Algunos aspectos dinamicos y bifurcaciones dela familia Fa(z) = z2 + 2az

Jefferson Edwin King Davalos

Indice general

Introduccion. XI

0.1. Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii0.2. Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.3. Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.4. Capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii0.5. Capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii0.6. Sobre el software utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii

1. Accion geometrica de Fa en el plano 11.1. La imagen inversa del conjunto de valores crıticos . . . . . . . 21.2. Dos importantes familias de curvas . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Equivalencia con z → z2 en el exterior de L∗−1 (a) . . . . . . . 16

1.3.1. Accion geometrica de Fa en el exterior de L∗−1 (a). . . . 19

1.4. Comportamiento de Fa en la region acotada cuya frontera esla hipocicloide L∗−1(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Sobre la conexidad del conjunto de puntos cuya orbita esacotada. 232.1. Cuestiones Dinamicas Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Sobre la conexidad de Ka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Conjuntos de Julia disconexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. El excepcional caso a = −1 453.1. Aspectos Geometricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Conjugacion de F con la funcion cuadratica f (z) = z2 . . . . 483.3. Un Triangulo Caotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4. Dinamica de F en K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1. G en ∆ y F en K son conjugadas . . . . . . . . . . . . 55

vii

3.4.2. Un poco de dinamica simbolica: F en K es factor delcorrimiento en el espacio de 4 sımbolos. . . . . . . . . . 59

Apendice 3A: Demostracion del teorema 3.4.4. 63

4. Cuestiones generales sobre la dinamica de Fa si −1 < a < 0. 67

4.1. Conjuntos Atractores y Zonas Absorbentes de funciones f :R2 → R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. El conjunto Ka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. El conjunto Λa donde se concentra la dinamica. . . . . . . . . 77

4.4. Sobre las orbitas periodicas producidas por las simetrıas de Fa

si −1 < a < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5. Comentarios sobre la dinamica en la frontera deKa, −1 < a < 0. 81

5. Dinamica y Bifurcaciones de Fa cuando −1 < a < 0 85

5.1. El origen es el unico atractor en intKa si −12 = a0 < a < 0. . . 87

5.2. El conjunto Λa para a ∈h1−√5

2,−1

2

´. . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1. Dinamica en el interior de Ka. . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2. El (nuevo) conjunto Λa y la peculiar frontera de Λa . . 905.3. Etapa de transicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.1. Nueva coexistencia de atractores: Nacimiento de orbitasde periodos 3 y 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4. Primera bifurcacion de Naimark-Sacker . . . . . . . . . . . . . 98

5.5. Nueva etapa de transicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5.1. Desaparicion de Γa y el resto de las curvas atactoras. . 102

5.5.2. Nueva bifurcacion de Naimark-Sacker . . . . . . . . . . 103

5.5.3. Conjuntos Atractores Caoticos. . . . . . . . . . . . . . 106

5.5.4. Primera fusion de atractores caoticos. . . . . . . . . . . 108

5.5.5. Nueva fusion de atractores y creacion de la zona anularBa y el hoyo Wa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.6. Zonas anulares y Hoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.7. Desaparicion del hoyo Wa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.7.1. La desaparicion del hoyo Wa es por una bifurcacionhomoclınica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Apendice 5A. El origen es el unico atractor en intKa si −12 =a0 < a < 0. 118

viii

Apendice 5B: El conjunto Λa para a ∈h1−√5

2,−1

2

´. 122

Apendice 5C: Una bifurcacion de Naimark-Sacker para la famil-ia Fa. 131

Apendice 5D. Existencia y desaparicion del hoyo Wa. 141

Apendice 5E: El hoyo Wa desaparece por una bifurcacion homo-clınica. 144

ix

x

Introduccion.

El estudio dinamico de transformaciones cuadraticas del plano en sı mis-mo ha sido algo muy popular desde hace ya varios anos; incluye investiga-ciones como la de las aplicaciones de Henon, o la de la muy famosa familiaholomorfa z → z2 + c (ver tambien [3], [12], [14]).

En [14] se planteo la pregunta de si era posible establecer alguna clasi-ficacion de estas transformaciones de acuerdo a su comportamiento dinami-co. Este problema es muy difıcil dada la inmensa variedad de fenomenosdinamicos cualitativamente diferentes que pueden presentar las funcionescuadraticas.

Aun ası, en dicho trabajo se dio una respuesta parcial a este problema,logrando una clasificacion total de este tipo de funciones en clases de equiv-alencia, aunque no en el sentido dinamico (clases de conjugacion) sino en elsentido de Whitney (definiciones en el capıtulo 1). Esto constituye, sin duda,un buen punto de partida para investigaciones posteriores del problema declasificacion antes mencionado.

Una de esas clases de equivalencia (en el sentido de Whitney) incluye, enparticular, a la familia no holomorfa

Fa (z) = z2 + 2az, z ∈ C, (1)

donde a es un parametro complejo (z denota al conjugado de z). Se senalo en-tonces (ibid.) que esta familia era un caso de estudio interesante por variasrazones; se intuıa, en particular, que el rango de fenomenos dinamicos difer-entes que se pueden presentar conforme a varıa en C, puede ser muy amplio.En [26] se demostro que cuando a es un parametro real, el conjunto de

orbitas acotadas de Fa, Ka, es conexo si, y solo si, el punto crıtico de larestriccion de Fa a R tiene una orbita acotada. Esto ocurre, a su vez, cuandoa ∈ [−1, 2].

xi

Este resultado se parece a un bien conocido teorema de Fatou-Julia1 parael caso holomorfo, pero cuando a ∈ C − R la analogıa palidece en virtudde que el conjunto singular de Fa es una curva para todo numero complejoa 6= 0, y no un conjunto finito de puntos.Por otra parte, I. Petersen, J. C. Alexander, J. Yorke y otros, demostraron

que en ciertas funciones dadas por “ecuaciones sumamente simples”, sor-prendentemente existıa un atractor igualmente simple —de hecho son tresatractores formados por segmentos de rectas unidos en forma de triangulo—pero cuyas cuencas de atraccion se entrelazaban de manera increıblementecompleja (“thoroughly intermingled basins” les llamaron ellos. Ver [2], [3],[23]). Resulta que estas funciones son miembros de la familia (1) cuando elparametro a es de la forma 1 + iλ con λ en una vecindad de cierto numeroreal especıfico.Este tipo de resultados motivaron el desarrollo del presente trabajo cuyo

contenido se resume a continuacion.

0.1. Capıtulo 1

En este capıtulo no se abordan, aun, cuestiones relacionadas con la dinami-ca; se examina lo que podrıamos llamar la accion geometrica de Fa paraa ∈ C, a 6= 0. Se establecen dos resultados principales que enunciamos masabajo.Para a 6= 0 el conjunto de puntos singulares de Fa es una circunferencia

de radio |a|, que denotamos siempre por L−1 (a), y el de valores crıticos esuna hipocicloide de tres picos que denotamos por L (a). Esta hipocicloidedivide al plano en dos regiones, en cada una de las cuales cada punto poseeel mismo numero de preimagenes. En la region acotada cada punto tiene 4preimagenes y en la no acotada, cada punto tiene 2 preimagenes. Siguiendola notacion de autores como C. Mira y otros (ver, p. ej., [19]), a la primerade estas regiones (la acotada) la denotamos por Z4 (a) y a la segunda porZ2 (a). A una circunferencia con centro en el origen y radio δ la denotamospor Cδ; ası, L−1 (a) = C|a|. Al disco z ∈ C | |z| < |a|lo representamos porD|a|. Los resultados referidos son los siguientes:

Teorema 1.1.1 Dado a ∈ C, a 6= 0 existe una hipocicloide de tres pi-cos, L∗−1(a), que es imagen inversa de la hipocicloide L(a) y existen tambien

1Un enunciado de este resultado se presenta en el capıtulo 2.

xii

homeomorfismos ha : L−1(a)→ L∗−1(a) y ga : C|a|2 → L(a), tales que

Fa(ha(z)) = ga(z2), z ∈ L−1(a). (2)

Es decir, ha y ga son tales que el siguiente diagrama conmuta:

L∗−1(a)Fa→ L(a)

ha ↑ ↑ gaL−1(a)

z2→ C|a|2

Denotemos ahora por R(a) a la region (abierto conexo) no acotada quequeda fuera de la hipocicloide L∗−1(a).

Teorema 1.3.1 Sean 0 6= a ∈ C y f(z) = z2, z ∈ C. Entonces, lasfunciones Fa : R(a)→ Z2(a) y f : C−D|a| → C−D|a|2 son C∞-equivalentes.

Es decir, existen difeomorfismos Ha : C −D|a| → R(a) y Ga : C −D|a|2 →Z2(a) tales que

Fa(Ha(z)) = Ga(z2), z ∈ C−D|a|. (3)

Manteniendo la notacion usada en estos teoremas, es facil ver que la fun-cion Ha se puede extender continuamente a la cerradura de C−D|a|, y queen la frontera de este conjunto dicha extension coincide con ha. Es decir,considerando que ∂

¡C−D|a|

¢= L−1(a) y llamando cHa a dicha extension, se

tiene que cHa | L−1(a) = ha. Analogamente, extendiendo Ga a la cerradura de

C−D|a|2 (y llamandocGa a dicha extension), se obtiene que cGa | C|a|2 = ga.

Tomando en cuenta que ∂R (a) = L∗−1(a) y que ∂Z2(a) = L (a), la conse-

cuencia de todo esto es que, entonces, las funciones Fa : R(a) → Z2(a) yf : C −D|a| → C −D|a|2 son equivalentes. O sea que, en realidad, el teore-ma 1 y el teorema 2 se pueden considerar como dos aspectos de un mismofenomeno que podemos formular como sigue: En las hipocicloides L∗−1(a) yL(a) y en el exterior de estas, la funcion Fa se “comporta” como la funcionf (z) = z2 en el complemento de ciertos discos abiertos.

En la demostracion de estos teoremas juega un papel especial la introduc-cion de dos familias de curvas que en cierto modo generalizan a las hipoci-cloides de tres picos. En el capıtulo 3, cuando se analiza la funcion F−1, estasfamilias vuelven a jugar un papel central.

xiii

0.2. Capıtulo 2

Se inicia el analisis de la dinamica de las funciones Fa. La idea es establecerresultados generales que sirvan como marco de referencia para lo que vienedespues.Hay dos resultados centrales y unos lemas que no por sencillos dejan de

ser importantes.Para cada funcion Fa el ∞ es atractor; su cuenca de atraccion se denota

por Ba (∞). El complemento de esta cuenca es el conjunto de puntos cuyaorbita es acotada y se denota por Ka. Este conjunto resulta ser compacto.Los lemas se pueden sintetizar en uno solo, como se hace a continuacion, ydespues se enuncian los resultados centrales.

Lema (Criterio de escape) Sea 0 6= a ∈ C. Si |z| > 1+2 |a| o¯F ka (z)

¯>

1 + 2 |a| para algun k ∈ N, entonces F ka (z) →

k→∞∞; es decir, z ∈ Ba.

Teorema 2.2.5 Si L−1(a) ⊆ Ka, entonces Ka es conexo.

Teorema 2.3 Si orb(Fa, z)→∞ para todo z ∈ L−1(a), Ka es disconexocon una infinidad (no numerable) de componentes.

Del lema anterior se desprende que la orbita de z es acotada si, y solo si,¯F ka (z)

¯≤ 1 + 2 |a| para todo k ≥ 0.

Tenemos entonces, la igualdad

Ka =©z |¯F ka (z)

¯≤ 1 + 2 |a| para todo k ≥ 0

ª, (4)

de la cual se deriva un algoritmo elemental (bastante comun en casos comoeste) para calcular en forma aproximada, con ayuda de una computadora, alconjunto Ka.Se observa que el teorema 2.2.5 solo da condiciones suficientes y que al-

gunos parametros para los cuales se cumple que L−1(a) ⊆ Ka son los numeroscomplejos tales que |a| ≤ 1

3y los numeros reales a ∈ [−1, 0); es decir, para

todos estos parametros Ka es conexo. Finalmente, se conjetura que cuandoKa es disconexo, entonces es un conjunto de Cantor.

0.3. Capıtulo 3

El objetivo de este capıtulo es describir totalmente la dinamica de Fa

cuando a = −1.

xiv

Este parametro es muy especial porque, en particular, es el unico para elcual ocurre que el conjunto Ka tiene una forma geometrica muy simple: sufrontera es la hipocicloide L (a), que en este (unico) caso coincide con la (otra)hipocicloide: L∗−1(a). Este hecho posibilita inventar un modelo geometrico dela dinamica de F−1 en K−1; es decir, la dinamica del modelo es conjugada ala de F−1 en K−1.Este modelo se construye a partir de una funcion G, lineal por partes,

definida en un triangulo equilatero ∆ ⊂ R2, G : ∆ → ∆. Tiene la cualidadde ser un modelo muy sencillo, lo cual repercute en volver absolutamenteobvias las complejas propiedades dinamicas de F−1 en K−1.Por otra parte, las dos familias de curvas introducidas en el capıtulo 1 se

vuelven una sola para a = −1. El uso de esta familia permite resolver porcompleto la cuestion de la dinamica en B−1 (∞).Por ultimo, la importancia de a = −1 reside tambien en que es un

parametro donde tiene lugar una bifurcacion muy especial: conforme a ∈ Rcruza -1 y se vuelve menor que -1, el conjunto Ka “explota” y de ser conexose convierte en un conjunto disconexo (seguramente un conjunto de Cantor).En lo que sigue se utiliza la siguiente terminologıa: si X es un espacio

metrico y f : X → X es una funcion continua, se dice que f es caotica enX, en el sentido propuesto por Devaney, si f es (topologicamente) transitivaen X y el conjunto de puntos periodicos de f es denso en X.Los resultados principales que se demuestran en este capıtulo son los

siguientes:

Teorema 3.3.3 G es caotica en ∆ en el sentido propuesto por Devaney.

Teorema 3.4.4 Las funciones F−1 : K−1 → K−1 y G : ∆ → ∆ sonconjugadas; es decir, existe un homeomorfismo H : ∆ → K−1 tal que elsiguiente diagrama conmuta:

∆ G−→ ∆

H ↓ ↓ HK−1 F−1−−→ K−1

Corolario F−1 es caotica en K−1 en el sentido propuesto por Devaney.Ademas, todo punto periodico de F−1 perteneciente al interior de K−1 esrepulsor.

xv

Teorema 3.2.2 Sea D = z ∈ C | |z| ≤ 1 y sea ϕ (z) = z2, z ∈ C.Entonces, ϕ : C \ int (D)→ C \int (D) es conjugada a F−1 : C \ int (K−1)→C \ int (K−1) . Es decir, existe un homeomorfismo h : C \ int (D) → C \int (K−1) tal que el siguiente diagrama conmuta:

C \ int (D) ϕ−→ C \ int (D)h ↓ ↓ h

C \ int (K) F−→ C \ int (K).

De estos resultados se sigue tambien que la dinamica de F−1 restringidaa ∂K−1 = L∗−1 (−1) = L (−1),2 es conjugada a la de ϕ restringida a lacircunferencia unitaria ∂D, y por lo tanto tambien es caotica.Sea Σ =

©bt = (t1, t2, . . .) : ti ∈ 0, 1, 2, 3 , i ∈ Nª con la metrica d ¡bt, bs¢ =Σ∞i=1

|ti−si|2i

donde bt = (t1, t2, . . .) y bs = (s1, s2, . . .). Sea σ : Σ→ Σ la funcioncorrimiento, σ (t1, t2, . . .) = (t2, t3, . . .). El siguiente resultado nos da masinformacion sobre la dinamica de F−1 en K−1:

Teorema 3.4.8 F−1 : K−1 → K−1 es factor del corrimiento ϕ : Σ→ Σ.En consecuencia, F−1 es caotica en K−1.

Cabe mencionar que en [15] se demuestra que la entropıa topologica deF−1 restringida aK−1 es positiva. Concretamente, denotando a dicha entropıapor ent (F−1 | K−1), se demuestra que

ent (F−1 | K−1) = log 4.

Este resultado, aunque importante, no se incluye en este trabajo.

El proposito de los dos capıtulos restantes es presentar ciertos resultadosgenerales y algunas de las bifurcaciones que tienen lugar cuando el parametroes real y varıa en el intervalo [−1, 0). Por su propia naturaleza el tema exigemucha experimentacion numerica y habra algunas afirmaciones que se basansolo en esta experimentacion y no se demuestran matematicamente (estasafirmaciones se senalan explıcitamente). Pero en general se demuestra lo quese afirma.Ademas de conceptos y resultados comunes en el area de sistemas dinami-

cos discretos, se utilizan otros tomados de autores como [19], [12], etc. Es-pecialmente de estos autores se han debido adecuar o generalizar algunos desus resultados para ser aplicados a la familia (1); ello se senala en el texto.

2La frontera de K−1 es invariante hacia adelante, es decir, F−1 (∂K−1) = ∂K−1

xvi

0.4. Capıtulo 4

Aquı se exponen ciertos resultados generales sobre la dinamica de Fa

cuando a ∈ [−1, 0). Recuerdese que Z4 (a) denota la region en la que cadapunto posee 4 preimagenes y cuya frontera es L (a).

Proposicion 4.2.1 Z4 (a) ⊂ intKa para a ∈ (−1, 0).

