altana vortrag
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25. Oktober 2005
Schwach dissipative Timoshenko Systeme mit second sound –
Globale Existenz und exponentielle Stabilität
Universität KonstanzFachbereich Mathematik und StatistikLehrstuhl Prof. Dr. R. Racke
Diplomand: Michael Pokojovy
Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke
Timoshenkos Balkentheorie
Stephan Timoshenko
(1878-1972)
Balken sind im allgemeinen mehrdimensionale Festkörper. Die Balkentheorien beschäftigen sich mit gewissen Approximationen, welche das elastische Verhalten von Festkörpern aufgrund ihrer Längscharakteristiken beschreiben.
Beispiel
Beispiel: Eine Brücke kann als Balken betrachtet werden, indem man die Querschwingungen vernachlässigt.
Schwingende Saite
•Als das einfachste Beispiel eines Balkens (sowie eines elastischen Körpers) kann eine schwingende Saite dienen:
Schwingende SaiteDie Schwingungen werden durch die hyperbolische Differentialgleichung
0),,0(,0),(),(
2
2
2
2
≥∈=∂
∂−∂
∂=− tLxx
xtu
t
xtuuu xxtt
beschrieben. Diese Gleichung heißt Wellengleichung.
Man definiert die Energie der Lösung der Wellengleichung:
( )∫ +=L
xt dxxtuxtutE0
22 ),(),(2
1)(
Die Energie bleibt erhalten, d.h. constEtE == )0()(
kinetische Energie potentielle Energie
Kopplung mit Wärmeleitung
• Die elastischen Schwingungen eines Körpers sind mit
dem Wärmefluss eng verbunden.
• Bei der reinen Wellengleichung ist dieser
Zusammenhang aber nicht berücksichtigt.
• Um die physikalischen Phänomene adäquater zu
beschreiben, benötigt man kompliziertere
mathematische Modelle.
Ergo:
Wärmeleitung
WärmeleitungDie Wärmeleitung lässt sich durch die parabolische Differentialgleichung
0),,0(,0),(),(
2
2
≥∈=∂
∂−∂
∂=− tLxx
xtu
t
xtuuu xxt
beschreiben. Diese Gleichung heißt Wärmeleitungsgleichung.
Man definiert die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung:
∫=L
dxxtutE0
2 ),(2
1)(
Die Energie fällt exponentiell ab, d.h. )0,()0()( 2 >≤ − αα cecEtE t
Wärmeenergie
Exponentielle Stabilität
t
)(tE
Die Energie der Lösung der Wärmeleitungsgleichung klingt exponentiell ab. Diese Eigenschaft heißt exponentielle Stabilität.
Mathematische Balkentheorie
• Die von Timoshenko vorgeschlagene Balkentheorie ist die
Verallgemeinerung der klassichen mechanischen Balkentheorie
von Euler und Bernoulli. Ihre mathematische Formulierung ergibt
ein System partieller Differentialgleichungen.
• Im R1 hat das Timoshenko System die Gestalt:
( )0
0
0),(
3
2
1
=+−=+++−
=−
txxxt
xxxxtt
xxtt
kb
γψκθθργθψϕψψρ
ψϕσϕρ
(Zuzüglich Anfangs- und Randbedingungen)
Energie des Timoshenko Systems
( )∫ +++++=L
xxtt dxxtkbtE0
23
2222
21 ),(
2
1)( θρψϕψψρϕρ
Energie
exponentielle obere Schranke
Klassisches Timoshenko System
• Es wurde für Timoshenko Systeme schon gezeigt:
1) Existenz einer eindeutigen globalen Lösung
2) Exponentielle Stabilität wegen Dissipation (Dämpfung durch Wärme) unter der Voraussetzung:
kb21 ρρ
=
Fourier vs. Cattaneo GesetzDie klassischen Wärmeleitungsmodelle (Fourier Gesetz)
0=− xxt θθ
modellieren unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Dieses physikalische Paradoxon wird für einige Situtationen behoben durch ein hyperbolisches Cattaneo Gesetz:
)(0 kleinxxttt τθθτθ =−+
Diplomarbeitsziel
• Meine Aufgabe ist es, die exponentielle
Stabilität und globale Lösbarkeit des
nichtlinearen Timoshenko Systems mit
second sound (Cattaneo Gesetz) zu
untersuchen.
Anwendung
• Reinigung von Chips mithilfe von Lasern
• Konstruktion von Brücken bei großen
Temperaturschwankungen
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!