algoritmo dijkstra pascal bom

1BC-0506: Comunicao e Redes

Algoritmos em Grafos

Santo Andr, 2Q2011

Parte 1: Algoritmos de Busca

3Rediscutindo: Representaes em Grafos

Matriz de Adjacncias

Matriz de Incidncias

Lista de Adjacncias

4Matriz de Adjacncias

A matriz de adjacncias de um grafo tem colunas e linhas indexadas pelos vrtices. Se A for a matriz de adjacncias de ndices i e j, A(i,j) = 1 se os vrtices i e j forem conectados por uma aresta e A(i,j) = 0 caso contrrio. Em grafos no orientados a matriz de adjacncias sempre simtrica, ou seja, A(i,j) = A(j,i).

5Exemplo: Grafo no-orientado e Matriz de Adjacncia

6Exemplo: Grafo orientado e Matriz de Adjacncia

7Matriz de Incidncia

A Matriz de Incidncia representa computacionalmente um grafo em que as linhas e colunas so vrtices e arestas. Assim, dado um grafo com n vrtices e m arestas, podemos represent-lo por uma matriz B n x m, guardando informaes sobre a incidncia de vrtices em cada aresta.

Para representar um grafo sem pesos nas arestas e no-orientado, basta que as entradas da matriz B contenham +1 se a aresta chega no vrtice, -1 se a aresta parte do vrtice e 0 caso a aresta no chegue nem parta no/do vrtice.

8Exemplo: Matriz de Incidncia

9Lista de Adjacncias

O vetor de listas de adjacncia de um grafo tem uma lista encadeada para cada um de seus vrtices. A lista de cada vrtice v contm todos os vrtices vizinhos que se pode alcanar a partir de v.

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Exemplo: Lista de Adjacncias

Adj[1] = {2}Adj[2] = {1,3,5}Adj[3] = {4}Adj[4] = {1,5}Adj[5] = {2}

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Grafos Ponderados

Um grafo pode ser ponderado ou no-ponderado. Se todas as arestas apresentarem um mesmo peso (ou custo), diz-se que o grafo no ponderado e considera-se todas as arestas com custo igual a 1.

O grafo ser ponderado se diferentes arestas possurem custos distintos.

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Exemplo: Grafos Ponderados e No-Ponderados

Pode-se ainda representar um grafo no-ponderado ignorando os custos das arestas. Em um grafo no-ponderado, todas as arestas possuem custo igual a 1.

Em grafos ponderados, representa-se entre parnteses o custo da aresta.

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Caminhos em Grafos

Um caminho num grafo uma sequncia de vrtices dotada da propriedade de que cada novo vrtice adjacente ao anterior.

A origem de um caminho o primeiro vrtice do caminho. O trmino o ltimo vrtice. Diz-se que um caminho com origem s e trmino t vai de s a t.

Dizemos que uma aresta v w pertence a um caminho se o vrtice w o sucessor de v no caminho. Todas as arestas de um caminho apontam no mesmo sentido, de um vrtice para o seu sucessor.

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Caminhos em Grafos

Costuma-se diferenciar caminho de passeio em grafos. Assim, em um caminho de s a t, no pode haver nenhum vrtice repetido, enquanto em um passeio isso pode acontecer.

O comprimento de um caminho o nmero de termos da sequncia menos um. Em outras palavras, o nmero de arestas do caminho.

Em grafos no-orientados, a existncia de caminhos uma propriedade simtrica: para quaisquer dois vrtices s e t, existe caminho de s a t, se e somente se, existe caminho de t a s.

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Exemplo de Caminho

Para o exemplo a seguir (no-orientado e no-ponderado), o caminho 1 a 3 deve ser passando pelo vrtice 2.

Caminho 1 a 3: 1 2 3

Caminho 3 a 1: 3 2 1

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Exemplo de Caminho

Para grafos orientados (ponderados ou no) o caminho de s a t pode ser diferente do caminho de t a s.

Exemplo:

Caminho 1 a 3:

1 2 3

Caminho 3 a 1:

3 4 1

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Busca em Grafos

Um algoritmo de busca (ou varredura) um algoritmo que examina, sistematicamente, todos os vrtices e todas as arestas de um grafo.

