algintercap 4_exponentes y polinomio

241

Captulo 4

Exponentes y polinomios

E n la mayora de las reas de la ciencia y tecnologa trabajamos con nmeros muy peque-os o muy grandes. Cotidianamente escuchamos ms y ms terminologa mencionandocantidades pequeas y grandes. Por ejemplo, nuestra computadora tiene un disco duro de 40gigabytes, y expresamos el tiempo que tarda en realizar los clculos en microsegundos. Lanotacin cientfica es una forma prctica de trabajar con cantidades pequeas o grandes. Enel ejercicio 85 de la pgina 270 le pedimos que utilice notacin cientfica para determinarcunto tiempo tardar la luz del sol en llegar a la tierra, dada la distancia entre los dos y lavelocidad a que viaja la luz.

4.1 Exponentes

4.2 Exponentes negativos

4.3 Notacin cientfica

4.4 Suma y resta de polinomios

4.5 Multiplicacin de polinomios

4.6 Divisin de polinomios

Resumen del captuloEjercicios de repaso del

captuloExamen de prctica del

captuloExamen de repaso

acumulativo

242 Captulo 4 Exponentes y polinomios

Avance de la leccin n este captulo estudiaremos los exponentes y polinomios. En las secciones 4.1y 4.2 analizaremos las reglas de los exponentes. En la seccin 4.3, al estudiar

la notacin cientfica, emplearemos dichas reglas para resolver problemas de lavida real que involucran nmeros muy grandes o muy pequeos. El conocimien-to de la notacin cientfica tambin le ayudar en sus cursos de ciencias y otros.

En las secciones 4.4 a 4.6, explicamos cmo sumar, restar, multiplicar y divi-dir polinomios. Para tener xito con ese material, debe entender las reglas de losexponentes que presentamos en las primeras dos secciones del captulo. Para com-prender la factorizacin, que se expone en el captulo 5, necesitamos entender los po-linomios, en especial su multiplicacin. Como veremos, factorizar polinomios es loinverso de multiplicarlos. En todo el libro trabajamos con polinomios.

E

4.1 EXPONENTES

1 Repasar los conceptos bsicos de los exponentes.

2 Aprender las reglas de los exponentes.

3 Simplificar una expresin antes de utilizar la regla de lapotencia expandida.

1 Repasar los conceptos bsicos de los exponentes

Para utilizar los polinomios necesitamos ampliar nuestro conocimiento de los ex-ponentes que presentamos en la seccin 1.9 . Revisemos los conceptos fundamen-tales en la expresin xn, denominamos base a la x, y a la n, exponente. xn se lee xelevada a la n-sima potencia.

2 factores de x

4 factores de x

m factores de x

EJEMPLO 1 Escribir xxxxyyy utilizando exponentes.

Solucin4 factores 3 factores

de x de y

Recuerde que cuando un trmino contiene una variable sin coeficiente nu-mrico, suponemos que ste es igual a 1. Por ejemplo x = 1x y x2y = 1x2y.

Tambin recuerde que cuando una variable o un valor numrico no tienenexponente, suponemos que dicho exponente es 1.Por ejemplo, y 2xy2 = 21 x1 y2.x2 y1

x = x1, xy = x1 y1, x2 y

x x x x(')'*

y y y()*

= x4 y3

xm = x # x # x # # x('')''*

x4 = x # x # x # x(')'*

x2 = x # x()*

Seccin 4.1 Exponentes 243

2 Aprender las reglas de los exponentes

Ahora aprenderemos las reglas de los exponentes.

EJEMPLO 2 Multiplicar

Solucin

En el ejemplo 2 mostramos que al multiplicar expresiones que tienen la mis-ma base, sta se conserva y sumamos los exponentes.Veamos la regla del produc-to para los exponentes.

Regla del producto para los exponentes

En el ejemplo 2, demostramos que Este problema tambin hubiera po-dido resolverse mediante la regla del producto:

EJEMPLO 3 Multiplique cada expresin usando la regla del producto.a) b) c) d) e)

Solucin a) o 27 b) o 64c) d)

e)

Observe que en el ejemplo 3a) tenemos que es igual a 33 y no 93.Al multiplicar po-tencias de la misma base, no multiplicamos las bases.

CORRECTO INCORRECTO

El ejemplo 4 le ayudar a comprender la regla del cociente para exponentes.

EJEMPLO 4 Dividir

Solucin

Al dividir expresiones con la misma base, conservamos sta y restamos elexponente del denominador del exponente del numerador.

Regla del cociente para exponentes

En el ejemplo 4 demostramos que Este problema tambin hubierapodido resolverse mediante la regla del cociente: x5>x3 = x5 - 3 = x2.

x5>x3 = x2.

xm

xn= xm - n, x Z 0

x5

x3=

x # x # x # x # x x # x # x =

1x2

1= x2

x5 , x3.

32 # 31 = 93 32 # 31 = 33

32 # 31CMO EVITARERRORES COMUNES

y4 # y7 = y4 + 7 = y11x3 # x6 = x3 + 6 = x9x # x4 = x1 # x4 = x1 + 4 = x524 # 22 = 24 + 2 = 2632 # 3 = 32 # 31 = 32 + 1 = 33

y4 # y7x3 # x6x # x424 # 2232 # 3

x4 # x3 = x4 + 3 = x7.x4 # x3 = x7.

xm # xn = xm + n

x # x # x # x$'%'&

# x # x # x$'%'&

= x7 x4 # x3

x4 # x3.

TEACHING TIPWhen discussing Example 4, pointout that when dividing out com-mon factors, a numerator or de-nominator is never completelyremoved. If all factors are dividedout of the denominator (numera-tor), the denominator (numera-tor) equals 1.

AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 17


EJEMPLO 5 Dividir cada expresin de acuerdo con la regla del cociente.

a) b) c) d) e)

Solucin a) o 27 b) o 216

c) d)

e)

Observe que en el ejemplo 5a) tenemos que es 33 y no 13. Al dividir potencias conla misma base, no se dividen las bases.

CORRECTO INCORRECTO

o 9

La respuesta al ejemplo 5c), x12x5 es x7. Obtuvimos esta respuesta mediantela regla del cociente. Tambin puede resolverse dividiendo los factores comunesdel numerador entre los del denominador, as:

Dividimos entre el producto de las cinco x, que es x5. Indicamos este proceso enforma abreviada del siguiente modo.

En esta seccin, para simplificar una expresin cuando el numerador y el denomi-nador tienen la misma base y el exponente del denominador es mayor que el delnumerador, dividimos los factores comunes. Por ejemplo, simplificamos x5x12 conla divisin del factor comn, x5, como sigue.

Ahora simplificaremos algunas expresiones dividiendo los factores comunes.

EJEMPLO 6 Simplificar dividiendo un factor comn tanto del numerador como del denominador.

a) b)

Solucin a) Como el numerador es x9, el denominador se escribe como fac-tor de x9. Como se rescribe x12 como

b)

y4

y9=

y4

y4 # y5 =1y5

x9

x12=

x9 x9 # x3 =

1x3

x9 # x3.x9 # x3 = x12,

y4

y9x9

x12

x5

x12=

x5

x5 # x7 =1x7

x12

x5=

x5 # x7 x5

= x7

x12

x5=1 x # x # x # x # x 2 # x # x # x # x # x # x # x

1 x # x # x # x # x 2 = x7

33

31= 12

33

31= 32

35>32CMO EVITARERRORES COMUNES

z8

z=

z8

z1= z8 - 1 = z7

y10

y8= y10 - 8 = y2

x12

x5= x12 - 5 = x7

64

6=

64

61= 64 - 1 = 63

35

32= 35 - 2 = 33

z8

z

y10

y8x12

x564

635

32




En la siguiente seccin mostraremos otra forma de evaluar expresiones co-

mo mediante la regla del exponente negativo.

El ejemplo 7 nos conduce a otra regla, la regla del exponente cero.

EJEMPLO 7 Dividir

Solucin Segn la regla del cociente,

Sin embargo,

Como y entonces x0 debe ser igual a 1.

Regla del exponente cero

Segn la regla del exponente cero, cualquier nmero real, excepto 0, elevado a lapotencia cero es igual a 1. Obsrvese que 00 no est definida.

EJEMPLO 8 Simplifique cada expresin. Suponga quea) b) c) d) e)

Solucin a)b)

c) Recuerde que el exponente afecta slo al smbolo que lo precede inmediatamente, a menos que emplee parntesis.

d)

e)

Una expresin elevada a la potencia cero no es igual a 0; es igual a 1.

CORRECTO INCORRECTO

Explicaremos la regla de la potencia con ayuda del ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Simplifique (x3)2.

Solucin2 factores de x3

1x322 = x3 # x3()*

= x3 + 3 = x6

50 = 0 50 = 1 x0 = 0 x0 = 1

CMO EVITARERRORES COMUNES

4x2 y3 z0 = 4x2 y3 # 1 = 4x2 y313x20 = 1

= 3 # 1 = 3 3x0 = 31x02x0 = 1

30 = 1

4x2 y3 z013x203x0x030x Z 0.

x0 = 1, x Z 0

x3>x3 = 1,x3>x3 = x0

x3

x3=

1x3

1x3=

1 # x # x # x 1 # x # x # x =

11

= 1

x3

x3= x3 - 3 = x0

x3

x3.

x9

x12


Regla de la potencia para los exponentes

La regla de la potencia indica que cuando una expresin que ya est elevada auna potencia es elevada a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los ex-ponentes. El ejemplo 9 tambin hubiera podido simplificarse con el empleo de laregla de la potencia:

EJEMPLO 10 Simplificar. a) b) c)

Solucin a) b) c)

SUGERENCIA Con frecuencia los estudiantes confunden las reglas del producto y de la potencia. Ob-serve con cuidado la diferencia.

Regla del producto Regla de la potencia

El ejemplo 11 ser til para explicar la regla de la potencia expandida. Co-mo el nombre sugiere, sta es una expansin de la regla de la potencia.

EJEMPLO 11 Simplificar

Solucin

Regla de la potencia expandida para exponentes

La regla de la potencia expandida indica que elevamos cada factor dentro del pa-rntesis a la potencia indicada fuera de ste cuando simplificamos la expresin.

EJEMPLO 12 Simplifique cada expresin.

a) b) c) d)

Solucin a) b)

c) d)

3 Simplificar una expresin antes de utilizar la regla de la potencia expandida

Siempre que tengamos una expresin elevada a una potencia, es til simplificar loque est dentro del parntesis antes de emplear la regla de la potencia expandi-da. Ilustramos este procedimiento en los ejemplos 13 y 14.

a -3y2zb 2 = 1-322 y2

22 z2=

9y2

4z215xy23 = 53 x3 y3 = 125x3 y3

1-x23 = 1-1x23 = 1-123 x3 = -1x3 = -x314x22 = 42 x2 = 16x2a -3y

2zb 215xy231-x2314x22

aaxbybm = am xm

bm ym, b Z 0, y Z 0

=a # a # a # a # x # x # x # xb # b # b # b # y # y # y # y =

a4 # x4b4 # y4 =

a4 x4

b4 y4

aaxbyb 4 = ax

by# axby

# axby

# axby

a axbyb 4.

12325 = 23 #5 = 21523 # 25 = 23 + 5 = 281xm2n = xm #nxm # xn = xm + n

1y527 = y5 #7 = y3513422 = 34 #2 = 381x325 = x3 #5 = x151y527134221x325

1x322 = x3 #2 = x6.

1xm2n = xm #n




Solucin En primer lugar simplificamos la expresin dentro del parntesis, dividiendo losfactores comunes.

Ahora utilizamos la regla de la potencia expandida para terminar.

Por tanto,

SUGERENCIA Sea muy cuidadoso al escribir los exponentes. Por lo general son ms pequeos que elresto del texto; tmese su tiempo, escrbalos con claridad y colquelos en forma apro-piada. Si no los escribimos con claridad es muy fcil confundir algunos de ellos, como2 con 3, 1 con 4, o 0 con 6. Si escribimos o llevamos un exponente de un paso a otro demanera incorrecta, obtendremos una respuesta equivocada.


