algoritme voor het schatten van de parameters in …- 1 - 1. inleldlng in dlt memorandum wordt een...
TRANSCRIPT
Algoritme voor het schatten van de parameters in ARMA-modellen met meetfouten op de in- en uitvoerCitation for published version (APA):Vregelaar, ten, J. M. (1985). Algoritme voor het schatten van de parameters in ARMA-modellen met meetfoutenop de in- en uitvoer. (Memorandum COSOR; Vol. 8510). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1985
Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:
providing details and we will investigate your claim.
Download date: 02. Mar. 2020
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN
Onderafdeling der Wiskunde en Informatica
Memorandum-COSOR 85-10
Algoritme voor het schatten van de
parameters in Arma-modellen met
meetfouten op de in- en uitvoer
door
J.M. ten Vregelaar
Eindhoven, Nederland
Juni 1985
- 1 -
O. Inhoud
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Inle1ding
Probleemstelling
Bet schatten van de parameters
Algori tme m. b. v. Q - R decompositie·
Q - R decompositie gebaseerd op Householder transformaties
Bepaling van A uit RA =u
Bepaling van n , t
af Bepaling van de gradient
aYk Conclusies
10. Referenties
1
2
5
9
12
23
25
27
30
33
- 1 -
1. Inleldlng
In dlt memorandum wordt een algoritme beschreven voor het schatten
van de parameters in Arma-modellen met meetfouten op in- en uitvoer.
We be schouwen hier het MIMO (multiple input - multiple output) geval
en nemen aan dat het totaal aantal waarnemingen van de in- en uitgan-
gen (= N) groot is vergeleken met het totaal aantal parameters
2 ps + (q + 1)sr.
In [EIS] staat een algoritme beschreven voor het SISO-geval (single
input - single output), dat gebruik maakt van zgn. Toeplitz-afstanden
om een grootschallge matrix te inverteren. In de hier gehanteerde, meer
inzichtelijke methode, komt een Q-R decompositle in de plaats van ma-
trixinversie.
Na de probleemstelllng in paragraaf 2 voIgt in de paragrafen 3 en 4 de
methode die aanleiding geeft tot het algoritme. In het algoritme onder-
scheiden we 4 stappen die achtereenvolgens in de paragrafen 5 tim 8 aan
de orde komen. De cruciale stap is de Q-R decompositie, waarvan aan
het eind van paragraaf 5 een algoritme in pseudo-algol vorm is opgenomen.
Arma-modellen met ruis op de in- en uitgangen vinden o.a. toepassing in
de econometrle.
- 2 -
2. Probleemstelling
~t afmeting r
'"I G c.k afmeting·s
We beschouwen een dynamisch lineair tijdinvariant MIMO (multiple input -
multiple output) systeem, dat als voIgt gemodelleerd wordt (zgn. ARMA-
model) :
+ ... + +
Auto Regressief deel Moving Average deel
t = 1,2, .••• De dieptes p en q zijn bekend (P.q ~ 0).
De parameters a 1 en S1 zijn s x s resp. s x r matrices.
Er z1jn met fout gemeten waarnemingen beschikbaar:
x = ~ + e t
t t t t = 1,2 ..... N .
We maken de volgende aannames voor de fouten e t en e~:
lEe t = 0 t
var e t
t
(1)
(2)
(3)
- 3 -
op grond van de waarnemingen (2) waarbij de ware waarden tt' ~ van
de 1n- en uitgangen voldoen aan het model (1).
We kunnen model (1) ook weergeven ala
A'I1 + B~ = 0 , (4)
waarbij
-I 1 So • • • :ll • 111 0.1
• g • • g • • • • • • • • • • • • • • • , A = • • B = • • 11 = ~ = ~J • • , ,
• • • • TN • - • - • • a • Sq. • - • p. • • • • • • • • • • • • • • g ap
... ~ -I g -13 ••• So q
sN x sN sN x rN
A en B zijn band, llnksonder blok Toeplltz matrices. Bovendlen is A
regulier.
Na het op analoge wijze invoeren van de kolomvectoren y,x,e en e' no-
teren we (2) en (3) als
y = '11 + e x = ~ + e t (5a)
lEe = 0 Ee' = 0 (5b)
e,e' onafhankelijk (5c)
en
reJ 2 VAR b' = (j I (5d)
- 4 -
Opmerkingen.