Como Ka es invariante, de este lema se sigue que todas las iteraciones,ası como todas las imagenes inversas de todos los ordenes, de Z4 (a) (y deZ4 (a)), estan contenidas en Ka. Se sigue tambien que L (a), L

∗−1(a) y L−1(a)

estan contenidos en Ka. De esto ultimo y del teorema 2.2.5 se obtiene lasiguiente proposicion:

Proposicion Ka es conexo para a ∈ [−1, 0).3

Se definen los conjuntos:

Λa =∞\k=1

F ka

³Z4(a)

´,

Ma =∞[k=1

F−ka

³Z4(a)

´.

Ambos conjuntos estan contenidos en Ka para a ∈ [−1, 0). Notese, enparticular, que Λa ⊆ Z4 (a) ⊂ intKa si −1 < a < 0 y Ma es obviamenteinvariante hacia atras, es decir, F−1a (Ma) =Ma.

Proposicion 4.2.4 Λa es invariante hacia adelante si −1 < a < 0; esdecir:

Fa (Λa) = Λa.

Proposicion Ma es un conjunto abierto, conexo y simple-conexo con-tenido en Ka si −1 < a < 0.

En relacion con el conjunto Ma, experimentos y razonamientos diversosnos llevan a la conclusion de que, para −1 < a < 0, las siguientes dos

3En [26] se demuestra de otra manera que Ka es conexo para a ∈ [−1, 0).

xvii

igualdades son validas:

Ma = intKa,

Ma = Ka.

Estas igualdades no se han podido demostrar, pero se asumen como vali-das para −1 < a < 0. Es decir, cada una de estas igualdades es una conjeturaque aceptamos como hipotesis de trabajo en lo que sigue.Por otra parte, en relacion con Λa se demuestra lo siguiente (PerFa denota

al conjunto de puntos periodicos de Fa):

Proposicion 4.3.1 Sea −1 < a < 0. Entonces:(i) PerFa ∩ intKa ⊆ Λa.(ii) Si z ∈ intKa, el ω-lımite de z esta contenido en Λa.(iii) Si W es un subconjunto propio de intKa, invariante hacia adelante,

es decir W = Fa(W ), entonces W ⊆ Λa.

Las proposiciones 4.2.4 y 4.3.1 muestran la importancia del conjunto Λa:puede decirse que es el lugar, en el interior de Ka, donde se concentra ladinamica.En la seccion 4.4, tomando en cuenta las simetrıas de Fa cuando a ∈ R,

se demuestran dos resultados en relacion con los puntos periodicos de Fa yla naturaleza de estos.En la ultima seccion, 4.5, se expone la conjetura de que Fa en la frontera

de Ka es conjugada con z → z2 en la circunferencia unitaria y, por lo tanto,la dinamica ahı es caotica.

0.5. Capıtulo 5

Se seleccionaron, para incluir en este capıtulo, algunas bifurcaciones quetienen lugar cuando el parametro varıa en el intervalo [−1, 0). En general,dado lo extenso (y tecnico) del material que se presenta, se ha tratado, entodos los casos, de basarse mas en la discusion informal de las ideas basicas;detalles tecnicos y demostraciones se turnan a apendices especiales.Para a ∈

¡−12, 0¢la dinamica es sencilla, como se afirma en la siguiente

proposicion.4

4La demostracion (parcial) de esta proposicion puede verse en el Apendice 5A.

xviii

Proposicion El origen es el unico atractor en el interior de Ka si −12 <a < 0.

De esta proposicion se deduce que Λa = 0 si −12 < a < 0; conjeturamosque esto mismo es valido si a = −1

2.

En este capıtulo a0 = −12 .Al cruzar este parametro a0, se produce la primera bifurcacion de impor-

tancia: Nacen dos nuevos puntos fijos atractores y cinco orbitas de periodo2; tres de estas ultimas estan conformadas por puntos sillas y dos por pun-tos atractores (bajo F 2

a ). En particular, una de estas orbitas de puntos sillade periodo 2 esta contenida en R. Todos estos puntos periodicos estan con-tenidos en el interior del disco de radio |a| cuya frontera es la circunferenciasingular L−1 (a); denotaremos a este disco abierto por D|a|.Por otra parte, el conjunto Λa deja de ser un punto para convertirse en la

cerradura de un abierto conexo, simple conexo, cuya frontera es invariante yesta conformada de una manera peculiar, como se demuestra a continuacion.A la iteracion de orden k ≥ 0 del conjunto de valores crıticos L (a), F k

a (L (a)),se le llama arco crıtico de orden k y se denota por Lk (a); se hace L0 (a) =L (a).

Teorema 5.7.5 Para a ∈ (a1, a0), con a1 =1−√5

2, la frontera de Λa es

una curva simple cerrada, invariante hacia adelante, y esta formada por launion de las variedades inestables locales de los puntos silla de periodo 2,y tambien, por todos los puntos atractores de periodo 1 o 2. Ademas, estafrontera de Λa no es union finita de arcos crıticos sino una curva lımite dearcos crıticos.

Por curva lımite de arcos crıticos se quiere decir que cada punto de lacurva es punto de acumulacion de una sucesion ak, donde ak ∈ Lk (a).Como consecuencia de que ∂Λa es una curva simple cerrada se sigue que Λa

es conexo y simple conexo.De acuerdo con [19], si la frontera de un conjunto atractor e invariante es

una curva simple cerrada, compuesta por una union finita de arcos crıticos, sedice que este conjunto es una zona absorbente. Para a ∈ (a1, a0) el conjuntoΛa esta contenido en D|a| y no es una zona absorbente. Despues, al cruzar elparametro por a1, Λa cruza la circunferencia singular L−1 (a) y empieza unaserie de transformaciones de este conjunto que eventualmente lo conviertenen una zona absorbente.

xix

Eventualmente, al continuar decreciendo el parametro, se produce unabifurcacion segun la cual, los atractores de periodo 1 o 2 se vuelven repulsoresy, en torno a cada uno de ellos, nace una curva invariante atractora. Se lellama una bifurcacion de Neimark-Sacker5 (ocurre simultaneamente en tornoa todos los atractores mencionados en virtud de las simetrıas de Fa). Estabifurcacion tiene lugar en un contexto en el que en el interior de Ka, y porlo tanto en Λa, existen puntos atractores adicionales de periodos respectivos3 y 6, los cuales aparecen tras cruzar cierto parametro a2 < −23 , cuando Λa

ya es una zona absorbente.

Proposicion 5.7.6 Para a ∈ (−1, 0) la familia Fa presenta una bifur-cacion Neimark-Sacker cuando el parametro a decrece y cruza el valor

a4 =−8 +

√112

24= −0,7742918....

Especıficamente, en a = a4 nace una curva simple cerrada Γa atractoraen torno a cada punto fijo y cada punto de periodo dos atractores. Estascurvas subsisten para a ∈ Ja = (a5, a4) con a5 < a4. Para a4 < a lospuntos periodicos mencionados son atractores, y para a ∈ Ja se conviertenen repulsores.

Supongase que A es una zona absorbente bajo cierta funcion f : R2 → R2,que contiene en su interior un punto fijo repulsor P . De acuerdo con [6], [12],[19] y otros, se dice que existe un hoyo en torno al punto fijo repulsor P siexiste un conjunto abierto, simple conexo, W , que contiene a P y contenidopropiamente en el interior de A, con las propiedades siguientes: su fronteraes una curva simple cerrada que es union finita de arcos crıticos, y paratodo z ∈ W , z 6= P , existe k = k (z) ∈ N tal que fk (z) /∈ W . Como pordefinicion una zona absorbente es un conjunto invariante, la orbita de z ∈Wpermanece en A, aunque eventualmente abandone W . Por otro lado, comoW esta propiamente contenido en A el conjunto A −W = B es no vacıo.Este conjunto B tiene una frontera que consta de dos componentes, una delas cuales es ∂A, y la otra es ∂W . Ambas componentes son, por definicion,uniones finitas de arcos crıticos. Como por su forma el conjunto B parece unanillo, a B se le llama zona anular absorbente. Las orbitas de los puntos enel hoyo W vienen a “morir” en esta zona anular absorbente.

5Tambien es comun llamarla bifurcacion de Hopf, en analogıa con el caso continuo.

xx

En relacion con las funciones Fa, despues de que la frontera de Λa cruzala circunferencia singular cuando a = a1, en el interior de Λa comienza unproceso de creacion de un hoyo en torno al origen que ya es punto fijo repulsor.Se denota a este hoyo por Wa, y a la zona anular Λa −Wa por Ba. En elcapıtulo se presenta una bifurcacion que tiene que ver con la desaparicion deeste hoyo y la subsecuente transformacion de Ba en Λa.Adecuando un resultado presentado en [19, p. 285 y p. 301], en el Apendice

5D se establece una proposicion que en forma resumida es como sigue:

Proposicion 5.7.7 Wa 6= ∅ si, y solo si, las tres preimagenes (de ordenuno) del punto fijo repulsor P = 0, distintas de P , estan fuera de Λa.

De aquı se desprende que en el momento en el que estas tres preimagenescruzan la frontera y penetran en el interior de Λa, el hoyoWa desaparece. Porlas simetrıas de Fa, las tres preimagenes de P = 0 tocan simultaneamente∂Λa. Esto ocurre cuando el valor del parametro es a = a8, donde

a8 = −1

3

q19 + 3

√33− 4

3p19 + 3

√33+2

3= −0,83929... (5)

Se tiene, entonces, la siguiente proposicion:

Proposicion 5.7.1 En el parametro a = a8 tiene lugar una bifurcacionque hace desaparecer al hoyo Wa y transforma a la zona anular Ba en elconjunto invariante Λa.

En la ultima seccion del capıtulo se introduce la nocion de punto homo-clınico a un punto fijo repulsor.En [17], y posteriormente en [13], se demuestra que la existencia de un

tal punto homoclınico genera una dinamica muy compleja en torno al repul-sor. Tambien en [13] se establecen condiciones bajo las cuales, en familias defunciones con ciertas caracterısticas especıficas, al ocurrir una bifurcacion enla cual desaparece un hoyo en torno a un punto fijo repulsor, se producen ogeneran puntos homoclınicos al tal repulsor y, por consiguiente, una dinami-ca compleja en torno a este. A una tal bifurcacion se le llama bifurcacionhomoclınica.Una de estas condiciones es como sigue: se supone que el punto repulsor y

el hoyo estan en el interior de una zona absorbente. Si para el parametro enel que se desaparece el hoyo se tiene que la variedad inestable del repulsor es

xxi

un conjunto denso en la zona absorbente referida, entonces la bifurcacion quehace desaparecer al hoyo es una bifurcacion homoclınica; es decir, genera, enel interior de la zona absorbente, puntos homoclınicos al repulsor.

La evidencia empırica, ası como ciertos resultados generales, llevan a laconclusion de que la bifurcacion mencionada en la proposicion 5.7.1 es tal,que genera puntos homoclınicos al origen; es decir, al producirse dicha bi-furcacion aparecen tales puntos homoclınicos, que previamente no existıan.La discusion de esta problematica esencialmente se turna al Apendice 5E, enel que se presenta el siguiente resultado (la variedad inestable del origen sedenota por W u

a (0)):6

Proposicion 5.7.12 En a = a8 se cumple que Λa =W u(0) y esta igual-dad subsiste para todos los parametros en un cierto intervalo I con centroen a8. En consecuencia, la bifurcacion que hace desaparecer el hoyo Wa ena = a8, es una bifurcacion que genera puntos homoclınicos en torno al origen,es decir, una bifucacion homoclınica en torno al origen.

Al desaparecer el hoyo Wa en a = a8, la zona anular Ba se transformaen Λa y, experimentalmente tambien, se hace evidente que la dinamica entodo el conjunto Λa es caotica. Esta situacion continua conforme a decrecehasta que, para a = −1, se tiene que Λa = Ka. Pasando este parametro,para a < −1 se produce una bifurcacion espectacular en la que Λa “explota”para convertirse en un conjunto disconexo, muy seguramente un conjunto deCantor.

Por ultimo, hacemos la siguiente aclaracion: como es casi imposible igno-rar el mundo de cambios dinamicos fuertes que se producen antes y despuesde cada una de las bifurcaciones senaladas, se han incluido algunos aspectosmınimos de lo que va ocurriendo entre una y otra de estas, con la intencionde que se comprenda mejor la creciente complejidad dinamica que va apare-ciendo conforme el parametro decrece y se aproxima a −1. Estos aspectos“transitorios” (secciones 5.3 y 5.5) no se pretende detallarlos demasiado, sinosimplemente evidenciarlos, casi exclusivamente a base de figuras ad-hoc y deexperimentacion numerica.

6Notese que el caracter invariante de Λa obliga a que Wua (0) este contenido en Λa.

xxii

0.6. Sobre el software utilizado

Es importante, al estudiar sistemas dinamicos, poder experimentar numeri-camente con una computadora. Excepto por algunas figuras sencillas, quefueron hechas por el autor con maple sobre la marcha, y otras no tan sencillas,hechas por Hector Cejudo Camacho, en este trabajo usamos los programasDYNAMICS 2 (ver [20]) y FRACTAL (ver [29]). La gran riqueza tecnicade DYNAMICS 2 es impresionante: calcula trayectorias, exponentes de Lya-punov, cuencas de atraccion, orbitas periodicas, diagramas de bifurcacion yotra enorme cantidad de cuestiones, no solo de iteracion de funciones, sinotambien de ecuaciones diferenciales. Aun ası, FRACTAL posibilita ciertoscalculos ”sencillos”(por ejemplo, dibujar imagenes inversas de ciertos con-juntos) que no son posibles con DYNAMICS 2. La combinacion de ambosprogramas resulta muy conveniente y altamente recomendable.

xxiii

xxiv

Capıtulo 1

Accion geometrica de Fa en elplano

En este trabajo se analizan aspectos dinamicos diversos de la familia defunciones Fa : C→ C definidas como

Fa(z) = z2 + 2az, (1.1)

donde a es un numero complejo y z = x − iy representa el conjugado dez = x+ iy.Este primer capıtulo se dedica al analisis geometrico de Fa, a ∈ C. Se

utilizan, en particular, los siguientes conceptos:Sean Xi, Yi, i = 1, 2, subconjuntos del plano. Dos funciones f : X1 →

Y1 y g : X2 → Y2 son equivalentes (en el sentido de Whitney) si existenhomeomorfismos ϕ : X2 → X1 y ψ : Y2 → Y1 tales que g = ψ−1 f ϕ. Siϕ y ψ son difeomorfismos de clase Cr se dice que f y g son Cr equivalentes,1 ≤ r ≤ ∞, y si en particular ϕ y ψ son funciones afines, a f y g se les llamaafınmente equivalentes. Si ϕ = ψ, X2 = X1 = X y Y2 = Y1 = Y , se dice quef : X → X y g : Y → Y son conjugadas o topologicamente equivalentes.La derivada de una funcion f la pensaremos siempre como la matriz Jaco-

biana y la denotaremos por Df . Si el determinante de Df(p) es cero, decimosque p es un punto singular de f . El conjunto singular de f es el conjunto detodos sus puntos singulares. Al conjunto f (p) | p es punto singular de f sele llama el conjunto de valores crıticos de f .Por definicion, un punto singular p es un doblez de f si f es localmente

C∞-equivalente a la transformacion (x, y) 7→ (x2, y) cerca de (0, 0); asimismop es una cuspide de f si f es localmente C∞-equivalente a la transformacion

1

(x, y) 7→ (x3

3+ xy, y) cerca de (0, 0). De acuerdo con Whitney, el conjunto

de mapeos f : R2 → R2 cuyos puntos singulares son dobleces o cuspides esdenso en la topologıa C∞.

Desde el punto de vista de sistemas dinamicos, no es tanto la equivalenciala que interesa sino la conjugacion: dos funciones conjugadas tienen esen-cialmente la misma dinamica; en cambio, dos funciones equivalentes puedentener dinamicas bien distintas. Por ejemplo, en la familia (1.1) hay una grandiversidad de comportamientos dinamicos cualitativamente distintos y, sinembargo, si a 6= 0 todas las funciones de esta familia son afınmente equiva-lentes a un elemento de la misma, a F1(z) = z2+2z, y por lo tanto, todas sonafınmente equivalentes entre sı (una demostracion de este hecho se deducedel teorema 1 en [14]).

Aun ası, la equivalencia entre funciones es de gran importancia; preserva,por ejemplo la naturaleza de las singularidades. Gruesamente hablando, sepodrıa decir que una tal clase de equivalencia reune a todas las funcionesque se “parecen” entre sı, lo cual evidentemente es una condicion necesariapara que dichas funciones tengan esencialmente la misma dinamica. Por estemotivo, hacer una clasificacion de ciertos mapeos en este tipo de clases deequivalencia - como se hace en [14] - es un importante primer paso para suulterior estudio dinamico.

En este capıtulo veremos (teoremas 1 y 2) que, en ciertas regiones delplano, las funciones Fa son equivalentes a z → z2 en el exterior de ciertosdiscos (las regiones referidas dependen del parametro a). Este resultadosserviran, en particular, para comprender la accion geometrica de Fa.

En este trabajo una region significa siempre un abierto conexo y una re-gion cerrada la cerradura de un abierto conexo; denotaremos por Cδ a lacircunferencia z ∈ C | |z| = δ y por Dδ al disco abierto z ∈ C | |z| < δ,δ > 0. Al interior, la cerradura y la frontera de un conjunto A los denotare-mos, respectivamente, por intA, A y ∂A.