Solucin Comenzamos por simplificar la expresin dentro del parntesis.

Ahora utilizamos la regla de la potencia expandida para terminar.

Por tanto,

En ocasiones los estudiantes comenten errores al simplificar expresiones que contienenexponentes. Uno de los ms comunes es el siguiente. Estdielo con cuidado para asegu-rarse de no cometerlo.

CORRECTO INCORRECTO

5x3 + y2

y2=

5x3 + y2 1

y2 1

= 5x3 + 15x3 y2

y2=

5x3 y2 1

y2 1

= 5x3

xx + y

= x 1

x 1

+ y=

11 + y

xxy

= x 1

x 1

y=

1y

4x + 2

= 4 2

x + 2 1

=2

x + 142x

= 4 2

2 1

x=

2x


25x4 y35x2 y7

4 = 625x8y16

.

5x2y4 4 = 54 1x2241y424 = 625x8y16

25x4 y35x2 y7

4 = 255

# x4x2

# y3y7 4 = 5x2

y4 4

25x4 y35x2 y7

4.

9x3 y23xy2

3 = 27x6.13x223 = 331x223 = 27x6

9x3 y23xy2

3 = 93

# x3x

# y2y2 3 = 13x223

9x3 y23xy2

3.

CONSEJO PARA ESTUDIAR


(contina en la pgina siguiente)

1. En la expresin exponencial cr, cmo se denomina a la c?,cul es el nombre de la r?

2. a) Escriba la regla del producto para exponentes.

b) Explique con sus propias palabras la regla del producto.

3. a) Escriba la regla del cociente para exponentes.

b) Con sus propias palabras, explique la regla del cociente.

4. a) Escriba la regla del exponente cero.

b) Con sus propias palabras, explique la regla del expo-nente cero.

5. a) Escriba la regla de la potencia para exponentes.

b) Explique con sus propias palabras la regla de la potencia.

6. a) Escriba la regla de la potencia expandida para expo-nentes.

b) Con sus propias palabras, explique la regla de la po-tencia expandida.

7. Para qu valor de x es 0

8. Explique la diferencia entre la regla del producto y la dela potencia. Proporcione un ejemplo de cada uno.

x0 Z 1?


Las simplificaciones del lado derecho no son correctas porque slo los factores comunes sepueden dividir (recuerde que los factores se multiplican entre s). En el primer denomina-dor de la derecha, x 2, la x y el 2 son trminos, no factores, puesto que se estn sumandoEn forma similar, en el segundo denominador, x y, la x y la y son trminos y no factores,ya que se estn sumando.Asimismo, en el numerador 5x3 y2, el 5x3 y la y2 son trminos,no factores. No es posible dividir ningn factor comn en las fracciones del lado derecho.


Solucin En primer lugar simplificamos por medio de la regla de la potencia ex-pandida.

Ahora empleamos la regla del producto para simplificar an ms.

Por tanto,

Resumen de las reglas de los exponentes que presentamosen esta seccin

1. Regla del producto

2. Regla del cociente

3. Regla del exponente cero

4. Regla de la potencia

5. Regla de la potencia expandidaa axbybm = am xm

bm ym, b Z 0, y Z 0

1xm2n = xm #nx0 = 1, x Z 0

xm

xn= xm - n, x Z 0

xm # xn = xm + n

13y3 z22412y4 z2 = 162y16 z9. = 162y16 z9 = 162y12 + 4 z8 + 1 = 81 # 2 # y12 # y4 # z8 # z1

13y3 z22412y4 z2 = 181y12 z8212y4 z12

13y3 z224 = 34 y3 #4 z2 #4 = 81y12 z813y3 z224

13y3 z22412y4 z2


Conjunto de ejercicios 4.1

Ejercicios conceptuales

45. 46. 47. 48.

49. 50. 51. 52.

53. 54. 55. 56.

57. 58. 59. 60. 14x3 y22327a6 b1213a2 b423x4 y41xy24-27x91-3x3239x21-3x221.69x211.3x228w612w223n181n623

x201x524x121x423x61x322x31x321y101y522x251x525x151x523x81x422

21. 6 22. x 23. 24.

25. 27 26. 16 27. 28.

29. 1 30. 1 31. 32.x9

x131

a4a3

a734

34c4

c4

1

a2a7

a91

y2y4

y645

4335

32

y4y5

yx7

x10

x3x4

x362

6

73. 74. 75. 76.

77. 78. 79. 80.

81. 82. 83. 84. - 25x4 y10

30x3 y7 z-

2

x3 y2 z5-

6x2 y7 z

3x5 y9 z6y3

8xz64x4 y7 z3

32x5 y4 z9-

3y2

x3-

36xy7 z

12x4 y5 z

2

3m4 n36m3 n9

9m7 n127

3x5 y335x4 y9

15x9 y126y4

z330y5 z3

5yz61

9a2 b33ab

27a3 b4

x11

2y75x12 y2

10xy95x2

y210x3 y8

2xy10y4

x4x3 y5

x7 yx5

y2x6 y

xy3


Prctica de habilidades

Simplifique las siguientes expresiones.



33. 1 34. 1 35. 3 36.

37. 4 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44. -31a2 b5 c320-5r-5r1st20-5xy2-5xy2 z05x3 y5x3 yz0-1-1-x20-3-31-4y20-2-214x20415d20

-4-4x03x050x0



61. 62. 63. 64.

65. 66. 67. 68.

69. 70. 71. 72.16x4

25 -4x2

5 22y3

x 43x4

y 316p2

25a4p

5b 2

9s2

t43s

t2 227x3

y3a3x

yb 364m3

n3a4m

nb 3216

x3a 6

xb 3

81

y4a 3

yb 4y4

x4ay

xb 48

x3a 2

xb 3x2

9ax

3b 2


9. 10. 11. 12.

13. 243 14. 1024 15. 16.

17. 18. 16 19. 20. x8x4 # x4y7y6 # y22 # 22z8z3 # z5x7x3 # x4y5y3 # y242 # 4332 # 33x6x4 # x2z5z4 # zx7x6 # xx9x5 # x4

85. 86. 87. 88.

89. 1 90. 91. 92.

93. 94. 95. 96. -64xy632xy9

464x3 y124xy5y 3z10

y10y7 z5

y8 z4 10z24

16y28 9y2 z7

18y9 z 4

x18 y3

82x7 y2

4xy 3x4

y4x4 y3

x2 y5 28

27y12 16y6

24y10 39a2 b4

3a7 b9 0

125

s6 t925s4 t

5s6 t4 327y96y6

2y3 31

8x124x4

8x8 38

x610x4

5x6 3



97. 98. 99. 100.

101. 102. 103. 104.

105. 106. 107. 108. 13x22412xy5225r6 s415r3 s22215r3 s4204c6 d412c3 d22213cd20-9p6 q31-3p2 q221-p2 q21-5xy21-2xy6215x3 y615x2 y213xy52-10x6 y31-2x4 y2215x2 y2-6x2 y21-2xy213xy216xy5213x2 y423ab413ab321b264a3 b914ab32325x2 y815xy422


109. 110. 111. 112.

113. 114. 115. 116.

117. 118. 119. 120.

121. 122. 123. 124.

125. 126. 127. 128.

129. 130. 131. 132. 1x4 y62313x2 y52x8 z8 -x4 z7x2 z5

416c13 d814c3 d2212c5 d322x11 y131x7 y521xy224 -3x3

4 353.29x4 y817.3x2 y422y5

x2x2 y6

x4 y108x5 y714x2 y213xy223

50x10 z2815x4 z102212x2 z82729r12 s1519r4 s523x29

ax3b 2-8x12 y6 z31-2x4 y2 z23

36x13 y1013x6 y2214xy82-216x9 y61-6x3 y223916x12 y4

- 12x16x7 y2

2- m12n9

- m4n3 3

x4 y161xy421xy423x6y4

x7 y2

xy6-27a6 b9 c121-3a2 b3 c4236.25x612.5x322

54x17 y1712x2 y5213x5 y423x12x5 y5xy5 38x3 y1212xy423x21-x22

Estudie el recuadro de Cmo evitar errores comunes de la pgina 247. Simplifique las expresiones siguientes eliminando losfactores comunes con una divisin. Si no fuera posible simplificar la expresin de este modo, indquelo.

133. 134. y 135. 136.

137. 138. 139. 140.

133., 135., 136., 138., 139. cannot be simplified

x4

x2 y

x

x + 1a2 + b2

a26z2

6yz4

yz2

x + 42

y2 + 3y

xy

x

x + yx

Solucin de problemas

signo de la expresin simplificada ser positivo o negati-vo? Explique cmo determin su respuesta.

146. Considere la expresin (9x4y6)8. Si utilizamos la regla dela potencia expandida para simplificar la expresin, elsigno de la expresin simplificada ser positivo o negati-vo? Explique cmo determin su respuesta.

141. Cul es el valor de x2y, si x 4 y y 2?

142. Cul es el valor de xy2, si x 3 y y 4?

143. Cul es el valor de (xy)0, si x 2 y y 4?

144. Cul es el valor de (xy)0, si x 5 y y 3?

145. Considere la expresin (x5y7)9. Si utilizamos la regla dela potencia expandida para simplificar esta expresin, el



Escriba una expresin para calcular el rea total de la figura o figuras que se muestran.

147. 148.

149. 150.

a

a

a

b

b

b

x

x

xy

y

x

x

y

y

7x2

x

x

Problemas de reto


151. 152. 13yz222 2y3 z510y6 z4

014y2 z3233x4 y56x6 y8

39x7 y83x3 y5

2

Actividad en grupo

Como grupo, estudien y resuelvan el ejercicio 153, de acuerdo con las instrucciones.

153. En la siguiente seccin trabajaremos con exponentes ne-

gativos. Como preparacin, utilice la expresin para los

incisos del a) al c). Resuelva en forma individual los inci-sos a) a d), despus el e) como grupo.

a) Elimine los factores comunes en el numerador y el de-nominador y determine el valor de la expresin.

b) Utilice la regla del cociente en la expresin dada y es-criba los resultados.

32

33

c) Escriba un enunciado de igualdad empleando los inci-sos a) y b) anteriores.

d) Repita los incisos del a) al c) para la expresin

e) Como grupo, comparen las respuestas de los incisos a)a d), y luego escriban una expresin exponencial para1

xm.

23

24.

Ejercicios de repaso acumulativo

[1.9] 154. Evale la expresin 13

[2.1] 155. Simplifique la expresin

[2.5] 156. Resuelva la ecuacin

[3.1] 157. a) Utilice la frmula para calcularla longitud de los lados del rectngulo que semuestra, si el permetro del rectngulo mide26 pulgadas.

P = 2l + 2a21x + 42 - 3 = 5x + 4 - 3x + 1.

-41x - 32 + 5x - 2.34 , 33 - 15 - 82 + 7.

b) Emplee la frmula para resolverla ecuacin a.

P = 2l + 2a

x 5

x


4.2 EXPONENTES NEGATIVOS

1 Entender la regla del exponente negativo.

2 Simplificar expresiones que contienen exponentes negativos.

1 Entender la regla del exponente negativo

Una regla adicional que involucra a los exponentes, es la del exponente negativo.Necesitamos entender los exponentes negativos para tener xito con la notacincientfica que estudiaremos en la siguiente seccin.

Desarrollaremos la regla del exponente negativo por medio de la regla delcociente, que ilustramos en el ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Simplifique la expresin x3x5, a) con la regla del cociente, y b) con la divisin delos factores comunes.

Solucin a) Con la regla del cociente,

b) Con la divisin de los factores comunes,

En el ejemplo 1, vemos que x3x5 es igual tanto a x2 como a 1x2. Por tanto,x2 debe ser igual a 1x2; es decir, x2 1x2. ste es un ejemplo de la regla del ex-ponente negativo.

Regla del exponente negativo

Cuando elevamos una variable o nmero a un exponente negativo, pode-mos reescribir como 1 dividido entre la variable o nmero elevados al mismo ex-ponente, pero con signo positivo.

