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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
Series Temporais e Modelos Dinamicos em
Econometria
Marcelo C. Medeiros
Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
Aula 6
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M
O Teorema de Wold
O Teorema de Wold
Todo processo {yt} estacionario de segunda ordem possui aseguinte representacao:
yt =∞∑
i=0
ψiεt−i + ηt ,
onde ξ0 = 1,∑∞
i=0 ψ2i <∞, {εt} e um processo nao
correlacionado serialmente, E(ηtεt−i ) = 0, ∀ i e existem constantesa0, a1, . . . tal que V (
∑∞i=0 aiηt−i ) = 0. ηt e um processo
determinıstico.
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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M
Lei dos Grandes Numeros
Lei dos Grandes Numeros para Processos Dependentes
Seja {yt} um processo estocastico tal que:
E(yt) = µ <∞, E[(yt − µ)(yt−k − µ)] = γk , e∞∑
k=0
|γk | <∞.
Entao:
y =1
T
T∑
t=1
ytm.s.−→ µ
limT−→∞
{TE
[(y − µ)2
]}=
∞∑
k=−∞
γk = γ0 + 2∞∑
k=1
|γk |.
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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M
Teorema Central do Limite
Teorema Central do Limite para Processos Dependentes
Seja {yt} um processo estocastico tal que:
yt = µ+∞∑
i=0
ψiεt−i
yt = µ+Ψ∞(L)εt ,
onde ψ0 = 1 e∑∞
i=0 i |ψi | ≤ ∞. Logo,
√T (y − µ)
d−→ N[0, σ2εΨ∞(1)2
].
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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M
Estimacao-M
Em geral, um vetor de parametros ψ0 e estimado por
ψ = argminψ∈Ψ
QT (ψ),
onde QT (ψ) e uma funcao de custo.
Exemplos classicos sao mınimos quadrados ordinarios oumaxima verossimilhanca.
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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M
Estimacao-M
Consistencia
Se:
1. Ψ for compacto
2. QT (ψ) for uma funcao contınua em ψ ∈ Ψ para todo y etambem for uma funcao mensuravel de y para todo ψ ∈ Ψ
3. 1TQT (ψ)
p−→ Q(ψ) (nao-estocastico)
4. ψ0 ∈ int(Ψ) for o unico mınimo de Q(ψ)
Entao ψp−→ ψ0.
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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Teorema de WoldLei dos Grandes NumerosTeorema Central do LimiteEstimacao-M
Estimacao-M
Normalidade Assintotica
Se alem das condicoes 1–4 do teorema anterior,
5. ∇2QT (ψ) existir e for uma funcao contınua em umavizinhanca aberta e convexa de ψ0
6. 1T∇2QT (ψ0)
p−→ A(ψ0), onde A(ψ0) e uma matriz finita enao-singular.
7. 1√T∇QT (ψ0)
d−→ N(0,B0).
Entao
√T(ψ −ψ0
)d−→ N
(0,A(ψ0)
−1B(ψ0)A(ψ0)−1)
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Alguns Resultados em Teoria AssintoticaEstimacao
O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo Estrutural
Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R
m e considere o seguinte modelo“estrutural” com erros MA:
Bzt = A0 +A1zt−1 + . . . + Apzt−p +D1ut−1 + . . .
+Dqut−q + ut ,
Bzt = A0 +A(L)zt +D(L)ut ,
onde:
B ∼ (m ×m), A0 ∼ (m × 1),A1 ∼ (m ×m), . . . ,Ap ∼ (m ×m),D1 ∼ (m ×m), . . . ,Dp ∼ (m ×m) sao parametros;ut = (u1,t , . . . , um,t)
′ e um vetor com os choques estruturais eA(L) = A1L+ A2L
2 + · · ·+ ApLp e
D(L) = I+D1L+D2L2 + · · ·+DqL
q.
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo Estrutural
Vamos considerar as seguintes hipoteses para o erro ut :
E(ut |Ft−1) = E(ut) = 0.E(utu
′t |Ft−1) = E(utu
′t) = Σu tal que
Σu =
σ211 0 · · · 00 σ2
22 0 0...
.... . .
...0 0 · · · σ2
mm
.
Nosso objetivo e estimar os parametros do modelo.
Mas para isso vamos comecar considerando alguns casosparticulares.
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo ARDL
Considere o seguinte modelo ARDL:
yt = α0 + α1yt−1 + · · · + αpyt−p + β′0xt + · · ·+ β′
pxt−p + uy ,t
yt = λ′vt + et ,
onde:
λ =(α0, α1, . . . , αp,β
′0, . . . ,β
′p
)′;
vt =(1, yt−1, . . . , yt−p, x
′t , . . . , x
′t−p
)′e
et = uy,t .