Cada aresta examinado uma s vez. Depois de visitar a ponta inicial de uma aresta, o algoritmo percorre aresta e visita sua ponta final.

Para justificar a palavra "busca", devemos imaginar que o algoritmo percorre o grafo buscando todos os vrtices que so acessveis a partir de um determinado vrtice em questo.

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Busca em Grafos

H muitas maneiras de fazer uma tal busca. Cada estratgia de busca caracterizada pela ordem em que os vrtices so visitados.

Assim, a ordem de visita torna-se essencial se desejamos determinar outras propriedades alm da mera caracterstica de um determinado vrtice ser alcanado a partir de outro.

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Busca em Grafos

O algoritmo de busca em grafos pode ento nos mostrar outras caractersticas de grafos.

Os algoritmos mais comumente discutidos so os algoritmos de busca em largura e de busca em profundidade, que sero apresentados a seguir

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Busca em Largura

No algoritmo de busca em largura, a lista de vrtices obedece a poltica FIFO (First-In-First-Out, ou o primeiro a entrar ser o primeiro a sair Fila): o vrtice que sai da lista sempre o que est l h mais tempo.

O algoritmo pinta de preto todos os vrtices que podem ser alcanados a partir de um vrtice de origem at alcanar o vrtice de destino.

A principal caracterstica desse algoritmo que a busca segue um modelo de parametrizao pela distncia a partir da origem. No exemplo a seguir, vamos supor que estejamos buscando o caminho entre 1 e 5.

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Exemplo: Busca em Largura

No incio todos os vrtices so pintados de branco. Para o exemplo o vrtice de origem o 1, sendo marcado com largura igual a zero. O algoritmo pinta de cinza este vrtice e o coloca em uma fila Q, mapeando tambm seus vizinhos. Neste caso, ele se conecta apenas com o vrtice 2.

Q = 1

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No prximo passo, o vrtice 1 retirado da fila Q e pintado de preto, enquanto o vrtice 2 mapeado com largura igual a 1 e inserido na fila Q. O vrtice 2 ento pintado de cinza e seus vizinhos so mapeados. No caso, os vrtices 1, 3 e 5.

Q = 2

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O vrtice 2 retirado da fila Q e pintado de preto, enquanto os vrtices 3 e 5 so colocados na fila Q e mapeados com largura igual a 2. O vrtice 1 no colocado na fila (apesar de haver uma conexo), pois j est pintado de preto.

Q = 3, 5

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O vrtice 3 retirado da fila Q e pintado de preto, enquanto o vrtice 4 colocado na fila Q e mapeado com largura igual a 3.

Q = 5, 4

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Em seguida o vrtice 5 tambm visitado, pintado de preto e retirado da fila Q. Como sua nica conexo com o vrtice 2 (j pintado de preto), nada feito.

Q = 4

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No trmino da execuo deste exemplo o vrtice 4 pintado de preto e retirado da fila Q. Como suas conexes levam a vrtices j pintados de preto (1 e 5), nada feito e a fila torna-se vazia (fim do algoritmo).

Q vazia

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Para o caminho entre origem e destino parte-se do vrtice de destino, examinado seus predecessores at chegar origem. Depois inverte-se o vetor conseguido. Para este exemplo, o caminho 1 25. A seguir apresentado um pseudocdigo do algoritmo de busca em largura.

Q vazia

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Pseudocdigo: Busca em LarguraBusca_largura(Adj,origem,destino) // Adj a lista de adjacncias do grafo

t = tamanho de Adj;

para u = 1 at t,

cor(u) = branco;

fim

cor(origem) = cinza;

fila(1) = origem; i = 1; f = 2;

enquanto i < f,

u = fila(i); i = i + 1; c = Adj{u};

se (c no vazio),

para v = 1 at tamanho de c,

se cor(c(v)) == branco,

cor(c(v)) = cinza;

predecessor(c(v)) = u;

fila(f) = c(v); f = f + 1;

fim

cor(u) = preto;

fim

fim

fim

caminho(1) = destino; prev = predecessor(destino);

enquanto (prev ~= origem),

caminho(tamanho do caminho + 1) = prev; destino = prev;

prev = predecessor(destino);

fim

caminho(tamanho do caminho + 1) = prev;

para i = 1 at tamanho de caminho

caminho2(i) = caminho(tamanho do caminho-i+1);

fim

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Busca em Profundidade

A estratgia seguida pela busca em profundidade , como seu nome implica, procurar cada vez mais fundo no grafo.

