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INSTITUTO DE FSICA DA UFBA

DEPARTAMENTO DE FSICA DO ESTADO SLIDO

DISCIPLINA: FSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)

Circuitos de Corrente Alternada

Considere um circuito com vrias malhas e constitudas de resistncias, capacitores e

indutores. Em alguma regio do circuito aplicada uma tenso alternada = o cost . Para

descrevermos o circuito, aplicamos a lei das malhas e dos ns e encontramos um sistema de equaes

diferenciais no homogneas que, em sua maiori a, no so simples resolv -las. Um caso bem trivial,

como o circuito RLC, envolve identidades trigonomtricas que so, para dizer o mnimo, tediosas. Para

contornarmos estas dificuldades e encontrarmos solues mais elegantes e concisas, faremos uso dos

nmeros complexos. Utilizaremos tambm uma generalizao da lei de Ohm para a corrente alternada,

isto , a lei de Ohm na forma complexa.

Definimos, ento, uma tenso complexa tjoe=V , onde a tenso fsica de interesse a parte

real de V, isto , = Re{V} = o cos t. Analogamente, definimos uma corrente complexa I onde a corrente

fsica a parte real de I, isto , I = Re{ I }. Como na lei de Ohm, existe aqui uma relao linear entre a

corrente e a tenso complexa. Se em circuitos de corrente contnua o parmetro que intermedia estas

duas grandezas a resistncia, em corrente alternada devemos ter tambm uma grandeza que

descreve o comportamento resistivo do circuito: a impedncia. Chamaremos de Z a impedncia

complexa do circuito, de forma que a lei de Ohm na forma complexa ser:

1. Aplicaes Em Circuitos

a. Circuito Resistivo

A resistncia R neste caso est simbolizando a associao de todas as

resistncias do circuito. U sando a lei das malhas, obtemos = R I, ou na notao

complexa V = R I. Comparando com a lei de Ohm V = ZI, obtemos ZR = R, ou

seja, a impedncia de um circuito puramente resistivo a prpria resistncia.

A corrente complexa ser dada por tjo

Re

R==

Z

VI enquanto que a corrente

fsica ser I = Re{I} = tcosR

o

. Observando a figura ao lado, vemos que os

mximos, mnimos e zeros tanto da tenso quanto da corrente ocorrem no mesmo

instante. Dizemos ento que a corrente est em fase com a tenso.

Tanto a tenso quanto a corrente complexas podem ser representados no plano complexo atravs dos

vetores girantes ou fasores.

t

I

V = Z I

2

Note que tjoe=V e tjo e

R=I so nmeros complexos que variam com o

tempo e, como o sentido de crescimento do ngulo t no plano complexo

antihorrio, os fasores tambm giram nesse sentido. Note que V e I giram ao

mesmo tempo, pois esto em fase.

b. Circuito Indutivo

A lei das malhas nos fornece dt

dL

I= , ou em termos de linguagem dos

complexos dt

dL

IV = (1). Assumimos aqui que a corrente oscila com a mesma

freqncia da fonte, pois se trata de uma oscilao forada.

Escrevemos ento )t(jme= II , onde Im a amplitude e a fase da corrente . Assim devemos ter:

II

== jejdt

d )t(jmI

Substituindo na equao (1), teremos V = j L I que, comparada com a lei de Ohm, nos leva a

LjL =Z .

Podemos escrever esta impedncia de outra forma. Basta lembrar que 2= jej , de forma que

22 == jLj

L eXeLZ , onde XL= L chamada de reatncia indutiva. A corrente ser dada por:

L

)t(jo

jL

tjo

L X

e

eX

e 2

2

=

==

ZV

I

Logo, a corrente do circuito ser: I = Re{I}

=

2I tcos

XL

o

Note que a corrente est defasada da tenso de /2. Neste caso dizemos que a corrente est

atrasada em relao tenso . Os diagramas da corrente e da tenso so :

c. Circuito capacitivo

A lei das malhas nos fornece C

q= . Diferenciando em relao ao tempo, teremos:

dt

dq

Cdt

d 1=

. Usando

dt

dq=I , teremos:

Cdt

d I=

.

C

t

I

Re

ImV

It

t

V

I Re

Im

3

Em notao complexa devemos ter: Cdt

d IV= (2). Como tjoe

=V , ento VV

== jejdt

d tjo .

Substituindo este ltimo valor na equao (2), obtemos C

jI

V = , ou seja, IVCj

= 1 .

