algorithmische geometrie thema: konvexe hull¨ enmhanheid/lehre/alggeo/convhull.pdfdenen die hul¨...

Algorithmische GeometrieThema: Konvexe Hullen

Christoph Hermes

[email protected]

17. Juni 2003

1Ausblick auf den Vortrag 1/32

• Was sind konvexe Hullen?

Wozu braucht man sie?

• Wie kann man sie berechnen → gibt es Algorithmen?

? naiver Algorithmus: Einwickeln

? Graham Scan

? Quickhull

• Wie kann man die Laufzeit verbessern?

→ innere Elimination

• Fazit/ Demonstration

1

2Was sind konvexe Hullen? 2/32

• mathematisch: definiert als

das kleinste Polygon, dass alle

Punkte enthalt




Punkte enthalt

• analog: kurzester Pfad, der

alle Punkte umschließt




Punkte enthalt

• analog: kurzester Pfad, der

alle Punkte umschließt

• oder auch: Jede Linie, die zwei Punkte dieser Punkt-

menge verbindet, muss innerhalb des Polygons liegen

2

3Wozu braucht man sie? 3/32

• Datamining


• Datamining

• Computergraphik - Naherung fur Objektgeometrie


• Datamining

• Computergraphik - Naherung fur Objektgeometrie

• Pathfinding

3

4Einwickeln - graphisch 4/32

• gegeben: Punktmenge P

4



• Suche den Punkt mit y = min




• Finde den kleinsten Winkel von der

Horizontalen ausgehend

5






• Suche den kleinsten Winkel zum nachsten Punkt

6






• Suche den kleinsten Winkel zum nachsten Punkt

• Fahre so lange fort, bis der Anfangspunkt wieder erreicht ist

7

8Einwickeln - Bewertung 8/32

• Vorteil:

Algorithmus lasst sich auch auf hohere Dimensionen

erweitern


• Vorteil:


erweitern

• Nachteil: Effizienz leidet erheblich

Laufzeit:N−1∑i=1

(N − i) = N2−N2 ⇒ Θ(N2)

Das ist auch gleichzeitig Worst Case: O(N 2)


• Vorteil:


erweitern

• Nachteil: Effizienz leidet erheblich

Laufzeit:N−1∑i=1

(N − i) = N2−N2 ⇒ Θ(N2)

Das ist auch gleichzeitig Worst Case: O(N 2)

• Es geht auch besser: Graham Scan (von R.L. Graham,

1972)

8

9GrahamScan - graphisch 9/32

• wieder gegeben: Punktmenge P mit

A als Minimum und Pivot

(A.y = min ∨A.x = max)

9





• erzeuge ein einfaches Polygon





• erzeuge ein einfaches Polygon

• A und B stehen schon als Teil der

konvexen Hulle fest

Beginne daher, ein Polygon ABC zu

konstruieren

10


• erzeuge eine neues Teilpolygon mit

dem nachsten Punkt

→ hier D

11



dem nachsten Punkt

→ hier D

• backtracking: Eliminiere Punkte, bei

denen die Hulle einen Knick nach

rechts macht



dem nachsten Punkt

→ hier D



rechts macht

• wiederhole nun die letzten beiden

Schritte so lange, bis das einfache

Polygon abgearbeitet ist. Hier im

Schnelldurchlauf.

12



dem nachsten Punkt

→ hier D



rechts macht




Schnelldurchlauf.

13



dem nachsten Punkt

→ hier D



rechts macht




Schnelldurchlauf.

14



dem nachsten Punkt

→ hier D



rechts macht




Schnelldurchlauf.

15



dem nachsten Punkt

→ hier D



rechts macht




Schnelldurchlauf.

16



dem nachsten Punkt

→ hier D



rechts macht




Schnelldurchlauf.