Nessa busca as arestas so exploradas a partir do vrtice v mais recentemente descoberto que ainda possui arestas inexploradas saindo dele.

Quando todas as arestas alcanadas a partir do vrtice de origem so visitadas a busca regressa para explorar as arestas que deixam o vrtice do qual v foi descoberto. Para o exemplo a seguir, tentaremos descobrir o caminho de 1 a 5.

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Exemplo: Busca em Profundidade

No incio todos os vrtices so brancos, mas partindo do vrtice 1, este pintado de cinza e sua aresta examinada, levando ao vrtice 2. O vrtice 1 marcado com distncia 0.

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O vrtice 1 pintado de preto. O vrtice 2 pintado de cinza, enquanto suas arestas sero examinadas e atribudo a ele uma distncia 1. A primeira aresta de 2 leva ao vrtice 1, j pintado de preto. Partindo para a segunda aresta, esta leva ao vrtice 3.

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O vrtice 3 ento pintado de cinza e a ele atribudo uma distncia 2. Sua nica aresta examinada, levando ao vrtice 4.

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O vrtice 3 pintado de preto e o vrtice 4 pintado de cinza, sendo que a ele atribudo uma distncia 3. Suas arestas sero examinadas. A primeira leva a um n j pintado de preto, logo no analisada. A segunda, leva ao vrtice 5.

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O vrtice 4 pintado de preto e o vrtice 5 pintado de cinza, sendo que a ele atribudo uma distncia 4. Sua aresta examinada, constatando-se que leva a um vrtice j pintado de cinza.

35


O vrtice 5 pintado de preto e parte-se para o exame da ltima aresta pertencente ao vrtice 2.

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Como neste momento esta aresta remete a um vrtice j pintado de preto (vrtice 5), o vrtice 2 tambm pintado de preto e o algoritmo terminado. Diferente da busca em largura, este algoritmo produz um caminho 1 2 3 4 5 para o caminho de 1 a 5.

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Busca em Profundidade: Detalhes

O algoritmo de busca em profundidade na sua forma mais robusta utiliza um recurso computacional chamado recurso, em que uma dada funo chama a si mesma.

Um pseudocdigo para o algoritmo de busca em largura que encontra o caminho entre dois vrtices mostrado a seguir.

Claramente h uma grande diferena no modo de implementao e nos resultados dos dois algoritmos. Desta forma, quando h a necessidade de obteno do caminho mnimo entre dois vrtices, outros algoritmos podem ser utilizados.

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Pseudocdigo: Busca em ProfundidadeBusca_profundidade(Adj,origem,destino) //Adj a lista de adjacncias do grafo

t = tamanho de Adj;

para u = 1 at t,

cor(u) = branco;

fim

caminho(1) = origem;

c = busca_em_prof(Adj,origem,destino,caminho);

funo busca_em_prof(Adj,u,d,caminho)

cor(u) = cinza;

v = Adj[u];

caminho2 = caminho;

se (v no vazio),

para i = 1 at tamanho(v),

se (caminho(tamanho(caminho))) != d),

se (v(i) igual a d),

cor(v(i)) = preto;

caminho = caminho2;

caminmho(tamanho(caminho2)+1) = d;

Salto;

seno se (cor(v(i)) == branco),

caminho = caminho2;

caminho(tamanho(caminho2)+1) = v(i);

c = busca_em_prof(Adj,v(i),d,caminho);

caminho = c;

fim

fim

fim

cor(u) = preto;

fim

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Distncia

Um caminho C num grafo mnimo se no existe outro caminho com mesma origem e mesmo trmino que C mas comprimento menor que o de C.

A distncia de um vrtice s a um vrtice t num grafo o comprimento de um caminho mnimo de s a t. Se no existe caminho algum de s a t, a distncia de s a t infinita.

