximalen M -Sequenz enthalten. Alle maximalen M -Sequenzen haben gleich viele Elemente.

BEWEIS: Der erste Punkt folgt aus 3.2. Für den Rest des Beweises brauchen wir folgende Aussagen. (Für die (einfachen) Beweise siehe etwa [Ma, Kap. 3].)

(1) Sind PI, ... , Ps homogene Primideale in A mit A + C U:=l Pi, so gibt es ein i mit AC Pi.

(2) Die Menge der homogenen Nullteiler in M ist eine Vereinigung von endlich vielen homogenen Primidealen. Für jedes dieser Primi deale P gibt es ein m E M mit P = { a E A I am = O}.


Wir beweisen jetzt durch Induktion nach s: Es sei (al, ... , as ) eine maximale MSequenz und (bI, ... , b.) eine M-Sequenz gleicher Länge. Dann ist (bI, ... , bs )

auch maximal. Die zweite Behauptung von 3.5 folgt dann unmittelbar.

Aus (1) und (2) folgt, daß es ein m E M , (alM + ... + asM) gibt mit A+m C alM + ... + a.M. Wenn a E A+, am = alml + ... a.ms, dann ist die Klasse von m. modulo alM + ... + a._lM eindeutig bestimmt, da a. modulo alM + ... +a._lM kein Nullteiler ist. Wir bezeichnen sie mit cp(a). Es ist klar, daß cp( ab) = acp(b) = bcp( a) gilt für a, bE A+.

Es sei zuerst s = 1. Dann ist A+cp(bI ) C blM, woraus man sieht, daß (bI) eine maximale M-Sequenz ist. Wenn s > 1 ist, dann gibt es nach (1) und (2) ein c E A+, so daß c kein Nullteiler in M/alM + ... + as-lM und M/bIM + .. . +b._lM ist. Dann ist A+cp(c) E c(M/alM + ... +a._lM), weshalb (al, ... ,a.-l, c) eine maximale M-Sequenz ist. Nach (d) ist (c, al, ... ,as-I) es auch. Die Wahl von c war so, daß (bI, .. . ,bs-I,c) eine M-Sequenz ist, also auch (c, bI , ... ,b .. -I). Nun sind (al, ... ,as-I) und (bI, ... ,b.-l ) beides M / cMSequenzen, und die erste ist maximal. Nach Induktion können wir voraussetzen, daß (bI, ... , b.-I) eine maximale M/cM-Sequenz ist. Aber nun sind (c) und (b.) beide (M/bIM + ... , bs_lM)-Sequenzen, und die erste ist maximal. Nach dem früher Bewiesenen ist dann auch (b.) maximal, woraus man leicht sieht, daß (bI, ... , b.) eine maximale M -Sequenz ist. 0

§ 4 Cohen-Macaulay Moduln

4.1. Definition. Die maximale Länge der M-Sequenzen heißt Tiefe von M und wird mit t(M) bezeichnet. Man sagt, daß Mein Cohen-Macaulay Modul ist, wenn t( M) = d( M) gilt.

Es folgen ein paar wichtige Eigenschaften von Cohen-Macaulay Moduln.

4.2. Satz. Es sei Mein Cohen-Macaulay Modul. Jedes homogene Parametersystem für M ist eine maximale M -Sequenz.

BEWEIS: Es sei (al, ... ,a .. ) eine maximale M-Sequenz mit s = d(M). Wir beweisen durch Induktion nach s, daß ein beliebiges Parametersystem (bI, ... , b.) der Länge seine M-Sequenz ist.

Zuerst sei s = 1. Es sei Nh = {m E M I b~m = O}. Dann ist (Nh) eine steigende Folge von Teilmoduln von M. Da M Noethersch ist, gibt es ein h so, daß N = UNi = Nh. Es folgt dann auch, daß N n blM = bIN. Weil M/bIM endliche k-Dimension hat, gilt dasselbe für N/bIN. Da b~N = 0, folgt, daß auch N endliche k-Dimension hat. Aber dann gibt es l > 0 so, daß af N = o. Weil al kein Nullteiler ist, muss N = 0 sein, d.h. (bI) ist eine M-Sequenz ist.

Jetzt sei s > 1. Es folgt aus der Definition eines Parametersystems, daß (bI, . .. ,b.) ein Parametersystem für M /alM enthält. Nach Induktion können wir dann voraussetzen, daß etwa (bI, ... , bs-I, aI) eine M-Sequenz ist. Dann ist

VIA Cohen-Macaulay Moduln 35

a1 in M/b1M + ... +bs - 1M kein Nullteiler und (b s ) ein Parametersystem. Weil der Fall der Dimension 1 erledigt ist, ist bs auch eine (M/b1M + ... + bs - 1M)Sequenz und daher (b1 , •.• , bs ) ist eine M-Sequenz. 0

4.3. Korollar. Sei Mein A-Modul.

(i) M ist ein Cohen-Macaulay Modul dann und nur dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

(*) Es gibt homogene a1, ... , as in A +, die über k algebraisch unabhängig sind, so daß M ein freier k[a1' ... , as)-M odul von endlichem Rang mit homogener Basis ist. Es gilt dann s = d( M).

(ii) Ist M ein beliebiger Cohen-Macaulay Modul, dann genügt jedes homo-gene Parametersystem der obigen Bedingung (*).

BEWEIS: Der erste Teil folgt aus Satz 3.3 und der zweite aus 4.2. o

Man sagt, daß A eine Cohen-Macaulay Algebra ist, wenn der A-Modul A ein Cohen-Macaulay Modul ist.

4.4. Korollar. A ist genau dann eine Cohen-Macaulay Algebra, wenn für ein homogenes Paramatersystem (bzw. für jedes homogene Parametersystem) (al," . , as) für A gilt, daß a1, .. . , as algebraisch unabhängig über k sind und daß A ein freier k[a1, ... , as)-M odul von endlichem Rang mit homogener Basis ist.

Dies ist ein (wichtiger) Spezialfall von 4.3(ii).

Beispiel. Es sei A = k[T1, ... , Tn) mit der üblichen Graduierung. Man sieht unmittelbar, daß (Tl,"" Tn) ein homogenes Parametersystem sowie eine maximale A-Sequenz ist. Es folgt, daß n = dCA) = t(A), und A ist eine CohenMacaulay Algebra. Die Eigenschaft 4.4 führt jetzt zum folgenden Resultat, das auf HILBERT zurückgeht.

4.5. Korollar. Es seien f1, ... , fn E k[T1, ... , Tn) nichtkonstante homogene Polynome mit der Eigenschaft, daß die Gleichungen hex) = ... = fn(x) = 0 nur die triviale Lösung x = 0 in kn haben. Dann sind h, ... , f n algebraisch unabhängig über k, und k[T1, ... ,Tn) ist ein freier k[h, ... ,/n)-Modul mit homogener Basis.

BEWEIS: Wir setzen A = k[T1, ... , T n). Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist das Radikal des Ideals Ah + ... + Afn das maximale Ideal AT1 + ... + ATn, woraus ersichtlich ist, daß A/Ah + ... + Afn endliche Länge hat. Also ist (h,.·. ,fn) ein homogenes Parametersystem mit n = dCA) Elementen. Damit ist die Behauptung ein Spezialfall von 4.4. 0

Das folgende Ergebnis gibt eine Umkehrung von 4.5.


4.6. Satz. Man setze Char k = 0 voraus. Sei B eine graduierte Teilalgebra von A = k[Tl , ... , Tn] mit der Eigenschaft, daß A ein freier B-Modul endlichen Ranges mit einer homogenen Basis ist. Dann gibt es algebraisch unabhängige homogene Polynome h, . .. , f n mit B = k[h, ... , f n].

Für den (elementaren) Beweis verweisen wir auf die Literatur, z.B. [Sp2, S. 78].

§ 5 Invariantenringe von endlichen Gruppen Die oben eingeführten Begriffe sollen jetzt im Falle der Invariantenalgebren endlicher Gruppen illustriert werden.

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über C und G C GL(V) eine endliche Gruppe von linearen Transformationen von V. Wir setzen A = C[V] ~ C[Tl, ... , Tn ], B = AG. Nach dem Endlichkeitssatz II.1.2 ist Beine graduierte Algebra von endlichem Typ über C.

5.1. Satz. B ist eine Cohen-Macaulay Algebra.

BEWEIS: Wir definieren Linearfunktionen i l , ... ,in auf V in folgender Weise. Es sei i l beliebig =f O. Ist i > 1 und sind i l , ... ,ii-l schon definiert, so sei ii eine Linearfunktion mit der Eigenschaft, daß für beliebige Elemente gl,··· ,gi-l E G die i Linearfunktionen gl.il , ... ,gi-l.ii-l,ii linear unabhängig sind. Das Produkt der Funktionen g.ii, g E G ist eine Invariante k Aus der Definition der fi und i j folgt, daß die Gleichungen fl(v) = ... = fn(v) = 0 nur die Lösung v = 0 haben. Nach 4.5 sind daher h, ... ,fn algebraisch unabhängig über C, und A ist ein freier Modul über C = C[h, ... ,/n] mit einer endlichen homogenen Basis.

Es sei I das Integral auf A, also (nach II.2.1)

I(f) = IGI-l L g·f gEG

Dann ist A = B E9 Ker I eine direkte Zerlegung von A als C-Modul. Nach dem folgenden Lemma ist B dann ein freier C-Modul mit einer endlichen homogenen Basis. Mit 4.4 folgt, daß Beine Cohen-Macaulay Algebra ist. 0

5.2. Lemma. Es sei A eine graduierte k-Algebra und M ein freier A-Modul mit einer endlichen homogenen Basis.

(i) Es seien el, ... , es homogene Elemente von M, deren Restklassen modulo A+ Meine k-Basis von MjA+ M bilden. Dann ist (eih~i~s eine Basis von M.

(ii) Es sei N ein homogener Teilmodul von M, der ein direkter Summand von M ist. Dann ist N frei.

«ii) besagt gerade, daß ein projektiver graduierter A-Modul frei ist-ein bekanntes Resultat.)

VI.6 Einige allgemeine Sätze 37

BEWEIS: Die ei erzeugen M (siehe Beweis des Satzes in 2.3). Wir zeigen durch Induktion nach s, daß sie linear unabhängig sind. Wir nehmen eine homogene Basis (fih <i<a von M und setzen voraus, daß Grad el ~ ... ~ Grad e .. , Grad ft ~ ... ~ ä;ad Is. Man schreibe

ej = ~~ aij· Ij. ~)=l

Es folgt dann, daß die aij mit Grad ei = Grad f; = Grad el in k liegen. Indem man die f; durch geeignete Linearkombinationen mit Koeffizienten in k ersetzt, können wir erreichen, daß el = ft gilt. Durch Induktion können wir vorausset-, zen, daß (ei + Aet)i>2 eine Basis des freien Moduls MjAel ist. Folglich sind die ei linear unabh~gig. Damit ist (i) bewiesen, und (ii) folgt, indem man die ei so wählt, daß eine Teilmenge eine Basis von NjA+ M bildet. 0

Definition. Eine Spiegelung in V ist eine lineare Transformation endlicher Ordung mit gen au einem Eigenwert ungleich Eins. G C GL(V) heißt eine Spiegelung8gruppe, wenn sie von Spiegelungen erzeugt wird.

5.3. Satz. G i8t eine Spiegelung8gruppe dann und nur dann, wenn e8 homogene algebrai8ch unabhängige Invarianten ft, ... , In gibt mit C[V]G = C[ft,···, In]. Für den Beweis verweisen wir auf die Literatur (z.B. [Sp2, 4.2]). Im Beweis des "nur dann" zeigt man zuerst, daß für eine Spiegelungsgruppe der Koordinatenring C[V] frei ist als C[V]G-Modul (mit homogener Basis) und wendet dann 4.6 an.

§ 6 Einige allgemeine Sätze Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über kund G C GL(V) eine reduktive lineare algebraische Gruppe. Wir bezeichnen mit A die Invariantenalgebra k[V]G. Nach dem Endlichkeitssatz 11.1.2 A ist eine graduierte k-Algebra von endlichem Typ. Wir geben ohne Beweis einige wichtige Sätze an.

6.1. Satz. k[V]G i8t eine Cohen-Macaulay Algebra.

Das ist ein tiefliegender Satz von HOCHSTER und ROBERTS [HR]. Den Beweis eines etwas allgemeineren Satzes findet man in [Bo].

Wir setzen jetzt voraus, daß Char k = 0 ist und daß G zusammenhängend und halbeinfach ist. Die Invariante 8(A) wurde in 1.3 definiert; sie ist die Ordnung der Poincare-Reihe bei T = 00.

6.2. Satz. 8(A) ~ dirn V.

Diese von V.L. PoPOV vermutete Ungleichung ist vor kurzem von F. KNOP [KnJ bewiesen worden. Sie hat folgende Konsequenz:


6.3. Korollar. Man setze folgendes voraus: (1) V G = {O}. (2) Es gibt homogene algebraisch unabhängige Elemente h, ... ,fa E A mit A = k[h,···, fa). Dann ist dirn V ::; 2 dirn G.

BEWEIS: Es sei d; = Grad!;. Aus der Voraussetzung (1) folgt, daß d; ~ 2. N ach obigem Satz und Eigenschaft 1.4(b) gilt dann 28 ::; dirn V. Aus der DirnensionsforrnellI1.3.8 sieht man, daß 8 ~ dirn V -dirn G ist, und die behauptete Ungleichung folgt. 0

Die Ungleichung kann für Klassifikationszwecke benützt werden. (Siehe etwa [Li). )

Aufgaben

1. M sei ein Cohen-Macaulay Modul. Die Bezeichnungen sind wie in 4.3. Sei Grad ai = di (1 ::; i ::; s). Weiter sei (mj)l <i<1 eine homogene k[a1' . .. ,an ]

Basis von M mit Grad mj = ej. Dann ist - -1 •

PM(T) = C~= Te; ) I1 (1 - Tdi) -1.

j=l j=l

Weiter gilt mit den Bezeichnungen von 1.3

Im folgenden sei G eine endliche Gruppe von linearen Transformationen auf einem Vektorraum V. Die Bezeichnungen sind wie in Kapitel VI.

2. Mit den Bezeichnungen von 1.3 gilt d(B) = n = dirn V, e(B) = IGI- 1 ,

6(B) = n - a, wo a die kleinste Zahl ~ 0 ist, so daß die Darstellung von Gin Syma(V) die eindimensionale Darstellung 9 t--> (detg)-l enthält. Insbesondere ist a = 0 falls G C SL(V).

3. Es sei B = C[h, ... , f.] mit fi homogen vom Grad dj. Die primitive d-te Einheitswurzel ( sei ein Eigenwert eines Elements von G. Dann teilt dein dj (1::; i::; s).

4. Es sei G = {id, - id}. Der Rang des freien B-Moduls A ist ~ 2n - 1 •

5. Es sei A = (F 2 )m mit kanonischer Basis (ei). Es sei ( , ) das übliche innere Produkt auf A. Für a E A sei I(a) die Menge der i E {1, ... m}, für welche die i-te Koordinate von a gleich eins ist. Es sei Ce A ein Teilraum von A (ein "Kode"). Man definiere IPc E Z[T, U] durch

Falls C mit dem Orthogonalraum Cl. in Bezug auf ( , ) zusammenfällt, gilt

( T-U T+U) IPc(T,U) = IPc v2' v2 .

Literaturverzeichnis 39

Es folgt, daß iJic eine Invariante der endlichen Gruppe G C GL2 (C) ist, welche von den Spiegelungen

( 7212 72) (1 0) ?i ~' 0-1

erzeugt wird. Man zeige, daß man jetzt in Satz 5.1 h = T 2 + U2 , h = T 2 U2(T2 _U2 )2 nehmen kann. (Also kann iJic mittels hund hausgedrückt werden.)

Literat urverzeichnis

[Bo]

[BtD]

[CPS]

[FP]

[Ha]

[HR]

[Kn]

[Kr]

[Li]

[Lu]

[Ma]

[Ro]

[Se]

[Sp1]

[Sp2]

[Sp3]

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KLASSISCHE INVARIANTENTHEORIE Eine Einführung*

Hanspeter Kraft

Inhaltsverzeichnis Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 Invarianten und Kovarianten . . . . . . . . § 2 Invarianten von Vektoren und Kovektoren § 3 Invarianten von Matrizen . § 4 Multilineare Invarianten ... § 5 Tensor-Invarianten. . . . .. § 6 Polarisierung und Restitution § 7 Einige Resultate von CAPELLI und WEYL •

Literatur ....................... .

Einleitung

41 43 46 48 50 52 54 56 61

Im folgenden sei k ein Körper der Charakteristik 0 und G eine beliebige Gruppe. Die klassische Invariantentheorie fragt nach Invarianten und Kovarianten von G. Dabei ist G meist als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GLn(k) gegeben, und m~ sucht nach polynomialen Funktionen f(xl, ... , x n ), welche sich bei linearen Substitutionen der Variablen Xi mit Elementen aus G nicht ändern.

Etwas allgemeiner betrachtet man Polynome f, welche von mehreren Vektoren x = (Xl,X2, ... ,Xn ), Y = (Yl,Y2, ... ,Yn), ... und auch von Kovektoren e = (el,6, ... ,en), 'f/ = ('f/l,'f/2, ... ,'f/n), ... abhängen, wobei sich die Kovektoren e, 'f/, .•. unter G kontragredient zu den Vektoren transformieren: e ~ tg-1e,···, d.h. sie sind Vektoren des Dualraumes. Man redet von Invarianten von Vektoren und Kovektoren. Ein typisches Beispiel ist etwa das Skalarprodukt (x,e) ~ (x,e) := L:~=l Xiei.

* Nach der Brandeis-Vorlesungsausarbeitung "A Prim er in Invariant Theory" von Claudio Procesi

42 Hanspeter Kraft: Klassische Invariantentheorie

Die Invarianten von Matrizen bilden einen weiteren wichtigen Gegenstand der klassischen Invariantentheorie. Hier ist f ein Polynom in einer oder mehreren Matrizenvariablen x = (Xij)i,j=l, ... ,n, und die Operation ist gegeben durch Konjugation mit Elementen aus G: x 1-+ gxg-1 • Typische Invarianten sind Spur und Determinante.

Entsprechend werden Invarianten von symmetrischen oder schiefsymmetrischen Formen definiert. Die Variablen sind hier die Monome e~l e;2 ... e~" eines festen Grades d in den ej-man bezeichnet diese meist mit er1r2 ... r" und identifiziert sie mit den Koeffizienten der homogenen Polynome vom Grad d in den xi-bzw. die äusseren Potenzen eil 1\ ei2 1\ ... 1\ eid' Sie werden in üblicher (kontragredienter) Weise durch Substitution mit Elementen aus G transformiert. Im Falle der symmetrischen Formen bedeutet dies, dass die Form Eer1r2 ... r"x~lx;2 ... x~n als Ganzes invariant bleibt. Dies führt zum klassischen Begriff der Kovarianten: Man bezeichnet damit einen Ausdruck der Gestalt

"p (c... )xr1 x r2 .. 'x r" L...J r1 r2· .. r" <"1'2",'" 1 2 n ,

mit PolynomenPr1r2 ... r,,(eili2 ... in) in den eili2 ... i" , welcher als Ganzes invariant unter den Substitutionen aus G ist.

All diese Beispiele und viele andere Phänomene der klassischen Invariantentheorie lassen sich mit den Mitteln der modemen Darstellungstheorie besser verstehen und auch klarer und übersichtlicher darstellen. Wir wollen dies im folgenden etwas näher erläutern und folgen dabei den Brandeis Lecture Notes "A Primer in Invariant Theory" [Pro] von PROCESI. Eine stärker geometrisch orientierte Darstellung dieses Themenkreises findet man in dem Buch "Geometrische Methoden in der Invariantentheorie" [Kra]. (Man vergleiche auch die Artikel von SLODOWY und SPRINGER in den vorliegenden DMVSeminar-Notes.) Die meisten modemen Texte zur Invariantentheorie-so auch die beiden oben erwähnten-entstanden aus dem Bemühen, das bekannte (und auch berüchtigte) Werk "Classical Groups" [Wey] von WEYL besser zu verstehen und einem breiteren Leserkreis näher zu bringen. Man findet dort eine Fülle von Ideen und Ergebnissen, die heute erst zum Teil aufgearbeitet sind.

Ähnliches gilt für die grundlegenden Arbeiten von HILBERT, allen voran [Hill,Hil2], auf welche viele wichtige Resultate der neueren Zeit zurückgehen. Ein sehr schönes Beispiel bilden die Lecture Notes "Invariant Theory" [Sprl] von SPRINGER, wo u.a. klassische Fragestellungen zu den binären Formen behandelt werden und die Invariantentheorie der endlichen Gruppen studiert wird. Das wichtigste Werk in diesem Zusammenhang ist MUMFORDs Buch "Geometrie Invariant Theory" [MFo], welches ein neues Kapitel in der algebraischen Geometrie eingeleitet hat. Einen sehr anregenden historischen Bericht zum Stande der Invariantentheorie um die Jahrhundertwende findet man im Encyklopädie-Artikel [Mey] von MEYER.

§1 Invarianten und Kovarianten 43

§ 1 Invarianten und Kovarianten

1.1. Invarianten. Im folgenden sei V eine endlichdimensionale Darstellung der Gruppe G, gegeben durch den Gruppenhomomorphismus p: G -+ GL(V). Wir schreiben kurz gv für p(g)v und nennen die Abbildung (g, v) t-+ gv eine lineare Aktion von G auf V. Die Gruppe G operiert auch auf der Algebra k[V] der polynomialen Funktionen auf V, welche Koordinatenring von V genannt wird:

9f(v) := l(g-lV) für 1 E k[V], gE G und v E V.

Wir können k[V] in kanonischer Weise mit der symmetrischen Algebra S(V*) des Dualraumes V* der linearen Funktionen auf V identifizieren. Dem Raum der homogenen Funktionen k[V]d vom Grad d entspricht dabei die d-te symmetrische Potenz Sd(V*). Es ist klar, dass diese Unterräume unter G stabiP sind, d.h. mit 1 gehören auch alle 91 (g E G) dazu. Somit zerfällt k[V] in die direkte Summe der endlichdimensionalen Darstellungen von G auf den homogenen Bestandteilen:

k[V] = Ef)k[Vk d~O

Diese Zerlegung wird uns helfen, viele Untersuchungen über den Koordinatenring k[V] auf den endlichdimensionalen Fall zurückzuführen.

Wir kommen nun zum zentralen Begriff der invarianten Funktion. Zunächst erinnern wir daran, dass die Teilmengen Gv := {gv I 9 E G} die G-Bahnen oder kurz Bahnen in V genannt werden.

Definition. Eine Funktion f E k[V] heisst G-invariant, wenn f auf allen GBahnen in V konstant ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass f ein Fixpunkt unter der Operation von G auf k[V] ist.

Die invarianten Funktionen bilden eine Unteralgebra von k[V], den Invariantenring, welchen wir mit k[V]G bezeichnen:

k[V]G: = {f E k[v]1 I(gv) = I(v) für alle 9 E G,v E V}

= {f E k[v]1 91 = 1 für alle 9 E G}

Eine der fundamentalen Aufgaben der Invariantentheorie besteht in der Bestimmung eines Erzeugendensystemes des Invariantenringes k[V]G. Ein solches wird klassisch eine Basis der Invarianten genannt. Die Frage nach der Endlichkeit der Basis stand im Mittelpunkt der Forschung im 19. Jahrhundert. Der berühmte Endlichkeitssatz von HILBERT besagt, dass eine endliche Basis existiert, falls die Darstellung von G auf V vollständig reduzibel ist ([HilI], vgl. [Kra, II.3.2]). Ob dies immer der Fall ist, ist Gegenstand des vierzehnten Hilbertschen Problems (siehe [HiP]). Erst 1958 fand NAGATA ein Gegenbeispiel,

1 Man sagt auch invariant unter G, doch führt dies manchmal zu Unklarheiten im Zusammenhang mit dem Begriff der invarianten Funktion; siehe die nachstehende Definition.


welches zeigte, dass im allgemeinen kein endliches Erzeugendensystem zu existieren braucht [N ag].

Hat man ein endliches Erzeugendensystem h, h, ... , J m gefunden, so möchte man weiter die Relationen zwischen diesen Basisinvarianten beschreiben. Dies bedeutet, dass wir nach einem Erzeugendensystem des Ideals der Relationen I C k[Yl, ... , Ym] suchen, welches als Kern des kanonischen Ho-momorphismus k[Yl, . .. ,Ym] -+ k[V]G, Yi f-+ f; beschrieben werden kann. Ein weiterer fundamentaler Satz, der Basissatz von HILBERT (vgl. [Hin]), besagt nun, dass dieses Ideal immer endlich erzeugt ist. Wir können deshalb weiter nach den Relationen zwischen den erzeugenden Relationen fragen, dann nach den Relationen zwischen jenen, usw.; dies sind die berühmten Syzygien von HILBERT.

Aus diesen knappen Ausführungen ist bereits ersichtlich, dass die klassische Invariantentheorie nicht nur der Ausgangspunkt für die Darstellungstheorie von Gruppen und Algebren war (FROBENIUS, SCHUR, WEYL), sondern auch entscheidende Anstösse zur Entwicklung der kommutativen Algebra geliefert hat (E. NOETHER).

1.2. Kovarianten. Die klassischen Begriffe der Kovarianten oder etwas allgemeiner der K onkomitanien haben vom Standpunkt der Darstellungstheorie aus eine sehr einfache Beschreibung. Sei wiederum V eine endlichdimensionale Darstellung einer Gruppe G.

Definition. Eine Kovarianie von V ist eine polynomiale G-äquivariante Abbildung<p : V -+ W, wobei Weine beliebige endlichdimensionale Darstellung von G ist. Die Abbildung <p wird dann genauer eine Kovariante vom Typ W genannt2 •

(In Verallgemeinerung des Begriffes der G-invarianten Funktion nennt man eine Abbildung <p : V -+ W zwischen zwei Darstellungen G-äquivariant, falls <p(gv) = g<p(v) gilt für alle 9 E G und v E V.)

Es ergibt sich leicht aus der Definition, dass die Kovarianten vom Typ Weinen Modul über dem Invariantenring k[V]G bilden: Ist J eine Invariante und<p : V -+ Wein Kovariante, so ist das Produkt J'P : V -+ W, V f-+ J( V )<p( v), ebenfalls G-äquivariant und somit eine Kovariante vom Typ W. In dieser Situation fragt die klassische Invariantentheorie nach einem Erzeugendensystem für den Kovarianten-Modul. Das hängt eng mit dem vorangehenden Problem zusammen. Betrachtet man nämlich die Darstellung von G auf der direkten Summe V EB W*, so zeigt man leicht, dass der Unterraum derjenigen Invarianten J E k[V EB W*]G, welche in W* linear sind, in kanonischer Weise zum Modul der Kovarianten vom Typ W isomorph ist (vgl. [Kra, III.3.4]). Aus dem Endlichkeitssatz für Invarianten ergibt sich damit sofort ein entsprechender

2 Eigentlich entspricht diese Definition eher dem klassischen Begriff der Konkomi-tanten, doch hat sich inzwischen der Name Kovariante eingebürgert.

§ 1 Invarianten und Kovarianten 45

Endlichkeitssatz für Kovarianten-Moduln.

1.3. Beispiele. Wir wollen zunächst ein paar elementare Beispiele anführen. Etwas anspruchsvollere werden wir in den späteren Abschnitten kennenlernen. (Vergleiche auch die Aufgaben am Ende der Paragraphen.)

Historisch war eine der ersten Invarianten die Determinante. Schon sehr früh bemerkte LAGRANGE, dass sich die Diskriminante einer binären quadratischen Form in zwei Variablen nicht ändert, wenn die Variablen einer unimodularen Substitution unterworfen werden (vgl. [Mey]). Dies ordnet sich folgender allgemeinen Situation unter: Für jede Untergruppe Ge GL(V) erhalten wir eine Darstellung von G auf den Bilinearformen Bil(V) := (V ® V)* und damit auf den quadratischen Formen S2(V*). Wählen wir in V eine Basis und identifizieren wir Bil(V) mit den n x n-Matrizen Mn( k), so ist die lineare Aktion gegeben durch (g, A) I-t tg-l Ag-I. Ist daher G C SL(V), so ist die Determinante det : Mn( k) --+ k eine Invariante; sie wird seit Gauss Diskriminante der Form genannt. Im Falle G = SL(V) kann man leicht zeigen, dass die Diskriminante eine erzeugende Invariante für die quadratischen Formen ist,

k[S2(V*)]SL(V) = k[ det],

d.h. jede Invariante ist ein Polynom in der Determinanten.

Betrachten wir andererseits die Operation von G Ln (k) auf Mn (k) durch Konjugation, so finden wir neben der Determinanten auch die Spur und allgemeiner alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms als Invarianten. Wir werden auf dieses Beispiel im dritten Paragraphen ausführlich eingehen. Man kann auch sehr leicht Kovarianten angeben, nämlich das Potenzieren Pi : Mn(k) --+ Mn(k), A I-t Ai. Es stellt sich heraus, dass die Kovarianten vom Typ Mn(k) einen freien Modul vom Rang n über dem Invariantenring bilden mit der Basis PO,Pl, ... ,Pn-l' Dass die höheren Potenzen durch die ersten n ausgedrückt werden können, ergibt sich aus dem bekannten Satz von CAYLEY-HAMILTON.

Eine bekannte klassische Kovariante ist die Hessesche, welche die Diskriminante bei quadratischen Formen verallgemeinert. Wir betrachten die Darstellung von G = SL(V) (oder einer beliebigen Untergruppe G von SL(V)) auf den homogenen Formen Fn := sn V* vom Grad n. Die Hessesche ist dann folgendermassen definiert:

[j2 f Hess f := det( <7 <7 ).

Xi Xj

Es ist nicht schwierig nachzurechnen, dass es sich hierbei um eine Kovariante Hess: Fn --+ Fn(n-2) vom Grad n handelt.

Zum Schluss kehren wir nochmals zur allgemeinen Situation einer beliebigen Darstellung von G auf V zurück und betrachten eine invariante Funktion f E k[V]G. Das Differential von f können wir auffassen als Abbildung df : V --+ V*, V I-t dfv. Wählt man in V eine Basis und in V* die duale, so ist


df gegeben durch grad f := (lt, lt, ... , -It:). Es ist leicht zu sehen, dass df eine Kovariante (vom Typ V* und vom Grad gradf -1) ist. Hier stellt sich die interessante Frage, welche Kovarianten man auf diese Weise erhält. Nimmt man etwa die Darstellung von GLn(k) auf Mn(k) durch Konjugation, so erzeugen die Differentiale der Invarianten den Modul der Kovarianten. Im Allgemeinen ist dies jedoch nicht richtig, wie man leicht an Beispielen erkennt (siehe Aufgabe 1.1 ).

Aufgaben

1. Bestimme den Invariantenring der Darstellung von Z2 auf V := k2 durch Multiplikation mit ±1. Wie sehen die Kovarianten vom Typ V aus?

2. Zeige, dass jede Invariante als Summe von homogenen Invarianten geschrieben werden kann.

3. Zeige, dass die Invarianten der 2 X 2-Matrizen M2( k) bezüglich Konjugation mit GL2 (k) von Spur und Determinante erzeugt werden.

4. Die Invarianten der Darstellung von SLn(k) auf Mn(k) durch Linksmultiplikation werden von der Determinanten erzeugt.

5. Gibt es in V eine Zariski-dichte Bahn von G, so ist jede Invariante eine Konstante. (Eine Teilmenge X C V heisst Zariski-dicht, falls jede Funktion fE k[VJ, für welche fex) = 0 gilt für alle x E X, die Nullfunktion ist.)

6. Es sei G eine endliche kommutative Gruppe und p : G --t GL(V) eine endlichdimensionale komplexe Darstellung. Für eine geeignete Basis von V wird der Invariantenring C[VJG von Monomen erzeugt, welche alle einen Grad:::; IGI haben. Ist G nicht zyklisch, so gilt das echte Ungleichheitszeichen (vgl. [Schm88]).

§ 2 Invarianten von Vektoren und Kovektoren Wir betrachten zunächst die Darstellung von GL(V) auf

VP EB V*q = V EB ... EB V EB V* EB ... EB V* . ~ '"-v--'

P mal qmal

Die "Skalarprodukte" (vl, ... ,vp ,6, ... ,eq ) 1--+ (x;,ej):= ej(Vi) sind offenbar Invarianten unter dieser Operation. Wir bezeichnen diese Funktionen mit (i,j). Das erste Fundamentaltheorem besagt, dass sie den Invariantenring erzeugen:

2.1. Erstes Fundamentaltheorem lür GLn • Die Invarianten der Darstellung von GL(V) auf VP EB V*q werden von den Skalarprodukten (i,j) erzeugt:

k[VP EB V*q)GL(V) = k[(i,j) 11 ::; i ::; p, 1 ::; j ::; q).

Einen Beweis werden wir erst später in 6.5 geben, nachdem wir den Satz mittels Polarisierung und Restitution (§ 6) auf den multilinearen Fall zurückgeführt haben. Den Spezialfall q = 0 (oder auch p = 0) kann man allerdings direkt

§2 Aufgaben 47

einsehen: Jede Invariante f auf VP oder auf V*q ist eine Konstante, denn es gilt f(v) = f(>"v) für alle>.. E k* und damit auch für >.. = o.

Betrachten wir jetzt die spezielle lineare Gruppe SL(V) anstelle von GL(V), so finden wir noch weitere Invarianten. Hierzu wählen wir eine Basis el, ... , en von V und identifizieren V mit den Spaltenvektoren von kn . Für n Vektoren VI, ... , Vn E V sei dann

[VI, ... ,Vn ] :=det(vI, ... ,Vn ),

die Determinante der n x n Matrix (VI,' .. , vn ). Damit erhalten wir für jede echt aufsteigende Folge i l < i 2 < ... < in von ganzen Zahlen zwischen 1 und p eine SL(V)-invariante Funktion [i l ... in] auf VP definiert durch

Entsprechend definieren wir die Invariante [it .. . jn]* auf V*q.

2.2. Erstes Fundamentaltheorem ltir SLn • Die Invarianten auf VP EB v*q unter SL(V) werden von den Skalarprodukten (i,j) und den Determinanten [i l ... in] und [j1 .. . jn]* erzeugt:

k[VP EB V*q]SL(V) = k[(i,j), [i l ... in], [j1 .. . jn]*].

Der Beweis dieses Resultates ergibt sich aus den Sätzen von CAPELLI und WEYL; wir werden später darauf zurückkommen (§ 7). Einzelne Spezialfälle sind wiederum klar. So hat etwa SL(V) auf VP keine Invarianten, falls p < n := dim V gilt, denn in diesem Falle hat SL(V) eine Zariski-dichte Bahn in VP und jede Invariante ist deshalb eine Konstante (vgl. Aufgabe 1.5). Für p = dim V ist die Determinante eine erzeugende Invariante, was man ebenfalls direkt einsehen kann (Aufgabe 1.4). Es ist auch nicht schwierig zu sehen, dass das erste Fundamentaltheorem für GLn (2.1) eine Konsequenz des ersten Fundamentaltheorems für SLn ist (vgl. Aufgabe 2.1).

Die beiden obigen Resultate sind in dem Sinne "fundamental", als dass viele klassische Probleme der Invariantentheorie von GLn und SLn mit Hilfe von Polarisierung und Restitution darauf zurückgeführt werden können (§ 6). Dieses Verfahren wird symbolische Methode genannt und bildet eines der wichtigsten Hilfsmittel der klassischen Invariantentheorie.

Aufgaben

1. Folgere das erste Fundamentaltheorem für GLn aus dem für SLn • Verwende dabei die Beziehung [i l , ... ,in][jl, ... ,jn]' = det((iv,jlL))V'IL=l, ... ,n.

2. Beweise folgenden Spezialfall des ersten Fundamentaltheorems:

k[V EB V']GL(V) = k[V EB V']SL(V) = k[( , )].


§ 3 Invarianten von Matrizen Wir betrachten als nächstes die Darstellung von GL(V) auf End(V) durch Konjugation:

gA := gAg-I, g E GL(V), A E End(V).

Schreiben wir das charakteristische Polynom XA(t) in der Form n

XA(t) = det(tE - A) = t n + ~)-l)iSi(A)tn-i, i=1

so sehen wir, dass die Si invariante homogene Funktionen vom Grad i auf End(V) sind.

3.1. Satz. Der Invariantenring von End(V) unter Konjugation mit GL(V) wird erzeugt von den algebraisch unabhängigen Funktionen SI, S2, . .. ,Sn:

k[End(V)]GL(V) = k[SI, S2, ... , Sn].

BEWEIS: Für eine Matrix A in rationaler Normalform

o an 1 0

A = (*)

1 0 a2

1 al

gilt bekanntlich si(A) = (-l)i+I ai . Eine beliebige Matrix A lässt sich genau dann in rationale Normalform konjugieren, wenn A zyklisch ist, d.h. wenn es ein v E V gibt mit der Eigenschaft, dass V von den Aiv, i = 1,2, ... aufgespannt wird. Man zeigt nun, dass die zyklischen Matrizen eine Zariski-dichte Teilmenge aller Matrizen Mn(k) bilden (siehe Aufgabe 3.6). Eine invariante Funktion f ist deshalb eindeutig durch ihre Einschränkung f auf die Matrizen in rationaler Normalform (*) festgelegt, und diese ist offensichtlich ein Polynom in den ai:

/(A) = p(al, ... , an) = ß(al, -a2, ... , (-lt+I an ).

Es folgt hieraus, dass f(A) = ß(sl(A), ... ,sn(A» gilt für alle Matrizen A. Also ist f = ß(SI,S2, ... ,sn) ein Polynom in den Si, und die Behauptung folgt. 0

Bekanntlich sind die si(A) die i-ten elementarsymmetrischen Funktio-nen der Eigenwerte Al, ..\2, ... , An von A:

Si(A) = (7i(Al, A2, ... , An).

Nun lassen sich über Q die (7i(Al, ... , An) polynomial durch die Potenzsummen

"li (tl , t 2, .. ·, t n) := t 1 i + t 2i + ... + t ni

ausdrücken (Aufgabe 3.5; vgl. [Kra, 11.3.6 Lemma] oder [Wey, Chap. II.A.3]). Definieren wir daher die invarianten Funktionen SPj E k[End(V)]GL(V) durch

§3 Invarianten von Matrizen

sPi(A) := Spur Ai,

so erhalten wir aus obiger Überlegung leicht das folgende Korollar:

3.2. Korollar. k[End(V)]GL(V) = k[sPl' SP2'· .. ' sPn].

49

Diese Form des Satzes 3.1 lässt sich nun auf die Darstellung von GL(V) auf mehreren Kopien von End(V) verallgemeinern. Dabei ist die lineare Aktion von GL(V) auf End(V)m gegeben durch simultane Konjugation:

g(A1, A 2 , ••• , Am) := (gA1g- 1, gA2g-1, ... , gAmg-1).