Ejemplos

En ocasiones los estudiantes creen que un exponente negativo hace automticamenteque el valor de la expresin sea negativo. Eso no es verdad.

EXPRESIN CORRECTO INCORRECTO TAMBIN INCORRECTO

- 1x3

-x31x3

x-3

- 132

-32132

=19

3-2


y-7 =1y7 5-3 =

153

=1

125

x-6 =1x6 4-2 =

142

=1

16

x-m =1

xm, x Z 0

x3

x5=

x # x # x x # x # x # x # x =

1x2

x3

x5= x3 - 5 = x-2

Seccin 4.2 Exponentes negativos 253

Para ayudarlo apreciar que la regla del exponente negativo tiene sentido,considere la siguiente secuencia de expresiones exponenciales y sus valores co-rrespondientes.

Observe que cada vez que el exponente disminuye una unidad, el valor de la ex-presin se reduce a la mitad. Por ejemplo, si pasamos de a el valor de la expre-sin disminuye de 8 a 4. Si continuamos con la disminucin de los exponentes msall de 20 1, entonces el exponente que sigue en el patrn es 1. Y obtenemos la

mitad de 1 que es Este patrn ilustra que

2 Simplificar expresiones que contienen exponentes negativos

Por lo general, cuando simplifique una expresin exponencial, la respuesta final nodebe contener exponentes negativos. Podemos simplificar expresiones exponen-ciales utilizando la regla del exponente negativo y las reglas presentadas en la sec-cin anterior. Los siguientes ejemplos indican la manera de simplificar expresionesexponenciales que contienen exponentes negativos.

EJEMPLO 2 Utilice la regla del exponente negativo para escribir cada expresin con un expo-nente positivo. Simplifique las expresiones siempre que sea posible.

a) b) c) d) e) f)

Solucin a) b)

c) d)

e) f)

EJEMPLO 3 Utilice la regla del exponente negativo para escribir cada expresin con un expo-nente positivo.

a) b)

Solucin En primer lugar, utilizamos la regla del exponente negativo en el denominador.Despus, termine la operacin.

a) b)

SUGERENCIA De los ejemplos 2 y 3, observamos que cuando un factor pasa del denominador al nu-merador o del numerador al denominador, el signo del exponente cambia.

Ahora resolveremos ejemplos adicionales en los que combinamos dos o msde las reglas que hemos presentado hasta este momento.

1

3-5= 35 3-5 =

1

35

1

x-4= x4 x-4 =

1x4

14-1

=1

1>4 =11

# 41

= 41

x-2=

11>x2 =

11

# x21

= x2

14-1

1x-2

1-52-3 = 11-523 =1

-125= -

1125

-5-3 = - 153

= - 1

125

5-1 =15

3-2 =132

=19

y-4 =1y4

x-3 =1x3

1-52-3-5-35-13-2y-4x-3

x-m =1

xm.12 .

22,23

23 = 8, 22 = 4, 21 = 2, 20 = 1, 2-1 =121

o bien 12

, 2-2 =122

o bien 14

, 2-3 =123

o bien 18



EJEMPLO 4 Simplifique las expresiones. a) b)

Solucin a) Por la regla de la potencia.

Por la regla del exponente negativo.

b) Por la regla de la potencia.



Solucin a) Por la regla del producto.


b) Por la regla del producto.


Cunto vale la suma de 32 32? Estudie con cuidado la solucin correcta.

CORRECTO INCORRECTO

Observe que


Solucin a) Por la regla del cociente.


b) Por la regla del cociente.


=153

o bien 1

125

= 5-3 = 5-7 + 4

5-7

5-4= 5-7 - 1-42

=1

z18

= z-18

z-6

z12= z-6 - 12

5-7

5-4z-6

z12

32 # 3-2 = 32 + 1-22 = 30 = 1. = 9

19

32 + 3-2 = 0 32 + 3-2 = 9 +19


=1

311

= 3-11 3-4 # 3-7 = 3-4 + 1-72

=1x2

= x-2 x3 # x-5 = x3 + 1-52

3-4 # 3-7x3 # x-5 =

146

= 4-6 1422-3 = 41221-32

=1

z20

= z-20 1z-524 = z1-52142

1422-31z-524





Debe leer cuidadosamente la siguiente Sugerencia

SUGERENCIA Consideremos un problema de divisin en el que una variable tenga un exponente ne-gativo ya sea en el numerador o en el denominador, como en el ejemplo 6a). Otra ma-nera de simplificarla sera pasar la variable con el exponente negativo del numeradoral denominador, o viceversa, y cambiamos el signo de ese exponente. Por ejemplo,

Ahora consideremos un problema de divisin en el que un nmero o variabletenga exponente negativo en ambos, tanto en el numerador o como en el denomina-dor, como en el ejemplo 6b). Otra manera de simplificar una expresin como sa serapasar la variable con el exponente negativo mayor del numerador al denominador, odel denominador al numerador, y cambiamos de negativo a positivo el signo del expo-nente. Por ejemplo,

Observe que 8 3.

Note que 7 4.

EJEMPLO 7 Simplifique las expresiones. a) b) c)

Solucin a)

b)

c)

En el ejemplo 7b), pasamos la variable con el exponente negativo, s3, del nu-merador al denominador. En el ejemplo 7c), pasamos del denominador al nume-rador la variable con el exponente negativo, y3. En cada caso, al mover al factorvariable cambiamos el signo del exponente de negativo a positivo.

EJEMPLO 8 SimplifiqueSolucin Empleando la regla de la potencia expandida.

=

x6

25

=152

x6

= 5-2 x6 15x-32-2 = 5-2 x1-321-22

15x-32-2.

=14

# 1x5

# y8 = y8

4x5

2x2 y5

8x7 y-3=

28

# x2x7

# y5y-3

= 2 # r2 # 1s5

=2r2

s5

16r3 s-3

8rs2=

168

# r3r

# s-3s2

7x416x-92 = 7 # 6 # x4 # x-9 = 42x-5 = 42x5

2x2 y5

8x7 y-316r3 s-3

8rs27x416x-92

y-4

y-7= y7 # y-4 = y7 - 4 = y3

x-8

x-3=

1x8 # x-3 =

1x8 - 3

=1

x5

y3

y-7= y3 # y7 = y3 + 7 = y10

x-4

x5=

1

x5 # x4 =1

x5 + 4=

1x9



Puede explicar por qu es incorrecta la simplificacin que se muestra en el lado derecho?

CORRECTO INCORRECTO

La simplificacin del lado derecho es incorrecta porque en el numerador x3 y2, la y2

no es un factor, sino un trmino. Aprenderemos a simplificar expresiones como stacuando estudiemos fracciones complejas en la seccin 6.5.


Solucin De acuerdo con la regla de la potencia expandida, escribimos

Si examinamos los resultados del ejemplo 7 vemos que

Este ejemplo ilustra que si y As, por ejemplo,

y Resumimos esta informacin como sigue:

Regla de una fraccin elevada a un exponente negativo

Para una fraccin de la forma

EJEMPLO 10 Simplificar a) b)

Solucin Utilizamos la regla anterior para simplificar.

a) b)

EJEMPLO 11 Simplificar a) b)

Solucin a) Resolveremos el inciso a) con dos mtodos diferentes. En el primero, emplea-remos la regla de la potencia expandida. En el segundo, utilizaremos la regla de unafraccin elevada a un exponente negativo antes de utilizar la regla de la potenciaexpandida. Usted puede usar cualquier mtodo.

Mtodo 1 Regla del potencia expandida.

Multiplicar los exponentes.

Regla del exponente negativo. =y15 z20

x10

=x-10 y15

z-20

x2 y-3z4 -5 = x21-52 y1-321-52

z41-52

2x-3 y2 zx2

2x2 y-3z4 -5

x2y3 -4 = y3

x2 4 = y3 #4

x2 #4=

y12

x8a3

4b -3 = a4

3b 3 = 43

33=

6427

x2y3 -4a3

4b -3

ab

, a Z 0 y b Z 0, a abb -m = ab

abm.

a59b -3 = a9

5b 3.a3

4b -5 = a4

3b 5

b Z 0.a Z 0a abb -m = ab

abm

a23b -2 = 32

22= a3

2b 2.

a23b -2 = 2-2

3-2=

122

132

=122

# 321

=32

22=

94

a23b -2

x3 + y-2

w=

x3

w + y2x3 y-2

w=

x3

wy2



1. Con sus propias palabras, describa la regla del exponentenegativo.

2. Est simplificada la expresin x2? Si no lo estuviera, sim-plifquela.

3. Est simplificada la expresin x5y3? Si no lo estuviera,simplifquela.

4. La expresin puede simplificarse a Si nofuera posible, cul sera la simplificacin correcta? Ex-plique su respuesta.

5. La expresin puede simplificarse a Si no esposible, cul es la simplificacin correcta? Explique.

1>y7?1y42-3

1>a6 b-2?a6 b-2


Mtodo 2

Simplificar la expresin entreparntesis.

Regla de la potencia expandida.

Multiplicar los exponentes.

b) Primero simplificamos la expresin entre parntesis, despus elevamos al cua-

drado los resultados. Para simplificar, observamos que se convierte en

Resumen de reglas de los exponentes

1. regla del producto

2. regla del cociente

3. regla del exponente cero

4. regla de las potencias

5. regla de la potencia expandida

6. regla del exponente negativo

7. regla de una fraccin elevadaa un exponente negativo

a abb -m = ab

abm, a Z 0, b Z 0

x-m =1

xm, x Z 0

a axbybm = am xm

bm ym, b Z 0, y Z 0

1xm2n = xm #nx0 = 1, x Z 0

xm

xn= xm - n, x Z 0

xm # xn = xm + n

2x-3 y2 zx2

2 = 2y2 zx5 2 = 22 y2 #2 z1 #2

x5 #2=

4y4 z2

x10

1x5

.x-3

x2

=y15 z20

x10

=y3

#5 z4

#5

x2#5

= y3 z4x2 5

a abb -m = ab

abm x2 y-3

z4 -5 = z4

x2 y-3 5



6. Las siguientes expresiones estn simplificadas? Si unaexpresin no lo estuviera, explique por qu y luego simpli-fquela.

a) yes b)

c) n d)

7. a) Identifique los trminos en el numerador de la expresinx5 y2

z3.

x-4

x4a-4

2

n-55x3

11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. x 18.

19. 36 20. 125 21. 22.

23. 24. 25. 26.

27. 64 28. 29. 30.

31. 32. 33. 9 34. 216

35. 36. 37. 38.

39. 40. z 41. 27 42. 64

43. 44. 45. 46. 27

47. 48. 49. 50.

51. 52. 53. 54. 1

55. 56. 57. 58.

59. 60. 61. 62.

63. 64. 65. 66.

67. 1 68. 1 69. 1 70. 1

71. 64 72. 73. 74. 1

75. 1 76. 9 77. 78. 36

79. 80. 81. 82.

83. 84. 256 85. 125 86.1x

x6

x75

5-214-22-21

161422-1

r5r6

rx3

x-1

x-4z4

z-3

z-7136

6-4 # 6264 # 6-21

42-3 # 213-22-11x02-2

1x-720x81x-42-2z451z-52-922-5

13-1 + 422012-1 + 3-12015a2 b3202-32-3

1243

3-4

3n2

n-5

n-7y14

y6

y-81

x10x-5

x5

- 136

-6-2136

1-62-2164

-1-42-3- 164

1-42-3-

164

-4-3- 116

-1-42-2116

1-42-2- 116

-4-2

4-3 # 431x15

x-8 # x-71x8

x-3 # x-51x4

x3 # x-7

1

z3z9 # z-12y61y-22-3x121x-32-4p241p-42-61

3-3z9

1z-9

1

x7x-7

127

3-3

42

4-132

3-1z-11

z-121

x4x-7

x-3

1

x7x-2

x5p3

p0

p-3x3

x2

x-11r

r5

r6

6-3 # 663-2 # 341d7

d-3 # d-4x2x7 # x-5

1

x2x-3 # x1y2y4 # y-21

6412-32212-22-3

x181x-92-21x8

1x42-21a20

1a52-41y20

1y-524m101m-52-21

x61x-2231

5-31

6-2

y41

y-41

x-1b4

1b-4

x31

x-3

125

5-215

5-11

y5y-5

1

x6x-6

9. Describa lo que sucede al exponente de un factor cuandoste pasa del numerador al denominador de una fraccin.

10. Diga lo que ocurre al exponente de un factor cuando stese lleva del denominador al numerador de una fraccin.


b) Identifique los factores en el numerador de la expre-sin.

