EVIDENCIA DE APRENDIZAJE: VECTORES

ALGEBRA LINEAL

CESAR SALAS FLORES

UNIDAD 1

VECTORES • Origen O también denominado Punto de

aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

• Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

• Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

• Ejemplo: Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:

32=

13 3 ∙3≠2 ∙1𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.

Ejemplo:

u = (2, 3, 1), v = (1, 0, 1,), w = (0, 3, -1)

a = (2, 3, 1,) b = (1, 0, 1,) c = (0, 3, -1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema Compatible Indeterminado

El sistema tienen infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Vectores linealmente dependientesVarios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades: 1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.3. Dos vectores libres del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo: Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores.

u = (3,k, 6) v = (-2, 1, k +3) w = (1, k + 2, 4)

Escribir u como combinación lineal de v y w, siendo k el valor calculado

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

12 + k² + 3k +12k + 24 –(-6 – 8k +3k² +15k +18) = 0k² -4k -12 = 0 k = -2 k= 6

(3, -2, -6) = a (-2, 1, 1) + b (1, 0, 4) (3, -2, -6) = -2ª + b, a, + 4b)

a = -2 b= -1u = -2v -w

Vectores Independientes y dependientes de forma geométrica

dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.

Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n(dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...)

En el espacio tridimensional usual:

Ejemplo:

• u y j son dependientes por tener la misma dirección.• u y v son independientes y definen el plano P.• u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.• u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una

combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.

Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k