algo volume 6

Algorithmique : Volume 6

Recherche

Adressage dispers

Tris

Complexit

Ccile Balkanski, Nelly Bensimon, Grard Ligozat

Universit Paris XI
I.U.T. d'Orsay
Dpartement Informatique
Anne scolaire 2003-2004

Recherche

Algorithmique 6 : Recherche, complexit, tris

Recherche
Problme gnral abstrait
ensemble de valeurs E, lment a; estce que a E?
rponse: boolen (x) { xE | x=a }

plus gnralement
existetil x vrifiant certains critres

(x) { xE | j(x)}

trouver tous les x satisfaisant certains critres

{ xE | j(x)}(bases de donnes)


Recherche en informatique
On ne travaille pas sur des ensembles mathmatiques, mais sur des structures de donnes particulires Les donnes peuvent tre de nature complexe (agrgats, classes)Exemples :
tableau

tableau tri
201895241327283271236151719257891213151718192024273236

32

18

9

5

2

24

27

20

36

19

13

8

12

15

17

7

arbre binaire de recherche


Tri de donnes complexes
Exemple de donne complexe:
type Etudiant = agrgat

nom: chane

ge: entier

classement: entier

photo: fichier_GIF

fin
on peut trier par nom (ordre alphabtique), par ge, par classement pas par photo cls, cls primaires exaequo, mme ge

Recherche et type de donnes
On utilise divers types de donnes sur lesquelles on fait des oprations de base: ajout suppression mise jour consultationChaque structure a des avantages et des inconvnients : tableau, tableau tri, arbre binaire, liste chane, etc.

Recherche squentielle

fonction rechSeq (tab , nbre , val) retourne (boolen)

{renvoie VRAI si val est dans tab, FAUX sinon}

paramtre s (D) tab: tableau[1, MAX] d'entiers

(D) nbr, val: entier

variables trouv: boolen i: entier

dbut trouv faux

i 0

tant que non trouv ET i < nbr faire

i i+ 1

trouv (tab[i] = val)

ftq

retourne (trouv)

fin


fonction rechSeq (tab, nbre, val) retourne(entier)

{renvoie le premier indice o se trouve val dans tab, 1 sinon}

paramtre s(D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers


variablestrouv: boolen i: entier

dbut

trouv faux

i 0

tant que non trouv ET i < nbr faire

i i+1


ftq

si trouv alors retourne (i) sinon retourne (1) fsi

fin


Recherche avec critres

procdure rechLesMin (tab_d, nbre_d, tab_r, nbre_r, val)

{renvoie dans le tableau tab_r les lments de tab_d val}

paramtre s (D) tab_d: tableau [1, MAX] d'entiers,

nbr_d, val: entier

(R) tab_r: tableau [1, MAX] d'entiers, nbr_r: entier

variables id, ir: entiers

dbut ir 0

pour id l nbre_d faire

si (tab_d[id] val)

alors irir+ 1

tab_r[ir] tab_d[id]

fsi

fpour

fin


fonction rechMin (tab, nbre) retourne(entier)

{renvoie la plus petite valeur contenue dans le tableau tab}

paramtre s (D) tab : tableau [1, MAX] d'entiers,

nbr : entier

variables i, min : entiers

dbut

imin tab[l]

pour id 2 nbre faire

si (tab[i] < min)

alors min tab[i]

fsi

fpour

retourne (tab[min])

fin


fonction rechPosMin (tab, nbre) retourne(entier)

{retourne le (dernier) indice de la plus petite valeur du tableau tab}

paramtre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers, nbr: entier

variables i, imin, min: entiers

dbut

min tab[1]

imin 1

pour id 2 nbre faire

si (tab[i] min)

alors min tab[i]

imin i

fsi

fpour

retourne (imin)

fin


Recherche squentielle dans tableau ordonn

fonction rechSeq (tab, nbre, val) retourne(entier)