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo ARDL
Suponha que o objetivo seja estimar o vetor de parametros λ.
Perguntas importantes
Como estimar λ?Sob quais hipoteses os estimadores serao consistentes para λ eassintoticamente normais?Como testar hipoteses sobre respeito dos parametros?
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo ARDL
Defina
V =
1 v2,1 · · · vn,1...
.... . .
1 v2,T · · · vn,T
e y = (y1, . . . , yT )
′ ,
onde n = p + 1 + 2p(m − 1) e a dimensao do vetor vt .
Considere as seguintes hipoteses
(H.1) {yt , xt ; t = 1, . . . ,T} e uma sequencia de variaveis aleatoriasestacionarias de segunda ordem e mixing onde xt ∈ R
k ,k = m − 1.
(H.2) posto(V) = n ⇒ Nao ha colinearidade perfeita
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo ARDL
O estimador de mınimos quadrados ordinarios (MQO) edefinido por
λMQO =
(T∑
t=1
vtv′t
)−1 T∑
t=1
vtyt
ou
λMQO = (V′V)−1V′y
Sob (H.1) e (H.2) yt = λ′MQOvt e a “melhor” aproximacao
linear para a media condicional E (yt |vt).Note que λMQO nao e necessariamente consistente para λ.
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo ARDL
Considere a seguinte hipotese adicional:(H.3) E(et |vt) = 0 ⇒ Exogeneidade fraca
Sob (H.1), (H.2) e (H.3) λMQO sera consistente para λ eassintoticamente normal, ou seja,
√T(λMQO − λ
)d→ N(0,A−1).
Caso
(H.4) E(etes) = 0 ∀ t 6= s
(H.5) E(e2t ) = σ2,
entao A−1 = σ2M−1VV onde
MVV = limT→∞
1
T
T∑
t=1
E(vtv
′t
).
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
O Modelo ARDL
Na pratica MVV e aproximada por V′V, logo
λMQO ≈ N(λ, σ2(V′V)−1).
Para demonstrarmos os resultados anteriores, vamosconsiderar a seguinte equacao:
λMQO = λ+
(T∑
t=1
vtv′t
)−1 T∑
t=1
vtet .
Portanto, iremos precisar de uma “Lei dos Grandes Numeros”e um “Teorema Central do Limite” para processosdependentes.
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
O modelo AR(1): yt = αyt−1 + ut
Hipoteses:
E [ut |Ft−1] = 0E[u2t |Ft−1
]= σ2
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
O estimador de MQO e dado por:
α =
(T∑
t=1
y2t−1
)−1 T∑
t=1
ytyt−1 =
T∑t=1
ytyt−1
T∑t=1
y2t−1
.
Dado que yt = αyt−1 + ut , podemos escrever
α =
T∑t=1
[αy2t−1 + utyt−1
]
T∑t=1
y2t−1
= α+
T∑t=1
utyt−1
T∑t=1
y2t−1
.
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
O que implica que
α− α =
∑Tt=1 utyt−1∑Tt=1 y
2t−1
=1T
∑Tt=1 utyt−1
1T
∑Tt=1 y
2t−1
.
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Consistencia: α− αp→ 0
Para provar consistencia de α e necessario o calculo de
plim 1T
∑Tt=1 utyt−1
plim 1T
∑Tt=1 y
2t−1
Portanto, e necessaria uma Lei dos Grandes Numeros parautyt−1 e y2t−1!
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Condicoes para utyt−1:
E [utyt−1] = E [E [utyt−1|Ft−1]]
= E [yt−1E [ut |Ft−1]] = 0
E[u2t y
2t−1
]= E
[E[u2t y
2t−1|Ft−1
]]
= E[y2t−1E
[u2t |Ft−1
]]
= E[y2t−1σ
2]= σ2
E[y2t−1
]︸ ︷︷ ︸
=σ2/(1−α2)
= σ4/(1− α2
)
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Para s > t:
E [utyt−1usys−1] = E [E [utyt−1usys−1|Fs−1]]
= E [yt−1utys−1E [us |Fs−1]]
= 0
Logo, a sequencia {u2y1, ..., uT yT−1} nao e correlacionada.
Pela Lei dos Grandes Numeros de Markov:
plim1
T
T∑
t=1
utyt−1 = 0
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Condicoes para y2t−1:
plim1
T
T∑
t=1
y2t = plim1
T
T∑
t=1
(αyt−1 + ut)2
= α2plim1
T
T∑
t=1
y2t−1
+ 2αplim1
T
T∑
t=1
yt−1ut
+ plim1
T
T∑
t=1
u2t
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
No entanto, note que
T∑
t=2
y2t −T∑
t=1
y2t−1 = y2T − y21 = Op(1).