Für jede Folge h ,h, ... ,jr von ganzen Zahlen zwischen 1 und m sei die Funktion sPit ... ir E k[End(V)m] folgendermassen definiert:

sPit ... ir(Al, ... , Am) = Spur(Ail Ah ... Air)·

Diese Funktionen sind offensichtlich invariant. Nach dem folgenden Satz bilden sie ein Erzeugendensystem für den Invariantenring.

3.3. Erstes Fundamentaltheorem für Matrizen. Die Invarianten der Darstellung von GL(V) auf End(V)m durch simultane Konjugation werden erzeugt von den verallgemeinerten Spuren sPit ... ir:

k[End(V)m]GL(V) = k[sPil ..... ir I h, ... ,jr E {1, ... , m }].

Aus dieser Formulierung ist nicht zu entnehmen, dass es ein endliches Erzeugendensystem gibt. Razmyslov und Procesi haben jedoch gezeigt, dass es für ein Erzeugendensystem genügt, die Spuren sPit ... ir vom Grad r ~ n 2 zu verwenden (vgl. [Pro, Chap. II, 8.7]). Es wird vermutet, dass man sogar mit dem Grad r ~ (nt1) auskommt, doch konnte dies erst für dim V ~ 3 nachgewiesen werden ([For, § 5, Theorem 7]).

3.4. Wir wollen noch ein weiteres Beispiel eines Erzeugendensystemes von Kovarianten angeben, welches wir schon in 1.3 kurz gestreift haben. Hierzu betrachten wir wiederum die Endomorphismen End(V) mit der linearen Aktion von GL(V) durch Konjugation. Die Potenzen A f-+ Ai : End(V) --+ End(V) sind offensichtlich Kovarianten vom Typ End(V). Es stellt sich heraus, dass sie den Kovariantenmodul erzeugen:

Satz. Die Kovarianten von End(V) vom Typ End(V) bilden einen freien Modul vom Rang n := dim V mit der Basis 'Trj : A f-+ Aj, j = 0, ... ,n - 1.

Bemerkung. Der obige Satz 3.1 besagt unter anderem, dass der Invariantenring k[End(V)]GL(V) ein Polynomring in n Variablen ist. Es gilt aber noch mehr: Der Koordinatenring k[End(V)] selbst ist ein freier Modul über dem Invariantenring. Dies wurde von Kostant bewiesen [Kos], und gilt allgemein für die sogenannten kofreien Darstellungen; wir verweisen hierfür auf die Literatur [Schw1,Schw2]. Da der Koordinatenring eine direkte Summe der Kovariantenmoduln ist, folgert man hieraus, dass alle Kovariantenmoduln frei sind. Man


kann auch deren Rang berechnen: Ist W der Typ und T C GL(V) ein maximaler Torus ist, so ist der Rang gleich dirn W*T. Am obigen Beispiel lässt sich dies leicht bestätigen.

Als Folgerung aus obigem Satz sehen wir, dass sich die Potenzen Ai mit i ~ n polynomial mit invarianten Koeffizienten durch E,A,A2 , ... ,An-1 ausdrücken lassen. Dies lässt sich auch direkt aus dem bekannten Satz von CAYLEY-HAMILTON ablesen (Aufgabe 3.2).

Aufgaben

1. Der Invariantenring von M2 EB M2 unter simultaner Konjugation durch GL2

wird erzeugt von den fünf algebraisch unabhängigen Funktionen (A, B) >-+

spA, spA2 , spB, spB2 , spAB.

2. Folgere aus dem Satz von CAYLEY-HAMILTON, dass sich für eine Matrix A E Mn jede Potenz Ai mit i ~ n linear durch E, A, A 2 , ••• , An- 1 mit invarianten Koeffizienten ausdrücken lässt.

3. Zeige, dass eine Matrix A E Mn genau dann nil potent ist, wenn alle homogenen Invarianten von positivem Grad auf A verschwinden.

4. Beschreibe ein Erzeugendensystem für die Invarianten der Darstellung von GL(V) auf VP EB End(V)m EB V· q •

5. Zeige, dass die symmetrischen Funktionen in n Variablen t 1 , ••• ,tn von den Potenzsummen t{ + ... + t~ mit j = 1, ... , n erzeugt werden (vgl. [Kra, Lemma 11.3.6] oder [Wey, Chap. II.A.3]). Gilt dies auch für einen Körper mit positiver Charakteristik?

6. Ist der Körper k algebraisch abgeschlossen, so bilden die n X n-Matrizen mit lauter verschiedenen Eigenwerten eine Zariski-dichte Teilmenge von Mn(k). Folgere daraus, dass für einen beliebigen Körper k die zyklischen (und auch die halbeinfachen) Matrizen eine Zariski-dichte Teilmenge bilden.

§ 4 Multilineare Invarianten 4.1. Wir wollen uns kurz die multilinearen Invarianten von Vektoren und Kovektoren und von Matrizen anschauen. In der Situation der Paragraphen 2 und 3 (vgl. die Sätze 2.1 und 3.1) führt dies auf die Frage nach den linearen invarianten Funktionen auf

v 0 ... 0 V 0 V* 0 ... 0 V* '-....-' '-v-"

p q

und End(V) 0 ... 0 End(V) . , #

m

Es ist leicht zu sehen, dass es im ersten Falle für p =f q keine linearen Invarianten =f 0 gibt. Für p = q = m können wir aber die beiden Seiten identifizieren:

ß: vOm 0 V·0 m .::'t End(V)0m . (*)

Wir verwenden dabei den kanonischen Isomorphismus V 0 V' .::'t End(V), welcher einem "reinen Tensor" v 0 1] die lineare Abbildung 'f'v,1J : w f-t 1]( w)v

§4 Multilineare Invarianten 51

vom Rang 1 zuordnet. Nun besagt das erste Fundamentaltheorem für GLn (Satz 2.1), dass

die linearen Invarianten von vl8im ® V* l8im von den Funktionen

Ca := (0'(1),1)(0'(2),2) ... (O'(m), m)

aufgespannt werden, wobei 0' die symmetrische Gruppe Sm durchläuft. Es gilt also

4.2. Um eine entsprechende Interpretation für das Fundamentaltheorem für Matrizen (Satz 3.1) zu erhalten, schreiben wir 0' E Sm als Produkt disjunkter Zyklen,

0' = (i l ... ir)(iI ... ja)"· (11 .. . l t ),

unter Einschluss aller Einerzyklen, und definieren die lineare invariante Funktion SPa durch

sPa(A l ® ... ® Am) :=

Sp(Ai1 ···Air)Sp(Ail ···Ai.)·· 'Sp(AI1 .··Al,),

wobei sp(A) die Spur der Matrix A ist.

4.3. Lemma. Unter dem kanonischen Isomorphismus ß in (*) geht die Invariante Ca in SPa über.

Der Beweis des Lemmas sei dem Leser zur Übung überlassen. Er beruht auf folgender Tatsache: Bezeichnen wir wie oben mit <Pv,1/ die dem reinen Tensor v ® TJ zugeordnete lineare Funktion auf End(V), so gilt

Spur(Cf'vl,1/1 Cf'v2,1/2'" Cf'vr ,1/r) = 7]1(V2) 7]2(V3)'" 7]r-l(Vr ) 7]r(Vl),

und die rechte Seite ist gerade SPa mit dem Zyklus 0' = (1,2, ... ,r).

4.4. Bemerkung. Damit sehen wir, dass die multilinearen Versionen der beiden Sätze 2.1 und 3.1 äquivalent sind. Die Methode der Polarisierung und Restitution, welche wir in Paragraph 6 beschreiben werden, wird es uns dann erlauben, den Beweis der beiden Sätze auf deren multilineare Version zurückzuführen. Es genügt deshalb, eine der beiden multilinearen Versionen zu beweisen. Dies soll im nächsten Paragraph geschehen.

Aufgabe

Die bilinearen Invarianten auf End(V) EB End(V) werden aufgespannt von (A, B) 1-+ Spur A· Spur Bund (A, B) 1-+ Spure AB). Die zweite dieser beiden Formen ist nicht ausgeartet.


§ 5 Tensor-Invarianten Wir wollen hier ein Problem betrachten, welches zunächst völlig unabängig von den bisher behandelten Fragen erscheint. Auf dem Tensorprodukt

v®m := V 0 V 0 ... 0 V " .I V

mmal

haben wir zwei Darstellungen, eine der Gruppe GL(V) in üblicher Weise:

g( VI 0 V2 0 ... 0 v m ) = gVI 0 gV2 0 ... 0 gvm ,

und eine der symmetrischen Gruppe Sm durch Permutationen:

O( VI 0 V2 0···0 vm) = V.,.-l(I) 0 v.,.-1(2) 0 ···0 V.,.-l(m).

(Die Verwendung von a- I is notwendig, danIit wir eine Links-Operation erhalten.) Es ist klar, dass die beiden Aktionen miteinander vertauschen. DanIit erhalten wir zwei Gruppenhomomorphismen

GL(V) -+ GL(v®m),

Sm -+ GL(v®m),

deren Bilder miteinander kommutieren. Wir bezeichnen die von den Bildern aufgespannten Unteralgebren von End(V®m) mit (GL(V)) und (Sm). Der folgende Satz besagt nun, dass diese bei den Unteralgebren die Zentralisatoren voneinander sind.

5.1. Satz. (a) (GL(V)) = Endsm(V®m).

(b) (Sm) = EndGL(v)(V®m).

BEWEIS: (a) Wir verwenden den kanonischen Isomorphismus End(V®m) ~ (End v)®m. Dieser sendet das Bild eines Elementes gaus GL(V) nach 9 0 9 0 ···0 g, und das Bild von Endsm(V®m) ist der Unterraum der symmetrischen Tensoren in (End v)®m. Die Behauptung ergibt sich mit dem nachstehenden Lemma 5.2.

(b) Die Unteralgebra (Sm) ist homomorphes Bild der Gruppenalgebra kSm, welche nach dem Satz von MASCHKE halbeinfach ist. Die Algebra (Sm) ist daher ebenfalls halbeinfach und somit gleich ihrem Doppelzentralisator (siehe [Pie, 12.7], d.h. gleich dem Zentralisator von Endsm(V®m). Nach (a) ist dieser gleich dem Zentralisator von (GL(V)), also gleich EndGL(v)(V®m). 0

5.2. Lemma. Sei Wein endlichdimensionaler k- Vektorraum und X C Weine Zariski-dichte Teilmenge. Die symmetrischen Tensoren in W 0 W 0 ... 0 W werden von den x 0 x 0 ... 0 x mit x E X aufgespannt.

(Wir erinnern daran, dass eine Teilmenge X C W Zariski-dicht heisst, falls jede Funktion f E k[W], für welche f( x) = 0 gilt für alle x EX, die Nullfunktion ist; vgl. Aufgabe 1.5.)

§5 Tensor-Invarianten 53

BEWEIS: Sei Wl, ••• , W n eine Basis von W. Dann bilden die Vektoren Wi l ® ... ® Wim eine Basis von w®m, welche unter Sm stabil ist. Jeder Sm-Orbit hat einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form w?hl ® w~h2 ® ... ® w~hn mit h1 + h2 + ... + hn = m. Wir bezeichnen mit rhl, ... ,hn die Summe der Elemente dieses Orbits in w®m. Es ist klar, dass diese rhl, ... ,hn eine Basis der symmetrischen Tensoren Em C w®m bilden. Wir beweisen das Lemma, indem wir zeigen, dass jede lineare Funktion A : Em -+ k, welche auf allen x ® ... ® x verschwindet, die Nullfunktion ist. Schreiben wir x = L: XiWi, so folgt

XlVI • •• IVI X = ~ x 1hl •.• xhnrh h. "01 \01 L...J n 1,···, n

Damit gilt

A(X ® ... ® x) = ~ ah h X 1hl ••• X hn L...J 1,"" n n

mit ahl, ... ,hn := A(rhl, ... ,hn ) E k. Dies ist ein Polynom in Xl, •.• ,Xn , welches nach Voraussetzung auf X verschwindet. Da X Zariski-dicht ist, ist es das Nullpolynom, d.h. alle ahl, ... ,hn sind Null, und folglich A = o. 0

5.3. Bemerkungen. (a) Als erstes ergibt sich aus obigem Satz 5.1, dass (GL(V)) als Zentralisator von (Sm) ebenfalls eine halbeinfache Unteralgebra ist. Insbesondere ist die Darstellung von GL(V) auf v®m vollständig reduzibel. Man kann daraus schliessen, dass jede polynomiale Darstellung von GL(V) vollständig reduzibel ist (vgl. Aufgabe 5.3).

(b) Als nächstes betrachten wir v®m als Darstellung von G L( V) x Sm. Eine weitere Konsequenz des obigen Satzes 5.1 ist, dass diese Darstellung in eine direkte Summe von nicht-äquivalenten irreduziblen Darstellungen Wi zerfällt:

v®m = W1 6) ... 6) Wr ,

wobei die Summanden W i gerade die isotypischen Komponenten sowohl für GL(V) als auch für Sm sind (siehe Aufgabe 5.1). Man erhält damit eine Paarung zwischen irreduziblen Darstellungen von GL(V) und Sm. Man beachte dabei, dass jede irreduzible Darstellung von Sm vorkommt, falls nur dirn V ~ mist (Aufgabe 5.2).

5.4. Beweis der multilinearen Fundamentaltheoreme. Wir wollen noch überlegen, dass wir mit Satz 5.1 die multilineare Version der beiden ersten FUndamentaltheoreme beweisen können (siehe Bemerkung 4.4). Wir betrachten den kanonischen Isomorphismus

a : End W ~ (W ® W*)*,

welcher durch a(A)(w ® 'IjJ) = 'IjJ(Aw) gegeben ist. Für W = v®m bildet dieser die Unteralgebra EndGL(v)(V®m) bijektiv auf die GL(V)-invarianten multilinearen Funktionen auf v®m ® V*®m ab. Es ist nun leicht nachzurechnen, dass dabei das Bild eines u E Sm in EndGL(v)(V®m) übergeht in die in 4.1 definierte Invariante C.,-l = {li u(l))··· (m I u(m)). Es folgt daher aus Satz 5.1(b), dass


die Cu die multilinearen Invarianten auf V0m ® V· 0m (linear) erzeugen. Mit Lemma 4.3 ergibt sich dann, dass die spu die multilinearen Invarianten von End(V)m erzeugen.

Damit sind die multilinearen Versionen der beiden ersten Fundamen-taltheoreme bewiesen. 0

Aufgaben

1. Sei Wein endlichdimensionaler k- Vektorraum, A C End(W) eine halbeinfache Unteralgebra und B := A' der Zentralisator von A. Dann ist B ebenfalls halbeinfach, und jede isotypische Komponente Wi von Wals A-Modul ist auch isotypische Komponente als B-Modul. Zudem ist Wi ein einfacher A 0 B-Modul von der Gestalt Ui 0Di V; mit einem einfachen A-Modul Ui, einem einfachen B-Modul V; und dem Schiefkörper Di = EndA(Ui) ~ EndB(V;).

2. Sei G eine endliche Gruppe und p : G -+ GL(V) eine treue Darstellung. Dann kommt jede irreduzible Darstellung von G in einer geeigneten Tensorpotenz V0 N vor. Folgere daraus, dass jede irreduzible Darstellung der Sm in V<8I m vorkommt, falls dirn V ~ m gilt.

3. Sei G C GL(V) eine beliebige Untergruppe. Eine (endlichdimensionale) Darstellung p : G -+ GL(W) heisst polynomial, falls bei Wahl von Basen in V und W die Matrixkoeffizienten Pkl(g) Polynome in den Matrixkoeffizienten gij von 9 E G sind. (Es ist leicht zu sehen, dass dies nicht von der Basiswahl abhängt.) Sei nun P : G -+ GL(W) eine polynomiale Darstellung.

(a) Ist P irreduzibel, so kommt Wals Unterdarstellung (als Restklassendarstellung) einer geeigneten Tensorpotenz V<8I N vor.

(b) p kommt als Unterdarstellung einer direkten Summe von Tensorpotenzen von V vor.

(c) Sind alle Tensorpotenzen V<8I N vollständig reduzible Darstellungen von G, so ist jede polynomiale Darstellung von G vollständig reduzibel.

§ 6 Polarisierung und Restitution Polari8ierung und Re8titution ermöglichen uns, die Bestimmung von beliebigen Invarianten auf den multilinearen Fall zurückzuführen. Zunächst bemerken wir, dass jede Invariante J E k[V]G eine Summe von homogenen Invarianten ist (Aufgabe 1.2). Es gilt nämlich

k(V]G = EB k[V]~ d

(siehe 1.1), wobei k[V]d der Unterraum der homogenen Polynome vom Grad d ist.

Sei nun J E k[V]d und t I , t 2 , ••• ,td Unbestimmte. Wir entwickeln J( t I VI +t2V2 + .. ·+tdVd) nach Potenzen der ti und erhalten folgende Darstellung:

§6 Polarisierung und Restitution 55

l(tl VI + t2V2 + ... + tdVd) = L t~l ... t~d 1"1 , ... ,S.( VI,·· . , Vd).( *) Sl+ ••• "d=d

Die Koeffizienten l"l, ... ,lJd(Vt, ... , Vd) sind multihomogene Funktionen auf V d vom (Multi-)Grad (SI, ... , Sd).

6.1. Definition. Die multilineare Funktion ft, ... ,1 : V d -+ k heisst die (totale) Polarisierung von f. Wir bezeichnen sie mit PoIl.

Wir bemerken, dass Pol I symmetrisch ist und dass der lineare Operator Pol: k[V]d -+ Sym V d GL(V)-äquivariant ist. Dabei bezeichnet Sym V d C k[Vd] den Unterraum der symmetrischen multilinearen Funktionen.

6.2. Lemma. Für I E k[V]d und V E V gilt (Polf)(v,v, ... ,v) = d!/(v).

BEWEIS: Dies folgt unmittelbar aus der Definition, indem man in (*) VI = V2 = ... = Vd = V setzt und die Homogenität von I ausnutzt. 0

Für ein multilineares F : V d -+ k nennen wir die homogene Funktion I( v) = F(v,v, ... ,v) die Restitution von I. Damit können wir nun folgenden Satz formulieren; der Beweis ergibt sich sofort aus dem Vorangehenden.

6.3. Satz. Sei V eine Darstellung der Gruppe G. Jede homogene Invariante I E k[V]G ist Restitution einer multilinearen Invarianten F : V d -+ k.

Für viele Anwendungen ist die Darstellung V eine direkte Summe Vt EI) V2 EI) ••• EI) Vr von Darstellungen. Dann ist jede Invariante I E k[V] = k[Vt EI) V2 EI) ••• EI) Vr]G eine Summe von multihomogenen Invarianten. Den Polarisierungsprozess kann man nun auf jede Variable Vi E Vi einer multihomogenen Funktion I E k[VI EI) V2 EI) ••• EI) Vr ] vom (Multi-) Grad (dI , d2 , ••• , dr ) anwenden und erhält eine multilineare Funktion

Pol I . v,d1 in v.d2 in ••• in V dr ---+ k ·IW2W Wr ,

welche in jedem Vidi symmetrisch ist und (totale) Polarisierung von I genannt wird. Der lineare Operator Pol ist äquivariant bezüglich der Aktion des Produktes GL(VI ) x GL(V2 ) X ••• x GL(Vr ), und es gilt:

(Pol 1)( VI, ••• , VI, V2, ... , V2, ... , Vr, ... , Vr) = ~ --.......--- --.......---

d1 d2 dr

= dI!d2!··· dr!/(VI, V2, ... , vr).

Wie oben ergibt sich damit der folgende Satz:

6.4. Satz. Es seien Vt, V2, ... , Vr Darstellungen der Gruppe G. Jede multihomogene Invariante I E k[Vt EI) V2 EI) ••• EI) Vr]G ist Restitution einer multilinearen Invarianten F : ~d1 EI) ••• EI) V/r -+ k.

6.5. Beweis des ersten Fundamentaltheorems. Als erste Anwendung erhalten wir nun einen Beweis des ersten Fundamentaltheorems 2.1. Nach 5.4 ist


jede multilineare Invariante F : vm Ef) V*m --+ keine Linearkombination der Invarianten hu = (1,a(1))(2,a(2))··· (m,a(m)), a E Sm, und die Restitution von hu ist offensichtlich ein Monom in den (i,j). Nach obigem Satz 6.4 bedeutet dies gerade, dass die (i,j) den Invariantenring erzeugen. Dies beweist das erste Fundamentaltheorem für GL(V).

Der Beweis des ersten Fundamentaltheorems für Matrizen 3.1 ergibt sich ganz entsprechend: Die Restitutionen der multilinearen Invarianten spu (siehe 4.2) sind Monome in den verallgemeinerten Spuren sPit, ... ,jr.

6.6. Beispiel: Invarianten einer quadratischen Form und eines Vektors. Sei Q := S2(V*) der Vektorraum der quadratischen Formen auf V. Auf Q Ef) V gibt es die Invariante a : (q, v) I-t q( v) unter GL(V). Wir wollen zeigen, dass diese den Invariantenring erzeugt:

k[Q Ef) VlGL(V) = kral·

Ist f ein beliebige bi homogene Invariante vom Grad (r,s), so gilt für einen Skalar t E k* c GL(V): f(q,v) = tf(q,r) = fC-1q,rIv) = f(eq,rIv) = t 2r- s f(q, v). Ist daher f =f 0, so muss 2r = s gelten. Nun betrachten wir die totale Polarisierung von f; diese ist eine multihomogene Invariante

F = Polf: Qr Ef) V 2r --t k,

also ein Element aus (Q0r ® V02r)* GL(V). Aus der Inklusion Q '---+ V* ® V* erhalten wir eine surjektive lineare Abbildung

'P : (V*2r Ef) V 2r )* -----* (Qr Ef) V 2r )*,

welche die GL(V)-Invarianten ebenfalls surjektiv aufeinander abbildet. Es ist nun leicht zu sehen, dass das Bild von hu = (1, a(1))(2, a(2)) ... (2r, a(2r)) nach Restitution gerade a r ist.

§ 7 Einige Resultate von CAPELLI und WEYL

7.1. GLp-Aktion auf den Invarianten. Wir kehren zurück zu unserem ursprünglichen Problem der Bestimmung von Invarianten einer direkten Summe von p Kopien einer Darstellung

p: G --t GL(V)

einer beliebigen Gruppe G. Auf dieser Summe VP = V Ef) •.• Ef) V haben wirneben der Darstellung von G-eine natürliche lineare Aktion von GLp :

g( vI, ... ,vp ) := (VI, ... ,vp ) . g-I .

Dabei hat die rechte Seite dieser Gleichung die übliche Bedeutung:

(VI, . .. ,vp ) . (aij )i,j=I, ... ,p = ( ... ,l:f=I aijVi, ... ).

§7 Einige Resultate von CAPELLI und WEYL 57

Wählen wir eine Basis von V und identifizieren wir VP mit den n x p-Matrizen Mnxp , so ist dies gerade die RechtsmultipIikation mit der Matrix g-1. Es ist klar, dass diese Aktion von GLp mit der Darstellung von G auf VP vertauscht. Damit ergibt sich das folgende Lemma:

7.2. Lemma. Der Invariantenring K[VP]G ist stabil unter GLp •

Für pi $ p betten wir VP' in VP ein unter Verwendung der ersten pi Kopien:

VP' '-+ VP (V1' ... 'V~) 1-+ (V1, ... ,v~,O, ... ,0).

Diese Einbettung ist äquivariant bezüglich der Inklusion

A (A ° ) 1-+ ° Ep _ p' •

Weiter identifizieren wir den Koordinatenring k[VP'] mit dem Unterring derjenigen Funktionen von k[VP], welche nicht von den letzten p- pi Kopien von V abhängen. Diese Einbettung entspricht der Projektion VP _ VP' auf die ersten pi Kopien und ist äquivariant bezüglich G und auch bezüglich der Abbildung (*). Damit folgt

k[VP']G = k[VP'] n k[VP]G c k[VP]G,

und nach dem obigen Lemma 7.2 enthält k[VP]G sogar den GLp-Modul erzeugt von k[VP']G. Es gilt nun das folgende zentrale Resultat der klassischen Invariantentheorie, welches auf CAPELLI [Cap] zurückgeht:

7.3. Satz. Es sei p ~ n := dim V und U C k[VP] ein GLp-stabiler Unterraum. Dann ist U als GLp-Modul erzeugt vom Durchschnitt mit k[vn]:

U = {U n k[Vn]}GLp •

(Wir benützen die Bezeichnung (S)GLp für den GLp-Modul erzeugt von einer Teilmenge S einer Darstellung von GLp.)

Dieser Satz zeigt zusammen mit Lemma 7.2, dass man die Invarianten von p ~ n = dim V Kopien aus denen von n Kopien durch Anwendung von GLp erhält.

Folgerung A. Für p ~ n = dim V gilt

k[VP]G = (k[Vn]G)GL p •

(vgl. [Wey, 11.5 Theorem 2.5.AJ)

Folgerung B. Sei U C k[vn]G ein GLn-stabiler Unterraum, welcher den Invariantenring als k-Algebra erzeugt.

(a) Für p ~ n wird k[VP]G erzeugt von (U)GLp •

(b) Für p $ n wird k[VP]G erzeugt von res U := UI VI' I f E U}, und es gilt res U = U n k[VP].


BEWEIS: Sei p 2: n und R C k[VP] die Unteralgebra erzeugt von (U)GLp • Dann ist Rein GLp-stabiler Unterraum von k[VP]G. Wegen R :J. k[U] = k[vn]G folgt die Behauptung (a) mit Folgerung A.

Für p ~ n betrachten wir die Restriktionsabbildung res: k[Vn] _ k[VP], f 1-+ flvp. Diese ist G-äquivariant und bildet k[VP] identisch auf sich ab. Die Komposition

k[VP]G '--t k[Vn]G -t k[VP)G

ist daher ebenfalls die Identität und folglich res: k[Vn)G -t k[VP)G surjektiv. Dies zeigt, dass res U den Invariantenring k[VP)G erzeugt. Die Beziehung res U = U n k[VP) gilt sicherlich für einen multihomogenen Unterraum von k[vn]. Da U nach Voraussetzung GLn-stabil ist, ist dies hier der Fall (vgl. Aufgabe 7.1). 0

7.4. Zum Beweis des Satzes von CAPELLI. Der klassische Beweis des obigen Satzes beruht auf der CAPELLI-DERUYTS-Entwicklungj diese ergibt sich ihrerseits aus einer fundamentalen Beziehung zwischen den Differentialoperatoren ßij (7.6), der sogenannten CAPELLI-Identität. Vom Standpunkt der Darstellungstheorie aus lässt sich das Resultat besser verstehen und auch relativ einfach beweisen. Dabei muss jedoch betont werden, dass die CAPELLI-Theorie etwas mehr liefert, in einfachen Fällen sogar explizite Zerlegungsformeln.

Zunächst erinnern wir daran, dass die Darstellung von GLp auf dem Koordinatenring k[VP) vollständig reduzibel ist (Bemerkung 5.3(b)). Es genügt daher für den Beweis des obigen Satzes nachzuweisen, dass jeder einfache GLp-Untermodul M C k[VP) die Unteralgebra k[Vn) trifft. (Hieraus folgt nämlich (M n k[vn))GL p = M und damit die Behauptung.) Nun ist bekannt, dass für die Untergruppe

der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen in der Diagonale immer MUp i= 0 gilt, und zwar für jede Darstellung M von Up (siehe [Kra, I1I.1.1 Satz 3]). Es bleibt also nachzuweisen, dass für alle p gilt

k[VP]up C k[Vn].

Durch Induktion genügt es zu zeigen, dass für p > n eine Up-Invariante f E k[VP] nicht von der letzten Variablen xp abhängt. Wir können annehmen, dass f multihomogen ist und f i= 0 ist. Dann gibt es ein Element

mit f( v) i= 0 und VI, •.. , vn linear unabhängig. Für em solches v gibt es Qz, .•. , Qp E k mit VI + Q2V2 + ... QpVp = O. Setzen wir

§7 Einige Resultate von CAPELLI und WEYL 59

u~ C 0 O:p

) EU" 1 O:p-l

1

so gilt u( VI, ... , Vp) = (VI, ... , Vp-l, 0). Dies zeigt, dass Up Vp-l in VP Zariskidicht ist. Eine Up-invariante Funktion hängt daher nicht von der letzten Variablen ab. 0

7.5. Primäre Kovarianten. Die Up-Invarianten heissen klassisch primäre Kovarianten und lassen sich folgendermassen beschreiben. Wir fixieren wiederum eine Basis von V und identifizieren VP mit den p x n-Matrizen:

( X~.l x~ .. p ) .

( VI , ... , vn ) +-+

Xnl x np

Satz. Die primären Kovarianten k[VP]up w~rden erzeugt von allen k x kMinoren der ersten k Spalten der Matrix (Xij)j~~·::".'.;, k = 1, ... , n.

Auch dieses Resultat ergibt sich aus der CAPELLI-Theorie. Für n = 2 erhalten wir zum Beispiel

k[Xll,XI2,X21,X22]Up = k[Xll,X21,XllX22 - X21X12], f

was man leicht direkt verifiziert.

7.6. Polarisierungs-Operatoren. Wir geben noch eine andere Beschreibung des GLp-Moduls (S)GL p aufgespannt von einer Teilmenge S C k[VP] unter Verwendung von Differentialoperatoren. In moderner Sprache handelt es sich dabei um die Operation der Liealgebra von GLp und deren Einhüllenden Algebra auf den Funktionen k[VP] durch Derivationen und Differentialoperatoren.

Zunächst betrachten wir die folgenden linearen Operatoren 6. ij auf k[VP], welche Polarisations-Operatoren genannt werden:

( '" .J)( ) .= J(VI' ... ' Vj + tVi,···, vp) - J(VI' ... ' vp) I UIJ VI, ... , Vp • •

t t=o

Verwenden wir Koordinaten in V und setzen wir Vi = (Xl (i), ... ,Xn (i»), so folgt

n . 8 " .. -"x (1). __ U 'J - L.....t 11 8x)j) .

11=1

Offenbar sind die 6.ij Derivationen von k[VP], d.h. es gilt

6. ij (Jh) = J6. ij h + h6.ij J für J, hE K[VP].

Das folgende Resultat ist wohlbekannt; wir überlassen den Beweis dem Leser.


7.7. Lemma (Taylor-Entwicklung).

(Da es sich bei f um ein Polynom handelt, ist die rechte Summe in Wirklichkeit endlich: b.ij v f = 0 für v 2: grad f. )

Beispiele. (a) Es gilt b.ijf = 0 falls f nicht von Vj abhängt.

(b) Ist f linear in v j , so folgt j

b.ij f( vI, ... , Vj, ... , vp ) = f( VI, ... , Vi, ... , Vp ),

d.h. Vj wird durch Vi ersetzt.

7.8. Satz. Ein linearer Unterraum U C k[VP] ist genau dann stabil unter GLp ,

wenn er stabil unter den Polarisations- Operatoren ist, d.h. es ist b.ijf E U für alle f E U und alle b.ij.

Der Satz besagt, dass man (S)GLp aus S erhält durch sukzessives Anwenden der Polarisations-Operatoren und bilden der linearen Hülle. Damit können wir obige Folgerung B in 7.3 anders formulieren:

Folgerung C. Sei S C k[Vn] ein Erzeugendensystem. Dann wird k[VP] für p 2: n von den Polarisierungen von S erzeugt.

BEWEIS (Satz 7.8): Für t E kund 1 :S i,j :S p setzen wir

Aij(t) := E + tEij E GLp (t -=f -1 im Falle i = j),

wobei E ij E Mp die Matrix mit einer Eins an der Position (i,j) und sonst lauter Nullen ist. Man weiss, dass die Matrizen Aij die Gruppe GLp erzeugen. Für f E k[VP] findet man mit der Taylor-Entwicklung 7.7

Aij(t)f(VI, ... ,Vp ) f(VI, ... ,Vj+tvi, ... ,Vp )

t V

= L ,b.i'jf(VI,,,., vp ) v.

v

Die Summe auf der rechten Seite ist endlich, und es folgt

(Ai j (t)f I t E K) = (b.i/ f Iv = 0,1, ... )

(siehe Aufgabe 7.3), womit die Behauptung bewiesen ist. o

7.9. Ein weiterer Satz von CAPELLI und WEYL. Im Falle einer unimodularen Untergruppe G C GLp können wir das Ergebnis von Satz 7.3 noch verschärfen. Hierzu fixieren wir eine Basis von V. Dann ist für jedes n-Tupel (VI, ... , Vn ) von Spaltenvektoren Vi E V = kn die Determinante det( VI, ... , v n )

definiert. Damit erhalten wir für jede Folge 1 :S i l < i 2 < ... < in :S p eine SL(V)-invariante FUnktion

§7 Aufgaben 61

[it , ... , inl : VP -t K , (Vt, ... ,vp ) t-+ det(Vill "" Vi n )'

Ein Beweis für das folgende Resultat steht in [Wey, 11.5 Theorem 2.5.Al.

Satz. Sei G C SL(V). Für jedes p ~ n = dim V wird der Invariantenring k[VP]G erzeugt von (K[vn-tlG)OL p zusammen mit allen Determinanten [it, ... ,in ].

Wie vorher ergibt sich damit das folgende Korollar:

Folgerung 1. Sei S C k[Vn-tlG ein Erzeugendensystem. Dann wird k[VPlG erzeugt von den Polarisierungen von S und allen Determinanten [i l , ... , inl.

Als Anwendung ergibt sich ein Spezialfall des ersten Fundamentaltheorems für SLn. (Man beachte hierbei, dass SL(V) in vn-t eine Zariski-dichte Bahn hat.)

Folgerung 2. Der Invariantenring k[VPlSL(V) wird erzeugt von den Determinaten [it, ... ,inl.

Aufgaben

1. Jeder GLp-stabile Unterraum U C k[VP] ist multihomogen.

2. Wir verwenden die Bezeichnungen von § 7.

(a) Eine Funktion f E k[VP] ist genau dann Up-invariant, wenn ßij f = 0 gilt für i > j.

(b) Es gilt k[VP]Up C k[Vn]. 3. Für beliebige Elemente fo,/t, ... ,fm E U eines k-Vektorraumes U gilt:

(fo + t/t + t 2 h + ... + tmfm I t E k) = (fo,/t, ... ,Jm).

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LOCAL PROPERTIES OF ALGEBRAIC GROUP ACTIONS

Friedrich Knop Hanspeter Kraft Thierry Vust

Domingo Luna

Table of Contents

Introduction ............... . § 1 The Theorem of SUMIHIRO . • .

§ 2 G-Linearization of Line Bundles § 3 Another Proof of SUMIHIRO'S Theorem § 4 Picard Group of a Linear Algebraic Group References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction

63 64 65 68 72

75

In this article we present a fundamental result due to SUMIHIRO. It states that every normal G-variety X, where G is a eonnected linear algebraie group, is loeally isomorphie to a quasi-projective G-variety, i.e., to a G-stable subvariety of the projective spaee pn with a linear G-action (Theorem 1.1). The central tools for the proof are G-linearization of line bundles (§2) and some properties of the Pieard group of a linear algebraie group (§4).

Along the proof, we also need some results about invertible functions on algebraie varieties and groups, whieh are due to ROSENLICHT . They are given in our seeond article "The Picard group 0/ a G-variety" in this volumej it will be quoted by [Pie].

We work over a field of characteristie zero. Nevertheless, the main results are valid in positive charaeteristie as weH, and our proofs seem to work in the general situation, too. We leave it to the reader to verify the details.

64 Knop et al.: Local Properties of Algebraic Group Actions

§ 1 The Theorem of SUMIHIRO

We fix an algebraically closed base field k of characteristic zero. Let G be a eonnected linear algebraie group and X anormal G-variety. We plan to give a proof of the following fundamental result due to SUMIHIRO [Su74,Su75].

1.1. Theorem. Let Y c X be an orbit in X. There is a finite dimensional rational representation G -+ GL(V) and a G-stable open neighborhood U of Y in X whieh is G-equivariantly isomorphie to a G-stable loeally closed subvariety of the projeetive spaee P(V).

(As usual, a representation p : G -+ GL(V) is called rational if p is a morphism of algebraic groups.)

Re mark. The plane cubic with an ordinary double point admits a k* -action with two orbits: the singular point as a fixed point and its complement which is isomorphie to k*. This example shows that the normality assumption in the theorem is necessary. In fact, for every representation V of k* the closure of an non-trivial orbit in P(V) always contains two fixed points (cf. [LV83, 1.6] or [Od78]).

1.2. Outline of Proof. Let Uo C X be an affine open subset with Uo nY =f 0. There is a line bundle L on X and a finite dimensional subspace N of the space HO (X, L) of sections of L such that the corresponding rational map

"IN : X ----> P(NV )

which sends x to the kernel of the map ex : N -+ Lx, u 1-+ u(x), induces a (biregular) isomorphism of Uo onto a locally closed subvariety of P(NV ). (N V

denotes the dual space of N.) In fact, consider the divisor D := X , Uo and the inverlible sheaf o( mD) of rational functions with poles of order at most m on D. If fo := 1, JI, ... , fn is a system of generators for the subalgebra k[Uo] c k(X) and N := (Jo,JI, ... .!n) the linear span of the fi'S, we have Ne HO(X,O(mD)) for all m ~ mo, and the claim follows.

The main step in the proof will be to show that for suitable m ~ mo the sheaf O( mD) is G-linearizable (Proposition 2.4). Then the linear action of Gon HO(X,O(mD)) is locally finite and rational ~Lemma 2.5). Replacing N by the finite dimensional G-stable subspace WeH (X,O(mD)) generated by N we obtain a G-equivariant rational map

"IW : X ----> P(WV )

which induces an isomorphism of U := GUo with a G-stable locally closed subvariety of P(WV).

1.3. In the next two paragraphs we give the details needed in the proof above. In paragraph 4 we offer a different proof based on techniques developed in [LV83].

§2 G-Linearization of Line Bundles 65

§ 2 G-Linearization of Line Bundles

2.1. We first recall some results concerning G-linearization of line bundles (cf. [MF82, Chap. I, §3]). As above, G is a linear algebraic group and X a Gvariety. We denote by cp : G x X -+ X the G-action and by p x : G x X -+ X the projection. Let 7r : L -+ X be a line bundle on X. We do not distinguish between the line bundle L and its sheaf of sections.

Definition. A G-linearization of L is aG-action

~:GxL-+L

on L such that (a) 7r : L -+ Xis G-equivariant and (b) the action is linear on the fibers, i.e., for every 9 E G and x E X the map ~x : Lx -+ Lgx is linear.

Example. Let H be a closed subgroup of G. We denote by 7r : G -+ GJH the projection and by X(H) the character group of H. For every character X E X( H) we define a line bundle Ex on G J H in the following way: It is the quotient of G x k by the action of H given by

h(g, x) := (gh- 1 , X(h)·x), (h E H,g E G,x E k).

(Of course one has to show that this quotient exists.) This defines a homomorphism

&: X(H) -+ Pic(GJH) : X 1-+ Ex·

The image of this map is the subgroup consisting of the G-linearizable line bundles on GJH. In fact, by construction, Ex is equipped with aG-action, which is linear in the fibres. On the other hand, given a G-linearized line bundle L on GJH, the group H acts on the fibre LH ~ k over H = eH E GJH by a character X, and the canonical map G x LH -+ L, (g, I) 1-+ gl induces an G-isomorphism Ex ~ L. In particular, every G-linearizable line bundle on G is trivial.