{renvoie le premier indice o se trouve val s'il est dans tab, 1 sinon}

paramtre s (D) tab: tableau [1, MAX] d'entiers


variablestrouv, dpass : boolens ; i : entier

dbut

trouv faux; dpass faux; i 0

tant que non (trouv OU dpass) ET i < nbr faire

i i+ 1


dpass (tab[i] > val)

ftq

si trouv alors retourne (i) sinon retourne(1)

fin


Recherche dichotomique
Rappel: les valeurs doivent tre tries !
Principe:

on vise au milieu du tableau

si l'lment vis est plus grand que val, il suffit de chercher gauche ; s'il est plus grand, il suffit de chercher droite
257891213151718192024273236

257891213151718192024273236257891213151718192024273236

Recherche dichotomique

fonction rechDicho (tab, nbre, val) retourne(entier)

{renvoie un indice o se trouve val s'il est dans tab, 1 sinon}

paramtre s(D) tab : tableau [1, MAX] d'entiers

(D) nbr, val : entier

variables trouv : boolen ; id, if, im: entiers

dbut

trouv faux; id 0 ; if nbre + 1

tant que non trouv ET (if id) > 1 faire

im (id + if)/2

trouv (tab[im] = val)

si (tab[im] > val)alors if im

sinon id im

fsi

ftq

si (id = 0)alors retourne (-1)

sinon si (tab[id]=val) alors retourne(id)

sinon retourne (-1)

fsi

fsi

fin


Recherche dichotomique: variantel

fonction rechDicho (tab, nbre, val) retourne(entier)

{renvoie le plus grand indice o se trouve val s'il est dans tab, 1 sinon}



variables id, if, im: entiers

dbut

id 0; if nbre+1

tant que (if id) > 1 faire

im (id + if)/2

si (tab[im] > val) alors if im

sinon id im

fsi

ftq

si (id = 0) alors retourne (1)

sinon si (tab[id]=val) alors retourne(id)

sinon retourne (-1)

fsi

fsi

fin


Recherche dichotomique : variante2

fonction rechDicho (tab, nbre, val) retourne (entier)

{renvoie le plus petit indice o se trouve val s'il est dans tab, 1 sinon}



variablesid, if, im: entier

dbut

id 0 ; if nbre+ 1

tant que (if id) > 1 faire

im (id + if)/2

si (tab[im] val) alors if im

sinon id im

fsi

ftq

si (if = nbre + 1) alors retourne (1)

sinon si (tab[if]=val) alors retourne(if)

sinon retourne(1)

fsi

fsi

fin


Recherche dans un ABR

fonction rech (unAbr, val) retourne(boolen)

{renvoieVRAl si val se trouve dans l'ABR unAbr, FAUXsinon}

paramtre s (D) unAbr: ABR

(D) val: entier

variables trouv: boolen ; id, if, im: entiers

dbut

si unAbr.Vide() alors retourner (FAUX)

sinon si (unAbr.Info() = val)

alors retourner(VRAI)

sinon si (unAbr.Info() < val)

alors retourner (Rech(unAbr.FD(), val))

sinon retourner (Rech(unAbr.FG(), val))

fsi

fsi

fsi

fin


32

18

9

5

2

24

27

20

36

19

13

8

12

15

17

7

Simulation de recherche


Adressage Dispers


Adressage dispers
Objectif: classer M lments dans un tableauPrincipe: dans un tableau de p cases, on classe l'lment x, lindice k, donn par une fonction d'adressage hclasser un lment x entier k, compris entre 1 et pFonction h: h(x)=kla valeur k ne dpend que de l'lment x ;l'lment x n'est pas plac relativement aux autres lments

