Šta, kako i zašto?

Linerani sistem, Fazor, Furijeov red, Furijeova transformacija, Laplasova transformacija

Prvo su bili generatori koji su generisali prostoperiodične (sinusne) signale određene učestanosti...

Da bi videli kako se ponašaju drugi sistemi na ovakvu pobudu pošlo se od najjednostavnijih sistema – lineranih. Linerani sistemi su sistemi opisani lin diferencijalnom jednačinom.

Za ove sisteme (npr y=kx) važi proporcionalnost: 2 puta veća pobuda- dva puta veći odziv. Takođe važi fundamentalna osobina – osobina superpozicije. To znači da kada imamo 2 ili više pobuda, tada je odziv sistema na istovremeno dejstvo obe pobude jednaka zbiru odziva sistema na pojedinačno dejstvo pobuda. Praktično, to znači da se snimi odziv sistema kada deluje jedna pobuda, dok je druga ukinuta. Zatim se snimi odziv na drugu pobudu, dok je prva ukinuta. Ukupan odziv jednak je zbiru pojedinačnih pobuda. To je osobina lineranih sistema.

Kod nelineranih sistema superpozicija i proporcionalnost ne važe. Nažalost, realni sistemi su nelinerani. Zašto su onda bitni linerani sitemi? Oni su prva aprokasimacija realnih sistema. Prva aproksimacija ponašanja sistema nam je dovoljna da znamo šta da očekujemo od sistema.

Posle sinusnih pobuda došle su na red druge periodične ali ne-sinusne pobude- četvrtke, testere i sl. Stvar je postala komplikovana. Rešenje je nađeno kroz sledeće razmišljanje: odziv lin.sistema na sinusnu pobudu znamo. Hajde da nekako ne-sinusnu, ali periodičnu, pobudu izrazimo preko sume sinusnih pobuda.

Tako se došlo do Furijeovog reda. On nam omogućava da nesinusnu, periodičnu, funkciju predstavimo beskonačnim zbirom »elementarnih« sinusnih funkcija. Ove pojedinačne sinusne funkcije imaju sopstvene amplitude i faze, dok im je učestanost celobrojni umnožak učestanosti nesinusnog signala. Te elementarne sinusne funkcije zovu se harmonici. Znači, nesinusna-periodična pojava (bitno je da je periodična) predstavlja se nizom elementarnih prostih, sinusnih pojava, od koje svaka ima svoju amplitudu i fazu, dok im je učestanost multipl osnovne učestanosti (tj 1/perode) nesinusnog signala. Dakle, signal složenog ali periodičnog oblika u t-domenu »rastavljamo« na mnogo prostoperiodičnih (sinusnih i kosinusnih) signala raspoređenih na određenom rastojanju u frekventnom spektru. Taj spektar frekvencija je diskretan – postoji samo na koraku frekvencija koji je odredila perioda osnovnog signla.

Idemo dalje. Šta sa neperiodičnim signalima? Rešenje je nađeno tako što je neko pametan rekao- »Neperiodičan signal je, u stvari, periodičan signal sa beskonačno velikom periodom«. Genijalno. A možda je verovatnije da se posmatrao ne-sinusan periodičan signal, ali da mu se povećavala perioda. Kako se perioda povećava korak (rastojanje) između diskretnih komponenti signala (harmonika) se u f-domenu smanjivao. Malo, manje pa stigosmo do diferencijalne razlike. A kada je diferencijalna razlika, eto i neprekidnosti i integrala. Tako da se stiglo do toga da neperiodičan signal ima kontinualan spektar frekvenci, tj, njegovi harmonici su beskrajno bliski. Time se stiglo do Furijeove transformacije. Ovom transformacijom se funkcija f(t) množi članom exp(jwt), i svi se pojedinačni proizvodi sumiraju (tj integrale jer su sve to intenzimale). Ovaj član, exp(jwt) je u stvari jedinična prostoperiodična komponenta spektra.

Zašto se nije stalo na F transformaciji? Zbog toga što mnoge korisne funkcije nemaju konačnu vrednost F integrala - integral od f(t)*expr(jwt)dt, prosto, divergira. Znači ne stoji da svaka neperiodična funkcija(signal) ima razvoj u beskrajno mnogo prostoperiodičnih funkcija, od koje svaka ima svoju amplitudu i fazu, dok su njihove učestanosti kontinualno raspodeljene duž svih frekvencija (naravno, do određene učestanosti do koje se energija? funkcije raspodeljuje). Da bi se ovo zaobišlo, stvar je preformulisana – nećemo da neperiodičan signal raspodeljujemo na prostoperiodične komponente, po frekvenci beskrajno bliske, a po amplitudi konačne vrednosti, , nego na: prostoperiodične komponente, po frekvenci, beskrajno bliske, ali sada sa amplitudama koje se prigušuju nekom brzinom exp(-σt). Dakle, komponente nisu čiste prostoperiodične funkcije

1

(oscilacije) učestanosti f, f+df, f+2df..., nego prigušene oscilacije. Tako se postiglo da za tehniku važne funkcije(signali) imaju konačnu F transformaciju. Takva transformacija koja neperiodičan signal »razlaže« na beskonačno mnogo prigušenih oscilacija je Laplasova transformacija.