2.2. It is clear that for any G-linearization we obtain a commutative diagram

GxL ~ L

lidxW lw (1)

GxX ~ X

which is a pull-back diagram, i.e., it induces an isomorphism

G x L = pX(L) ~ cp*(L)

of line bundles on G x X. In fact, the commutativity of the diagram is equivalent to the G-equivariance of 7r : L -+ X, and the induced morphism pX( L) -+ cp*( L) is a bijective homomorphism of line bundles, since the action is linear on the fibers. In addition, the restrietion of ~ to {e} x L is the identity. We claim that the converse is true:


Lemma. Let cf> : G x L --+ L be amorphism. Assume that the diagram

GxL ~ L

lidx~ 1 ~ GxX ~ X

is a pull-baek diagram, that cf> ( e, z) = z for all z E Land that cI>(g, ?) maps the zero section of L into itself for all 9 E G. Then cf> is a G-linearization of L.

PROOF: By assumption, the morphisms cI>(g,?) : Lx --+ Lgx are all bijective and send 0 to 0; hence they are linear isomorphisms. It follows that there is an invertible function f : G x G x L ~ k* such that

cf>(gh, z) = f(g, h, z)cf>(g, cf>(h, z)) for all g, hE G and z E L.

(The existence of such a map f is clear; we leave it to the reader to check that fis regular.) By a result of ROSENLICHT's (see [Pie, Proposition 1.1]), the function f is of the form

f(g, h, z) = r(g)s(h)t(z) (g, hE G, z E L)

with invertible regular functions r, s on G and t on L. Since cf> ( e, z) = z for every z E L we obtain

r(e)s(h)t(z) = 1

and similarly

r(g )s( e )t( z) = 1

Hence

(hEG,zEL),

(g E G, z E L).

f(g, h,z) = r(g)s(h)t(z) = (r(g)s(h)t(z)) (r(e)s(e)t(z))

= (r(g)s(e)t(z)) (r(e)s(h)t(z)) = 1

for every g, hE G, z E L, and the claim follows. o

2.3. Lemma. The line bundle L is G-linearizable if and only if the two bundles c.p*(L) and pX(L) on G x X are isomorphie.

PROOF: We have already seen that a G-linearization of L induces an isomorphism Px(L) ~ c.p*(L). Conversely, such an isomorphism gives rise to a pullback diagram

GxL ~ L

lidx~ 1 ~ GxX ~ X

with the property that every cf>(g,?) maps the zero section of L into itself. The restriction of cf> to {e} xL is an automorphism of the line bundle L, hence given

§2 G-Linearization of Line Bundles 67

by a regular function ,X : X -+ k*, defined by 'x(1r(z))· Z = c}(e,z) (z E L). Replacing c} by ,X -lc} we obtain a puH-back diagram satisfying the assumptions of the previous Lemma 2.2, and so L is G-linearizable. 0

In the proof of the next proposition we shall need two results from paragraph 4.

2.4. Proposition. Let L be a line bundle on anormal G-variety X. There is a number n > 0 such that L0n is G-linearizable.

PROOF: As before we denote by cp : G x X -+ X the G-action on X and by P x, Pa the two projections G x X -+ X and G x X -+ G. It foHows from Lemma 4.2 that

cp*(L) ~ Pa(M) 0 Px(N)

with a line bundle M on G and with

N := cp*(L)I{e}xX ~ L.

(Here we use the normality of X!) Since Pic G is finite (Proposition 4.5) we obtain

cp*(Llgm) ~ Px(L0n ),

for a suitable n > 0, and the claim follows from Lemma 2.3. o

Remark. We have seen in the proof above that the number n in the proposition can be chosen to be the order of Pic G. In particular, if G is factorial then every line bundle on X is G-linearizable.

2.5. End of proof. To finish the proof along the lines indicated in 1.2 we need the following result about the action of G on the space HO (X, L) of sections of a G-linearized line bundle L.

Lemma. Let L be a G-linearized line bundle on X. Then the action of G on HO(X,L) given by

ga(x):= g(a(g-lx)) = c}(g,a(g-lx))

for gE G, a E HO(X, L), x E X, is locally finite and rational.

(A linear action of G on a vector space W is called locally finite and rational if every w E W is contained in a finite dimensional G-stable subspace V such that the corresponding homomorphism G -+ GL(V) is a rational representation of G.)

PROOF: We first remark that there is a canonical isomorphism


(see [Ha77, Chap. III, Proposition 9.3]), which associates to 1 ® r the section (g, x) t-+ (g,J(g)·r(x)). The G-linearization ~ : G x L -. L of L induces a linear map

~* : HO(X,L) -+ HO(G x X,pX(L)) ~ k[G] ® HO(X,L)

which sends the section (T to the map

q: G x X -+ L, (g, x) t-+ 9- 1U (x) = ~(g-l, u(gx)).

(This follows immediately from the pull-back diagram (1) in 2.2.) H we write ~*«(T) in the form

~*«(T) = ~Ji ® (Ti, li E k[G), (Ti E HO(X,L),

we see that 9(T = ~/i(g-l)(Ti, and the claim follows easily. o

As a consequence of the previous results we obtain the following corollary:

2.6. Corollary. Let X be a quasi-projective normal G-variety. There is a finite dimensional rational representation G -. GL(V) and a G-equivariant isomorphism 01 X with a locally closed G-stable subvariety 01 the projective space P(V).

PROOF: By assumption, X is a locally closed subvariety of some projective space P(M), and the inclusion X <......+ P(M) is of the form IN as in 1.2, where L is the line bundle associated to the invertible sheaf O(l)lx and N = MV c HO(X, L). By Proposition 2.4 the line bundle L®m is G-linearizable for a suitable m > 0, and we proceed as above to obtain a G-equivariant inclusion of X into a projective space P(V) with a linear G-action. 0

§ 3 Another Proof of SUMIHIRO '8 Theorem

We give a second proof of Theorem 1.1 which is based on techniques developed by LUNA and VUST in [LV83, §8).

3.1. As before, let G be a connected linear algebraic group and X anormal G-variety. We assume that k[G) is factorial. This is no restriction since every algebraic group G has a finite covering 0 -. G such that k[O) factorial (Proposition 4.6).

We consider the following two actions of G on G x X:

• A lelt action defined by t·(s,x):= (ts,x), • A right action defined by (s,x)·t:= (st,el·x),

where s, t E G, x E X. Clearly, these two actions commute. We denote by k( G X X)G the field of those rational functions on G x X which are invariant

§3 Another Proof of SUMIHIRO'S Theorem 69

under the right action of G. The G-action C(J : G x X --+ X on X is equivariant with respect to the left action of G, and C(J* induces an isomorphism k(X) ~ k(G X X)G.

3.2. Let OX,Y C k(X) denote the local ring of Y C X and mX,Y its maximal ideal. We plan to show that there exist a finite dimensional subspace M of k[G] ® k(X) which is stable under the left action of G, and an element h E M, h =F 0, satisfying the following properties:

(i) lM is contained in C(J*(OX,y)j in particular lM C k(G x X)G. (ii) OX,Y is the localization of k[lM] (considered as a subalgebraof k(X))

at the ideal k[lM] n mX,Y.

We claim that this implies Theorem 1.1. In fact, the inclusion of M into the field k(G x X) corresponds to a rational map

JJ : G x X ----> P(MV )

which is equivariant with respect to the left action of G on G x X and the linear action of G on P(MV ). We denote by X' the closure of the image of JJ and by X:' the intersection of X' with the affine open subset

P(MV)h := {x E P(MV) I hex) =F O} c P(MV).

X:' is affine and the algebra k[X:'] coincides with the subalgebra k[lM] of k(G x X). According to (i) the map JJ factors through C(J, inducing a rational map (again denoted by JJ)

JJ : X ----> X'

which is regular in a neighbourhood of Y. Now it follows from (ii) that JJ induces an isomorphism of an open subset U containing Y with a locally closed subvariety of P(MV ). 0

3.3. Construction of M. To simplify notations we set A := k[G] ® k( X)j this is a factorial ring (see 3.5) whose field offractions is k(GxX). Let fE k(X). We write C(J*(f) = i where a, bE A are relatively prime. Since C(J*(f) E k(G X X)G, we get

a t = ,(t)a and bt = ,(t)b (t E G)

where at ( s, x) := a( sr l , tx) is the translate of a with respect to the right action of G and , : G --+ k(X)* is a cocycle with values in k(X)* by Lemma 3.6.

We choose a finite dimensional subspace NI of OX,Y containing the constants such that OX,Y is the localization of k[NI ] at k[Nt]nmx,y. It follows from what we have seen above that there are a finite dimensional subspace N of A, an element hE N and a cocycle , : G --+ k(X)* such that C(J*(Nt) = lN and a t = ,(t)a for every a E N and t E G. Of course, we can assurne that the elements of N do not have a common divisor in A.


t a Claim. For every a E N and tE G we have h E cp*(OX,y).

(The function t a is the translate of a with respect to the left action of the group G: ta(s,x):= a(t-1s,x).)

It is clear now that the G-submodule M of A generated by N satisfies the conditions (i) and (ii) of 3.2. It remains to prove the claim above.

3.4. Proof of the Claim. Since the right and the left action of G commute and, in addition, the left action is trivial on k(X), we obtain Ca)S = ,(s)Ca) (s, tE G, a E N). Therefore we have '; E cp*(k(X)) = k(G x X)G.

Up to now we have not used the normality of X. This assumption implies that 0 X,y is a Krull-ring whose essential valuations lIZ are those associated to the local rings 0 x,z where Z is an irreducible closed subvariety of codimension 1 containing Y.

Let Zo be such a subvariety. Then cp-l(Zo) is an irreducible subvariety of G x X of codimension 1 and the corresponding valuation lI<p-l(ZO) of k( G x X) extends vzo' (Recall that k(X) = k(G X X)G c k(G x X).) If Zo is G-invariant then V<p-l(zo) is G-invariant, too, i.e., V<p-l(ZO)(tf) = lI<p-l(ZO)(f). If Zo is not G-invariant then lI<p-l(Zo) is improper on the subfield k(X) of k(G x X) and is positive on k[G]. It follows that lI<p-l(ZO) is an essential valuation of the factorial k(X)-algebra (hence Krull-algebra) A = k[G] 0 k(X).

Now let Vz be any essential valuation of cp*(OX,y), f E N and tE G. We have to show that lIz(iJ 2: o. If Z is G-stable we find

tf tf vz( h) = lI<p-l(Z)( h) = V<p-l(Z)Cf) - v<p-l(z)(h)

f = V<p-l(Z)(f) - v<p-l(z)(h) = lI<p-l(Z)( ,;)

f lIz( ,) 2: o.

If Z is not G-stable we have lI<p-l(Z)(f') 2: 0 for all f' E N because N C A and V<p-l(Z) is essential for this algebra. Also,

f' vz( h) = lI<p-l(Z)(f') - lI<p-l(Z)(h) 2: O.

By assumption, the elements of N do not have a common divisor and so v<p-l(z)(h) = O. Hence

tf vz( h) = V<p-l(Z)CJ) 2: 0,

since tf E A. This finishes the proof of the theorem. o

3.5. In 3.3 we have used the result that for an algebraic group G and a field extension K / k the K -algebra k [G]0 K is factorial in case k [G] is factorial. This

§4 Another Proof of SUMIHIRO'S Theorem 71

follows from the lemma below and the fact that G is a rational variety (see 4.1).

Lemma. Let Y be an affine rational variety. 1f k[Y] is factorial then for every field extension K/k the algebra k[Y] ®k K is also factorial.

PROOF: Sinee Y is rational there is an f E k[Y] such that the loealisation k[Y]f is isomorphie to k[Xl,X2, ... ,Xn]h for a suitable h E k[Xl,X2, ... ,Xn], n = dimY. Clearly, K[Xl,X2, ... ,Xn]h is factorial, and so K[Y]f®l is factorial, too. (We put K[Y] := k[Y]®kK.) Consider a primary deeomposition f = TI 1;. Sinee

K[Y]/(1; ® I)K[Y] ~ (k[Y]/ j;k[Y]) ®k K

is an integral domain (k is algebraieally closed), the ideal of K[Y] generated by 1; ® 1 is prime. This implies that K[Y] is factorial ([BAC7, §3, n04, proposition 3]). 0

3.6. Finally we prove the seeond result used in 3.3.

Lemma. Every cocycle of G with values in the group A * of units of A k[G] ® k(X) takes its values in k(X)*.

PROOF: Let U be an open subvariety of X. By results of ROSENLICHT ([Pie, 1.1,1.2]) the group (k[G]®k[U])* is generated by k[G]* and k[U]*, and k[G]* = k* X X(G) where X(G) denotes the eharacter group of G. From this we obtain

A' ~ C o,~;o /[GI0 k[ul), ~ uY)k[G] 0 krUD'

= U X(G) x k[U]* X(G) x k(X)*. ucx

Now eonsider an element a of A * and write a in the form a = XP with X E X( G) and pE k(X)*. One easily sees that

at = X(X(t)-lpt) (t E G).

Let, be a eoeycle with values in A * and deeompose ,( s) in the form ,( s) = XsPs with XS E X(G) and Ps E k(X)*. Then the eoeycle eondition ,(st) = ,(s)t,(t) beeomes

XstPst = (XsPs)t XtPt

= (XsXt)(Xs(t)-lp!pt).

In partieular one sees that the map s I-t XS is a group homomorphism G -t

X( G). But every such homomorphism is trivial: We ean clearly assume that G is eommutative whieh implies that G is divisible (being a produet of additive and multiplieative groups), whereas X( G) is a finitely generated abelian group. Henee we obtain ,( G) c k( X)*. 0


§ 4 Picard Group of a Linear Aigebraic Group

Let G be a eonnected linear algebraie group. In this paragraph we explain some classical results about the Pieard group Pie G (cf. [F174), [P074), [lv76]). In partieular, we give the proofs of several results whieh have been used in the previous paragraphs.

4.1. We start by reealling some well-known results about the structure of the underlying variety of a linear algebraie group G. If G is unipotent then G is isomorphie-as a variety-to kn : This is clear for dimG = 1 (see [Hu75, Theorem 20.5] or [Kr85, 111.1.1 Beispiel 2]); the general ease follows by induction using the faet that every principal k+ -bundle over an affine variety is trivial (cf. [Gr58, proposition 1]). If G is eonnected and solvable, then G is isomorphieagain as a variety-to k*P x kq , beeause G is a semidirect product of a torus and a unipotent group ([Hu75, Theorem 19.3b]).

Now let G be a eonnected reductive group. Then G eontains an affine open subset U, the big cell, whieh is isomorphie to k*P x kq ([Hu75, Proposition 28.5], Bruhat-deeomposition). In general, a eonnected algebraie group Gis isomorphie-as a variety-to (GfG u ) x Gu where Gu is the unipotent radieal of G ([Gr58, loe. eit.]), henee also eontains an affine open subvariety isomorphie to k*P x kq •

4.2. Lemma. Let X be anormal algebraic variety. For every line bundle L on G x X we have

PROOF: (a) We first assume that X is smooth. Then the Pieard group Pie(G x X) ean be identified with the group CI( G x X) of divisor classes on G x X. By [Ha77, Chap. 11, Proposition 6.6] the claim is true if we replaee G by the variety k or k* or more generally by k*P x kq . We know that G eontains an open subset U isomorphie to k*P x kq (4.1). Henee, the line bundle

M := L ® (Pc(Llox{xo}) ® Px(LI{e}xX))-1

is trivial on U x X. Therefore, the eorresponding divisor class ean be represented by a divisor D c (G " U) xX. It follows that D = Pc/(D) with a divisor D c G and so

M ~ pc(Mlox{xo}).

Sinee Mlox{xo} is trivial, M is trivial, too.

(b) For anormal variety X the open subset X reg of regular points of X has a eomplement of eodimension at least 2, and every function defined on X reg

extends to a regular function on X. We have just seen in (a) that Mlxreg is trivial. Henee M is trivial, too. 0

§4 Picard Group of a Linear Aigebraic Group 73

4.3. Lemma. Let L E PieG and denote by L* the complement 0/ the zero ßection in L. Then L* haß the ßtructUTe 0/ a linear algebraic group ßuch that the /ollowing holdß:

(a) The projection p : L -+ G induceß a group homomorphißm L* -+ G with centrallcernel ißomorphic to Ic*.

(b) The line bundle L iß L * -linearizable.

PROOF: We denote by rn : G X G -+ G the multiplieation in G and by P1,P2 : G X G -+ G the two projections. By 4.2 the two line bundles rn*(L) and pi(L) ® p;(L) are isomorphie. Choosing such an isomorphism t/J we obtain a "bilinear" morphism J-' : L X L -+ L via the following eommutative diagram:

LxL --+

Ipxp GxG =

pt(L) ® p;(L)

1 GxG

--+ rn*(L)

1 GxG

We want to modify t/J in such a way that I-' defines a product on L *. First we fix an identifieation of k with the fiber Le of Lover the unit element e of Gi we denote by 1 E Le the multiplieative unit of L e = k. Now eonsider the eomposition:

L --+ Lx {l} ~ L

1 1 1 G--+ G X {e} --+ G

It is an isomorphism of Lover G, indueing the identity on G, henee given by a invertible function r E Ic[G]*:

J-'(u, 1) = r(p(u))u, (u E L).

Similarly, we see that there is asE k[G]* such that

J-'(I, v) = s(p(v))v, (v E L).

Replacing t/J by t/J 0 (r- 1 ® s-l) the element 1 E L beeomes a left and right unit for J-'. We claim that I-' is assoeiative. In fact, J-'(id XI-') and J-'ClJ. X id) are two "trilinear" morphisms L X L X L --+ Lover the same map G X G X G --+ G. Henee there is an t E Ic [G X G X G] * such that

J-'(id xJ-')(u, v, w) = t(p(u),p(v),p(w»I-'ClJ. X id)(u, v, w),

(u, v, w E L). There are invertible functions ti E k[G]*, i = 1,2,3, such that

t(g, h, 1) = t1 (g )t2( h )t3( 1), (g, h, 1 E G)

(see [Pie, 1.1]). Sinee t(e,e,e) = 1 we may assume that ti(e) = 1 (i = 1,2,3). It follows that

1 = t(g,e,e) = t 1 (g)t2(e)t3(e) = t1(g) for all 9 E G,


beeause 1 E L is a unit for J-L. Similarly, we get t2 = t3 = 1, i.e., J-L is assoeiative. Sinee L* is the subset of "invertible" elements of L with respect to

J-L, the first assertion (a) follows. Furthermore, the restriction of J-L to L* x L defines a L * -linearization of L, henee (b). 0

4.4. Lemma. Let L E Pie G. There is a finite covering 7r : G' - G 0/ algebraic groups such that L is G' -linearizable and 7r* (L) = o.

PROOF: Consider the exact sequence

1 ---+ T ---+ L* 2.... G ---+ 1

where L * is as in Lemma 4.3, and T := ker p is isomorphie to k*. Let p : L * ---+

GL(V) be a finite dimensional rational representation such that p(T) =f {id}. Replacing V by a suitable submodule on which T aets by sealar multiplieation, we mayassume that p(T) !b SL(V). Denote by G' the identity eomponent of p-I(SL(V)). Then the restrietion 7r of p to G' is a finite eovering of G. Sinee L is L * -linearizable (4.3b) it is also G'-linearizable. Finally, the line bundle L' := 7r*(L) on G' is G'-linearizable, hence trivial (see Example 2.1). 0

4.5. Proposition. Pie G is a finite group.

PROOF: Let L E Pie G and 7r : G' - G as in the previous Lemma 4.4. The (finite) kernel H of 7r acts on the fibers of L, henee aets triviallyon L®d where d is the order of H. As a eonsequenee, L®d is G-linearizable, henee trivial (Example 2.1). This shows that Pie G is a torsion group.

On the other hand, Pie G is finitely generated. In fact, G eontains an affine open subset U whose eoordinate ring is factorial (see 4.1). It follows that the divisor class group Cl G is generated by the irredueible eomponents of G , U ([Ha77, Chap. 11, 6.5]). This implies the claim because Pie G eoineides with CIG. 0

4.6. Proposition. There exists a finite covering G - G 0/ algebraic groups such that Pie G = O.

PROOF: By Lemma 4.4 and Proposition 4.5 it suffiees to show that for every finite eovering 0: : GI - G the indueed map 0:* : Pie G - Pie GI is surjective.

Let LI E Pie GI, and let 7r : G' - GI be a finite eovering such that LI is G'-linearizable as in Lemma 4.4. Then GI = G'JHI where H I is the kernel of 7r, and LI = E X1 with a suitable eharaeter Xl of H I (Example 2.1). Let H := ker(o: 0 7r) :) HI • Sinee His (finite and) eommutative there is a eharacter X of Hextending Xl. Now it follows that LI is the pull back of the line bundle L:= Ex on G. 0

References 75

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THE PICARD GROUP OF A G-VARIETY

Friedrich Knop Hanspeter Kraft Thierry Vust

Table of Contents Introduction ....................... . § 1 Two Results of ROSENLICHT • • • • •

§ 2 G-Linearization of the Trivial Bundle § 3 Picard G,roup of Homogeneous Spaces . § 4 Picard Group of Quotients . . § 5 Resurne and Applications . References. . . . . . . . . . . . . . . . .

Introd uction

77 78 79 81 83 85 86

Let G be a reductive algebraic group and X an algebraic G-vanety which admits a quotient 'Ir : X --+ X If G. In this article we describe several results concerning the Picard group Pic(XlfG) of the quotient and the group Pica(X) of G-line bundles on X. For some further development of the subject we refer to the survey articles [Kr89a], [Kr89b].

We also give the proofs of some results which have been used in our first article "Local Properties 0/ Algebraic Group Actions" in this volumej it will be quoted by [LP].

78 Knop-Kraft-Vust: The Picard Group of a G-Variety

§ 1 Two Results of ROSENLICHT

We first describe two results about the group of invertible functions on an irreducible algebraic variety which are due to ROSENLICHT [Ro61, Theorems 1, 2, and 3]. They hold for an algebraically closed field k of arbitrary characteristic.

1.1. Let X be an irreducible algebraic variety. We denote by O(X)* the group of invertible regular functions on X, i.e., morphisms X ---t k*.

Proposition (cf. [FI74, Lemma 2.1]. Let X, Y be two irreducible algebraic varieties. Then the canonical map

O(X)* x O(Y)* --+ O(X x Y)*

is surjective.

PROOF: We choose normal points Xo E X and Yo E Y. Let f E O(X x Y)*, and consider the function

F: X x Y --+ k*, F(x,y):= l(xo,YO)-ll(x,Yo)l(xo,y).

We have to show that F = f. For this it is sufficient to prove that these two functions coincide in a neighborhood of (xo, Yo) of the form U x V, where U C X, V c Y are open subsets. Hence we can assume that X and Y are both affine and normal.

Let X, Y be normal projective varieties which contain X and Y as open subsets, and consider I and F as rational functions on X x Y. By con

struction, the divisor (i) of the rational function i E k( X x Y) has a support

contained in ((X" X) x Y) U (X x (Y " Y)). Hence, it is a sum of divisors of the form D x Y and X x E where D and E are irreducible components of X " X and Y " Y (of co dimension 1), respectively. If i has a zero of order

d> 0 along D x Y, then f:. is regular on an open set U which meets D x {yo}, and vanishes on U n (D x {yo}). But I(x, Yo) = F(x, Yo) for all x E X which leads to a contradiction. Similarly, we see that i cannot have poles on D x Y. Interchanging the roles of X and Y it follows that the divisor of f:. is zero, i.e., L-1 0 F - .

1.2. Proposition (cf. [FI74, Corollary 2.2]). Let G be a connected algebraic group. Then every regular function I : G ---t k* whose value at the unit element e E G is 1, is a character.

PROOF: It follows from the proposition above that there exist functions r1, r2 E O(G)* such that l(glg2) = r1(gdr2(g2) for all gl,g2 E G. Multiplying r1 and r2 by a scalar we may assurne that r1 (e) = r2( e) = 1. But this implies that I = ri (i = 1,2) and the claim follows. 0

§2 G-Linearization of the Trivial Bundle 79

1.3. For an irreducible variety X we denote by E(X) the quotient O(X)* jk*.

Proposition. (i) The group E(X) is Iree abelian and finitely generated.

(ii) 11 X is a G-variety where G is connected linear algebraic group, then the canonical action 01 G on E(X) is trivial.

PROOF: (i) If X' is a nonempty quasi-projective open subset of X consisting of normal points, then O(X)* is a subgroup of O(X')*. Hence we may assume that X is normal and quasi-projective: X C p n . Let X denote the normalisation of the closure of X in P n .

If D C X is a closed irreducible subvariety of co dimension 1, i.e., an irreducible divisor, then the local ring 0 D,X is the valuation ring of a discrete

normalized valuation J/D of the field k(X) of rational functions on X. (Here we use the normality of X, [BAC7].) Denote by D1 , D2 , ••• ,Dm the irreducible components of X , X which are of codimension 1 in X.

Let I E O(X)*. If VD ö (I) ~ 0 for i = 1,2, ... , m, then J/D(I) ~ 0 for every irreducible divisor D, and so I is a regular function on X, hence a constant. This shows that the homomorphism

m

div : O(X)* -+ EB Z D;, I I-t 2:;vDö(l)D;, ;=1

induces an injection of E(X) into a finitely generated free abelian group. This implies the first claim.

(ii) Let I E O(X)* and consider the morphism

G X X -+ k*, (g,x) I-t l(g-l x ).

By Proposition 1.1 there exist p E O(G)* and q E O(X)* such that

l(g-l x ) = p(g)q(x), (g E G, x E X)

Putting g functions.

p( e) 1.

= e we obtain I = q. Hence, f is invariant modulo the constant o

§ 2 G-Linearization of the Trivial Bundle From now on we assume that the base field k is algebraically closed and of characteristic zero. N evertheless, the results of the next two paragraphs hold in arbitrary characteristic and most of the proofs can be carried over to the general case.

2.1. Let G be a linear algebraic group and X an irreducible G-variety. Recall that a G-linearization of a line bundle L on X is a lifting of the G-action to L


which is linear on the fibersj see our first article "Local Propertie8 0/ Algebraic Group Action8" [LP]. A line bundle L on X together with a G-linearization is called a G-line bundlej we denote by Pica(X) the 8et 0/ i80morphi8m cla88e8 0/ G-line bundle8 on X. It has a group structure given by the tensor product. Forgetting the G-linearization we obtain a canonical homomorphism

I) : Pica(X) ---+ Pic(X)

whose kerne! consists of the G-linearizations of the trivial bundle on X (up to isomorphisrn). Such an action is given by a morphism

c: G x X --+ k* = GL(l, k)

satisfying

c(gh,x) = c(g,hx)c(h,x), g,h E G,x E X. (1)

Define

, : G ---+ O(X)* by ,(g)(x):= c(g-l, x).

Then the equality (1) becomes the usual cocycle condition:

(2)

where the action of G on the functions O(X) is defined by (9u)(x):= u(g-lx) (g E G, u E O(X), x EX). Changing the trivialization by an isomorphism

X x k ~ X x k, (x,,x) 1-+ (x, u(x),x)

where u E O(X)*, transforms c(g,x) into c(g,x)u(gx)U(X)-l. Hence" is transformed into an equivalent cocycle 9 1-+ c(g) 9U u-1 in the usual sense. It follows that kerl) is given by the group H~g(G,O(X)*) 0/ cla88e8 0/ algebraic cocycle8. (By definition, a map c : G ---+ O(X)* is algebraic, if the corresponding map G x X ---+ k*, (g,x) 1-+ c(g)(x) is amorphisrn.)

2.2. Lemma. There i8 an exact 8equence

o ---+ H~g(G, O(X)*) ---+ Pica(X) ~ Pic(X).

1/ X i8 normal it ha8 an exten8ion by the homomorphi8m Pic(X) ~ Pic(G), defined by

p(L):= (cp*(L) 0Px(L)-1)lax{xo}

where cp : G x X ---+ X is the G-action, px : G x X ---+ X the projection and Xo E X an arbitrary point.

PROOF: The first part is clear from what we said above. Also, by definition, the image of the map I) are the G-linearizable li ne bundles on X. If X is normal it fol1ows from [LP, Lemma 2.3 and Lemma 4.1] that the kernel of p is the subgroup of G-linearizable bundles, too. D

§3 Picard Group of Homogeneous Spaces 81

2.3. Proposition. There is a long exact sequence

1 -+ k* -+ (O(X)*)G -+ E(X)G -+ X(G) -+

-+ H~g(G,O(X)*) -+ H1(GjGo,E(X)) (3)

where X( G) is the character group 0/ G and GO the connected component 0/ the unit element 0/ G.

PROOF: We start with the short exact sequence

1 -+ k* -+ O(X)* -+ E(X) -+ 1 (4)

of G-modules, and show that (3) is the "algebraic part" of the 10ng exact cohom010gy sequence of ( 4). Consider first the homomorphism

6: E(X)G -+ H1(G, k*)

which associates to p E E( X)G the class of the cocycle 6(p) : 9 I-t 9 pp -1, where pE O(X)* is a representative of p. It is clear that 6(p) belongs to O(G)*. Hence 6(p) is a character of G, because G acts trivial1y on k*. It is also obvious that the inclusion k* ~ O(X)* induces a homomorphism X(G) -+ H~g(G, O(X)).

Finally, let "( : G -+ O( X)* be an a1gebraic cocycle, and denote by ;y : G -+ E(X) the composition of"( with the projection O(X)* -+ E(X). By Proposition 1.1 there exist <p E O( G°)* and u E O( X)* such that "((g) = <p(g)u for al1 9 E GO. It is easy to see from the cocycle condition (2) for "( that u is constant, i.e., ;yIGo = 1. In addition, since GO acts triviallyon E(X) (Proposition 1.3ii), the cocycle condition ;y(gh) = 9;Y(h)i'(g) implies e(Goh) = e(h). Hence, the projection O(X)* -+ E(X) induces a homomorphism H~g(G, O(X)*) -+

H1(GjGo,E(X)).

Thus we have estab1ished the existence of the sequence (3); it remains to prove the exactness. Since the image of 6 is contained in X(G) it is clearly exact at X(G). For the exactness at H~g we remark that every d E H1 (G, k*) whose image is in H~g, belongs to X(G). 0

§ 3 Picard Group of Homogeneous Spaces

3.1. In this paragraph the group G is assumed to be connected. Let H be a closed subgroup of G. Recall that we have a canonical homomorphism

E: X(H) --+ PicGjH, X I-t Ex

whose image is the set of G-linearizable bundles on GjH (see [LP, Example 2.1]). In fact, Ex := (G x k)jH is a G-line bundle on GjH and X(H) ~ PicG(GjH).

3.2. Proposition. (i) The sequence

X(G) ~ X(H) ~ Pic(GjH) ~ Pic(G)


is ezact.

(ii) I/ H is solvable and connected then 71"* is surjective.

PROOF: (i) We show the exactness at Pic(GJH) and leave the rest to the reader (cf. [Po74, p. 316], [FI74, Proposition 3.1]). Let L E Pic(GJH) and denote by c.p: G x GJH - GJH the action of G on GJH. By [LP, Lemma 4.2] we know that

where

Hence

M .- c.p*(L)IGx{eH} ~ 7I"*(L)

N .- c.p*(tL)l{e}XG/H ~ L.

7I"*(L) = 0 ~ c.p*(L) ~ p';;/H(L) ~ L is G-linearizable

~ L belongs to the image of E

by what we said above.

(ii) If H is connected and solvable then 71" : G - G J H is locally trivial in the Zariski-topology ([Se58, 4.4 proposition 14]): There is an affine open subset U of G J H such that 71"-1 (U) ~ U x H. Let us denote by D 1 , ••• ,Dn the irreducible components of the complement of U in G J H. Then we obtain the following commutative diagram with exact rows (see [Ha77, Chap. II, Proposition 6.5]):

Ei'ZDi - Cl(GJH) - Cl(U) - 0

1 ~ l~· 1 ~~ Ei' Z 7I"-1(D;) - Cl(G) - Cl(7I"-1(U)) - 0

Since H, as a variety, is isomorphie to k*P x kq (see [LP, 4.1]) it follows from [Ha77, Chap. II, Proposition 6.6] that 7I"u is an isomorphism, and so 71"* is surjective. 0

3.3. A connected algebraic group G is called simply connected if every finite covering of G is trivial. It follows that every line bundle on G J H is linearizable where H is any closed subgroup of G.

Corollary. Let G be semisimple and simply connected and let BeG be a Borel subgroup. Then E : X( B) ~ Pic( G J B) is an isomorphism.

PROOF: In fact, if G is semisimple then X(G) = 1, and G simply connected implies that PicG = 0 by [LP, Proposition 4.6]. Now the claim follows. 0

§4 Picard Group of Quotients 83

§ 4 Picard Group of Quotients

4.1. Let G be a reductive algebraic group and X an irreducible G-variety. Recall that a morphism 71" : X - Y is a quotient 0/ X by G if

(a) 71" is constant on the G-orbits and

(b) for every affine open U c Y the inverse image 71"-1 (U) is affine and Oy(U) .::t OX(7I"-1(U))G.

Whenever such a quotient exists it is unique and will be denoted by

71": X - XI/G.

Let ME Pic(XI/G); then 71"* M is obviously a G-line bundle on X. The foHowing proposition describes the G-line bundles which arise in this way (cf. [MaSO, Proposition 5)).

4.2. Proposition. The homomorphism

71"* : Pic(XI/G) - PicG(X)

is injective, and/or every ME Pic(XIIG) we have 7I"*MI/G::: M in a canonical way. The image 0/71"* consists 0/ those G-line bundles L on X which satisfy the /ollowing condition:

(PB) For every x E X whose G-orbit is closed, the isotropy group G x acts triviallyon the fiber Lx 0/ L.

((PB) stands for "puH back".)

4.3. Remark. It foHows from the description of PicG of a homogeneous space in 3.1 that the condition (PB) is equivalent to

(PB') For every closed orbit 0 0/ G in X the restrietion 0/ L to 0 is a trivial G-line bundle.

PROOF OF PROPOSITION 4.2: Obviously we have 71"* MI/G ::: M; in particular, 71"* is injective. It is also clear that the condition (PB) holds for every G-line bundle L in the image of 71"* •

Conversely, let L E PicG(X) and assume that L satisfies the condition (PB). We will show that for an affine variety X the bundle L is a puH-back of a line bundle on XI/ G. Then the general case foHows immediately from the properties of 71" and the injectivity of 71"* •

To simplify notations, let A := O(X) and denote by P the A-module of global section of Land by P(x) := PlmxP the fiber of L, where m x is the maximal ideal of xE X. Clearly, Pis a projective G-A-module of finite type.

We first show that p G generates the A-module P. Let x E X be a point whose orbit Gx is closed, and denote by I = I(x) the ideal of Gx. By assumption, we have PlI P ::: AI I. Consider the commutative diagram


P ---* P/lP A/l ---* P(x) U U

pG ---* (P/lP)G (A/l)G

which consists of surjective homomorphisms (since G is reductive)i it is obtained by factorizing the canonical homomorphism e : P --+ P( x). It follows that e(pG ) = P(x), i.e.,

P=Q+mxP

where Q := ApG. Hence Pm .. = Qm .. by Nakayama's Lemma. On the other hand, the support 8 of the A-module P/Q is a G-stable closed subset of X. But we have just seen that 8 does not contain any closed orbit. Hence 8 is empty and therefore P = Q as required.

Next we observe that multiplication with elements of A induces a surjective G-equivariant homomorphism

l ®k p G --+ lP.

Since G is reductive this implies that (lP)G = lG pG = mtr(x)pG for every x E X with a closed orbit. It follows that pG /mtr(x)pG is isomorphie to (P/lP)G. But (P / l P)G ~ k by assumption, and so pG is a projective AG-module of rank 1. Now it is easy to see that A ®AG p G ..::+ P, and the claim follows. 0

4.4. Remark. The above proposition holds for G-vector bundles (with the same proof, see [Kr89b, §3]).

4.5. Remark. We denote by 81,82 , ••• , 8 r ~ XI/G the closed (connected) Luna strata ([Lu73]i see [Kr89a, §7]). We claim that condition (PB) is equivalent to

(PB") For i = 1,2, ... ,r there exists Xi E X such that the orbit GXi is closed, 1I"(Xi) E 8i and such that the isotropy group GXi acts triviallyon the fiber LXi.

In order to prove this assertion, we denote by U the image in X /I G of the set of all elements x E X such that Gx is closed and the isotropy group Gx acts triviallyon Lxi condition (PB) is equivalent to U = XI/G. It follows from the proof of Proposition 4.2 that U is open in XI/G. This implies that U meets every stratum of the Luna stratification. Therefore, it remains to show that U contains the whole stratum whenever it contains one point of it. Hence, we are reduced to the case where XI/G is one stratum and every orbit in X is closed. Choose a point x E X and denote by Y the fixed point set of Gx in X. Then the restrietion of L to Y is a (connected) "algebraic family" of representations of the reductive group Gx , and, if one member is trivial, then all others are trivial, too (see [Kr89b, 2.1]). Since 1I"(Y) = XI/G and U t 0 the claim follows.

§5 Resume and Applications 85

§ 5 Resume and Applications

5.1. Colleeting our results from the previous paragraphs we obtain the following proposition:

Proposition. Let G be a reductive algebraic group and X an irreducible G· variety which admit" a quotient 'Ir : X ~ XI/G. Then we have the following commutative diagram with an exact line and exact column8:

1

1 E(XI/G)

1 E(X)G 1

1 1 X(G) PieXI/G

1 1 ~ H~g(G, O(X)*)

1 H1(GjGO,E(X»

1 --+ PieG X --+ Pie X

16

I1xEC X(G x )

In the produet I1xEc X(G x ) the index set C C X is a set of representatives of the closed orbits in X, and the map 0 is obtained by assoeiating to a line bundle L the eharacters of the isotropy groups Gx on the fibers Lx, x E C. More precisely, by Remark 4.5, one ean take for C the finite set of points Xi of eondition (PB").

5.2. Example. Let M be a eonnected linear algebraie group and G c M a closed subgroup. We assume that G is reductive (although the following is true in general). We know that E(M) ~ X(M) (Proposition 1.2) and that the action of M (and henee also of G) on E(M) is trivial (Proposition 1.3ii). From the diagram of Proposition 5.1 we obtain the following exaet sequenee (cf. [Po74])

1 ~ E(MjG) --+ X(M) --+ X(G)--+

--+ Pic(MjG) --+ Pic(M) --+ Pic(G)

where the last map is the restriction from M to G (cf. Lemma 2.2). In particular, if PicM = 0 then Pic(MjG) ~ X(G)jIm(X(M».