1.1. La imagen inversa del conjunto de val-

ores crıticos

Como de costumbre, dada una funcion f : M → M , y un conjun-to A ⊆ M, la imagen inversa de A bajo f se define como el conjuntoa ∈M | f (a) ∈ A y se denota por f−1 (A). Especialmente si A es un solo

2

punto a f−1 (A) se le llama tambien la preimagen de A (bajo f).Si a = a1 + ia2, podemos reescribir (1.1) como una funcion de R2 en R2

de la manera siguiente:

Fa(x, y) = (x2 − y2 + 2a1x+ 2a2y, 2xy + 2a2x− 2a1y).

Si a 6= 0, Fa es infinitamente diferenciable mas no es holomorfa. La deriva-da DFa(x, y) esta dada porµ

2x+ 2a1 −2y + 2a22y + 2a2 2x− 2a1

¶.

El determinante Jacobiano es, entonces,

detDFa(x, y) = 4((x2 + y2)− (a21 + a22)) = 4(|z|

2 − |a|2).

Se infiere inmediatamente que el conjunto singular es una circunferenciade radio |a| con centro en el origen. A este conjunto lo denotaremos porL−1(a).A la imagen del conjunto singular, Fa(L−1(a)), lo denotaremos por L(a)

Es decir, L(a) es, por definicion, el conjunto de valores crıticos de Fa.Es facil comprobar que L(a) es una hipocicloide de tres picos como se

muestra en la fig.1.1 (ver la siguiente seccion).

Fa

L (a) L(a)-1

figura 1.1

3

Los “tres picos” o cuspides de L(a) -que denotaremos, respectivamente,por u, v y t- son la imagen, bajo Fa, de tres puntos en L−1(a) que llamaremosu−1, v−1 y t−1. Si a = |a| eiθ con 0 ≤ θ = arg a < 2π, estos tres puntos son

u−1 = |a| eiθ3 , v−1 = |a| ei(

θ3+2π

3) = ρu−1 y t−1 = |a| ei(

θ3+ 4π

3) = ρ2u−1,

donde ρ = ei2π3 y ρ2 = ρ son raıces cubicas de la unidad. Por consiguiente,

u = Fa(u−1) = 3 |a| ei23 , (1.2)

v = Fa(v−1) = 3 |a| ei(2θ3+ 4π

3) y (1.3)

t = Fa(t−1) = 3 |a| ei(2θ3+2π

3). (1.4)

De acuerdo con las definiciones dadas anteriormente, se puede establecerlo siguiente: Excepto por los puntos u−1, v−1 y t−1, que son cuspides, todoslos puntos del conjunto singular son dobleces ( ver [26] para una demostracionde este hecho si a ∈ R; el caso general, a ∈ C, se demuestra esencialmentede la misma manera).

Notese que de (1.2), (1.3) y (1.4), se sigue que, mod 2π, Fa duplica elangulo de cada uno de los puntos u−1, v−1 y t−1 (una pequena aclaracion: enlugar de “u−1(a)”, “u(a)”, etc., hemos escrito simplemente “u−1”, “u”, paraevitar excesos notacionales. Debera tenerse presente, sin embargo, que todosestos puntos dependen del parametro a).

Como se demostrara en el teorema 1, existe otra curva cerrada, ademasde la circunferencia L−1 (a), que es imagen inversa de L(a). Esta otra curvaes tangente a L−1(a) en u−1, v−1 y t−1, y ocurre el hecho notable de que estambien una hipocicloide de tres picos; denotaremos a esta hipocicloide porL∗−1(a) (fig. 1.2). Con esta notacion, la imagen inversa de L(a) esta dada por

F−1a (L(a)) = L−1(a) ∪ L∗−1(a).

4

v-1u-1

t-1v-1*

u-1*

u

vt

t-1* Fa

figura 1.2: Del lado izquierdo, la circunferencia L−1(a) y la hipocicloide L∗−1(a);

del lado derecho, la hipocicloide L(a). Aquı, |a| = ,8 y Arg(a) = 3π4, por lo que

Arg(u−1) =π4y Arg(u) = π

2

El teorema 1 nos permitira deducir, ademas, como se transforma L∗−1(a)en L(a) (aunque esta es una deduccion que puede hacerse tambien partiendosolo de consideraciones geometricas).

Teorema 1.1.1 Dado a ∈ C, a 6= 0 existe una hipocicloide de tres picos,L∗−1(a), que es imagen inversa de la hipocicloide L(a) y existen tambienhomeomorfismos ha : L−1(a)→ L∗−1(a) y ga : C|a|2 → L(a), tales que

Fa(ha(z)) = ga(z2), z ∈ L−1(a). (1.5)

Es decir, ha y ga son tales que el siguiente diagrama conmuta:

L∗−1(a)Fa→ L(a)

ha ↑ ↑ gaL−1(a)

z2→ C|a|2

Observacion: Una hipocicloide de 3 picos se obtiene de hacer girar (sinpatinar) un cırculo de radio δ por adentro de otro cırculo de radio ε = 3δ yse parametriza (en notacion compleja) como sigue:

γ (t) = 2δeit + δe−i2t, t ∈ [0, 2π] . (1.6)

5

Aquı, t representa el angulo central y t = 0 corresponde al punto inicialP0 (fig.1.3). Conforme t varıa de 0 a 2π, γ(t) recorre la hipocicloide en sentidocontrario a las manecillas del reloj.Si situamos la circunferencia de radio δ en el centro del cırculo de radio

ε = 3δ, esta resulta ser tangente a la hipocicloide en 3 puntos, que podrıamosdescribir como los “mınimos” de dicha hipocicloide.

t=t

γ (t)γ

P00

figura 1.3: γ (t) = 2δeit + δe−i2t, t ∈ [0, 2π].

Notese que si a = |a| eiθ y |a| eit ∈ L−1(a),

Fa(|a| eit) = |a|2 ei2t + 2 |a|2 ei(θ−t). (1.7)

O sea que, como se dijo previamente, Fa (L−1(a)) efectivamente es unahipocicloide del tipo (1.6), solo que girada y recorrida de modo un pocodistinto.Por ejemplo, si a < 0, es decir, si θ = π,

Fa(|a| eit) = |a|2 ei2t + 2 |a|2 ei(π−t) = −2a2e−it + a2ei2t.

Como curva, esta hipocicloide coincide con la representada por (1.6) conδ = a2, solo que recorrida en sentido opuesto y empezando desde el puntoinicial Fa(|a|) = −a2 cuando t = 0.En esencia, en este tipo de hechos se basa la siguiente demostracion.

Demostracion del teorema 1.1.1. Por simplicidad, dividimos la demostracionen dos casos.

6

Caso 1: Sea a < 0 (i.e. 0 6= a = |a| eiπ).Haciendo z = δeit, podemos reinterpretar la parametrizacion (1.6) como

una funcion fδ de la circunferencia Cδ en la tal hipocicloide:

fδ (z) = 2z +1

δz2, z = δeit ∈ Cδ.

Llamemos provisionalmente Υa a la hipocicloide parametrizada por lafuncion f|a| definida en la circunferencia singular L−1(a). Es decir, f|a| (L−1(a)) =Υa. Si z = |a| eit ∈ L−1(a), es inmediato que

Fa

¡f|a| (z)

¢= f|a|2

¡z2¢. (1.8)

De aquı se desprende lo siguiente: Como f|a|2 parametriza a la hipocicloide

L(a), Υa es imagen inversa de L(a). A su vez, la aparicion de z2 en (1.8)muestra que Fa es 2 a 1 de Υa en L(a). Finalmente, comparando (1.7) con(1.8) se deduce que para recorrer L(a) en el mismo sentido bajo Fa, L−1 (a)y L∗−1 (a) deben recorrerse en sentidos opuestos. La hipocicloide Υa es la quedenotamos por L∗−1 (a).

Caso 2: Sea 0 6= a = |a| eiθ con θ 6= π.

Para z = |a| eit ∈ L−1(a), definimos

ha(z) = ei(π+θ3)f|a|(z) = −ei

θ3f|a|(z) = −ei

θ3

µ2z +

1

|a|z2

¶.

La hipocicloide ha (L−1(a)) es como la dada por (1.6), pero girada unangulo igual a π + θ

3. Denotamos a esta hipocicloide por L∗−1(a).

Para z = |a|2 eit ∈ C|a|2 definimos

ga(z) = ei(2θ3)f|a|2(z) = ei

2θ3

µ2z +

1

|a|2z2¶.

Obviamente ga(C|a|2) = L(a).

Por ser en esencia parametrizaciones de hipocicloides, ambas funciones,ha y ga, son homeomorfismos en sus respectivos dominios.

Solo resta hacer un calculo directo. Sea, pues, z = |a| eit (notese que,

7

entonces, zz2 = |a|2 z):

Fa (ha (z)) = Fa

µ−ei θ3

µ2z +

1

|a|z2

¶¶= ei

2θ3

µ2z +

1

|a|z2

¶2− 2 |a| eiθe−i θ3

µ2z +

1

|a|z2

¶= ei

2θ3

µ4z2 + 4

1

|a|zz2 +

1

|a|2z4 − 4 |a| z − 2z2

¶= ei

2θ3

µ2z2 +

1

|a|2z4¶= ga

¡z2¢.

Con esto se establece la ecuacion (1.5) y el teorema 1 queda demostrado.¤

Ahora examinaremos geometricamente la accion de Fa restringida a L∗−1(a).

Llamaremos indistintamente cuspides a los picos de las dos hipocicloides,L∗−1(a) y L(a), aunque debe tenerse presente que las de L

∗−1(a) no son pun-

tos singulares. En general, excepto por u−1, v−1 y t−1, los puntos de L∗−1(a)

no son puntos singulares. Ademas,

L∗−1(a) ∩ L−1(a) = u−1, v−1, t−1.

Si a ∈ R, las hipocicloides L∗−1(a) y L(a) tienen un eje de simetrıa en eleje X, y, como se muestra en las figuras 1.4, si a < 0 ambas quedan en el“mismo sentido”, mientras que si a > 0, quedan “invertidas” una respecto ala otra. En particular, si −1 < a < 0, la hipocicloide L(a) queda contenidadentro la region acotada cuya frontera es L∗−1(a). Es facil convencerse queambas hipocicloides coinciden si y solo si a = −1.

8

L∗−1(a) (fuerte) y L(a); a = −0,8 L∗−1(a) (fuerte) y L(a); a = −1,2

L∗−1(a) (fuerte) y L(a); a = 0,8 L∗−1(a) (fuerte) y L(a); a = 0,3

9

L∗−1(a) (fuerte) y L(a), a ∈ C−R.

figuras 1.4.

Del teorema 1.1.1 se sigue que Fa es una funcion 2 a 1 de L∗−1(a) enL(a) (es decir, cada punto de L (a) proviene de dos puntos de L∗−1(a)) mien-tras que es 1 a 1 - inyectiva - de L−1(a) en L(a). Por lo tanto, excepto lascuspides, todo punto de L(a) proviene exactamente de tres puntos: dos enL∗−1(a) y uno en L−1(a). Las cuspides u, v y t de L(a), ademas de provenirde u−1, v−1 y t−1, provienen tambien de las cuspides de L∗−1(a) que deno-taremos, respectivamente, por u∗−1, v

∗−1 y t

∗−1. Es decir, F

−1a (u) = u−1, u∗−1,

F−1a (v) = v−1, v∗−1 y F−1a (t) = t−1, t∗−1.Si a = |a| eiθ, es facil ver que

u∗−1 = 3 |a| ei(θ3+π), v∗−1 = 3 |a| ei(

θ3+ 5π

3) = ρu∗−1 y t

∗−1 = 3 |a| ei(

θ3+π3) = ρ2u∗−1,

de donde se sigue que los correspondientes argumentos de u∗−1, v∗−1 y t

∗−1 son

tambien duplicados por Fa (todos los angulos son mod 2π).

En lo que sigue, dada una curva plana Γ y dos puntos p y q de la misma,denotaremos por (pq) al arco de Γ que va de p a q.

Continuando, L∗−1(a) ∪ L−1(a) se mapea en L(a) del modo siguiente: Elarco (t−1u−1) de L−1(a), ası como los arcos (t

∗−1u−1) y (t−1u

∗−1) de L

∗−1(a), se

10

transforman bajo Fa en el arco (tu) ⊂ L(a). Analogamente, los arcos (v∗−1u−1)y (v−1u

∗−1) de L

∗−1(a) y (u−1v−1) de L−1(a), se transforman, cada uno de ellos,

en (uv) ⊂ L(a). Finalmente, (vt) ⊂ L(a) proviene de (t∗−1v−1) ∪ (t−1v∗−1) ⊂L∗−1(a) y (v−1t−1) ⊂ L(a). Notese que bajo la funcion, L∗−1(a) y L(a) serecorren en el mismo sentido mientras que L−1(a) y L(a) se recorren ensentidos opuestos (ver fig.1.5).

v-1u-1

t-1v-1*

u-1*

Fat-1* u

t v

fig. 1.5: La accion de Fa en L−1(a) y L∗−1(a).

En realidad, no solo restringida a L∗−1(a) sino en todo el exterior de dichahipocicloide la funcion se comporta, geometricamente, en forma “parecida”a z → z2 (teorema 1.3.1).

Observacion sobre la notacion: Siguiendo textos como [19], denotaremospor Zm (f), m ∈ N, a una region del plano en la cual cada punto tieneexactamente m preimagenes bajo una funcion f (si es que tal region existe).En el caso de las funciones Fa escribiremos Zm (a).Denotemos por R(a) a la region no acotada del plano cuya frontera es

L∗−1(a) (es la que queda fuera de L∗−1(a)).

En lo que sigue, veremos que cada punto de la region no acotada cuyafrontera es L(a) tiene exactamente dos preimagenes en R(a); por tal razonllamaremos a dicha region Z2(a). Veremos tambien que cada punto de laregion acotada cuya frontera es, tambien, L (a) (la que queda dentro de esta

11

hipocicloide) tiene exactamente cuatro preimagenes, todas ellas en el interiorde la region acotada por la otra hipocicloide, por L∗−1(a); por tal razon adicha region la llamaremos Z4(a).

A continuacion se introducen dos familias de curvas que nos seran deutilidad para lo que sigue despues.

1.2. Dos importantes familias de curvas

El caso real: a ∈ R. Sean a, ρ y σ numeros reales; para t ∈ R, definimos

ϕρ(t) = ρeit − ae−i2t (1.9)

yψσ(t) = σeit + a2e−i2t (1.10)

Cada una de estas dos ecuaciones parametriza una curva plana cerradaque si ρ 6= 0 6= σ se recorre solo una vez si t ∈ [0, 2π). En particular, si ρ =2 |a|, ϕρ(t) parametriza a la hipocicloide L

∗−1(a) y si ρ = 0, ϕρ(t) parametriza

a la circunferencia singular L−1(a) (recorrida dos veces si t ∈ [0, 2π)). Porotra parte si σ = 2a2, ψσ(t) parametriza al conjunto de valores crıticos, lahipocicloide L(a). En este sentido, a estas curvas las podemos considerar unageneralizacion de las hipocicloides de tres picos usuales.Sean Φ1(a) la familia de curvas parametrizadas por la ecuacion (1.9) y

Φ2(a) la de las curvas parametrizadas por la ecuacion (1.10). Por lo dicho pre-viamente, L∗−1(a) y L−1(a) pertenecen a Φ1(a) mientras que L(a) es elementode Φ2(a).

Propiedades de las familias Φ1(a) y Φ2(a):(i) Para cualesquiera dos numeros ρ y σ se cumple que ϕρ(t+π) = ϕ−ρ(t)

y ψσ(t+ π) = ψ−σ(t).(ii) Si ρ ≥ 0, Fa(ϕρ(t)) = ψσ(2t), t ∈ R, con σ = ρ2 − 2a2 ≥ −2a2.(iii) Si σ ≥ −2a2, existe ρ ≥ 0 tal que Fa(ϕρ(t)) = ψσ(2t), t ∈ R.En particular, si 0 < σ ≤ 2a2, existen ρ1 y ρ2, con 0 ≤ ρ1 <

√2 |a| y√

2 |a| < ρ2 ≤ 2 |a|, tales que Fa(ϕρ1(t)) = ψσ(2t) y Fa(ϕρ2

(t)) = ψ−σ(2t),t ∈ R. En cambio si σ > 2a2, existe un unico real ρ > 2 |a| tal queFa(ϕρ(t)) = ψσ(2t), t ∈ R. Si σ = 0, ϕ√2|a|(t) =

√2 |a| e−it − ae−i2t es

tal que Fa(ϕ√2|a|(t)) = ψ0(2t) = a2e−i4t ∈ C|a|2, t ∈ R.

12

(iv) Si a 6= −1, toda curva en Φ1(a) es distinta de toda curva en Φ2(a).Si a = −1, ambas familias coinciden.