1. We veronderstellen dat voor grote N het begineffect te verwaar
lozen is, waardoor (4) gerechtvaardigd Is. Eventueel kunnen ;t en nt
voor t ~ 0 geschat worden.
2. Aanname (5d) garandeert de identiflceerbaarheid van de parameters,
zie eElS].
- 5 -
3. Het schatten van de parameters
We bepalen schatters voor ai' Sj' n en ; door de restkwadratensom te
minimaliseren:
Ilx - ;112 + 111 - nl12
onder An + Bt = 0 . (6)
Als we aannemen d.t de fouten e en e t normaal verdeeld zijn dan zijn de
oplossingen.van (6) de maximum likelihood schatters voor de parameters.
Na het invoeren van de notaties
gaat (6) over in
min liz - 011 2 onder Do = 0 •
'V,eS
Omdat A regulier is, is D van volle rijenrang.
Voor vaste 'V geeft toepassing van Lagrange
1 T T L(O,A) = 2(Z - 0) (z - 0) + A Do
we lossen 0 en A op uit VL = 0, dus uit
'{o +
Do = 0
(7)
(Sa)
(Sb)
Dan is
Dus z - 15 + = D Dz
- 6 -
Probleem (7) is nu gereduceerd tot
min fey) met fey) = IID+DzI12 y
(9a)
+ (l - D D)z (9b)
(10)
Tot slot van deze paragraaf leiden we uitdrukkingen af voor de eerste en
tweede afgeleiden van fey), die we eventueel benutten b1j de oplossing van
probleem (10).
()f Noteer fk := aYk met Yk is een element van een parametermatr1x, analoog
Dk , ).k' ok'
Vi t (8) voIgt
Ok + DT).. = _DT ). (l1a) k k
DOk = -D 6 (llb) k
Los Ok en Ak op uit (11) :
+ DDT). (l1a)
_ DDT ). DDT). (Ub)
DDT A DOk = dus = D ° -k k k k k
- 7 -
waaruit voIgt
(12a)
(12b)
Eerste afgeleide
Differentieer f(y)' = ~z _ a~2:
(13)
voor Yk afkomstig uit een ai-~trix is fk
en voor Yk uit een Sj-matrix is
Tweede afgeleide
Noteer
dan is
•
Dk constant
= AtTDka + ATDkat
(1·
- 8 -
Opmerking
1. In termen van A, Bt Y en x is £(y) te schrijven a1s (zie (10»,
T T T -1 £(y) = (Ay + Bx) (AA + BB) (Ay + Bx) • (15)
2. Uit (8a) voIgt dat 0 naast (9b) ook geschreven kan worden ala
dus 11 = Y (16)
~ = x
- 9 -
4. Algoritme met behulp van Q - R decompositie
We beschrijven in deze paragraaf een algoritme dat bij gegeven y de
waarde f(y) en de gradient ~~ berekent. Bij geschikt gekozen start
waarden, zal een numeriek minimaliseringsalgoritme dat gebruik maakt
van de gradient het gezochte minimum bepalen.
We hebben problee~ (6) herschreven tot:
en
verder is
min f(y) , met f(y) = Ilo+oz 112 y
als Yk afkomstig uit een ai-matrix
af aYk =
als Yk afkomstig uit een Bj-matrix ,
). = (O+)Tz
n = y - AT).
E; = x _ BT).
In [EIS] wordt voor elke waarde van y voor het SIS~geval een matrix
geinverteerd m.b.v. zgn. Toeplitz-afstanden. Een alternatief wordt ge-
geven door [GOL], p. 410 e. v.: Q - R decomposi tie. In de volgende para-
(17a)
(17b)
(17c)
(17d)
(17e)
(17f)
graaf komt de uitvoering van de Q - R decompositie uitvoerig aan de orde.
Hier gaan we in op de consequenties ervan voor de berekening van f(y)
at en -a- .
Yk
- 10 -
Gelet op de nevenvoorwaarde Do = 0 (zie (7)) maken we een Q - R decompo
. T sitie van de matrix D die van volle kolommenrang is:
DT = Q[~] , Q is orthogonaal, R 1s rechtsboven, band en regulier.
Als Q = (Ql I Q2) voIgt
T D = Q1R .