PROOF OF EXACTNESS AT Pic(M): Let L E Pie(M) such that LIG is trivial. Recall that L* := L " {zero seetion} has the strueture of a linear algebraie group sueh that the projeetion p : L* ~ G is a group homomorphism with eentral kernei, isomorphie to k* (see [LP, Lemma 4.3)). Our assumption implies that the group p-l (G) ~ L * is isomorphie to G x k*, i.e., G can be eonsidered as


a subgroup of L *. It follows that L admits a G-linearization. But clearly, every G-linearizable bundle on M is a pullback of a line bundle on MJG (Proposition 4.2). 0

5.3. Corollary. Assume that O(X)* = k* and that X G =f 0. Then, in the following diagram

1

1 PicX//G

1~ 1 X(G)

a PicGX ß PicX -+ ----T ----T

10

IIxEC X(G x )

the row and the column are both exact, and the two compositions {j 0 a and ß 0 /

are injective. In particular, if PicX = 0, then Pic(X//G) = 0 and X(G) .::+ PicGX.

(It clearly suffices to assume that the isotropy groups G x generate G.)

PROOF: In view of the proposition it remains to prove the assertions concerning the compositions {j' := {j 0 a and ß' := ß 0 /. But {j' is the product of the restrictions of the characters to the subgroups Gx , and the claim follows since there are fixed points by assumption. Now the injectivity of ß' follows immediat ely.

o

5.4. Example. For every G-action on an affine space kn with a fixed point (e.g., for a representation of G) we have Pic(kn J/G) = 0 and PicG(kn ) ~ X(G).

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.. DER SCHEIBENSATZ FUR

ALGEBRAISCHE TRANSFORMATIONSGRUPPEN

Peter Slodowy

Inhaltsverzeichnis Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 Etale Morphismen und Umgehungen § 2 Assoziierte Faserhündel . . . . . . § 3 Zwei Beispiele . . . . . . . . . . . § 4 Der etale Scheihensatz von Luna § 5 Anwendungen des Scheihensatzes § 6 Beispiele und Exkursionen . . . . Literaturverzeichnis ............ .

ANHANG (FRIEDRICH KNOP): Beweis des Scheihensatzes

Einführung

89 90 92 94 96 99

103 108

110

Es sei G eine reduktive algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper k der Charakteristik 0 und G X X -+ X eine algebraische Aktion von G auf einer affinen k-Varietät X. Wir bezeichnen den zugehörigen kategoriellen Quotienten mit Q : X -+ XI/G.

Sei x E X und G.x der Orbit von x (es wird sich später als notwendig erweisen, den Orbit als abgeschlossen in X vorauszusetzen). Ziel des Scheibensatzes ist es, die lokale Struktur der G-Aktion in einer Umgebung von G.x und die Struktur des Morphismus Q über einer Umgebung von Q(x) E XI/G zu beschreiben, d.h. auf Aussagen über die Aktion des Stabilisators Gx = {g E Glg.x = x} auf einer ,,normalen" Scheibe an G.x in x zu reduzieren.

Bevor wir den Scheibensatz korrekt formulieren können, haben wir zunächst zwei technische Begriffe zu erklären. Wir werden ebenfalls den Fall endlicher Gruppen und den Fall differenzierbarer Aktionen kompakter Liegruppen als Modellfälle voranstellen.

90 Peter Slodowy: Der Scheibensatz für algebraische Gruppen

§ 1 Etale Morphismen und U mgebungen Im Falle des Grundkörpers k = C tragen alle k-Varietäten X neben der Zariskitopologie noch die viel feinere metrische Topologie, die auf X durch (lokale) Einbettung in einen C n induziert wird (lokal, falls X nicht affin ist).

Beispiel. Betrachten wir X = A2(C) := C2 und x = 0 den Nullpunkt von C 2 • Eine Basis von offenen Umgebungen von x in der metrischen Topologie ist dann etwa durch die Familie aller

U(c:) = {y E C21/y/ < c:}, c: E R, c: > 0,

gegeben:

Eine Basis der offenen Umgebungen von x in der Zariskitopologie ist z.B. die Familie aller

U(f) = {y E C 2 I /(y) i= O}, / E C[A2 ], /(0) i= 0,

deren jedes Mitglied dicht in C 2 ist.

§1 Etale Morphismen und Umgehungen 91

Eine nachteilige Konsequenz der Grobheit der Zariski-Topologie ist das Versagen des Satzes über implizite Funktionen und inverse Abbildungen.

Seien etwa X und Y der Einfachheit halber singularitätenfreie CVarietäten, c.p : X -4 Y ein Morphismus und x E X ein Punkt so, daß das Differential

dzc.p: TzX -4 T",,(z)Y

ein Isomorphismus ist. Während wir dann eine Umgebung U von x In der metrischen Topologie von X finden können, so daß die Einschränkung

c.plu : U -4 c.p(U) C Y

ein komplex-analytischer Isomorphismus von U auf eine Umgebung c.p(U) von c.p(x) ist, so läßt sich im allgemeinen keine Umgebung V von x in der ZariskiTopologie von X finden, für die

c.plv : V -4 c.p(V)

ein Isomorphismus von Varietäten ist.

Beispiel. Seien X = Y = C* und c.p : X -4 Y, c.p( x) = x2 • Für alle Punkte x E X ist dann dzc.p : TzX -4 T",,(z)Y ein Isomorphismus. Es läßt sich jedoch keine Zariski-offene Teilmenge V C X finden, die isomorph auf ihr Bild in Y abgebildet würde!

Morphismen, deren Differential überall nichtsingulär ist, bezeichnet man mit einem speziellen Namen.

Definition. Sei c.p : X -4 Y ein Morphismus von k-Varietäten. Dann heißt c.p etal, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

(i) c.p ist ein glatter Morphismus mit endlichen Fasern.

(ii) In jedem Punkt x E X induziert c.p einen Isomorphismus der komplettierten lokalen Ringe

c.p: : 6y,,,,,(z)~6x,z.

Sind X und Y glatt, so sind diese Bedingungen äquivalent zu

(iii) In jedem Punkt x E X induziert das Differential von c.p einen Isomorphismus der Tangentialräume

dzc.p : TzX ~ T",,(z)Y.

Jede unverzweigte Überlagerung liefert ein Beispiel für einen etalen Morphismus. Andererseits sind nicht alle etalen Morphismen Überlagerungen, sie brauchen weder surjektiv zu sein noch lokal konstante Faserkardinalität zu besitzen. Als glatte Abbildungen sind etale Morphismen offen.

Definition. Sei X eine k-Varietät und Y C X eine abgeschlossene Untervarietät. Eine etale Umgebung von Y in X besteht dann aus einem etalen

92 Peter Slodowy: Der Scheiben satz für algebraische Gruppen

Morphismus <p : U -+ X und einem Schnitt s : Y<-+ U von <p über Y:

B

/' U

L Y <-+ <p(U) <-+ X.

Besteht Y nur aus einem Punkt Y = {y}, so wird also eine etale Umgebung von y gegeben durch einen etalen Morphismus <p : U -+ X zusammen mit einem Punkt y' E U, der auf y abgebildet wird, <p(y') = y.

Auf diesem Begriff einer Umgebung läßt sich eine Topologie im Sinne Grothendiecks aufbauen. Der "Durchschnitt" zweier Umgebungen U -+ X, U' -+ X wird dann durch das Faserprodukt U Xx U' geliefert. Man schränkt einen Morphismus 'P _: )( -+ Y ein auf U -+ X durch Komposition U -+ X -+ Y.

Eine fast triviale Konsequenz des Begriffs der etalen Umgebung ist die Gültigkeit des Satzes von der inversen Abbildung in der "etalen Topologie":

Sei <p : X -+ Y ein Morphismus von glatten Varietäten, x E X ein Punkt, und dx<p : TxX -+ T<p(x)Y sei ein Isomorphismus. Dann gibt es dale Umgebungen U von x in X und V von <pe x) in Y, so daß <p einen Isomorphismus

<plu: U -+ V

induziert. Der einzige hier erwähnenswerte Punkt ist die Tatsache, daß es eine Zariski-Umgebung U von x in X gibt, auf der <p etal ist. Dann setze man V = U, um den obigen Satz zu erhalten.

Literatur. [AKj, [Ha, IILlOj, [Mi, Ij

§ 2 Assoziierte Faserbündel Es sei G eine algebraische Gruppe und He G eine abgeschlossene Untergruppe. Die Quotientenabbildung 'Ir: G -+ G/H ist dann ein Rechts-H-Prinzipalfaserbündel über der Varietät G/H. Dieses Bündel wird im allgemeinen nicht lokal trivial bezüglich der Zariski-Topologie, sondern nur lokal trivial bezüglich der etalen Topologie sein (z.B. falls G = C*, H = Jln = {z E C* I zn = I}, n =f 1). Sei nun Feine k-Varietät, auf der H algebraisch operiere. Dann operiert H auch auf dem Produkt G X F

HxGxF ---t GxF (h,g,J) ~ (gh-t, hf).

Durch eine (bezüglich G/H) lokale Untersuchung läßt sich erkennen, daß in dieser Situation ein geometrischer Quotient nach H existiert, der mit G X H F bezeichnet wird. Den H-Orbit eines Elementes (g,f) E G X F bezeichnen wir mit 9 * fE G x H F.

Da die Linkstranslation von G auf G x F, (g,g',f) f-t (gg',f), mit H kommutiert, erhalten wir eine G-Aktion auf G x H F. Die erste Projektion

§2 Assoziierte Faserbündel 93

prl : G X F -+ G induziert dann einen G-äquivarianten Morphismus G x H F -+

G/H, 9 * J t-+ gH, der G x H F zu einem G-Faserbündel über G/H mit Faser F macht. Daher heißt G x H F das zur Prinzipalfaserung G -+ G / H und zur Aktion H x F -+ F assoziierte Bündel.

Nehmen wir an, daß ein kategorieller Quotient q : F -+ F /I H existiert (z.B. falls F affin und H reduktiv ist), so realisiert der von der zweiten Projektion pr2 : G x F -+ F induzierte Morphismus G x H F -+ F /I H einen kategoriellen Quotienten

Q: G x H F -+ (G x H F)//G ~ F//H.

Hier sind nun einige weitere Eigenschaften:

(i) Sei <p : E -+ Fein H-äquivarianter Morphismus von H-Varietäten. Dann induziert id x<p : G X E -+ G X Feinen G-äquivarianten Morphismus

G x H <p: G x H E -+ G x H F.

Mit anderen Worten erhalten wir einen Funktor Gx H ? von der Kategorie der H -Varietäten in die Kategorie der G-Varietäten.

(ii) Sei X eine G-Varietät und r : X -+ G/H ein G-äquivarianter Morphismus, F := r- l ( eH). Dann operiert H auf F, und die Abbildung G x H F -+ X, 9 * J t-+ g. J, ist ein Isomorphismus von G-Varietäten.

(iii) Der Quotient q : F -+ F /I H existiere. Sei 7 E F /I Hund Q : G X H

F -+ F /I H der Quotient nach G. Dann ist Q-l (7) G-isomorph zu G x H q-l(7).

Die Konstruktion assoziierter Faserbündel ist von grundlegender Bedeutung in der Theorie der Transformationsgruppen. Etwas allgemeiner läßt sie sich für beliebige H-Prinzipalbündel durchführen. Analoge Konstruktionen gibt es auch für Aktionen differenzierbarer oder komplex-analytischer Liegruppen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten oder komplex-analytischen Räumen. Man überlegt sich leicht, daß der Funktor Gx H ? linksadjungiert zum Funktor Res~ von der Kategorie der G-Varietäten in die Kategorie der H-Varietäten ist (natürliche Einschränkung). Insofern bildet er das Analogon zur Bildung der induzierten Darstellung in der Darstellungstheorie (endlicher) Gruppen.

Hier sind abschließend zwei illustrative Beispiele in der reell-differenzierbaren Kategorie. Es sei

G H F

SI = {z E C Ilzl = I}, {±1} C G, R.

Dann ist Gj H wiederum isomorph zu SI, und die Abbildung G -+ G / H ist die zweifache Uberlagerung SI -+ SI , Z t-+ z2. Wir haben zwei verschiedene lineare Aktionen von H auf R:


(1) H operiert trivial auf R. In diesem Fall ist G x H F ~ G / H x F = 51 X R ein Zylinder.

(2) H operiert nichttrivial, d.h. -1 operiert durch Multiplikation mit -1 auf R. In diesem Fall ist G x H F = (51 X R)/{±1} ein Möbiusband.

Literatur. [Br], [DG, III § 4], [Se]

§ 3 Zwei Beispiele

3.1. Der Fall endlicher Gruppen (komplex-analytisch)

Als ein motivierendes Beispiel für den Scheibensatz wollen wir uns zuerst den Fall einer endlichen Gruppe ansehen, die auf einem komplexen Vektorraum V ~ e n linear operiert. Wir können die Quotientenvarietät VI/G, die jetzt genau die G-Orbiten parametrisiert, in natürlicher Weise als komplex-analytischen Raum auffassen. Als solcher stimmt er mit dem komplex-analytischen Quotienten von V nach G überein, der folgendermaßen definiert ist. Zunächst versieht man die Menge V/G der G-Orbiten mit der Quotiententopologie bezüglich der natürlichen Abbildung Q : V -+ V/G, d.h. U c V/G ist offen genau dann, wenn das Urbild Q-l(U) C V offen (in der metrischen Topologie) ist. Die Strukturgarbe OV/G der holomorphen Funktionen auf V/G ist dann durch die Vorschrift

OV/G(U) = {f: U -+ elf ist stetig und f 0 Q ist holomorph }

oder, in äquivalenter Weise,

OV/G(U) = OV(Q-l(U»)G

auf offenen Mengen U C V/G bestimmt. Im folgenden sei < , > ein G-invariantes hermitesches Skalarprodukt

auf V mit zugehöriger Norm IIII : V -+ R. Sei v E V und H = {g E G I gv = v} der Stabilisator. Wir setzen

Ö = ~ min{ IIgv - vIII 9 E G, 9 f/. H}

und

5 = {w E V IlIw - vii< ö} (5 für "Scheibe").

Dann ist 5 stabil unter H, und U' = UgEG g.5 bildet eine G-stabile offene Umgebung des Orbits G.v mit IG.vl = IG/HI vielen Zusammenhangskomponenten. Die G-äquivariante Zuordnung U' -+ G.v, die w E U' auf den (eindeutig bestimmten) nächstgelegenen Punkt des Orbits G.v abbildet, identifiziert U' mit dem assoziierten Bündel G x H 5.

Sei U = Q(U') c V/G das Bild von U' in V/Go Dann gilt Q-l(U) = U', insbesondere ist U eine offene Umgebung von Q(v). Als komplex-analytischer Raum identifiziert sie sich mit U' /G ~ (G x H 5)/G ~ 5/ H. Wir erhalten

§3 Zwei Beispiele 95

also ein carlesisches Diagramm

G x H S U' '---t V ! ! !Q

SjH U '---t VjG

Zur Erinnerung. Ein kommutatives Diagramm von Morphismen zwischen algebraischen Varietäten, komplex-analytischen oder topologischen Räumen

X ~ Z !a !tt> Y - T

'P

heißt cartesisch, falls X in diesem Diagramm isomorph zum Faserprodukt

Y XT Z = {(y,z) E Y x Z I <p(y) = tP(z)}

ist, d.h. wenn es ein kommutatives Diagramm folgender Art gibt:

Y XTZ ~ X - Z 6 ß

!a !tt> Y - T

'P

wobei die Kompositionen 0: 0 D und ß 0 D gerade die Projektionen sind. Es gilt dann für alle y E Y, z E Z:

Literatur. [Ca]

3.2. Der Fall kompakter Gruppen (differenzierbar)

Sei jetzt G eine kompakte Liegruppe, die auf einer (kompakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit X differenzierbar operiere. Wir können dann (gegebenenfalls nach einer Mittelung über G) annehmen, daß X eine G-invariante Riemannsche Metrik besitzt. Sei x E X und H = {g E G I gx = x} der Stabilisator von x in G. Der Tangentialraum TxX im Punkte x spaltet in H -stabiler Weise

TxX = Tx(G.x) EB Nx,

wobei Nx das orthogonale Komplement in TxX zum Tangentialraum Tx(G.x) an den Orbit von x ist. Das Normalenbündel v : N _ G.x von G.x in X identifiziert sich dann mit dem assoziierten Bündel G x H N x' Zu jedem Element n E N gibt es eine Geodätische "In : R - X mit Anfangspunkt "In(O) = v(n) und Richtung 'Yn(O) = n. Wir erhalten eine G-äquivariante "Exponentialabbildung"

exp:N-X

durch exp(n) := "In(l). Sei c > 0 und Sx die "Scheibe" {n E Nx IlInll < c}. Dann ist G x H Sx eine G-stabile Umgebung des Nullschnittes in N = G x H Nxo


Es läßt sich leicht zeigen, daß die Einschränkung

exp : G x H S€ -+ X

für ein genügend kleines € einen Isomorphismus auf eine G-stabile "Tubenumgebung" U' von G.x liefert. Dieses ist der Inhalt des "differenzierbaren Scheibensatzes" .

Obwohl der Quotient X/G im allgemeinen nicht als differenzierbare Mannigfaltigkeit existiert, können wir ihn als topologischen Raum auffassen, d.h. X/G ist die Menge der G-Orbiten, versehen mit der Quotiententopologie bezüglich der natürlichen Abbildung Q : X -+ X/Go Wir erhalten dann wiederum ein cartesisches Diagramm von topologischen Räumen

U' 1

U'/G

Da H auf Sx linear operiert, trägt der Raum Sx/ H zusätzlich die Struktur einer reell semialgebraischen Menge (als Bild der semialgebraischen Varietät Sx C Nx in der rellen Quotientenvarietät N x /I H I). Insofern liefert der Scheibensatz die Aussage, daß der topologische Raum X/G lokal die Struktur einer semialgebraischen Varietät besitzt.

Literatur. [Br], [Jä], [Kosz]

§ 4 Der etale Scheibensatz von Luna

Sei nun G reduktiv und G x X -+ X eine algebraische Operation von G auf einer affinen k-Varietät X. Sei x E X und H der Stabilisator von x in G. Als Idealziel würden wir gerne wieder eine G-Umgebung der Bahn G.x mittels eines geeigneten assoziierten Bündels G x H S beschreiben. Dem stehen nun einige Schwierigkeiten entgegen. So kann die Struktur von H sehr kompliziert sein. Insbesondere braucht H nicht reduktiv zu sein, so daß man im allgemeinen den (Zariski-) Tangentialraum TxX im Punkte x als H-Modul nicht mehr in die direkte Summe des Untermoduls Tx (G.x) und eines geeigneten H-stabilen Supplementes N x zerlegen kann. Da der Satz über implizite Funktionen nicht zur Verfügung steht, wird man zudem mit etalen Umgebungen arbeiten müssen. Diese sollten über dem Grundkörper der komplexen Zahlen durch Umgebungen in der metrischen Topologie ersetzbar sein. Aber selbst über den komplexen Zahlen, bei reduktiver Standgruppe H, kann es vorkommen, daß es kein "Scheibenbündel" G x H S gibt, das zu einer metrischen Umgebung von G.x isomorph wäre (vgl. das Beispiel weiter unten). In seiner grundlegenden Arbeit [Lu] hat D. Luna gezeigt, daß die Orbiten, für die ein "korrekter" Scheibensatz gilt, gen au die abgeschlossenen Orbiten sind. Als abgeschlossene Untervarietäten der offenen Varietät X sind solche Orbiten wiederum affin. Das folgende Resultat enthebt uns zumindest der Sorgen über die Struktur des

§4 Der etale Scheiben satz von Luna 97

Stabilisators H.

Satz (Matsushima 1960, Bialynicki-Birula 1963). Sei G eine reduktive algebrai8che Gruppe und H c G eine abge8chl088ene Untergruppe. 18t dann G / H affin, 80 i8t H ebenfall8 reduktiv.

Man beachte, daß hier natürlich auch die Umkehrung gilt. Ist H reduktiv, so ist die Quotientenvarietät G / H = G /I H nach unseren allgemeinen invariantentheoretischen Sätzen wieder affin. Allerdings braucht ein Orbit mit reduktivem Stabilisator nicht abgeschlossen zu sein. Wir können nun Lunas Scheibensatz formulieren.

Satz (Luna 1973). Sei G eine reduktive algebrai8che Gruppe, die auf der affinen k- Varietät X algebrai8ch operiere. Sei Q : X -+ X//G der zugehörige Quotient und x E X ein Punkt mit abge8chl088enem Orbit G.x und (daher) reduktivem Stabili8ator H. Dann gibt e8 eine lokal abge8chl088ene affine Untervarietät S C X mit den folgenden Eigen8chaften:

(i) xE S (ii) S i8t 8tabil unter H

(iii) Die Abbildung G x S -+ X, (g,s) 1-+ g.s, induziert einen etalen GMorphi8mu8

t/J: G x H S -+ X

mit affinem Bild.

(iv) Der von t/J induzierte Morphi8mu8

t/J//G: (G x H S)//G = S//H -+ X//G

i8t etal.

(v) Da8 folgende Diagramm i8t carte8i8ch:

Gx H S ~ X ~ ~Q

S//H !!!; X//G

18t die Varietät X zudem glatt in x, 80 kann man da8 obige S 80 wählen, daß auch die folgenden zU8ätzlichen Eigen8chaften erfüllt .'lind:

(vi) S i8t glatt.

(vii) E8 gibt einen etalen H -äquivarianten Morphi8mU8 cp : S -+ N x = TxS mit cp( x) = 0 und affinem Bild <pe S) c NI:.

(viii) Der von cp induzierte M orphi8mu8 cp /I H : S /I H -+ N x /I H i8t etal.

(ix) Da8 folgende Diagramm i8t carte8i8ch

Gx H S ~

S//H


Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang von F. Knop. Er gestaltet sich bedeutend aufwendiger als der seines Analogons für kompakte Liegruppen. Wir begnügen uns hier mit einigen Anmerkungen.

Die Konstruktion der Scheibe S ist ziemlich offensichtlich. Zunächst reduziert man sich mittels einer G-äquivarianten Einbettung leicht auf den Fall einer G-Darstellung auf einen Vektorraum X. Aufgrund der Reduktivität von H kann man ein H-stabiles Supplement Nx zu Tx(G.x) in TxX finden. Die Scheibe S ist dann eine offene H-stabile Umgebung von x in dem affinen Raum x+Nx • Ist S genügend klein, so induziert die Abbildung GxS -t X, (g, s) f-+ g.S einen etalen Morphismus 1jJ : G x H S -t X. Bis auf die Affinität von Bild( 1jJ ) liefert dies die Punkte (i), (ii), (iii). Die restlichen Aussagen deduziert Luna aus seinem "Fundamentallemma", das sich auf eine etwas allgemeinere Situation bezieht: Seien X und Y affine G-Varietäten, qx : X -t XI/G, qy : Y -t YI/G die zugehörigen Quotienten, 1jJ : Y -t X ein G-äquivarianter Morphismus und 1jJI/G : YI/G -t XI/G der induzierte Morphismus.

Fundamentallemma (Luna 1973). Sei y E Y, x = 1jJ(y) und 1jJ etat in y. Die Orbiten G.x und G.y seien abgeschlossen, und die Einschränkung von 1jJ auf G.y sei injektiv. Dann gibt es eine affine offene Teilmenge U C Y mit den folgenden Eigenschaften:

(i) y E U.

(ii) U = qyl(qy(U)) und qy(U) = UI/G. (iii) Die Einschränkung 1jJ' von 1jJ auf U ist etal mit affinem Bild.

(iv) Der von .,p' induzierte Morphismus

1jJ'//G = (1jJI/G) lu#o : UI/G -t XI/G

ist etal.

(v) Das folgende Diagramm ist cartesisch:

U 1

UI/G

.p' --t X

1 .pE XI/G

Ein Beweis dieses Lemmas findet sich ebenfalls im Anhang von F. Knop. Grob formuliert geht es darum, die Überlagerungen von G-Orbiten, die in 1jJ' stecken, auf die "Mehrblättrigkeit" von 1jJ'I/G zu reduzieren. Dabei geht die Voraussetzung der Abgeschlossenheit von G.x entscheidend ein. Dies zeigt das folgende, auf Richardson zurückgehende Beispiel für das Versagen des Scheibensatzes (vgl. [Lu, III.1 Remarque 4]).

Beispiel. Es sei X = S3(C2 ) der Raum der binären kubischen Formen, auf dem die Gruppe G = SL2 (C) natürlich operiert. Die Bahn von x 2 y ist dann nicht abgeschlossen (x 3 und 0 liegen im Abschluß). Der Stabilisator H von x 2 y ist trivial und somit reduktiv. Eine transversale Scheibe an den Orbit von x 2 y

§5 Anwendungen des Scheibensatzes 99

erhalten wir etwa mit

S = {x 2 y - Ay3 IA E Cl· Die Abbildung ?/J : G X H S = G X S - X ist dann etal. Ihr Bild ist Zariski-dicht in X (aber nicht affin). Alle Punkte x 2 y - Ay3 aus S mit A ":f 0 haben eine Standgruppe isomorph zu Z/3Z, die jeweils von der Matrix

(_-~1 ~) 21' ~! mit p,2 = A

erzeugt wird. Somit induziert ?/J über allen Nachbarorbiten von G.x in Bild?/J eine Uberlagerung vom Grad 3. Insbesondere kann es selbst keine metrischen Umgebungen S' von x 2 y in S geben, für die die Einschränkung ?/JIGxsl eine Einbettung würde.

Merken wir schließlich noch an, daß über dem komplexen Grundkörper der etale Morphismus ?/J /lG in Lunas Scheibensatz ein lokaler analytischer Isomorphismus ist. Bei genügender metrischer Verkleinerung S' von S erhält man daher einen analytischen G-Isomorphismus G x H S' ~ U c X auf eine metrische Umgebung U von G.x.

Literatur. [BR], [Lu]

§ 5 Anwendungen des Scheibensatzes Im folgenden sei X immer eine affine Varietät, auf der eine reduktive Gruppe G algebraisch operiere. Wir bezeichnen den zugehörigen Quotienten mit Q : X -XI/G.

Korollar 1 (Luna). Der Quotient Q ist ein G-Prinzipalbündel genau dann, wenn die Standgruppen G x = {g E G I gx = x} für alle x E X trivial sind.

BEWEIS: Sei x E XI/G und x E X so, daß Q(x) = X. Dann ist die Bahn von x abgeschlossen. Sei S eine Scheibe in x wie im Scheibensatz. Wir haben dann ein cartesisches Diagramm

GxS ~ X Lpr2 LQ S ~ X/IG

in dem ?/J und ?/J/IG eta! sind. Also ist ?/J/IG : S - XI/G eine etale Umgebung von x, über der Q trivialisiert wird. Da dies für jeden Punkt x E XI/G gilt, ist Q ein lokal-triviales Bündel (im Sinne der etalen Topologie). 0

Korollar 2 (Luna). Sei X/IG nulldimensional und zusammenhängend. Dann gibt es eine reduktive Untergruppe H C G und eine H -stabile affine Untervarietät SeX mit den folgenden Eigenschaften:

100 Peter Slodowy; Der Scheibensatz für algebraische Gruppen

(i) H hat einen Fixpunkt x E S. (ii) x liegt im Abschluß eines jeden H -Orbits in S.

(iii) X ist G-isomorph zu G x H S.

BEWEIS: Sei x ein Punkt des einzigen abgeschlossenen G-Orbits in X mit reduktivem Stabilisator H = G x , und sei SeX eine H-stabile Scheibe in x an den Orbit von x. Wir haben dann ein cartesisches Diagramm

Gx H S ~ X 1 lQ

SI! H t/J.!.!1 X I! G

Da t/JI!G etal und (XI!G) ein Punkt ist, können wir nach Verkleinerung von S annehmen, daß t/JI!G ein Isomorphismus ist. Dann ist aber auch t/J ein Isomorphismus. Es folgt auch, daß SeX abgeschlossen ist. 0

Korollar 3 (Luna). In der Situation von Korollar 2 sei zudem X glatt in einem (und damit jedem) Punkt des abgeschlossenen Orbits. Dann ist S isomorph zu einem Vektorraum, auf dem H linear operiert, und X ist G-isomorph zum Vektorraumbündel G x H S.

BEWEIS: Wir wählen x, Hund S wie im Beweis von Korollar 2. Zudem sei jetzt Nx ein H-stabiles Supplement zu Tx(G.x) in TxX. Wir erhalten dann ein weiteres cartesisches Diagramm

Gx H S

1 SI!H

'P//H ---+

Da cp /I H etal und N x I! H reduziert ist, sowie (SI! H) nur aus einem Punkt besteht, ergibt sich, daß cpl! H ein Isomorphismus zweier reduzierter Punkte ist. Dann sind aber auch G x H cp und cp : S -t N x Isomorphismen. Da H linear auf N x operiert, folgt die Behauptung. 0

Korollar 4 (Luna). In der Situation von Korollar :1 habe G einen Fixpunkt in X. Dann ist die G-Aktion auf X isomorph zu einer Darstellung von G auf einem Vektorraum.

BEWEIS: In der Situation von Korollar 3 können wir H = G wählen. 0

Korollar 5. In der Situation von Korollar :1 und k = C sei X azyklisch bezüglich der singulären Homologie (d.h. Ho(X, Z) = Z und Hi(X, Z) = 0 für i > 0). Dann ist die G-Aktion auf X isomorph zu einer Darstellung von G auf einem C- Vektorraum.

§5 Anwendungen des Scheibensatzes 101

BEWEIS: Nach Korollar 3 ist X G-isomorph zu einem G-Vektorraumbündel G x H S. Es genügt also H = G zu zeigen. Da G x H S homotopieäquivalent zur Basis G / H ist, ergibt sich dies aus dem folgenden Lemma. 0

Lemma. Sei H C G eine abgeschlossene Untergruppe. Dann ist G / H azyklisch genau dann, wenn H = G.

BEWEISSKIZZE: Wir können (bzgl. der metrischen Topologie) maximale kompakte Untergruppen K c G und L c H mit LeK wählen. Dann erweist sich G / H als homotopieäquivalent zu der kompakten Mannigfaltigkeit K / L, die azyklisch nur dann ist, wenn sie aus einem Punkt besteht, d.h. wenn K = L gilt. Da G reduktiv ist, folgt dann auch G = H. 0

Neben diesen unmittelbaren Anwendungen erweist sich der Scheibensatz als ein nützliches Hilfsmittel bei der Analyse der Fasern eines Quotienten Q : X -+ XI/G und der Singularitäten des Raumes XI/G. Der Einfachheit halber setzen wir ab jetzt X als glatt voraus, obwohl ein Teil der Ausführungen auch für singuläre Varietäten sinnvoll ist.

Sei x E XI/ G, x E X ein Punkt des eindeutig bestimmten abgeschlossenen Orbits in Q-l(X) mit reduktivem Stabilisator Gx, TxX = Tx(G.x) (J) Nx eine Gx-stabile Zerlegung und Sx C X, x E Sx, eine Scheibe in x mit Gx-äquivarianter, etaler Projektion cp : Sx -+ Nx, cp(x) = O. Wir nennen die Darstellung l!x : Gx -+ GL(Nx) die Scheibendarstellung in x und den Quotienten qx : Nx -+ Nx//Gx den Scheibenquotienten in x.

Nach dem Scheibensatz erhalten wir ein cartesisches Diagramm

G x G", Nx _ G x G", Sx ---+ X lQ", lQ lQ

~#G", ~#G Nxl/Gx - Sxl/Gx ---+ XI/G

in dem die waagerechten Pfeile etal und die senkrechten Pfeile Quotienten nach G sind. Es bezeichne x das Bild von x in Sx//Gx und 0 das Bild von 0 in Nx!lGx. Dann erhalten wir G-Isomorphismen

Q;l (0) ;:. Q-l (x) .:+ Q-l (x),

wegen Q;l(O) ~ G x G", (q;l(O)) also

Q-l(x) ~ G x G ", (q;l(O)).

Damit ist die Struktur der Faser Q-l(X) vollständig reduziert auf die Struktur der Nullfaser q;l(O) = q;l (qx(O)) des ,,kleinen" Scheibenquotienten qx : Nx -+ Nx//Gx. Insbesondere "kennt" man die Struktur aller Fasern von Quotienten X -+ XI/G glatter Varietäten X, wenn man die Nullfasern q-l (q(O») von Quotienten linearer Darstellungen q : N -+ N / H von reduktiven Gruppen H ,,kennt".


Im Hinblick auf die lokale Struktur des Raumes XjjG in x erhalten wir einen Isomorphismus der Raumkeime

in der etalen Topologie, d.h. einen Isomorphismus der Henselisierungen (und damit der formalen oder, falls k = C, analytischen Komplettierungen) der lokalen Ringe von XI/G in x und Nxl/G x in O.

Bevor wir etwas ausführlicher auf zwei Beispiele eingehen, wollen wir noch eine Endlichkeitsaussage und einige ihrer Konsequenzen anfügen. Seien x, y E X Punkte aus abgeschlossenen Orbiten von G und G x X N x ---+ N x bzw. Gy X Ny ---+ Ny ihre Scheibendarstellungen. Wir nennen x und y vom gleichen Scheibentyp, wenn es ein gE G und einen linearen Isomorphismus 0: : N x ---+ Ny gibt, so daß Int(g)(Gx) = gGxg-l = Gy gilt und das Diagramm

G x X N x ---t N x tInt(g) x Q' t Q'

Gy x Ny ---t Ny

kommutiert. Sind x, y Elemente des gleichen Orbits, so haben sie offensichtlich den gleichen Scheibentyp. Der Scheibentyp induziert daher eine Zerlegung der Quotientenvarietät

XI/G = U(XI/G)"

in Äquivalenzklassen (XI/G)".

Proposition (Luna). Sei X glatt.

(i) Die obige Zerlegung ist endlich.

(ii) Jede Klasse (XI/G)" ist lokal abgeschlossen in XI/G und glatt.

Ist X irreduzibel, so auch XI/G. Daher gibt es in diesem Fall eine Klasse (XI/G)", die offen und dicht in XI/G ist. Der entsprechende Scheibentyp heißt der Hauptscheibentyp, die abgeschlossenen Orbiten in den entsprechenden Fasern heißen die abgeschlossenen Hauptorbiten. Es gilt nun das folgende nützliche Resultat.

Satz (Luna-Richardson). Sei X normal und irreduzibel und H die Standgruppe eines abgeschlossenen Hauptorbits. Sei Y := {x E X I H.x = x} = X H die Fixpunktvarietät von Hund Na(H) := {g E G I gHg-1 C H} der Normalisator von H in G. Dann ist N a( H) reduktiv, und der reduktive Quotient W = Na(H)jH operiert in natürlicher Weise auf Y. Ist YI/W irreduzibel, so induziert die Inklusion Y c X einen Isomorphismus YI/W ~XI/G.

Bemerkungen. (1) Ist X ein k-Vektorraum und die Aktion von G linear, so ist Y ebenfalls ein Vektorraum. Insbesondere ist dann YI/W immer reduzibel.

§6 Beispiele und Exkursionen 103

(2) Während die Berechnung der vollen Gruppe H sehr schwierig sein kann, gelingt es leichter, die Liealgebra von H und damit die Komponente der Eins HO zu bestimmen. Luna und Richardson beweisen eine Verallgemeinerung ihres obigen Satzes, in dem H durch HO ersetzt wird.

Literatur. [Lu], [LuR]

§ 6 Beispiele und Exkursionen

6.1. Die dreidimensionale Ikosaedervarietät

Sei I C R 3 ein reguläres Ikosaeder mit 20 regelmäßigen Dreiecken als Seitenflächen, 30 Kanten und 12 Ecken. Der Schwerpunkt von I liege im Ursprung o E R 3. Sei G C S03(R) die Gruppe aller Rotationen, die I in sich überführen. Dann hat G 60 Elemente und ist isomorph zur alternierenden Gruppe A 5 von 5 Objekten. Wir komplexifizieren die natürliche reelle Darstellung auf dem R 3

zu

G --+ GL3 (C)

und betrachten die dreidimensionale Quotientenvarietät V = C3//G = C 3 jG. Wir wollen soweit wie möglich den Scheibensatz benutzen, um die Singularitäten von V zu bestimmen. Im Prinzip ließe sich das auch mittels der expliziten Beschreibung von V durchführen, die F. Klein [KI) im vorigen Jahrhundert gegeben hat. Demnach wird der Ring der G-invarianten Polynome auf C 3 von 4 Invarianten A, B, C, D der Grade 2, 6,10,15 erzeugt, die eine einzige Relation erfüllen

D2 = 1728B5 + C3 -720ACB3 + 80A2C 2 B + 64A3(5B 2 - AC)2;

insbesondere läßt sich V im C4 als die Hyperfläche der Punkte (A, B, C, D) realisieren, die die obige Gleichung erfüllen.

Bestimmen wir zunächst die auftretenden Isotropiegruppen und ihre Scheibendarstellungen. Da sämtliche Transformationen in G reell sind, müssen auch alle Fixräume von Teilmengen von G reell definiert sein. Somit genügt es, die Isotropiegruppen von G auf R 3 zu bestimmen. Diese lassen sich aber leicht mit Hilfe der Geometrie des Ikosaeders ermitteln. Zunächst ist der Nullpunkt der einzige Punkt, der die volle Gruppe G als Isotropie hat. Alle Punkte l' 0 auf den Geraden, die antipodale Eck- bzw. Kantenmittel- bzw. Seitenmittelpunkte verbinden, haben eine Standgruppe, die isomorph ist zu Zj5Z bzw. Zj2Z bzw. Zj3Z. Jede dieser drei Klassen von Standgruppen und Fixgeraden bildet auch eine Klasse bezüglich Konjugation in G. Schließlich haben alle restlichen Punkte triviale Isotropie. Da die Orbiten alle nulldimensional sind, identifiziert sich jeder der Normalräume N x mit Tx C 3 ~ C 3 und jede Scheibendarstellung mit der Einschränkung auf Gx der ursprünglichen Darstellung von G

Gx ~ G --+ GL3 (C).


