1

Algo sobre el teorema de Pitágoras El pantógrafo pitagórico y teorema del coseno generalizado

Wilfredo Zuleta R.1

”Este Teorema constituyó el origen de la Geometría racional en la Escuela Pitagórica y las deducciones que poco a poco fue realizando la Escuela, tuvieron por objeto lograr una demostración general del teorema, advertida su verdad en casos particulares”. H.G.Zeuthen.

En este artículo se demostrará el teorema de Pitágoras de dos maneras que hacen uso de la semejanza entre triángulos, una de forma sencilla apelando al concepto de semejanza solamente y que creo que es la menos elaborada, y la segunda la hecha por Albert Einstein2, la cual apela a dos propiedades: Una relativa a la conexión entre las áreas de dos triángulos semejantes y sus correspondientes lados homólogos y una propiedad relacionadas con las proporciones. Esta demostración a pesar de ser más elaborada que la primera es una de gran elegancia, vistosidad y genialidad, y nos va a permitir generar un mecanismo para probar este teorema cuando sobre los lados de un triángulo rectángulo se construyen polígonos irregulares semejantes y donde se cumple que el área del polígono construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los polígonos construidos sobre los catetos. Eso nos da la base para generar una versión más general de este importante teorema y que en el fondo encierra lo que hemos denominado el pantógrafo pitagórico.

En el apéndice encontrarás todas las justificaciones de lo que se usa en estas demostraciones y al final del apéndice se mostrarán dos pruebas visuales presentadas por Pitágoras.

Las figuras presentadas en este artículo fueron elaboradas con el programa Geogebra3.

1 Profesor jubilado del NURR. Universidad De Los Andes. Trujillo-Venezuela. Email:wrzr2001us@hotmail.com 2 “A los 12 años un tío mío me había contado el Teorema de Pitágoras antes de que el libro sagrado de la Geometría cayera en mis manos. […] Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento”. A. Einstein 3 GeoGebra 5.0.236.0-3D

2

Teorema de Pitágoras

Demostración 1

Figura 1

En la figura 1 se pude observar que ~ ~ABC DAB DCA∆ ∆ ∆ (Ver apéndice A.1.)

De esto tenemos

2 ( )b d e

b d d ed b

+= ∴ = + (I)

2 ( )c d e

c e d ee c

+= ∴ = + (II)

Sumando (I) y (II) obtenemos

2 2 2

2 22

2( )b c d e a

ba c

+ = + =

= +

3

Demostración 2 (Albert Einstein4)

…I remember that an uncle told me the Pythagorean theorem before the holy geometry booklet had come into my hands. After much effort I succeeded in “proving” this theorem on the basis of the similarity of triangles; in doing so it seemed to me evident that the relations of the sides of the right-angled triangles would have to be determined by one of the acute angles…5

…Recuerdo que un tío me habló acerca del teorema de Pitágoras antes de que el libro sagrado de la geometría lo tuviese en mis manos. Después de mucho esfuerzo logré hacer la “prueba” de este teorema basado en la semejanza de triángulos; al hacerlo así me pareció evidente que las relaciones de los lados del triángulo rectángulo habrían de estar determinados por uno de sus ángulos agudos…

Usando la misma información usada en la demostración 1, pero además se emplean las siguientes propiedades

1. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual a la razón de los cuadrados de dos de sus correspondientes lados homólogos. (Ver apéndice A.2.)

2. Si 1 2

1 2

... n

n

a a ak

b b b= = = = entonces

1

11

1

n

ii nn

ni

i

aabb

−

=−

=

=∑

∑ (Ver apéndice A.3.)

Convengamos que 1A área ABC= ∆ , 2A área DCA= ∆ y 3A área DAB= ∆ , además

observamos que 1 2 3A A A= + (*). Por propiedad (1) tenemos que

Tenemos que 2

1 1 22 2 2

2

A A AaA b a b

= ∴ = ; 2

31 12 2 2

3

AA AaA c a c

= ∴ = ,o sea,

31 22 2 2

AA Aa b c

= = (III)

Ahora le aplicamos a (III) la propiedad (2) para obtener

2 312 2 2

A AAa b c

+=

+ (IV)