Laplasova transformacija omogućava uvođenje pojma prenosne funkcije koja opisuje relaciju izlaz/ulaz sistema. Rešavanje difrencijalnih jednačina svodi se na rešavanje algebarskih jednačina. Prenosna funkcija složenih sistema dobija se kombinovanjem prenosnih funkcija podsistema. Prenosna funkcija je, generalno,u obliku razlomka dva polinoma. Polinomi se mogu predstaviti kao proizvodi njegovih nula. Imenilac polinoma opisuje internu strukturu sistema(njegove nule su polovi prenosne funkcije u s-ravni), a brojilac (njegove nule su nule prenosne funkcijeu s-ravni) interakciju sa okolinom. U polu TF ima beskonačnu vrednost, a u nuli TF=0. Dakle, u nuli sistem nema niikakv odziv (za tu kompleksnu učestanost s=σ+jw).

Rezime:1. prvo je bila prostoperiodična (sin/cos) pobuda i linearan sistem. Tražio se odziv takvog

sistema na tu pobudu. Fazori – kompleksan broj koji ima amplitudu i fazu. Pobuda, sistem i odziv se prikazuju preko odgovarajućeg fazora. Kada se fazor odziva prikaže kao amplituda i faza dobijaju se Amplitudna i fazna frekventna karakteristika – zavisnost odziva sistema od frekvence pobude. Odziv je, dakle, kompleksan broj koji ima amplitudu i fazu. Amplitudska frekventna karakterisrika je zavisnost npr. vrednosti odziva sistema od frekvencije pobude. Fazna frekventna karakteristika je prikaz faze odziva sistema u fji frekvencije pobude sistema.

2. složenoperiodična pobuda i lin sistem. Koncept 1. se proširio na tako da se pobuda »razlaže« na gomilu prostoperiodičnih funkcija koje »svaka za sebe« deluje na Lin sistem. Svaka komponenta složenog signala(harmonik) se takođe može predstaviti fazorom. Kada se sumiraju odzivi (amplitude i faze) svih prostoperiodičnih fazora dobija se ukupni odziv sistema na složeno-periodičnu pobudu.

3. neperiodična funkcija = beskonačna suma (integral) prostoperiodičnih signala kontinualno raspoređenih u f-domenu (F transformacija)

4. neperiodična funkacija = beskonačna suma (integral) prigušenih prostoperiodičnih signala kontinualno raspodeljenih u f-domenu (Laplasova) transdormacija.

Povratna sprega Fundamentalna osobina živih organizama. Pov.sprega smanjuje uticaj: spoljnih poremećaja koji deluju na sistem, a koji nam nisu poznati i promene parametara sistema usled npr. starenja ili kvara.

Pov sprega menja dinamiku sistema

Kada je pov spega velika tada sistem zavisi samo od pov sprege. Ona »invertuje« ponašanje sistema – ako je u pov. sprezi integrator, dobijemo difrencijator i obrnuto. Ako je u pov sprezi veliko pojačanje, dobijemo malo pojačanje. Ako pov sprega unosi prednjačenje faze, dobija se kašnjenje faze i obrnuto.Dakle, sve naopako.

Pov spega može da dovede do: nestabilnosti sistema oscilovanjaTo se dešava kada se preko pov sprege vrati deo izlaza koji je obrnute faze (-180) i koji je veći od izlaza.

2

Bode dijagram je grafička metoda koja omogućava da se pre izrade sistema sa pov.spregom proveri da li će takav sistem biti stabilan (ili, koliko je sistem stabilan). Ideja projektovanja regulatora je da se promeni dinamika sistema, ali tako da se posle zatvaranja petlje dobije sistem koji je, pre svega, stabilan, a onda i željene dinamike.

Dakle, uvek postoji opasnost da sistem sa pov spregom na nekoj učestanosti postigne uslov da je vraćeni izlaz u protivfazi sa ulaznom pobudom i da je vraćeni izlaz veći od izlaza. Napomena: signal koji se sa izlaza vraća na ulaz je u protiv fazi sa pobudom, ali pošto ulazi sa negativnim predznakom u ulazni sabirač njegovo dejstvo je identično dejstvu pobude.

Najveća opsanost za stabilnost sistema su kašnjenja u pov spezi, tj elementi koji imaju fazu srazmernu učestanosti. Uvek postoji neka učestanost za koju je kašnjene faze 180, tako da je nestabilnost uvek moguća.