Identifizieren wir die nichttrivialen Gruppen Gz mit Gruppen von EinheitswurzeIn

Gz=J.Lp={~ECI~P=I} (p=2,3,5),

so operieren diese durch Matrizen ähnlich zu

(Wir haben einen I-dimensionalen Fixraum, die "Rotationsachse" j die C-Darstellung zerfällt in I-dimensionale Darstellungen, und die Determinante ist l. Oder: Dies ist die Komplexifizierung der reellen "Rotationsdarstellung" um eine Fixachse!) Somit hat die Scheibenquotientenvarietät NzIGz die Form

C x C 2 / J.Lp p = 2,3,5 ,

wobei J.Lp auf C 2 durch (~, (u, v)) 1--+ (~u, ~-lV) operiert. Den letzten Quotienten bestimmen wir leicht als Hyperfiäche

{(a,b,c)EC3Iab=cP},

denn C[u,v]"1' = C[uP,vP,uv] = C[a,b,c]1 < ab- cP >. Eine solche singuläre Fläche heißt vom Typ Ap - 1 , da sich ihr einziger singulärer Punkt in ein System von p - 1 projektiven Geraden mit folgendem Schnittverhalten auflösen läßt:

~··V dessen dualer Graph (Kurven +-+ Ecken, Schnitte +-+ Kanten) ein Coxeter-Dynkin-Diagramm vom Typ Ap - 1 ist:

. . . . .... --

Wir erhalten also das folgende Bild: Sei x E V und x E C 3 , so daß Q( x) = x. Dann ist x ein glatter Punkt von V genau dann, wenn G z = {I} (dies ist der generische Fall). Ist Gz ~ J.Lp, P = 2,3,5, so ist (V, x) lokal isomorph zu C x C 2 I J.Lp. Für jedes pE {2, 3, 5} bilden alle x mit diesem Verhalten eine lokal abgeschlossene Untervarietät Yp C V, die isomorph zu C* ist, und deren Abschluß '0 enthält: V p = Yp U {'O}. Schließlich liegt in'O E V eine komplizierte Singularität vor, bei deren Analyse der Scheibensatz keine weitere Hilfe (Go = G) leisten kann. Schneidet man diese etwa mit der Hyperfiäche A = 0, so erhält


man D2 = 1728 B S + C3 • Dies ist eine Flächensingularität vom Typ Es (so genannt aus ähnlichen Gründen wie im Fall Ap - l ), die sich sowohl als Quotient der im urspünglichen C 3 durch A definierten Quadrik nach der eingeschränkten Aktion von G als auch als Quotient von C2 nach der Aktion der binären Ikosaedergruppe G (der doppelten Spinüberlagerung von G) beschreiben läßt. Die Familie der Schnitte von V mit den Hyperebenen {A = t} c C 4 liefert eine Deformation der Es-Singularität {A = O} n V, deren allgemeine Fasern gerade drei Singularitäten der Typen Al ,A2,A4 besitzen. Man beachte, daß sich die Vereinigung der Diagramme Al U A2 U A4 aus dem Es-Diagramm durch Entfernen des Verzweigungspunktes ergibt:

• • • • • •

Diese Beziehungen zwischen Quotientensingularitäten, Diagrammen und Deformationen lassen sich besser verstehen, wenn man die zugehörigen Liealgebren und Gruppen mit ins Spiel bringt. Darauf können wir hier nicht mehr eingehen. Es sei nur gesagt, daß auch die im folgenden studierten Beispiele dabei eine Rolle spielen.

Literatur. [Kl], [SI2]

6.2. Adjungierte Quotienten

Sei G wieder eine reduktive Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenem Körper k der Charakteristik o. Dann operiert G auf sich selbst durch Konjugation

G X G --+ G, (g,x) 1--+ gxg- l .

Diese Aktion fixiert das neutrale Element und induziert daher eine Aktion auf der Liealgebra g von G, die wir mit TeG identifiziert haben

G x g --+ g, (g,x) 1--+ Ad(g)x.

Die zugehörige Darstellung

Ad: G ---? GL(g)

heißt die adjungierte Darstellung, und wir nennen den Quotienten

Q : g ---? gllG

den adjungierten Quotienten von g.

Ist G = GLn(k), so besteht g aus allen Matrizen g = Mn(k), und die Aktion G x g ---? g ist weiterhin durch Konjugation (g, x) 1--+ gxg- l gegeben. Im allgemeinen können wir G mit einer abgeschlossenen Untergruppe von GLn( k),


n geeignet, und g mit einer Unteralgebra von Mn ( k) identifizieren. In diesem Fall operiert G wiederum durch Konjugation auf gC Mn(k).

Nach der Strukturtheorie reduktiver Gruppen und Liealgebren zerlegt sich die Liealgebra g als direkte Summe

g = z ffi [g,g]

ihres Zentrums z und ihrer Kommutatorunteralgebra [g, g]. Letztere ist halbeinfach und zerlegt sich noch einmal in eine direkte Summe

von einfachen Liealgebren gi, die ihrerseits bis auf Isomorphie durch ihr zugeordnetes, zusammenhängendes Dynkindiagramm (vom Typ At,Bt , Ct , Dt , E6 ,

E7 , Es, F4 , G2 ) vollständig bestimmt sind.

Der Quotient g -+ gl/G wurde zuerst von Kostant [Kost] untersucht. Wir wollen einige seiner Resultate im Lichte unserer bisherigen Ausführungen präsentieren. Da die Punkte des Quotienten g//G bijektiv den abgeschlossenen Bahnen in g entsprechen, interessieren wir uns zunächst für diese.

Satz 1. Sei x E g, dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(i) Die Bahn Ad( G).x ist abgeschlossen.

(ii) adx : g -+ g, Y f--t [x, y] ist ein halbeinfacher Endomorphismus.

(iii) Für jede algebraische Darstellung e : G -+ GLm ( k) mit Differential de: g -+ Mn(k) ist de(x) eine halbeinfache Matrix.

(iv) Zc( x) = {g E G I Ad(g)x = x} ist eine reduktive Gruppe.

Ist eine dieser (äquivalenten) Bedingungen erfüllt, so heißt x halbeinfach.

Wir erhalten auch eine Charakterisierung der Nullfaser Q-l (Q(O)) mit ähnlichen Begriffen.

Satz 2. Sei x E g, dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(i) 0 liegt im Abschluß der Bahn Ad( G).x von x.

(ii) xE [g, g], und adx : g -+ g ist ein nilpotenter Endomorphismus.

(iii) x E [g, g], und für jede Darstellung de : g -+ M n( k) ist de( x) eme nilpotente Matrix.

Ist eine dieser (äquivalenten) Bedingungen erfüllt, so heißt x nilpotent. Aufgrund der obigen Charakterisierung nennen wir auch Q-l (Q(O)) = {x E g I OE Ad(g).x} die nilpotente Varietät Nil(g) von g.

Wir nennen ein Element x E g regulär, wenn seine Orbit dimension maximal unter allen Orbiten in g ist. Wir erinnern daran, daß der reduktive Rang r von G oder g gleich der Dimension eines maximalen Torus T eGoder einer Cartanunteralgebra h e g ist. Alle maximalen Tori und Cartanunteral-


gebren sind unter G konjugiert, und die Liealgebra eines maximalen Torus ist eine Cartanunteralgebra.

Satz 3. Sei xE g regulär. Dann gilt dimZa(x) = r. Ist zudem x halbeinfach, so ist Za( x) ein maximaler Torus. Reguläre halbeinfache und nilpotente Elemente existieren.

Seien nun T C G ein maximaler Torus und Y = gAd(T) die Fixpunkte unter T. Es gilt dann Y = h, wobei h die Liealgebra von T ist. Sei Na(T) der Normalisator von Tin G. Dann ist W = Na(T)jT die sogenannte Weylgruppe, die auf h als endliche Spiegelungsgruppe operiert. Da T nach den Sätzen 1 und 3 "die" generische Isotropiegruppe für abgeschlossene Orbiten ist, können wir den Satz von Luna-Richardson anwenden, um ein Resultat von Chevalley zu erhalten.

Satz 4. Die Inklusion h C g induziert einen Isomorphismus der Quotientenvarietäten

hffW~gffG

Nach einem weiteren Satz von Chevalley [Ch] ist der Invariantenring k[h]w ein Polynomring k[ql,"" qr].

Betrachten wir den Fall G = GLn(k) etwas ausführlicher. Dann können wir für T die Gruppe aller Diagonalmatrizen in G wählen, h ist dann der Vektorraum kn aller Diagonalmatrizen in Mn(k). Die Gruppe Na(T) besteht aus allen monomialen Matrizen in G (ein =f 0 Eingang pro Zeile und Spalte) und W = Na(T)jT identifiziert sich mit der symmetrischen Gruppe Sn, die auf h = kn als Gruppe der Koordinatenpermutationen operiert. Daher wird k[h]w = k[kn]Sn von den elementar-symmetrischen FUnktionen 0'1, ... , O'n erzeugt, die algebraisch unabhängig sind. Die Liftungen Xi der O'i zu Ad( G)-invarianten Polynomen auf g = Mn(k) wird durch die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bewerkstelligt:

det(A' id -x) = Am - Xl(X)A n- 1 + ... + (-ltXn(x).

Schließlich wollen wir den Scheibensatz benutzen, um die Struktur beliebiger Fasern von Q zu beschreiben. Ein jedes halbeinfaches Element x E g läßt sich nach h konjugieren. Es genügt daher, die Fasern der Gestalt Q-l(Q(x»), x E h, zu studieren. Der Stabilisator Za( x) ist reduktiv mit der Liealgebra Zg(x) = {y E g I [x, y] = O}. Zur Konstruktion einer Scheibe S an den Orbit von x haben wir nun den Tangentialraum Txg = g in eine Za(x )-stabile direkte Summe Tx(G.x)ffiNx zu zerlegen. Der Tangentialraum Tx(G.x) identifiziert sich mit {ad(y)(x) I y E g}, also auch mit dem Bild ad(x)(g) von ad(x). Da ad(x) halbeinfach ist, gilt (sogar als Za(x)-Moduln)

g = Bild( ade x» ffi Ker( ade x».


Aber Ker(ad(x)) = Zg(x). Somit erhalten wir als Normalraum N x = Zg(x), und die Scheibendarstellung

Za(x) -+ GL(Nx )

identifiziert sich mit der adjungierten Darstellung von Za( x), entsprechend der Scheibenquotient qx : Nx -+ Nx//Za(x) mit dem adjungierten Quotienten Zg(x) -+ Zg(x)//Za(x) von Zg(x). Als Korollar des Scheibensatzes folgt also

Q-l (Q(x)) ~ G XZa(x) Nil(zg(x)). a

Insofern genügt es, die nilpotenten Varietäten aller "kleineren" reduktiven Algebren Zg( x) zu kennen, um die Fasern von Q zu kennen. Den obigen Isomorphismus können wir auch explizit beschreiben. Sei 9 E G und y E Nil(zg(x)). Dann definiert die Vorschrift 9 * Y 1--+ Ad(g)(x + y) einen G-äquivarianten Isomorphismus

G XZa(x) Nil(zg(x)) ~ Q-l (Q(x)).

Sei s = Ad(g)(x) und n = Ad(g)(y). Wegen [x, y) = 0 gilt dann auch [s, n) = O. Ferner ist s halbeinfach und n nilpotent. Mit anderen Worten ist die Zerlegung

Ad(g)( x + y) = s + n

die Jordan-Chevalley-Zerlegung dieses Elementes. Statt des Scheibensatzes hätte man auch diese Analyse der Zerlegung

von Q voranstellen können, um die gleichen Resultate zu erhalten. Dies ist der von Kostant ursprünglich begangene Weg. Während die Jordan-ChevalleyZerlegung jedoch auf die adjungierte Darstellung beschränkt ist, steht der Scheibensatz für alle Aktionen reduktiver Gruppen auf affinen Varietäten zu Verfügung. Im Hinblick auf die Orbitklassifikation und Faseranalyse leistet er im allgemeinen Fall das, was die Jordan-Chevalley-Zerlegung im Spezialfall erbringt.

Literatur. [Bo), [Hu), [Kost), [Sp), [SI1), [S12), [St)

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110 Friedrich Knop: Beweis des Scheibensatzes

ANHANG

Beweis des Fundamentallemmas und des Scheibensatzes

Friedrich Knop

Im folgenden beweisen wir das Fundamentallemma und den Scheibensatz (§ 4). Der Beweis ist eine vereinfachte Version eines unveröffentlichten Beweises von Luna.

Sei eine Situation wie im Fundamentallemma gegeben, d.h. X, Y sind zwei affine G-Varietäten, qx : X -+ X//G, qy : Y -+ Y//G die zugehörigen Quotienten, 'IjJ : Y -+ X ein G-äquivarianter Morphismus und y E Y ein Punkt, in dem 'IjJ etal ist. Weiter nehmen wir an, daß die Bahnen von y und x := 'IjJ(y) abgeschlossen sind und daß die Standgruppen Go: und Gy gleich sind.

Wir übersetzen diese Daten zuerst in die Algebra: Sei R := k[X], S := k[Y], t das Ideal von G.x, G das Ideal von G.y, sowie R (bzw. S) die t-adische (bzw. G-adische) Komplettierung von R (bzw. S). Der Morphismus 'IjJ induziert einen Homomorphismus 'IjJ* : R -+ S.

Lemma 1. Für jedes n > 0 induziert'IjJ einen Isomorphiamus Rjtn ~ Sjsn. Insbesondere ist R ~ S.

BEWEIS: Sei Yo ~ Y die Menge aller Punkte, in denen 'IjJ nicht etal ist. Dies ist eine G-stabile abgeschlossene Menge, die G.y nicht trifft. Also gibt es ein fE SG mit flyo = 0 und f(y) = 1. Wir können S durch Sf ersetzen, und daher voraussetzen, daß 'IjJ etal ist. Dann ist Z := 'IjJ-l(G.x) -+ G.x ebenfalls etal. Da Z insbesondere glatt ist, ist G.y die Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von Z, und wir können Y weiter verkleinern, so daß Z = G.y ist. Insbesondere ist dann G = 'IjJ*(t)S. Wegen G.y ~ G.x ist die Behauptung für n = 1 richtig.

Weil'IjJ etal ist, ist es insbesondere flach. Es folgt t n Q9R S ~ sn sowie, daß

0-+ t n+1 Q9R S -+ t n Q9R S -+ tnjtn+! Q9R S -+ 0

exakt ist. Daraus erhalten wir die Isomorphismen

t n jtn+! = t n jtn+! Q9R/t Sjs = t n jtn+! Q9R S ~ sn jsn+l.

Die Behauptung folgt nun aus dem Diagramm

o ----+ t n jtn +1 ----+ Rjtn+1 ----+ ----+ 0

1- 1 o ----+ .6 n j.6 n+ 1 ----+ S j.6 n+! ----+ ----+ 0

durch Induktion nach n. o

Beweis des Fundamentallemmas und des Scheibensatzes 111

Jede rationale Darstellung V von G ist vollständig reduzibel und zenällt daher eindeutig in EBM V(M), wobei M die Isomorphieklassen irreduzibler G-Moduln durchläuft, und V(M) direkte Summe von zu M isomorphen Darstellungen ist. V( M) heißt die M -isotypische Komponente von V. Sei 8 der triviale eindimensionale Modul. Dann ist V(8) = VG. Für eine endlich erzeugte G-Algebra A ist AG endlich erzeugt, und A(M) ist ein endlich erzeugter AG_ Modul (siehe [Spr, lIlA)).

Lemma 2. Sei M ein irreduzibler G-Modul. Dann gibt es natürliche Zahlen mo ~ 1 und no ~ 0, so daß für alle 1/ E N gilt:

tmoll+no n R(M) <;; (tG)" R(M) <;; t" n R(M).

Dabei kann mo unabhängig von M gewählt werden.

BEWEIS: Die rechte Inklusion ist trivial; es genügt also die linke zu zeigen. Sei A:= EB:o tntn <;; R[t). Dann ist AG als k-Algebra und damit als R G = (tO)G_ Algebra endlich erzeugt. Seien r1tm1 , ... , ra t m4 Erzeuger, wobei alle mi positiv seien. Dann ist ri E (tmi)G <;; t G für alle i. Setze mo := maxi mi.

Die M-isotypische Komponente A(M) ist ein endlich erzeugter AG_ Modul. Sie sei von sltnl, ... ,sbtnb erzeugt. Dabei gilt Sj E R(M) für alle j. Setze no := maxj nj.

Sei r E tmoll+no n R(M). Dann ist rtmoll+no E A(M) und läßt sich schreiben als

rtmoll+no = LPj(r1tmt, ... , rat m4 )Sjtnj . j

Dabei ist Pj ein gewichtet homogenes Polynom vom Grade mol/+no-nj ~ mol/. Also hat jedes in Pj vorkommende Monom mindestens den (gewöhnlichen) Grad mOl/jmo = 1/, und damit ist die rechte Seite in (tG)" R(M)tmov+no. 0

Sei Ra die Komplettierung des Invariantenringes RG bezüglich t G =

t n RG • Analog sei So definiert.

Lemma 3. 'IjJ induziert einen Isomorphismus R 0RG Ra ~ S 0sG So.

BEWEIS: Sei M ein irreduzibler G-Modul. Wir setzen R(M) := R(M)®RG Ra. Nach [Mat, (23.L) Thm. 55) ist dies die Komplettierung von R(M) bezüglich der t G -adischen Topologie. Weiterhin sei

R(M) := lim(Rjt")(M) = limR(M)j(t" n R(M». +-- +--

11 11

Dies ist die Komplettierung von R( M) bezüglich der induzierten t-adischen Topologie auf R. Nach Lemma 2 stimmen beide Topologien auf R( M) überein, und wir erhalten

R(M) = R(M).

112 Friedrich Knop: Beweis des Scheibensatzes

Analog seien 8(M) und SeM) definiert; beide sind ebenfalls zueinander isomorph. Aus Lemma 1 folgt, daß t{; einen Isomorphismus

R(M) ~ SeM)

induziert, woraus sich die Behauptung ergibt. o

BEWEIS DES FUNDAMENTALLEMMAS: Geht man in Lemma 3 zu den G-Invarianten über, so erhält man Ra ..:t So, d.h. t{;//G ist etal in qy(y). Da dies eine offene Eigenschaft ist, gibt es eine affine Umgebung Vo von qy(y), so daß Vo -+ X//G etal ist. Setze R:= R®RG SG. Nach Lemma 3 ist

R ®sG So ..:t S ®sG So ein Isomorphismus. Sei Sl~k der lokale Ring von SG in fP. Weil Sl~k -+ So treuflach ist ([Mat, (23.L) Cor. 1], haben wir einen Isomorphismus

- G ~ G R ®sG Siok -+ S ®sG Slok,

d.h. es gibt ein J E SG '- t,o mit Rf..:t Sf· Setze Vl := {v E Vo I J(v) -=f O} und Ul := q;;I(V). Dieses Ul erfüllt schon alle Bedingungen des Fundamentallemmas bis auf die Affinität des Bildes von t{; (Aussage (iii».

Wegen der Etalität von Ul -+ X ist das Bild offen. Wähle dann ein h E RG , das auf dem Komplement des Bildes verschwindet und in x gleich eins ist. Setze nun U:= {u E Ul I h(t{;(u» -=f O}. 0

Bemerkung. Im Beweis des Fundamentallemmas ging nur ein, daß R und S endlich erzeugte k-Algebren sind, d.h. sie brauchen insbesondere nicht normal oder reduziert zu sein.

BEWEIS DES SCHEIBENSATZES: Wir benützen wieder die Notationen aus §4. Wähle einen endlichdimensionalen G-stabilen Teilraum V von k[X], der k[X] als Algebra erzeugt. Dies liefert eine G-äquivariante, abgeschlossene Einbettung t : X ~ W := VV. Wähle im Vektorraum Wein H -stabiles Komplement So zu (LieG)t(x) = Tt(x)G.t(x), und setze SI := tex) + So. Schließlich sei S2 := t- l (St}. Das folgende Diagramm ist dann kartesisch:

G x H S2 ~ G x H SI

tP 1 ItPO X W

Nach Konstruktion induziert t{;o einen Isomorphismus zwischen den Tangentialräumen in 1 * tex) E G x G So und tex) E W, d.h. t{;o ist etal in 1 * tex). Es folgt, daß t{; etal in 1 * x ist. Damit erfüllen t{; : Y := G x H S2 -+ X und y := 1 * x alle Voraussetzungen des Fundamentallemmas. Die dort konstruierte Teilmenge U ist notwendig von der Form U = G x H S. Damit sind (i) bis (v) bewiesen.

Beweis des Fundamentallemmas und des Scheibensatzes 113

Sei X jetzt glatt in x. Dann gilt T.(x)t(X) + 50 = W, d.h. 51 ist transversal zu X in t(x). Insbesondere ist 5 glatt in x. Wähle eine Funktion fE k[5jH mit f(x) = 1, die auf den singulären Punkten von 5 verschwindet. Durch Ersetzen von 5 durch {s E 5 I f(s) "I O} erhalten wir zusätzlich (vi).

Sei m ~ k[ 5j das maximale Ideal zu x. Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz von H-Moduln

o ~ m2 ~ m ~ N: ~ o. (Nx ist ein H-stabiles Supplement von TxG.x in TxX.) Wähle einen H-äquivarianten Schnitt <p" : Ni -+ m ~ k[Sj von 7r. Dies liefert einen H -äquivarianten Morphismus <p : 5 -+ N x , der in x etal ist. Wenden wir das Fundamentallemma diesmal auf H und den Morphismus <p an, so erhalten wir (vii) bis (ix). 0

Literatur

[Mat] Matsumura, H.; Commutative algebra, 2nd edition. Benjamin, Reading, Massachusetts, 1980

[Spr] Springer, T. A.; Aktionen reduktiver Gruppen auf Varietäten. In diesem Band

DIE THEORIE DER OPTIMALEN .. EINPARAMETERUNTERGRUPPEN FUR

INSTABILE VEKTOREN

Pet er Slodowy

Inhaltsverzeichnis

Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 Multiplikative Einparametergruppen § 2 Der Satz von Kempf-Rousseau .. § 3 Beispiele . . . § 4 Anwendungen Literaturverzeichnis ..

Einführung

115 116 119 123 127 130

Es sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, der jetzt von beliebiger Charakteristik sein darf. Wir betrachten eine lineare Aktion G x V --+ V einer reduktiven k-Gruppe G auf einem endlich-dimensionalen k-Vektorraum V.

Sei H C G eine abgeschlossene Untergruppe. Wir nennen v E V instabil bezüglich H, falls 0 E V im Abschluß H.v der H-Bahn von v liegt. Ist H selbst reduktiv und 'Tr H : V --+ V /I H der kategorielle Quotient, so ist dies äquivalent dazu, daß v inder Nulljaser'Tri/('TrH(O)) = {v E V J'TrH(v) = 'TrH(O)} liegt. Das Hilbert-Mumford-Kriterium liefert eine Charakterisierung der Nullfaser (vgl. [Kr], [Mu1], [MF]):

Satz. Ein Vektor v E V ist instabil bezüglich G genau dann, wenn es einen Homomorphismus A : Gm --+ G gibt, so daß v instabil bezüglich A( Gm) ist.

(Dabei ist Gm := k '- {O} die multiplikative Gruppe.) Indem wir gegebenenfalls A durch die inverse Gruppe A-1 : t I-T (A(t))-1 ersetzen, erhalten wir in der Situation dieses Satzes eine Fortsetzung des Morphismus 'ljJv : Gm --+ V, 'ljJv(t) = A(t).V, zu einem Morphismus ;Sv : A 1 --+ V,

116 Peter Slodowy: Theorie der optimalen Einparameteruntergruppen

wobei i die Inklusion Gm = k , {O} <-t k = A l ist und dem Comorphismus k[t] <-t k[t, r 1] entspricht, und .if;v(O) = 0 gilt. Wir schreiben dann auch

lim A(t).V = O. t-O

Die Wahl des Homomorphismus A im obigen Satz ist bei weitem nicht eindeutig. Zunächst läßt sich A durch (positive) "Vielfache" An ersetzen. Ist etwa v ein Eigenvektor eines maximalen Torus T von G zum Eigencharakter X und faktorisiert A über T, so kann man anstelle von A auch jedes Produkt A.P. von A mit einem Homomorphismus p. : Gm -----+ ker X C T wählen. Schließlich läßt sich A noch mittels der Elemente einer geeigneten parabolischen Untergruppe von G konjugieren (siehe weiter unten). Mit einigen nützlichen Anwendungen im Auge hat daher Mumford in der ersten Auflage seines Buches [Mul] das Problem gestellt, eine möglichst ,,natürliche" Klasse Av von Homomorphismen A : Gm -----+ G auszuzeichnen, bezüglich denen v instabil wird. Dieses Problem wurde auf unabhängigem Wege von Kempf [Ke] und Rousseau [Rou] gelöst. Von Hesselink [Hel], [He2] wurden Ergänzungen hinzugefügt. Implizit findet sich die Lösung auch in Bogomolovs Analyse der Nullfaser [Bog]. Im folgenden präsentieren wir die Argumente von Kempf. Dabei betonen wir etwas stärker als Kempf die elementargeometrische Interpretation seiner Konstruktionen.

§ 1 MuItiplikative Einparametergruppen Von nun an nennen wir einen Homomorphismus A : Gm -----+ G abkürzend eine Einparameteruntergruppe. Für eine beliebige algebraische Gruppe H bezeichen wir mit

X.(H) = Hom(Gm,H)

die Menge aller Einparameteruntergruppen und mit

X·(H) = Hom(H, Gm)

die Gruppe aller multiplikativen Charaktere. Ist T ein Torus, T ~ (GmY, so gilt X.(T) ~ zr ~ X·(T). Entsprechend benutzen wir die additive Schreibweise für die Multiplikation in X .. (T) und X·(T). Beide Gruppen stehen in perfekter Dualität:

X.(T) x X·(T) -----+ Z, (A,W) t-+ (A,W)

wobei (w 0 A)(t) = t(>',w) für alle t E Gm gilt. Die Menge X .. (G) ist die Vereinigung aller X.(T), wobei T über alle maximale Tori von G läuft. Sei nun T ein solcher und Na(T) der Normalisator von T in G. Dann ist W = Na(T)jT eine endliche Gruppe, die Weyl-Gruppe. Sie operiert auf X*(T) und X*(T).

§1 Multiplikative Einparametergruppen 117

Zwei Elemente ,x, f-l E X*(T) sind konjugiert unter G genau dann, wenn sie konjugiert unter W sind. Wir können auch ein W-invariantes, ganzzahliges, positiv definites Skalarprodukt

X*(T) x X*(T) ---+ Z

auf X*(T) wählen. Ist G einfach, so ist dieses bis auf positive Homothetien eindeutig bestimmt. Mit seiner Hilfe identifizieren wir die dualen Vektorräume

XQ := X*(T) 0z Q und XQ = X*(T) 0z Q,

und entsprechend XR = XQ 0Q R und XR = XQ 0Q R. Der Einfachheit halber bezeichen wir dieses Skalarprodukt auf X*(T) C XQ c XR ebenfalls mit ( , ). Sei

11 11 : X R ---+ R

die zugehörige Norm II,XII = .J(T,1). Wegen X*(G) = UgEoX.(gTg- 1 ) und der W-Invarianz dieser Norm können wir sie in eindeutiger Weise von X*(T) auf ganz X*(G) ausdehnen: Ist ,X E X.(G) und 9 E G so, daß Int(g) 0 ,x in X*(T) liegt, so setze man

II,XII := II Int(g) 0 'xII·

Jeder Einparametergruppe ,x E X*(G) ist in natürlicher Weise eine parabolische Untergruppe P('x) C G assoziiert, nämlich

P('x) := {g E G Ilim 'x(t) 9 'x(t)-l existiert in G}. t ..... o

Diese Gruppe ist das semidirekte Produkt

P('x) = U('x) >4 Z('x)

des uni potenten Radikals

U('x):= {g E G Ilim'x(t)g'x(t)-l = e} t ..... o

und des reduktiven Zentralisators

Z('x):= {g E G Ilim 'x(t)g 'x(t)-l = 9 für alle tE Gm}. t ..... o

Liegt ,x in X*(T) und ist

die Wurzelraumzerlegung der Liealgebra g von G bezüglich T, so gilt für die Liealgebren

LieZ('x) = hEB EB ga und LieU('x) = EB ga' aEcf>

(.\,a)=O aEcf>

(.\,a»O


Sei jetzt A E X*( G) und g : G ----+ GL(V) eine Darstellung von G. Bezüglich der Gm-Darstellung g 0 A : Gm ----+ GL(V) zerfällt dann V in die direkte Summe seiner Gewichtsräume V = EB Vi, wobei

iEZ

Vi = {v E V I g(A(t))(V) = ti.v für alle t E Gm}.

Liegt A in X*(T), und ist V = EBxEXO(T) Vx die Eigenraumzerlegung bezüglich T, so gilt

Vi = EB Vx· xEX*eT) (A,x)=i

Da die Gruppe Z(A) mit A(Gm ) kommutiert, stabilisiert sie jeden Summanden Vi. Andererseits folgt aus der wurzeltheoretischen Beschreibung von LieU(A), daß U(A) die Filtration

... :J Y( -1) :J Y(O) :J Y(l) :J . . . mit Y(i) = EB i2: i Vj (i E Z)

erhält. Genauer gilt

(u - e)v E y(i+1) für alle v E Y(i),U E U(A).

Insgesamt stabilisiert also P(A) ebenfalls jedes Vei ) (i E Z).

Sei jetzt v E V und v = LiEZ Vi die Zerlegung von v mit den Vi E Vi. Wir setzen

m(v,A):= min{i E Z I Vi =f O} = max{i E Z I v E Y(i)}.

Aus unseren bisherigen Ausführungen ergibt sich dann:

(1) m(v,A) { ~ ~ {=} limA(t)v { : ~O < 0 t--+O existiert nicht

(2) m(v,A) = m(g.v,Int(g) 0 A) für alle g E G. (3) mev, A) = m(p.v, A) für alle p E P(A). (4) m(v,c.A) = c.m(v,A) für alle cE Z.

Sei T wieder ein maximaler Torus und V = EBxExOeT) Vx die Eigenraumzerlegung von V. Sei v = LXEXOeT) v x , Vx E Vx , die entsprechende Zerlegung eines Vektors v E V. Wir nennen

TrT( v) := {X E X*(T) I V x =f O}

den Träger von v bezüglich T. Für A E X*(T) erhalten wir dann

m(v,A) = min (A,x). xETr(v)

Diese Formel erlaubt es uns auch, m(v,?) zu einer linearen Funktion Xa ----+ R auszudehnen.

§2 Der Satz von Kempf-Rousseau 119

Zusätzliche Referenzen. [Bol], [Hu], [Kr, Kap. 111.2], [MF, Chap. 2], [Spl]

§ 2 Der Satz von Kempf-Rousseau Wir können die oben eingeführte Zahl m(v,,\) als ein Maß für die Instabilität von v bezüglich ,\ auffassen. Allerdings läßt sich dann die Instabilität eines ,\-instabilen Vektors v E V auf triviale Weise vergrößern, indem man ,\ durch ein Vielfaches n.'\, n E N >1, ersetzt. Daher ist es sinnvoll, den von positiven Homothetien unabhängigen Quotienten

m( v, ,\)

11'\11 zu betrachten. In der Folge von [Hel] definieren wir nun:

Definitionen. Ein ,\ E X*(G), ,\ ":f 0, heißt optimal für einen (instabilen) Vektor v, wenn für alle J1. E X*(G), J1. ":f 0, die folgende Ungleichung gilt:

m~~'II'\) ~ m~:,t)· Ein Element ,\ E X*(G) heißt primitiv, wenn es kein J1. E X*(G) und n E N>l gibt mit ,\ = nJ1.. Wir setzen

Av := p. E X*( G) I ,\ ist primitiv und optimal für v},

und nennen Av die optimale Klasse für v.

Satz (Kempf, Rousseau). Sei v E V instabil bezüglich G. Dann gilt:

(i) Av ":f 0. (ii) Es gibt eine parabolische Untergruppe P( v) c G, so daß P( v) = P('\)

für alle ,\ E Av .

(iii) Sei ,\ E Av , J1. E X*(G). Dann gilt J1. E Av genau dann, wenn es ein gE P(v) gibt mit J1. = Int(g) 0'\.

Der Beweis erfolgt über mehrere Hilfssätze. Wir fixieren zunächst einen maximalen Torus T von G und versuchen für einen T-instabilen Vektor v ein nur in Bezug auf alle J1. E X*(T) optimales ,\ E X*(T) zu konstruieren.

Sei v E V und TrT(v) = {w E X*(T) I V w ":f O} sein Träger. Wir bezeichnen mit K T ( v) die konvexe Hülle von TrT( v) in X R .

Lemma 1. Die Einschränkung der Norm 1111 auf KT(v) nimmt ihr absolutes Minimum in genau einem Punkt J1.T(v) E X Q n KT(v) an.

BEWEIS: Die Existenz des absoluten Minimums folgt aus der Kompaktheit von KT(v) und der Stetigkeit von 11 11. Die Eindeutigkeit ist Konsequenz der


Konvexität von KT(v) und der strikten Konvexität von 1111 :

IISA + (1 - s)JlII < SIiAIl + (1 - s)IIJlII für alle A,Jl E XR, S E (0,1). Nun liegt das absolute Minimum JlT(v) im relativen Inneren einer i-dimensionalen Seite (i ~ 0 ) des Polyeders K T( v). Alle diese Seiten werden durch rationale lineare Gleichungen und Ungleichungen beschrieben. Ebenso ist das Quadrat der Norm 11 11 eine rationale quadratische Form auf X R :> XQ . Das differentielle Kriterium für einen Extremalpunkt von 11 11 2 im Inneren einer Seite liefert daher ein System rationaler linearer Gleichungen, das im Fall von JlT( v) diesen Punkt als einzige und rationale Lösung festlegt. 0

Im folgenden sei JlT( v) immer der Punkt minimalen Abstandes zu 0 in KT(v). Wegen JlT(v) E XQ gibt es eine kleinste rationale Zahl c > 0, so daß AT(V) = c.JlT(v) in X*(T) liegt. Dann ist AT(V) primitiv und eindeutig durch v und T bestimmt.

Lemma 2. Sei Jl = JlT( v) =I- O. Dann gilt

IIJlll 2 = (Jl,Jl) = m(v,Jl).

BEWEIS: Wegen Jl E K T( v) und m( v, Jl) = rn}n (Jl,w) folgt m( v, Jl) ~ (Jl, Jl). wEKT(v)

Gäbe es andererseits ein W E KT(v) mit (Jl,w) < (Jl, Jl), so gäbe es auf der Verbindungslinie von Jl und wein Jl' mit IIJl'1I < IIJlII, was wegen Jl' E KT(v) im Widerspruch zu Definition von Jl stünde:

o

§2 Der Satz von Kempf-Rousseau 121

Folgerung. Ein Vektor v E V ist instabil bezüglich T genau dann, wenn PT(v) f. O.

BEWEIS: Ist P = PT(v) f. 0, so folgt nach Lemma 2

m(v,p) = (p,p) > O.

Also ist v instabil bezüglich P und T (und G). Ist andererseits v instabil bezüglich T, so gibt es nach dem Hilbert-Mumford-Kriterium ein A E X.(T) mit m(v,A) > 0, d.h. (A,W) > Ofürallew E TrT(v). Insbesondere gilt (A,W) > 0 für alle w E KT(v), und da KT(v) kompakt ist, gilt auch (A, PT(v)) > O. Also ist PT(v) f. O. 0

Lemma 3. Sei v instabil bezüglich T, also PT( v) f. 0 und AT( v) f. O. Dann sind PT( v) und AT( v) optimal innerhalb X R, d.h.

m(v,AT(v)) = m(v,pT(v)) > m(v,v)

IIAT(v)11 IIPT(v)1I 11 vII für alle v E XR "' {O}. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn v auf der Halbgeraden (R+ ).PT( v) liegt. Insbesondere ist AT( v )das eindeutig bestimmte primitive Element von X.(T), das die obige Ungleichung erfüllt.

BEWEIS: Für alle v E XR "' (R+ ).pT( v) ergibt sich unter Benutzung von obigem Lemma 2

m(v,v)

11 vII min (w'_llvll):::; (PT(v)'_llvll) wEKT(v) v v

PT(V) m(v,pT(v)) < (PT(v), IIPT(V)II) = IIPT(v)1I .

o

Nachdem das obige Lemma das "Optimierungsproblem" innerhalb eines maximalen Torus löst, gilt es nun einen "optimalen" maximalen Torus zu finden. Da alle maximalen Tori von G konjugiert sind, fixieren wir jedoch weiterhin T und lassen statt dessen v in seiner Bahn G.v variieren.

Lemma 4. Sei v E V. Es gibt ein g E G ,so daß

IIPT(gv)11 ~ IIpT(hv)1I

für alle h E G.

BEWEIS: Die Menge TrT(V) = {X E X·(T) I Vx f. O} aller Gewichte von V ist endlich. Also durchlaufen die Teilmengen TrT(gv) c TrT(V) nur endlich viele Möglichkeiten. Daher können wir ein g E G finden, so daß IIPT(gv)11 maximal unter allen IIpT(hv)ll, hE G, ist. 0

Wir sind nun in der Lage, den Teil (i) des Satzes von Kempf-Rousseau zu beweisen: Sei also v E V instabil und 9 E G wie in Lemma 4. Sei A' = AT(gV)


das primitive Element in X.(T) n (Q+.J.tT(gv» und>' = (Intg-1 ) 0 >.'. Wir behaupten >. E Av • Dazu haben wir zu zeigen, daß

mev, >') > m(v,lI)

Pli - 11 11 11 für alle 11 E X.(G) , {O}. Sei ein solches 11 gegeben und h E G, so daß 11' = (Int h) 0 11 in X.(T) liegt. Mit Lemma 2 und 3 erhalten wir

m(v,lI) = m(hv,II') < m(hv,J.tT(hv» = 11 (h )11 11 11 11 11 11'11 - IIJ.tT(hv) 11 J.tT v

und

m(v,>.) = m(gv,>.') = m(gv,J.tT(gv» = 11 ( )11 Pli 11).' 11 11 J.tT(gv ) 11 J.tT gv .

Die Behauptung folgt somit aus Lemma 4. Der Beweis der Punkte (ii) und (iii) erfolgt mit Hilfe einiger weiterer Lemmata.

Lemma 5. Sei v E V instabil, >. E Av und P(>') die>. assoziierte parabolische Untergruppe von G. Für alle p E P( >') ist dann (Int p) 0 >. E Av •

BEWEIS: Zunächst ist).' = (Int p )0>' primitiv, da>. primitiv ist. Die Optimalität folgt aus der Gleichung (benutze Regel 3 für m)

m(v,>.') m(p-1v,>.) m(v,>.) P'II = --"'-:-1:-:-:1 >'1::-'-1 --'- Pli

und der Optimalität von >..

Bemerkung. Man beachte

P((Intp) 0 >') = (Intp)(P(>'» = P(>') für alle pE P(>.).

o

Lemma 6. Sei v instabil, >. E Av und T ein maximaler Torus von P(>'). Dann besteht X.(T)nA v aus genau einem Element >'T(v). Dieses ist zu >. unter P(>') konjugiert.

BEWEIS: Alle maximalen Tori von P(>') sind auch maximal in G und zueinander konjugiert unter P(>'). Sei S C P(>') ein maximaler Torus, der>. "enthält", d.h. >. E X.(S). Dann gibt es ein p E P(>.),so daß T = (Intp)(S). Nach Lemma 5 liegt (Intp) 0>' in X*(T) n Av , und nach Lemma 3 muß es mit >'T(v) übereinstimmen. 0

Lemma 7. Seien P und P' parabolische Untergruppen von G. Dann gibt es einen maximalen Torus T von G, der in P n P' liegt.

BEWEIS: Dies ist eine einfache und wohlbekannte Konsequenz aus der Bruhatzerlegung für G. Der Beweis sei daher dem Leser als Übung empfohlen. 0

§3 Beispiele 123

Das folgende Lemma beschließt nun den Beweis des Satzes von KempfRousseau.

Lemma 8. Sei v instabil, >.., p. E Av • Dann gilt P(>") = P(p.), und es gibt ein pE P(>"), so daß p. = (Intp) 0 >...