En definitiva, de (*) y (IV) conseguimos

4Uno de los libros que lo ensimismaron fueron los Elementos de Euclides donde estudió la prueba del teorema de Pitágoras, el cual le pareció demasiado complicada, y pensando sobre el asunto, dio con esta prueba. Notas autobiográficas de Albert Einstein. 5 Pythagoras, Einstein, and Why It's the Squares. Frank Wilczek

4

2 2 21 12 2 2

A Aa b c

a b c= ∴ = +

+

La manera de hacer la demostración nos devela una manera de hacer una demostración de una forma más general de este fascinante teorema:

“Sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se construye un polígono irregular, siendo la hipotenusa uno de los lados de ese polígono, de igual manera, sobre los catetos construimos los correspondientes polígonos irregulares semejantes al construido sobre la hipotenusa, esta construcción será explicada en las siguientes figuras. Entonces el área del polígono irregular construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los otros dos polígonos irregulares construidos sobre los catetos”

Construcción de polígono irregular sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Construimos un arbitrario polígono irregular sobre la hipotenusa el cual se muestra en color rojo.

Construcción de polígono irregular sobre los catetos que son semejantes al construido sobre la hipotenusa

Definamos las razones pitagóricas bw

a= y c

za

= y escojamos un punto arbitrario P

sobre el polígono irregular construido sobre la hipotenusa. Tracemos una recta perpendicular a la hipotenusa y que pasa por el punto P, donde HP es el corte de esta

recta con la hipotenusa. Ahora trazamos perpendiculares a los catetos b y c que pasan por el punto HP determinando los cortes '

HP y ''HP con los respectivos catetos. A partir de

estos dos últimos puntos y sobre las correspondientes perpendiculares marcamos los

puntos bP y cP que distan de 'HP y ''

HP , respectivamente, HwP P y HzP P .

5

Si esto lo hacemos con todos los puntos P que están sobre el polígono irregular construido sobre la hipotenusa, logramos construir los polígonos irregulares sobre los catetos y que son semejantes a éste.

Aquí se ha hecho lo indicado con todos los vértices del polígono irregular construido sobre la hipotenusa, y con eso es suficiente para construir los correspondientes polígonos irregulares semejantes a éste sobre los catetos.

6

Teorema de Pitágoras para polígonos irregulares sobre un triángulo rectángulo

Esto es válido para polígonos irregulares de cualquier cantidad de lados, siempre y cuando se cumpla la mencionada semejanza entre ellos. La demostración se basa en construir los polígonos como se ha señalado anteriormente y descomponer tales polígonos en correspondientes triángulos semejantes, lo que se puede hacer de diversas maneras, y usar las propiedades (1) y (2) al identificar los correspondientes triángulos semejantes en cada polígono y los correspondientes lados homólogos.

7

Demostración

Figura 2

Se han construido los polígonos irregulares semejantes sobre los lados del triángulo rectángulo ABC, en donde se cumple el teorema “tradicional” de Pitágoras. Se ha triangulado de una manera (hay varias formas de hacerlo) dichos polígonos en donde los triángulos que aparecen dentro de esos polígonos son semejantes entre sí (figura 2), lo que verás en la figura 3 identificados con el mismo color.

8

Entonces de la figura anterior podemos establecer que

1 1 1 2 2 2 6 6 6~ ~ , ~ ~ ,..., ~ ~A B C A B C A B C (V)

9

Por la propiedad (1) tenemos que

2 21 1 1 1

2 2 2 21 11 1

1 1área A a área A ay

área C área Bc z b w

∆ ∆= = = =

∆ ∆

2 22 2 2 2

2 2 2 22 22 2

1 1área A a área A ay

área C área Bc z b w

∆ ∆= = = =

∆ ∆

2 23 3 3 3

2 2 2 23 33 3

1 1área A a área a ay

área C área Bc z b w

∆ ∆= = = =

∆ ∆

2 24 4 4 4

2 2 2 24 44 4

1 1área A a área A ay

área C área Bc z b w

∆ ∆= = = =

∆ ∆

2 25 5 5 5

2 2 2 25 55 5

1 1área A a área A ay

área C área Bc z b w

∆ ∆= = = =

∆ ∆

2 26 6 6 6

2 2 2 26 66 6

1 1área A a área A ay

área C área Bc z b w

∆ ∆= = = =

∆ ∆

De todo esto tenemos

3 5 61 2 42

1 2 3 4 5 6

1área A área A área Aárea A área A área Aárea B área B área B área B área B área B w