Quelques exemples de fonctions dadressage
x : chane h1(x) = nombre de caractres de la chane
h1("Paul") = 4 h1("MmeDupont")=9
x : entier h2(x) = somme de ses chiffres dcimaux
h2(342) = 9 h2(100 340) = 8
x : entier h3(x)= nombre de bits 1 dans l'criture binaire
h3(342) = h3(101010010) = 4
x : chane de caractres
h4(x) = somme des codes ASCII des caractres de la chane

Exemple de classement par la fonction dadressage h1
Suite de prnoms : Marc, Izabelle, Paule, Jeanne, Ali, Jo, MichleCodes associs par h1 (nb caractres) : 4, 8, 5, 6, 3, 2, 7Constatations :la valeur k ne dpend que de l'lment x;la place de l'lment x n'est pas dtermine relativement aux autres lments classs...... la diffrence d'un tri avec relation d'ordre o la place d'un lment est dtermine par le nombre d'lments "meilleurs" selon cet ordre.JoAliMarcPauleJeanneMichleIzabelle12345678

Une autre fonction dadressage
h5 associe c1ck la somme :(Somme (rang de ci dans lalphabet * i) modulo 9) +1Suite de prnoms : Marc, Izabelle, Paule, Jeanne, Jo, Michleh5 (Marc) = ((13*1+1*2+18*3+3*4) mod 9) + 1 = 81 mod 9 + 1 = 1h5 (Jeanne) = ((10*1+5*2+1*3+14*4+14*5+5*6) mod 9) + 1
= 179 mod 9 + 1 = 9

h5 (Paule) = ((16*1+1*2+21*3+12*4+5*5) mod 9) + 1 = 1 mod 9 + 1 = 2
MarcPauleJoIzabelleMichleJeanne123456789

Recherche dun lment

Algorithme de recherche d'un lment x dans une table construite par adressage dispers d'une suite d'lments :

on calcule le code associ cet lment x par la fonction dadressage, soit p.

on compare le contenu de la p-ime case de la table avec llment x : si identit, la recherche est positive, sinon elle est ngative.

Ajout dun lment

Algorithme d'ajout d'un lment X dans une table construite par adressage dispers d'une suite d'lments:

on calcule le code associ cet lment par la fonction d'adressage, soit p.

on affecte l'lment la p-ime place dans la table, condition toutefois que cette place ne soit pas dj occupe risque de collision

Exemples (avec h5 )
Recherche de "Isabelle" code associ par h5 : 1 et tabAdrDisp [1] "Isabelle "
recherche ngative
Ajout de "Ali" code associ par h5 : 8 ; tabAdrDisp [8] : " "
ajout possible
Ajout de "Lola" code associ par h5 : 2 ; or tabAdrDisp [2] : "Paule"
collision
MarcPauleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789

Mthodes de rsolution des collisions : mthodes internes
lnternes car on opre dans le tableau alloupremire possibilit : on utilise la place libre dans le tableauAlgorithme d'ajout d'un lment entr en collision : partir du rang de la collision, rechercher la premire place libre et y placer l'lment entr en collision. arriv la dernire case du tableau, continuer la recherche la premire case du tableau. Exemples: "Lola" (avec h5 : 2) et "Isabelle" (avec h5 : 1)MarcPauleLolaIsabelleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789

Retrait dun lment

on calcule le code associ cet lment x par la fonction d'adressage : soit p ;

on compare le contenu de la p-ime case de la table avec l'lment x :

si identit, on le supprime puis on place dans cette case une marque pour indiquer que l'lment supprim a pu provoquer d'ventuelles collisions

si non identit, on poursuit la recherche squentiellement en cas d'ventuelles collisions

arrt si case vide ou parcours jusqu (p-1)

Recherche dun lment

on calcule le code associ cet lment x par la fonction d'adressage : soit p.


si identit, la recherche est positive,

sinon on poursuit la recherche squentiellement, en cas dventuelles collisions (utiliser les marques)

arrt avec recherche ngative si case vide ou parcours jusqu (p-1)