Dan is
en
Uitgedrukt in z, Q, R voIgt voor f en A (zie (17.a,d»
Definieer
dan 1s
en
T u := Q
1 z
f(y) = IIul12
-1 A = R u •
(18)
(19a)
(19b)
(20a)
(20b)
(20c)
• af T (18) T T V~~r de berekening van f(y) en -a-- hebben we nodig u = Q1 z, R = Q
1 D
Yk -1 = R u, waarbij de waarnemingsvector z gegeven is. en A
Breid de matrix DT uit met de kolomvector z dan geldt
(21)
met w
- 11 -
Aan de hand van bovenstaande afleiding komen we tothet volgende algo
af ritme voor de berekening van fey) en --- (y) als y gegeven 1s. aYk
1. Maak een Q-R deeompositie van DT; via (21) volgen R, u en f = Ilu11 2,
2. Los X op uit RX = u, R is reehtsboven,'band ..
3, Bereken n T =y-.AX
en
4, Bereken
T t = x - B A (zie (17 e,f».
(de (17 b ,e» .
In de volgende 4 paragrafen w~rden de 4 stappen in het algoritme
gedetailleerd beschreven.
- 12 - •
5. Q - R decompositie gebaseerd op Householdertransformaties
5.1. Algemeen
Zij A een m x n matrix (m ~ n). van volle kolommenrang.
Dan 1s er een orthogonale matrix Q (zie b.v. [GOLJ, p. 147 e.v.)
zodanig dat
R is rechtsboven en regu11er.
Door de eis dat de diagonaalelementen van R pos1 tief zijn is deze Q - R
decompositie van A eendu1dig bepaald.
Een methode ter berekening van Q en R wordt gegeven door gebru1k te
maken van Householder matrices (zie [GOLJ, p. 38-43).
n T T Als v E lR , v rF 0 dan is P : = I - 2vv Iv v een n x n Householder matrix.
Het is duidelijk dat P symmetrisch en orthogonaal is. De voor ons doel
beoogde toepassing van Householder matrices is de volgende.
Stel x e: mn
(22)
Opmerking. Om cijferverl1es tegen te gaan, nemen we v = x + sign(x1
) IIxllel
(zie [STEJ. p. 233).
- 13 -
Onderstaand voorbeeld laat zien hoe we Q en R berekenen voor gegeven A.
Voorbeeld. Stel m = 6, n = 5 en Householdermatrices P1
en P2 zijn
berekend zodanig dat
x x x x x
0 x x x x
P2
P1
A 0 0 x x x = 0 0 x x x
0 0 x x x
0 0 x x x
Bepaal nu een 4 x 4 Householder matrix ~3 zodanig dat
x x
x 0 ,... ..... P
3 = en neem P3 = diag(I2 '
P3
) x 0
x 0
dan is
x x x x x
0 x x x x
0 0 x x x P3P2P1A =
0 0 0 x x
0 0 0 x x
0 0 0 x x
Pi is symmetrisch en orthogonaal, i = l, ... ,n.
R Definieer Q = P1· ••• ·Pn dan 1s A = Q [oJ·
- 14 -
'5.2. Speciale Q - R decompos it ie
T We willen nu bovenstaand recept toepassen op de matrix D , Om de Toeplitz
T structuur in de matrix D niet kapot te maken, voerenwe een speciaal op
die structuur toegesneden Q - R decompositie uit.
Volgens (21) T T zijn we geinteresseerd in de werking van Q op (D Iz).
T . We schrijven Q als produkt van Ns matrices, die alle orthogonaal en
symmetrisch zijn:
QT = H 1 N,s
H H H H 1-1 2_,_s ___ 2_,_11 1..-,1_1 ,_s---,. __ 1_,_11 (23)
We zullen nu d.m.v. de werking van H1 •1 laten zien hoe de hlok Toeplitz
structuur behouden b11jft.
De werking van Hj,t in het algemeen (j = l, ... ,N; t = l, ... ,s) komt daar
na aan de orde.