Observaciones: La propiedad (i) nos dice que ϕρ y ϕ−ρ parametrizanla misma curva, pero recorrida, digamos, desde distinto punto inicial. Lomismo vale para ψσ y ψ−σ. La propiedad (ii) implica que si t ∈ [0, 2π),bajo Fa cada curva en Φ1(a) se mapea 2 a 1 en una curva de Φ2(a). Eneste sentido, la funcion Fa va de Φ1(a) en Φ2(a), y la propiedad (iii) nosdice que Fa es una transformacion suprayectiva de Φ1(a) en Φ2(a). Mas aun,como ψσ y ψ−σ parametrizan la misma curva, (iii) tambien nos dice que si0 < σ ≤ 2a2, ψσ tiene dos imagenes inversas en Φ1(a), ϕρ1

y ϕρ2, cada una de

las cuales se mapea 2 a 1 en ψσ. En consecuencia, si 0 < σ ≤ 2a2, la curva ψσ

esta contenida en Z4(a) mientras que si σ > 2a2, dicha curva esta contenida enZ2(a). Se desprende tambien, entonces, que si 0 ≤ ρ ≤ 2 |a|, ϕρ esta contenida

en F−1a (Z4(a)) y si ρ > 2 |a|, ϕρ esta contenida en R(a) = F−1a (Z2(a)) (verfigura 1.8). Mas abajo ilustraremos la relacion entre estas curvas ϕρ1

y ϕρ2que

van a dar a ψσ bajo Fa cuando 0 < σ ≤ 2a2. Por ultimo, como colecciones decurvas, si a 6= −1 estas dos familias son ajenas, por (iv). A Φ1(a) la podemosconsiderar contenida en el dominio de Fa y a Φ2(a) en la imagen. Esto nosva servir para demostrar el teorema 2 de la seccion anterior. El caso a = −1es sumamente especial; este es el unico parametro (real o complejo) para elcual ambas familias coinciden y las consecuencias son importantes, como severa en el capıtulo 2, dedicado ıntegramente al caso a = −1.

Demostracion de las propiedades.

Es util tener presente la grafica de la funcion g(ρ) = ρ2 − 2a2 como semuestra en la figura 1.6.

13

2a

σ

−σ

-2a

ρρ 2| |a

2

22 | |a

2

1

figura 1.6: g(ρ) = ρ2 − 2a2

Basicamente todas las propiedades se desprenden de calculos mas o menossimples. Por ejemplo, para (i), ϕρ(t + π) = ρei(t+π) − ae−i2(t+π) = −ρeit −ae−i2t = ϕ−ρ(t). En forma identica se prueba que ψσ(t + π) = ψ−σ(t). Para(ii), sea ρ ≥ 0:

Fa(ϕρ(t)) = ϕρ(t)2 + 2aϕρ(t)

= ρ2ei2t − 2aρe−it + a2ei4t + 2aρe−it − 2a2ei2t

= (ρ2 − 2a2)ei2t + a2ei4t = ψ(ρ2−2a2)(2t)

Notese que ρ2 − 2a2 ≥ −2a2 si ρ ≥ 0.Nuevamente recurriendo a la grafica, si σ ≥ −2a2, existe un unico numero

ρσ ≥ 0 tal que σ = ρ2σ − 2a2. Usando este numero y lo hecho en (ii) se sigueque Fa(ϕρσ

(t)) = ψσ(2t).Observese que [−2a2, 2a2] esta contenido en la imagen de g, y que si

0 < σ ≤ 2a2, existen ρ2 ∈ [0,√2 |a|) y ρ1 ∈ (

√2 |a| , 2 |a|] tales que g(ρ1) = σ

y g(ρ2) = −σ, como se ilustra en la figura. Los valores de ρ1 y ρ2 son:

ρ1 =√2a2 + σ, ρ2 =

√2a2 − σ.

14

Ahora, un calculo como el hecho en (ii) nos permite concluir que Fa(ϕρ1(t)) =

ψσ(2t) y Fa(ϕρ2(t)) = ψ−σ(2t).

En el propio enunciado de (iii) se resuelve el caso σ = 0. Este es uncaso importante porque nos pernite tener una parametrizacion de la imageninversa de la circunferencia de radio |a|2, tangente a L(a) en los puntos u, vy t.

Finalmente, si a = −1, ϕρ(t) = ρeit + e−i2t y ψσ(t) = σeit + e−i2t, por loque ambas curvas coinciden si ρ = σ. Si a 6= −1, de la forma de las ecuaciones(1.9) y (1.10), se sigue que se trata de curvas diferentes para todos los valoresde ρ y σ. ¤

Observacion: Notese que de la demostracion que se acaba de hacer sedesprende que a Φ2(a) la podemos considerar como la familia de curvasψρ2−2a2(t) = (ρ

2 − 2a2)eit + e−i2t con ρ ≥ 0.

2.51.250-1.25

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

(a)

52.50-2.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

(b)

15

21.510.50-0.5-1

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

(c)

1.510.50-0.5

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

(d)figura 1.7: Elementos de las familias Φ1 (a) y Φ2 (a) para a < 0: (a) L

∗−1 (a) y

tres curvas ϕρ ∈ Φ1 (a) con ρ > 2 |a|. Estas tres curvas estan contenidas en R (a).(b) Las imagenes bajo Fa de las curvas anteriores; todas ellas son elementos de

Φ2 (a) y estan contenidas en Z2 (a). En particular, aparece Fa

¡L∗−1 (a)

¢= L (a).

(c) Nuevamente aparece L∗−1 (a) pero ahora con dos curvas ϕρ1y ϕρ2

con 0 <

ρ1 <√2 |a| < ρ2 < 2 |a|. la imagen de estas dos curvas es una sola curva ψσ que

aparece en (d) junto con L (a).

1.3. Equivalencia con z → z2 en el exterior de

L∗−1 (a)

Teorema 1.3.1 Sean 0 6= a ∈ C y f(z) = z2, z ∈ C. Entonces, las funcionesFa : R(a)→ Z2(a) y f : C−D|a| → C−D|a|2 son C∞-equivalentes. Es decir,

existen difeomorfismos Ha : C−D|a| → R(a) y Ga : C−D|a|2 → Z2(a) talesque

Fa(Ha(z)) = Ga(z2), z ∈ C−D|a|. (1.11)

Demostracion del teorema 1.3.1.Notese, en particular, que de la aparicion de z2 en (1.11), se sigue que cada

punto de la region que hemos llamado Z2(a) tiene en efecto dos preimagenesen R(a).Nuevamente dividimos la demostracion en dos casos.

16

Caso 1: a ∈ R:La idea es basarnos en las parametrizaciones (1.9) y (1.10). Sea z ∈

C−D|a|. Escribimos z = |z| eit con |z| > |a|, y definimos:

Ha(z) = 2z − az2

|z|2.

Notese que esta funcion transforma a la circunferencia de radio |z| > |a|inyectivamente en la curva ϕρ ∈ Φ1(a) con ρ = 2 |z| > 2 |a|. Esta curvaesta contenida en C−A(a) y Ha resulta biyectiva de C−D|a| en C−A(a).

Analogamente, para z ∈ C−D|a|2 , es decir, |z| > |a|2, definimos la funcion

Ga(z) = (4 |z|− 2a2)z

|z| + a2z2

|z|2.

Notese, por un lado, que 2p|z| > 2 |a| dado que |z| > |a|2 y, por otro,

que Ga transforma inyectivamente la circunferencia de radio |z| ≥ |a|2 en lacurva ψσ ∈ Φ2(a) con σ = 4 |z|− 2a2 =

³2p|z|´2− 2a2 > 2a2. Esta funcion

es biyectiva de C−D|a|2 en C− Z4(a).Veamos que se cumple (1.11).Sea |z| > |a|. Entonces 2 |z| > 2 |a|, 2 |z|2 > 2 |a|2 y

Fa(Ha(z)) = Fa

µ2z − a

z2

|z|2¶

=

µ2z − a

z2

|z|2¶2+ 2a

µ2z − a

z2

|z|2¶

= 4z2 − 4azz2

|z|2+ a2

z4

|z|4+ 4az − 2a2 z

2

|z|2

=¡4 |z|2 − 2a2

¢ z2

|z|2+ a2

z4

|z|4= Ga(z

2).

Caso 2: a ∈ C−R.Sean ρ y σ numeros reales y a = |a| eiθ con 0 6= θ 6= π. Sea Φ∗1(a) la

familia de curvas definidas por

ϕρ(t) = −eiθ3

¡ρeit + |a| e−i2t

¢, t ∈ R,

17

y Φ∗2(a) la familia de curvas

ψσ(t) = ei2θ3

¡σeit + |a|2 e−i2t

¢, t ∈ R.

Cada una de estas familias difiere de la correspondiente para a ∈ R solopor una rotacion. Evidentemente, entonces, estas familias tienen las mismaspropiedades basicas que las de las curvas definidas por (1.9) y (1.10). Enparticular, tambien en este caso L∗−1(a) y L−1(a) pertenecen a Φ

∗1(a) mientras

que L(a) es elemento de Φ∗2(a).Para z = |z| eit con |z| > |a|, definimos:

Ha(z) = −eiθ3

µ2z − |a| z

2

|z|2¶. (1.12)

Analogamente, para |z| > |a|2, definimos

Ga(z) = ei2θ3

µ(4 |z|− 2 |a|2) z|z| + |a|

2 z2

|z|2¶. (1.13)

Notese que Ha transforma a la circunferencia de radio |z| > |a| inyectiva-mente en la curva ϕρ ∈ Φ∗1(a) con ρ = 2 |z| > 2 |a|. Esta curva esta contenidaen C−A(a) y Ha resulta biyectiva de C−D|a| en C−A(a).Analogamente, Ga transforma inyectivamente la circunferencia de radio

|z| > |a|2 en la curva ψσ ∈ Φ∗2(a) con σ = 4 |z|− 2 |a|2 =

³2p|z|´2− 2 |a|2 >

2 |a|2. Esta funcion es biyectiva de C−D|a|2 en C− Z4(a).Haciendo un calculo como el hecho mas arriba se concluye que

Fa(Ha(z)) = Ga(z2), z ∈ C−D|a|,

con lo cual el teorema 1.3.1 queda demostrado. ¤

Observacion: Sea a ∈ C. Utilizando (1.12) podemos extender Ha continu-amente a la frontera, en donde coincide con la funcion ha dada en el teorema1. En efecto, sea |z| = |a|; entonces:

Ha(z) = −eiθ3

µ2z − |a| z

2

|a|2¶= −ei θ3

µ2z − z2

|a|

¶= ha(z).

18

Analogamente, definiendo Ga(z) por (1.13) para |z| = |a|2, obtenemos

Ga(z) = ei2θ3

µ(4 |a|2 − 2 |a|2) z

|a|2+ |a|2 z2

|a|4¶= ei

2θ3

µ2z +

z2

|a|2¶= ga(z).

Es decir, ha = Ha | L−1(a) y ga = Ga | C|a|2.De todo esto resulta que en realidad el teorema 1 se puede obtener como

corolario del teorema 2 y ambos resultados se pueden considerar como dosaspectos de un mismo fenomeno que es el siguiente: En las hipocicloidesL∗−1(a) y L(a) y en el exterior de estas, la funcion Fa es equivalente en elsentido de Whitney a z → z2 en el complemento de ciertos discos abiertos.

1.3.1. Accion geometrica de Fa en el exterior de L∗−1 (a).

Ayudados por el teorema 2 y unos cuantos calculos sencillos podemos con-cluir lo siguiente: Para empezar, cada punto de Z2(a) proviene de dos puntosde R(a), es decir, Fa es 2 a 1 de R(a) en Z2(a). Sean U, V y T los 3 rayos (enel contradominio) que parten del origen y que pasan, respectivamente, por u,v, y t. Cada uno de estos 3 rayos tiene dos preimagenes en R(a). Denotemospor U−1, U

∗−1, V−1, V

∗−1, T−1 y T

∗−1 a los 6 rayos (en el dominio) que parten del

origen y pasan, respectivamente, por u, u∗−1, v, v∗−1, t y t

∗−1. La parte de cada

uno de estos 6 rayos que queda en R(a), se transforma en la parte respectivade U, V y T que queda en Z2(a); es decir,

Fa(U−1 ∩R(a)) = Fa(U∗−1 ∩R(a)) = U ∩ Z2(a),

Fa(V−1 ∩R(a)) = Fa(V∗−1 ∩R(a)) = V ∩ Z2(a), y

Fa(T−1 ∩R(a)) = DFa(T∗−1 ∩R(a)) = T ∩ Z2(a).

O sea que las imagenes de estas 6 (semi)rectas son tambien unas (se-mi)rectas y como cada una de ellas tiene el mismo angulo que el del puntomencionado por el que pasa, resulta que tambien aquı ha habido una dupli-cacion de angulos. En otras palabras, los angulos de los rayos U, V y T son eldoble - mod2π - de los de sus respectivas preimagenes U−1, U

∗−1, V−1, V

∗−1, T−1

y T ∗−1.

Con base en los seis rayos U−1, V−1, T−1, U∗−1, V

∗−1 y T

∗−1 dividimos a R(a)

en seis regiones Ri(a), i = 1, ..., 6 (las partes de los seis rayos que quedan enR(a) forman, por pares, partes de la frontera de las regiones Ri(a). Ver fig.

19

1.5); entonces, como Fa aquı es 2 a 1, Fa transforma a estas regiones, porpares, en tres regiones S1(a), S2(a) y S3(a) de la siguiente manera:

Fa(Ri(a)) = Fa(Ri+3(a)) = Si(a),

o equivalentemente,

F−1a (Si(a)) = Ri(a) ∪Ri+3(a)

para 1 ≤ i ≤ 3. A su vez, las regiones Si(a) estan delimitadas por las partesde los tres rayos U, V y T que quedan en Z2(a). Cada punto en Si(a) provienede dos puntos distintos, uno en Ri(a) y otro en Ri+3(a), 1 ≤ i ≤ 3.

FaU-1

U-1* T-1

-1ut -1

v-1

V-1

R5(a)R6 (a)

R4(a)

R3(a)R2 (a)

R1 (a)

T-1*

V

U

u

t vT

V-1*

S

S

S1(a)

3 (a)

2 (a)

Del lado izquierdo, las regiones Ri(a), i = 1, ..., 6, del derecho, Si (a), i = 1, ..., 3

figura 1.8.

1.4. Comportamiento de Fa en la region aco-

tada cuya frontera es la hipocicloide L∗−1(a)

En esta subseccion nos limitamos a senalar solamente un aspecto de estecomportamiento:

20

La hipocicloide L(a) es una curva simple cerrada que divide al planoen dos regiones. Por ser el conjunto de valores crıticos de Fa, dentro decada una de estas regiones todos los puntos tienen el mismo numero depreimagenes (ademas, el numero de preimagenes entre una region y otra di-fiere por un multiplo de 2)1. Como el origen tiene cuatro preimagenes, asaber: 0, −2u−1, −2v−1 y −2t−1, en la region acotada por L(a) cada pun-to tiene cuatro preimagenes. A esta region acotada, que queda dentro de lahipocicloide L(a), la denotaremos por Z4(a).Entonces, F−1a (Z4(a)) consta de cuatro componentes ajenas, contenidas

en la region acotada cuya frontera es la hipocicloide L∗−1(a), determinadaspor las curvas L∗−1(a) y L−1(a): una es la que queda dentro del cırculo singulary las otras tres, las que quedan fuera de este cırculo pero dentro de L∗−1(a).Denotaremos, respectivamente, a estas regiones por A0(a), A1(a), A2(a) yA3(a) (ver fig. 1.10). Con esta notacion,

F−1a (Z4(a)) = A0(a) ∪A1(a) ∪A2(a) ∪A3(a).

El hecho de que, bajo Fa, cada una de estas regiones Ai(a) se transfor-ma biyectivamente en Z4(a) es consecuencia de que los puntos de L−1(a) −u−1, v−1, t−1 son dobleces.

Fa

A

A

AA Z0 1

2

3 4

A0(a) A1(a) A2(a) A3(a) Z4(a), , y

Figura 1.9.

1Este hecho es facil de comprobar en el caso de las funciones Fa, pero tambien esconsecuencia de resultados generales: Vease Milnor, J., Topology from the differentiableViewpoint, Princeton University Press, 1997.

21

Notese, finalmente, que

Z2(a) = C−Z4(a),Z4(a) = Z4(a) ∪ L(a), y

∂Z4(a) = ∂Z2(a) = L(a).

22

Capıtulo 2

Sobre la conexidad del conjuntode puntos cuya orbita esacotada.

Sea X un espacio metrico y f : X → X una funcion continua. Dadox ∈ X, la orbita de x bajo f es la sucesion

©fk(x)

ª∞k=0

donde f1 = f ,

fk = f fk−1 si k ∈ N y f0 = id. Denotamos a dicha orbita por orb(f, x).Se dice que f es transitiva en X si para cada par de conjuntos abiertos novacıos de X, digamos U y W , existen x ∈ U y un entero positivo n tal quefn (x) ∈W.

Un punto x es periodico si fn (x) = x para alguna n ∈ N; al menor naturaln que satisface esta igualdad se le llama el periodo de x y se dice que x esun punto de periodo n. Al conjunto de puntos periodicos de f lo denotamospor Perf .

Si Perf es un conjunto denso en X y, a la vez, f es transitiva en X, sedice que f es caotica en X, en el sentido propuesto por Devaney [11].

Se dice que un conjunto Ω es totalmente invariante bajo f si f (Ω) =f−1 (Ω) = Ω; se dice que es invariante hacia adelante si f (Ω) = Ω, e invari-ante hacia atras si f−1 (Ω) = Ω.1

Al conjunto de puntos z ∈ C cuya orbita es acotada bajo la funcion Fa

lo denotamos por Ka. En analogia con el caso holomorfo, ocasionalmentellamaremos a este el conjunto de Julia lleno de Fa.

1Si f es suprayectiva (i.e., f (X) = X), es inmediato que f es invariante hacia atras si,y solo si, es totalmente invariante.

23

En lo que resta del capıtulo se estableceran varios resultados preliminarespara demostrar los teoremas 2.2.5 y 2.2.5 que se enuncian a continuacion:

Teorema 2.2.5 Si L−1(a) ⊆ Ka, entonces Ka es conexo.