Exemples (avec h5 )

retrait de Marc (code 1)

retrait de Ali (code 8)

recherche de Isabelle (code 1)
MarcPauleLolaIsabelleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789XPauleLolaIsabelleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789XPauleLolaIsabelleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789XPauleLolaIsabelleJoIzabelleMichleXJeanne123456789

Rsolution interne des collisions (suite)
Deuxime solution: on partitionne le tableau en deux:une zone d'adressage primaireune zone de dbordementAlgorithme d'ajout d'un lment entr en collision : rechercher une place libre dans la zone de dbordement et y placer l'lment entr en collision

Exemple
Ajout de Lola (code associ par h5 : 2) puis de Isabelle (code associ par h5 : 1)
Zone de

dbordement

( la suite

du tableau)
MarcPauleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789LolaIsabelle101112131415

Recherche

on calcule le code associ cet lment x par la fonction d'adressage, soit p

on compare le contenu de la p-ime case de la table avec l'lment x : si identit, la recherche est positive, sinon on mne une recherche squentielle dans la zone de dbordement du tableau

et retrait



si identit, on le supprime puis on place dans cette case une marque pour indiquer que l'lment supprim a pu provoquer d'ventuelles collisions

si non identit, poursuivre la recherche squentiellement en cas d'ventuelles collisions, dans la zone de dbordement du tableau

Exemples

Recherche de Ali (h5 : 8), puis Lola (h5 : 2)

Retrait de Marc (h5 : 1)

Recherche Isabelle (h5 : 1)
MarcPauleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789LolaIsabelle101112131415

Mthodes de rsolution externe des collisions
"Externes " car on alloue des zones de stockage supplmentairesLe tableau contient, pour un code donn, deux informations :une place de rangement d'un lment (principal) ;une liste de dbordement pour les lments entrs en collision avec l'lment prcdent

Ajout dun lment
Algorithme d'ajout d'un lment entr en collision :Crer la liste de dbordement associe ce code si celleci n'existe pas encore, puis ajouter cette liste le nouvel lmentExemple (avec h5): ajout de Lola (code 2)
Lola

Exemples (suite)

Lola

ajout de Isabelle (1)

Isabelle

ajout de Jos (1)

Isabelle

Jos

Lola
MarcPauleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789MarcPauleJoIzabelleMichleAliJeanne123456789

Recherche dun lment


on compare le contenu de la premire information de la p-ime case de la table avec l'lment x

si identit, la recherche est positive ;

sinon, on mne une recherche squentielle dans la liste associe
recherche de Michle (7), puis Isabelle (1)
Jos

Lola

Isabelle

Retrait dun lment


on compare le contenu de la premire information de la p-ime case de la table avec l'lment x

si identit, on retire llment et on le remplace par l'l-ment plac en tte de la liste associe, quand elle existe ;

sinon on mne une recherche squentiellement dans la liste associe, avec retrait si la recherche est positive
retrait de Michle (7), puis Lola (2) et enfin Marc (1)
Isabelle

Jos

Lola

Algorithmes de la mthode d'adressage dispers avec rsolution externe

type Info2 = agrgat

principal : chane {premire chane associe un code donn}

dbord : Liste {objet Liste dont l'information est une chane}

fin

fonction code (uneChane) retourne (entier)

{retourne la valeur donne par la fonction dadressage}

paramtre (D) uneChane : chane

Procdure ajout (table, laChane)

{ajoute l'lment laChane dans une table, par adressage dispers, avec rsolution externe des collisions}

paramtres (D/R) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2

(D) laChane : chane

variablesok: boolen

ind: entier

dbut

ind code(laChane)

si table[ind].principal = " "

alors {c'est la premire occurrence de ce code d'adressage}

table[ind].principal laChane

sinon {il y a collision: la place principale est dj occupe, do ajout dans la liste de dbordement,en tte}

table[ind].dbord.premier()

table[ind].dbord.insreAvant(laChane)

fsi

fin

Fonction recherche (table, laChane) retourne (boolen)

