Kordamisülesanded

ALLAR VEELMAA

TALLINN “MATHEMA” 2009

Kirjastus Mathema kinnitab: õpik vastab põhikooli ja gümnaasiumi riiklikuleõppekavale ning haridus- ja teadusministri poolt õppekirjandusele kehtestatudnõuetele.

Retsenseerinud Hele Kiisel ja Agu Ojasoo.

Kaaned kujundanud Heiki Looman.

Joonised teinud Allar Veelmaa.

Autor tänab retsensente paljude kasulike märkuste ja nõuannete eest ning kolleeg

Tõnu Tõnsot käsikirja toimetamise eest. Samuti tänab autor paljusid Loo

Keskkooli õpilasi, kes on ülesannete koostamiseks inspiratsiooni andnud.

ISBN 978-9985-9385-4-6

© Allar Veelmaa 2009

Kõik õigused on kaitstud. Ilma autoriõiguse omaniku eelneva kirjaliku loata polelubatud ühtki selle õpiku osa paljundada ei elektroonilisel, mehhaanilisel egamuul viisil.

EESSÕNA

Paljude gümnaasiumite matemaatika ainekava lõpeb kursusega“Kordamine”. Et ees seisavad riigieksamid, siis on antud välja päris paljuerinevaid riigieksami ülesannete kogusid. Paraku on nende puhul tegemistülesannete kogudega, aga mitte õppematerjalidega, mis on mõeldudgümnaasiumkursuse süstemaatiliseks kordamiseks. Käesolev raamat onmõeldud aga just ennekõike gümnaasiumikursuse kordamiseks.

Kindlasti saab ka seda raamatut kasutada riigieksamiteks valmistumiseks,aga samas tuleks endale aru anda – matemaatikat õpitakse ju mitte selleks, eteksam kuidagiviisi ära teha, vaid ikka selleks, et targemaks saada ja hiljemosata oma teadmisi eluliste ülesannete lahendamisel kasutada.

Käesolevast raamatust peaks sellest olema kasu ka neile, kel on keskkooljuba lõpetatud. Selleks, et ülikoolis paremini hakkama saada, vajabkeskkoolis õpitu ju meeldetuletamist. Kui teadmistes on lünki ja paljudekeskkooli matemaatikaülesannete lahendamine käib üle jõu, siis võiblünkade kaotamisel abi olla ka käesolevast raamatust.

Raamatus on toodud ära ülesannete lahendamiseks vajalik teoreetilinematerjal koos näiteülesannete põhjalikult kommenteeritud lahendustega.Iseseisvaks lahendamiseks on välja pakutud 618 ülesannet.

Lühidalt sisust:

Õppematerjal on jaotatud kolmeteistkümneks teemaks:

1. Reaalarvud ja avaldised.

2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid.

3. Võrratused ja võrratusesüsteemid.

4. Aritmeetiline ja geomeetriline jada.

5. Funktsiooni uurimine ilma tuletiseta.

6. Trigonomeetria.

7. Jada ja funktsiooni piirväärtus.

8. Funktsiooni tuletis, selle rakendusi.

9. Integraal ja selle rakendusi.

10. Vektorid. Joone võrrand.

11. Planimeetria.

12. Stereomeetria.

13. Tõenäosusteooria ja statistika.

Kuidas seda raamatut kasutada?

Gümnaasiumikursuse kordamiseks mõeldud raamatut saab kasutada kogugümnaasiumikursuse vältel lisaks õpikule, kus mõne teema juures onülesandeid vähevõitu või tunduvad need liiga lihtsatena. Asendamatuks abi-meheks on see raamat aga eksamieelsel kordamisel, et saaks meelde tuletadavajalikke valemeid, uurida näiteülesannete lahendusi ja loomulikult ka iseülesandeid lahendada.

Ülesandeid väga erineva raskusastmega – alates lihtsatest, lõpetadestavapärastest riigieksami ülesannetest keerukamatega.

Iga teema kordamisel veenduge, kas kirjapandud valemid tulevad ikkatuttavad ette. Uurige ka põhjalikult õpikus olevaid näiteid. Algul on mõistlikära lahendada ülesanded, millega saate kindlasti hakkama (oma vastuseidsaate võrrelda raamatu lõpus olevate vastustega). Siis võtke käsile juba veidikeerukamad ülesanded. Paljusid ülesandeid saab lahendada mitmel erinevalviisil. Püüdke ka ise leida ülesannetele erinevaid lahendusviise.

Paljude ülesannete puhul saab lahenduse õigsust ka arvuti abil kontrollida.Algebraliste avaldiste, võrrandite (võrratuste) ja ka funktsiooni uurimisegaseotud ülesannete puhul sobib selleks programm Wiris1 ja mitmesugustegeomeetria- ja algebraülesannete puhul programm GeoGebra2.