Teorema 2.3 Si orb(Fa, z) → ∞ para todo z ∈ L−1(a), Ka tiene unainfinidad (no numerable) de componentes.

Es facil ver que Ka es totalmente invariante bajo Fa y, como veremosmas abajo, Ka es un conjunto compacto para todo a ∈ C. Por lo tanto, delteorema 2.2.5 se desprende que si L−1(a) ⊆ Ka, entonces Ka es un continuo,es decir, un compacto conexo.

Algunos parametros para los que se cumple que L−1(a) ⊆ Ka son losnumeros reales tales que −1 ≤ a < 0 y los numeros complejos que satisfacen|a| ≤ 1

3. En todos estos casos Ka es conexo.

Si |a| es “grande” - por ejemplo si |a| > 1+√2 o si a ∈ (−∞,−1)∪(2,∞),

se cumple la hipotesis del segundo resultado, o sea, que orb(Fa, z)→∞ paratodo z ∈ L−1(a). En todos estos casos Ka es disconexo.

El recıproco del teorema 2.2.5 es falso porque puede ocurrir que algunospuntos del conjunto singular L−1(a) tengan orbita no acotada y, sin embargo,Ka sea conexo. Por ejemplo, para parametros reales, Ka es conexo si, y solosi, a ∈ [−1, 2] (vease [26]). No obstante, para a ∈ (1

3, 2] siempre existen

arcos de la circunferencia L−1(a) cuyos puntos tienen orbita no acotada; unejemplo de esto se muestra en la siguiente figura 2.1, en la que se nota que lacircunferencia singular L−1(

25) intersecta tanto al conjunto K 2

5(que aparece

en el centro de la figura, con una evidente “simetrıa triangular”), como alexterior de este, que constituye la “cuenca de atraccion de infinito”, es decir,el conjunto de puntos cuyas orbitas tienden a ∞.

24

a = 25: Ka conexo y L−1 * Ka.

figura 2.1.

La experiencia parece indicar que si todos los puntos de L−1(a) tienenorbita no acotada, entonces Ka no solamente tiene una infinidad de compo-nentes, sino que es un conjunto de Cantor (compacto, perfecto y totalmentedisconexo, o sea que sus componentes son puntos).Hechas estas salvedades, los teoremas 2.2.5 y 2.3 son indudablemente

analogos a un muy importante teorema de sistemas dinamicos discretos holo-morfos que enunciamos mas abajo, establecido en forma independiente porPierre Fatou y Gaston Julia alrededor de 1920 para polinomios complejos.Para comprender dicho enunciado, hacemos las siguientes precisiones: parafunciones holomorfas f : C→ C el conjunto de Julia lleno es, tambien, el delos puntos cuya orbita es acotada. El que se llama simplemente conjunto deJulia es distinto, y es, por definicion, el conjunto de puntos en torno a loscuales la familia de iteraciones de f ,

©fkª, no es una familia normal.2

Para funciones racionales complejas se demuestra que el conjunto de Juliaes totalmente invariante, es no vacıo y si su interior es vacıo, es la fronteradel conjunto de Julia lleno (si su interior es no vacıo el conjunto de Juliacoincide con todo C). Se demuestra tambien que dicho conjunto de Julia es,en particular, conexo, si y solo si, el conjunto de Julia lleno tambien lo es.

2Para un tratamiento del tema de familias normales vease, por ejemplo, L. V. Alfhors,Complex Analysis, McGraw-hill, 1979.

25

El teorema mencionado de Fatou-Julia para polinomios se puede formularcomo sigue (vease [9, p. 80]).

Teorema (Fatou-Julia). Sea P un polinomio en C y denotemos por ΩP

al conjunto de puntos crıticos de P ; i.e. ΩP = z | P 0 (z) = 0. Entonces:(i) ΩP esta contenido en el conjunto de Julia lleno de P si, y solo si,

dicho conjunto es conexo y equivalentemente, si y solo si, el correspondienteconjunto de Julia es conexo.

(ii) Si la orb(P, z)→∞ para todo z ∈ ΩP , entonces ambos, el conjuntode Julia lleno y el conjunto de Julia coinciden y son un conjunto de Cantor.

Este resultado constituye una instancia muy significativa del papel quejuega el conjunto singular en la dinamica de una funcion compleja.

En general, en variable compleja es un hecho muy aceptado que los puntoscrıticos hasta cierto punto determinan el comportamiento dinamico de unafuncion. Tambien en el caso real muchos autores han evidenciado que elconjunto singular juega un papel bastante determinante en la dinamica delas funciones (ver, por ejemplo, [19] y [1]).

Hay, sin embargo, una diferencia notable entre uno y otro caso: Las fun-ciones racionales complejas - los polinomios en particular - tienen solo unnumero finito de puntos crıticos, es decir, el conjunto singular es finito. Encambio, el conjunto singular de las funciones (no invertibles) de R2 en R2suele ser una curva (o varias). Quiza en esta diferencia subyace la aparicionde fenomenos dinamicos tan distintos en uno y otro caso.

2.1. Cuestiones Dinamicas Preliminares.

Lema 2.1.1 Sea a ∈ C. Si |z| > 1 + 2 |a| , entonces |Fa (z)| > |z| .

Demostracion: Tenemos, para todo z ∈ C, que

|Fa (z)| =¯z2 + 2az

¯≥¯|z|2 − 2 |a| |z|

¯= |z| ||z|− 2 |a|| .

Si |z| > 1 + 2 |a| , se sigue que |z|− 2 |a| > 1, por lo que |Fa (z)| > |z|. ¤

Lema 2.1.2 (Criterio de escape) Si |z| > 1+ 2 |a| , entonces F ka (z) →

k→∞∞.

26

Demostracion: Si |z| > 1 + 2 |a|, del lema 2.1.1 podemos concluir porinduccion que

¯F k+1a (z)

¯>¯F ka (z)

¯para todo entero k ≥ 0. En consecuencia©¯

F ka (z)

¯ªes una sucesion monotona creciente de numeros reales positivos.

Supongamos que es acotada, o equivalentemente, que existe α ∈ R tal que

α = lımk→∞

¯F ka (z)

¯.

Obviamente α = sup©¯F ka (z)

¯ª> 1 + 2 |a|. Esto implica que

©F ka (z)

ªes

acotada en R2 y, por lo tanto, tiene una subsucesion©F kia (z)

ªconvergente

a cierto w ∈ C. Necesariamente |w| = α, y como Fa es continua,

Fa

¡F kia (z)

¢= F ki+1

a (z) →k→∞

Fa (w) .

Como |w| = α > 1 + 2 |a| , se sigue que |Fa (w)| > |w|, lo cual implica,a su vez, que infinidad de terminos de la (sub)sucesion

©F ki+1a (z)

ªtienen

modulo mayor que |w| = α. Pero ello es imposible porque α ≥¯F k (z)

¯∀

k ∈ N. En consecuencia,lımk→∞

¯F ka (z)

¯=∞,

y queda demostrado el lema. ¤

Observacion: Como Fa(z) → ∞ si z → ∞, podemos extender continua-mente la definicion de Fa al plano extendido C∪ ∞ haciendo Fa(∞) =∞.Esto convierte a ∞ en un punto fijo de Fa. De hecho ∞ es un punto fijoatractor de Fa para todo a ∈ C.

Al conjunto de puntos cuya orbita tiende a ∞ se le llama la cuenca deatraccion de ∞. Denotamos a este conjunto por Ba (∞). Es facil ver queBa (∞) es un conjunto abierto y como Ba (∞) = C−Ka, necesariamente estotalmente invariante bajo Fa dado que Ka lo es.Denotemos por Da al disco cerrado z | |z| ≤ 1 + 2 |a|.El lema 2.1.2 nos dice que el exterior de Da esta contenido en Ba (∞) para

todo a ∈ C. En consecuencia, Ka ⊆ Da (pudiendo ocurrir que |z| = 1 + 2 |a|para algun z ∈ Ka: por ejemplo, si a < 0, el numero 1− 2a = 1+ 2 |a| es unpunto fijo de Fa y por lo tanto es un elemento de Ka).Notese que si |F j (z)| > 1 + 2 |a| para algun entero j ≥ 0, argumentando

como en el lema 2.1.2 se concluye tambien que orb(Fa, z)→∞. Por lo tanto,la orbita de z es acotada si, y solo si,

¯F ka (z)

¯≤ 1 + 2 |a| para todo k ≥ 0.

27

Tenemos entonces la siguiente igualdad:

Ka =©z |¯F ka (z)

¯≤ 1 + 2 |a| ∀k ≥ 0

ª(2.1)

De aquı se deriva un algoritmo elemental (bastante comun en casos comoeste) para calcular en forma aproximada, con ayuda de una computadora, alconjunto Ka. El numero 1 + 2 |a| es el “radio de escape”: se toma un puntoinicial z0 ∈ Da y se fija cierto numero maximo de iteraciones - llamemoslo,por ejemplo, N . Si

¯F ka (z0)

¯≤ 1 + 2 |a| para 0 ≤ k ≤ N , marcamos de negro

al punto z0 y en cualquier otro caso, lo marcamos blanco. Damos ejemplosde conjuntos Ka calculados usando este algoritmo en la figura 2.2.

a = −0.4 a = −0.88

a = −1.1 a = −0.5 + i0.5

28

a = −0.5 + i0.55 a = 1

a = 0,35 a = 0.25 + i0.25

29

a = 0.35 + i0.55

figura 2.2: Algunos conjuntos Ka.

En lo que sigue denotaremos por Vr al disco cerrado z | |z| ≤ r, r > 0.Demostraremos ahora que el conjunto Ka es compacto para todo a ∈ C. Elloes consecuencia del siguiente

Lema 2.1.3 Sea r ≥ 1 + 2 |a|. Entonces

F−1a (Vr) ⊆ Vr. (2.2)

Demostracion: Supongamos que z /∈ Vr, o sea |z| > r ≥ 1 + 2 |a|. Por ellema 2.1.1 |Fa (z)| > |z| y, por lo mismo, Fa (z) /∈ Vr. En consecuencia, siz ∈ F−1a (Vr) , tenemos que Fa (z) ∈ Vr y por lo tanto z ∈ Vr. ¤

Corolario 2.1.4 Si r ≥ 1 + 2 |a|, la coleccion©F−ka (Vr)

ªes una sucesion

anidada decreciente de conjuntos compactos no vacıos y

Ka =∞\k=0

F−ka (Vr) . (2.3)

Entonces, el conjunto Ka es compacto para todo a ∈ C.

30

Demostracion: Obviamente F−ka (Vr) es no vacıo para todo k ∈ N. De lacontencion (2.2), se sigue, por induccion, que

F−k−1a (Vr) ⊆ F−ka (Vr) ⊆ Vr.

Esto prueba que si k ∈ N, F−ka (Vr) es acotado y como tambien es cerrado,

es compacto. Por lo tanto,∞Tk=0

F−ka (Vr) es un conjunto compacto no vacıo.

Para demostrar la igualdad (2.3) estableceremos la doble contencion.

Como Ka ⊆ Da ⊆ Vr y Ka es totalmente invariante, F−ka (Ka) = Ka ⊆

F−ka (Vr) para todo k ∈ N, por lo que Ka ⊆∞Tk=0

F−ka (Vr).

Por otro lado, si z ∈∞Tk=0

F−k(Vr), tenemos Fka (z) ∈ Vr ∀ k ∈ N y por lo

tanto, la orbita de z es acotada; en consecuencia,∞Tk=0

F−ka (Vr) ⊆ Ka. ¤

Como caso particular del Corolario 2.1.4 tenemos que©F−ka (Da)

ªforma

una sucesion anidada decreciente de conjuntos compactos y

Ka =∞\k=0

F−ka (Da) . (2.4)

Las igualdades (2.3) y (2.4) proporcionan un algoritmo - naturalmentealgo burdo - para dibujar al conjunto Ka: Se toma cualquier disco cerradoVr suficientemente grande (i.e., con r ≥ 1 + 2 |a|) y se van graficando susimagenes inversas sucesivas F−ka (Vr). Conforme k sea mas grande, se puedeapreciar mejor al conjunto Ka. Las figuras siguientes ilustran este proced-imiento para a = 1

4+ 1

4i tomando V2 como disco inicial.

31

(a) F−1a (V2) (b) F−2a (V2)

(c) F−3a (V2) (d) F−4a (V2)

32

(e) F−5a (V2) (f) F−15a (V2)

figura 2.3

Observacion: Si r > 1 + 2 |a| es facil concluir, no solo que F−1a (Vr) ⊂ Vr,sino que

F−1a (Vr) ⊂ intVr. (2.5)

En efecto: si |z| ≥ r > 1 + 2 |a|, tenemos |Fa(z)| > |z| por lo que Fa(z) /∈Vr; de aquı que si z ∈ F−1a (Vr), necesariamente |z| < r.Mas aun, de (2.5) se desprende que, en general,

F−k−1a (Vr) ⊂ intF−ka (Vr) ⊂ intVr, ∀ k ∈ N. (2.6)

Esto nos sera muy util en la siguiente seccion.

2.2. Sobre la conexidad de Ka.

La idea de la demostracion de la conexidad de Ka es semejante a la delinciso (i) del teorema mencionado de Fatou-Julia: Tomamos un disco cerra-do Vr con r > 1 + 2 |a| y, aprovechando que L−1 (a) ⊂ Ka, demostramosque F−ka (Vr) es conexo si k ≥ 0. Entonces, por ser

©F−ka (Vr)

ªuna suce-

sion anidada decreciente de conjuntos conexos y compactos, la interseccion∞Tk=0

F−ka (Vr) es conexo y de (2.3) se sigue que Ka es conexo.

Recordar que por definicion, una funcion f : Rn → Rn se dice que espropia si la imagen inversa de cualquier conjunto compacto es un conjuntocompacto.

33

Lema 2.2.1 Fa : C→ C es propia para todo a ∈ C.

Demostracion: Sea Ω cualquier conjunto compacto en el plano. Obvia-mente F−1a (Ω) es cerrado. Sea r ≥ 1 + 2 |a| lo suficientemente grande demodo que Ω este contenido en el disco cerrado de radio r, Vr. Entonces, co-mo F−1a (Ω) ⊆ F−1a (Vr) ⊆ Vr, F

−1a (Ω) es acotado y por lo tanto, es compacto.

¤

Lema 2.2.2 Sea Γ una curva lisa simple cerrada. Supongamos que el con-junto de valores crıticos de Fa- la hipocicloide L (a) - esta contenido en laregion acotada cuya frontera es Γ. Entonces, F−1a (Γ) es una curva lisa sim-ple cerrada que se mapea 2 a 1 en Γ. Ademas, L∗−1(a) queda contenida en laregion acotada cuya frontera es F−1a (Γ).

Demostracion: Como Fa es propia, F−1a (Γ) es un compacto. Como por

hipotesis L (a) ∩ Γ = ∅, se sigue que F−1a (Γ) ∩ L−1(a) = ∅; es decir, enF−1a (Γ) no hay puntos singulares. En consecuencia, F−1a (Γ) es una variedadcompacta de dimension 1 y, por un conocido teorema de clasificacion, cadacomponente conexa de F−1a (Γ) es difeomorficamente un intervalo o una curvacerrada (ver [18]). Vamos a ver que en este caso F−1a (Γ) es solo una curvacerrada.

Como se vio en el capıtulo anterior, en Z2(a) (la region exterior a L (a))cada punto tiene exactamente 2 preimagenes, ambas en R(a) = F−1a (Z2(a))(region exterior a L∗−1 (a)). De la hipotesis se sigue que Γ ⊆ Z2(a). Entonces,F−1a (Γ) ⊆ R (a) y cada punto de Γ proviene de dos puntos de F−1a (Γ).

Manteniendo la notacion del capıtulo 1, sean P,Q y S las interseccionesrespectivas de Γ con los rayos U , T y V (cada uno de estos puntos tieneexactamente 2 preimagenes en R (a). Una idea esquematica de la situacionse presenta en la fig.2.4; ahı, las preimagenes de P se denotan por p1, p2,etc.)

Conforme se recorre Γ de P a Q en sentido contrario a las manecillas delreloj, cada una de las dos componentes de F−1(Γ) es recorrida de una de lasimagenes inversas de P a una de las de Q. Evidentemente, conforme Γ serecorre de P a Q, luego a S y luego de nuevo a P, F−1a (Γ) dibuja una unicacurva cerrada (que se mapea 2 a 1 en Γ). Como F−1a (Γ) ⊂ R (a), se sigueque L∗−1(a) queda contenida en la region acotada cuya frontera es F

−1a (Γ).

¤

34

T

S

V

q1

s1

p1

T-1* P

U*-1

V*

U

Fa

-1

-1

-1

p2

2qs2

T-1

V-1

U

( )Γ Γ

Q

figura 2.4:

Observacion: Si L (a) ∩ Γ = ∅, no necesariamente ocurre que F−1a (Γ)es una sola curva simple cerrada; la figura 2.5 muestra ejemplos en los queF−1a (Γ) tiene dos componentes a pesar de que L (a) ∩ Γ = ∅. El hecho claveen el lema 2.2.2 es que, adicionalmente a la hipotesis L (a) ∩ Γ = ∅, L (a)esta contenida en la region acotada cuya frontera es Γ. Es decir, Γ “rodea”por fuera al conjunto L (a). En consecuencia, la imagen inversa de Γ, F−1a (Γ),“rodea” tambien por fuera a la hipocicloide L∗−1(a), tal como se senala en ellema.