Klase upravljačkih zadataka: kontrolisana vrednost (izlaz) treba da ostane nepromenjna sa zadatom tačnošću – problem

regulacije upravljačka promenljiva se menja prema poznatom zakonu – programsko upravljanje praćenje neke merne veličine čija je promena unapred nepoznata – servomehanizmi samopodešavanje parametara sistema prema zadatom kriterijumu optimalnosti (npr najveća

vrednost, najbrže i dr).

Parametri koji karakterišu kvalitet sistema1. stabilnost2. stacionarni odziv sistema (kada su prestale sve prelazne pojave)3. kvalitet prelaznog odzivaŽeljeno ponašanje sistema se može zadati na više načina. Jedan je vezan za posmatranje sistema

u t-domenu. Npr odziv na step funkciju sa parametrima: vreme uspona i vreme smirenja

Redukcija analize složenih sistema

Polazi se od prakse da je ponašanje sistema u najvećoj meri određeno parom polova koji je najbliži imaginarnoj osi , tzv dominantni pol. Time se problem svodi na sistem II reda. Zato je bitna analiza sistema I i II reda.

Koraci sinteze 1. nacrtaj amp i faznu karakteristiku sistema bez petlje (sistem je ono čime će se upravljati

pomoću regulatora-uskladnika-kontrolera). Sa ovih dijagrama se vidi ponašanje sistema za sve frekvencije pobude. Sistem sa promenom frekvencije menja svoj odziv – i po amplitudi i po fazi. Generalno, sa povećanjem učestanosti amplitude odziva opadaju dok se kašnjenje (faza) povećava. Interesantne su vrednosti učestanosti za koje pojačanje sistema opadne na vrednost 1 i učestanost kada je kašnjenje sistema toliko da je fazna razlika izlaz – ulaz 180 stepeni. Očigledno da je ovo vezano sa stabilnošću sistema.

2. zahtevi za ponašanje sistema se prevedu u tehničke parametre-npr. veličina preskoka na step pobudu, greška ustaljenog stanja i dr.) Ako je npr. zahtev da sistem ima neki dozvoljeni preskok tada se koristi priča koja važi za sistem II reda. Za ove sisteme su napravljene razne računice koje nam kažu koliko treba da je prigušenje sistema za željeni preskok. Na osnovu tog prigušenja zna se koliki je potreban pretek faze. Naime, što je pretek faze manji sistem je

3

»nestabilniji« tj prekok na step pobudu je veći. Ovim postupkom se dakle, na bazi zahteva za dozvoljenim preskokom dobija potrebna margina faze.

3. sa dijagrama iz koraka 1 nađe se učestanost (npr f1) na kojoj sistem bez sprege ima potrebnu marginu faze.

4. očita se tekuće pojačanje za f1. Odredi se korekcija pojačanja takva da sistem na f1 ima pojačanje 1. Sam sistem nema mogućnost da »izvuče« ovakvo pojačanje – potreban je korigujući element – regulator koji u prvom koraku treba da da takvo pojačanje da bi se ispuni zahtev da pojačanje sistema + regulatora u otvorenoj sprezi za f1 bude 1.

Postupak sinteze kompenzatora frekventnom metodom-primer kada je potreban diferencijalni kompenzator(kada treba popraviti stabilnost sistema, jer diffkomp unosi pozitivnu fazu)

1. zahtevi za ponašanje sistema se izraze u vidu brojnih vrednosti koje karakterišu frekventni odziv sistema.

a. Kolika je greška za konstantnu pobudu(poziciona greška)b. Kolika je greška na linearnu pobudu, tj kada se ulaz menja konstantnom

brzinom(brzinska greška)c. Kolika je stabilnost sistema (pretek faze)d. Kolika je potrebna brzina reagovanja

2. proveri se da li sistem bez kompenzatora zadovoljava grešku ustaljenog stanja. Ako nije ispunjen zahtev unosi se potrebno pojačanje (kompenzator je samo pojačavač)

3. za sistem sa unetim pojačanjem crta se bode dijagram.čitanjem dijagrama procene se vrednosti preteka faze i granične učestanosti (ovo je povezano sa stabilnošću sistema i brzinom reagovanja )

4. ako je granična učestanost OK (tj sistem dovoljno brz), a sistem nije dovoljno stabilan unosi se kompenzator tipa difrencijatora. Usvaja se odnos a/b kompenzatora koji treba da omogući željenu popravku faze i još preko toga.

5. odredi se dodatno pojačanje koje kompenzuje slabljenje koje unosi kompenzator na nižim frekvencijama. Bira se donja prelomna učestanost kompenzatora

6. crta se bode ukupnog sistema: sistema i kompenzatoar

Integralni kompenzator smanjuje propusni opseg. Zbog toga je sistem sporiji, ali manje osetljiv na smetnje. Koristan je kada brzina reagovanja nije značajna, ali je značajno da tačnost rada u stacionarnom stanju bude velika.

4