Allar Veelmaa

1 Wiris – asub aadressil http://www.wiris.ee2 GeoGebra – asub aadressil http://www.geogebra.org

Trigonomeetria

69

6. TRIGONOMEETRIA

Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel, samasuste tõestamisel javõrrandite või võrratuste lahendamisel muudab ülesande lahendamine tihti-peale keerukaks see, et võimalikke lahendusteid on enam kui üks.Trigonomeetrilisi avaldisi sisaldavate ülesannete lahendamise üks võtipeitub kindlasti põhiseoste ja nendest tuletatud valemite tundmisel.

6.1. Põhiseosed ja tuletatud valemid

Trigonomeetria põhiseosed

2 2sin cos 1� � � � ,sin

tancos

�

� �

�

ja 22

11 tan .

cos� � �

�

Esimene valem kehtib nurga � iga väärtuse korral (sel juhul on tegemistabsoluutse samasusega). Teine ja kolmas valem kehtivad juhul, kui

cos 0,� � s.t. 2 , .2

n n�

� � � � � �� Sellistel puhkudel on tegemist tingimisi

samasustega.

Mõnikord kasutatakse ka valemitcos

cot ,sin

�

� �

�

kus sin � � 0.

Taandamisvalemid

Taandamisvalemiteks nimetatakse valemeid, mis võimaldavad mistahesnurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmise taandada terav-nurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste arvutamisele.

Nende valemite meelde-jätmiseks on otstarbekaskasutada järgmist skee-mi:

Negatiivse nurga korral kehtivad seosed:� �sin sin ,�� � � � � �cos cos ,�� � � tan(–�) = –tan �

Täispöördest suuremate (väiksemate) nurkade korral:

sin 360 sin , cos 360 cos ja

tan 180 tan , kus .

n n

n n

� � � � � � � � � �

� � � � � �

� �

�

�

Trigonomeetria

70

Kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus ja tangens� �

� �

� �

sin sin cos cos sin ,

cos cos cos sin sin ,

tan tantan .

1 tan tan

� �� � � �� � �

� �� � � � � �

� � �� �� �

� �

�

�

Kahekordse nurga siinus, koosinus ja tangens2 2

2

2 tansin 2 2sin cos , cos 2 cos sin ja tan 2 .

1 tan

�

� � � � � � � � � � �

� �

Poolnurga siinus, koosinus ja tangens1 cos 1 cos 1 cos

sin , cos ja tan .2 2 2 2 2 1 cos

� � � � � � � � �� � � � � �

� �

Summa ja vahe teisendamine korrutiseks

� �

sin sin 2sin cos ,2 2

sin sin 2cos sin ,2 2

cos cos 2cos cos ,2 2

cos cos 2sin sin ja2 2

sintan tan .

cos cos

� �� � ��� � � � �

� �� � ��� � � � �

� �� � ��� � � � �

� �� � ��� � � � � �

� ��� � � �

� � �

Korrutise teisendamine summaks või vaheks

� �

� �

� �

� � � �2 2

1sin cos sin( ) sin( ) ;

21

cos cos cos( ) cos( ) ;2

1sin sin cos( ) cos( ) ;

21 1

sin 1 cos 2 ja cos 1 cos 22 2

� � � � �� � � ��

� � � � �� � � ��

� � � � �� � � ��

� � � � � � � �

Trigonomeetria

71

Näide 1. Lihtsustame avaldise sin 240 cos150 sin 270 tan 315 .� � �

� � � �

Taandamisvalemite abil leiame iga teguri väärtuse eraldi:3

sin 240 sin(180 60 ) sin 60 ,2

3cos150 cos(180 30 ) cos30 ,

2

sin( 270 ) sin 270 sin(180 90 ) sin 90 1 ja

tan 315 tan(360 45 ) tan 45 1.

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � �

� � � � �

� � � �

Tulemused kokku võttes saame avaldise väärtuseks

3 3 3sin 240 cos150 sin 270 tan 315 1 ( 1) .

2 2 4

� � � �� � � � � � � � � � �� � � �� � � �

� �

� � � �

Vastus: avaldise täpne väärtus kümnendmurruna on 0,75.

Näide 2. Lihtsustame avaldised:

a) tan 510° = tan(3 · 180° – 30°) = –tan 30° =3

3� ;

b) � � � � � �2 22 2sin sin sin sin ,� �� �� � ��� � � � �� �

c) cot 270 cot 270 cot 180 (90 )� �� � � � �� � � � �� �� �

� � � �

= cot(90 ) tan ,� �� � � ��

d) � � � � � � � �sin 209 cos 209 tan 20 sin cos��� � � � � � � � ��� � � � � �

sin cos .� � � �

Näide 3. Lihtsustame avaldise2

sin 2 cos.

1 cos 2 1 cos

x x

x x�

� �

Kuna 2 2 2 2 21 cos 2 sin cos cos sin 2cos ,x x x x x x� � � � � �

sin 2 2sin cosx x x� ja 2 21 cos sin ,x x� � siis

2 2 2

sin 2 cos 2sin cos cos 1.

1 cos 2 sin1 cos 2cos sin

x x x x x

x xx x x� � � �

� �

Vastus: avaldise lihtsustatud kuju on 1 : sin x.