17

18GrahamScan - Pseudocode 18/32

PointList GrahamScan(PointList ptLst) {ptLst = createSimplePolygon(ptLst); // Erstelle ein einfaches Polygon

18GrahamScan - Pseudocode 18/32

PointList GrahamScan(PointList ptLst) {ptLst = createSimplePolygon(ptLst); // Erstelle ein einfaches Polygon

Point cur;for (int i=2; i<ptLst.len; i++) { // Durchlaufe Polygon mit Backtracking

cur = ptLst[i-1];while(turnRight(cur.Prev,cur,cur.Next)) {

cur = cur.Prev;cur.Next.delete();

}}

}

18

19GrahamScan - Bewertung 19/32

• eigentlicher Algorithmus lauft in linearer Zeit ab

⇒ Θ(N)



⇒ Θ(N)

• aber: das Sortieren erfordert Θ(N log N)darum gesamt Θ(N log N)



⇒ Θ(N)

• aber: das Sortieren erfordert Θ(N log N)darum gesamt Θ(N log N)

• ein anderes Verfahren in der gleichen Effizienzklasse:

Quickhull (analog zu Quicksort)

19

20Quickhull - graphisch 20/32

• Gegeben: Punktmenge P

20



• Suche zwei Punkte, die garantiert

auf der konvexen Hulle liegen und

teile die Punkte dementsprechend in

zwei Halften

21






zwei Halften

• Finde den Punkt mit dem großten

Abstand von der Teilungslinie und

elimiere Punkte innerhalb des neuen

Polygons

22






zwei Halften




Polygons

• Verfahre genauso mit den neuen Grenzen bis keine neuen Punkte

mehr zu finden sind

23






zwei Halften




Polygons


mehr zu finden sind

24






zwei Halften




Polygons


mehr zu finden sind

25






zwei Halften




Polygons


mehr zu finden sind

26






zwei Halften




Polygons


mehr zu finden sind und verbinde den Rest zu einem Polygon

27

28Quickhull - Bewertung 28/32

• Effizienz wie bei Quicksort: Θ(N log N)


• Effizienz wie bei Quicksort: Θ(N log N) aber mit Worst

Case: O(N 2) (wenn alle Punkte auf der konvexen Hulle

liegen)




liegen)

• Im direkten Vergleich zum GrahamScan und Wrap-

Algorithmus das schnellste Verfahren in der praktischen

Anwendung




liegen)

• Im direkten Vergleich zum GrahamScan und Wrap-

Algorithmus das schnellste Verfahren in der praktischen

Anwendung

• lasst sich auch auf die dritte Dimension anwenden

28

29innere Elimination 29/32

• Verbesserung des GrahamScan´s und der naiven Hulle?

Sicherlich kann man an den Konstanten ein wenig

”rutteln”, aber was ist mit der Anzahl der Punkte

an sich?

29innere Elimination 29/32

• Verbesserung des GrahamScan´s und der naiven Hulle?

Sicherlich kann man an den Konstanten ein wenig

”rutteln”, aber was ist mit der Anzahl der Punkte

an sich?

• Losung: Vorberechung mit der ”inneren Elimination”

29

30innere Elimination - Verfahren 30/32

gegeben:

Punktmenge P


gegeben:

Punktmenge P

→Suche vier Extrem-

punkte und bilde

daraus ein rechteck-

ahnliches Polygon


gegeben:

Punktmenge P

→Suche vier Extrem-

punkte und bilde

daraus ein rechteck-

ahnliches Polygon

→Bilde in dem Polygon

ein Rechteck und

eliminiere die darin

enthaltene Punkte

30

31innere Elimination - Bewertung 31/32

• Effizienz: Θ(N)



• Es bleiben√

N Punkte im Schnitt ubrig

(lt. stochastischer Geometrie)



• Es bleiben√

N Punkte im Schnitt ubrig

(lt. stochastischer Geometrie)

• Eliminationsverfahren schon in Quickhull enthalten

31

32Fazit 32/32

• Welchen der bisher dargestellten Algorithmen sollte man

nun bevorzugen?

32Fazit 32/32


nun bevorzugen?

• Ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass Punkte schon auf

einer konvexen Hulle liegen:

innere Elimination + GrahamScan

32Fazit 32/32


nun bevorzugen?




• sonst: Quickhull

32Fazit 32/32


nun bevorzugen?




• sonst: Quickhull

⇒ Und das Beste zum Schluss: Die Demonstration

32

Literatur zum Nachschlagen• R. Sedgewick: Algorithmen in C, Kap. 24/25

• Java-Applets:

I http://www.cs.princeton.edu/ ah/

alg anim/version1/GrahamScan.html

I http://www.pms.informatik.uni-muenchen.de/

lehre/compgeometry/Gosper/convex hull/

applet/convex hull applet.html

• Ansonsten hilft meistens googlen :)

algorithmische geometrie thema: konvexe hull¨ enmhanheid/lehre/alggeo/convhull.pdfdenen die hul¨...

Documents