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O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAR
Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Com isso,
plim1
T
T∑
t=1
y1t = α2plim1
T
T∑
t=1
y2t
− α2plim1
TOp(1)
︸ ︷︷ ︸=0
+ 2α plim1
T
T∑
t=1
yt−1ut
︸ ︷︷ ︸mostramos ser igual a 0
+ plim1
T
T∑
t=1
u2t .
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Pela Lei dos Grandes Numeros,
(1− α2
)plim
1
T
T∑
t=2
y2t = plim1
T
T∑
t=1
u2t = σ2
⇒ plim1
T
T∑
t=1
y2t−1 = σ2/(1− α2
).
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
E, pelo Teorema de Slutsky,
plim (α− α) =plim 1
T
∑Tt=1 utyt−1
plim 1T
∑Tt=1 y
2t−1
=0
σ2/ (1− α2)= 0.
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Normalidade Assintotica
Seja
√T (α− α) =
(1√T
∑T
t=1 utyt−1
)
(1T
∑Tt=1 y
2t−1
) .
Como ja demonstrado:
1
T
T∑
t=1
y2t−1
p→ σ2
(1− α2).
Resta mostrar que
1√T
T∑
t=1
utyt−1d→ N
[0,
σ4
(1− α2)
]
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
TLC para processos do tipo “diferenca martingal”,
Seja Zt = utyt−1
(⇒ Z = 1
T
∑T
t=2 utyt−1
)
Logo
E[
Z 2t
]
= σ4/(
1− α2)
1T
∑T
t=1σ4
(1−α2)
= σ4/(
1− α2)
E [|Zt |r ] < ∞ para r > 2 e ∀t
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Teoria Assintotica - Caso do AR(1)
Pela Decomposicao de Wold,
yt−1 =
∞∑
i=0
ψiut−1−i .
E facil mostrar que E
[|yt−1ut |2+δ
]<∞, dado que
E
[|ut−1−iut |2+δ
]
6
√E
[|ut−1−i |4+2δ
]E
[|ut |4+2δ
]<∞,
por Cauchy-Schwarz.
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Teoria Assintotica - Caso do AR(p)
Modelo AR(p):
yt = α0 + α1yt−1 + α2yt−2 + ...+ αpyt−p + ut
Defina
β = (α0, α1, α2, · · · , αp)′ e
xt = (1, yt−1, yt−2, · · · , yt−p)′ .
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Teoria Assintotica - Caso do AR(p)
Portanto,
√T(β − β
)=
[1
T
T∑
t=1
xtx′t
]−1 [1√T
T∑
t=2
utxt
],
onde
T∑
t=1
xtx′
t =
T∑
yt−1 · · ·∑
yt−p∑
yt−1
∑
y2t−1 · · ·
∑
yt−1yt−p∑
yt−2
∑
yt−1yt−2 · · ·∑
yt−2yt−p
......
. . ....
∑
yt−p
∑
yt−1yt−p · · ·∑
y2t−p
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Teoria Assintotica - Caso do AR(p)
Alem disso:
T−1T∑t=1
yt−ip−→ µ e
T−1T∑t=1
yt−iyt−jp−→ γ|i−j| + µ2.
Logo
[1T
T∑t=1
xtx′t
]−1p−→ Q−1, com
Q =
1 µ µ · · · µµ γ0 + µ2 γ1 + µ2 · · · γp−1 + µ2
µ γ1 + µ2 γ0 + µ2 · · · γp−2 + µ2
......
.... . .
...µ γp−1 + µ2 γp−2 + µ2 · · · γ0 + µ2
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Teoria Assintotica - Caso do AR(p)
V [xtut ] = σ2Q
1/√T∑
xtutd−→ N
(0, σ2uQ
)
Das condicoes acima:
√T(β − β
)d−→ N
(0, σ2uQ
−1)
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O Modelo ARMADL
Os parametros do modelo ARMADL
yt =α0 + α1yt−1 + . . .+ αpyt−p + β′0xt + . . . + β′
pxt−p+
θ1uy ,t−1 + . . . + θquy ,t−q + uy ,t ,
devem ser estimados por procedimentos de otimizacaoiterativos.
Os resultados assintoticos podem ser obtidos a partir dos doisteoremas sobre estimacao-M.
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O Modelo VAR
Os parametros do modelo VAR
zt = C0 + C1zt−1 + . . .+ Cpzt−p + vt ,
podem ser estimados por MQO equacao por equacao.
Sob as mesmas condicoes descritas para o caso do ARDL, osestimadores serao consistentes e assintoticamente normais.
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