Trigonomeetria

72

Näide 4. Teisendame korrutiseks cos 2 sin 3 cos 4 .x x x� �

Kuna2 4 2 4

cos 2 cos 4 2sin sin2 2

x x x xx x

� �� � � �

= 2sin 3 sin( ) 2sin 3 sinx x x x� � � , siis

� �cos 2 cos 4 sin 3 2sin 3 sin sin 3 2sin 3 sin 0,5 .x x x x x x x x� � � � � �

Vastus: tegurdatud avaldis on 2sin3x(sin x + 0,5).

Näide 5. Leiame sin ,2

�

kui tan 3� � ja � on kolmanda veerandi nurk.

Kui nurk � on kolmanda veerandi nurk (180 270� � �� � ), siis

2

�

on teise

veerandi nurk. Teises veerandis sin 02

�� , seega

1 cossin .

2 2

� � �

�

Leiame cos � valemi 22

11 tan

cos� � �

�

abil: 22

11 ( 3)

cos� �

�

ehk

2

14,

cos�

�

millest 2 1cos .

4� �

Kolmandas veerandis on koosinuse väärtus negatiivne, s.t. cos 0,5.� � �

Kokkuvõttes saame, et

1 ( 0,5) 1,5 3 3sin .

2 2 2 4 2

� � �

� � � �

Vastus:3

sin 0,5 .2

� �

Näide 6. Tõestame, et3 3cos sin 2 sin 2

.cos sin 2

x x x

x x

� ��

�

Teisendame võrduse vasakut poolt:

� � 2 23 3 cos sin cos cos sin sincos sin

cos sin cos sin

x x x x x xx x

x x x x

� � ��

� �

� �

2 2cos sin sin cos 1 0,5sin 2 .x x x x x� � � � �

Saimegi sama tulemuse, mis on võrduse paremal poolel, sest:2 sin 2 2 sin 2

1 0,5sin 2 .2 2 2

x xx

�

� � � �

Trigonomeetria

73

6.2. Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine

261. Koostage valemid, mille abil saab nurga kraadimõõdust teisendadaradiaanmõõtu ja vastupidi. Kumba mõõtu kasutatakse tänapäeval rohkem(tooge näiteid)? Uurige, milleks on taskuarvutil GRAD?

262. Teisendage nurk kraadimõõdust radiaanmõõtu ja vastupidi.1) 45�; 225�; 3600�; –315�; 45�; 0�; 180�; 135�; 1�; 270�;

2) �; 0;2 3 5

; ; ;1 ; ; ;2 ; ; ; 3 ; 6.3 3 4 6 12 2 4

� � � � � � �

� � � �

263. Leidke avaldise täpne väärtus mõistlikul viisil. Kontrollige tulemustkalkulaatori abil.1) cos�, kui sin� = 0,6 ja 90° < � < 180°

2) sin�, kui tan� = – 3 ja3

2

�

< � < 2�

3) tan�, kui sin� = –3

2ja 270° < � < 360°

4) sin 2�, kui tan� = – 3 ja 90° < � < 180°

5) cos 2�, kui tan� = –1 ja2

�

< � < �

6) tan 2�, kui cos� = –0,5 ja nurk � on kolmanda veerandi nurk7) cos 0,5�, kui sin� = 0,6 ja nurk � on teise veerandi nurk8) sin 0,5�, kui tan� = – 3 ja nurk � on kolmanda veerandi nurk

9) tan 0,5�, kui sin� = –2

2ja nurk � on neljanda veerandi nurk

264. Lihtsustage avaldis taandamisvalemite abil.

1) sin 45 cos 45 sin 30 cos60 tan 45 tan 0� �� � � � � �

2) tan120 tan 330 cos 0 sin 225 cos135� �� � � � �

3) sin 390 sin 510 cos570 cos870 tan 600 tan1110� �� � � � � �

4)sin 210 cos 240 cos 660

sin( 405 ) cos( 315 ) sin 540

� �

� � � �

� � �

� � �

5)2tan 210 sin 420 2cos ( 870 ) 2sin( 45 )

2cos 405 tan( 765 )

� � � �

� �

� � � �

� �

Trigonomeetria

74

265. Leidke kalkulaatorit kasutamata, kumb avaldistest on suurem?1) sin 300° …. sin 320° 2) tan 32° …. tan 211°3) cos 100° …. cos 260° 4) sin 100° …. sin 300°5) tan (–44°) …. –tan 68° 6) sin 144° …. cos 144°7) tan 99° …. tan 89° 8) cos(–400°) …. cos 410°

266. On antud sin cos .m� � � � Esitage arvu m kaudu

1) sin cos� � 2) 4 4sin cos� � �

267. Leidke sin 2�, kui sin cos .m� � � �

268. Leidke 4 4sin cos ,x x� kui sin cos 0,5.x x� �

269. Lihtsustage avaldis.

1) � � � �2 2

sin cos sin cos� � � � � � �

2)� �� �

� �

1 sin cos 1 sin cos

sin 1 sin

x x x x

x x

� � � �

�

3)� � 2 2

3 3

1 sin cos sin sin cos

sin cos sin cos

x x x x x

x x x x

� ��

� �

4)2

1 2sin cos cos sin

cos sin2cos 1

x x x x

x xx

� ��

��

5)1 cos cos 2 cos3

sin 2 2sin cos 2

x x x

x x x

� � �

�

270. Lihtsustage avaldis2 2

2cos sin 2

sin sin cos

x x

x x x

�

� �

ja leidke nurgad, mille korral

selle avaldise väärtus on (–1).