8. a) Identifique los trminos en el numerador de la expre-

sin

b) Identifique los factores en el numerador de la expre-sin.

x-4 y3

z5.


Simplifique las expresiones siguientes.

131. a) Se cumple que Explique su respuesta.

b) Se cumple que Explique su res-

puesta.

a-1 + b-1 =1

a + b ?

a-1 b-1 =1

ab ?

87. 88. 89. 1 90.

91. 92. 93. 94.

95. 4 96. 97. 98.

99. 100. 101. 102.

103. 104. 105. 106.

107. 108. 109. 110.

111. 112. 113. 114.

115. 116. 117. 118.

119. 120. 121. 122.

123. 124. 125. 126.

127. 128. 129. 130.z4

x48 y32x12 y5

y-3 z -41

27a6 b6a2 b-2

3a4 327r9

p9 q63p-1 q-2 r3

p2 3y12

x18 z6x3 y-4 z

y-2 -6

m3 n9 p6

1255m-1 n-3

p2 -3r20 t48

16s362r-5 s9

t12 -42c2

b4 d3b4 c-2

2d-3 -1y12 z4

16x82x2 y-3

z -4

3z5

x421x-3 z2

7xz-38x6

y232x4 y-2

4x-2 y04

x12 y416x-7 y-2

4x5 y2x4

2y53x4 y-2

6y3

6

x5 y212x-2 y0

2x3 y24

x236x-4

9x-21

4z28z-4

32z-23c5

12c9

4c4

15y

x13y-2215x-1 y3220z5

y15y2214y-3 z522x

y212x-3 y-221x4 y0212x514x2 y213x3 y-12

- 27

x219x521-3x-72-84x41-2x-426

x2x513x-6220

y514y-2215y-32

6

w42w13w-52y9

x151x5 y-32-31

9x4 y613x2 y32-27

a3 b47a-3 b-4

- n20

m15- m3

n4 -5- s4

r16- r4

s -4d4

c8 c4

d2 -2y2

x4x2

y -2

12527

a35b -364

125a5

4b -325

9a3

5b -2a1

2b -2

5x4

y5x4 y-1

3y2

x23x-2 y2

1

9z613z32-21

36x416x22-2

2y

x2x-1 y

7-1

7-11

x2x-10 # x81

9

3-4

3-2



132. a) Se cumple que Explique su respuesta.

b) Se cumple que Explique su res-

puesta.

x-1 + y2

z=

y2

x + z ?

x-1 y2

z=

y2

xz ?

Evale lo siguiente.

133. 134. 135. 136. 216 12166-3 + 634 142

2 + 2-29 1932 + 3-216 1164

2 + 4-2

Evale lo siguiente.

137. 138. 139. 140.

141. 142. 143. 144. 387 # 2-3 - 2 # 4-12293 # 50 - 5 # 3-2- 562 # 4-1 - 4 # 3-1162 # 4-1 - 3-1- 782

-3 - 23 # 2-31162 # 4-1 + 4 # 3-1- 1124-1 - 3-12350 - 3-1

Determine el nmero que, al colocarse en el rea sombreada, hace que el enunciado sea verdadero.

145. 146. 147. 148. 4. =1

16-2

13.

= 9-214.

= 16-23. =19

Problemas de reto

En los ejercicios 149 a 151, determine el nmero (o nmeros) que, al colocarse en el rea (o reas) sombreada, haga verdade-ro el enunciado.

149. 150. 151. 1x4 y-32. = y9

x121.x.y-223 = 8

x9 y61x.y32-2 = x4

y6


152. Para cualquier nmero real diferente de cero a, si a1 x,defina las siguientes expresiones en trminos de x.

a) b)

153. Considere De acuerdo con la regla del expo-nente cero, se sabe que esto es igual a 1. Como grupo, de-

13-1 + 2-120.

1

a-1-x-a-1

terminen el error en el clculo siguiente. Expliquen su res-puesta.

= 1 + 1 = 2 = 30 + 20 = 3-1102 + 2-1102

13-1 + 2-120 = 13-120 + 12-120

Actividad en grupoComo grupo, estudien y respondan el ejercicio 154.

154. Es frecuente que los problemas que involucran exponen-tes se resuelvan en ms de una forma. Considere

a) Miembro 1 del grupo: simplifique esta expresin, co-menzando con lo que est entre parntesis.

b) Miembro 2 del grupo: simplifique esta expresin, em-pleando antes que nada la regla de la potencia expan-dida

3x2 y3x -2

c) Miembro 3 del grupo: simplifique esta expresin, em-pleando en primer lugar de la regla del exponente ne-gativo.

d) Comparen sus respuestas. Si no obtienen la misma, de-terminen por qu.

e) Como grupo, decidan con cul mtodo fue ms fcilsimplificar la expresin a), b) o c).

Ejercicios de repaso acumulativo[2.6] 155. Veleo Si un velero viaja 3 millas en 48 minutos,

cunto viajar en 80 minutos (con todas las condi-ciones sin cambio)?

[3.1] 156. Volumen Encuentre el volumen de un cilindro rec-to cuyo radio mide 5 pulgadas y su altura es de 12pulgadas.

[3.3] 157. Enteros El mayor de dos enteros es una unidad msque el triple del menor. Si la suma de los dos es 37,encuntrelos.

158. Costo de un artculo El costo de un artculo unavez que se incrementa 20% es de $1.50. Encuentreel precio del artculo antes del incremento.

159. Enteros consecutivos Calcule dos enteros consecu-tivos cuya suma sea 75.

4.3 NOTACIN CIENTFICA

1 Convertir nmeros a notacin cientfica y viceversa.

2 Reconocer nmeros en notacin cientfica con coeficiente 1.

3 Hacer clculos con notacin cientfica.

1 Convertir nmeros a notacin cientfica y viceversa

Es frecuente ver, y a veces utilizar, nmeros muy grandes o muy pequeos. Porejemplo, en enero de 2001, la poblacin del mundo era cerca de 6,160,000,000 depersonas.Tal vez se haya ledo que el virus de la influenza mide 0.0000001 metrosde dimetro. Debido a que es difcil trabajar con tantos ceros, expresamos tales n-

Seccin 4.3 Notacin cientfica 261

meros por medio de exponentes. Por ejemplo, el nmero 6,160,000,000 lo escribi-mos como 6.16 109, y el nmero 0.0000001 como 1.0 107.

Los nmeros como 6.16 109 y 1.0 107 estn en una forma conocida co-mo notacin cientfica. Escribimos cada nmero en notacin cientfica como un ma-yor o igual a 1 y menor que 10 (1 a 10), multiplicado por alguna potencia de10. El exponente del 10 debe ser un entero.

Ejemplos de nmeros en notacin cientfica

A continuacin cambiamos el nmero 68,400 a notacin cientfica.

Observe que

Por tanto, 68,400 6.84 104. Para pasar de 68,400 a 6.84, el punto decimal se re-corri cuatro lugares a la izquierda. Observe que el exponente del 10, que es 4, esel mismo nmero de lugares que se recorre el punto decimal hacia la izquierda.

A continuacin mostramos el procedimiento simplificado para escribir unnmero en notacin cientfica.

Para escribir un nmero en notacin cientfica

1. Recorrer el punto decimal del nmero original a la derecha del primer dgito dife-rente de cero. Esto dar un nmero mayor o igual a 1 y menor que 10.

2. Contar el nmero de lugares que recorrimos el punto decimal para obtener el n-mero en el paso 1. Si el nmero original era 10 o mayor, consideramos la cuentacomo positiva. Si el nmero original era menor que 1, consideramos la cuenta co-mo negativa.

3. Multiplique el nmero que obtuvimos en el paso 1 por 10 elevado a la cuenta (ex-ponente) que se obtuvo en el paso 2.

EJEMPLO 1 Escriba los nmeros siguientes en notacin cientfica.a) 10,700 b) 0.000386 c) 972,000 d) 0.0083

Solucin a) El nmero original es mayor que 10; por tanto, el exponente es positivo. Encon-tramos el punto decimal de 10,700 despus del ltimo cero.

b) El nmero original es menor que 1; por tanto, el exponente es negativo.

c) d)

Al escribir un nmero en notacin cientfica, podemos dejar la respuesta conexponente negativo, como en los ejemplos 1b) y 1d).

3 lugares

0.0083 = 8.3 * 10-3

5 lugares

972,000. = 9.72 * 105Cuatro lugares

0.000386 = 3.86 * 10-4

Cuatro lugares

10,700. = 1.07 * 104

10,000 = 10 # 10 # 10 # 10 = 104. = 6.84 * 104 68,400 = 6.84 * 10,000

1 * 10-5 8.07 * 10-2

3.762 * 103 1.2 * 106



A continuacin explicamos cmo escribir un nmero que est en notacincientfica, como nmero sin exponentes o en forma decimal.

Para convertir un nmero de notacin cientficaa forma decimal

1. Observar el exponente de la potencia de 10.

2. a) Si el exponente es positivo, el punto decimal del nmero (mayor o igual que 1y menor que 10) se recorre a la derecha el mismo nmero de lugares que el ex-ponente. Quiz sea necesario agregar ceros al nmero. Esto dar como resulta-do un nmero mayor o igual que 10.

b) Si el exponente es 0, el punto decimal no se mueve. Se elimina el factor 100 porquees igual a 1. Esto dar como resultado un nmero mayor o igual a 1 pero menorque 10.

c) Si el exponente es negativo, el punto decimal del nmero se mueve a la iz-quierda el mismo nmero de lugares que el exponente (sin contar el signo ne-gativo). Tal vez sea necesario agregar ceros. Esto dar como resultado unnmero menor que 1.

EJEMPLO 2 Escriba cada nmero sin exponentes.a) b) c)

Solucin a) Recorremos el punto decimal cuatro lugares a la derecha.

b) Recorremos el punto decimal tres lugares hacia la izquierda.

c) Recorremos el punto decimal ocho lugares hacia la derecha.

2 Reconocer nmeros en notacin cientfica con coeficiente 1

Frecuentemente escuchamos trminos como kilogramos, miligramos y gigabytes. Porejemplo, un frasco de tabletas de aspirinas tal vez indica que cada pastilla contie-ne 325 miligramos de aspirina. El disco duro de su computadora tiene, quiz, 40 gi-gabytes de memoria. Los prefijos kilo, mili y giga, son algunos de los que empleamosen el sistema mtrico. ste se utiliza como el sistema principal de medicin en todaslas naciones occidentales, excepto en los Estados Unidos. Siempre los empleamoscon algn tipo de unidad base. stas pueden ser, por ejemplo, el metro, m (unidadde longitud); gramo, g (unidad de masa); litro, (unidad de volumen); bits, b (uni-dad de memoria de una computadora); o hertzios, Hz (medida de frecuencia). Porejemplo, un milmetro es metros. Un megagramo es 1,000,000 gramos, y as su-cesivamente. La siguiente tabla ilustra el significado de algunos prefijos.*

11000

/

795,000,0007.95 * 108 =

0.006286.28 * 10-3 =

29,0002.9 * 104 = 2.9 * 10,000 =

7.95 * 1086.28 * 10-32.9 * 104


*Existen otros prefijos que no se mencionan en la tabla. Por ejemplo, centi es o 0.01 por la unidadbase.