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆= = = = = =

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (VI)

3 5 61 2 42

1 2 3 4 5 6

1área A área A área Aárea A área A área Aárea C área C área C área C área C área C w

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆= = = = = =

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆(VII)

Utilizamos la propiedad (2) en (VI) y (VII) para obtener

6

21

6 2 2

1

1nan

bn

n

área AÁrea polígono P a

w bÁrea polígono Párea B

=

=

∆= = =

∆

∑

∑ y

6

21

6 2 2

1

1nan

cn

n

área AÁrea polígono P a

z cÁrea polígono Párea C

=

=

∆= = =

∆

∑

∑

2

2b

a

a Área polígonoPÁrea polígonoP

b= y

2

2c

a

a Área polígono PÁrea polígono P

c=

2 2

2 2b c

a

a Área polígonoP a Área polígonoPÁrea polígonoP

b c= = (VIII)

Aplicamos de nuevo la propiedad (2) a la expresión (VIII) para conseguir que

10

2 2

2 2

2

b ca

a Área polígono P a Área polígono PÁrea polígono P

b c

a

+= =

+

=( )

2

2 2

c b

a

Área polígono P Área polígono P

b c

+

+14243

a b cÁrea polígono P Área polígono P Área polígono P

=

= +

Todo lo hecho anteriormente se puede realizar para el caso de que los polígonos tengan un número k de lados y así llegar a

21

2 2

1

1

k

nan

kb

nn

área AÁrea polígono P a

w bÁrea polígono Párea B

=

=

∆= = =

∆

∑

∑ y

21

2 2

1

1

k

nan

kc

nn

área AÁrea polígono P a

z cÁrea polígono Párea C

=

=

∆= = =

∆

∑

∑

Y llegar a la conclusión

a b cÁrea polígono P Área polígono P Área polígono P= +

Además todo esto es válido si los polígonos son regulares. Aún más, si los polígonos no tienen ningún contacto con los correspondientes lados y/o no son convexos, como vemos en las siguientes figuras.

11

12

Con esta manera de construir polígonos semejantes asociados a los lados de un triángulo tenemos un mecanismo que funciona como un “pantógrafo pitagórico”, que inclusive no se limita a polígonos, sino que sirve para curvas semejantes cualesquiera y relativas a los lados del triángulo rectángulo y donde se cumple la misma relación de las áreas asociadas con dichas curvas.

13

En este caso se tiene que 1 1 2 1 1 1 2 2, ,Ct wCt At zCt t P wtP y t P ztP= = = = donde se

debe tener en cuenta que en la construcción se ha hecho uso de las razones

pitagóricas b cw y z

a a= = , de tal manera que el área del círculo que está sobre la

hipotenusa es

( )2aÁreaR tPπ= (IX)

y las áreas de los otros dos círculos son

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2

1 1 2 2b cÁreaR t P wtP w tP y ÁreaR t P ztP z tPπ π π π π π= = = = = =

Sumando estas dos últimas áreas tenemos que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2 22 2 2 22 2 2 2

2 2

2 22 2

2

( ) ( )

( )

b c

a

b cÁreaR ÁreaR w tP z tP tP w z tP

a a

b ctP tP

a

π π π π

π π

+ = + = + = + =

+= =

(X)

De (IX) y (X) podemos ver que a b cÁreacírculo R Áreacírculo R Áreacírculo R= +

Figura 5

14

Figura 6

Para caso como los ilustrados en las figuras 5 y 6 apelaremos al cálculo integral teniendo bien definidas las funciones de gráficas semejantes y relativas a los lados del triángulo rectángulo ABC, en donde la integración para hallar las correspondientes áreas encerradas entre las gráficas de las correspondientes funciones la hipotenusa a y los los catetos b y c se harán sobre intervalos contenidos en los intervalos [0,a], [0,b] y [0,c] respectivamente o sobre ellos mismos completamente.

Veamos un caso de una función cualquiera f integrable (en este caso continua en [0,a]) construida sobre la hipotenusa a y las dos correspondientes funciones semejantes g y h relativas a los catetos b y c, respectivamente.