271. Leidke avaldise � �

1cos

tan 1 sin1

tan

� �

�� � �

�

väärtus, kui � = 60°.

272. Lihtsustage avaldised.

1)1 2cos cos 2

1 2cos cos 2

x x

x x

� �

� �

2)2 2

2 2

sin 2 4sin

sin 2 4sin 4

x x

x x

�

� �

3)4 4

6 6

sin cos 1

cos sin 1

x x

x x

� �

� �

4)2 2

sin 2 2sin

cos cos sin

x x

x x x

� �

� �

Trigonomeetria

75

5)� � � �

� � � �

cos cos

cos cos

x y x y

x y x y

� � �

� � �

6)sin 30 sin 30

sin 30 sin 30

x x

x x

� � �

� � �

� �

� �

273. Lihtsustage avaldis.

1)1 cos 2 sin 2

1 cos 2 sin 2

� �� �

� �� �2)

� �

� �

tan tan tan

tan tan

x y x y

x x y

� � �

�

3)sin 3 sin 5 sin 7

cos3 cos5 cos 7

x x x

x x x

� �

� �

4)sin 2cos3 sin 5

cos 2sin 3 cos5

x x x

x x x

� �

� �

5)2 2

tan 1: tan

1 tan 1 1: tan

x x

x x�

� �

6)� �

2sin 2 sin 4

2 cos cos3

x x

x x

�

�

7) � � � � � � � �sin cos cos sinx y x y x y x y� � � � �

8) � � � �2 2

cos cos 2 sin sin 2x y x y� � �

274. Nurgad A, B ja C on kolmnurga sisenurgad. Tõestage, et

1) sin sin sin 4cos cos cos ;2 2 2

A B CA B C� � �

2)sin

tan tan .cos cos

CA B

A B� �

�

275. Lihtsustage avaldis.

1)2

2

2cos 1

2 tan sin4 4

� �

� �� � � ��� � � �� �

� �

2)2

2

sin sin cos

sin cos tan 1

x x x

x x x

��

� �

3)2 4 2

2 2 2

sin sin 1 cos

cos 2sin 2 tan

x x x

x x x

� ��

� �

4)3 3cos sin

1 0,5sin 2sin cos

x xx

x x

�� �

�

276. Tõestage võrduse kehtivus.

1) sin 450 sin 270 cos 180 cos�� � �� � � � � �� � �

2) � � � �2

sin cos cos 1 2cos tan 1 sinx x x x x x� � � � �

3) 4 4 2 2 6 6sin cos sin cos sin cos 0x x x x x x� � � � �

4) 2 2 2 2 2 2sin sin sin sin cos cos 1� � �� � �� � � �

277. Tõestage, et 41 1 3cos4 cos 2 cos .

8 2 8x x x� � �

Trigonomeetria

76

278. Tõestage, et2 4 8 16 1

cos cos cos cos cos .33 33 33 33 33 32

� � � � �

�

279. Tõestage, et3

sin10 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 60 sin 70 sin80 .256

�� � � � � � � �

6.3. Arkusfunktsioonid

Arkusfunktsioonideks nimetatakse trigonomeetriliste funktsioonide teatavateahendite pöördfunktsioone.

Funktsioon Pöördfunktsioon Graafikudy = sin x

; ,2 2

[ 1;1]

X

Y

� �� �� �� ��

� �

y = arcsin x[ 1;1],

;2 2

X

Y

� �

� �� �� �� ��

arcsin(–x) = –arcsin x

y = cos x� �

� �

0; ,

1;1

X

Y

� �

� �

y = arccos x

� �

[ 1;1],

0;

X

Y

� �

� �

arccos(–x) = �– arccos x

y = tan x

� �

; ,2 2

;

X

Y

� �� �� �� ��

� �

y = arctan x� �; ,

;2 2

X

Y

� �� �

� �� �� �� �

arctan(–x) = –arctan x

Trigonomeetria

77

Kehtivad järgmised põhisamasused:

1. Iga � �1,1x� � korral arcsin arccos2

x x�

� � .