35

U*-1

U-1

U

Fa ( )Γ-1

Fa-1 ( )Γ

Γ

figura 2.5.

Si Γ es cualquier curva en el plano, a su imagen inversa de orden k ∈ N,F−ka (Γ), la denotaremos por Γ−k.

Lema 2.2.3 Sean r > 1 + 2 |a| y Γ = ∂Vr = z | |z| = r (notese que Γ ⊂Ba (∞)). Supongamos L−1 (a) ⊂ Ka. Entonces(i) Γ−1 es una curva simple cerrada contenida en intVr. A su vez, Γ−1 ⊂

Ba (∞).(ii) Sea A el anillo abierto comprendido entre Γ−1 y Γ. Entonces: Fa (A) ⊂

C− Vr y A ⊂ Ba (∞).(iii) F−1a (Vr) = Vr −A ∪ Γ.(iv) La frontera y el interior del conjunto compacto F−1a (Vr) son, respec-

tivamente, Γ−1 y F−1a (intVr). Se cumple, entonces, que

F−1a (intVr) = intF−1a (Vr) y F−1a (∂Vr) = ∂F−1a (Vr) .

36

(v) Como Γ−1 es una curva simple cerrada, se sigue que F−1a (Vr) es un

compacto, conexo y simple conexo.

Demostracion: Como L−1 (a) ⊂ Ka, todas las iteraciones (hacia atras yhacia adelante) de L−1 (a) estan contenidas en Ka. En particular L (a) ⊂ Ka.

Por otro lado, Γ ⊂ C−Da dado que r > 1 + 2 |a|.

Como Ka ⊂ Da, tenemos que L(a) esta contenida en la region acotadapor Γ (y a la vez, tenemos que Γ ⊂ Z2(a)). Por lo tanto, por el lema 2.2.2,Γ−1 es una curva simple cerrada (que Fa transforma 2 a 1 en Γ). Como sehizo notar en la observacion anterior, F−1a (Vr) ⊂ intVr dado que r > 1+2 |a|.Como Γ−1 ⊆ F−1a (Vr), se sigue que Γ−1 ⊂ intVr.

El hecho de que Γ esta contenida en Ba (∞) implica que Γ−1 y todas lasiteraciones (hacia atras y hacia adelante) de Γ−1 estan contenidas en Ba (∞);el inciso (i) queda demostrado.

Para (ii) vamos a demostrar que si z ∈ A, entonces Fa (z) /∈ Vr.

Tomemos z ∈ A y supongamos Fa(z) ∈ A. Unamos - mediante un arco- a z con algun punto q1 ∈ Γ−1 y con algun punto q ∈ Γ como se ve en lafig.2.6. Denotemos a este arco por (q1zq). Excepto los extremos q1 y q, todoel resto del arco queda contenido en A.

Por el lema 2.1.1, el punto Fa (q) queda fuera de Vr y Fa (q1) ∈ Γ, porlo que el arco (Fa (q1)Fa (z)Fa (q)) empieza en Γ, se “mete” en A hastallegar a Fa (z) y luego, cruza Γ al menos en un punto x ∈ Γ hasta llegar aFa (q). Ello implica que x, por estar en el arco (Fa (q1)Fa (z)Fa (q)), tienealguna imagen inversa en el arco original (q1zq), en algun punto x−1 ∈ A(ambos, x y x−1, estan marcados en la fig. 2.6). Por otro lado, como x ∈ Γ ⊆Z2(a), F

−1a (x) son 2 puntos distintos en Γ−1, de donde x ∈ Z2(a) tiene tres

imagenes inversas diferentes, lo cual es imposible. Un argumento semejantedemuestra que Fa (z) tampoco puede estar en la region acotada cuya fronteraes Γ−1; en conclusion, Fa (z) /∈ Vr, con lo que Fa (A) ⊂ C − Vr. Observeseque como todo elemento de Fa (A) esta fuera de Vr, se sigue inmediatamenteque Fa (A) ⊂ Ba (∞), lo cual implica que A ⊂ Ba (∞).

37

Fa

Fa

( )

z

Fa( )q

1

( )

q

x= Fa ( )x-1

ΓΓ

q

z

xq

1

-1

-1

figura 2.6.

Notese que con lo hecho hasta aquı ta tenemos que A ∪ Γ−1 ⊂ Ba (∞).Para (iii), como F−1a (Vr) ⊂ intVr, se sigue que F

−1a (Vr) ⊆ Vr − A ∪ Γ,

dado que Fa (A ∪ Γ) ⊂ C− Vr.Demostraremos ahora que Vr−A∪Γ ⊆ F−1a (Vr). LlamemosW a la region

acotada cuya frontera es Γ−1 (W es abierto conexo y simple conexo). Noteseque W ∪ Γ−1 = Vr −A ∪ Γ. Obviamente Γ−1 ⊂ F−1a (Vr) ⊆ Vr −A ∪ Γ.Solo habrıa que demostrar, entonces, que W ⊆ F−1a (Vr); de hecho vamos

a demostrar que W ⊆ F−1a (intVr).Sea w ∈ W . Unamos a w con algun punto z ∈ A mediante un segmento

de recta parametrizado, por ejemplo, por

γ (t) = w + t (z − w) , t ∈ [0, 1] .

38

Sea q = γ (t0) ∈ Γ−1 , con t0 ∈ (0, 1), el unico punto de interseccion deeste segmento con Γ−1 (i.e., γ(t) /∈ Γ−1 ∀t 6= t0, t ∈ (0, 1). Ver fig. 2.7)

Fa

ΓΓ-1

q

z

w

Fa ( )w

( )

s

ra

z

( )q

figura 2.7.

Como q no es un punto singular de Fa y γ0 (t) 6= 0 ∀t, la curva β (t) =Fa (γ (t)) cruza transversalmente a Γ en Fa (q). Si Fa (w) no estuviera enintVr, como Fa (z) /∈ Vr y β (t) cruza Γ al pasar por Fa (q), cerca de estepunto - Fa (q) - una parte de β (t) entra en Vr y, por lo menos una vez, debevolver a cruzar Γ en algun punto s para llegar a Fa (w). Entonces, s ∈ Γprovendrıa de un punto de la forma γ (t1) ∈ Γ−1 para algun t0 6= t1 ∈ (0, 1),lo cual es imposible. En conclusion, Fa (w) necesariamente es un elemento deintVr. Por lo tanto, W ⊆ F−1a (intVr) ⊆ F−1a (Vr). Esto prueba el inciso (iii),es decir que F−1a (Vr) = Vr −A ∪ Γ.

39

Para (iv), como W ∪Γ−1 = Vr−A∪Γ, tenemos que F−1a (Vr) =W ∪Γ−1.En consecuencia, W = intF−1a (Vr) dado que W es evidentemente el mayorconjunto abierto contenido enW ∪Γ−1. Por otra parte, sabemos ya queW ⊆F−1a (intVr) y como F−1a (intVr) es abierto, se sigue que F

−1a (intVr) ⊆ W .

Por lo tanto, F−1a (intVr) = W . Es decir, intF−1a (Vr) = intF−1a (Vr). Enconsecuencia, a su vez, Γ−1 = F−1a (∂Vr) = ∂F−1a (Vr).Una vez demostrado que la curva Γ−1 es simple cerrada, la afirmacion

(v) es mera consecuencia de un conocido teorema de Jordan, implıcitamenteusado ya varias veces en este trabajo. ¤

El lema 2.2.3 se puede generalizar de inmediato a imagenes inversas detodos los ordenes de Vr, Γ y el anillo A. En forma precisa nos referimos a losiguiente:

Lema 2.2.4 (Generalizacion del lema 2.2.3) Sean r > 1 + 2 |a| y k ≥ 2.Entonces(vi) Γ−k es una curva simple cerrada contenida en F−ka (Vr), y a su vez,

Γ−k ⊂ Ba (∞).(vii) Sea Ak el anillo (abierto) comprendido entre Γ−k−1 y Γ−k. Entonces:

Ak = F−1a (Ak−1) y Ak ⊂ Ba (∞).(viii) F−ka (Vr) = F−k+1a (Vr)−Ak−1 ∪ Γ−k+1.(ix) La frontera y el interior del conjunto compacto F−ka (Vr) son, respec-

tivamente, Γ−k y F−ka (intVr). Se cumple, entonces, que

F−ka (intVr) = intF−ka (Vr) y F−ka (∂Vr) = ∂F−ka (Vr) .

(x) Como Γ−k es una curva simple cerrada, se sigue que F−ka (Vr) es un

compacto, conexo, y simple conexo.

La demostracion de esta generalizacion es esencialmente la misma que ladel lema 2.2.3 y omitimos los detalles.Notese que por (2.6), F−ka (Vr) ⊂ intVr y por (vi) y (vii), Ak−1 ∪ Γ−k+1 ⊂

Ba (∞), k ≥ 2.Finalmente, con todo lo anterior obtenemos como corolario el resultado

mas importante de esta seccion.

Teorema 2.2.5 Si L−1 (a) ⊂ Ka, entonces Ka es conexo.

Demostracion: Sea r > 1 + 2 |a|. Como Ka =∞Tk=1

F−ka (Vr) y por lo ex-

puesto hasta aquı©F−ka (Vr)

ªforma una sucesion anidada decreciente de

conjuntos conexos y compactos, el resultado se sigue. ¤

40

2.3. Conjuntos de Julia disconexos.

Supongamos ahora que L−1 (a) ⊂ Ba (∞) .

A partir de esta hipotesis es inmediato concluir que Ka es disconexo: Estoes ası porque el origen y sus tres imagenes inversas distintas de 0, que son−2u∗−1, −2v∗−1 y −2t∗−1, estan en Ka y mientras que el origen queda dentrodel disco de radio |a|, dichas imagenes inversas quedan fuera de este. Ası, lacircunferencia singular “desconecta” obviamente a Ka.

La conjetura en este caso es que Ka no solo es disconexo sino un conjuntode Cantor. Aquı demostraremos un resultado algo mas debil: Que, bajo lahipotesis mencionada, Ka tiene una infinidad de componentes.

Empezaremos con un caso particular: supondremos que la primera it-eracion de L−1 (a) , es decir, la hipocicloide L (a) , cae en el exterior del discocerrado Da. Esto significa que Da ⊂ Z4 (a). Esta situacion ocurre si, y solosi, |a| > 1 +

√2.

Sabemos que©F−ka Da

ªes siempre una sucesion anidada decreciente de

compactos y que Ka =∞Tk=0

F−ka (Da) .

En particular, como Da ⊂ Z4 (a) , F−1 (Da) consta de cuatro componentes

(compactos conexos ajenos), todas contenidas en F−1a (Z4 (a)) ∩Da.

Denotando, como en el capıtulo anterior, por A0 (a), A1 (a), A2 (a) yA3 (a) a las 4 componentes de F

−1a (Z4 (a)) , cada una de las componentes

de F−1a (Da) queda contenida en Ai (a), para solo un i = 0, 1, 2, 3. ComoF−1a (Da) ⊂ Da ⊂ Z4 (a), tenemos que F

−2a (Da) tiene 16 componentes con-

tenidas, de 4 en 4, en cada componente de F−1a (Da) . Continuando de estamanera, F−ka (Da) consta 4

k de componentes ajenas contenidas, de cuatro encuatro, en las 4k−1 componentes ajenas de F−k+1a (Da) (ver fig. 2.8).

41

(a) F−1a (Da) (b) F−2a (Da)

Figura 2.8: componentes de F−ka (Da), k = 1, 2, a ∈ R, |a| > 1 +√2.

Estamos claramente ante un proceso “tipo Cantor”, del cual se desprendeque Ka es disconexo y tiene una infinidad no numerable de componentes.

Para el caso general, como L−1 (a) ⊂ Ba (∞), alguna iteracion de L−1 (a)cae totalmente fuera de Da; digamos que F

ja (L−1 (a)), para cierto j ∈ N, es

esa iteracion.

Entonces, necesariamente F j−1a (Z4(a)) ⊇ Da. Notese que F

ja (L−1 (a)) =

F j−1a (L (a)) es una curva que si j es grande, se cruza a si misma muchasveces. Esta curva no es la frontera de F j−1

a (Z4(a)), aunque contiene partesde dicha frontera (un ejemplo de esto se puede ver en las figuras 2.9).

Por lo tanto, F−(j−1)a (Da) ⊆ Z4. A partir de este momento, las imagenes

inversas de cada componente de F−(j−1)a (Da) empiezan un “proceso Canto-

riano” semejante al descrito anteriormante y el resultado se sigue.

Lo dejamos asentado en el siguiente teorema.

Si L−1 (a) ⊂ Ba (∞) , el conjunto Ka es disconexo y tiene una infinidadno-numerable de componentes ajenas.

42

(a) (b)

(c) (d)

43

(e) (f)figuras 2.9: El parametro es a = −1,5 y se cumple que L−1 (a) ⊂ Ba (∞) y

|a| < 1+√2. En estas figuras se muestran iteraciones varias de L−1 (a) incluyendo

el momento en que una de ellas, L3, es una curva totamente en el exterior del discoDa (el radio de este disco es es 3,1).

En (a) destacaL4, la quinta iteracion deL−1 (a), en el rectangulo [−1300, 1800]×[−1500, 1500]; el contraste entre esta iteracion y las previas (al centro de la figu-ra) da idea de la rapidez con que las orbitas divergen a ∞. En (b) tenemos unacercamiento al centro de la region anterior (ahora estamos en [−250, 250] ×[−250, 250]). En (c) el rectangulo es [−50, 50] × [−50, 50] y ya no se ve L4; seven aquı dos circunferencias: la menor es L−1 (a) y la mayor la frontera Da. En

(d) el rectangulo es [−20, 20] × [−20, 20] y, ademas de las primeras tres itera-ciones y las circunferencias antes mencionadas, se aprecian todavıa algunos arcos

de L3. En (e) la region es [−5, 5] × [−5, 5] y aparecen, del centro hacia afuera,L−1, L, L1 y L2 y la frontera de Da intersectando a estas tres ultimas curvas.

En (f) - una zona parecida a (e) - se esbozan F 3a (Z4(a)) y Da y se nota como

∂F 3a (Z4(a)) ⊂ F 3

a (L(a)).

44

Capıtulo 3

El excepcional caso a = −1

3.1. Aspectos Geometricos.

Para simplificar la notacion en lo que sigue, a la funcion F−1, al conjuntode valores crıticos L(−1) y a su imagen inversa, el conjunto de puntos crıticosL−1(−1) y la hipocicloide L∗−1(−1), los denotaremos, respectivamente, porF , L, L−1 y L

∗−1.

De lo visto en el capıtulo 1 se desprende que a = −1 es el unico parametropara el cual se cumple.que L−1 coincide con L. Esto tendra importantesrepercusiones, ası que lo destacamos a continuacion.

Lema especial: El parametro a = −1 es el unico para el cual se cumpleque la hipocicloide L∗−1(a) coincide con la hipocicloide L(a)Demostracion: Se sigue directamente de las caracterısticas geometricas

de ambas hipocicloides. ¤

Corolario 3.1.1 El conjunto de valores crıticos, L, es invariante hacia ade-lante bajo F ; es decir, F (L) = L.

Demostracion: Como L∗−1 = L, L = F (L∗−1) = F (L). ¤

Para a = −1, las familias de curvas Φ1(a) y Φ2(a) (ver seccion 1.2) coin-ciden y, por lo tanto, se vuelven una sola familia invariante. Examinaremoscon mas detalle este punto.Para a = −1 denotaremos a estas familias simplemente por Φ1 y Φ2.Para cada r ∈ R, considerese la curva

ϕr =©z = reiθ + e−i2θ : θ ∈ [0, 2π]

ª. (3.1)

45

Esta curva es la dada por (1.9) para a = −1. Es decir, para este valor delparametro, ϕr : r ∈ R = Φ1. Notese que, en particular, L

∗−1 = L = ϕ2 y,

por lo tanto, a diferencia de otros valores del parametro, en este caso L esmiembro de la familia Φ1. Notese ademas, que L−1 = ϕ0 ∈ Φ1 y ϕ−r = ϕr

para todo r ∈ R.Por otra parte, Φ2 es la familia de curvas F (ϕr) donde

F (ϕr) =©¡r2 − 2

¢e−i2θ + e−i4θ : θ ∈ [0, 2π]

ª, r ∈ R. (3.2)

Proposicion 3.1.2 Para a = −1 se cumple que Φ1 = Φ2.

Demostracion: Sea s ∈ R y considerese ϕs ∈ Φ1. Tomese θ ∈ [0, 2π] .Entonces,

F (ϕs) =¡s2 − 2

¢ei2θ + e−i4θ.

Si γ = 2θ y t = s2 − 2, tenemos

F¡seiθ + e−i2θ

¢= teiγ + e−i2γ.

Por lo tanto, F (ϕs) = ϕt ∈ Φ1. Esto prueba que Φ2 ⊆ Φ1. Ahora, siϕt ∈ Φ1, como ϕt = ϕ−t, podemos suponer t > 0. Sea r =

√t+ 2; entonces

r2 − 2 = t y ϕt = F (ϕr) ∈ Φ2. Esto prueba que Φ1 ⊆ Φ2 y por lo tantoΦ1 = Φ2. ¤

A la familia Φ1 = Φ2 la denotaremos simplemente por Φ.