BEWEIS: Sei T C P(>") n P(p.) ein maximaler Torus von G (Lemma 7) und v = >"T(V) das eindeutig bestimmte Element in X*(T) n A v • Nach Lemma 6 gibt es a E P(>"), b E P(p.), so daß (Int a) 0 >.. = v = (Int b) 0 p.. Daher gilt P(v) = (Int a)(P(>")) = P(>") und ähnlich P(v) = P(p.). Also P(>") = P(p.) und p. = (Intp) 0 >.. mit p = b-1a E P(>"). 0

Bemerkung. Ist G einfach, so ist die Norm auf X.(G) bis auf positive Skalare eindeutig. Daraus ergibt sich ebenfalls die Eindeutigkeit der Punkte P.T( v) und der Gruppe P( v). Leider gilt dies nicht allgemein. Es lassen sich sehr leicht Beispiele konstruieren (z.B. für GL3 oder (SL2 )3, ... ), in denen P.T(v) und P(v) von der Wahl der Norm abhängen. Hesselink [Hel, §7] diskutiert eine Bedingung an V, die zwar die Unabhängigkeit der Gruppe P(v) von der Norm auf X.(G) garantiert, aber i.a. sehr selten erfüllt ist.

§ 3 Beispiele

Während es sehr einfach ist, zu einem T-instabilen Vektor v E V eine innerhalb Toptimale Einparameteruntergruppe >"T(v) zu finden (Lemma 3), erscheint das Problem, ein optimales Element in X*( G) zu finden, als relativ unhandlich. Im folgenden wollen wir ein Optimalitätskriterium beweisen und es auf zwei Beispiele anwenden. Mehr oder weniger explizit findet sich dieses Kriterium schon in den Arbeiten von Kirwan [Ki, Remark 12.21], und Ness [Ne, Proof of Th. 9.2]. Wir werden einen direkten Beweis geben.

Wir fixieren einen maximalen Torus T C G und ein primitives Element >.. E X*(T). Sei

V=EBv; iEZ

die Zerlegung von V in die Gewichtsräume bezüglich >... Der Zentralisator Z = Z(>..) von>.. in G stabilisiert jeden dieser Gewichtsräume. Wir fixieren nun auch ein n > 0, n E N, und setzen

Zn := {g E Z I det(glvJ = 1}.

Dann ist Tn := (T n Zn)O ein maximaler Torus von Zn, und

X*(Tn ) = {p. E X*(T) I (p., >..) = O}.

Jeder Vektor v E Vn ist instabil bezüglich G und Z, jedoch nicht unbedingt bezüglich Zn. Wie üblich nennen wir einen Vektor semistabil, wenn er nicht


instabil ist.

Proposition 1. Sei v E Vn, v :f O. Dann gilt A E Av genau dann, wenn v 8emi8tabil bezüglich der Aktion von Zn i8t.

BEWEIS: Sei v instabil bezüglich Zn. Da unsere Behauptung nur von der ZnBahn von v abhängt (beachte Zn C P(A) ), können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit

/-Ln := /-LTn(V):f 0

annehmen. Es gilt dann

/-LT(v) = /-L + /-Ln,

wobei /-L = (~,~) auf der Hyperebene aller X E XR mit (X, A) = n liegt. Nun kann A nicht optimal sein, da dies /-LT( v) = /-L im Gegensatz zu /-Ln :f 0 implizierte.

Ist v E Vn dagegen semistabil bezüglich Zn, so gilt /-LTn(gV) = 0 für alle gE Zn. Dies impliziert die stärkere Aussage

nA /-LT(pv) = /-L = (,x, ,x)

für alle pE P(A). Sei nun P(v) die v assoziierte parabolische Untergruppe und T' C P( A) n P( v) ein maximaler Torus von G (Lemma 7). Wegen Lemma 6 gilt X*(T')nAv:f 0, also X*(T)nApv:f o für einp E P(,x), da T und T' in P(,x) konjugiert sind. Wegen /-LT(pv) = /-L folgt

X*(T) n Apv = {A}.

Nun ist p E P(A) = P(pv), also gilt auch

Int(p) 0 ,x E Apv ,

§3 Beispiele 125

also A E A". o

In einer ersten Anwendung dieses Kriteriums untersuchen wir die Gewichtsvektoren von V. Dazu sei ein maximaler Torus T C G fixiert. Wir zerlegen V in die Gewichtsräume bezüglich T:

V= EB Vx· xEX·(T)

Jedem Gewicht X E X*(T), X =1= 0, ordnen wir die eindeutig bestimmte primitive Einparametergruppe X* E X.(T) C XR zu, die auf dem von X erzeugten positiven Halbstrahl in XR liegt.

Proposition 2. Sei XE X*(T), X =1= 0, v E Vx' v =1= O. Dann gilt X* E A".

BEWEIS: Setzen wir A = X., n = (X, X*), so gilt in der Notation von Proposition 1: v E Vn. Wir haben also die Semistabilität von v bezüglich Zn nachzuweisen. Dazu genügt es zu zeigen, daß die Zn-Bahn von v abgeschlossen ist. Dieses ergibt sich aus der Tatsache, daß der maximale Torus Tn von Zn den Punkt v fixiert, und aus dem folgenden wohlbekannten Resultat (vgl. z.B. [Kr, Kap. 111, 2.5, Folgerung 3]). 0

Lemma 9. Die algebraische Gruppe H operiere auf der affinen Varietät X. Der Stabilisator des Punktes x E X enthalte einen maximalen Torus von H. Dann ist die H -Bahn von x abgeschlossen in X.

Als nächsten Fall betrachten wir die adjungierte Darstellung

G --+ GL(g)

einer halbeinfachen algebraischen Gruppe G auf ihrer Liealgebra g. Wir setzen jetzt die Charakteristik des Grundkörpers k als Null voraus (oder genügend groß im Vergleich zur Coxeterzahl der einfachen Ideale von g, vgl. dazu [BC], [SpS, 111.4]).

Sei A E g instabil bezüglich G. Dies ist äquivalent dazu, daß A nilpotent ist (vgl. den Aufsatz über den Scheibensatz, Beispiele). Nach dem Satz von Jacobson-Morozov gibt es dann einen Homomorphismus von Liealgebren

<P : sh -. g mit <p (~ ~) = A. Sei cI> : SL2 -. G der zugehörige Morphis-

mus algebraischer Gruppen. Wir definieren 1 E X*( G) durch die Komposition

1 = cI>oi, wobei i : Gm ~ SL2 durch i(a) = (~ a~l) gegeben ist. Zerlegen

wir g in die Gewichtsräume bezüglich 1

g = EBg(i), iEZ

so wird g damit zu einer Z-graduierten Liealgebra, d.h. es gilt


[g(i),g(j)] C gei + j) für alle i,j E Z.

Offenbar gilt A E g(2). Die Darstellungstheorie der Liealgebra sh impliziert nun, daß die von ad(A)i induzierte Abbildung

ad(A)i : g( -i) -+ gei)

ein Isomorphismus für alle i E N ist. Sei K. : g X g -+ keine nichtentartete, Ginvariante, symmetrische Bilinearform (Killingform). Diese induziert perfekte Dualitäten gei) X ge-i) -+ k, (X,Y)...-. K.(X,Y).

Sei nun wieder Z2 := {g E Z();) I det(glg(2») = I}.

Lemma 10. A E g(2) i8t 8emi8tabil bezüglich Z2.

BEWEIS: Wir werden ein Z2-invariantes Polynom f : g(2) -+ k mit f(A) ":f ° konstruieren. Dazu ordnen wir zunächst jedem X E g(2) eine Bilinearform zu:

bx : g(-2) X g(-2) -+ k bx(Y, Y') := K.([X, Y], [X, Y']) = -K(Y, ad(X)2 Y')

Diese Form ist nichtentartet genau dann, wenn ad(X)2 : g( -2) - g(2) ein Isomorphismus ist. Wir fixieren nun eine Basis von g( -2) und setzen relativ dieser Basis

feX) := det(bx )·

Wegen bgx(Y, Y') = bX (g-l Y, g-l Y') folgt

f(gX) = det(glg(_2»)-2 feX) = det(glg(2»)2 feX)

für alle gE z(X), XE g(2). Also ist f invariant unter Z2. Da ad(A)2 : g( -2) -g(2) ein Isomorphismus ist, folgt auch f(A) ":f 0, was zu zeigen war. 0

Bemerkung. Die Konstruktion der Funktion f im Beweis des obigen Lemmas ist inspiriert von den allgemeinen Entwicklungen in [Ka, § 1, insbesondere Lemma 1.4]. Im allgemeinen ist das oben definierte Element>: E X*( G) nicht unbedingt primitiv (z.B. falls G adjungiert und A "gerade" ist). Wir setzen daher

\ ._ {>: falls A primitiv ist IIA·- -

A/2 sonst

Dann ist AA primitiv. Proposition 1 und Lemma 10 implizieren nun

Proposition 3. Sei A E g nilpotent. Dann gilt AA E AA.

Bemerkung. Proposition 3 wurde ursprünglich von H. Kraft ("'1977) gefunden. Seine Argumente wurden von Hesselink aufgenommen und in [Hel, Theorem 11.3] publiziert. Durch die Benutzung von Proposition 1 erscheint der obige Beweis wesentlich direkter.

§4 Anwendungen 127

§ 4 Anwendungen Eine von Mumford vorhergesehene Anwendung des Satzes von Kempf-Rousseau betrifft instabile Vektoren über algebraisch nicht abgeschlossenen Körpern. Sei k ein perfekter Körper mit algebraischem Abschluß kund Galoisgruppe r = Gal(kjk). Die reduktive Gruppe G und die Darstellung (! : G --+ GL(V) seien über k definiert. Dann operiert r auf den k-rationalen Punkten jeder über k definierten Untergruppe von G. Wir erhalten somit Aktionen von r auf X*(G) und X*(T) für jeden über k definierten maximalen Torus T. Auf X*(T) operiert r nur mittels eines endlichen Quotienten, der W normalisiert. Daher läßt sich die Norm 11 11 : X*(T) --+ R invariant bezüglich rund W wählen. Man verifiziert leicht (vgl. z.B. [Hel]), daß sich 11 11 auf eindeutige Weise zu einer r-invarianten Norm

1111 : X*(G) --+ R

fortsetzen läßt. Bezüglich einer solchen Norm gilt dann das folgende Rationalitätsresultat.

Korollar 1 (Kempf, Rousseau, Hesselink). Sei v E V(k) ein k-rationaler instabiler Vektor. Dann gilt:

(i) Av ist stabil unter r. (ii) P( v) ist über k definiert.

(iii) Es gibt ein ..\ E Av , das über k definiert ist.

(iv) Alle über k definierten ..\ E Av bilden eine Konjugationsklasse unter der Gruppe P (v) (k) der k-rationalen Punkte von P(v).

Bemerkung. Die Aussagen (i), (ii), (iii) folgen mit Standardargumenten des Galoisabstiegs (Kempf, Rousseau), während (iv) die Rationalitätsresultate von [Bo2] erfordert (Hesselink). Hesselink zeigt auch, daß (i), (ii), (iv) ihre Gültigkeit über beliebigen Körpern behalten, und er gibt ein Gegenbeispiel zu (iii) über nicht perfekten Körpern an ([Hel, 5.6]).

Wir kehren zurück zur Situation eines algebraisch abgeschlossenen Grundkörpers, k = k. Sei Gv = {g E G I g.v = v} der Stabilisator eines Punktes v E V.

Korollar 2. Sei v E V instabil und P(v) die assoziierte parabolische Untergruppe von G. Dann gilt für alle g E G:

(i) Agv = (Intg)(Av ).

(ii) P(gv) = (Intg)(P(v)). (iii) Gv C P(v).

BEWEIS: Man verifiziert mühelos (i). Daraus folgt (ii). Für (iii) benutze man, daß der Normalisator Na(P) einer parabolischen Untergruppe P gleich P ist.

o


Korollar 3. Die Gruppe H sei halbein/ach und operiere au/ der affinen Varietät X. Sei x E X, und Hz sei in keiner echten parabolischen Untergruppe P C H, P:f:. H enthalten. Dann ist der Orbit H.x abgeschlossen.

BEWEIS: Kempf gibt einen direkten Beweis dieser Aussage in beliebiger Charakteristik. Wir wollen uns auf den Fall char(k) = 0 beschränken und die Anwendung von Lunas Scheibensatz üben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir X als glatt, ja sogar als Vektorraum voraussetzen. Ist H.x nicht abgeschlossen, so enthält der Abschluß genau einen abgeschlossenen Orbit H.s für ein sEX. Der Stabilisator G = Ha ist reduktiv. Sei V = TzX jTzH.s der Normalraum an H.s in sund G ~ GL(V) die Scheibendarstellung. Sei Nil(V) die Nullfaser des Scheibenquotienten V ~ V /I G und q : X ~ X /I H der Quotient von X nach H. Der Scheibensatz liefert uns dann einen H -Isomorphismus

q-l (q(x» = q-l (q(s» ~ H x G Nil(V),

der H.x auf einen Orbit H x G (G.v) mit v E Nil(V) abbildet. Es folgt, daß Hz und G v zueinander konjugiert sind. Nach Korollar 2 ist Gv in der parabolischen Untergruppe P( v) von G enthalten. Diese ist wiederum der Schnitt von G mit einer echten parabolischen Untergruppe Q von H (denn P( v) = P( A) für ein A E X .. (G) c X*(H); also kann man für Q die zu A in H assoziierte parabolische Untergruppe nehmen; letztere ist echt, da die halb einfache Gruppe H keine zentralen Einparameteruntergruppen besitzt). Damit ist Hz in einer echten parabolischen Untergruppe von H enthalten, im Widerspruch zur Voraussetzung. 0

Bei der Anwendung von Korollar 3 ist das folgende Kriterium hilfreich.

Lemma 11. Seien GeH Untergruppen von GL(V). Die Gruppe H sei algebraisch, und V sei ein irreduzibler G-Modul. Dann ist G in keiner echten parabolischen Untergruppe von H enthalten.

BEWEIS: Sei P C H eine echte parabolische Untergruppe und U C P das nicht-triviale uni potente Radikal von P. Dann stabilisiert P den Raum V U der U-Fixpunkte. Dieser Raum ist ein echter Teilraum, da U :f:. {I} auf V treu operiert. Er ist ebenfalls :f:. {O} nach dem Borel'schen Fixpunktsatz (vgl. [Bol, §10.4]). Also kann G nicht in P enthalten sein. 0

Hier sind zwei solche Anwendungen aus dem Bereich der ModuliTheorie, auf die Kempf von Mumford hingewiesen wurde ([Ke, § 5]).

Korollar 4. Sei r eine lineare algebraische Gruppe, X ein vollständiger homogener Raum von r, C ein sehr amples Geradenbündel über X und

ie : X <-+ P(Ho(X,C)*)

die zugeordnete projektive Einbettung. Sei char( k) = O. Dann sind die Chowund Hilbert-Punkte von ic(X) stabil.

§4 Anwendungen 129

Korollar 5. Sei A eine abelsche Varietät, C ein sehr amples Geradenbündel über A und

ic. : A -+ P(HO(A, C)*)

die zugehörige projektive Einbettung. Sei (char(k),dim(HO(A,C)) = 1. Dann sind die Chow- und Hilbert-Punkte von ic.(A) eigentlich 8tabil, d.h. 8tabil mit endlichem Stabilisator in PGL(HO(A,C)).

BEWEISSKIZZE (zu Korollar 4): Für die vorliegenden Zwecke kann man r als halbeinfach und einfach zusammenhängend voraussetzen. Dann operiert r linear auf C und irreduzibel auf W = HO(X,C)* (Satz von Borel-Weil). Sei G das Bild von r in H = SL(W). Nach Lemma 11 ist dann G in keiner echten parabolischen Untergruppe von H enthalten. Wir erinnern nun an einige Tatsachen über Chow-Formen und Chow-Punkte (für Einzelheiten vgl. [MF, ch. 4, § 6], [Sch, ch. 1, § 5]). Jeder Untervarietät Y C P(W) der Dimension r(= dim X) und des Grades d(= degic.(X)) läßt sich eine bis auf Skalare eindeutig bestimmte multihomogene Form Fy E Sd(W) ® ... ® Sd(W) zuordnen,

, " v r+l

die auf einem (r + 1)-'lUpe! von Linearformen (<po, ... , <Pr) E (W*) r+ 1 genau dann verschwindet, wenn der Durchschnitt Y n n~=o{w E P(W) I <p;(w) = O} nicht leer ist. Diese Form bestimmt wiederum Y, d.h. die Zuordnung Y t--+ k.Fy liefert eine injektive, H = SL(W)-äquivariante Abbildung

{ U~ter~ietäten Y von P(W) } ---+ P (~(Sd(W))) . mIt dimY = r, degY = d '01

Der Chow-Punkt k.Fx ist stabil genau dann, wenn der H-Orbit von Fx abgeschlossen ist. Nach den Ausführungen zu Anfang des Beweises ist dies nun eine Konsequenz von Korollar 3. 0

Den Beweis für die Hilbert-Punkte kann man genauso führen oder auch auf den für Chow-Punkte reduzieren (für die relevanten Definitionen und Eigenschaften vgl. [Gr], [MF, App. to Chap. 4, Cl, [Po, Lecture 7]).

BEWEISSKIZZE (zu Korollar 5): Der Beweis folgt ähnlichen Ideen. Die Rolle der Gruppe r wird hier von einer endlichen Heisenbergruppe (der Ordnung n3 ,

n = dimHO(A,C)) übernommen, die linear auf C und irreduzibel auf HO(A,C) operiert (vgl. dazu [Ke] und [Mu2]). 0

Neben diesen direkten Konsequenzen liefert die Theorie der optimalen Einparameteruntergruppen ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung der Geometrie der Nullfaser Nil(V) einer Darstellung G -+ GL(V). So zerlegt Hesselink in [He2] die Nullfaser Nil(V) in endlich viele Strata, d.h. Äquivalenzklassen bezüglich folgender Äquivalenzrelation:

v f'V w {:} es gibt ein g E G mit Au = Agw •


In Verallgemeinerung von Springers Auflösung der nilpotenten Varietät einer halbeinfachen Liealgebra [Sp2] beschreibt er dann Auflösungen der Abschlüsse dieser Strata mittels geeigneter Vektorbündel über homogenen Räumen G / P. Dabei ist P die assoziierte parabolische Untergruppe P = P( v) eines Punktes v des betreffenden Stratums.

Obwohl den instabilen Elementen in der Theorie der Modulräume im allgemeinen nur ausgrenzend Beachtung geschenkt wurde, erweist sich ihre präzise geometrische Beschreibung, z.B. in der Form von Hesselinks Stratifikation, als ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung der Kohomologie von Modulräumen. Dieses ist vor allem in der Arbeit [Ki] von F. Kirwan herausgestellt worden, in der Hesselinks Stratifikation auch mit anderen Methoden, d.h. unter Benutzung einer sogenannten Impulsabbildung (,,moment map"), definiert wird. Unabhängig von F. Kirwan wurde dieses Ergebnis im wesentlichen auch von L. Ness [Ne] erhalten. Schließlich sei noch erwähnt, daß Bogomolovs Untersuchungen zur Stabilität von Vektorbündeln auf beliebigen algebraischen Mannigfaltigkeiten [Bog] auf seiner vorhergehenden Analyse der Geometrie der Nullfaser einer Darstellung beruht.

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ZUR GEOMETRIE DER BAHNEN REELLER REDUKTIVER GRUPPEN

Peter Slodowy

Inhaltsverzeichnis Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 Struktur reeller reduktiver Gruppen. § 2 Geometrie reeller Bahnen . § 3 Zu den Anwendungen . Literaturverzeichnis ....... ..

Einführung

133 134 136 142 142

Sei G eine über R definierte reduktive algebraische Gruppe und GR die Gruppe ihrer reellen Punkte. In diesem Aufsatz betrachten wir einige geometrische Eigenschaften der Bahnen von GR unter einer linearen algebraischen Darstellung GR ~ GL(V) auf einem reellen Vektorraum V. Sei K C GR eine maximal kompakte Untergruppe. Gegebenenfalls nach Mittelung über K können wir dann die Existenz eines K -invarianten Skalarproduktes ( , ) : V X V ~ R auf V annehmen. Unser Hauptinteresse gilt dem Verhalten der Längenfunktion v ~ (v, v) = IIvll2 bei Einschränkung auf eine GR-Bahn. Diese Situation wurde bereits von Kempf und Ness [KN] , [Ne] in dem Fall untersucht, daß G eine komplexe reduktive Gruppe und Ge ~ GL(W) eine komplexe Darstellung ist. Dabei erhält man eine Längenfunktion w ~ (w, w) mittels eines K-invarianten hermiteschen Skalarproduktes auf W. Da nur der Realteil dieses Skalarproduktes in die Untersuchung eingeht, läßt sich dieser Fall unter die von uns anvisierte Situation subsummieren. Unser Hauptziel ist es, die Resultate von Kempf und Ness 'in unserer allgemeineren Situation herzuleiten. Dabei werden wir auch von den Vereinfachungen Gebrauch machen, die deren Theorie in den Arbeiten [DK] und [PS] erhalten hat.

134 Peter Slodowy: Geometrie der Bahnen reeller reduktiver Gruppen

§ 1 Struktur reeller reduktiver Gruppen Im folgenden sei G eine über R definierte, nicht notwendig zusammenhängende, reduktive algebraische Gruppe. Wir interessieren uns hier für einige grundlegende Aussagen über die Gruppe GR der reellen Punkte von G, die wir mit der Struktur einer reell-analytischen Liegruppe versehen. Für mehr Details und Beweise vergleiche man [BHC, §1], [Bo, §l1.C), [He, chap. IX], oder [Sp].

Sei K C GR eine maximal kompakte Untergruppe von GR (alle solchen Untergruppen sind algebraisch, d.h. die reellen Punkte einer über R definierten algebraischen Untergruppe von G, und alle maximal kompakten Untergruppen sind zueinander konjugiert). Es gibt einen eindeutig bestimmten, involutiven Automorphismus 0 : GR -t GR ("Cartan-Involution"), der KaIs Fixpunktmenge besitzt: K = {g E G I O(g) = g}. Mit 0 bezeichnen wir ebenfalls die auf der Liealgebra gR = Lie GR induzierte Involution. Dann zerlegt sich gR in die Eigenräume von 0:

gR = k EB p,

wobei k = {X E gR I O(X) = X} und p = {X E gR I O(X) = -X}. Unter der Exponentialabbildung exp : gR -t GR wird p isomorph (d.h. reell-analytisch) auf sein Bild P = exp(p) abgebildet, und die Multiplikationsabbildung

K x P ---+ GR , (k,p) I-t k.p

induziert einen Isomorphismus von reell-analytischen Mannigfaltigkeiten ("Cartan-Zerlegung" ).

Sei nun a C p eine maximale Lieunteralgebra (die notwendigerweise abelsch ist). Die Exponentialabbildung induziert dann einen Isomorphismus analytischer Mannigfaltigkeiten exp : a ~ A = exp(a) C GR , und es gibt einen maximal zerfallenden, über R definierten Torus S von G, so daß sich A mit der Komponente der Eins (SRt der reellen Punkte von S identifiziert. Man kann zeigen:

P = U gAg-t, gEK

woraus GR = K.P = K.A.K folgt.

Neben der Cartan-Zerlegung spielt auch die Iwasawa-Zerlegung von GR eine wichtige Rolle. Wir benötigen nur die folgende Konsequenz (vgl. [Bo, 11.19]. Sei BeG irgendeine über R definierte parabolische Untergruppe und BR die Gruppe der reellen Punkte von B. Dann gilt:

GR = I<.BR.

Sei nun H eine reduktive, über C definierte algebraische Gruppe. Wir können die komplexwertigen Punkte Hc dieser Gruppe als die reellen Punkte GR einer über R definierten reduktiven Gruppe G = rIc/RH auffassen ("Weil'sche Restriktion der Skalaren" ). Ist nun K C GR = H c eine maximal kompakte U nt er-

§1 Struktur reeller reduktiver Gruppen 135

gruppe, so ist K die Gruppe der rellen Punkte HR einer reellen Form H von H,d.h.

H=H xRC

oder, infinitesimal, k = Lie HR und

LieHe = gR = k EB ik ~ k ®R C.

Die Cartan-Involution 9 identifiziert sich dann mit der komplexen Konjugation (auf GR = He = He und gR = LieHe = LieHe ). Insbesondere gilt p = ik, und jede maximale Unteralgebra a von p ist von der Form a = it, wobei t die Liealgebra eines maximalen Torus TR von K = HR ist. Es ist dann t EB it die Liealgebra des maximalen Torus Te von He = He.

Beispiele. (a) Sei G die über R definierte allgemeine lineare Gruppe GLn. Als maximal kompakte Untergruppe K C GR = GLn(R) wählen wir hier die orthogonale Gruppe On(R) mit der zugehörigen Cartan-Involution 9(g) = tg-I (g E G). Die Liealgebra k C gR = Mn(R) besteht aus allen antisymmetrischen, pe gR aus allen symmetrischen, und Pe GLn(R) aus allen positiv definiten, symmetrischen Matrizen. Für a können wir die diagonalen Matrizen wählen. Die Gruppe A besteht dann aus den positiven Diagonalmatrizen:

und SR C GLn(R) ist der maximale Torus aller Diagonalmatrizen. Die Aussage P = UgEK gAg-1 bedeutet in diesem Beispiel, daß sich alle (positiv definiten) symmetrischen Matrizen mittels orthogonalen Basiswechsels diagonalisieren lassen.

(b) Sei H die allgemeine lineare Gruppe GLn über C und G = ne/RH, d.h. GR = He = GLn(C). Als maximal kompakte Untergruppe wählen wir hier die unitäre Gruppe Un(C) mit der Cartan-Involution 9(g) = trI (g = komplexkonjugiertes von 9 in GLn(C) ). Somit besteht k C gR = Mn(C) aus allen antihermiteschen, p C gR aus allen hermiteschen, und P C GLn(C) aus allen positiv definiten hermiteschen Matrizen. Für a können wir die diagonalen Matrizen in p wählen. A besteht dann aus den positiven Diagonalmatrizen

und SR C GR = GLn(C) ist der maximal zenallende Torus der rellen Diagonalmatrizen. Die Aussage P = UgEK gAg- I interpretiert sich ähnlich wie im Fall (a).


Sei G reduktiv, über R definiert, und (l: G -+ GLn ein über R definierter Morphismus algebraischer Gruppen. Dieser liefert eine reelle Darstellung

(lR : GR -+ GLn(R).

Sei GLn(R) = Ko . Po die Cartan-Zerlegung von GLn(R) wie in Beispiel (a) beschrieben. Nach Konjugation von (l mit einem Element aus GLn(R) (Basiswechsel des Rn) kann man dann eine Cartan-Zerlegung GR = K.P von GR finden mit

(lR(K) C Ko und (lR(P) C Po

(vgl. [Bo, 9.1-9.5, 11.25)]). Ist S c G ein über R definierter, maximal zerfallender Torus mit Si = A c P, so ist die Eigenraumzerlegung von V = Rn bezüglich SR und A orthogonal:

V = EB Vx' (Vx' Vx') = {O} für X f:. X', xEX*(S)

Vx := {v E V I (l(s)(v) = X(s).v für alle S E SR}

Analoge Aussagen lassen sich für komplexe Darstellungen

GR - IIc/RGLn (R) = GLn(C)

und die entsprechenden Cartan-Zerlegungen von GR und GLn(C) herleiten.

§ 2 Geometrie reeller Bahnen

Sei nun G eine über R definierte reduktive Gruppe und (l : G -+ GLn ein über R definierter Morphismus algebraischer Gruppen. Dieser induziert eine reelle

(lR : GR - GLn(R),

und eine komplexe Darstellung

(lc : Gc - GLn(C).

Auf den Räumen V = Rn und W = cn können wir sowohl die HausdorffTopologie als auch die Zariski-Topologie betrachten.

Satz 1. Sei v E V C W. Dann sind die folgenden drei Bedingungen äquivalent:

(i) Die Bahn Gc.v ist Zariski-abgeschlossen in W.

(ii) Die Bahn Gc.v ist HausdoriJ-abgeschlossen in W.

(iii) Die Bahn GR.V ist HausdoriJ-abgeschlossen in V.

ANMERKUNGEN ZUM BEWEIS: Die Implikation (i) => (ii) ist trivial, während (ii) => (i) die Tatsache benutzt, daß Bahnen algebraischer Gruppen offen in

§2 Geometrie reeller Bahnen 137

ihrem Zariski-Abschluß sind (vgl. z.B. [Kr, 11 2.2 und AI 7.2]). Die Richtung (i) => (iii) ist ein Resultat von Borel und Harish-Chandra [BHC, Prop. 2.3] und benutzt die Tatsache, daß (Ge.v) n V nur endlich viele HausdorffZusammenhangskomponenten besitzt.

Die Herleitung der Implikation (iii) => (i) wurde von Birkes [Bi, 5.3] gegeben. Sie erfordert eine Analyse der Stabilität und Instabilität von Vektoren über den Grundkörper R. Eine solche wurde von Birkes (loc. cit.), und später, für beliebige Grundkörper, von Kempf, Rousseau und Hesselink durchgeführt (vgl. dazu den Aufsatz "Die Theorie der optimalen Einparameteruntergruppen" , Abschnitt 4). 0

Das folgende Lemma ist eine Vedeinerung von Birkes' zentralem Hilfsmittel. Wir fixieren eine Cartan-Zerlegung GR = K.P und einen maximal zerfallenden Torus S c G mit Sft = A C P.

Lemma 1. Sei v E V C W, und GR.V 8ei nicht abge8chlo88en in W. Dann gibt e8 eine über R definierte Einparametergruppe A : Gm -+ G mit den Eigen8chaften:

(1) Der Lime8 lim A(S)V = Vo exi8tiert in V und Vo ~ GR.v. 8-0

sER>o

(2) Die Gruppe A liegt in UkEK kX.(S)k- 1 , in8be8ondere gilt

A(R>o) C U kAk-1 = P. kEK

BEWEIS: Die Aussage (1) ist das besagte Resultat von Birkes [Bi, Th. 5.2]. (Sie folgt übrigens auch aus Korollar 1, Abschnitt 4 des Aufsatzes "Die Theorie der optimalen Einparameteruntergruppen" , in Verbindung mit Lunas Scheibensatz.) Zum Beweis von (2) benutzen wir (1). Nach [BT, Th. 4.21] ist die Gruppe A mittels eines Elements g-l E GR zu einer Einparametergruppe

J.L = Int(g-l) 0 A : Gm -+ S

in den maximal zedallenden Torus S konjugiert. Es gilt dann J.L(R>o) C A. Sei nun P(J.L) die zu J.L assoziierte parabolische Untergruppe von G (vgl. den Aufsatz "Die Theorie der optimalen Einparametergruppen" ). Dann gilt

P(J.L)R = {h E GR I lim J.L(s)hJ.L(s)-l existiert in GR} ,,-0 .. ER>o

und GR = K.P(J.L )R.

Sei 9 = k.p, k E K, p E P(J.L )R, eine entsprechende Zerlegung von 9 und p = lim J.L(s)pJ.L(s)-l E GR . Wir erhalten dann ,,-0

lim kJ.L(s)k-1v = k.lim J.L(s)pg-1 v .. -0 .. -0

= k.lim J.L(s)pJ.L(s)-l.g-l A(S)V ,,-0


= k.jj.g-1vO tJ. GR.V.

Ersetzen wir also ..\ durch Int(k) 0 11, so können wir die Bedingungen (1) und (2) gleichzeitig erfüllen. 0

Wir fixieren im folgenden ein K-invariantes Skalarprodukt ( , ) auf V und setzen IIvl12 := (v, v).

Lemma 2. Seien v E V, X E p, und sei f : R --+ R~o definiert durch

f(t) := 11 exp(tX)vI1 2 (t ER).

Dann gilt entweder

(i) Die zweite Ableitung von f ist strikt größer Null: f"(t) > 0 für alle tE R, oder

(ii) v wird von X annihiliert: X.v = 0, d.h. v wird von allen exp(tX), t E R, fixiert, und f ist konstant.

BEWEIS: Indem wir gleichzeitig X und v mittels eines geeigneten Elementes aus K abändern, können wir o.B.d.A. X E a C p annehmen. Sei

V = EB Vx xEX*(S)

die Eigenraumzerlegung von V bezüglich des Torus S. Wir identifizieren die Gewichte X E X*(S) auch mit linearen Funktionalen auf a: X*(S) i81z R = a*. Die obige Zerlegung ist orthogonal bezüglich der Form ( , ). Schreiben wir v = L V x mit V x E Vx' so gilt

xEX*(S)

f(t) = 11 L exp(tX)vx Il 2 = L IIvxI12e2x(X)t x x

und

f"(t) = L Ilvx I1 24X(X)2 e2x(X)t. x

Dieser Ausdruck ist nun entweder strikt positiv für alle t E R, oder es gilt X(X) = 0 für alle X mit V x t= o. Letzteres heißt aber X.v = O. 0

Bei der Anwendung des vorangehenden Lemma 2 ist die folgende elementare Tatsache nützlich.

Lemma 3. Sei f : R --+ R>o eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Funktion mit f'(O) = 0 und f"(t) > 0 für alle t E R. Dann besitzt f in 0 ein nichtentartetes absolutes Minimum und lim f(t) = +00.

t-+±oo

Wir kommen nun zu unserem Hauptresultat.


Satz 2. Sei v E V und Fv : GR -t R~o definiert durch Fv(g) = I/gvl/ 2 • Dann gilt:

(1) Fv be8itzt einen kriti8chen Punkt aul GR genau dann, wenn die Bahn GR.V Hau8dorff-abge8chlo88en i8t.

(2) Jeder kriti8che Punkt von Fv i8t ein ab8olute8 Minimum.

Sei nun e E GR ein ab8olute8 Minimum von Fv. Dann gilt weiter:

(3) {v' E GR.V lI/vII = I/v'll} = K.v. (4) (GR)v = {g E GR I gv = v} = Kv.Pv, wobei K v = K n (GR)v und

Pv = P n (GR)v.

BEWEIS: (1) Sei zunächst GR.V abgeschlossen. Dann ist der Durchschnitt D von GR.V mit einer genügend großen Kugel {v' E V lI/v'I/ ~ c} kompakt und nicht leer. Auf D nimmt die Funktion 1/ 1/2 ein absolutes Minimum an. Dieses ist auch ein absolutes Minimum auf der ganzen Bahn GR.V. Also nimmt Fv ein absolutes Minimum auf G an. - Für die Umkehrung nehmen wir o.B.d.A. an, daß das Neutralelement e E G ein kritischer Punkt von Fv sei, und daß GR.V nicht abgeschlossen sei. Nach Lemma 1 gibt es dann eine über R definierte Einparametergruppe

A : Gm --+ G mit lim A(S)V = Vo f/. GR.v und A(R>o) C P. 8-+0 8ER>o

Sei X E gR der "infinitesimale Erzeuger" von A, i.e. für alle t E R gilt exp(tX) = A(exp(t». Dann liegt X in p, und wir können Lemma 2 auf die Funktion

I(t) = 1/ exp(tX)vI/ 2

anwenden. Wäre f"(t) > 0 für alle t E R, so folgte wegen I'(t) = 0 und Lemma 3, daß der Limes lim A( s)v = limt-+-oo exp(tX)v nicht existiert. Also

8-+0 muß I(t) konstant sein und X.v = 0 gelten. Dies impliziert aber exp(tX)v = v für alle t E R, insbesondere Vo = limt-+_ooexp(tX)v = v im Widerspruch zu Vo f/. GR.V. Somit kann die Bahn GR.V nur abgeschlossen sein. (2) Sei o.B.d.A. das Neutralelement e E GR ein kritischer Punkt von Fv . Wir haben zu zeigen Fv(g) ~ Fv(e) für alle gE GR. Sei gE GR und 9 = k.exp(X), XE p, seine Cartan-Zerlegung. Dann gilt

Fv(g) = I/k. exp(X)vI/2 = 1/ exp(X)vI/2.

Anwendung der Lemmata 2 und 3 auf die Funktion I(t) = 11 exp(tX)vIl 2 liefert uns entweder

Fv(g) = 1(1) > 1(0) = Fv(e)

oder

X.v = 0 und Fv(g) = J(l) = J(O) = Fv(e).


(3) Sei 9 E GR mit IIgvll = IIvll, also Fv(g) = Fv(e). Setzen wir wieder 9 = k. exp(X), so zeigt die Argumentation unter (2), daß X.v = 0 oder

gv = k. exp(X)v = k.v.

(4) Sei gv = v, 9 = k. exp(X). Aus der Argumentation in (3) folgt nun X.v = 0, d.h. exp(X) E Pv, sowie v = gv = k.v, d.h. k E Kv. 0

Bemerkungen und Zusätze. (1) Lemma 3 und der Beweis von (2) zeigen, daß Fv eine K x (GR)v-invariante, nichtentartete Morsefunktion auf GR definiert: Die Einschränkung von Fv auf eine transversale Scheibe T zur kritischen Menge M = {m E G I Fv(m) ~ Fv(g) für alle gE G} hat in MnT ein nichtentartetes quadratisches Minimum. (2) Sei GR = He die Gruppe der komplexen Punkte einer komplexen reduktiven Gruppe und He - GL(W) eine komplexe algebraische Darstellung. Betrachten wir den komplexen Vektorraum W als einen rellen Vektorraum V, so läßt sich Satz 2 auf die Darstellung GR _ GL(V) anwenden. In diesem Fall besagt (4)

(He)v = (GR)v = Kvexp(ikv)

oder infinitesimal

(he)v = k v EB ik v •

Da K v kompakt ist, besagt dies, daß (he)v und ( He)v reduktiv sind. Dies liefert einen neuen Beweis für den Satz von Matsushima über C (vgl. dazu den Aufsatz "Der Scheibensatz für algebraische Transformationsgruppen" , Abschnitt 4). (3) Der oben gegebene Beweis von Satz 2 folgt den vereinfachten Darstellungen von Dadok-Kac [DK] und Procesi-Schwarz [PS], die diese der ursprünglichen Theorie von Kempf-Ness [KN] angefügt haben. Unser wesentliches Hilfsmittel bei der Verallgemeinerung dieses Beweises auf die jetzige Situation liegt in Lemma 1, (2).

Beispiel. Wir wollen die adjungierte Darstellung der Gruppe SL2 auf ihrer Liealgebra sh betrachten, d.h. die reelle Darstellung

eR: SL2(R) -- GL(sh(R)), eR(g)(X):= gXg- 1

(g E SL2(R), X E sh(R)). Wir identifizieren sh(R) mit R 3 durch Wahl der Basis

h = (~ ~1)' e + f = (~ ~), e - f = (~1 ~), R3 3 (x,y,z) _ ( x y +z ) E sh(R).

y- z -x


Die Algebra der SL2(R)-invarianten Polynome auf R3 = sh(R) wird dann von der (negativen) Determinante

- det 2 2 2 sh (R) -- R, (x, y, z) 1-+ X + Y - z

erzeugt. Als maximal kompakte Untergruppe wählen wir K = S02(R) mit der korrespondierenden Carl an-Zerlegung

SL2(R) = k EB p, k = R.(e - 1), p = R.h EB R(e + 1).

Entsprechend dieser Zerlegung zerfällt die auf K = S02(R) eingeschränkte Darstellung eR in einen trivialen Summanden k = z-Achse und eine zweidimensionale Rotationsdarstellung auf p = (x, y)-Ebene. Eine K-invariante Längenfunktion ist daher die übliche

lI(x,y,zIl2 = x 2 + y2 + Z2.