A distncia de s a t d se e somente se (1) existe um caminho de comprimento d de s a t e (2) nenhum caminho de s a t tem comprimento menor que d.

Em geral, num grafo direcionado a distncia de um vrtice s a um vrtice t diferente da distncia de t a s. Se o grafo no-orientado, entretanto, as duas distncias so iguais.

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Grafos Ponderados

Muitas aplicaes associam um nmero a cada aresta de um grafo. Diremos que esse nmero o custo da aresta, que pode ser remetido a uma caracterstica fsica da conexo.

Por exemplo, se duas arestas de um grafo representam conexes de cabos ticos entre cidades A, B, e C (vrtices do grafo), sendo que a distncia entre A e B o dobro da distncia de A a C, ento pode-se atribuir um custo maior aresta que liga os vrtices A e B.

Dependendo da aplicao, pode ser mais apropriado dizer "peso" ou "comprimento" no lugar de "custo".

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Exemplo: Caminho de Custo Mnimo

Se o grafo ponderado e direcionado abaixo for tomado como exemplo, o caminho mnimo C de 1 a 5 tem custo d igual a 2, levando a um caminho 1 2 5.

Perceba que existe um outro caminho 1 2 3 4 5, mas este possui custo d igual a 5.

Parte 2: Algoritmos de Caminhos Mnimos

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Busca de Caminhos Mnimos

Para a busca de caminhos mnimos em grafos h algoritmos especficos que executam a tarefa.

Entretanto h formas especficas para tratar o problema, sendo diferentes quando busca-se caminhos mnimos a partir de um dado vrtice ou quando se buscam os caminhos mnimos entre todos os pares de vrtices.

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Caminho Mnimo com Origem Fixa

Problema dos Caminhos Mnimos com Origem Fixa: dado um vrtice s de um grafo com custos nos arcos, encontrar, para cada vrtice t que pode ser alcanado a partir de s, um caminho mnimo simples de sa t. Todos os algoritmos para esses problemas exploram a seguinte propriedade bsica:

Propriedade Triangular: Para quaisquer vrtices x, y e z de um grafo com custos no-negativos nos arcos, tem-se

d(x,z) d(x,y) + d(y,z) , sendo d(i,j) a distncia de i a j.

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Algoritmo de Dijkstra

Um algoritmo eficiente para a obteno do caminho mnimo em grafos com custos no-negativos o chamado algoritmo de Dijkstra.

O algoritmo pode ser usado, em particular, para encontrar um caminho de custo mnimo de um dado vrtice a outro, ou a todos os outros vrtices.

O algoritmo de Dijkstra funciona de forma iterativa, passo a passo, como mostrado a seguir. A entrada a matriz de adjacncias do grafo.

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Algoritmo de Dijkstra

1. Como primeiro passo atribuda uma distncia para todos os pares de vrtices. De incio atribuda uma distncia infinita para todos, menos para o vrtice de origem.

2. Marque todos os vrtices como no visitados e defina o vrtice inicial como vrtice corrente.

3. Para este vrtice corrente, considere todos os seus vrtices vizinhos no visitados e calcule a distncia a partir do vrtice. Se a distncia for menor do que a definida anteriormente, substitua a distncia.

4. Quando todos os visinhos do vrtice corrente forem visitados, marque-o como visitado, o que far com que ele no seja mais analisado (sua distncia mnima e final).

5. Eleja o vrtice no visitado com a menor distncia (a partir do vrtice inicial) como o vrtice corrente e continue a partir do passo 3.

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Exemplo: Algoritmo de Dijkstra

Para o exemplo a seguir, o vrtice 1 o vrtice origem e o vrtice corrente do incio do algoritmo. A distncia dele para todos os outros vrtices mostrada em vermelho. A distncia para seu vizinho (vrtice 2) igual a 1.

D = 1

D =

D =

D =

D = 0

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O vrtice 2 passa a ser o vrtice corrente. A partir dele, atinge-se os vrtices 3 e 5, sendo as respectivas distncias calculadas para 2 (ao invs de infinito) e 2.