10-2


En ocasiones veremos nmeros escritos como potencias de 10, pero sin un coefi-ciente numrico, como en la tabla anterior. Si no se indica el coeficiente numri-co, ste siempre es igual a 1.As, por ejemplo, 103 1.0 103, y 109 1.0 109.Un disco duro de computadora que contenga 40 gigabytes (40 Gb) contiene 40(1.0 109) 40 109 40,000,000,000 bytes. Cincuenta micras (50 mm) es 50(1.0 106) 50 106 0.00005 metros. Trescientos veinticinco miligramos (325 mg)es 325 (1 103) 325 103 0.325 gramos. Observe que en la tabla cada pre-fijo representa un valor 103 o 1000 veces mayor que el prefijo anterior a l. Porejemplo, una micra es 103 o 1000 veces mayor que un nanmetro. Un gigmetro es1000 veces mayor que un megmetro, y as sucesivamente.

En la figura 4.1 observamos que las frecuencias de radio FM y VHFTV sonde alrededor de 108 hertzios (o ciclos por segundo).As, la frecuencia de radio FMes 108 1.0 108 100,000,000 hertzios. Este nmero, cien millones de hertzios,tambin lo expresamos como 100 106, o 100 megahertzios, 100 MHz.

Prefijo Significado Smbolo Significado como nmero decimal

nano n

micro

mili m

unidad base* 1

kilo k 1000

mega M 1,000,000

giga G 1,000,000,000109106103100

11000

o 0.00110-3

11,000,000

o 0.00000110-6

11,000,000,000

o 0.00000000110-9

1014 1016 1018 1020 102210121010

4.3 1014 Hz 7.5 1014 Hz

10810410210

Luz visible

Energa elctrica

Frecuencia extrabaja

(ELF) Rayos X

Lmparas solaresLmparas

de calorRadio AM Radio FM, VHFTV

TV UHF, telfonos celulares (840-880 MHz)

Hornos de microondas, radar, estaciones de satlite

Frecuencia (Hertz)

BandaRadio

Microondas

InfrarrojoUltravioleta

Uso

Rayos gamma

1 Megahertzios106

FIGURA 4.1

Ahora que ya sabemos interpretar potencias de 10 sin coeficientes numri-cos, resolveremos algunos problemas empleando la notacin cientfica.

* La unidad base no es un prefijo. Se incluye este rengln para introducir 100 en la tabla.


EJEMPLO 3 Escriba cada cantidad sin el prefijo mtrico.a) 52 kilogramos b) 183 nanosegundos

Solucin a) 52 kilogramos (52 kg) 52 103 gramos 52,000 gramosb) 183 nanosegundos (183 ns) 183 109 segundos 0.000000183 segundos

SUGERENCIA Pensemos en la frecuencia con que cotidianamente nos enfrentamos a cantidades gran-des y pequeas que podran expresarse por medio de notacin cientfica. Esto nos darms de una idea para la notacin cientfica.

3 Hacer clculos con notacin cientfica

Al trabajar con nmeros escritos en notacin cientfica utilizamos las reglas de losexponentes que presentamos en las secciones 4.1 y 4.2.

EJEMPLO 4 Multiplicar (4.2 106)(2 104). Escriba la respuesta en forma decimal.

Solucin De acuerdo con las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicacin,reacomodamos la expresin como sigue.

Por la regla del producto.

Notacin cientfica.

Forma decimal.

EJEMPLO 5 Divida Escriba la respuesta en notacin cientfica.

Solucin

Por la regla del cociente.

Notacin cientfica. La respuesta al ejemplo 5 en forma decimal sera 0.00064.

= 6.4 * 10-4 = 0.64 * 10-3 = 0.64 * 10-6 + 3 = 0.64 * 10-6 - 1-32

3.2 * 10-6

5 * 10-3= a3.2

5b 10-6

10-3

3.2 * 10-6

5 * 10-3.

= 840 = 8.4 * 102 = 8.4 * 106 + 1-42

14.2 * 106212 * 10-42 = 14.2 * 221106 * 10-42

Qu es lo que muestra la calculadora cuando se multiplican nmeros muy grandes o muy pequeos?La respuesta depende de si la mquina tiene capacidad para mostrar una respuesta en notacin cientfica. Enaquellas sin esta caracterstica, es probable que aparezca un mensaje de error debido a que la respuesta se-ra demasiado grande o demasiado pequea para la pantalla. Por ejemplo, en una calculadora sin notacincientfica, veramos lo siguiente:

8000000 600000 Error=*

Uso de la calculadora

CONSEJO PARA ESTUDIAR




(Contina en la pgina siguiente)


EJEMPLO 6 Comparacin de barcos grandes El desplazamiento bruto del crucero DisneyMagic es alrededor de 8.5 104 ton. El del Destiny de la lnea Carnival, es cercade 1.02 105 ton.a) Cunto ms grande es el desplazamiento bruto del Destiny que el del DisneyMagic?b) Cuntas veces ms grande es el desplazamiento bruto del Destiny que el delDisney Magic?

En calculadoras cientficas y graficadoras veramos la respuesta del ejemplo anterior de las posiblesmaneras siguientes.

Resultados posibles

8000000 600000

8000000 600000

8000000 600000

Cada respuesta significa 4.8 1012. Veremos un ejemplo ms.Resultados posibles

0.0000003 0.004

0.0000003 0.004

0.0000003 0.004

Cada respuesta significa 1.2 109. En ciertas calculadoras hay que oprimir la tecla en lugar de

la . La calculadora graficadora TI-83 Plus muestra las respuestas con el uso de E; por ejemplo, 4.8E12.=

ENTER

1.2E9=*

1.2 9=*

1.2 9=*

4.8E12=*

4.8 12=*

4.8 12=*

Solucin a) Entender Necesitamos restar 8.5 104 de 1.02 105. Para sumar o restar n-meros en notacin cientfica, por lo general hacemos que los exponentes sean losmismos.

Traducir Escribimos 1.02 105 como 10.2 104. Ahora se resta como sigue.

Calcular

Observe que en la resta, no restamos los 104. Esta sustraccin tambin la podemosefectuar as: 1.7 * 104=110.2 * 1042 - 18.5 * 1042 = 110.2 - 8.52 * 104

10.2 * 104

- 8.5 * 104

1.7 * 104


Comprobar Comprobamos escribiendo los nmeros en forma decimal.

Respuesta Como obtenemos los mismos resultados, la diferencia es 1.7 104 (obien, 17,000) ton.

b) Entender El inciso b) parece similar al a), pero planteamos una pregunta di-ferente porque pedimos hallar el nmero de veces mayor que es, en lugar que cun-to ms grande es. Para esto realizamos una divisin.

Traducir Dividir el desplazamiento bruto del Destiny entre el del Disney Magic.

Calcular

Regla del cociente para losexponentes.

Comprobar Revisa con la escritura de los nmeros en forma decimal.

Respuesta Como obtenemos el mismo resultado, el desplazamiento del Destinyes 1.2 veces mayor que el del Disney Magic.

EJEMPLO 7 Computadora ms rpida En enero de 2002, la computadora ms rpida del mun-do, llamada ASCI White, ubicada en el Lawrence Livermore National Laboratory,en California, era capaz de realizar un solo clculo simple en 0.000000000000083 se-gundos (83 mil billonsimas de segundo). Cunto tiempo tomara a esta compu-tadora hacer 7 mil millones (7,000,000,000) de clculos?

Solucin Entender la computadora hace un clculo en 1(0.000000000000083) segundos. 2clculos en 2(0.000000000000083) segundos, 3 clculos en 3(0.000000000000083) se-gundos, y 7 mil millones de operaciones en 7,000,000,000(0.000000000000083)segundos.

102,00085,000

= 1.2

= 1.2 = 0.12 * 101 = 0.12 * 105 - 4

1.02 * 105

8.5 * 104=

1.028.5

*105

104

102,000- 85,000

17,000 o bien 1.7 * 104

La ASCI White cubre un readel tamao de dos canchas debasquetbol


3. a) Con sus propias palabras, describa cmo escribimos unnmero menor que 1 en notacin cientfica.

b) Por medio del procedimiento descrito en el inciso a),escriba 0.00568 en notacin cientfica.

4. Cuntos lugares y en qu direccin hay que mover el pun-to decimal cuando convertimos un nmero de notacin

1. Describa la forma de un nmero dado en notacin cien-tfica.

2. a) Describa con sus propias palabras cmo escribimos unnmero igual o mayor que 10, en notacin cientfica.

b) Con el uso del procedimiento descrito en el inciso a),escriba 42,100 en notacin cientfica.



Ejercicios conceptuales 1. a number greater than or equal to 1 and less than 10 multiplied by some power of 10


Matemticas en accin

El aire que respiramosLa Agencia de Proteccin Ambiental (EPA, por sussiglas en ingls) ha identificado la calidad del aire delos interiores como la preocupacin sanitaria nmerouno del presente. Lo que provoca que la calidad delaire de los interiores sea baja, es, con mucho, la ma-la calidad del aire del exterior, en particular en lasreas urbanas. Contaminantes como polvo, polen yde origen automotriz, con frecuencia encuentran uncamino hacia el interior de los edificios. Con ms yms productos qumicos en uso, la gente sufre cadavez ms de hipersensibilidad qumica a los formal-dehdos, pesticidas, ozono, solventes para limpieza,fibra de vidrio, asbestos, plomo y radn. Las alergiasa los plsticos hoy estn ms difundidas que nunca.Ningn edificio o sitio de trabajo est a salvo.

Para los sitios de trabajo relacionados con far-macuticos y biotecnologa, el asunto del aire libre decontaminantes es an ms crucial. Un tipo de filtroque utilizamos en esta clase de instalaciones es elHEPA (High Efficiency Particulate Air), que fue de-sarrollado originalmente para retirar contaminantesradiactivos del aire durante el desarrollo de la pri-mera bomba atmica.

La ciencia de la filtracin involucra la capturade objetos que van desde el polvo de carbn a los vi-rus. Es comn expresar el tamao de las partculasque filtramos en micras, donde 1 micra (abreviaturade 1 micrmetro) 1 millnesima de metro 106

metros 0.000001 metros. La medicin indica el di-metro de la partcula.

A continuacin presentamos una lista de los ti-pos de partculas para los que hemos desarrolladosistemas de filtracin; los rangos de su dimetro sedan en micras y en metros.

Micras Metros

Polen 10100

Humo de cigarro 0.011

Talco, mineral 0.480

Polvo daino para 0.86los pulmones

Bacteria 0.550

Virus 0.0020.08 2 * 10-98 * 10-85 * 10-75 * 10-5

8 * 10-76 * 10-64 * 10-78 * 10-5

10-810-610-510-4

Traducir Multiplicaremos con la conversin de cada nmero en notacin cientfica.

Calcular

Respuesta A la ASCI White le tomara 0.000581 segundos para realizar 7 mil mi-llones de clculos.

= 0.000581 = 58.1 * 10-5 = 17 * 8.321109 * 10-142

7,000,000,00010.0000000000000832 = 17 * 109218.3 * 10-142

13. 350,000 14. 3,610,000 15. 450 16. 0.0006217. 0.053 18. 0.000726 19. 19,000 20. 5,260,000,00021. 0.00000186 22. 0.0075 23. 0.00000914 24. 74,10025. 220,300 26. 0.02 27. 0.005104 28. 416,000 4.16 * 1055.104 * 10-32.0 * 10-22.203 * 105

7.41 * 1049.14 * 10-67.5 * 10-31.86 * 10-65.26 * 1091.9 * 1047.26 * 10-45.3 * 10-2

6.2 * 10-44.5 * 1023.61 * 1063.5 * 105

29. 43,000 30. 0.000163 31. 0.00543 32. 615,00033. 0.0000213 34. 0.00000726 35. 625,000 36. 4637. 9,000,000 38. 64.75 39. 535 40. 0.031441. 0.0006201 42. 0.000000773 43. 10,000 44. 0.0007137.13 * 10-41 * 1047.73 * 10-76.201 * 10-4

3.14 * 10-25.35 * 1026.475 * 1019 * 1064.6 * 1016.25 * 1057.26 * 10-62.13 * 10-56.15 * 1055.43 * 10-31.63 * 10-44.3 * 104

cientfica a forma decimal, si el exponente sobre la base10 es igual a 4?