Corolario 3.1.3 La familia Φ es invariante bajo F

Demostracion: En general, una familia de curvas Υ es invariante bajo F siF (γ) ∈ Υ para todo γ ∈ Υ, y a la vez, cada α ∈ Υ es de la forma F (γ) = αpara alguna γ ∈ Υ. El corolario se sigue directamente de la propiedadesgenerales de las familias Φ1 (a) y Φ2 (a) establecidas en la seccion 1.2. ¤

Presentamos a continuacion, en la fig. 3.1, algunos elementos ϕr ∈ Φ, loscorrespondientes a r = 3, 2, 1.5, 1, 0.5.

46

figura 3.1. De izquierda a derecha y de arriba a abajo, curvas ϕr para r = 3,2, 1.5, 1, 0.5 y 0.

Sea K el conjunto de Julia lleno para F y B(∞) la cuenca de atraccionde ∞. Denotemos respectivamente por A a la componente acotada y por R

47

a la componente no acotada de C \L−1 ≡ C \ L. Notese que como L∗−1 = L,entonces A = Z4, A = A ∪ L∗−1 = A ∪ L = Z4 ∪ L = Z4, y R = Z2.Una de las primeras consecuencias importantes de las proposiciones an-

teriores es el siguiente teorema.

Teorema 3.1.4 . B(∞) = Z2 y K = Z4.

Demostracion: Notese que todo punto del plano pertenece a ϕs para alguns. De las propiedades generales de esta familia de funciones se deduce queϕs ⊂ A (= Z4) si s ∈ [−2, 2] y ϕs ⊂ R (= Z2) si s /∈ [−2, 2]. Ademas, ϕs

es una curva simple cerrada siempre que s ≥ 2, y si 2 ≤ s < u, entoncesϕs ∩ ϕu = ∅.Como F (ϕs) = ϕs2−2, si z ∈ ϕs con −2 ≤ s ≤ 2, entonces F (z) ∈ ϕt

con −2 ≤ t = s2 − 2 ≤ 2, por lo que, en este caso, tanto ϕs como ϕt estancontenidas en A (= Z4).Por otra parte, si z ∈ ϕs con s /∈ [−2, 2], tenemos que F (z) ∈ ϕt con

t = s2 − 2 > |s|; escribamos, en este caso, ζ (s) = s2 − 2. Se sigue, entonces,que F n (z) ∈ Λζn(s) y |Fn (z)| ≥ ζn (s)−1. Por lo tanto, lımn→∞ |F n (z)| =∞.O sea que dado z ∈ C, tenemos que o (z, F ) es acotada si z ∈ ϕs para

s ∈ [−2, 2], y no es acotada si z ∈ ϕs para algun s /∈ [−2, 2].Por lo tanto, z ∈ K si, y solo si, z ∈ ϕs para algun s ∈ [−2, 2] , es decir,

si y solo si z ∈ A = Z4. Por otro lado, z ∈ B(∞) si, y solo si, z ∈ ϕs paraalgun s /∈ [−2, 2] y, por lo tanto, si y solo si, z ∈ R = Z2..En conclusion, A = Z4 = K y B(∞) = R = Z2. ¤

3.2. Conjugacion de F con la funcion cuadratica

f (z) = z2

Sea f : C→ C dada por f (z) = z2. En el capıtulo anterior demostramosque, para a ∈ C, Fa : C − A(a) → C − Z4 es equivalente a f : C−Da →C−D|a|2, donde A(a) denota la componente acotada de C− L∗−1(a).Si a = −1 tenemos C − A(a) = C − Z4 = C − int(K) y D|a| = D|a|2.

Denotaremos a este disco abierto unitario simplemente porD. En esta secciondemostraremos que f

¯C\int(D) y F

¯C\int(K) no solo son equivalentes sino que

son conjugadas.Lo ideal serıa que las funciones Ga y Ha que en el caso general nos dan la

equivalencia mencionada (ver teorema 1.3.1, capıtulo 1), en el caso particular

48

a = −1 nos dieran la conjugacion que hemos dicho; es decir, que Ga ≡Ha. Lamentablemente no es ası. Habra que hacer trabajo adicional, comoexplicamos a continuacion.Para empezar, notese que el intervalo [3,∞) ⊂ R es invariante bajo F y el

intervalo [1,∞) ⊂ R es invariante bajo f . Ademas, F¯[3,∞) : [3,∞)→ [3,∞)

es un homeomorfismo, F¯[3,∞) (x) = x2 − 2x, F

¯[3,∞) (3) = 3, y dado x > 3,

lımn→∞

¡F¯[3,∞)

¢n(x) =∞ y lım

n→∞

¡F¯[3,∞)

¢−n(x) = 3.

El siguiente lema establece que la dinamica de F¯[3,∞) en [3,∞) es, esen-

cialmente igual a la de f restringida a [1,∞). La demostracion se basa en unprocedimiento bien conocido ası que se omiten los detalles de la misma (verpagina 55 de [11]).

Lema 3.2.1 Existe un homeomorfismo h : [1,∞) → [3,∞) tal que el sigu-iente diagrama conmuta:

[1,∞) f¯[1,∞)−−−−→

[1,∞)h ↓ ↓ h[3,∞) F

¯[3,∞)−−−−→

[3,∞)

Esto es, para cada x ∈ [1,∞) , h (x2) = (h (x))2 − 2h (x) . ¤

Con h a la mano, definimos una funcion

H : C \ int (D)→ C \ int (K)

de la siguiente manera: Tomese z = ρeiθ, ρ ≥ 1, θ ∈ [0, 2π]; sea

H¡ρeiθ

¢= (h (ρ)− 1) eiθ + e−i2θ.

Puesto de otro modo, si |z| > 1, H esta definida por

H (z) = (h (|z|)− 1) z

|z| +z

z. (3.3)

Notese que H transforma circunferencias en miembros de la familia Φ.En particular, H (S1) = L. Y como h (ρ)− 1 ≥ 2, se sigue que la imagen dela circunferencia ρeiθ bajo H es una curva simple cerrada. En consecuencia,H es uno a uno. Es facil ver que H tambien es continua y suprayectiva.

49

Teorema 3.2.2 El siguiente diagrama conmuta:

C \ int (D) f−→ C \ int (D)H ↓ ↓ H

C \ int (K) F−→ C \ int (K).

Es decir, f¯C\int(D) es conjugada a F

¯C\int(K) .

Demostracion: Sea z ∈ C tal que |z| ≥ 1. Entonces

H (f (z)) = H¡z2¢=¡h¡¯z2¯¢− 1¢ z2

|z2| +z2

z2

=¡h¡|z|2¢− 1¢ z2

|z|2+

µz

z

¶2=

¡(h (|z|))2 − 2h (|z|)− 1

¢ z2

|z|2+

µz

z

¶2.

Por otra parte,

F (H (z)) = F

µ(h (|z|)− 1) z

|z| +z

z

¶= (h (|z|)− 1)2 z2

|z|2+ 2 (h (|z|)− 1) z

|z|z

z+

µz

z

¶2−2µ(h (|z|)− 1) z

|z| +z

z

¶= (h (|z|)− 1)2 z2

|z|2+

µz

z

¶2− 2z

z

=¡(h (|z|))2 − 2h (|z|) + 1

¢ z2

|z|2+

µz

z

¶2− 2z

z

=¡(h (|z|))2 − 2h (|z|)− 1

¢ z2

|z|2+

µz

z

¶2. ¤

Por lo tanto, f en C\int (D) es conjugada con F en C\int (K). Observeseque en particular, f en S1 es conjugada con F en L. ¤

Corolario 3.2.3 F : L→ L es caotica en el sentido propuesto por Devaney.

50

Demostracion: Se sigue de que f en S1 es conjugada con F en L y f escaotica en S1. ¤

Para las funciones cuadraticas holomorfas fc(z) = z2 + c, c ∈ C, en elexterior del conjunto de Julia lleno la dinamica es conjugada con la de f(z) =z2 en el exterior de D. Por un teorema de Caratheodory, esta conjugacionpuede extenderse continuamente a la frontera del Julia lleno -es decir, alconjunto de Julia- si y solo si dicha frontera es localmente conexo. Comohemos visto, para Fa con a = −1 ocurre una situacion enteramente analoga:La dinamica en el exterior de K es conjugada con la de f(z) = z2 en elexterior de D. Como la frontera de K es la hipocicloide L y evidentemente eslocalmente conexa, la conjugacion puede extenderse continuamente a ∂K =L, como lo muestra la propia definicion de H ( ver (3.3)).Sin embargo, tambien hay contrastes: Veremos en lo que sigue que para

a = −1 la dinamica en el interior del Julia llenoK no se asemeja a la dinamicade las funciones holomorfas en el interior del correspondiente conjunto deJulia lleno (cuando dicho interior es no vacıo). Veremos que este contrastetambien puede extenderse a otros miembros de la familia Fa.En lo que resta del capıtulo nos dedicamos a examinar la dinamica de F

en K.Para ello, vamos a empezar por construir un modelo de esta dinamica

basandonos en la siguiente observacion: Para a = −1, el conjunto de puntoscrıticos L−1 divide al conjunto de Julia lleno K = Z4 en 4 subconjuntoscompactos conexos A0, A1, A2, y A3, cada uno de los cuales, bajo F , se trans-forma biyectivamente en K (ver seccion 1.4). Al disco cuya frontera es L−1lo llamamos A0; a los demas conjuntos Ai, i = 1, 2, 3, los hemos situado co-mo en la fig. 1.10. A la funcion F la podemos pensar como sigue: de algunamanera los “dobla” a los conjuntos Ai, i = 1, 2, 3, y los “encima” sobre A0 ydespues, la funcion F “expande” todo y lo convierte en K.

3.3. Un Triangulo Caotico.

En esta seccion se definira una funcion auxiliar G, lineal por partes, defini-da en un triangulo equilatero ∆ ⊂ R2: G : ∆ → ∆.. Presentaremos algunaspropiedades dinamicas importantes de G, en particular, que G es caotica enel sentido de Devaney. En la seccion siguiente demostraremos que G en ∆ yF en K son conjugadas.

51

Sea

∆ =

((x, y) : x ∈ [−1, 2] ,

√3

3(x− 2) ≤ y ≤

√3

3(2− x)

).

Subdividimos ∆ en los siguientes cuatro triangulos equilateros (ver figura3.2):

∆0 =

((x, y) : x ∈

∙−1, 1

2

¸,−√3

3(x+ 1) ≤ y ≤

√3

3(x+ 1)

),

∆1 =

((x, y) : x ∈

∙1

2, 2

¸,

√3

3(x− 2) ≤ y ≤

√3

3(2− x)

),

∆2 =

((x, y) : x ∈

∙−1, 1

2

¸,

√3

3(x+ 1) ≤ y ≤

√3

3(2− x)

),

∆3 =

((x, y) : x ∈

∙−1, 1

2

¸,

√3

3(x− 2) ≤ y ≤ −

√3

3(x+ 1)

).

figura 3.2

Antes de detallar la regla de correspondencia de G, damos una descripciongeometrica de su accion en ∆. Primero, para i = 1, 2, 3, se dobla el triangulo∆i sobre ∆0, manteniendo fijo el segmento ∆i ∩∆0. Denotemos por G1 este“doblado por partes” de los tres triangulos ∆i. En segundo lugar, se refleja

52

∆0 = G1 (∆i) respecto al ejeY ; denotemos a esta reflexion por G2. Final-mente, agrandamos linealmente el triangulo reflejado por un factor igual a 2.La funcion G : ∆→ ∆ se define, entonces como G = G3 G2 G1, donde G3

es la recien mencionada expansion lineal (figura 3.3).

figura 3.3

Sea (x, y) ∈ ∆. Definimos G : ∆→ ∆ como la transformacion lineal porpartes dada por

G (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(−2x, 2y) si (x, y) ∈ ∆0

(2x− 2, 2y) si (x, y) ∈ ∆1¡1− x−

√3y,√3 +√3x− y

¢si (x, y) ∈ ∆2¡

1− x+√3y,√3 +√3x+ y

¢si (x, y) ∈ ∆3

.

NOTA: Es un hecho que los “dobleces”, la “reflexion” y la “expansion”arriba descritas producen exactamente el mismo resultado si se realizan enel orden que sea, ası que hay otras maneras de describir la accion de G.

Proposicion 3.3.1 El conjunto Per (G) es denso en ∆.

Demostracion: En ∆ tenemos cuatro triangulos equilateros ∆0, ∆1, ∆2 y∆3, tales que ∆ = ∪3i=0∆i, y G (∆i) = ∆, 0 ≤ i ≤ 3. Para cada i fijo existen

53

cuatro triangulos equilateros ∆0,i, ∆1,i, ∆2,i y ∆3,i, tales que ∆j,i ⊂ ∆j

y G (∆j,i) = ∆i. Ahora, para cada par j, i fijo, existen cuatro triangulosequilateros ∆0,j,i, ∆1,j,i, ∆2,j,i y ∆3,j,i, tales que ∆k,j,i ⊂ ∆k, G (∆k,j,i) = ∆j,i

y G2 (∆k,j,i) = ∆i. Continuando de esta manera, llegamos a lo siguiente: dadon ∈ N, considerese el conjunto

Mn = w = (w1, w2, . . . , wn) : wi ∈ 0, 1, 2, 3 .

Para cada w = (w1, w2, . . . , wn) enMn, existe un triangulo equilatero en∆, a saber ∆w = ∆w1,w2,...,wn ⊂ ∆w1,w2,...,wn−1, tal que

Gj (∆w1,w2,...,wn) = ∆wj+1,...,wn, 1 ≤ j ≤ n− 1,

y Gn (∆w) = ∆.Notese que cada Gj

¯∆w : ∆w → ∆wj+1,...,wn , 1 ≤ j ≤ n, es un homeomor-

fismo que multiplica por 2j la distancia entre cualesquiera dos puntos en ∆w.Ademas, la longitud de los lados de cada triangulo ∆w es

12n

¡2√3¢, el area

de ∆w esa4ndonde a es el area de ∆ y ∆ = ∪w∈Mn∆w.

Dado (x, y) ∈ ∆ y ε > 0, existe n ∈ N y w ∈ Mn tal que ∆w ⊂Bε (x, y) ∩ ∆. Como Gn : ∆w → ∆ es un homeomorfismo expansivo, lainversa correspondiente es una contraccion y por lo tanto tiene un punto fijo;en consecuencia, existe un punto (u, v) ∈ ∆w tal que G

n (u, v) = (u, v) . ¤

Algunas consecuencias adicionales interesantes de la definicion de G:Notese que la frontera de ∆ es invariante hacia adelante bajo G, G (∂∆) =∂∆. Ahora, tomese (x, y) ∈ Per (G) ∩ int (∆) de periodo n. Entonces,

o ((x, y) , G) ⊂ int (∆) \G−1 (∂∆) .

Como en int (∆) \ G−1 (∂∆) la transformacion G es una expansion lin-eal por un factor igual a 2, entonces G es diferenciable en cada punto deo ((x, y) , G) y los eigenvalores deDGn

(x,y), λ1 y λ2, satisfacen |λ1| = 2n = |λ2| .Por lo tanto, cada punto periodico de G que esta en el interior de ∆ es ex-pansivo, es decir, es un repulsor.

De hecho, si (x, y) ∈ Per (G) ∩ int (∆) , entonces, para cada n ∈ N,(x, y) /∈ G−n (∂∆) ; es decir,

(x, y) ∈ ∆ \G−n (∂∆) = Un.

54

El conjunto Un es abierto y denso en ∆ para todo n ∈ N y la orbita enteradel punto periodico (x, y) esta contenida en el conjunto

U∞ = ∩∞n=1Un,

que, de acuerdo con un teorema de Baire, es denso en ∆. Ademas, U∞ esinvariante bajo G, G (U∞) = U∞.

Proposicion 3.3.2 G es transitiva en ∆.

Demostracion:. Sean U y W dos subconjuntos abiertos no vacıos de ∆.Entonces, como se senalo en la demostracion de la proposicion previa, existenn ∈ N y w ∈ Mn tales que ∆w ⊂ U. Se sigue que Gn (U) = ∆ y, por lotanto, existe (u, v) ∈ U con Gn (u, v) ∈W. ¤

Como corolario de lo anterior hemos demostrado, entonces, el siguienteteorema.

Teorema 3.3.3 G es caotica en ∆ en el sentido propuesto por Devaney.

3.4. Dinamica de F en K.

3.4.1. G en ∆ y F en K son conjugadas

El intervalo [−1, 2] ⊂ R es invariante bajo G. Denotemos la restriccionG¯[−1,2] por g. Entonces, para cada x en [−1, 2] ,

g (x) =

½−2x si x ∈

£−1, 1

2

¤2x− 2 si x ∈

£12, 2¤

La grafica de g recuerda la de una funcion muy conocida del intervalo[0, 1] en sı mismo: La tienda de campana o, simplemente, la tienda (tentmap):

T (x) =

½2x si x ∈

£0, 1

2

¤2− 2x si x ∈

£12, 1¤

Lema 3.4.1 Las funciones g y T son conjugadas.

55

Demostracion: Es facil comprobar que lg = T l donde l : [−1, 2]→ [0, 1]esta dada por l (x) = 2

3− 1

3x. ¤

El intervalo [−1, 3] ⊂ R es invariante bajo F . Denotemos por τ a F[−1,3];es decir, τ (x) = x2 − 2x. Sea L : [0, 1] → [0, 1] la funcion logistica, L (x) =4x (1− x) .

Lema 3.4.2 Las funciones L y τ son conjugadas.

Demostracion: Sea k : [0, 1] → [−1, 3] definida por k (x) = 3 − 4x. Sesigue inmediatamente que k L = τ k. ¤

Es bien sabido que T y L son conjugadas mediante el homeomorfismo

j (x) = sin2³πx2

´.