2. Iga x�� korral arctan arccot .2

x x�

� �

280. Arvutage funktsiooni väärtus.

1) arcsin 0,5 2) arcsin3

23) arcsin (–1)

4) arccos 0,5 5) arccos (–0,5) 6) arccos 20097) arctan 3 8) arctan (–2) 9) arctan 2009

281. Leidke funktsiooni väärtus.1) � � � �sin arccos 0,5 arctan( 1) cos arccos 0,5 arctan( 1)� � � � �

2)2 2

arccos arcsin arctan( 3)2 2

� � � �� � � � �� � � �� � � �

� � � �

3)3 3

cos arctan arccos3 2

� ��� �� �

� �

4) � �cos 2arctan( 1) arccos(–0,5)� �

5)1 3 1 2

arcsin arccos2 2 3 2

�

282. Leidke funktsiooni määramispiirkond.1) f(x) = arcsin 3x 2) f(x) = arccos (–3x)

3) f(x) = arcsin1

1

x

x

�

�

4) f(x) = arccos1

1

x

x

�� ��� �

�� �

5) f(x) = arctan 3x 6) f(x) = arctan 31 3 x�

7) f(x) = arctan0,5

3

1 x�

8) f(x) = arccos (1 – x) + arctan �

Trigonomeetria

78

6.4. Funktsioonide omadused ja nende graafikud

Funktsiooni y = sin x graafikut nimetatakse sinusoidiks. Siinusfunktsiooniperioodi pikkus on 2�. Funktsioon on määratud kogu reaalarvude hulgal jamuutumispiirkond on lõik [–1; 1].

Koosinusfunktsiooni y = cos x graafik on koosinusoid, mis ühtib oma kujult

sinusoidiga, kuid on nihutatud2

�

võrra vasakule.

Tangensfunktsioon y = tan x on määratud, kui

, .2

x k k�

� � � �� Funktsiooni graafikut nime-

tatakse tangensoidiks.

Kui funktsioon esitub kujul y = A·sin kx võiy = A·cos kx, siis arvust A sõltub graafiku võnke-amplituud ning arvust k võnkeperioodi pikkus T,

T =2

k

�

� �.

Funktsiooni y = A·tan k·x graafiku

võnkeperioodi pikkus on T = .k

�

� �

283. Leidke funktsiooni graafiku perioodi pikkus.

1) y = sin 2x 2) y = cos 0,5x 3) y = tan3

x

4) y = sin3

4

x�5) y = cos 5x 6) y = tan (–3x)

284. Joonestage ühes teljestikus funktsioonide y = sin x ja y = sin 2x graafi-kud (–� � x � �).

285. Joonestage ühes teljestikus funktsioonide y = cos x ja y = cos 0,5xgraafikud (0 � x � 2�).

Trigonomeetria

79

286. Selgitage, kuidas saab konstrueerida järgmiste funktsioonide graafikudfunktsiooni y = sin x graafiku abil1.1) y = 3sin x 2) y = –sin x 3) y = 2sin x 4) y = |sin x| 5) y = cos x

287. Joonestage lõigus [–�; �] funktsioonide y = 4sin 2x, y = –cos 0,5x ja

y = 2cos2

xgraafikud. Leidke graafikute abil nullkohad, positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekst-reemumkohad ja ekstreemumid.

6.5. Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetrilisteks võrranditeks nimetatakse võrrandeid, kus tundmatu ontrigonomeetrilise funktsiooni argumendis.

Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite puhul teisendatakse tundmatutsisaldavaid avaldisi seni, kuni võrrandi lahendamine taandub ühe või mitmetrigonomeetrilise põhivõrrandi lahendamisele.

Trigonomeetrilised põhivõrrandid on:

sin x = m, kus m � 1 ja üldlahend on � �1 arcsin , kus ,n

x m n n� � � � ��

cos x = m, kus m � 1 ja üldlahend on arccos 2 , kusx m n n� � � � �� ja

tan x = m, kus m�� ja üldlahend on arctan , kus .x m n n� � � ��

Trigonomeetriliste võrrandite lahendeid on mõistlik kontrollida, sest teisen-duste käigus (näiteks võrduse poolte ruutu tõstmisel) võivad tekkidavõõrlahendid. Võrduse poolte jagamisel ühe ja sama avaldisega tulebveenduda selles, et nii tehes osa lahenditest kaotsi ei läheks.

Märkus: lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel ei ole vajakasutada üldist lahendivalemit (kuid võib). Liites (lahutades) n-kordseperioodi pikkuse, saame jällegi lähtevõrrandi lahendi. Sõltuvalt võrrandilahendamisel kasutatud võtetest ei pruugi lahendid esituda ühesel viisil.

1 Graafikute konstrueerimise õppimisel on otstarbekas kasutada arvutiprogramme Wiris jaGeoGebra.

Trigonomeetria

80

Näide 1. Lahendame võrrandi sin x =2

2kolmel erineval viisil.

1) Kui sin x =2

,2

siis arvestades seda, et siinusfunktsiooni perioodi pikkus

on 2�, saame lõigus [0; 2�] kaks lahendit:3

ja .4 4

� �

Liites mõlemale leitud

lahendile täisarv n kordse perioodi pikkuse 2�, võime esialgse võrrandilahendid esitada kahe lahendiseeriana:

a) x = 24

n�

�� ja x =3

2 ,4

n��

� kus n on suvaline täisarv.