Das Verhalten der Bahnengeometrie folgt der ebenfalls üblichen Einteilung in drei Klassen:

(P) Parabolische Bahnen. Diese sind instabil und im singulären Nullkegel x 2 + y2 - z2 = 0 enthalten. Repräsentanten der Bahnen werden durch

(~ ~), (~ ~1) und (~ ~) gegeben. Auf den nichttrivialen Bahnen nimmt die Funktion 11 11 2 kein Minimum an.

(H) Hyperbolische Bahnen. Eine solche ist abgeschlossen und besteht aus einem einschaligen Hyperboloid x 2 + y2 - z2 = t: 2 > O. Die Punkte minimalen Abstandes zu 0 bilden einen Kreis: z = 0, x 2 + y2 = t:2.

(E) Elliptische Bahnen. Eine solche ist ebenfalls abgeschlossen und bildet eine Schale (z > 0 oder z < 0) eines zweischaligen Hyperboloids x 2 + y2 - z2 = _t:2, t: > O. Der minimale Abstand zu 0 wird in dem Schnitt der Schale mit der z-Achse, x = y = 0 und z = t: (bzw. z = -t:), angenommen.

(P) (H) (E)

............ z=o


Die gerade beschriebene Darstellung von SL2(R) erweitert sich zu einer Aktion der größeren, nicht zusammenhängenden Gruppe GL2(R), die ebenfalls durch Konjugation auf sh(R) operiert. Eine maximal kompakte Un-

tergruppe K ist nun 02(R). Das Element (~ ~) E 02(R) operiert durch

(x, y, z) 1-+ (-x, y, -z). Es vertauscht die beiden Schalen in den Fällen (P) und (E), deren Vereinigung somit jeweils eine einzige GL2(R)-Bahn bildet.

§ 3 Zu den Anwendungen Das ursprüngliche Resultat von Kempf-Ness, i.e. unser Satz 2 für komplexe Gruppen, hat zu zahlreichen Anwendungen geführt. In [DK] wird es zur Konstruktion abgeschlossener Bahnen herangezogen, in [PS] spielt es eine entscheidende Rolle bei der expliziten Beschreibung des Orbitraumes einer kompakten Liegruppe auf einer reellen Varietät, und in [Nee] ist es der Ausgangspunkt für die topologische Untersuchung von komplexen Quotientenvarietäten (vgl. auch [KPR]). In den Arbeiten [Ki] und [Ne] wird der Zusammenhang mit Impulsabbildungen (,,moment maps") hergestellt.

Eine gute Übersicht über einige dieser Anwendungen gibt der Artikel [Sch] von G. Schwarz, auf den wir den Leser nachdrücklich hinweisen wollen. Es finden sich dort auch wertvolle Details zu Punkten, die in [Nee] nicht genügend behandelt wurden. Auch die hier vorgestellte Verallgemeinerung auf reelle reduktive Gruppen besitzt Anwendungen, die der Leser neben weiteren Entwicklungen in [RS] finden kann.

Literaturverzeichnis

[Bi]

[Bo]

[BHC]

[BT]

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[Ke]

[KN]

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NORMALE EINBETTUNGEN VON SPHÄRISCHEN HOMOGENEN RÄUMEN

Franz Pauer

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1 Grundbegriffe und Problemstellung ........... . § 2 Sphärische homogene Räume und einfache Einbettungen § 3 Diskrete Bewertungen von k( G j H) . . . . . § 4 Einfache Einbettungen und gefärbte Kegel . § 5 Normale Einbettungen und gefärbte Fächer § 6 Lexikon. Literatur ........................ .

Einleitung

145 145 146 148 149 152 153 155

In [LV) wurde eine Methode zur Klassifikation der normalen Einbettungen von homogenen Räumen reduktiver Gruppen entwickelt. Diese Methode soll hier möglichst leicht lesbar dargestellt werden. Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf sphärische homogene Räume. Beweise werden weggelassen, dafür werden die auftretenden Begriffe genau definiert und durch Beispiele erläutert.

§ 1 Grundbegriffe und Problemstellung Es seien k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null, G eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe über kund H eine abgeschlossene Untergruppe von G. Ab §3 nehmen wir zusätzlich an, daß der homogene Raum G / H sphärisch ist (siehe §2).

1.1. Definition. Es sei X eine algebraische Varietät, auf der G algebraisch operiert, und x sei ein Element von X. Das Paar (X,x) ist eine Einbettung von GjH, wenn gilt:

(1) Die Bahn von G durch x ist dicht in X (also auch offen).

146 Franz Pauer: Einbettungen von sphärischen homogenen Räumen

(2) Die Isotropieuntergruppe Gx von G in x ist gleich H.

Um triviale Sondedälle auszuschließen, verlangen wir zusätzlich:

(3) X hat mindestens zwei G-Bahnen.

Beispiel. Es seien V eine algebraische Varietät mit algebraischer G-Operation, x E V und G.x der Abschluß der G-Bahn durch x in V. Weiter sei G.x f. G.x. Dann ist (G.x,x) eine Einbettung von GIGx •

Eine Einbettung (X, x) ist normal (bzw. glatt, vollständig, affin, ... ), wenn die Varietät X normal (bzw. glatt, vollständig, affin, ... ) ist.

1.2. Definition. Es seien (X,x) und (X',x') Einbettungen von GIH. Eine algebraische Abbildung f : X -+ X' ist ein Morphismus von Einbettungen, wenn f G-äquivariant ist und fex) = x' ist.

Die letzte Bedingung bedeutet, daß das Diagramm

sH E GIH 3 sH

,/ ,/ f ~ ~ s.x E X J X' 3 s.x'

kommutativ ist. Da die Bahn von G durch x in X dicht ist, gibt es höchstens einen Morphismus (von Einbettungen) von (X,x) nach (X',x').

Problemstellung. G und H seien gegeben. Zuerst sollen alle normalen Einbettungen von GI H klassifiziert werden, das heißt, es soll eine Bijektion von der Menge der Isomorphieklassen von normalen Einbettungen von GI H in eine Menge von (noch zu definierenden) "einfacheren Objekten", die gefärbten Fächer (siehe §5) angegeben werden. Dann soll ein "Lexikon" geschrieben werden, das heißt: die Eigenschaften einer Einbettung sollen aus dem zugehörigen gefärbten Fächer abgelesen werden können. Zum Beispiel: Welchen gefärbten Fächern entsprechen glatte Einbettungen? Welche Isotropiegruppen treten auf?

§ 2 Sphärische homogene Räume und einfache Einbettungen

2.1. Definition. Der homogene Raum GIH heißt sphärisch, wenn GIH eine dichte Bahn einer (und damit jeder) Boreluntergruppe von Genthält.

Beispiele. (1) Jeder homogene Raum eines algebraischen Torus ist sphärisch. (2) Es sei 0' ein algebraischer Automorphismus von G so, daß 0'2 = ida gilt. Dann ist der Quotient von G nach G t7 := {g E G I O'(g) = g} ein sphärischer homogener Raum (siehe [Vu, 1.3]).

(3) Wenn H eine maximale unipotente Untergruppe von G enthält, dann ist GI H sphärisch.

§3 Sphärische homogene Räume und einfache Einbettungen 147

Sphärische homogene Räume können durch ihre Einbettungen charakterisiert werden: Der homogene Raum GI H ist genau dann sphärisch, wenn jede Einbettung von GI H nur endlich viele G-Bahnen enthält (siehe [Ah) und [VK)).

2.2. Es ist oft sehr hilfreich, sich Einbettungen durch Bilder der Form

oder

zu veranschaulichen. Jeder Teilbereich des Bildes entspricht einer G-Bahn. Ein Teilbereich hat eine größere Fläche als ein anderer, wenn die Dimension der entsprechenden G-Bahn größer ist als die der anderen. Mit. werden einpunktige G-Bahnen gekennzeichnet. Die im Bild eingetragenen Zahlen sind die Dimensionen der entsprechenden Bahnen. Wenn zwei Teilbereiche ein gemeinsames Randstück besitzen, dann ist die kleinere Bahn im Abschluß der größeren enthalten. Die oben gezeichneten Bilder veranschaulichen also eine Einbettung mit 9 Bahnen, von welchen 4 abgeschlossen sind.

2.3. Definition:. Eine Einbettung von GI H heißt einfach, wenn sie normal ist und nur eine abgeschlossene Bahn enthält.

Jede G-Bahn Y in einer Einbettung (X, x) eines sphärischen homogenen Raumes GI H besitzt genau eine offene G-stabile Umgebung E(X, Y), die Y als einzige abgeschlossene Bahn enthält: Es ist E(X, Y) die Vereinigung aller GBahnen in X, deren Abschluß Y enthält. Offenbar ist (E(X, Y), x) eine einfache Einbettung von G / H. Normale Einbettungen von sphärischen homogenen Räumen können also durch endlich viele einfache überdeckt werden:

u

Daher werden zuerst die einfachen Einbettungen klassifiziert (§4). Dann wird dieses Klassifikationsergebnis durch "Zusammenkleben" auf beliebige normale Einbettungen erweitert (§5) .


§ 3 Diskrete Bewertungen von k( G / H)

3.1. Es seien (X, x) eine einfache Einbettung von G / Hund Y die abgeschlossene G-Bahn in X. Die dominante (und G-äquivariante) Abbildung G/H <.......t X : sH ....... s.x induziert einen Isomorphismus zwischen den Körpern der rationalen Funktionen k(G/H) und k(X). Im weiteren werden wir damit k(G/H) und k( X) identifizieren.

Die Einbettung (X, x) ist eindeutig bestimmt durch den G-stabilen Unterring

OX,Y := {f E k(X) = k(G/H) I Def 1 n Y i'}

von k( G / H). Dabei bezeichnet Def 1 den Definitionsbereich der rationalen Funktion I.

Der Ring OX,Y ist normal (weil X normal ist) und noethersch, also Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen in k(G/ H). Die diskreten Bewertungen sind das wesentliche Hilfsmittel zur Klassifikation der Einbettungen.

3.2. Definitionen. (a) Eine di8krete Bewertung von k(G/H) ist eine Abbildung

v: k(G/H) , {O} ---+ Q,

die die folgenden Bedingungen erfüllt:

(1) Für alle I,g E k(G/H) , {O} gilt v(f· g) = v(f) + v(g) und (falls 1 + gi' 0) v(f + g) ~ min{v(f), v(g)}.

(2) Für alle 1 E k , {O} ist v(f) = O. (3) Es gibt ein 1 E k(G/H) , {O} so, daß Bi(v) = Zv(f).

(b) Sei v eine diskrete Bewertung von k(G/H). Dann ist der Bewertungsring

01/ := {f E k(G/H) , {O} I v(f) ~ O} U {O}

ein lokaler Unterring von k(G/H). Zwei diskrete Bewertungen v und v' sind genau dann äquivalent (d.h. es gibt eine positive rationale Zahl c so, daß v' = cv), wenn 01/ = 01/' gilt. (c) Eine diskrete Bewertung v von k(G/H) heißt

G-invariant, wenn für alle 1 E k(G/H) , {O} und für alle s E G gilt: v(s.f) = v(f). (Dabei ist (s.f)(tH) := I(S-ltH), t E G.)

Wir bezeichnen mit V die Menge der nicht-trivialen G-invarianten diskreten Bewertungen von k( G / H).

3.3. Es seien (X,x) eine normale Einbettung von G/H und Zeine G-Bahn von Kodimension 1 in X. Wir bezeichnen mit vX,z(f) die Ordnung des Poles oder der Nullstelle von 1 in Z. Dann ist die Abbildung

vX,z: k(G/H) , {O} ---+ Q

eine G-invariante diskrete Bewertung, und ihr Bewertungsring ist Ox,z.

§4 Einfache Einbettungen und gefärbte Kegel 149

Umgekehrt gilt: Ist v E V, so gibt es eine einfache Einbettung (X, x) mit einer abgeschlossenen Bahn Y von Kodimension 1 in X so, daß v zu VX,Y äquivalent ist. Eine solche Einbettung heißt elementar; sie enthält nur zwei Bahnen, ist also einfach. (Siehe [LV, 3.3 und 7.5J; die Voraussetzung G/H sphärisch ist hier wesentlich. )

3.4. Beispiel. Es seien G der algebraische Torus k*n (k* := (k " {O}) und H die triviale Untergruppe {e}. Wir bezeichnen mit Ti : G --+ k* die Projektion auf die i-te Komponente, 1 :::; i :::; n, und schreiben TOt für T10t l T2Ot 2 ••• T:;n (a E zn). Die Charaktergruppe X( G) von G ist die zu zn isomorphe Gruppe {TOt I a E zn}. Die Algebra k[GJ der regulären Funktionen von G wird von X(G) erzeugt; insbesondere ist X(G) ~ k(G) " {O}. Weil k(G) der Quotientenkörper von k[GJ ist, ist jede diskrete Bewertung von k(G) durch ihre Einschränkung auf k[GJ " {O} eindeutig bestimmt.

Behauptung. Die Abbildung V --+ Homz(X(G), Q) " {O} : v t--+ Vlx(G) ist bijektiv.

BEWEIS: Für c.p E Homz(X(G), Q) " {O} ist die Abbildung vI{> : k(G) " {O} --+

Q definiert durch

~Ot :Ot~; t--+ min{c.p(a) I aOt ~ O} - min{c.p(ß) I bß ~ O} ß ß

ein Element von V, und Vl{>lx(G) = c.p. Also ist die Abbildung v t--+ Vlx(G) surjektiv. Sei nun v E V. Für f = ~Ot cOtTOt E k[GJ " {O} ist v(f) ~ min{v(TOt) I COt ~ O}. Wähle ß E zn so, daß Cß ~ 0 und v(Tß) = min{v(TOt) I COt =f O}. Dann ist W := {g E k[GJ " {O} I v(g) > v(Tß)} U {O} ein G-stabiler Untervektorraum von k[G], der Tß nicht enthält. Als Darstellung von G zerfällt k[GJ in die direkte Summe der (paarweise nicht-isomorphen) eindimensionalen Darstellungen kTOt, a E zn, Daher folgt aus Tß rt W auch f rt W. Somit ist v(f) = v(Tß) = min{v(TOt) I COt ~ O}. Folglich ist v durch vlx(G) eindeutig bestimmt, die betrachtete Abbildung also auch injektiv. 0

Es sei v E V. Die v entsprechende elementare Einbet tung (X, x) von G kann auf die folgende Weise konstruiert werden: Wähle eine Z-Basis B von {a E zn Iv(TOt) = O}, und ergänze sie durch ein "I E zn so zu einer Z-Basis von zn, daß v(T"Y) < 0 gilt. Es seien A:= BU(-B)Uh}, M:= ffiOtEA kTOt:::; k[GJ und x := ~OtEA TOt E M. Weiter sei X der Abschluß der G-Bahn durch x in M. Man prüft nun leicht nach, daß (X,x) eine elementare Einbettung von G mit abgeschlossener Bahn Y := G.(x - T"Y) ist und daß OX,Y = 0" gilt.

§ 4 Einfache Einbettungen und gefärbte Kegel

4.1. Es sei e das neutrale Element von G. Wir wählen eine Boreluntergruppe B von G so, daß die Bahn von B durch e:= eH in G/H dicht ist. Weiter sei


V die Menge der irreduziblen Komponenten von (GI H) , B .e. Die Menge V ist endlich, ihre Elemente sind B-stabile Teilmengen von GI H.

Die Bahn der auflösbaren Gruppe B durch e ist affin. Daher haben alle Elemente von V die Kodimension 1 in GI H. Also entspricht einem Element D E V die diskrete (B-invariante) Bewertung

VD: k(GIH) , {O} -+ Q: f I-t VD(f).

4.2. Es sei (X,x) eine einfache Einbettung von GIH mit abgeschlossener GBahn Y. Dann definieren wir

V(X) := {vx,z E V I Z ist G-Bahn der Kodimension 1 in X}

(siehe 3.3) und

V(X) := {D E V I der Abschluß von D in X enthält Y}.

Die Mengen V(X) und V(X) sind endlich. Die ihren Elementen entsprechenden Bewertungsringe enthalten OX,y. Es gilt sogar: Die einfache Einbettung (X,x) ist durch das Paar (V(X), V(X)) (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt (siehe [LV, 8.3]).

4.3. Um die einfachen Einbettungen zu klassifizieren, müssen noch jene Paare (E, F) von endlichen Teilmengen E ~ V, F ~ V beschrieben werden, für die eine einfache Einbettung (X,x) existiert mit E = V(X) und F = V(X). Die Menge

P := {f E k(G) I fee) = 1, fEigenvektor von B bzgl. Links-

translation, f invariant unter H bzgl. Rechtstranslation }

ist eine Untergruppe von k(G) , {O}.

Beispiel. Ist G ein algebraischer Torus und H = {e}, so ist P die Charaktergruppe von G.

Weil B.H in G dicht ist, ist die Abbildung P -+ X(B)BnH : f I-t flB ein Isomorphismus von Gruppen. (Mit X( B)BnH bezeichnen wir die Gruppe der unter BnH bezüglich Rechtstranslation invarianten Charaktere von B.) Insbesondere ist die Gruppe P endlich erzeugt. Daher ist Homz(P, Q) ein endlichdimensionaler Q- Vektorraum.

Die Abbildung V -+ Homz(P, Q) : v I-t vip ist injektiv [LV, 7.4). Wir werden daher v und vip identifizieren und so V als Teilmenge von Homz(P, Q) auffassen. Die Abbildung r : V -+ Homz(p, Q) : D I-t vDlp ist im allgemeinen nicht injektiv.

Beispiel. Es seien G = 8L(3, k) und H das Bild von

(1 0

an a12 8L(2, k) -+ 8L(3, k) : ( ) I-t 0 an

a21 a22 0 a21

§4 Einfache Einbettungen und gefärbte Kegel 151

Der homogene Raum G / H ist sphärisch, die Abbildung r ist injektiv, r(V) = {eI, ed ist eine Q-Basis von Homz(P, Q) und V = {clel + C2 e2 I Cl, C2 E Q, Cl + C2 ~ O} '- {O}:

v = {Clel + c2e2 I Cl,C2 E Q,Cl + C2 s: O} '- {O}

4.4. Definitionen. (a) Es sei C ein konvexer Kegel in einem Q-Vektorraum W. Dann heißt C spitz, wenn C keinen eindimensionalen Untervektorraum von Wenthält.

(b) Der Kegel C wird von einer Teilmenge M erzeugt (Schreibweise: C = C(M)), wenn jedes Element in C eine Linearkombination von Elementen in M mit nicht-negativen rationalen Koeffizienten ist.

(c) Das Innere von C in dem von Cerzeugten Vektorraum wird mit C bezeichnet. Eine Teilmenge der Form Ker(J) n C, wobei feine Linearform auf W ist, die auf C nur nichtnegative Werte annimmt, heißt Seite von C. Das Innere einer Seite in dem von ihr erzeugten Vektorraum heißt offene Seite von C. Eine Seite eines spitzen Kegels C, die einen eindimensionalen Vektorraum erzeugt, heißt extreme Halbgerade von C.

a

(0 ,0)

b

Spitzer Kegel in Q2, der von {a, b} erzeugt wird.

Es seien 7r : G --+ G / H die kanonische Projektion, F ~ D und R der Ring der rationalen Funktionen von G, die auf einer dichten Teilmenge von UDEF 7r- I (D) definiert sind. (Wenn F leer ist, sei R := k( G).) Dann ist R bezüglich Rechtstranslation H-stabil und enthält k[GJ. Es sei XF(H) die Menge der Charaktere von H, die den Eigenvektoren von H in R bezüglich Rechtstranslation entsprechen.


Definition. Es seien C ~ Homz(p, Q) und F ~ D. Dann heißt (C, F) gefärbter Kegel (in Homz(P, Q)), wenn gilt:

(1) C ist ein spitzer konvexer Kegel.

(2) C wird von r(F) und einer endlichen Teilmenge von V erzeugt.

(3) Der Durchschnitt von V mit C ist nicht leer.

( 4) XF( H) ist die Charaktergruppe von H.

Wenn G / H quasi affin oder F leer ist, so ist die letzte Bedingung immer ertüllt.

4.5. Klassifikation der einfachen Einbettungen des sphärischen homogenen Raumes G / H. Die Abbildung

{ Isomorphieklassen von einfa-} chen Einbettungen von G / H

Klasse von (X, x)

{gefärbte Kegel in Homz(P, Q)}

(C(V(X) U r(D(X))), D(X))

"gefär bter Kegel von (X, x)"

ist wohldefiniert und bijektiv. Die Umkehrabbildung ordnet einem gefärbten Kegel (C, F) die eindeutig bestimmte Isomorphieklasse der einfachen Einbettungen (X,x) mit D(X) = Fund

zu.

V(X) = {ll E V I Bi(lI) = Z, 1I erzeugt eine extreme Halbgerade

von C, die kein Element von r( F) enthält}

BEWEIS: [LV, 8.10] o

Beispiel. Ist G ein Torus, so ist D leer und V U {O} Homz(P, Q). Also entspricht jedem spitzen, endlich erzeugten konvexen Kegel =I- {O} in Homz(P, Q) eine einfache Einbettung.

§ 5 Normale Einbettungen und gefärbte Fächer

5.1. Definition. Ein gefärbter Fächer (in Homz(P, Q)) ist eine nichtleere endliche Menge von gefärbten Kegeln {(Cj,Fi ) li E I} so, daß für alle i,j EI, i =I- j, gilt:

(1) Der Durchschnitt Ci n Ci n V ist leer.

(2) Wenn Ci n Ci n V nicht leer ist, dann ist 1'-1 (Ci) n Fi = 1'-1 (Ci) n Fj.

(3) Ci ist nicht in Ci enthalten.

§6 Lexikon 153

Beispiel. Es sei G ein Torus. In diesem Fall ist eine nichtleere endliche Menge von spitzen Kegeln :f {O} im Q-Vektorraum Homz(P, Q) gen au dann ein gefärbter Fächer, wenn die Inneren der Kegel paarweise disjunkt sind und kein Kegel in einem anderen enthalten ist.

5.2. Es seien (X,x) eine normale Einbettung von GjH und A die Menge der abgeschlossenen G-Bahnen in X. Für Y E A sei (Cy,Fy ) der gefärbte Kegel von E(X, Y) (siehe 2.3). Es ist nicht schwierig nachzuprüfen, daß die Menge {( Cy , Fy) I Y E A} ein gefärbter Fächer ist. (Die Bedingung (1) folgt aus dem Bewertungskriterium für die Separiertheit.)

Klassifikation der normalen Einbettungen des sphärischen homogenen Raumes G j H. Die oben definierte Abbildung von der Menge der lJomorphieklassen von normalen Einbettungen von G j H in die Menge der gefärbten Fächer in Homz(P, Q) ist bijektiv.

BEWEIS: [LV, 8.10] o

§ 6 Lexikon Es sei (X,x) eine normale Einbettung von GjH und {(Ci,F;) I i E I} sei ihr gefärbter Fächer.

• Aus dem Bewertungskriterium für die Vollständigkeit folgt: X ist genau dann vollständig, wenn V ~ UiEI Ci.

• Die G-Bahnen in X entsprechen jenen offenen Seiten der Kegel Ci, i E I, deren Durchschnitt mit V nicht leer ist (siehe [LV, 8.10]).

• Die Isotropiegruppen der Punkte einer G-Bahn in X enthalten genau dann eine maximale unipotente Untergruppe von G, wenn der Durchschnitt der ihr entsprechenden Seite mit dem Inneren von V nicht leer ist (siehe [BP, 3.8]).

Für gewisse sphärische homogene Räume kann aus den gefärbten Fächern abgelesen werden, ob die zugehörige Einbettung glatt ist (siehe [PI], [P2]). Eine allgemeine Beschreibung der glatten Einbettungen ist noch nicht bekannt.

Beispiel. Es sei G = SL(3, k), und H, el, e2 seien wie im Beispiel 4.3 definiert. Weiter seien

C(el, -2el + e2), .- C( -2el + e2, el - 2e2),

C( -eI, -e2),

C( e2, el - 2e2), C( - 2el + e2, -ed, C(-e2,el -2e2)'


Dann ist {(Cl,{el,ez}), (CZ,{el,ez}), (C3 ,0)} ein gefärbter Fächer:

Die entsprechende Einbettung hat 6 G-Bahnen, 3 davon sind abgeschlossen. Sie ist vollständig, aber nicht projektiv und nicht glatt:

Dem gefärbten Fächer {(Cl' {eJ}), (Cz,{ez}), (C4 ,0), (C5 ,0), (C6 ,0)} entspricht eine glatte, nicht projektive, vollständige Einbettung mit 10 G-Bahnen (siehe [P2]):

Literatur 155

Literatur

[Ah]

[BLVJ

[BP]

[LV]

[PI] [P2]

[VK]

[Vu]

Ahiezer, D.N.: Actions with afinite number 0/ orbits. Funetional Anal. Appl. 19 (1985), 1-4 Brion, M., Luna, D., Vust, T.: Espaces homogenes spheriques. Invent. Math. 84 (1986), 617-632 Brion, M., Pauer, F.: Valuations des espaces homogenes spheriques. Comment. Math. Helv. 62 (1987),265-285 Luna, D., Vust, T.: Plongements d'espaces homogenes. Comment. Math. Helv. 58 (1983), 186-245 Pauer, F.: Glatte Einbettungen von GIU. Math. Ann. 262 (1983),421-429 Pauer, F.: Plongements normauz de l'espace homogene SL(3)1 SL(2). C. R. 108" Congres Nat. Soe. Sav. 1983, Fase. IH, 87-104, C. T. H. S., Paris 1983 Vinberg, E., Kimelfeld, B.: Homogeneous domains on flag mani/olds and sphericalsubgroups 0/ semisimple Lie groups. Funet. Anal. Appl. 12 (1979), 168-174 Vust, T.: Operation de groupes reducti/s dans un type de cönes presque homogenes. BuH. Soe. Math. Franee 102 (1974),317-333

FRACTIONS RATIONNELLES INVARIANTES PAR UN GROUPE FINI:

Quelques Exemples

Michel Kervaire Thierry Vust

Table des matieres

Introduction ..... . 157

I. Un exemple de D. Saltman . . . . . . . . 158

11. Resultats de T. Miyata et W. Burnside . 167 § 1 Exposition du travail de T. Miyata 167 § 2 U n systeme de generateurs dans deux cas particuliers 170

IH. Le groupe alterne A s ..................... 172 § 1 La premiere methode due aN. I. Shepherd-Barron ..... 172

§ 2 Explicitation de cinq generateurs de I 'extension C( M)As / C 175

Bibliographie ... 179

Introd uction Il s'agit de la quest ion classique (W. Burnside, E. Noether): soit G un groupe fini et V un G-module de dimension finie (sur le corps C des nombres complexes)j on note C(V)G le corps des fonctions rationnelles sur V, invariantes par Gj l'extension C(V)G jC est-elle transcendante pure?

Cette redaction ne fait pas le point sur ce sujet mais donne seulement quelques exemples positifs et negatifs. Pour une revue sur cette question, voir par exemple [Sa3] et la bibliographie qui yest citee, et aussi [CS]; dans le cas ou Gest un groupe lineaire algebrique et V un G-module rationnel de dimension finie, voir [Do].

Tout d'abord, au chapitre 1, on montre d'apres D. Saltman ([Sa1], [Sa2], [Sa3]) qu'il existe des groupes finis G tels que pour tout G-module V fidele de dimension finie, l'extension C(V)G jC n'est pas pure.

Au chapitre 2, on montre d'apres T. Miyata [Mi] que l'extension C(V)G jC(P(V))G est pure. Pour demontrer que C(V)G jC est pure, il suf-

158 Michel Kervaire et Thierry Vust: Fractions rationnelles invariantes

fit donc de montrer que C(P(V»G IC l'est. Ce gain d'une dimension conduit a une reponse positive lorsque dim V = 3 (en utilisant le critere de Castelnuovo)j ce resultat fait partie du folklore et parait remontrer a W. Burnside et E. Noether. Pour illustration on explicite ensuite la situation dans deux cas particuliers en suivant [Bu].

Enfin, au chapitre 3, on demontre de deux manieres que C(M)As IC est pure Oll le groupe alterne A s a 5lettres, opere dans M = C S par permutations des coordonnees. L'une des methodes est due aN.!. Shepherd-Barron.

Cette redaction est un avatar de plusieurs cours et seminaires du troisieme cycle romand de mathematiques. Nous avons beneficie du concours de nombreuses personnes et nous tenons ales remercier. En particulier: J.L. Colliot-Thelene: le chapitre 1 suit de tres pres deux exposes oraux qu'il a fait a Geneve (fevrier 1985) et en fait ce chapitre est a placer a son creditj H. Kraft qui nous a beaucoup encourage et a servi d'intermediaire avec N.!. ShepherdBarronj M. Ojanguren qui nous a aide lors de seminaires.

I. U n exemple de D. Saltman On montre qu'il existe des groupes finis H tels que pour toute representation fidele de dimension finie H -+ GL(V), l'extension C(V)H IC n'est pas transcendante pure. On introduit pour commencer le groupe de Brauer non ramifie d'une extension LI F: c'est lui qui nous permettra de demontrer que C(V)H IC n'est pas transcendante pure.

La reference generale concernant la theorie de Galois des corps values complets et le groupe de Brauer est [SeI].

1.1. Soit K un corps complet pour une valuation discrete Vj on note K(v) le corps residuel de v. On sait qu'il existe une extension maximale non ramifiee K ' de K (unique a isomorphisme pres), dont le corps residuel est la cl6ture separable K( V)8 de K( v) et qui est galoisienne sur K de groupe G isomorphe au groupe de Galois de K( v )81 K( v): c'est la limite inductive des extensions finies non ramifiees LIK. On note encore v l'extension de v a K ' .

Si K( v) est parfait, toute algebre simple centrale A sur K est neutralisee par une extension finie non ramifiee LI K, i.e. A 0 K Lest isomorphe, comme L-algebre, a une algebre de matrices sur L. 11 s'ensuit un isomorphisme canomque

Br(K) = Br(K'IK)~H2 (G,(K')*)j (1)

ici, bien sur, Gest muni de sa topologie de groupe de Galois et H2 (G,(K' )*) designe la cohomologie continue egale a ~ H2 (Gal( LI K), L *), Oll LI K par-

court l'ensemble des sous-extensions finies de K ' I K. Le groupe Br(K) est donc muni canoniquement d'un homomorphisme

I Un exemple de D. Saltman 159

0: Br(K) --+ H2 (G, Z) (2)

obtenu en composant (1) avec l'homomorphisme

H2(G, (K')*)~ H2(G, Z)

induit par la valuation v : (K')* -+ Z (qui est G-equivariante pour l'operation triviale dans Z ). Dans la suite on utilisera souvent l'isomorphisme

H2(G,Z) ~ Hom(G,Q/Z)

et on considerera quelquefois 0 comme prenant ses valeurs dans Hom( G, Q/Z). Soit maintenant Fo un corps de caracteristique nulle et L / Fo une

extension de Fo. On designe par V(L/Fo) l'ensemble des valuations discretes de L impropres sur Fo. Pour v E V(L/Fo), on note Lv le compIete de L relatif a v, et L~ son extension maximale non ramifiee. Pour v E V(L/ Lo), on dispose d'un homomorphisme

ov: Br(L) -+ Br(Lv) -+ H2(Gal(L~/Lv),Z)

Oll la premiere fieche est induite par l'extension des scalaires de L a Lv et la seconde comme en (2). On pose

n ker(ov) : vEV(L/Fo)

c'est le groupe de Brauer non ramifie de L/ Fo.

1.2. Soit Fo un corps de caracteristique nulle et L/Fo une extension de Fo. On note L(X)/ L l'extension transcendante pure de degre 1 engendree par l'indeterminee X. L'homomorphisme Br(L) -+ Br(L(X» deduit de l'extension des scalaires est injectifj on le traite comme une inclusion. Le but de ce numero est de demontrer la

Proposition. Br~o(L) = Br~o(L(X».

PREUVE: Soit v une valuation discrete de L(X) impropre sur Foj il s'agit d'evaluer le noyau de

Ov : Br(L(X» -+ Br(L(X)v) -+ H2 (Gal(L(X)~/L(X)v), Z).

(a) On commence par traiter le cas Oll v est impropre sur L associee au polynome unitaire irreductible fE L[X]j les calculs montreront que Br~o(L(X» C Br(L).

On note L une cloture algebrique de L et G le groupe de Galois de L/L (ou de L(X)/L(X». D'apres le theoreme de Tsen,

Br(L(X» = Br(L(X)/L(X»~ H2(G, L(X)*).

On choisit une racine 0 de f dans Lj on note w la valuation discrete de L(X) associee a (X - 0) et L(X)w le complete de L(X) relatif a w. Puisqu'on est en


egale caracteristique, on a un isomorphisme

'P : L(X)w -+ L«X - a»

qui envoie L(X)v sur L(v)«(f», Olt L(v) = L[X]/(f). On voit de la sorte que L(X)w est l'extension non ramifiee maximale L(X)~ de L(X)v et que le groupe de Galois de L(X)~/ L(X)v est egal aGa, le sous-groupe d'isotropie de a.Au niveau cohomologique, Ov est done deerit par

Ov : H2(G, L(X)*) -+ H2(Ga, L«Xa»*)~ H2(Ga, Z).

Pour avancer le calcul, on etudie la structure de G-module (resp. Ga-module) de L(X)* (resp. L«X - a»*) ainsi que l'inclusion L(X)* c L«X - a»*. Le theoreme fondamental de l'arithmetique pour L[X] donne l'isomorphisme de G-modules

L(X)* ~ L* Efl EB Mg g

(somme directe sur l'ensemble des 9 E L[X], unitaires irreductibles) Olt

Mg = EB Z(X -')') ~ ZG/G-y. -YEL

g( -y)=O

De meme, on ale Ga-isomorphisme

L«X - a»* ~ L[[X - a]]* Efl Z(X - a)

et la projection eorrespondante sur Z(X - a) n'est rien d'autre que w. Ainsi,

w( Mg) = 0 si 9 t- J, weM,) = Z(X - a),

puis

Ov(H2(G, Mg» = 0 si 9 t- J et ov: H2(G,Mf)~H2(Ga,Z)

(d'apres le lemme de Shapiro).

On a done demontre que Br( L) ~ H2 (G, L*) est l'intersection des ker(ov) Olt v pareourt l'ensemble des valuations de L(X) impropre sur L et associees aux polynomes unitaires irreductibles a coefficients dans L: done

Br~o(L(X» C Br(L).

(b) On considere maintenant le cas Olt v est le prolongement d'une valuation non impropre de L, aussi notee v, definie par la formule

V(EaiXi) := i~(v(ai»' i •

On note Lv le eomplete de L relatif a v, L~ son extension maximale non ramifiee et G le groupe de Galois de L~/ Lv. Alors le complete de L(X) relatif a v est isomorphe a Lv(X) et l'extension L~(X)/ Lv(X) est non ramifiee et galoisienne


de groupe G. On note G' le groupe de Galois de Lv(X)'/Lv(X) (ou Lv(X)' est l'extension maximale non ramifiee de Lv(X))j par restriction de Lv(X)' a L~(X) on obtient un homomorphisme surjectif e: G' --* G.

Dans le diagramme commutatif

Br(L) L

Br(L(X))

-. Br(Lv) L

-. Br(Lv(X))

-. H2(G,(L v )*) L

.::+ H2(G', Lv(X)'*)

~ H2(G,Z) L

~ H2(G',Z)

l'homomorphisme d'inflation H2(G,Z) -. H2(G',Z) est injectif: en effet ker(e) etant profini, on a H1(ker(e), Z) = 0 (ou encore, identifiant H2(., Z) avec Hom(·, Q/Z), cet homomorphisme n'est rien d'autre que l'application canonique Hom(G,Q/Z) -. Hom(G',Q/Z))j de plus la composition des fleches horizontales represente ßv. De la et de Br~o(L(X)) C BrFo(L) suit immediatement que Br~o(L(X)) = Br~o(L). 0

Corollaire. Si K / Fest transcendante pure de generation finie avec F aZgebriquement clos de caracteristique nulle, aZors Br~(K) = O.

1.3. Soit Fa de caraeteristique nulle et F / Fa une extension de Fa. Voiei un eritere de non trivialite pour le groupe de Brauer Br~o (F) non ramifie relatif a Fa·

Proposition. Soit K / F une extension gaZoisienne finie de groupe Gi on suppose que Gest un p-groupe qui n'est pas extension d 'un groupe cyclique par un groupe cyclique et que Br(K/F) contient un element d'ordre IGI exactement. AZors Br~o(F) :f. O.

PREUVE: On note q = pn = IGll'ordre de G et a E Br(K/F) un element d'ordre q. On proeede par l'absurde en supposant que ~a n'appartient pas a

Br~o(F) et on va montrer qu'alors Gest extension d'un groupe eyclique par un groupe eyclique.

Notre hypothese signifie qu'il existe une valuation diserete v de F, impropre sur Fa, teIle que ßv(!a) :f. Oj ou eneore ßv(a) est un element d'ordre q exaetement de Hom(Gal(F~/Fv),Q/Z)j eomme d'habitude, Fv designe le eomplete de F relatif a v et F~ son extension maximale non ramifiee.

On ehoisit une valuation diserete w de K dont la restrietion a Fest equivalente a Vj on note de meme K w le eomplete de K relatif a w (et K~ son extension maximale non ramifi6e). On sait que K~/Fv est galoisienne de groupe Gw (le sous-groupe d'isotropie de w eonstitue des u E G tels que wo u = w).

Puisque a E Br(K/F) = ker(Br(F) -. Br(K)), l'image av de a dans Br(Fa) appartient a Br(Kw/Fv) = ker(Br(Fv) -. Br(Kw)) = H2(Gw,K;')j par consequent av est annule par IGwl. D'autre part, par hypothese, a v est d'ordre q = IGI. De la suit immediatement que G = Gw, puisque west l'unique "prolongement" de v a K .


On note F( v), K( w) les corps n~siduels de v et w respectivementj ils sont de caracteristique nulle puisque v est impropre sur Fo et on sait alors que K( w)J F( v) est galoisienne. On a la suite exacte

1 ~ Gal(F(v)JK(w)) ~ Gal(F(v)JF(v)) ~ Gal(K(w)JF(v)) ~ 1

(Oll F( v) est la clöture algebrique de F( v)), c'est-a-dire

1 ~ Gal(K~JKw) ~ Gal(F~JFv) ~ Gal(K(w)JF(v)) ~ 1.

D'autre part, on a l'homomorphisme naturel surjectif

'P: G = Gw -- Gal(K(w)JF(v))j

puisque ici K( w) est de caracterisque nulle, Go est cyclique (voir l'annexe cidessous). On dispose ainsi d'une suite exacte

1 ~ Go ~ G ~ Gal(K(w)JF(v)) ~ 1

Oll Go est eyclique.