De otra forma, el siguiente diagrama conmuta.

[0, 1] T−→ [0, 1]

j ↓ ↓ j[0, 1] L−→ [0, 1]

Los homeomorfismos l, k y j nos permiten establecer que g y τ son conju-gadas. Es decir, restringidas respectivamente a los intervalos [−1, 2] y [−1, 3],nuestro “modelo” lineal por partes G y la funcion F tienen esencialmente elmismo comportamiento dinamico.

Lema 3.4.3 Sea h : [−1, 2]→ [−1, 3] la funcion h = kjl. Explıcitamente,si x ∈ [−1, 2] ,

h (x) = −4 sin2µπ

2

µ2

3− 13x

¶¶+ 3.

Entonces, h g (x) = τ h (x) ∀ x ∈ [−1, 2].

Demostracion: La demostracion es inmediata por los lemas previos. ¤

Con ayuda de h vamos a producir un homeomorfismo de ∆ en K que nospermitira demostrar la conjugacion entre G y F .Considerese la funcion H : ∆→ H (∆) dado por

H (x, y) = (h (x)− 1) eiπy

3√3 + e

−i 2πy3√3 .

56

Figura 3.1: figura 3.4

Lo siguiente se comprueba directamente a partir de la definicion de H:i) H es continua y H (x, 0) = h (x) . Como x ∈ [−1, 2], H (x, 0) ∈ [−1, 3] .ii) Para cada x ∈ [−1, 2] fijo, (x, y) ∈ ∆ pertenece a un segmento ver-

tical y H (x, y) esta en un subarco de una de las curvas de la familia Φ,a saber, H (x, y) ∈ Λh(x)−1. En otras palabras, H manda cada intervalo

x ×h√

33(x− 2) ,

√33(2− x)

i, x ∈ [−1, 2], suprayectivamente en el arco de

Λh(x)−1 que va del punto ei 2π9(x−2)+e−i2

2π9(x−2) al punto 2ei

2π9(x−2)+e−i2

2π9(x−2).

Estos dos puntos estan en la frontera de K (figura 3.4) Se concluye de estoque H es inyectiva y H (∆) = K.iii) Sustituyendo h (x) en la formula de H (x, y), tenemos:

H (x, y) = 2 cos³π3(2− x)

´ei πy

3√3 + e

−i 2πy3√3 .

En consecuencia, en cada punto del interior de ∆, H es un difeomorfismolocal.

Teorema 3.4.4 Las funciones F : K → K y G : ∆ → ∆ son conjugadaso, equivalentemente, el siguiente diagrama conmuta:

∆ G−→ ∆

H ↓ ↓ HK F−→ K

57

En virtud de la definicion de G, la demostracion de esta proposicionesta dividida en varios pasos, en funcion de si el punto (x, y) esta en untriangulo ∆i o en otro. Aunque es bastante elemental, esta llena de detalles,ası que para no entorpecer demasiado la exposicion, la demostracion se en-cuentra en el apendice 3A.La principal consecuencia del teorema 3.4.4 es el siguiente corolario.

Corolario 3.4.5 La funcion F : K → K es caotica en K en el sentido deDevaney.

Demostracion: Se sigue inmediatamente de la conjugacion entre F : K →K y G : ∆→ ∆. ¤

Otras consecuencias importantes del teorema 3.4.4 se exponen a contin-uacion.

Corolario 3.4.6 Todo punto periodico de F perteneciente a int (K) es re-pulsor.

Demostracion: Sea (x, y) ∈ Per (F )∩int (K) de periodo n. Como HG =F H, H Gn H−1 = Fn.Notese quet H−1 (x, y) es un punto periodico de G de periodo n. Ademas,

o¡H−1 (x, y) , G

¢⊂ int (∆) .

Ya sabemos que cada punto periodico de G que esta en int (∆) es expan-sivo. Como H es un difeomorfismo local en cada punto de la orbita

o¡H−1 (x, y) , G

¢,

los eigenvalores de DF n en (x, y) son los mismos que los eigenvalores de DGn

en H−1 (x, y) . ¤

Si (x, y) ∈ Per (F ) ∩ int (K), entonces, para cada n ∈ N, (x, y) /∈F−n (∂K); es decir,

(x, y) ∈ K − F−n (∂K) =Wn.

El conjunto Wn es abierto y denso en K para todo n ∈ N y su fronteraes la union de imagenes inversas hasta de orden n de la frontera de K. Laorbita entera del punto periodico (x, y) esta contenida en el conjunto

W∞ = ∩∞n=1Wn,

58

que, de acuerdo con el teorema de Baire mencionado previamente, es densoen K. Ademas, W∞ es invariante bajo F, F (W∞) =W∞.Por ultimo, cabe mencionar que se puede demostrar que la entropıa

topologica de F (en K) es positiva (ver [15]). De hecho, denotando a dichaentropıa por ent (F |K), se tiene el siguiente teorema.

Teorema 3.4.7 ent (F |K) = log (4)

Intuitivamente, este teorema nos da una cierta “cuantificacion”de lo caoticaque es F en K. La aparicion del “4” sera algo mas clara despues de la sigu-iente seccion.

3.4.2. Un poco de dinamica simbolica: F en K es factordel corrimiento en el espacio de 4 sımbolos.

Dados dos espacios metricos X, Y , y dos funciones continuas f : X → Xy g : Y → Y , se dice que g es factor de f si existe una funcion h : X →Y , continua y suprayectiva, tal que h f = g h. Esta definicion difierede la de conjugacion entre dos funciones en que no se pide que h sea unhomeomorfismo, es decir, h puede no ser inyectiva. En tales circuntancias ala funcion h se le llama a veces una semiconjugacion.Si g es factor de f , es facil probar que, bajo h, orbitas de f en X van a dar

en orbitas de g en Y . Si ademas Y es un espacio perfecto y f es caotica enX, se puede probar que, entonces, g es caotica en Y (para la demostracion yun ejemplo en el que esto no ocurre si Y no es perfecto vease [24]). O sea quepor ser g factor de f , la dinamica caotica “se la hereda” f a g. En cambio,a diferencia del caso en el que f y g son conjugadas, se pueden dar ejemplosen los que g es factor de f , g es caotica en Y y f no es caotica en X.Como en la demostracion de la proposicion 3.3.1, dado n ∈ N considerese

nuevamente al conjunto

Mn = w = (w1, w2, . . . , wn) : wi ∈ 0, 1, 2, 3 .

Para cada w = (w1, w2, . . . , wn) en Mn, existe una imagen inversa deorden n de K, que denotaremos por Kw o por Kw1,w2,...,wn , que satisfaceKw1,w2,...,wn ⊂ Kw1,w2,...,wn−1, y es tal que

F j (Kw1,w2,...,wn) = Kwj+1,...,wn, 1 ≤ j ≤ n− 1, yFn (Kw) = K.

59

La conjugacion entre F y G obliga, a su vez, a que para cada 1 ≤ j ≤ n,F j¯Kw : Kw → Kwj+1,...,wn sea conjugada con la funcion

Gj¯∆w : ∆w → ∆wj+1,...,wn ,

definida en la demostracion de la proposicion 3.3.1. Por lo tanto, la funcion

F j¯Kw : Kw → Kwj+1,...,wn

es un homeomorfismo.Se sigue tambien que los conjuntosKw “tienden a un punto” (su diametro

tiende a cero) conforme n → ∞; en otras palabras, considerese la siguientecoleccion anidada de conjuntos compactos:

Kw1 ⊇ Kw1,w2 ⊇ ... ⊇ Kw1,w2,...,wn−1 ⊇ Kw1,w2,...,wn−1,wn ⊇ .... (3.4)

entonces, el conjunto ∩∞n=1Kw1,w2,...,wn es un solo punto en K.De hecho tanto la existencia de puntos de periodo n en el interior de

K ası como la densidad de Per (F ) se basan en que F n : Kw → K es unhomeomorfismo expansivo cuya inversa es necesariamente una contraccion.Sea Σ el siguiente conjunto, a veces llamado .espacio de 4 sımbolos”:

Σ =©bt = (t1, t2, . . .) : ti ∈ 0, 1, 2, 3 , i ∈ Nª .

Dados bt = (t1, t2, . . .) y bs = (s1, s2, . . .) en Σ se define

d¡bt, bs¢ = Σ∞i=1

|ti − si|2i

.

Es bien sabido que (Σ, d) es un espacio metrico compacto (homeomorfoa un conjunto de Cantor). Sea σ : Σ → Σ el corrimiento, σ (t1, t2, . . .) =(t2, t3, . . .). La dinamica de σ es bien conocida (ver [7] y [27]). En particular,se cumple lo siguiente:(i) Pern (σ) 6= ∅, ∀n ∈ N.(ii) Per (σ) es un conjunto denso en Σ.(iii) Existe bt ∈ Σ cuya orbita bajo σ es densa en Σ. Equivalentemente, σ

es transitiva en Σ.Las condiciones (ii) y (iii) significan que σ es caotica en el sentido de

Devaney.

60

Ahora, sea k : Σ → K definida de la manera siguiente: para cada bt =(t1, t2, . . .) ∈ Σ, como el conjunto ∩∞n=1Kt1,t2,...,tn es un solo punto en K,definimos

k¡bt¢ = ∩∞n=1Kt1,t2,...,tn.

Sea (x, y) ∈ K. Para cada k ≥ 1 escogemos wk ∈ 0, 1, 2, 3 de acuer-do con la siguiente regla: Sea wk = mın

©s : F k−1 (x, y) ∈ Ks

ª. Entonces,

(x, y) ∈ Kw1,w2,...,wn para cada n. Seabt = (w1, w2, . . . , wn, . . .) ∈ Σ.

Llamamos a bt = (w1, w2, . . . , wn, . . .) un itinerario de (x, y). Se sigue quek¡bt¢ = (x, y) . Por consiguiente, k : Σ→ K es suprayectiva.Es evidente que esta funcion k no es inyectiva. Por ejemplo, pensemos

cuales son los puntos bt que van a dar a u−1: Para empezar, u−1 ∈ A0∩A1∩A2;de hecho u−1 es el unico punto en esa interseccion. Ademas, u−1 ∈ A02∩A12∩A22. En general, en cada subdivision, obtendrıamos que u1 es la interseccionde 3 subconjuntos distintos. Ası, existen bt1, bt2 y bt3 tales que

k¡bt1¢ = k

¡bt2¢ = k¡bt3¢ = u−1.

Concretamente,

bt1 = (0, 2, 3, 2, 3, 2, ...) ,bt2 = (1, 2, 3, 2, 3, 2, ...) ,bt3 = (2, 2, 3, 2, 3, 2, ...) .

Notese que F (u−1) = u y u sı esta biunıvocamente determinado; es decir,u esta en la interseccion de los conjuntos

A2 ⊇ A23 ⊇ A232 ⊇ A2323 ⊇ ...

y solo esta coleccion anidada “produce” a u. En consecuencia, el unico puntoen Σ tal que k

¡bt¢ = u es bt = (2, 3, 2, 3, 2, 3, ...).En general, dado (x, y) en K se cumplen las siguientes tres condiciones:i) Para cada k ∈ N, #

©s : F k−1 (x, y) ∈ Ks

ª≤ 3.

ii) Si para alguna k, #©s : F k−1 (x, y) ∈ Ks

ª= 3, entonces F k−1 (x, y) ∈

∂K; de hecho, F k−1 (x, y) tiene que ser alguno de los tres puntos u−1, v−1o t−1 y para cada n > k, Fn−1 (x, y) es algun vertice de ∂K por lo que# s : F n−1 (x, y) ∈ Ks = 1.

61

iii) Si para alguna k, #©s : F k−1 (x, y) ∈ Ks

ª= 2, entonces F k−1 (x, y) ∈

L−1 ⊂ F−1 (∂K) y para cada n > k, F n−1 (x, y) ∈ ∂K = L, por lo que# s : Fn−1 (x, y) ∈ Ks = 1 con, a lo mas, una excepcion m > k donde lacardinalidad de s : Fm−1 (x, y) ∈ Ks podrıa ser 3.De estas tres observaciones se concluye que la cardinalidad del conjunto©bt ∈ Σ : k

¡bt¢ = (x, y)ª es a lo mas 6.Por ultimo, notese que los conjuntos Kw0,...,wn estan delimitados por

imagenes inversas del conjunto singular L−1 y tambien, en algunos casos,por (parte de) L∗−1 = L = ∂K.Aunque ya sabemos que F es caotica en K, la siguiente proposicion con-

tiene otras dos propiedades muy importantes de k e implica nuevamente esehecho. La demostracion es relativamente directa y se omite.

Teorema 3.4.8 La funcion k : Σ → K es continua. Mas aun, el siguientediagrama connmuta:

Σ σ−→ Σ

k ↓ ↓ kK F−→ K

Por lo tanto, F : K → K es factor del corrimiento σ : Σ → Σ y, enconsecuencia, F es caotica en K.

62

Bibliografıa

[1] R.H. Abraham, L.Gardini, C.Mira, Chaos in discrete Dynamical Sys-tems, (A visual introduction in two dimensions), Springer-Verlag (Te-los),.1997.

[2] J.C. Alexander, J.A. Yorke, Zhiping You, Riddled Basins, InternationalJournal of Bifurcation and Chaos, Vol. 2, No. 4, 1992, 795-813.

[3] J.C.Alexander, B.R. Hunt, I.Kan, J.A.Yorke, Intermingled Basins forthe Triangle map, Ergod.Th. & Dynam. Sys., 16, 1996, 651-652.

[4] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, P. Stacey, On Devaney’s Definition ofChaos, American mathematical Monthly, Vol. 99, 1992, 332-334.

[5] A. Barugola, Quelques proprietes des lignes critiques d’une recurrencedu second ordre a inverse non unique. Determination d’une zone ab-sorbante, R. A. I. R. O. Analyse numerique/Numerical analysis, Vol.18, 1984, 137-151.

[6] A. Barugola, J. C. Cathala, C. Mira, Annular chaotic areas, NonlinearAnalysis TM & A, Vol. 10, No. 11, 1986, 1223-1236.

[7] R. Bowen, Topological Entropy and Axiom A, Proc. Sympos. Pure Math.Vol. 14, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1970, 23-41.

[8] R. Bowen, Entropy for Group Endomorphisms and Homogeneous Spaces,Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 153, 1971, 401-414.

[9] B. Branner, The Mandelbrot set, Proceedinngs of Symposia in AppliedMathematics, 39, 1988, 75-105.

[10] J. C. Cathala, Bifurcations ocurring in absorptive and chaotic areas, Int.J. Systems Science, Vol. 18, No.2, 1987, 339-349.

151

[11] R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, SecondEdition, Addison Wesley, Redwood City, 1989.

[12] L.Gardini, R. Abraham, R.Record; d. Fournier-Prunaret, A Double Lo-gistic Map, Intern. Journal of Bif. and Chaos,.4, No.1, 1994, 145-176.

[13] L. Gardini, Homoclinic bifurcations in n-dimensional endomorphismsdue to expanding periodic points, Nonlinear Analysis, Theory, Methodsand Applications, 23, Num. 8, 1994, 1039-1089.

[14] G. Gomez and S. Lopez de Medrano, Iteraciones de transformacionescuadraticas del plano, Caos y Sistemas Dinamicos, Memorias de Colo-quios, UAM-Atzcapotzalco, 1994, 33-52.

[15] J. King, H. Mendez, G. Sienra, Some dynamical properties of F (z) =z2 − 2z, Qualitative Theory of Dynamical Systems, Vol. 5, 2004, 101-120. Preprint publicado en Reportes de Investigacion”, departamento dematematicas, fac. de Ciencias, UNAM, febrero de 2004.

[16] Tien-Yien Li, J. A. Yorke, Period three implies chaos, American Math-ematical Monthly, 82, Num.10, December 1975, 985-992.

[17] F. R. Marotto, Snap-back repellors imply chaos in Rn, Journal of math-ematical analysis and applications, 63, 1978, 199-223.

[18] J. Milnor, Topology from a differential viewpoint, University of VirginiaPress, 1965.

[19] C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J. C. Cathala, Chaotic Dynamics inTwo-Dimensional Non-invertible Maps, World Scientific, 1996.

[20] H. Nusse, J. A. Yorke, DYNAMICS: Numerical Explorations, Springer-Verlag. 2nd. Ed., 1994.

[21] J. Palis, W. de Melo, Introducao aos sistemas dinamicos, ProjetoEuclides (Cap. II), 1978.

[22] H. O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiersof Science, Springer-Verlag, 1992.

[23] I. Peterson, Basins of Froth, Science News, Vol. 142 (1992), (329-330).

152

[24] J. Pulido, Factors of chaotic endomorphisms, Reporte interno, departa-mento de matematicas, fac. de Ciencias, UNAM.

[25] C. Robinson, Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics, andChaos, CRC Press, Inc. 1995.

[26] G. Sienra Loera, On the Dynamics of The One Parameter FunctionsFa (z) = z2 + 2az, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) Vol 2, 1996, 41-53.

[27] P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Graduate Texts in Math.79, Springer Verlag, New York, 1982.

[28] S. Wiggins, Global Bifurcations and Chaos, Springer-Verlag, New York,1988.

[29] A. Carrillo, J. King, G. Sienra, Fractal Windows C++ / 2.0, Facultadde Ciencias, UNAM, 2004, http://mmc.igeofcu.unam.mx/fractal/

153