2) Võrrandi sin x = m üldlahendi valemi järgi saame:

� � � �2

1 arcsin 1 ,2 4

n nx n n

�� � � � � � � � kus .n��

Kui n = 0, siis x =4

�

; kui n = 1, siis3

.4

x�

�

3) Lahendame võrrandi graafiliselt.

Joonestame sinusoidi y = sin x ja sirge y =2

2. Siinusfunktsiooni perioodi

pikkus on 2�, seega on tarvis leida esmalt võrrandi lahendid ühe perioodi

piires. Lõigul [0; 2�] on võrrandil kaks lahendit: 1 4x

�

� ; 23

4x

�

� . Liites

lahenditele x1 ja x2 siinusfunktsiooni täisarv kordse perioodi pikkuse (–4�;–2�; …; 100�) saame võrrandi kõik lahendid esitada nii:

x = 24

n�

�� ja x =3

2 ,4

n��

� kus n on suvaline täisarv

Esimesel ja kolmandal juhul saime kaks lahendiseeriat, üldvalemit kasutadeson needsamad lahendiseeriad kirja pandud ühe valemina.

Vastus: võrrandi üldlahend on � �14

nx n

�� � � � , kus .n��

Trigonomeetriliste võrrandite erilahendeid saab kontrollida ka programmiWiris abil, esimeses näites oleva võrrandi lahendid saame nii:

Trigonomeetria

81

Märkus: lahendiseeriate esitamise muudab mõnikord tülikaks see, et üksleitud lahendiseeriatest sisaldub ka teises lahendiseerias (täielikult või osa-liselt).

Näide 2. Esitame lahendiseeriad2

n�

�� ja , kus ,10 5

kn k

� �

� �� ühe

lahendiseeriana.Kõik esimesse seeriasse kuuluvad lahendid on ka teises lahendiseerias (kuidmitte vastupidi). Sellisel juhul on esimene lahendiseeria ülearune ja võrrandi

lahendid esitatakse kujul , .10 5

kx k

� �

� � ��

Märkus: üldlahendi esitamine on keerukam juhul, kui kahel (või enamal)lahendiseerial on ühiseid lahendeid, kuid ükski nendest seeriatest ei sisaldu

tervikuna mõnes teises. Lahendiseeriad5

n�ja

2

k�(n, k ��) ei sisaldu

teineteises, kuid omavad ühiseid lahendeid (näiteks juhul n = 5 ja k = 2).Püüdke need lahendiseeriad esitada nii, et nendes korduvaid lahendeid eiole.

Näide 3. Mitu lahendit on võrrandil cos 1,5x =2

2lõigus � �,3 ?�� �

Ülesande lahendamiseks võime leida üldlahendi ja selle abil need lahendid,mis kuuluvad lõiku � �,3 .�� � Võrrandi lahendite arvu saab määrata ka lihtsa-

malt – selleks skitseerime funktsioonide y = cos 1,5x ja y =2

2graafikud

ja loeme jooniselt graafikute lõikepunktide (võrrandi lahendite) arvu.

Jooniselt näeme, et võrrandil on ette antud lõigus 6 lahendit.

Trigonomeetria

82

Leidke võrrandi2

cos1,52

x � üldlahend ja leidke selle abil täpsed lahen-

did lõigust � �,3 .�� �

Näide 4. Missuguste arvu m väärtuste korral on võrrandil cos 2x = 2 – 3m

lahendid lõigus ,4 2

� �� �� �� �

?

Kui ,4 2

x� �� �

� � �� �, siis –1 � cos 2x � 0.

Lahendame võrratusesüsteemi2 3 0

2 3 1.

m

m

� ����� � ���

�

�

Selle võrratusesüsteemi lahendamisel

saame, et2

1.3

m� �

Vastus:2

;1 .3

m� �� ��� �� �

Näide 5. Lahendame võrrandi 2cosx·cos2x = cos x.Viime cos x võrduse vasakule poolele ja toome selle sulgude ette:cosx (2cos 2x – 1) = 0, millest järeldub, etcos x = 0 või 2cos 2x – 1 = 0.Esimese võrrandi lahendid on

arccos 0 2 2 , kus .2

x n n n�

� �� � � � � � ��

Lahendame teise võrrandi:2cos 2x – 1 = 0 � cos 2x = 0,5 ja lahendivalemi järgi

2 arccos 0,5 2 2 ,3

x m m�

� � � � � � � � millest , .6

x m m�

� � � � �

Vastus: � �2 , , .2 6

x n x m n m� �

� � � � � � � � �

Kasulik teada! Mõningate lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendeidpole otstarbekas leida üldlahendi kaudu. Need leiame nii, nagu on näidatudnäites 1 (v.t. 3. alajuht).Võrrandi sin x = 0 lahendid on , ;x n n� � ��

cos x = 0 lahendid on , ;2

x n n�

� � � ��

Trigonomeetria

83

sin x = 1 lahendid on 2 , ;2

x n n�

� � � ��

cos x = –1 lahendid on 2 , .x n n� � � � ��

Analoogiliselt saab leida ka võrrandite sin x = –1 ja cos x = 1 lahendid.