{recherche si l'lment laChane est prsent dans une table, par adressage dispers, avec rsolution externe des collisions}

paramtres (D) table: tableau [1, TAILLEMAX] de Info2

(D) laChane : chane

variables trouv, ok: boolens; ind : entier

dbut

ind code(laChane)

trouv table[ind].principal = laChane

si non trouv {recherche de laChane dans la liste de dbordement}

alors table[ind].dbord.premier()

tant que non trouv et

non table[ind].dbord.horsListe() faire

trouv (table[ind].dbord.info() = laChane)

table[ind].dbord.suivant()

ftq

fsi

retourne (trouv)

fin

Fonction retrait (table, laChane) retourne boolen

{retire, si possible, llment laChane dune table construite par adressage dispers avec rsolution externe des collisions}


(D) laChane : chane

variables ok : boolen; ind : entier

dbut

ind code(laChane)

trouv (table[ind].principal = laChane)

si trouv {alors retrait de laChane du champ principal de la table}

alors retraitPrincipal (table, laChane, ind)

sinon {recherche, et ventuel retrait, de laChane dans la liste de

dbordement}

ok rechercheRetraitDeborde (table, laChane, ind)

fsi

retourne (ok)

fin

Procdure retraitPrincipal (table, laChane, ind)

{retire llment laChane du champ Principal du code adresse ind; ce champ reoit la valeur de tte de la liste de dbordement si possible}


(D) laChane : chane; ind : entier

variables elt : Info2; ind : entier

dbut

si (table[ind].dbord.vide()) {il ny a pas eu de collision sur ce code}

alors{ce code nadresse plus aucune chane}

table[ind].principal " "

sinon {on rcupre llment en tte de liste de dbordement}

table[ind].dbord.premier() ; elt table[ind].dbord.info()

{pour mettre sa valeur dans le champ principal}

table[ind].principal elt

{et puis on retire la cellule de tte de la liste de dbordement} table[ind].dbord.supprimer()

fsi

fin

Fonction rechercheRetraitDborde(table, laChane,ind)

{recherce et retire, si possible, llment laChane de la liste de dbordement du code adresse ind}


(D) laChane : chane; ind : entier

variable trouv : boolen

dbut

table[ind].dbord.premier()

trouv faux

{recherche de laChane dans la !iste de dbordement}

tant que non trouv et non table[ind].dbord.horsListe() faire

trouv (table[ind].dbord.info() = laChane )

si non trouv alors table[ind].dbord.suivant()

ftq

{si trouv, alors retrait dans la liste de dbordement de la table}

si trouv

alors table[ind].dbord.supprimer() {le curseur est plac sur laChane}

retourne (trouv)

fin

Complexit des algorithmes


Complexit des algorithmes
Complexit temporelle, complexit spatiale
cot en temps: temps ncessaire l'excution

cot en espace: espace mmoire ncessaire
Pire des cas, complexit moyennela complexit dans le pire des cas n'est pas ncessairement une bonne indication du cot en pratique (exemple de la mthode du simplexe)comment estimer le cas moyen ? tude a priori, bancs d'essai et valuation a posterioritude thoriquetude pratique de l'algorithme implment, bancs d'essai

Complexit d'un problme, complexit dun algorithme
contraintes sur un problme
par exemple, recherche d'un lment dans un tableau de n lments non tris : si l'lment n'est pas prsent, n comparaisons seront ncessaires pour le constater
Attention: si le tableau est tri, une seule peut tre suffisante !parmi les diffrents algorithmes possibles, certains sont meilleurs que d'autresla comparaison des pires des cas peut ne pas tre une bonne indication

Complexit asymptotique
Ncessit d'tudier la complexit pour de grosses quantits de donnesExemple : deux algorithmes pour une mme tche:A1 effectue n2 oprations de base, A2 effectue n.log2 n oprations Deux machines :M1 effectue 210 (environ mille) oprations par scondeM2 effectue 220 (environ un million d') oprations par secondeTemps de calcul (en secondes) :