Definieer
T a 1 := a i
bi Sf
T :=
m := max(p,q)
i =
i =
1, .•. ,p
0, •.•• q
.- -I s
T dan kunnen we, door eventueel enkele blokken a1 of bi
nul te nemen, (D Iz)
schrijven als
- 15 -
ao ... a Y1 • m· • . • •• a
•• m . • • • •
Vermenigvuldiging met H1 ,1
'11 Beschouw de eerste kolom in ( D I z). Deze bevat slechts (r + 1) elementen die
ongelijk aan 0 zijn: aO ' bo , ... ,bO 1,1 1,1 r,l
...., Laat h een (r + 1) x (r + 1) Householder matrix zijn, waarvoor geldt dat
a * 01 1 , b 0 ....,
0 1 1 h = ,
We kunnen nu dezelfde hook op de overige (N - 1) onderelkaarstaande
ao en bO
blokken laten werken door H1 ,1 als voIgt te kiezen:
- 16 -
h11 h12 • • • •
h11
H1 ,1 = T
h12 h22 • • •
• T h12
waarbij t!!1= diag(~1,1·1 •.••• 1)
SXS
~fi2 2 • · . · . · . ,..., ,... h2 ,r+l··· hr+1,r+1
Ii' 2,r+1
• • h12
• • h22
.::...l
(s + r)N x (s + r)N ,
Het gevolg is dat in H1
,l(DT
lz) aIle eerste kolommen van de blokken op
de bo-diagonaal nul geworden zijn, en dat de overige (8 - 1) kolommen
van die blokken identiek getransformeerd zijn. Zo transformeren aIle
onderelkaarstaande paren a1
, b1 tim am' bm op identieke wijze, zodat
T de blok Toeplitz structuur in de matrix D behouden blijft.
We kunnen voor aIle volgende vermenigvuldigingen een analoge redenering
ophangen, zie "vermenigvuldiging met Hj ft, Essentieel is dat de matrix BT ,R.
- 17 -
T en het "resterende dee1 tt van de matrix A blok Toepli tz blijven door de
speciale keuze van de Hj,l-matrices.
Vermen1gvuldiging met Hj,t
We hoeven slechts de werking van een (r + 1) x (r + 1) Householder
matrix h op onderstaande blokken en vectoren te berekenen om de ttnieuwe"
(DTI z) helemaal teo kennen. Door het behoud van de Toeplitz structuur
blijven de blokdiagonalen constant (in de matrix AT aIleen de je tIm Ne
blokrij). De veranderde elementen behouden hun "naam":
a1
b. l-
bi
en
a a i it t t,s , l,s
b bi i 1 ,t 1,s .... l,s := h i=O, •.. ,min(m,
b i b. r,t 1-r,s r,s
1s2 2 .2 I -sign(aO
) aO
+ bO
+ •.• + bO t,t t,t 1,t r,t
= bO := 0 (zie (22,25» r,t
en ~:::'j := h ~::'j k = O,l ••.. ,N - j .
..... Hierin is h Householder,
.... T T h = I - 2vv Iv v ,
met
N - j) (24a)
(24b)
(25)
+ •.• + b2 I b b)T o ' 0 , ... , 0 r,t 1,t r,t
- 18 -
De volgende keuze voor de matrices Hj
•t
in (23) zorgt voor handhaving
van de Toeplitz structuur in de matrix DT:
[1 ~ (j-l)
I
•
~I h22 j=I •...• N; t=1
(s+r)Nx(s+r)N
waarbij
ful._ ..., diag(I, ...• 1, hI 1,1, ..•• 1) SXS ,- ,
t e 1 plaats
"'" h 2,r+l
,.., tv
h2 1" h 1 1 ,r+ r+ ,r+
• • h22
I •
~I= sXr
• •
r
I
[1.2 ~
,.., .•• hI 1 .r+
~
e De werking van Hj
•t
bestaat uit het schoonvegen van de 1 -kolom in aIle
-+- tE
bO blokken op de blokdiagonaal N+l,j; N+2, j+l;, •• ; 2N-j+I,N. Naelke Hj 'I
is er een blokdiagonaal met bO-blokken nul geworden,
T T Schema: Werking van Q op (D Iz)
Het volgende schema beschrijft globaal de werking van QT op (DTlz); we
definieren daartoe R := (rij ), r 1j 1s (s x s)-blok voor 1,j = 1, ... ,N
I I
- 19 -
U1
en U := met ui
(s x l)-vector.
uN
r- -r '" , .... 1,1 r 1 , m+1 u
1
~ .••.. 0 000 a Y2 m • • •• ' ... a .. m .. • • • .. •
P1(DT
lz)
• a YN 0 = ~ 0 0 0.0
t ••• "
0 b xl m-1 . • • b
m-l • • • • • • 'b
0 ~-l 0 w
N -
r- -r 1 1
• o .• or 1 1 ,m+ u
1 . • .. .. ••• .. .. ' . . ... u r N0' 0 or N N-m, -m N-m N-m
~ '.0 a m-1 YN- m+1 , · • 0 · .. · 0
• 0 · .. ao Y~
~ .. o b m-1 xl , .... ,
• • · 0 • 0 · • · 0 • bo x m
W m+1
· · · wN - -
- 20 -
r 1 1 ... ,
R en u zijn nu bepaald, (zie 21).
