M. Didi Haryono (Mahasiswa Pasca Sarjana Unhas_2012)

Aljabar sigma.....

Soal analisis

1. Apakah koleksi berikut merupakan aljabar sigma

{ XA : A berhingga atau – A berhingga }, dengan X={1,2,3,4,...}

Misalkan C adalah himpunan semua interval x, , Rx . Apakah koleksi

himpunan C merupakan aljabar sigma.

Misalkan )(C adalah himpunan yang dibangun oleh koleksi C

2. Jika X = R, LapbolaARAAC :,

Apakah )(C aljabar sigma?

3. Apakah 1 bilangan positip?

Jawab

1. Apakah koleksi berikut merupakan aljabar sigma

Jawab

Suatu himpunan merupakan aljabar sigma jika dan hanya jika BA, A

BA A

cA A

c

BA A BA A

{ XA : A berhingga atau – A atau cA berhingga }, dengan

X={1,2,3,4,...}

Jawab:

Misalkan XA maka XAc

Karena A dan Ac , maka X sehingga memenuhi syarat ke dua

Karena A maka An

i

1

, dan karena XA maka XAn

i

1

sehingga

memenuhi syarat pertama dan ke tiga

Sehingga terbukti merupakan aljabar-σ

Misalkan C koleksi himpuan bagian dari X, maka terdapat aljabar-σ terkecil R

yang memuat C,

Bukti:

Misalkan F koleksi himpunan bagian X yang berupa aljabar-σ yang memuat C,

Didefinisikan BRFB

Karena BR , B F dan B adalah aljabar-σ yang memuat C, maka R

memuat C. Selanjutkan akan dibuktikan apakah R suatu aljabar-σ.

Misalkan iA barisan himpunan pada R. Karena iA berada pada R, maka

BAi untuk setiap FB . Karena BAi untuk setiap FB dan B

adalah aljabar-σ maka BAi

1

untuk setiap FB , jadi

RFBBBAFBi

|1

aljabar-σ terkecil yang memuat C disebut aljabar-σ yang dibangun oleh C.

M. Didi Haryono (Mahasiswa Pasca Sarjana Unhas_2012)

Aljabar sigma.....

Contoh

Jika C adalah himpunan pada interval 4, , yang memiliki koleksi himpunan

– himpunan Ri yaitu 10, , 5,9 , 0,8 dan 4,0 maka

CRi dan CRc

i sehingga koleksi himpunan C merupakan aljabar sigma.

Misalkan )(C adalah himpunan yang dibangun oleh koleksi C

Jika )(C adalah himpunan yang dibangun oleh koleksi C berhingga yang

anggota – anggotanya CCCCC n ,...,,, 321 maka jelas

CCCCCc

n

ccc,...,,, 321 . Dan CCi

n

i

1

dan CCc

i

n

i

1

sehingga )(C

adalah aljabar-σ yang dibangun oleh C.

2. Jika X = R, LapbolaARAAC :, , Apakah )(C aljabar sigma?

3. Suatu bilangan ala Re jika dan hanya jika 0a

Misalkan Pa dan Pa dan 0a ,

maka Paa atau Paa

Paa .1.1 atau Paa .1.1

Paa .11 atau Paa .11

Pa 211 atau Pa 211

Jadi dapat disimpulkan 2211 aa dan karena 0a maka 02 a .

Jadi jika 02 a misalkan 1a maka terbukti 01