Pour achever la demonstration, il reste a montrer que Gal( K( w)J F( v)) est aussi eyclique. En effet, notant e l'indice de ramification de KvJ Fv, le diagramme suivant eommute:

Br(F) 1

Br(K)

~ Hom(Gal(F~JFv),Q/Z) 1 e

~ Hom(Gal(K~JKw),QJZ) Il s'ensuit que ave eo:) induit un homomorphisme

a: Gal(K(w)JF(w)) ~ Gal(F~JFv)/ Gal(K~JKw) ~ QJz

d'ordre; exactementj or IGal(K(w)JF(w))1 = ; et par consequant, a realise un isomorphisme de Gal(K(w)JF(w)) avec un sous-groupe fini de Q/Z, d'Oll l'assertion. 0

Annexe. Soit K J F une extension finie galoisienne de groupe G et v une valuation discrete de F. On choisit une valuation w de K au dessus de v. On suppose que l'extension residuelle K( w)J F( v) est separable. Alors L( w)J F( v) est galoisienne et par passage au quotient, on obtient un homomorphisme surjectif 'P : Gw -- Gal(L(w)JF(v) Oll Gw est le sous-groupe d'isotropie de w dans G (=groupe de decomposition) ([SeI, eh. 1]). On note Go le noyeau de 'P. Dans cette annexe, on demontre que si K (w) est de earacteristique nulle, alors Go est cyclique (voir aussi [SeI, eh. 4]). La methode consiste a construire une filtration

Go :J GI :J ... :J GN = 1

de Go par les "sous-groupes de ramification" en sorte que GOJG I est un sousgroupe de (K(w)*,·) et Gi/Gi+! un sous-groupe de (K(w), +), i 2:: 1. Puisqu'on a suppose K( w) de earacteristique nulle, on a necessairement Gi = 1 pour i 2:: 1, puis Go cyclique.


On designe par Ow (resp. Pw) l'anneau (resp. l'ideal) de W; pour x E Ow, on pose red(x) pour l'image de x dans K(w) = Ow/Pw. Soit a E

Go; alors red (17<;») est independant du choix de l'uniformisante rr E Ow. En

effet, si rr' = rru, u E 0:', est une autre uniformisante, on a red (a~/»)

red ( 17<;») red ( a~u») et red( a( u)) = 'f'( a) red( u) = red( u) puisque a E Go.

On considere alors l'application

'f'o : Go ---+ K(w)*

definie par 'f'o( a) = red ( a~»); il suit directement de l'observation ci-dessus

que 'f'o est un homomorphisme. On pose ensuite

GI = ker('f'o) = {a E Go I a(rr) - rr E P~}

et plus generalement

Gi = {a E Go I a(rr) -rr E p~+l} (i ~ 1) .

On verifie sans probleme que

( a(rr) - rr) 'f'i : Gi ---+ K(w), a 1-+ red rr i+!

est un homomorphisme (dont le noyau est Gi+!). Pour conclure, il reste a voir que Gi = 1 pour i ~ 0, et pour ce faire,

que a E Go tel que a( rr) = rr implique a = 1. On procede par l'absurde en supposant qu'il existe a E Go - {I} avec a(rr) = rr. On choisit x E Ow en sorte que a(x) = x + rrtu Oll t > 0 et u E 0:'. Notant k l'ordre de a on a alors

x = ak(x) = x + rrt(u + a(u) + ... + ak-l(u))

l.e.

0= u + a(u) + ... + ak-l(u).

Puisque a(u) - u E Pw , il vient ku E Pw , ce qui contredit le choix de u (K(w) est de caracteristique nulle).

1.4. Soit X un Z-module libre de type fini note multiplicativement. On note CX l'algebre sur C du groupe X; si XI, ... ,Xn est un Z-base de X, CX n'est rien d'autre que la C-algebre des polynomes de Laurent en Xl, ... , Xn; ou encore l'algebre C[Txl des fonctions regulieres sur le tore Tx = Homz(X, C*). On note C(Tx) le corps des quotients de CX, i.e. le corps des fonctions rationnelles sur Tx.

Soit G un groupe fini. Si de plus X est un ZG-module, l'operation de G se propage a CX, puis a C(Tx); on designe par C(Tx)G le corps des invariants de G operant dans C(Tx ).

Proposition. On suppose que Gest un p-groupe qui n'est pas extension d'un


groupe cyclique par un groupe cyclique, que X est fidele et que H2(G, X) contient un element d'ordre IGI exactement. Alors Br~(C(Tx )G) =I- 0 et l'extension C(Tx )G /C n'est pas transcendante pure.

PREUVE: Puisque CX est factoriei, on a la decomposition en somme directe de G-modules

C(Tx)* = (CX)* $ P

ou Pest le Z-module libre sur les classes d'elements extremaux de CX. De la suite exacte

1 -+ (CX)* -+ C(Tx)* -+ P -+ 1

et du fait que H1(G, P) = 0 (puisque Pest un G-module de permutation) suit que H2(G, (CX)*) s'identifie a un sous-groupe de

H2 (G, C(Tx )*) = Br(C(Tx )/C(Tx )G)

(comme on a suppose que X est fidele, l'extension C(Tx)jC(Tx)G est galoisienne de groupe G). Puisque (CX)* = C* $ X, l'hypothese indique que Br(C(Tx)/C(Tx)G) contient un element d'ordre IGI exactement. La premiere affirmation est doncconsequence de la proposition 1.3; la seconde suit de la premiere et de la proposition 1.2. 0

Exemple. Soit Gun groupe fini. On note JG = ker(ZG -+ Z) l'ideal d'augmentation de ZG. Soit

o -+ M -+ L -+ JG -+ 0

une suite exacte de ZG-modules, avec L libre de type fini. Alors H2(G,M) =

Z/IGIZ.

1.5. Dans ce numero, on montre comment construire des groupes finis H tels que, pour toute representation fidele H -+ GL(V) (ou V est un C-espace vectoriel de dimension finie), le corps C(V)H des fonctions rationnelles sur V invariantes par H n'est pas transcendant pur sur C. Au numero precedent, on a trouve des exemples de groupes finis G et de ZG-modules X tels que C(Tx)G /C n'est pas transcendante pure; cependant, l'operation de G dans C(Tx) ne provient pas necessairement d 'une operation lineaire de G, i.e. il n'existe pas necessairement un sous-espace vectoriel de C(Tx ), stable par G et admettant pour base une base pure de C(Tx )/C. L'astuce pour parvenir a cette situation est d'agrandir un peu G et X. Voici comment.

Tout d'abord, soit Gun groupe fini et

1 -+ X -+ P~A -+ 1

une suite exacte de ZG-modules (ecrits multiplicativement); on suppose que le Z-module sous-jacent a X et P (resp. A) est libre de type fini (resp. fini). On


pose A* = Homz(A,QjZ) et H = A*)4 G, le produit semi-direct de G et A* pour l'operation

g' a*(a) = a*(g-l . a) (g E G, a* E A*, a E A).

Le groupe H opere dans CP:

(a*,g)· {! = a*(p(g. {!»)g. {!

(a* E A*, 9 E G, (! E P); cette operation est fidele si l'operation de G dans X l'est. De plus, on a le

Lemme 1. C(Tx)G = C(Tp)H.

PREUVE: 11 suffit de montrer que CX = (CP)Ao, ce qui est facile. o

Maintenant supposons que P soit un module de permutation; autrement dit supposons qu'il existe une Z-hase {!l, ..• , {!n de P qui est laissee stahle par l'operation de G. Alors le sous- C-espace V de CP engendre par {!l, ••. , (!n

est l'espace d'une representation de H et C(Tp ) cOlncide avec C(V'), l'algehre des fonctions rationnelles sur le dual V' de V; on a donc

C(V')H = C(Tp)H = C(Tx )G.

Pour ahoutir, un point reste a eclaireir: le ZG-module X, comme en (lA), n'est pas donne comme sous-groupe d'indice fini d'un module de permutation. Mais cette difficulte se contourne facilement. On choisit en effet (voir aus si l'exemple ci-dessous)

1-+Y-+P-+X-+1

une suite exacte de ZG-modules Z-lihres de type fini, avec P de permutation (par exemple ZG-lihre); apres tensorisation par Q, cette suite est scindee; on choisit une section equivariante s de P ®z Q -+ X ®z Q telle que s(X) C P; alors s(X) ED Y est d'indice fini dans P et H2 (G, s(X) ED Y) contient un element d'ordre IGI si tel est le cas pour H2(G,X).

En resume, on a montre le resultat suivant:

Proposition. Soit G un groupe fini qui n'est pas extension d 'un groupe cyclique par un groupe cyclique et X un ZG-module fidele Z -libre de type fini; on suppose que

(1) H2(G,X) contient un element d'ordre IGI exactement;

(2) il existe une suite exacte de ZG-modules

l-+X-+P-+A-+l

ou Pest un module de permutation et A est fini.

On pose H = A*)4 G (ou A* = Hom(A, QjZ»). Alors le groupe H possede une representation lineaire fidele sur C de dimension finie, H -+ GL(V), teile que C(V)H jC n'est pas transcendante pure.


Pour terminer, on va montrer, que pour de tels groupes H, l'extension C(W)H /C n'est pas transeendante pure, pour toute representation fidele H -+

GL(W). Le lemme que voiei est a la base de eette assertion (cf. [Le]; et aussi [Pr] pour un eas analogue).

Lemme 2. Soit H un 9roupe fini, H -+ GL(V) une representation fidele et H -+ GL(W) une representation arbitraire de H; alors C(V EB W)H /C(V)H est transcendante pure.

PREUVE: On eonsidere le C(V)-espaee vectoriel C(V EB W), puis son sousespaee U = C(V) EB C(V)W'; le groupe H y opere semi-lineairement: h(fu) = h(f)h(u), (h E H, f E C(V), u EU). D'apres le lemme de deseente galoisienne ([BA, eh. V, § 10, 0 4])

C(V) 0C(V)H U H ~ U

est un isomorphisme equivariant; par eonsequent, U possede une base de la forme 1, U1,"" u n , eonstituee d'invariants par H. Autrement dit

C(V EB W) = C(V)(U) = C(V)( U1, ... ,un ).

De la suit que C(V EB W)H = C(V)H (U1, •.. ,un ). o

Si la representation de H dans West aussi fidele et H et V sont eomme dans la proposition, les deux extensions C(V EB W)H /C(V)H et C(V EB W)H /C(W)H sont transeendantes pures, et par eonsequent (voir (I.2»,

Br~(C(V)H) = Br~(C(V EB W)H) = Br~(C(W)H) :

l'extension C(W)H /C n'est done pas non plus transeendante pure. Le groupe H construit ei-dessus jouit done de la propriete: pour toute representation fidele de dimension finie (sur C), le corps des fonctions rationnelles invariantes n'est pas transcendant pur sur C.

Exemple. Utilisant l'exemple de (1.4.), on peut etre un peu plus preeis dans la construction du groupe H.

On part de la suite exacte

o -+ M -+ L ~ JG -+ 0

ou Lest le ZG-module libre de rang IGI de base dg , 9 E G, et cp(dg ) = 9 - l. L' applieation

c: G x G ~ M, (91,92) 1-+ 91dg2 - d 9t92 + d g,

est un 2-eoeycle de G a valeurs dans M; eomme IGI annule H 2(G,M), il existe eg E M, 9 E G, tels que

IGI· C(91,92) = 91 eg2 - eg,g2 + eg,.

Alors l'applieation

11.1 Exposition du travail de T. Miyata 167

u : IG ~ L, 9 - 1 1-+ IGldg - eg

est G-equivariantej de plus t.p 0 u est l'homothetie de IG de rapport IGI. 11 s'ensuit que M ElHm( u) est d'indice fini dans L: en fait t.p induit un isomorphisme

L/M EB Im(u) ~ IG/IGIIG

et le groupe H de la proposition admet la description

1 -+ (Z/IGIZ)IGI-l -+ H -+ G -+ 1.

11. Resultats de T. Miyata et W. Burnside

§ 1 Exposition du travail de T. Miyata Dans ce premier paragraphe, on expose le travail [Mi] de T. Miyata concernant la rationalite d'un corps d'invariants. Sauf mention explicite, le corps (de base) k est arbitraire.

1.1. Toute l'histoire repose sur le lemme suivant qui est une simple application de la factorialite et de l'algorithme de division de l'algebre des polynomes k[t].

Lemme. Soit G un groupe operant (par automorphismes d'anneau) dans k[t], tout en laissant le corps des constantes k globalement stable. n existe alors pE k[t]G tel que k(t)G = kG(p).

PREUVE: (a) On observe pour commencer que le corps des quotients de k[t]G est egal a k(t)G. Soit donc f E k(tf, f,g E k[t]j on va montrer par recurrence

sur deg(!) + deg(g) que 1 = h. avec h,gl E k[t]G. Cette recurrence demarre 9 gl

sans probleme. On suppose donc que deg(f) ~ deg(g) > 0 et que f et 9 sont premiers entr~ eux. Alors, puisque k[t] est factoriel, il existe

X:G~k·

tel que

s . f = X( s ) f et s· 9 = X( s ) 9

On divise maintenant f par g:

(s E G).

f = gq + r q, rE k[t] et deg(r) < deg(g)j

il s'ensuit

s·f=(s·g)(s·q)+(s·r) j

par unicite de la division dans k[t], et puisque deg(s· r) = deg(r), on en deduit que s· q = q et s· r = x(s)r, (s E G). Ecrivant f = q + r/g, la conclusion suit


de l'hypothese d 'induction appliquee a r / g.

(b) Si k[t]G C k, on a k(t)G = kG d'apres (a) et on prend p=1. Si k[t]G ct k, on choisit p E k[t]G, P f/. k, et de degre minimum pour ces deux proprietes. Soit alors f E k[t]G; montrons que f E kG[p] (ce qui termine la demonstration d'apres (a) ). On utilise eneore une fois l'algorithme de division dans k[t]:

f = pq + r q, rE k[t] et deg(r) < deg(p).

Puisque f et p sont invariants, on voit eomme avant que q et r le sont aussi; de plus par choix de p, le polynome rest en fait dans kG ; poursuivant le raisonnement avec q E k[t]G, on obtient que f E kG[p]. 0

1.2. Proposition. Soit G un groupe operant dans k(XI"'" x n) (par automorphismes de k-aZgebre); on suppose que po ur tout sE G

S· Xi = aj(S)Xi + b;(s) OU a;(s), b;(s) E k(Xj+1 ... , Xn) (i = 1, ... , n).

AZors l' extension k( Xl, ... , X n)G / k est pure.

PREUVE: Par hypothese, le groupe G opere dans k(X;+I""'Xn)[x;] tout en laissant k(Xj+I, ... ,xn) stahle. L'assertion suit alors du lemme par recurrence surz. 0

Remarque 1. Un resultat semblable est demontre dans [Vi].

Remarque 2. La proposition 1.2 n'est pas vraie sous la seule hypothese que s( k(xj, . .. ,xn)) C k(xj, . .. ,xn), i = 1, ... n, s E G: Par exemple, il existe un Cautomorphisme ade C(XI' X2, X3), d'ordre 2, tel que a(xd = Xl, a(X2) = -X2 et l'extension C(XI,X2,X3),," /C n'est pas pure (voir [Tr]).

1.3. Du theoreme de Lie-Kolchin ([Bo, eh. III, 10.5]) resulte immediatement le resultat suivant:

Corollaire. Soit G -+ GL(V) une representation rationnelle de dimension finie d 'un groupe lineaire algebrique resoluble connexe G ( k est algebriquement dos). Alors k(V)G /k est pure.

!ci k(V) designe le corps des fonctions rationnelles sur Vj plus generalement, on notera k[X] (resp. k(X)) l'algebre des fonctions regulieres sur la variete algebrique X (resp. le eorps des fonctions rationnelles sur X, si celle-ci est irreductible et reduite).

1.4. Soit G -+ GL(V) une representation rationnelle de dimension finie d'un groupe lineaire algebrique G. L'operation de G dans V induit une operation de G dans P(V), l'espace projectif de V.

Voici une autre consequence du lemme 1.1 qui sera utile dans les exemples.

Corollaire. L'extension k(V)G /k(P(V))G est pure.

11.1 Exposition du travail de T. Miyata 169

PREUVE: On eerit

k(V) = k(XI, ... ,xn ) = k -, ... , - (Xl) = k(P(V»(xI) (X2 xn) Xl Xl

Oll XI, ... ,Xn est une base du dual de V. Le groupe G opere dans k(P(V)) et aussi dans k(P(V))[XI]:

(s E G).

D'apres le lemme 1.1, il existe pE k(P(V»)[x]G tel que k(V)G = k(P(V»G(p), d'Oll la eonclusion. 0

Remarque 1. On suppose G fini et on note die plus petit entier > 0 tel qu'il existe fE k(V)G\ {k*} homogene de degre dj autrement dit, d est le plus grand eommun diviseur des entiers m > 0 tels qu'il existe f E k[V]G homogene de degre m. Alors l'extension k(V)G jk(P(V»G est engendree par n'importe quel element non nul de k(V)G qui est homogene de degre d.

On sait en effet (1.1) qu'un element de k(P(V»[XI]G, non eonstant et de degre minimum 6 pour ces deux proprietes engendre eette extension. Or, eomme S· Xl = (:2: ai( s)~ )Xl' un tel generateur est (a l'addition d'un element de k(P(V»G pres) de la forme hxt, Oll h E k(P(V», done homogene de degre 6; on voit tout de suite que d = 6, d'Oll l'assertion.

Si de plus k est algebriquement clos de earacteristique nulle et G c GL(V), eet entier d est aussi l'ordre du sous-groupe (cyclique) H de G eonstitue par I 'interseetion de G avee les homotheties de V.

En effet, puique k[V]G C k[V]H, l'ordre de H divise eertainement d. D'autre part, si e est une racine dieme de l'unite, on a f(ev) = f(v) pour tout fE k[V]G et v E Vj il s'ensuit que ev et v appartiennent a la meme orbite de G. Comme la reunion des sous-espaees propres des elements de G \ H n' est pas V tout entier, on deduit de la que H eontient l'homothetie de rapport e, i.e. que d divise l'ordre de H.

Remarque 2. La situation k(V)G j k(P(V»G entre aussi dans le theme etudie dans [Tr]j l'assertion de (1.4) peut aussi se demontrer avee ees methodes.

1.5. Voici une eonsequenee de (1.4).

Corollaire. Soit G -+ GL(V) une representation lineaire de dimension::; 3 d'un groupe fini G (le corps de base est ici C). Alors C(V)G jC est pure.

Ce eorollaire semble remonter (sans preuve) a W. Burnside ([Bu, eh. XVII, § 264, dernier alinea p. 360]); voir aussi [No].

PREUVE: L'extension C(V)G jC(P(V»G est pure. Or, par hypothese, l'extension C c C(P(V»G c C(P(V» a degre de transcendance ::; 2j par le critere


de Castelnuovo (Lüroth si ce degre est 1) (voir p.ex. [BPV], [Se2]) l'extension C(P(V»G jC est pure, d'Oll l'affirmation. 0

§ 2 Explicitation d 'un systeme de generateurs dans deux cas particuliers

Soit G -+ GL(N) une representation lineaire de dimension 3 (sur C) d'un groupe fini G. Dans ce paragraphe on explicite dans deux cas particuliers, en suivant W. Burnside ([Bu, § 266 et ss.]) un systeme de generateurs constitue de 3 elements pour C(V)G jC. 11 s'agit les deux fois d'une representation d'un groupe alterne An de n lettres.

2.1. Dans R 3 , on considere un icosaedre ~20' Le groupe G de ~20 est engendre par (et contient) 15 symetries (relativement aux plans perpendiculaires aux aretes de ~20 par leur milieu). On pose N = R 3 ® C. On sait que C[N]G est une algebre de polynomes: de maniere precise C[N]G = C[i2, 16, hol Oll f; est homogene de degre i (voir [BGA, eh. V (5.3)] ).

On introduit le sous-groupe ker( det : G -+ ± 1) qui est isomorphe au groupe alterne A s de cinq lettres. On a C[N]As = C[i2,f6,ho,hs] Oll hs est le jacobien de (i2,16,ho).

Pour xE N \ 0, on note [x]l'image de x dans P(N).

D'apres le theoreme de Bezout, la fibre generale de l'application rationnelle invariante

P(N) --+ C 2 , [x] ~ (~; (x), ;; (X»)

est constituee de 60 = IAsl points, i.e., par une orbite du groupe A s. Puisque les deux extensions

C (~;, ;; ) C C(P(N» et C(p(N»As C C(P(N»

sont de degre 60, les deux corps colncident. De (1.4) suit alors que

C(N)As = C (16 ho hs) N' I~' fi .

2.2. On considere l'operation du groupe symetrique S4 dans C 4 par permutations des coordomiees, puis sa restriction au groupe alterne A 4 et a l' hyperplan N d'equation L: Xi = O. Alors

A4

C[N]A4 = C[S 2, S3, S4, cl]

Oll Si est la i~me fonction symetrique eIementaire et d(x) = TI (Xi - Xj). i<j

Ici la situation est plus compliquee que pour l'exemple precedent: il

11.2 Un systeme de generateurs dans deux cas particuliers 171

n'y a pas moyen d'exprimer une orbite en position generale dans P(N) eomme interseetion de deux eourbes invariantes; cependant, on va montrer qu'il existe deux courbes invariantes dont l'intersection se compose d'une orbite fixe et d'une orbite generale. On eonsidere

= 0 = 0

Oll 16 est homogene de degre 6 et 82,84'/6 sont algebriquement independant. Le systeme (*) definit 24 points dans P(N).

On considere ensuite le point (1 : w : w2 : 0) E P(N) Oll w3 = 1 et w !- 1: son orbite 0 par A 4 est constituee de quatre points; on a

82(0) = 84(0) = O.

On pose alors

16 = d - 3v'-38~

] de sorte que

16(n) = o.

Assertion. Pour (a, ß) dans un ouvert de Zariski (non vide) de C2 et 16 defini par (**), les solutions de (*) se repartissent en

(a) l'orbite n (comptee avec la multiplicite 9);

(b) une orbite de A4 isomorphe a A4 •

Comme en (2.1), on deduit de l'assertion que

C(p(N))A4 = C (8~, d - 3f38~) , 82 82

puis

C(N)A4 = C (s~, d - 3f38~, 83). 82 82 82

Pour demontrer l'assertion, on eonsidere la sous-variete X de N (resp. Y de N/A4) dont l'ideal est engendre par 84 -as~ et 16 - ß8~; la variete X est done l'ensemble des droites de N au dessus des solutions de (*) et Y = X/A4 • Il suffit de montrer que Y possede exactement deux eomposantes irreductibles (dont l'une est independante de (a, ß) et correspond a 0). Or

C[Y] = C[82' 83, 84, dJ/ (~ - P(82, 83, 84),84 - a8~, 16 - ß8~) avec

P(82,83,84) = 217 {4(8~ + 1284)3 - (278~ + 28~ - 72s2s4)2}

(voir [We, p. 174]), d'Oll par calcul direct


C[Y] = C[82, 83] / 8~(A8~ + B8~)

Oll A et B sont des fonctions polynomiales non nulles de (0, ß).

111. Le groupe alterne A 5

On eonsidere l'operation usuelle du groupe symetrique Ss dans M = CS par permutations des eoordonnees, puis sa restriction au groupe alterne As . Dans ce ehapitre, on montre de deux manieres differentes que I'extension C(M)As IC est pure.

§ 1 La premiere methode due a N. I. Shepherd-Barron

1.1. L'idee est de trouver fE C(M)As et une sous-extension Ce L c C(M)ss en sorte que

(a) C(M)As = C(M)sS(f);

(b) PE L; (e) le degre de transeendanee de LIC est 2;

( d) l'extension C( M)SS I Lest pure.

Alors

= C(M)sS(f) :> U

L(f) :>

d'apres (d), C(M)AsIL(f) est pure et d'apres (e), L(f)/C est pure (en vertu du eritere de CasteInuovo).

1.2. On note SS := SS(C2) Ia puissanee symetrique einquieme de C 2; Ie groupe SL(2, C) opere naturellement dans eet espaee vectoriel. On designe par H l'ensemble des elements de SS de Ia forme xS + a1x4y + ... + aSYS; eet hyperplan affine de SS s'identifie aussi a un ouvert de pS := P(SS(C2)).

Le morphisme M --+ MISs eorrespondant a qM] :> qM]sS se realise eomme

M--+H, (Ol, ... ,OS)1-+ II(x-o;y).

Puisque C(M)Ss = C(H) = C(PS), on dispose d'une operation naturelle de SL(2, C) dans C( M)sS (obtenue par passage au quotient a partir de SS). Les deux propositions suivantes demontrent que C(M)As IC est pure.

Proposition 1. n existe fE C(M)As tel que

( a) C( M)As = C( M)SS (f) = C(pS )(f);

UI.1 La premiere methode due aN. I. Shepherd-Barron

Proposition 2. De plu8, on a

(a) L 'exten8ion C(pS)SL(2) jC e8t de degre de tran8cendance 2; (b) L'exten8ion C(pS)jC(pS )SL(2) e8t pure.

1.3. Preuve de la proposition 1. On note d la fonction

d:M~C, (al, ... ,a5)f-+II(ai-aj)j i<i

on a C(M)As = C(M)sS(d) et ~ E C[M]ss = C[H]. On designe par

D: 55 ~C

173

le diseriminant qui est une fonction homogene de degre 8 et invariante par SL(2)j sa restrietion a H eoineide avee ~.

Il est classique en theorie des invariants des formes binaires qu'il existe une fonction non nulle

p:S5~C

invariante par SL(2) et homogene de degre quatre: e'est la eomposition de

52(C2),

cp( x, y) 1--+ ~(_l)i (4) a4 cp ß4cp ~ i ax4- iayi ax iay4-i'

avee le diseriminant sur 5 2 (C2 )j dans [Ca, p.274] se trouve une forme explieite pour P. On note p la restriction de P a H et on pose j = !l. qui est un element

p

de C( M)As. Alors C( M)As = C(PS )(f) et

j 2 = ~ =.E... E C(pS )SL(2). p2 p2 '

la proposition est demontree. o

1.4. Preuve de la proposition 2. On eonsidere l'operation de GL(2, C) dans 5 S j son noyau est eonstitue du groupe Cs des homotheties de rapport ~, e = 1j l'ouvert

X := { cp E 55 I D( cp) f O}

est stable par GL(2) et eonstitue d'orbites toutes de dimension quatre, done fermees dans Xj de plus, il existe x EX dont le sous-groupe d'isotropie GL(2)x est exactement C s.

Assertion. n exi8te un ouvert affine U de X qui contient x et e8t lai88e stable par GL(2); il existe une 80U8-variete affine U1 de U tel8 que


GL(2)jCs X U1 ---+ U, (g, ud t-+ g. U1

soit un isomorphisme equivariant (GL(2) operant trivialement dans U1).

Autrement dit, le morphisme 7r : X -+ XjGL(2) est une GL(2)jCs fibration triviale (pour la topologie de Zariski) au voisinage de 7r(x).

Avant de demontrer cette assertion, on observe que celle-ci permet de terminer la demonstration. En effet, on ales isomorphismes de GL(2)-modules

C(SS) = C(U) ~ C(GL(2)jCs x Ud;

puis

d'ou aussitot la proposition 2.

Quant a. l'assertion, c'est une consequence du lemme que voici, qu'on appliquera aG = GL(2), X comme ci-dessus, M = End(C2), muni de l'operation

9 . cx = (det g)2gcx

Le lemme est du a D. Luna.

9 E GL(2), cx E End(C2).

Lemme. Soit G un groupe algebrique reductif eonnexe, X une G-varietf algebrique affine normale, x E X un point dont l'orbite est fermee. On suppose par ailleurs qu'il existe un G-module rationnel de dimension finie M et un point x' E M tel que l'orbite G· x' est ouverte dans M et les sous-groupes d'isotopie G x' et Gx eoineident. n existe aZors un ouvert affine U de X qui est laisse stable par G et eontient Xi il existe une sous-variete affine U1 de U qui eontient x et est laissee stable par Gx telles que Ze morphisme

G X U1 ---+ U, (g, ud t---+ g. U1

induit un isomorphisme equivariant

G *G" U1 ---+ U.

lei, G *G" U1 designe le quotient de G x U1 par l'operation de Gx

definie par

s· (g,uI) = (gs-1,s. U1)

avee s E G x , gE G, U1 E U1 •

PREUVE: Par hypotheses on a la situation

III.2 Explicitation de cinq generateurs de I'extension C(M)As jC 175

qui se reflete en

/C[X]

C[G/G.) .·1 '" C[M] :J M'

Choisissant un releve dans C[X] (compatible avec les operations de G ) de l'image du dual M' de M dans C[GJGz ], on obtient un G-homomorphisme injectif C[M] <....+ C[X], auquel correspond un G-morphisme dominant

t/J: X ---+ M, x I-t x'.

On pose U = t/J-I(G· x') et UI = t/J-I(X'). Alors

G X UI ---+ U, (g, UI) I-t g. UI

est surjectif et induit un morphisme bijectif equivariant

G *0., UI ---+ U;

par normalite de U, c'est un isomorphisme.

§ 2 Explicitation de cinq generateurs de l'extension C(M)A5 jC

o

On utilise finalement la meme methode qu'en (2.2) pour expliciter cinq generateurs de l'extension C(M)AS JC.

2.1. On designe par N l'hyperplan de M d'equation LXi = o. On a

C(N)A5 = C(P2,P3,P4,PS,d]

Oll

Pj(X) = L x1 et d(x) = Il(xi - Xj). i i<j

On introduit trois surfaces de P(N) d'equation homogene

f4 := P4 - ap~ = 0 fs := Ps - ßp2P3 = 0 fto := I-'P4P~ + vp~p~ + d - 1'p~ = 0

Oll a, ß, l' E C, /-L, v E C \ O. On designe par E l'intersection de ces trois surfaces:

E = {[x] E P(N) I f4(X) = fs(x) = fto(x) = O}

(pour x = (XI, ... ,Xs) E N \ 0, on ecrit [x] = (Xl: ... : Xs) pour son image dans P(N». On observe que le point w := (1 : w : w 2 : 0 : 0) de P(N), Oll


w3 = 1 et w # 1, appartient a E et que son orbite 0 par A s est eonstituee de 20 elements; de plus

P2(O) = P4(O) = ps(O) = d(O) = O.

On va demontrer que pour ( 0:, ß, 1') dans un ouvert de Zariski (non vide) U de C 3 , la dimension de E est zero. D'apres le theoreme de Bezout, tenant eompte des multiplieites, l'ensemhle E est eonstitue de 200 points qui se repartissent en orbit es du groupe A s. De plus, il existe un choix eonvenahle de p. et v, tel que (retrecissant eventuellement U) la multiplieite de E en un point de 0 soit egale a 7: il reste done 60 points dans E \ O. On eonsidere alors le morphisme invariant

[ ] ( ß ) - (P4 ( ) ~( ) P.P4P~ + vp~p~ + d( ») x 1---+ 0:, ,1' - 2 X , X , S X P2 P2P3 P2

(ou P(N)P2P8 designe l'ouvert de P(N) ou la section P2P3 ne s'annule pas). Au dessus de U les fihres de !.p sont finies; il s'ensuit que !.p est dominant. Ainsi, la fihre generale de !.p eontient une orhite de A s isomorphe a A s . De la deseription de E donnee ei-dessus, resulte que eette fihre est eonstituee d'une seule orhite. L'extension

C(o:,ß,'Y) C C(P(N»

eorrespondant a !.p est done de degre 60; eomme elle est eontenue dans le corps C(P( N) )AS, on a en fait

C(o:,ß,'Y) = C(p(N»As.

Les demonstrations se font par ealeul elementaire; en voici les grandes lignes.

2.2. Proposition. Pour (0:, ß, 1') dans un ouvert de Zariski (non vide) de C 3 ,

l'anneau C[N]As est entiere sur C[P3, 14, 15, 110]'

PREUVE: (a) La premiere etape est de montrer que P2 est entier sur C [PI, P3, P4, Ps, dj. On a en effet

~ E C[M]ss = C[Pl,P3,P4,PS](P2] :

on eerit

(1)

et il suffit de voir que g10 est une eonstante non nulle. Pour eela, on utilise l'expression

d2 = det(pi+i )0~i,i~4

III.2 Explicitation de cinq generateurs de l'extension C(M)As jC 177

et le fait que dans l'expression des invariants symetriques P6,P7,PS eomme polynome en P2 a eoeffieients dans C(PI ,P3,P4,PS], le eoeffieient dominant est ( -l), 0, ( - 116 ) respectivement. Ainsi

5 0 1 0 0 0 1 0 0 0

glo = 1 0 0 0 1 = 2-9 • -'8 0 0 0 1 0 -'8 0 0 1 0 1

-'8 -16

(h) On ohserve ensuite que P2 est entier sur C(Pl,P3.!4.!S, hol pour (0:, ß, ')') en position generale. Suhstituant P4 = 14 + o:p~ et Ps = Is + ßp2P3 dans (1), on ohtient une expression de la forme

9

2 " i 10 d = L.J hi (PI ,P3, h.!S)P2 + hlO (0:)P2 . i=O

D'autre part, par definition de ho, on a

d2 = (ho - Jl.P4P~ - vp~p~ + ')'p~)2, d'ou en remplac;ant P4 par h + o:p~,

~ = «ho - Jl./4P~) - (Jl.0: + v)p~p~ + ')'p~)2.

(2)

(3)

De (2) et (3) resulte que P2 est entier sur C(PI,P3.!4.!S, hol des que ')'2 -h lO ( 0:) i- O.

(e) L'affirmation de la proposition est une eonsequenee direete de (h). 0

Corollaire. L 'intersection E des trois surlaces 14 = Is = 110 = 0 est de dimension zero (pour (0:, ß, ')') dans un ouvert (non vide) de C 3 ).

PREUVE: D'apres la proposition, C[N] est entier sur C(P3, 14, Is, hol (pour (o:,ß,')') en position generale); par suite, (P3.!4.!S.!1O) est un systeme de parametres homogenes de C[N], d'ou l'asserlion puisque C[N] est un anneau de Cohen-Macaulay. 0

2.3. Il reste a etudier la multiplicite de E au point w := (1 : w : w 2 : 0 : 0). Pour cela on introduit la hase

(1,w,w 2 , 0, 0), (l,w 2 , w, 0, 0), (1, 1, 1, -3,0), (1, 1, 1, 0, -3)

de N de sorte que, pour (x, y, z) E C 3 , l'ensemhle des

(1 + x + y + z : w +w2 x + y + z: w2 +wx + y + z: -3y: -3z)

constitue un voisinage affine V de w dans P( N).

On designe par 0 l'anneau local de 0 dans V (i.e. l'anneau loeal de w dans P(N». La quest ion est d'evaluer la dimension sur C de O/(f4,/s,ho).


Proposition. Pour un choix convenable de I-' et v et po ur (a, ß, 'Y) dans un ouvert de Zariski (non vide) de C3 , l'anneau O/(f4,!5,!IO) est de dimension sept.

PREUVE: (a) Par un calcul direct, on trouve que

f4 = P4 - ap~ = 18(1 - 2a)x2 + yuo + zvo

Oll Uo, vo E 0*, uo(O) = vo(O) = 12.

(4)

On introduit alors l'anneau Ol := O/(f4) et on note ml son ideal maximal. De plus, pour P E 0, on ecrit 15 pour l'image de P dans Ol' De (4), il resulte que dans Ol

y + z E UIX2 + Z~l Oll UI E Ol et UI E Or pour a en position generale.

(b) Dans Ol, on obtient par calcul direct

d E 9H(Y - z) + zml + XSOI

(2154 - 15~)15~ E 63 (y + z) + zml + XSO I

15~ E 65x5 + x601 + zml

On introduit maintenant l'anneau O 2 := O/(!4,!lO). Alors pour

A I-' = -12 et 2v = -I-'

on a, dans O2 , pour (a, 'Y) en position generale,

- -5 0* Z = U2X, U2 E 2'

et, tenant compte de (5)

- -2 0* Y = V2 X , V2 E 2 •

(c) Dans O2 , on obtient par calcul direct, avec les valeurs (6) de I-' et v

P2P3 E X02 et 85 E x7 O2

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Oll 85( X) = Xl X2 ... Xs est la cinquieme fonction symetrique elementaire. On observe qu'en restriction a N, on a 58S = Ps - ip2P3; par suite, il suit de (9) que dans 0 3 := O/(f4,!5,!Io), on a

ce qui avec (7) et (8) demontre la proposition. o

Resume. Le corps C(p(N))As est transcendant pur sur C engendre par

P4 Ps A (2p4 - p~)p; d pr P2P3' -~ p~ + p~;

Bibliographie 179

le corps C(N)As est transcendant pur sur C engendre par les trois fonctions

ci-dessus et par Pa (voir (1.4». P2

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LITERATURSAMMLUNG

Die nachstehende Sammlung von Literaturangaben ist in keiner Weise vollständig, sondern stellt eine von den Forschungsinteressen der Autoren und von vielen Zufälligkeiten beeinflusste Auswahl dar. Wir haben sie auf Wunsch vieler Teilnehmer angefügt und hoffen, dass sie dem einen oder anderen Leser nützlich sein wird.

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Edited by the German Mathematics Society

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Vol. 2 Klas Diederich/Ingo Lieb Konvexität in der komplexen Analysis Neue Ergebnisse und Methoden 1981. 150 Seiten, Broschur ISBN 3-7643-1207-6

Vol. 3 S. Kobayashi/H. Wu with the collaboration of C. Horst Complex Differential Geometry Topics in Complex Differential Geometry. Function Theory on Non-compact Kähler Manifolds 2nd edition 1987. 160 pages, Softcover ISBN 3-7643-1494-X

Vol. 4 R. Lazarsfeld/A. Van de Ven Topics in the Geometry of Projective Space Recent Work of F.L. Zak 1984. 52 pages, Softcover ISBN 3-7643-1660-8

Vol. 5 Wolfgang Schmidt Analytische Methoden für Diophantische Gleichungen Einführende Vorlesungen 1984. 132 Seiten, Broschur ISBN 3-7643-1661-6

Vo1. 6 A. Delgado/D. Goldschmidt/ B. Stellmacher Groups and Graphs: New Resu1ts and Methods 1985. 244 pages, Softcover ISBN 3-7643-1736-1

Vo1. 7 R. Hardt/L. Simon Seminar on Geometrie Measure Theory 1986. 118 pages, Softcover ISBN 3-7643-1815-5

Vo1. 8 Yum-Tong Siu lectures on Hermitian-Einstein Metries for Stable Bundles and Käh1er-Einstein Metries 1987. 172 pages, Softcover ISBN 3-7643-1931-3

Vo1. 9 Peter Gaenssler/Winfried Stute Seminar on Empirica1 Processes 1987. 114 pages, Softcover ISBN 3-7643-1921-6

Vo 1. 10 Jürgen Jost Nonlinear Methods in Riemannian and Käh1erian Geometry Delivered at the German Mathematical Society Seminar in Düsseldorf, June 1986 1988. 154 pages, Softcover ISBN 3-7643-1920-8

Vo 1. 11 Tammo tom Dieck/Ian Hambleton Surgery Theory and Geometry of Representations 1988. 122 pages, Softcover ISBN 3-7643-2204-7

Vo 1. 12 Jacobus H. van Lint/ Gerard van der Geer Introduction to Coding Theory and A1gebraic Geometry 1988. 83 pages, Softcover ISBN 3-7643-2230-6

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