5. Cuntos lugares y en qu direccin hay que recorrer elpunto decimal cuando convertimos un nmero de nota-cin cientfica a forma decimal, si el exponente sobre labase es 5?

6. Al cambiar un nmero a notacin cientfica, en qu con-diciones ser positivo el exponente sobre la base 10?

7. Al cambiar un nmero a notacin cientfica, en qu con-diciones ser negativo el exponente sobre la base 10?

8. Al escribir el nmero 92,129 en notacin cientfica, el ex-ponente sobre la base 10 ser positivo o negativo? Explique.

9. Al escribir el nmero 0.00734 en notacin cientfica, el ex-ponente sobre la base 10 ser positivo o negativo? Explique

10. Escriba el nmero 1,000,000 en notacin cientfica.

11. Escriba el nmero 0.000001 en notacin cientfica.

12. a) 82.39 104, est escrito en notacin cientfica? Si nolo estuviera, cmo debera escribirse?

b) 0.083 105, est escrito en notacin cientfica? Si nolo est, cmo debera escribirse?



Exprese cada nmero en notacin cientfica.

Exprese cada nmero en forma decimal (sin exponentes).

En los ejercicios 45 a 52, escriba la cantidad sin prefijos mtricos. Consulte el ejemplo 3.

45. 8 micras 0.000008 meter 46. 23.5 milmetros 0.0235 meter 47. 125 gigawatts48. 8.7 nanosegundos 0.0000000087 second 49. 15.3 kilmetros00 meters 50. 80.2 megahertzios51. 15 microgramos0.000015 gram 52. 3.12 miligramos

Ejecute cada operacin y exprese cada nmero en forma decimal (sin exponentes).

53. 60,000,000 54. 0.6 55. 0.24356. 0.000064 57. 0.02262 58. 48

59. 4200 60. 0.0002 61. 2500

62. 0.035 63. 0.0005 64.16 * 103

8 * 10-34 * 102

8 * 10514 * 106

4 * 108

7.5 * 106

3 * 1036 * 10-3

3 * 1018.4 * 106

2 * 103

14 * 105211.2 * 10-4211.3 * 10-8211.74 * 106211.6 * 10-2214 * 10-3212.7 * 10-6219 * 104212 * 10-3213 * 102212 * 102213 * 1052

Realice cada una de las operaciones que se indican; primero convierta cada nmero a notacin cientfica. Escriba la respuestaen notacin cientfica.

65. 66. 67.

68. 69. 70.

71. 72.150,0000.0005

0.000350.000002

0.00004200

2,100,0007000

167,00021200,000210.000421320210.003210.0001521700,000216,000,0002

73. Enliste los siguientes nmeros del menor al mayor:4.8 * 105, 3.2 * 10-1, 4.6, 8.3 * 10-4.

74. Enliste los siguientes nmeros, del menor al mayor:7.3 * 102, 3.3 * 10-4, 1.75 * 106, 5.3.

a) Qu tanto ms grande fueron las ventas brutas de bo-letos para ver Titanic que para Parque Jursico? Res-ponda en notacin cientfica.

b) Cuntas veces mayor fueron las ventas brutas de bo-letos de Titanic que las de Parque Jursico?

77. Cataratas del Nigara Un tratado entre los Estados Uni-dos y Canad requiere que durante la temporada tursti-ca, por las cataratas del Nigara fluya un mnimo de100,000 pies cbicos de agua por segundo (otros 130,000a 160,000 pies cbicosseg son desviados para generarenerga). Encuentre el volumen mnimo de agua que fluirpor ellas en un periodo de 24 horas durante la tempora-da turstica.

78. Big Mac El martes 20 de noviembre de 2001, muchos pe-ridicos publicaron un artculo sobre Don Gorske respec-to de su aparicin en el libro Guinness World Records.Cada da de los ltimos 29 aos, Gorske haba comido deuna a tres Big Mac. Hasta ese momento, haba comido 1.8 104 de esas hamburguesas. Las caloras en total que con-sumi por todas las Big Mac, eran alrededor de 1.06 107.



En los ejercicios 75 a 92, escriba la respuesta en forma decimal (sin exponentes) a menos que se pida otra cosa.

Con la informacin dada, calcule el nmero de calorasque hay en una Big Mac.

79. Velocidad de una computadora Si una computadora ha-ce un clculo en 0.000002 segundos, cunto tiempo, en se-gundos, tomar para realizar 8 billones (8,000,000,000,000)de clculos? Escriba la respuesta en notacin cientfica.

80. Galletas de la fortuna Quin escribe los papeles quevienen en esas galletas? Las galletas de la fortuna son uninvento estadounidense.Steven Yang,quien opera la M & YTrading Company, en San Francisco, imprime alrededordel 90% de los 1.02 109 papeles de la fortuna en las ga-lletas de Estados Unidos en un ao.

a) Cuntos papeles imprime Yang en un ao?

b) Cuntos papeles imprime Yang en un da?

81. Paales Si se hiciera una fila de los 18 mil millones de pa-ales desechables que se tiran en Estados Unidos cadaao, alcanzara la Luna y regresara 7 veces (siete viajesredondos).

a) Escriba 18 mil millones en notacin cientfica.

b) Si la distancia de la Tierra a la Luna es de 2.38 105 mi-llas, cul es la longitud de todos los paales que se co-locaron en fila? Escriba su respuesta en notacincientfica y como un nmero sin exponentes.

82. Encarcelamiento Los gastos por los encarcelamientos enlos Estados Unidos han aumentado de $6.9 106 en 1980,a cerca de $4.5 107 en 2002.

a) Qu tanto ms grande fue la cantidad gastada en 2002que la de 1980?

b) Cuntas veces mayor fue la cantidad gastada en 2002que la de 1980?(Fuente: Fortune Magazine)

83. Umpires versus rbitros El salario de arranque en 2001para un umpire de las ligas mayores fue de $1.05 X 108,mientras que el de un rbitro de la NFL fue de $2.23 X 104.

a) Qu tanto ms grande fue el salario de arranque pa-ra un umpire que el de un rbitro?

b) Cuntas veces mayor fue el salario de arranque paraun umpire que el de un rbitro?(Fuente: Money Magazine)

84. Astronoma A continuacin se enlista la masa de la Tie-rra, la de la Luna y la de Jpiter.

Tierra: 5,794,000,000,000,000,000,000,000toneladas mtricas

Luna: 73,400,000,000,000,000,000toneladas mtricas

Jpiter: 1,899,000,000,000,000,000,000,000,000toneladas mtricas

75. Poblacin En 2002, la poblacin de E.U. era de alrede-dor de 2.81 108 personas, y la del mundo era de 6.20 109 personas.a) Cuntas personas vivan fuera de los Estados Unidos

en 2002?b) Cuntas veces es mayor la poblacin mundial que la

de E.U.?76. Pelculas A continuacin presentamos una lista de las

ventas brutas de boletos de las cinco pelculas ms vistasen los Estados Unidos al 1 de enero de 2002.

Ao de Ventas brutas de boletosPelcula estreno aproximadas en E.U.

1. Titanic 1997 $601,000,0002. La Guerra de las

Galaxias 1977 $461,000,0003. La Guerra de las

Galaxias-La AmenazaFantasma 2001 $431,000,000

4. E.T. 1982 $400,000,0005. Parque Jursico 1993 $357,000,000


a) Escriba la masa de la Tierra, de la Luna y de Jpiter ennotacin cientfica.

b) Cuntas veces mayor es la masa de la Tierra que la dela Luna?

c) Cuntas veces mayor es la masa de Jpiter que la dela Tierra?

85. Luz del Sol El Sol est a 9.3 107 millas de la Tierra. Laluz viaja a una velocidad de 1.86 105 millas por segun-do. Cunto tiempo, tanto en minutos como en segundos,tardar la luz del Sol en llegar a la Tierra?

86. Inventario perdido La grfica circular que se muestra acontinuacin, ilustra lo que pas con el inventario perdi-do en el 2000. En este ao, la prdida total anual fue de$29,000,000,000 ($29 mil millones). Cunto inventario seperdi por robo? Escriba su respuesta en notacin cien-tfica.

87. Crecimiento de la poblacin Tom la historia humanapara que la poblacin del mundo alcanzara los 6.16 109

de personas en 2002.A las tasas actuales, la poblacin mun-dial se duplicar en cerca de 54 aos. Calcule la poblacindel mundo en 2056. Escriba su respuesta en notacin cien-tfica.

88. Fuentes de petrleo La siguiente grfica de lneas (poli-gonal) muestra la cantidad de petrleo que se produce enEstados Unidos (nacional) y la que se importa en este pas.

Bar

rile

s di

ario

s (m

illon

es)

2.5

0

5.0

7.5

10.0

1975 1980 1985 1990 1995Ao

Flujo de petrleo en E.U.

2000

Fuentes: Energy Information Administration; USGS, State of Alaska

Importado

Nacional 9.2

6.1

A dnde va el inventario perdido?

Fuente: 2000 National Retail Security Survey

Nota: no suma100% debidoal redondeo.

Robo de empleados, 44.5%

Robos,32.7%

Error administrativo,

17.5%Fraude de

vendedores, 5.1%

a) Escriba, con notacin cientfica, el nmero de barrilesde petrleo producidos en Estados Unidos en 2001, yel nmero de barriles importados en este pas en el mis-mo ao.

b) Determine, con notacin cientfica, la cantidad total depetrleo producido e importado por da en EstadosUnidos, en 2001.

c) Determine, con notacin cientfica, la diferencia entreel nmero de barriles de petrleo crudo producido eimportado por da en Estados Unidos, en 2001.

89. Cmaras digitales La siguiente grfica muestra la pro-duccin mundial de cmaras digitales.

a) Proporcione, en notacin cientfica, la produccin mun-dial de cmaras digitales en 2002.

b) Olympus tuvo la mayor participacin en las ventas decmaras digitales en 2000. Si en el ao 2000 esta com-paa produjo el 22% de las cmaras digitales del mun-do, cuntas cmaras produjo? Escriba su respuesta sinexponentes.

90. Nanotecnologa La siguiente grfica muestra la cantidadgastada en nanotecnologa, de 1997 a 2002.

Dlares corrientes de inversin para nanotecnologa

400

200

0

600

800

1,000

1997Pre

supu

esto

s de

inve

stig

aci

n (m

illon

es d

e d

lare

s)

Fuente: U.S. Senate briefing on nanotechnology, 24 de mayo de 2001, y National Science Foundation

Ao fiscal gubernamental1998 1999 2000 2001 2002*

Gasto del gobierno de E.U.

Gasto documentado por gobiernos distintos del de E.U.

*Gasto propuesto

Las ventas de cmaras digitales se elevan

Uni

dade

s de

pro

ducc

in

mun

dial

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002Ao

Fuente: Japan Camera Industrial Association Olympus Estimate

27,000(est.)

16,300(est.)

10,342

5,0103,171

2,230873200

Resto del mundoEuropaE.U.Japn

93. La pelcula Contacto En la pelcula Contacto, Jodie Fos-ter interpreta a una astrnoma que hace la siguiente afir-macin: hay 400 mil millones de estrellas en el universo.Si slo una de cada milln de stas tuviera planetas, y sislo uno de cada milln de stos tuviera vida, y si slo enuno por cada milln de stos hubiera vida inteligente, ha-bra, literalmente,millones de civilizaciones extraterrestres.Cree usted que esta afirmacin es correcta? Explique surespuesta.


a) Escriba, con notacin cientfica, estimaciones del n-mero de dlares gastados por el gobierno de E.U. ennanotecnologa, en 1997 y 2002. (Por ejemplo, escribaun nmero como $1.3 108.)

b) Estime la diferencia, en dlares, gastados por el gobier-no de E.U. en nanotecnologa en 2002 y 1997.

c) Estime con notacin cientfica la cantidad total gasta-da en nanotecnologa en 2001, incluidos tanto el go-bierno de E.U. como otros gobiernos.

d) Escriba sin exponentes la cantidad en dlares que de-terminada en el inciso c).