Näide 6. Leiame võrrandi sin2 x – sin x = 0 lahendid vahemikust � �2 ;2 .� � �

Võrrandi sin2 x – sin x = 0 esitame kujulsin x (sin x – 1) = 0, millestsin x = 0 või sin x = 1.1) Kui sin x = 0, siis x = n�, kus n on täisarv. Vahemikku � �2 ;2� � � kuulub

kolm lahendit: –�; 0 ja �.

2) Kui sin x = 1, siis 2 , ;2

x n n�

� � � �� vaadeldavasse vahemikku kuulub

kaks lahendit: –1,5� ja 0,5�.Vastus: otsitavad lahendid on –1,5�; –�; 0; 0,5� ja �.

Näide 7. Lahendame võrrandi 6sin2 x – sin x· cos x – cos2 x = 3.

Asendame arvu 3 avaldisega 2 23sin 3cosx x� , saame

6sin2 x – sin x· cos x – cos2 x = 2 23sin 3cosx x� .Toome kõik liikmed vasakule poolele ja koondame sarnased liikmed:3sin2 x – sin x cos x – 4cos2 x = 0.

Tegemist on homogeense võrrandiga, mille lahendamiseks jagataksevõrrandi mõlemad pooled cos2 x – ga (cos x � 0).

Saime ruutvõrrandi tan x suhtes3tan2 x – tan x – 4 = 0, millest

tan x = –1, x = arctan(–1) + nπ = ,4

n n�

� � � � ja

tan x =4

3, x = arctan

4

3� �� �� �

+ mπ, .m��

Vastus:4

, arctan , ( , ).4 3

x n x m n m� � �

� � � � � � � �� �

Näide 8. Lahendame võrrandi sin cos 2.x x� �

Selle võrrandi lahendamiseks teisendame võrduse vasakut poolt nii, et saakskasutada kahe nurga summa siinuse valemit:

1 12 sin cos 2,

2 2x x

� �� �� �

� �millest

Trigonomeetria

84

2 2sin cos 1.

2 2x x� �

Kuna2

sin cos ,2 4 4

� �

� � siis võime võrrandi ümber kirjutada kujule

sin cos cos sin 14 4

x x� �

� � � � ehk

sin 1,4

x�� �

� �� �� �

millest

( 1) arcsin1 ,4

nx n n�

�� � � � �� ehk ( 1) , .2 4

nx n n� �

�� � � � ��

Näidake iseseisvalt, et võrrandi lahendid saab esitada ka kujul

2 , .4

x n n�

�� � ��

Vastus: ( 1) , .2 4

nx n n� �

�� � � � ��

Näide 9. Lahendame võrrandi cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.Teisendame vahe sin 2x – sin 4x korrutiseks:

2 4 2 4sin 2 sin 4 2sin cos 2sin cos3 .

2 2

x x x xx x x x

� �� � � � �

Esialgse võrrandi saab nüüd esitada nii:cos 3x – 2sin x cos 3x = 0.Edasi lahendame nii, nagu 5. näites, s.t.cos 3x(1 – 2sin x) = 0.

Lahendades võrrandid cos 3x = 0 ja sin x =1

2saame kaks lahendihulka

6 3

nx

� �

� � ja ( 1) ; , .6

kx k n k�

�� � � ��

Teine lahendiseeria sisaldub tervikuna esimeses lahendiseerias (veendugeselles) ja seetõttu ei pea seda vastuses eraldi välja tooma.

Vastus:6 3

nx

� �

� � , n ��.

288. Leidke võrrandi üldlahend ja erilahendid lõigus � �, 2 .�� �

1) sin x = 1 2) cos x = –0,5 3) tan x = 34) cos x = 2009 5) sin (–x) = –1 6) tan x = –1

289. Leidke võrrandi üldlahend.1) sin 3x = 0,5 2) cos(3x + 1) = 0,5

Trigonomeetria

85

3) tan3

23 3

x�� �

� �� ��

4) sin2

44 2

x�� �� � �� �

�

5)3

sin6 2

x� �

� �� �� �

�

� 6) � �2

cos2

x ��

290. Lahendage võrrand, mis teisendub ühele ja samale funktsioonile võilahutub tegureiks (v.t. näidet 5)

1) 2sin x + sin 2x = 0 2) cos 2x + cos x = 03) sin 2x = sin x 4) sin2 x – cos2 x = 0,55) tan2 x + 3tan x = 0 6) cos2 x = sin2 x7) 2cos2 x = 3sin x + 2 8) sin2 x = 1 + cos2 x