15

Comprobaremos que 1 1 2 20 0 0

1 2

( ) g( ) h( ) 0a b c

f t dt t dt t dt b c a= + < < <∫ ∫ ∫14243 14243

.

Integral (1) 1 10 0

g( ) f( )b b b at dt t dt

a b=∫ ∫

Sea a bu t dt du

b a= ∴ = además si 0 0,t entonces u y si t b entonces u a= = = = , de

manera que 2

1 1 20 0

g( ) f( )b abt dt u du

a=∫ ∫

Integral (2) 2 20 0

h( ) f( )b c c at dt t dt

a c=∫ ∫

Sea a c

v t dt duc a

= ∴ = además si 0 0,t entonces v y si t c entonces v a= = = = , de

manera que 2

2 2 20 0

h( ) f(v)c act dt dv

a=∫ ∫

Sumando estas dos integrales

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 20 0 0

f( ) f(v) f(t)

a

a a ab c b c b cu du dv dt

a a a a

++ = + =

∫ ∫ ∫

64748

2a 0 0

f(t) f(t)a a

dt dt

=

∫ ∫

16

Esto nos garantiza que

0

( )a

f t dt∫ = 1 10

g( )b

t dt∫ + 2 20

h( )c

t dt∫

Observemos un caso particular

Sean 3 45 5

w y z= =

55 2 3

0 0

12510 30 30t tdt

= =

∫ (XI)

53 52 2 2 31

1 20 0 0

3 310 10 30 25t t tdt dt

= = =

∫ ∫ (XII)

54 52 2 2 2 32

2 2 20 0 0

4 4 810 10 30 35 5t t tdt dt

= = =

∫ ∫ (XIII)

El valor encontrado en (XI) es igual a la suma de los valores encontrados en (XII) y (XIII).

En el caso de que sean una región encerrada por dos o más curvas, o de que la función sobre la hipotenusa sea continua a trozos se procede como usualmente se hace en los problemas de cálculo de áreas de regiones acotadas por curvas.

Concluimos con la siguiente figura

17

Si tenemos una región cerrada (Rojo) para la cual conocemos su área, entonces podemos construir dos regiones semejantes a ésta (azul y fucsia) orientadas y separadas como se desee y que juntas ocupan la misma área que ésta.

Teorema del coseno generalizado

Si procedemos de forma análoga a como se ha hecho para probar las distintas versiones del teorema de Pitágoras podemos probar la siguiente forma generalizada del teorema del coseno, teniendo en cuenta la versión original de éste.

Este resultado es válido también para polígonos regulares y de cualquier cantidad de lados, y de igual forma para regiones que se construyan sobre la

18

hipotenusa y los catetos con esa noción de semejanza relativa a los lados del triángulo en cuestión.

19

20

Apéndice

A.1.

A.2.

Sean 1A área ABC= ∆ y 2A área DCA= ∆ . Tenemos que

(1 ) 0 1CD ta y DB t a con t= = − < < (3)

1

12

A aAD= y 1

12

A taAD= (4)

Usamos (3) y (4) para obtener

2

1

1212

at ADAt

A aAD= = (5)

21

Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos señalados y (3) conseguimos

2

2

a b bt

b ta a= ∴ = (6)

De (5) y (6) concluimos

22

21

A bA a

= (7)

(7) nos dice que la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual a la razón de los cuadrados de dos de sus lados homólogos. Esto es válido para cualquier para de triángulos semejantes, por ejemplo, si 3A área DAB= ∆ se tiene que

22

23

A bA c

= y 2

32

1

A cA a

= (8)

De forma análoga se puede probar (8), en definitiva

“La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual a la razón de los cuadrados de dos de sus correspondientes lados homólogos”.

A.3.

Si 1 2

1 2

... n

n

a a ak

b b b= = = = entonces

1

11

1

n

ii nn

ni

i

aabb

−

=−

=

=∑

∑

Sea

1 1

1 11 11 1

1 1

1 1

n n

i in ni i i n

i i i i n ni ii n

i ii i

a aa a

k a kb a k b kb bb b

− −

− −= =− −

= =

= =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

22

Dos pruebas visuales de Pitágoras6

Primera

Segunda

6 The Pythagorean Theorem. Crown jewel of Mathematics. John C. Sparks