91. Un nmero grande El nmero de Avogadro, llamado asen honor del qumico italiano del siglo XIX,Amadeo Avo-

gadro, es aproximadamente 6.02 1023, que representa elnmero de tomos que hay en 12 gramos de carbn puro.

a) Si este nmero se escribiera en forma decimal, cun-tos dgitos contendra?

b) Cul es el nmero de tomos que hay en 1 gramo decarbn puro? Escriba la respuesta en notacin cien-tfica.

92. Estructura de la materia En un artculo de Scientific Ame-rican mencionan que los fsicos han creado un modelo es-tndar que describe la estructura de la materia a 1018

metros. Si este nmero se escribiera sin exponentes, cun-tos ceros habra a la derecha del punto decimal?

Problemas de reto

94. Cuntas veces, ms grande o ms pequeo, es 1012 me-tros que 1018 metros?

95. Cuntas veces ms pequeo es 1 nanosegundo que unmilisegundo?

96. Ao luz La luz viaja a una velocidad de 1.86 105 millaspor segundo. Un ao luz es la distancia que la luz recorreen un ao. Determine el nmero de millas que hay en unao luz.

Actividad en grupo

Como grupo, estudien y resuelvan el ejercicio 97.

97. Un milln versus mil millones Tiene idea de la diferen-cia que hay entre un milln (1,000,000), mil millones(1,000,000,000) y un billn (1,000,000,000,000)?a) Escriba un milln, mil millones y un billn, en notacin

cientfica.b) Miembro 1 del grupo: determine cunto tiempo tomara

agotar un milln de dlares si se gastara $1,000 diarios.

c) Miembro 2 del grupo: repita el inciso b) para mil millo-nes de dlares.

d) Miembro 3 del grupo: repita el inciso b) para un billnde dlares.

e) Como grupo, determinen cuntas veces es mayor milmillones de dlares que un milln de dlares.


[1.9] 98. Evale cuando x 0.

[2.3] 99. a) Si cul es el valor de x?

b) Si cul es el valor de x?5x = 0,-x = - 32 ,

4x2 + 3x +x

2[2.5] 100. Resuelva la ecuacin 2

[4.1] 101. Simplifique la expresin -2x5 y78x8 y3

3.2x - 31x - 22 = x + 2.


4.4 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

1 Identificar polinomios.

2 Sumar polinomios.

3 Restar polinomios.

4 Restar polinomios en columnas.

1 Identificar polinomios

Un polinomio en x es una expresin que contiene la suma de un nmero finito detrminos de la forma axn, para cualquier nmero real a y cualquier nmero ente-ro positivo n.

Ejemplos depolinomios No son polinomios

2x (Exponente fraccionario.)

(Exponente negativo.)

Escribimos un polinomio en orden descendente (o en potencias descendentes) dela variable, con los exponentes de sta en disminucin de izquierda a derecha.

Ejemplo de polinomio en orden descendente

Observe en este ejemplo que el trmino constante, 3, est al final porque podemosescribirlo como 3x0. Recuerde que x0 1.

Un polinomio puede tener ms de una variable. Por ejemplo, es unpolinomio con dos variables, x y y.

Un polinomio con un trmino se denomina monomio; con dos trminos, bi-nomio; y con tres trminos, trinomio. Los polinomios que contienen ms de tres tr-minos no tienen nombres especiales. El prefijo poli significa muchos. Lasiguiente tabla resume esta informacin.

Tipo de polinomio Nmero de trminos Ejemplos

Monomio Uno

Binomio Dos

Trinomio Tres

El grado de un trmino de un polinomio con una variable es el exponente quetiene la variable en dicho trmino.

Trmino Grado del trmino

Segundo

Quinto

Primero (5x puede escribirse como 5x1.)

3 Cero (es posible escribir 3 como 3x0.)

-5x2y54x2

x2 - 2x + 3, 3z2 - 6z + 7x + 5, x2 - 6, 4y2 - 5y8, 4x, -6x2

3xy + 2

2x4 + 4x2 - 6x + 3

a 1x

= x-1, exponente negativo.b4 + 1x

x2 - 2x + 1

3x2 + 4x-1 + 513

x - 4

4x1>2

Seccin 4.4 Suma y resta de polinomios 273

Para un polinomio con dos o ms variables, el grado de un trmino es la su-ma de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el grado del trmino 4x2y3 es5 porque 2 3 5. El grado del trmino es 8 porque 4 1 3 8.

El grado de un polinomio es el mismo que el de su trmino de grado mayor.

GradoPolinomio del polinomio

Tercero (8x3 es el trmino de mayor grado.)Segundo (x2 es el trmino de mayor grado.)Primero (2x o 2x1 es el trmino de mayor grado.)

4 Cero (4 o 4x0 es el trmino de mayor grado.)Sexto (x2y4 es el trmino de mayor grado.)

2 Sumar polinomios

En la seccin 2.1 dijimos que los trminos semejantes son los que tienen las mis-mas variables y los mismos exponentes. Es decir, los trminos semejantes slo di-fieren en sus coeficientes numricos.

Ejemplos de trminos semejantes3,2x, x

Suma de polinomios

Para sumar polinomios, reducimos los trminos semejantes de los polinomios.


Solucin Recuerde que y que Utilizamos la propiedad distributiva para eliminar los parntesis, co-mo observamos a continuacin.

Utilizar la propiedad distributiva.

Reacomodar los trminos.

Reducir trminos semejantes.

En los siguientes ejemplos no mostraremos la multiplicacin por 1, como sse hizo en el ejemplo 1.


SolucinEliminar parntesis.

Reacomodar trminos.

Reducir trminos semejantes. = 6a2 - 4a + b + 3

= 5a2 + a2(')'*

+ 3a - 7a(')'*

+ b + 3 = 5a2 + 3a + b + a2 - 7a + 3 15a2 + 3a + b2 + 1a2 - 7a + 3215a2 + 3a + b2 + 1a2 - 7a + 32.

= 6x2 + 11x + 2

= 4x2 + 2x2(')'*

+ 6x + 5x(')'*

+ 3 - 1()*

= 4x2 + 6x + 3 + 2x2 + 5x - 1 = 114x2 + 6x + 32 + 112x2 + 5x - 12 14x2 + 6x + 32 + 12x2 + 5x - 12

5x - 12. 12x2 + 5x - 12 = 112x214x2 + 6x + 32 = 114x2 + 6x + 32

14x2 + 6x + 32 + 12x2 + 5x - 12.

5xy23xy2,5y23y2,4x2-2x2,

-5

x2 y4 + 2x + 3

2x - 1x2 - 48x3 + 2x2 - 3x + 4

5a4 bc3






Reacomodar trminos.


Por lo general, cuando sumemos polinomios haremos como en los ejemplos1 a 3. Es decir, en primer lugar arreglamos el polinomio en forma horizontal. Sinembargo, en la seccin 4.6, en la divisin de polinomios, habr pasos en los que lossumemos en columnas.

Para sumar polinomios en columnas

1. Arreglar los polinomios en orden descendente, uno bajo el otro con los trminossemejantes en las mismas columnas.

2. Sumar los trminos de cada columna.

EJEMPLO 4 Sumar y con el uso de columnas.

Solucin

EJEMPLO 5 Sumar y por medio de columnas.

Solucin Como el polinomio no tiene un trmino w2, sumaremos el trmi-no 0w2 al polinomio. Este procedimiento ayuda en la alineacin de los trminossemejantes.

3 Restar polinomios

Ahora aprender a restar polinomios.

Para restar polinomios

1. Usamos la propiedad distributiva para eliminar parntesis. (Esto tendr el efecto decambiar el signo de cada trmino dentro de los parntesis del polinomio que se resta.)

2. Reducir trminos semejantes.


Solucin significa y significaUtilizamos esta informacin en la solucin, como mostramos a continuacin.

Eliminar parntesis.

Reacomodar trminos.

Reducir trminos semejantes. = 2x2 + x + 1

= 3x2 - x2(')'*

- 2x + 3x(')'*

+ 5 - 4(')'*

= 3x2 - 2x + 5 - x2 + 3x - 4

13x2 - 2x + 52 - 1x2 - 3x + 42 = 113x2 - 2x + 52 - 11x2 - 3x + 4211x2 - 3x + 42.1x2 - 3x + 42113x2 - 2x + 5213x2 - 2x + 52

13x2 - 2x + 52 - 1x2 - 3x + 42.

5w3 + 0w2 + 2w - 42w2 - 6w - 3

5w3 + 2w2 - 4w - 7

5w3 + 2w - 4

12w2 - 6w - 3215w3 + 2w - 42

6x2 - 2x + 2-2x2 - x + 7

4x2 - 3x + 9

-2x2 - x + 76x2 - 2x + 2

= 4x2 y - 2xy + 4y

= 3x2 y + x2 y('')''*

- 4xy + 2xy('')''*

+ y + 3y(')'*

= 3x2 y - 4xy + y + x2 y + 2xy + 3y 13x2 y - 4xy + y2 + 1x2 y + 2xy + 3y2

13x2 y - 4xy + y2 + 1x2 y + 2xy + 3y2.




En la seccin 2.1 vimos que cuando un signo negativo precede al parntesis, al eli-minar ste cambia el signo de cada trmino de adentro. Mostramos esto en el ejem-plo 6. En el ejemplo 7 no mostraremos la multiplicacin por 1, como s se hizoen el 6.

EJEMPLO 7 Restar de


Reacomodar trminos.


Uno de los errores ms comunes ocurre al restar polinomios.Al restar un polinomio deotro, debe cambiar el signo de cada trmino del polinomio sustrado, y no slo el delprimer trmino.

CORRECTO INCORRECTO

No cometa este error!

4 Restar polinomios en columnas

Podemos restar, o sumar, polinomios en columnas.

Para restar polinomios en columnas

1. Escriba el polinomio que va a restar debajo del polinomio del que se restar. Es-criba los trminos semejantes en la misma columna.

2. Cambie el signo de cada trmino en el polinomio que va a restar. (Si lo desea, pue-de realizar este paso mentalmente.)

3. Sumar los trminos en cada columna.

EJEMPLO 8 Restar de utilizando columnas.

Solucin Alineamos los trminos semejantes en columnas (paso 1).

Alinear trminos semejantes.

Cambiar todos los signos del segundo rengln (paso 2); despus, sumamos (paso 3).

Cambiar todos los signos.Sumar.

4x2 + 5x + 7 - x2 + 4x - 63x2 + 9x + 1

4x2 + 5x + 7-1x2 - 4x + 62

14x2 + 5x + 721x2 - 4x + 62

= 4x2 - 7x + 7= 4x2 - x - 1= 6x2 - 4x + 3 - 2x2 - 3x + 4= 6x2 - 4x + 3 - 2x2 + 3x - 4

6x2 - 4x + 3 - 12x2 - 3x + 426x2 - 4x + 3 - 12x2 - 3x + 42


= x3 + 3x2 + 7x + 3

= x3 + 3x2 + 2x + 5x(')'*

+ 6 - 3(')'*

= x3 + 2x + 6 + 3x2 + 5x - 3 1x3 + 2x + 62 - 1-3x2 - 5x + 32

1x3 + 2x + 62.1-3x2 - 5x + 32


1. Qu es un polinomio?

2. a) Qu es un monomio? Escriba tres ejemplos.

b) Qu es un binomio? Escriba tres ejemplos.

c) Qu es un trinomio? Escriba tres ejemplos.

3. a) Explique cmo se encuentra el grado de un trminocon una variable.

b) Explique cmo se halla el grado de un polinomio conuna variable.

4. Escriba su propio polinomio de quinto grado con tres tr-minos. Explique por qu es un polinomio de quinto gradocon tres trminos.