Toelichting bij het schema
• • • •
r 1,m+1
• •
' . • • •
• • ·r N-m,N
• (26)
1. We hernummeren de bi-blokken
is na elke vermenigvuldiging
na elke vermenigvuldiging met Hj
. Verder ,s e e met H
j de j blokrij van R en de j blok,s
component van u gevonden:
rj,j := aO····, rj,j+min(m. N-j) .-
en
Deze b1ijven onveranderd. evenals w l' N-j+
a min(m, N-j)
e 2. Omdat voor j = 2, ... ,N-m het aantal blokken ai
in de j blokrij een meer
e bedraagt dan het aantal blokken bi
in de (N + 1) blokrij van (de getrans-
T formeerde) D blijft het aantal blokken bi constant (= m) voor j = 2, ... ,N - m
enerzijds verdwijnt het bo blok, anderzijds wordt het bm-blok gevormd
- 21 -
dat na hernummering de naam b 1 krijgtj in (24 a) is we11swaar het b -m- m
blok 1n het rechter11d nul, maar het am-blok niet.
3. Omdat na elke stap aO rechtsboven bl1jft 1s slechts een (r + 1) x (r + 1)
ondermatrix van de (s + r) x (s + r) mat:1>;. die op ~:J werkt van belang.
De (r + 1) x (r + 1) Householder matrix h (in (24» wordt aangevuld met
s - 1 termen 1 op de diagonaal .
In bet bizonder zijn aIle r 1 1 (1 = 1, ... ,N) in (26) recbtsboven . •
"'" T T 4. U1 t h = I - 2 vv Iv v voIgt
h. j = 6i . 1, , J
2 - -- v v
Ilv112 ' 1 j 1,j = 1, ... ,r+l •
Bovenstaande bescbrijving geeft aanleiding tot bet volgende algoritme ter
bepaling van R,~ en fey).
Invoer aO, .. ·,am, bO,···,bm, z = [~J Ultvoer R, u, f •
Bescbouw bet geval m ~ 1. Het commentaar is vermeld tussen accolades. De
waarden voor j en t corresponderen met de vermenigvuldiging met Hj
. ,9.
- 22 -
begin f := 0 ;
end
for j := 1(1) N do
begin if 2 :5 j S N - m then b : = 0 m
{zie toelichting punt 2}
end
for 1 := 1(1) S do
begin v := (aO ' bO i,l I f i
{de (25)}
{~ie (24 a)}
for i := 0(1)m1n(m,N - j) do "verander a1
,bi" 1*
for k := O(l)N-j do "verander Yk
+ j ,t;Xk
+l
" {zie (24b:
for i := 0(1)m1n(m,N - j) - 1 do
begin b i := bi+
1 {Hernummer de bi's}
r j. j+i := a1
r := a j,j+min(m,N-j) min(m,N-j) {zie toelichtil
punt 1}
- 23 -
6. Bepaling van A uit RA = u
Via (2.6) schrijven we RA = u als
r: r '&'1,1 ... l,m+1 .
'. '. r N-m,N
A1 ul
=
AN lJ met r 1 ,j : s x s, Ai,ui : s Xl.
e Noteer Ai,j en Ui,j voor de j component van de vectoren A1 resp. Ui
(1 = 1 •••.• N; j = 1 •..• ,s), z1e ook par. 7 en 8.
R en U z1jn bekend (zie paragraaf 5), R is een rechtsboven en band-
matrix, ook alle r i i zijn rechtsboven voor 1 = 1, ... ,N. ,
Schrijf (27) uit door de N blokrijen te vermenlgvuldigen met A, te be
ginnen met de Ne :
rN,NAN = UN
r N- 1 ,N-IAN-1 = uN_1 - rN_1,NAN
r A =u -r A -N-m,N-m N-m N-m N-m,N-m+l N-m+l
r A N-m-l,N-m-l N-m-l
= u._ . -r A-N-m-l N-m-1'N-m N-m - r A N-m-1,N-l N-1
- r A • l.m+l m+l
(27)
e Los uit de eerste vergelijk1ng AN op.uit de tweede AN_l " .. , uit de N Al'
- 24 -
Algoritme.