D = 1D = 2

D = 2

D =

D = 0

D = 1

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O vrtice 3 o vrtice corrente. A partir dele alcana-se o vrtice 4, com distncia 4. Neste ponto todos os vrtices foram visitados e o vetor de distncias mnimas a partir do vrtice 1 D = [0 1 2 4 2].

D = 1D = 2

D = 2

D = 4

D = 0

D = 2

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Pseudocdigo: Algoritmo de Dijkstra

Dijkstra(grafo,origem)

para cada vrtice v em grafo

distancia[v] = Infinito;

predecessor[v] = -1;

fim

distancia[origem] = 0;

Q = todos os vrtices de grafo;

enquanto (Q no vazio) faa,

u = vrtice grafo com menor distncia;

se (distancia[u] == Infinito)

Salta o lao;

fim

remova u de Q;

para cada vizinho v de u

d = distancia[u] + distancia entre u e v;

se (d < distancia[v]),

distancia[v] = d;

predecessor[v] = u;

fim

fim

fim

fim

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Caminhos mnimos entre todos os pares de vrtices

O Algoritmo de Floyd-Warshall um algoritmo muito eficiente para encontrar todos as distncias mnimas dos pares de caminhos em um grafo.

Em aplicaes onde necessria a criao de uma matriz de caminhos mnimos ao invs de um vetor, este algoritmo mais aconselhvel.

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Algoritmo de Floid-Warshall

O algoritmo de Floyd-Warshall deve primeiramente modificar a matriz de adjacncia do grafo, de modo que todas as posies dos pares de vrtices em que no houver conexes sejam setadas como Infinito.

Um pseudocdigo da implementao mostrado a seguir, sendo a entrada do programa a prpria matriz de adjacncias. O programa retorna uma matriz com todos os pares de caminhos mnimos.

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Pseudocdigo: Algoritmo de Floyd-Warshall

FloidWarshall(Madj)

para cada linha i em Madj

para cada coluna j em Madj

se (Madf[i][j] == 0)

Madj[i][j] == Infinito;

fim

fim

fim

t = numero de linhas de Madj;

Cmin = Madj;

para k igual a 1 at t,

para i igual a 1 at t,

para j igual a 1 at t,

Cmin[i][j] = min(Cmin[i][j],Cmin[i][k]+Cmin[k][j]);

fim

fim

fim

retorna Cmin;

fim

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Referncias Bibliogrficas

T. H. Cormen, C. H. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Algoritmos: Teoria e Prtica, Editora Campus, 2002.

R. Sedgewick, Algorithms in C, Addison Wisley, 1990.

http://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos_para_grafos/

http://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/lectures.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm

http://www.algorithmist.com/index.php/Floyd-Warshall%27s_Algorithm

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Exerccios Propostos

1. Um grafo no-ponderado representado pela lista de adjacncias Adj = {[2]; [3]; [4,5,8]; []; [6,7]; [1]; [9]; [10]; [10]; []}. Represente graficamente este grafo e aplique o algoritmo de busca em largura e busca em profundidade para encontrar o caminho entre os vrtices 1 e 10.

2. Considere um grafo orientado e ponderado que seja representado pela matriz de adjacncia abaixo. Simule o algoritmo de Dijkstra e determine o vetor de distncias a partir do vrtice 1. Faa grficos para mostrar a evoluo do algoritmo.

3. Usando a mesma matriz de adjacncias do exerccio anterior, implemente o algoritmo de Floid-Warshall em qualquer linguagem para calcular a matriz de caminhos mnimos.

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Atividade extra

Uma rede de informao possui uma topologia representada por um grafo cuja matriz de adjacncias dada a seguir.

Aps um certo tempo de operao t o roteador representado pelo vrtice 2 cai, deixando de existir as conexes que chegam e saem deste vrtice. Passado um tempo t aps a queda do vrtice 2 o vrtice 6 tambm cai e aps 2t a vez do vrtice 12 sair de operao. Utilizando recursos computacionais, faa uma anlise dos custos representados para o escoamento de informao devido inoperabilidade destes roteadores e justifique suas afirmaes por meio de grficos e tabelas. Qual destas falhas representa a principal falha individual?

algoritmo dijkstra pascal bom

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