Complexit asymptotique (2)
M1M2A1A2A1A2n = 210210101< 0,01n = 22023020. 21022020

Rapidit de croissance compare
de certaines fonctions usuelles


Calcul de la complexit dun algorithme
Calcul de la valeur d'un polynme en un point
1. p a[0]

2. pour i 1 n faire {puissance(a, n) retourne an}

3. xpi puissance (x , i)

4.p p + a[i]* xpi

fpour
Nombre de multiplications
en 3 > 1+2+3+...+ (n1) = (nl)n/2

en4 > n
Nombre d'additions en 4 > nsoit au total: n(n + 3)/2< n2pour n > 3.

Notations utilises
Grand O
f(n) = 0(g(n)) s'il existe C> 0 et no > 0 tels que

f(n) C. g(n) pour tout n no
Grand omga
f(n) = (g(n)) s'il existe C> 0 et no > 0 tels que

f(n) C. g(n) pour tout n no
Grand thta
f(n) = (g(n)) s'il existe C1 et C2 > 0 et no > 0 tels que

C1.g(n) f(n) C2. g(n) pour tout n no


Exemples

f(n) = O(1) f est majore

f(n) = (1)f est minore

3n+2 = O(n) 3n+3 = O(n)

100n+6 = O(n)

10n2+4n+2=O(n2) 3n+3 = O(n2)

1000n2 + 100 n 6 = O(n2) 10n2+4n+2= O(n4)

6*2n + n2 = O(2n)
> c'est la plus petite fonction g(n) qui est intressante

Exemples (suite)

3n+3 = (n)

100n+6 = (n)

10n2+4n+2= (n2)

6*2n + n2 = (n2) 6*2n + n2 = (n)

6*2n + n2 = (1)
> c'est la plus grande fonction g(n) qui est intressante

Temps dexcution des algorithmes
Temps constant (rares algorithmes, cf. adressage dispers)O(1)Temps logarithmique (exemple: recherche dichotomique)O(log2n)Temps linaire (exemple: recherche squentielle)O(n)Temps polynomial O(nk) (coteux si k dpasse 3)quadratique O(n2)cubique O(n3)Temps exponentielO(cn) ( viter en gnral)

Comparaison des complexits d'algorithmes de la mme classe
Calcul de la valeur d'un polynme en un point (1)
p a[0]

pour i 1 n faire

xpi puissance(x, i)

p p + a[i]* xpi

fpour

n(n+1)/2 multiplications, n additions : algorithme en O(n2)



p a[0]

xpi 1

pour i 1 n faire

xpi xpi * x

p p + a[i]* xpi

fpour

2n multiplications, n additions : algorithme en O(n)


p a[n]

pour i n - 1 0, pas 1 faire

p p*x + a[i]

fpour

n multiplications, n additions algorithme en O(n)

Complexit optimale pour cette classe d'algorithmes :

en O(n)


Calcul de la complexit dalgorithmes de recherche simples
Oprations lmentaires retenues: les comparaisons
Recherche squentielle dans un tableau non tri
complexit au pire n comparaisonscomplexit moyennen/2 comparaisons
algorithme en O(n)

2. Recherche squentielle dans un tableau tri
complexit au pire n comparalsonscomplexit moyenne n/2 comparaisons
algorithme en O(n)


Recherche dichotomique (dans un tableau tri 1)complexit au pire = complexit moyenne =
nombre p d'intervalles considrs
Exemple avec n = 8 = 23 tableau de 8 lments
niveau 0

niveau 1

niveau 2

niveau 3

Profondeur de larbre de dcision de lordre de log2n :

complexit algorithmique en O(log2n)