min(N,i+m) __ I.2!: i:=N(-l) 1 do begin rechterlid :=u
i - 1: r 1 kAk
k=i+l '
rechter1id"
Het dee1probleem los A op uit rA = u, 1s hetze1fde probleem met dit
verschil dat r nu een s x s matrix is en A en u s x 1 vectoren, en
verder 1s r weI rechtsboven, maar geen bandmatrix.
uitgeschreven geeft
r A s,s s = Us
r A = u - r A s-l,s-l s-l s-l s-l,s s
- r AI,s s
Het bijbehorende algoritme luidt nu:
s for i := s(-l)1 do begin rechterlid := ui - I r 1kAk
k=1+1
rechterlid / ri
1 , end
- 25 -
7. Bepallng fl, ~
Analoog aan A en u noteren we 1'1 1 ,j' l;i,j' Xi,j en Yi,j voor de je
de e (i = 1, ... ,N en j = 1, ... , r s) . component van i vector resp
We berekenen fl en l; uit (zie (17 e,f»
(1'1 = Y - AT).. (28a)
i. = x - i?A (28b)
V~~r elke y = (al,···,ap ' 60 ,···,13q), ligt [~J vast; z = [~J is gegevenj
voor A en S zie (4) en A is het resultaat van de berekenlnge~ uit para-
graaf 6.
1-1 T T Al • a 1
a ... . p,
T a
AT" .p
T min(l,N-i) T = , dus fA A)ll= -A + a A . , . i k=l k k+1 , T
" a1
sxl , , ,
" -I AN i = 1, ... ,N .
Iso T ," . a T Al q ..... ... T 'a
sTA . q T min(I,N-i) T .
dus = . . I(S A) 11 = 13 A "
, k=O k k+i
, " ... . e T r xl
0 AN i = 1, ... ,N .
- 26 -
U1t (28) voIgt nu
1 = 1, •..• N; j=l, ...• s
~1,j 1 = 1, ...• N; j=1, ...• r
Omdat
T S T s
(ak Ak+1 ) = I (ak ) j 1 A = I (ak
) hk+1 ,1 j = 1, ...• s j 1=1 •
k+i,1 1=1 1,j
en
T s s
(Sk Ak+1) = I (a T) A = I (ak
) Ak+1 ,1 j - I, ... ,r j 1=1 k j,t k+i,1 t=l 1, j
v1nden we voor n en ~
(29a)
n1
. .J
min(i!,N-i) s = Y1.j + A1 ,j - L. I (a) A i 1 = 1, .•• ,N: j=1,.,
. k=l 1=1 k 1. j k+ ,1
(29b)
~i.j i = 1 •... ,N; j=l,.
- 27 -
8 B Ii d di " af . epa ng van e gra ent -a--Yk
We berekenen de gradient ;f uit de formuies (17 b,e) Yk
af aYk =
als Yk afkomstig u1t een ai-matrix
alsYk afkomstig uit een 6j-matrix •
De veetoren A, n en ~ zijn bekend (u1t paragraaf 6 en 7), en
(30a)
(30b)
We voeren eerst de vermenigvuldiging AT~ resp. ATBk uit, dit levert sN
resp. rN-rijveetoren.
T Bedenk dat A
Na 3 speciale Yk'S voIgt het algemene resultaat.
Dan 1s
0.8.+1 :[ Bk = 1.s + i ~
(N':l)s + i -+
1
t O.r+j
: --.-~ ] 1.r+j •.• (N-1)r+j
- 28 -
Bk be vat N elemente~ 1, de overlge zijn O.
Gevolg
plaats: t j
t r+j
t (N-1)r+j
1 - 1, •..• s
j=l, .•.• r.
De over1ge elementen in deze rN-rijvector zijn O ..