291. Lahendage võrrand, mis on homogeenne või teisendub homogeenseks(v.t. näidet 7).

1) sin x + cos x = 0 2) cos 3x + sin 3x = 03) sin 2x = cos 2x 4) 3 sin cosx x�

5) 2 22sin cos 3sin cos 0x x x x� � � 6) 3sin x cos x + 4cos2 x = 0

292. Lahendage võrrand 2sin2 x + 4cos2 x = m, kui võrrandi üks lahend on60° ja –360° < x < 360°.

293. Lahendage võrrand sobivalt valitud võtte abil.

1) sin2 x =1 2) 24sin 1 0x � �

3) 24cos 4cos 3 0x x� � � 4) 2tan x = sin x

5) 2 39sin 27cos 10

2x x

�� �� � �� �

� �6)

� �

� �

3sin 2cos 1

sin cos 2

x x

x x

�

�

� �

�

� �

7) cos 120 3 sinx x� � �� 8)cos 5x = �sin 2x sin 3x

9) cos3 sin x + sin3 x cos x =1

410)

cos 2cos sin

1 sin 2

xx x

x� �

�

11) sin 4x + sin x = sin 3x + sin 2x12) cos x cos 4x + sin x sin 4x = �sin x

294. On antud funktsioon f(x) = sin x + cos x.1) Leidke funktsiooni f(x) väärtuste hulk

2) Lahendage võrrand � �2

( ) 1f x �

3) Arvutage11 2

6 3f f

� �� � � �� �� � � �

� � � �

Trigonomeetria

86

295. Vaatleme funktsioone f(x) = sin 2x ja g(x) = sin x.1) Avaldage sin 2x suuruse sin x kaudu.2) Lahendage võrrand f(x) = g(x) lõigul [0; 2�].3) Joonestage ühes ja samas teljestikus mõlema funktsiooni graafik.4) Leidke joonise abil need vahemikud lõigus [0; 2�], kus f(x) � g(x).

296. Joonestage funktsiooni� �

2

1 sin 2 cos 2( )

cos sin cos 2

x xf x

x x x

� ��

� �

graafik lõigus

, .2 2

� �� ��� �� �

Võrrelge seda graafikut funktsiooni y = tan x graafikuga.

297. Leidke võrrandi 2sin sinx x� lahendid lõigus � �; .�� �

298. Leidke võrrandi sin sinx x� lahendid lõigus � �2 ;2 .� � �

Sisukord

175

SISUKORD

1. Reaalarvud ja avaldised 5

1.1. Tehted harilike- ja kümnendmurdudega 5

1.2. Tehted ratsionaalarvulise astendajaga astmetega 6

1.3. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine 8

1.4. Tehted juurtega. Juuravaldise lihtsustamine 10

1.5. Protsentarvutus 14

1.6. Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine 20

2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 22

2.1. Lineaarvõrrandid- ja võrrandisüsteemid 22

2.2. Ruutvõrrandid ja ruutvõrrandisüsteemid 26

2.3. Murdvõrrandid 28

2.4. Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid 29

2.5. Juurvõrrandid 32

2.6. Eksponent- ja logaritmvõrrandid 33

2.7. Võrrandite ja võrrandisüsteemide koostamine 40

3. Võrratused ja võrratusesüsteemid 48

3.1. Lineaarvõrratused- ja võrratusesüsteemid 48

3.2. Ruutvõrratus ja murdvõrratus. Intervallmeetod. 51

4. Aritmeetiline ja geomeetriline jada 56

5. Funktsiooni uurimine ilma tuletiseta 62

5.1. Funktsiooni määramispiirkond ja nullkohad 62

5.2. Lineaar- ja ruutfunktsioon 65

5.3. Segaülesanded 67

6. Trigonomeetria 69

6.1. Põhiseosed ja tuletatud valemid 69

6.2. Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine 73

6.3. Arkusfunktsioonid 76

6.4. Funktsioonide omadused ja nende graafikud 78

Sisukord

176

6.5. Trigonomeetrilised võrrandid 79

7. Jada ja funktsiooni piirväärtus 87

8. Funktsiooni tuletis, selle rakendusi 92

8.1. Funktsiooni tuletis. Tuletiste tabel 92

8.2. Joone puutuja ja normaali võrrand 96

8.3. Funktsiooni uurimine 100

8.4. Ekstreemumülesanded 108

9. Integraal ja selle rakendusi 114

10. Vektorid. Joone võrrand 121

10.1. Tehted vektoritega 121

10.2. Sirge võrrand tasandil ja ruumis 126

10.3. Ringjoone võrrand 131

11. Planimeetria 133

11.1. Seosed joonelementide vahel 133

11.2. Kolmnurk 134

11.3. Nelinurgad 140

11.4. Ringjoon, ring, kaar ja sektor 143

12. Stereomeetria 144

12.1. Kuup, risttahukas ja rööptahukas 145

12.2. Püramiid 149

12.3. Silinder 151

12.4. Koonus 152

12.5. Kera 154

13. Tõenäosusteooria ja statistika 156

Programmid Wiris ja GeoGebra 162

Vastuseid 165

Sisukord 175