Tris


Tris
Donnes dans un ensemble d'lments S muni d'un ordre total
ordre|a < a (rflexif)

partiel|a < b et b < c => a < c (transitif)

|a ~ b et b < a => a = b (antisymtrique)

total|a,b a=b OU a

Tris internes et tris externesinternes: l'ensemble des donnes peut tre trait en mmoire centrale externes: on opre sur une partie des donnes seulement Tris d'entiers: mthode des seaux
trier: des entiers entre 1 et m

principe:

- on cre m files d'attente vides numrotes 0, , m1

- on parcourt linairement les donnes, et on place ai

dans la file numrote ai

- on place les files d'attente bout bout


Exemple m = 10, 4 7 3 2 8 1 5Rsultat: 1, 2, 3, 4, 5, Estimation du cot :
- chaque lment peut tre plac dans une file en temps constant, d'o O(n) pour les n lments ;

- concatnation de m files en O(m) ;

- si m = 0(n), cot total en O(n).
12345780123456789

Cette mthode peut tre gnralise des kuplets d'entiers munis de l'ordre lexicographique, et plus gnralement des chanes (de longueur variable):
(s1,..., sp) < (t1,..., tq) si et seulement si

ou bien p < q et si = ti pour 1 i p (s est un prfixe de t);

ou bien il existe j tel que si < tj et si = ti pour tout i < j.
Exemples:
634 < 63472tri < triage

64589 < 647seau < selle

Pour des suites de kuplets dont chaque composante est un entier entre 0 et ml, on obtient un algorithme de cot O((m+n)k).


Cas gnral:

- on trie des lments quelconques munis d'un ordre (total)

- la seule opration disponible est la comparaison de deux lments

Exemple: tri de trois lments a, b, c

a

Estimation du cot
Arbre binaire de hauteur h => au plus 2h feuilles
Thorme Un arbre de dcision pour n lments a une hauteur suprieure ou gale log(n!).
En effet, un arbre de dcision doit avoir au moins autant de feuilles que de rsultats possibles, c'estdire n! feuilles au moins. Donc la hauteur de cet arbre est log(n!)
Estimation

Formule de Stirling: n! approxim par (n/e)n, donc le nombre de tests ncessaires est minor par n(logn log e) = nlog n 1,44n
=> on ne peut pas esprer faire mieux que O(n log n)

Mthodes de tri lmentaires (1)
Tri par slection

Donnes: un tableau de n lments trier

Principe: pour chaque position successive dans le tableau, on cherche l'lment qui occupera cette position dans le tableau tri, et on l'y place en permutant cet lment avec l'lment courant.

liste trie

liste trie

case courante

devrait se trouver

dans la case courante

reste trier

reste trier


201895241327283271236151719

Algorithme de tri par slection

procdure triSlection (tab, nbre)

{recherche pour chaque case l'lment qui doit y tre affect et y place cet lment}

paramtre s (D/R) tab: tableau [1, MAX] d'entiers

(D) nbre: entier

variables indDuMin, position: entier

dbut

pour position 1 nbre 1 faire

indDuMin slection(tab, nbre, position,nbre)

{recherche lindice de llment minimum entre position et la fin de tab}

changer(tab, position, indDuMin) {change deux positions dans tab}

fpour

fin


Algorithme de tri par slection (2)

fonction slection (tab, nbre, indDbut,indFin) retourne(entier)

{recherche l'indice de l'lment minimum de tab entre indDbut et indFin}

paramtre s(D) tab: tableau [1, MAX1 d'entiers

(D) nbre, indDbut, indFin : entiers

variables indDuMin, ind: entiers

dbut

indDuMin indDbut

pour ind (indDbut + 1) indFin faire

sitab[indDuMin] > tab[ind] alors indDuMin ind

fpour

retourner(indDuMin)

fin


Mthodes de tri lmentaires (1)
Tri par insertion

Donnes: un tableau de n lments trier

Principe: la partie gauche est trie; on essaie d'insrer chaque nouvel lment dans cette liste, en dcalant d'un cran la partie droite restante.