2) Yk = (a1
) 1.j
s+i -+ [: ] Ak = 2s+i -+ 1 •• . ... . (N-l)s+i -+ ~ ··.1
t t j s+j (N-2)s+j
Ak bevat (N-1) elementen 1. Nu 1s
0) 1, j :: 1, ...• s .
plaats: t j
t s+j
3) Yk = (61
) analoog aan 2). 1,j
"TB = ("2 i 1..3 1 k , •
t t plaats j r+j
Algemeen geldt:
•
t (N-2)s+j
AN 1 0) • t
(N-2)r+j
1 = 1, ..•• s
j = 1, ..•• r
- 29 -
AT 3A =
°k+l, i Ak +2 ,1 AN 1 0 0) 3 (a.
k)
.. , 1,j
t t t plaats j s+j (N-k-l)s+j
AT aB ("k+l,l "k+2,1 AN i 0 0) = ..
a(Sk) , 1,j
t t t j r+j (N-k-l)r+j
Berekening van de afgelelde uit (30) resulteert in
N = 2 ~
n=k+l
N
l: n=k+l
A n n,i n-k,j ,
A t n,i n-k,j .
k=l, •.• ,p
1,j=1, ... ,s
k=O, ..• ,q
1=l, •.• ,s
j=l, •.• ,r
1,j=1, ... ,s
k= 1, ... ,p .
1=1, ... ,s
j = 1; ..• ,r
k=Op .. ,q .
(31a)
(31b)
- 30 -
9. Conclusies
We geven een samenvatting van de hier beschreven methode die tot een
algoritme leidt voor het schatten van de parameters in Arma-modellen
met meetfouten op in- en u1tvoer.
We bepalen de schatters voor de parameters y door de residuenkwadraten-
somte minimallseren met de modelvergelijking als nevenvoorwaarde (z is
de waarnemingsv~ctor van de uitgangs- ingangskolom 0):
min liz - 0112
onder Do = 0, D(y) van volle rijenrang. y,o
Met behulp van de Lagrangiaan L = ~"z - 0112
+ XTDO v1nden we het probleem
zonder nevenvoorwaarde
min fey) met fey) = IID+DzI12, D+ = DT(DDT)-1 • y
Omdat we f niet expliciet als functie van y kennen, lossen we dit pro-
bleem numeriek op. Bij geschikt gekozen beginschattingen zal een numeriek
algori tme dat gebruik maakt van de afgelelden
o = z -
ons schattingen van de parameters leveren. Vanwege de vervelende termen
T -1 -1 -T + T (DD) = R R en D D = Q1Q1 in (14) benutten we de tweede afgeleide
niet.
T Als we een Q - R decomposit·le van D geconstrueerd hebben (Q = (QIQ2» . dan
wordt
- 31 -
f = IIul12 , metu
en A -1 = R u.
Het algoritme voor de berekening van f en fi als functie van y ziet er
globaal als voIgt uit:
Door een speciale Q - R decomposi tie gebaseerd op Householder matrices
T wordt de Toeplitz-structuur in de matrix D goed gebruikt.
2. Los A op uit RA = u. R is een rechtsboven en bandmatrix. Het 1s moge-
lijk de blokstructuur te handhaven bij de terugsubstitut1e. Over1gens
verwachten we dat dit probleem goed geconditioneerd is als de parameter
waarden 1n DT niet te groot zijn.
3) Bepaal 0 T
= z - D A •
2 (1 = It''''ps + (q + l)sr) .
Door de bewerkingen op een geschikte wijze te organiseren komen bij de
laatste twee stappen de formules (29) en (31) tevoorsch1jn.
Merk op dat nergens expliciet gebruik is gemaakt van vrije parametrisatie
in de matrix D = (AlB), het verhaal gaat dus ook op voor gestructureerde
- 32 -
parametrisaties, die zich in o.a. economische toepassingen voordoen.
Alleen formule (31) voor de afgeleide behoeft enige aanpassing.
Of en zo ja, hoe snel, een computerprogramma gebaseerd op bovenstaand
algoritme ons parameterschattingen levert heeft nu onze interesse. We
zullen dan de resultaten vergelijken met die van het algoritme be
schreven in [EISJ; eventueel verdient de keuze van de beginschatting
nog wat aandacht.
Het toekomstig onderzoek richt zich verder op de asymptotische eigen
schappen van de schatters en op toepassingen in de vorm van econometrische
modellen.
In een later stadium zullen we het geval bekijken dat enkele van de in
gangen exact te regelen zijn, dus niet met fout gemeten.
- 33 -
10. Referenties
[EIS]
[GOL]
[STE]
Elsing F., Linssen H.N., Rietbergen H.,
System identlfication from nolsy measurements of inputs and
outputs, System and control letters 2, 348-353, 1983.
Golub G.H., van Loan C.F.,
Matrix Computations, North Oxford Academic, Oxford, 1983
Steweart G. W • ,
Introduction to matrix computations, Academic Press, New York,
1973.