5. Explique cmo encontramos el grado de un trmino enun polinomio con ms de una variable.

6. Cules de los siguientes son trminos de cuarto grado?Explique su respuesta.

a) b) c) -2mn36r2 s23xy2

7. Explique por qu 6.

8. Explique cmo se escribe un polinomio con una variableen orden descendente.

9. Por qu al escribir un polinomio en orden descendente,el trmino constante siempre se escribe al final?

10. Explique cmo sumamos polinomios.

11. a) Con sus propias palabras, describa la forma de sumarpolinomios en columnas.

b) Cmo reescribira a fin de sumarlo a, usando columnas? Explique.

12. es un polinomio? Explique.

13. es un polinomio? Explique.

14. es un polinomio? Explique.5x +2x

6m3 - 5m1>24x-3 + 9

3x3 + x2 - 4x + 84x3 + 5x - 7

13x + 22 - 14x - 62 Z 3x + 2 - 4x


EJEMPLO 9 Restar de usando columnas.

Solucin Para ayudar a alinear los trminos semejantes, escribimos cada expresin en or-den descendente. Si alguna potencia de x no aparece, escribimos dicho trminocon un coeficiente numrico de 0.

Alineamos los trminos semejantes.

Cambiamos todos los signos del segundo rengln; despus, sumamos los trminosen cada columna.

Nota: Veremos que podemos cambiar los signos en forma mental, y por ellohacer la alineacin y cambio de signos en un solo paso.

-3x3 + 0x2 + 4x - 3 - 2x2 - 0x + 6

-3x3 - 2x2 + 4x + 3

-3x3 + 0x2 + 4x - 3-12x2 + 0x - 62

2x2 - 6 = 2x2 + 0x - 6

-3x3 + 4x - 3 = -3x3 + 0x2 + 4x - 3

1-3x3 + 4x - 3212x2 - 62






Indique el grado de cada trmino.

15. fifth 16. ninth 17. fourth 18. eight

19. seventh 20. sixth 21. third 22. seventh

23. tenth 24. thirteenth 25. twelfth 26. ninth-8x3 y5 z-12p4 q7 r6m5 n83r2 s8a4 b3x2 y-13r6-12n7-3b85a4z9x5

Indique cules expresiones son polinomios. Si el polinomio tiene un nombre especfico monomio, binomio o trinomio,diga cul es.

27. binomial 28. trinomial 29. 13 monomial

30. not polynomial 31. binomial 32. binomial

33. monomial 34. not polynomial 35. not polynomial

36. trinomial 37. polynomial 38. monomial

39. trinomial 40. not polynomial 41. polynomial

42. not polynomial23

x2 -1x

0.6r4 -12

r3 - 0.4r2 -13

2x-24 - 2b2 - 5b

10x26n3 - 5n2 + 4n - 3x3 - 8x2 + 8a-1 + 43x1>2 + 2x7x37x + 84x3 - 84x-2

2x2 - 6x + 7x2 + 3

Escriba cada polinomio en orden descendente. Si el polinomio ya se encuentra as, dgalo. Proporcione el grado de cada poli-nomio.

43. first 44. 5 0 degree 45. second

46. first 47. second 48. third

49. first 50. second 51. second

52. 15 0 degree 53. third 54. third

55. 56. fourth2r4 - 5r2 - 3r - 6,-3r - 5r2 + 2r4 - 65x + 3x2 - 6 - 2x4-x3 + 3x + 1,1 - x3 + 3x4x3 - 3x2 + x - 4,-4 + x - 3x2 + 4x3

2t2 - 3t + 42x2 + 5x - 8-x - 1-3p3 + 4,4 - 3p33x2 + x - 8,x + 3x2 - 86x - 5

x2 - 2x - 4,-4 + x2 - 2x5x + 4,4 + 5x

Sumar. 73. 76. 78. 3x2 y + 3x - 7y + 3-6x2 + xy2-2x3 - 3x2 + 4x - 38.2n2 - 4.8n - 0.6

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78. 1x2 y + x - y2 + 12x2 y + 2x - 6y + 325x2 y - 3x + 212x2 y + 2x - 32 + 13x2 y - 5x + 521x2 y + 6x2 - 3xy22 + 1-x2 y - 12x2 + 4xy227x2 - xy - 418x2 + 2xy + 42 + 1-x2 - 3xy - 82

6x3 - x2 + 3x - 1016x3 - 4x2 - 72 + 13x2 + 3x - 321-7x3 - 3x2 + 42 + 14x + 5x3 - 7215.2n2 - 6n + 1.72 + 13n2 + 1.2n - 2.325.4x2 - 5x + 1.718x2 + 42 + 1-2.6x2 - 5x - 2.32

9x2 +72

x - 318x2 + 3x - 52 + ax2 + 12

x + 2b-3x2 + x + 172

1-x2 - 4x + 82 + a5x - 2x2 + 12b

-3x + 121x2 - 6x + 72 + 1-x2 + 3x + 52x2 + 3x - 312x2 - 3x + 52 + 1-x2 + 6x - 823x2 - 2x - 11-x2 - 2x - 42 + 14x2 + 325m2 + 414m - 32 + 15m2 - 4m + 72

-5p2 - 3p - 61-4p2 - 3p - 22 + 1-p2 - 42x2 + 6.6x + 0.81x2 + 2.6x - 32 + 14x + 3.827x - 614x - 32 + 13x - 32-2t - 11t + 72 + 1-3t - 82

-9x1-7x - 92 + 1-2x + 92-2x + 111-4x + 82 + 12x + 327x - 915x - 62 + 12x - 326x - 115x + 42 + 1x - 52

Sumar utilizando columnas.

79. Sumar ms 80. Sumar ms81. Sumar ms 82. Sumar ms83. Sumar ms 84. Sumar ms85. Sumar ms 86. Sumar ms87. Sumar ms . 88. Sumar ms 3x3 - 4x2 - x + 8.7x3 + 5x - 6-n3 - 6n2 - 2n + 84n3 - 5n2 + n - 6

2x2 - 4.-3x3 + 3x + 92x3 - x2 + 6x - 27 - 4x2.2x3 + 3x2 + 6x - 9s2 - 7s + 53s2 - 6s.-2s2 - s + 54x2 + 2x - 45x2 + 5x - 7.-x2 - 3x + 3

-5x + 5-9x2 + 6.9x2 - 5x - 17y2 - 2y + 53y2 + 1.4y2 - 2y + 4-5x-3x - 5.-2x + 57x - 14x + 5.3x - 6

127. Si sumamos dos trinomios, el resultado ser un trinomiosiempre, a veces o nunca? Explique su respuesta y propor-cione ejemplos que la apoyen.

128. Si un trinomio se resta de otro, la diferencia ser un tri-nomio siempre, a veces o nunca? Explique su respuesta yd ejemplos que la sustenten.

129. Escriba un trinomio de quinto grado con la variable x, queno tenga trminos de tercer grado ni de segundo.

130. Escriba un trinomio de sexto grado con la variable x, quecarezca de trminos de quinto grado, cuarto o cero.

131. Es posible tener un trinomio de quinto grado con x que notenga trminos de cuarto grado, tercero, segundo o primero,y no contenga trminos semejantes? Explique su respuesta.

132. Es posible tener un trinomio de cuarto grado con x queno tenga trminos de tercer grado, segundo o cero, y nocontenga trminos semejantes? Explique su respuesta.

121. Plantee un problema propio, si el resultado de sumar dosbinomios es

122. Construya un problema propio, en el que el resultado desumar dos trinomios sea

123. Elabore un problema propio, en el que la diferencia dedos trinomios sea

124. Plantee un problema propio, si la diferencia de dos trino-mios es

125. Cuando sumamos dos binomios, la suma ser un bino-mio siempre, a veces o nunca? Explique su respuesta yproporcione ejemplos que la sustenten.

126. Al restar un binomio de otro, la diferencia ser un bino-mio siempre, a veces o nunca? Explique la respuesta y pro-porcione ejemplos que la sustenten.

-x2 + 4x - 5.

3x + 5

2x2 + 5x - 6.

-2x + 4.


Restar.

89. 90.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

101. 102.

103. 104.

105. Restar de 106. Restar de


109. Restar de 110. Restar de 1-5c3 - 6c2 + 721-2c2 + 7c - 7213x3 + 5x2 + 9x - 7214x3 - 6x221-x2 + 3x + 10213x2 - 5x - 322x2 - 9x + 1412x2 - 4x + 8215x - 62

x - 161-3x - 921-4x + 72x - 218x + 2217x + 421-3x2 + 4x - 72 - ax3 + 4x2 - 3

4 xb12x3 - 4x2 + 5x - 72 - a3x + 3

5 x2 - 5b

9x3 - x2 - 5x -15

a9x3 - 15b - 1x2 + 5x28x3 - 7x2 - 4x - 318x3 - 2x2 - 4x + 52 - 15x2 + 82

2x2 + 3x + 7.417x - 0.62 - 1-2x2 + 4x - 82-9m2 + 5m - 61-6m2 - 2m2 - 13m2 - 7m + 623a2 + 3a + 151-a2 + 3a + 122 - 1-4a2 - 328x2 + x + 415x2 - x - 12 - 1-3x2 - 2x - 52

-6y2 + 1.9y2 - 12.71-y2 + 4y - 5.22 - 15y2 + 2.1y + 7.526x2 + 7x - 8.519x2 + 7x - 52 - 13x2 + 3.52x - 114x + 82 - 13x + 92-3r1-r + 52 - 12r + 52

12x - 10110x - 32 - 1-2x + 723x + 41-2x - 32 - 1-5x - 72-x - 513x - 22 - 14x + 3214x - 42 - 12x + 22

Ejecute cada resta por medio de columnas.





119. Restar de 120. Restar de 1-5x3 + 4x - 122.12x3 + 4x2 - 9x214x3 - 6x2 + 7x - 92.1x2 + 6x - 721x2 + 42.15x2 + 425m2 - 5m - 61m - 62.1-5m2 + 6m2

12n3 - 6n + 32.15n3 + 7n - 92x2 - 3x - 317x2 - 3x - 42.16x2 - 1216x2 - 5x + 32.1-3x + 82-3d + 121-6d + 82.1-3d - 4212x - 52.16x + 823x + 816x + 52.13x - 32

103. 104.

108. -4x2 + 8x + 13

-x3 - 7x2 +194

x - 72x3 -235

x2 + 2x - 2



Escriba un polinomio que represente el rea de cada una de las figuras mostradas.

133. 134.

135. 136.x

x

y

x x x

x2 + xz + yz

x

x

x

z

z

y

x

x

y

x xa2 + 2ab + b2a

a

a

b b

b

b

Problemas de reto

Simplificar.

137. 138.

139. 41x2 + 2x - 32 - 612 - 4x - x22 - 2x1x + 223x2 y - 6xy - 2xy + 9xy2 - 5xy + 3x13x2 - 6x + 32 - 12x2 - x - 62 - 1x2 + 7x - 92

Actividad en grupo

Como grupo, estudien y solucionen el ejercicio 140.

140. Construyan un trinomio, un binomio y un trinomio diferente tal que(el primer trinomio) (el binomio) (segundo trinomio) 0.


[1.5] 141. Inserte cualquiera de los smbolos , o en el rea sombreada, de modo que el enunciado sea verdadero:

[1.61.8] Indique si cada enunciado es verdadero o falso.

-9 . -6 .

142. El producto de dos nmeros negativos siempre esun nmero positivo.

143. La suma de dos nmeros negativos siempre da co-mo resultado un nmero negativo.

144. La diferencia de dos nmeros negativos siempre esotro nmero negativo.

145. El cociente de dos nmeros negativos siempre esotro nmero negativo.

[4.1] 146. Simplifique la expresin 4x3 y512x7 y4

3.


4.5 MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

1 Multiplicar un monomio por otro monomio.

2 Multiplicar un polinomio por un monomio.

3 Multiplicar binomios por medio de la propiedad distributiva.

4 Multiplicar binomios por medio del mtodo PIES.

5 Multiplicar binomios con el uso de productos notables.

6 Multiplicar un polinomio

algintercap 4_exponentes y polinomio

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