liste trie

liste trie

place du nouveau

reste trier

nouveau

reste

reste


201895241327283271236151719

Algorithme de tri par insertion

procdure triInsertion (tab, nbre)

{recherche pour chaque lment la case o il doit tre affect et y place cet lment}

paramtre s(D/R) tab: tableau [1, MAX] d'entiers

(D) nbre: entier

variables indVal, numPlace: entiers

dbut

pour indVal 2 nbre faire

{recherche de 1'endroit o doit s'insrer la valeur place en indVal}

numPlace Insertion(tab, nbre, indVal)

{si la valeur n'est pas insrer en fin de zne trie, l'insrer la place voulue}

si (numPlace indVal ) alors

{libre la position numPlace par dcalage et y place tab[indVal]}

dcalerEtPlacer(tab, numPlace, indVal)

fsi

fpour

fin


procdure dcalerEtPlacer(tab, nPlace, indVal)

{libre la position nPlace par dcalage et y place tab[indVall}

paramtre s(D/R) tab: tableau [1, MAX] d'entiers

(D) nPlace, indVal: entiers

variables indDuMin, ind, deCt: entiers

dbut

deCt tab[indVal]

{faire un trou au rang nPlace en dcalant les valeurs qui suivent d'un rang vers la droite}

pour ind indVal nPlace + 1 pas 1 faire tab[ind] tab[ind1] fpour

tab[nPlace] deCt

fin


Simulation du dcalage


Deux algorithmes pour la recherche de place

1. Recherche squentielle dans un tableau tri

fonction insertion (tab, nbre, indV) retourne(entier)

{renvoie la place laquelle il faut affecter tab[indV] pour respecter l'ordre}


(D) nbr, indV: entiers

variables dpass: boolen; i, val, nbValTries: entiers

dbut

val tab[indV];nbValTries indV 1

dpass faux;i 0

tant que i < nbValTries ET non dpass faire

ii+ 1

dpass (tab[i] > val)

ftq

si dpass alors retourne (i) sinon retourne (i+l) fsi

fin


Simulation du tri par insertion squentielle


2. Recherche dichotomique

fonction insertion (tab, nbre, indV) retourne (entier)

{renvoie la place laquelle ilfaut affecter tab[indV] pour respecter l'ordre}


(D) nbr, indV: entiers

variables id, if, im, val: entiers

dbut

val tab[indV];id 0if indV + 1

tant que if id > 1 faire

im (id + if)/2

si (tab[im] > val) alors if im sinon id im fsi

ftq

retourne (id + 1)

fin


Simulation du tri par insertion dichotomique


Complexit des tris lmentaires
Cot du tri par slectionon fait (nl) + (n2) + ... + 1 tests de comparaison, soit en tout: n(nl)/2 comparaisonson peut tre amen faire n-1 changes
=> algorithme en O(n2)
Cot du tri par insertion:en moyenne n2/4 comparaisonsn2/8 changes deux fois plus dans le pire des cas
=> ici encore algorithme en O(n2)


Tris indirects
Problme : tri sur diffrents critresOn veut mmoriser les rsultats des tris par nom, par taille, par dateRep[1]Rep[2]Rep[3]nom toto.C toto.o tototaille 20 457 3 456 5 248date 12.04.0113.04.01 15.04.1

Solution : utilisation
de tableaux dindices
On utilise trois tableaux diffrents qui contiennent non les agrgats, mais les indices des agrgats dans le tableau
triNom

triTaille

triDate
312231123

Tris indirects (suite)
Dans lalgorithme de tri, la comparaison de deux agrgats se fait relativement un critre (nom, taille, date) :
prcde(i, j, Critre, tab)

fonction qui retourne vrai si le fichier tab[i] prcde le fichier tab[j] relativement au critre Critre


Fin du volume 6


iUT

ORSAY

algo volume 6

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