Comparando com a lei de Ohm, chegamos a: C

j

CjC =

= 1Z

Lembrando-se que 2= jej , ento:

221 =

= jCj

C eXeCZ , onde

CXC

=1

chamada de reatncia capacitiva.

A corrente no circuito ser I = Re{I}, ou seja

+

=

2I tcos

XC

o . Note que neste circuito a

corrente est adiantada de /2 em relao a tenso.

2. Associao de impedncias

a. Em srie

Sejam duas impedncias Z1 e Z2 associadas em srie e submetidas a uma

tenso alternada V. A impedncia Z1 est submetida a uma tenso V1 e Z2

tenso V2 , onde V = V1+ V2.

Usando a lei de Ohm, teremos V = Z1 I + Z2 I = Ze q I, o que nos leva a:

Ze q = Z1 + Z2

Se tivermos N impedncias associadas em srie, teremos: =

=N

eq

1iiZZ

b. Em paralelo

Neste diagrama fcil ver que I = I1+ I2. Usando a lei de Ohm,

obtemos: eqZV

ZV

ZV

I =+=21

, onde V a tenso aplicada em cada

uma das impedncias. Assim:

21

111ZZZ

+=eq

Se tivermos N impedncias associadas em paralelo, devemos ter:

t

I

t

VI

Re

Im

Z1 Z2

V

V1 V2

Z1

Z2

V

II1

I2

4

=

=

N

1iieq Z

1Z1

3. Circuito RLC acoplado a uma f.e.m. alternada

Seja um circuito RLC em srie acoplado a uma f.e.m. alternada

= o cost. De acordo com a lei de Ohm, a corrente ser ZV

I = , onde

tjoe

=V a tenso complexa. Para a resoluo deste problema,

devemos calcular a impedncia total do circuito. Como os trs elementos

esto associados em srie, teremos : CLR ZZZZ ++=

+=

+=

CLjR

C

jLjR

1Z

Podemos escrever Z na forma Z = Z je onde Z e sero dados por:

22 1

+=

CLRZ

=

CL

Rtgarc

11

A corrente complexa ser:

)t(joj

tjo e

ZeZ

e

=

==

ZV

I

A corrente no circuito ser portanto I = Re{ I }, ou seja

)tcos(Zo

=I onde Z e esto acima descritos.

a. Ressonncia

. Note que a amplitude da corrente ir depender

da freqncia, uma vez que a impedncia Z tem

essa dependncia. Assim, podemos ter uma tenso

altssima, mas uma corrente baixa a depender do

valor da freqncia . Podemos fazer crescer este

valor usando-se o expediente de variar , at atingir

o ponto mximo da corrente Im, o que equivale ao

valor mnimo de Z.

R

L

C

R1

5

Isto ocorrer quando XL - XC = 0, ou seja, quando 01

=

CL , o que nos levar a

LCo

1== .

Em outras palavras, quando a freqncia da fonte for igual freqncia natural do sistema, a corrente no

circuito ir oscilar com amplitude mxima Im = o / R. Chamamos esta condio de ressonncia.

Este circuito tem utilidade, por exemplo, nos circuitos de rdio, onde usado como circuito

sintonizador. Neste caso a antena serve como fonte. Esta capta as ondas eletromagnticas, transformando

os campos eltricos oscilantes em correntes. Note que antena capta todas as freqncias, mas s ir

oscilar com amplitude mxima naquela que estiver em ressonncia. Para sintonizar uma outra estao de

rdio basta mudar a freqncia natural do circuito, alterando-se ou o capacitor ou o indutor.

4. Potncia mdia. Valor eficaz

Como vimos, a corrente assim como a tenso so grandezas que oscilam com freqncia ,

que podem variar desde alguns Hz - como na rede eltrica - at a ordem de MHz como nos circuitos de

rdio e TV. Assim, para medirmos os valores instantneos destas grandezas, necessitamos de

instrumentos adequados, tais como os osciloscpios, que respondam com preciso a estas variaes. No

entanto, em diversas ocasies no nos interessamos por estes valores instantneos, mas sim pelo valor

mdio ou valor eficaz. Antes de definirmos estas grandezas, precisamos conhecer como calcular a mdia

temporal de uma grandeza.

a. Mdia temporal

Suponha que um veculo percorra uma estrada com velocidade v1 durante um tempo t1 , com

velocidade v2 durante um t2 , com v3 durante t3 e assim sucessivamente. Para calcular a velocidade

mdia desenvolvida pelo veculo, simplesmente dividimos a distncia total percorrida pelo tempo total de

percurso.

L

L

321

332211

ttt

tvtvtvv

++++

=

Podemos generalizar este conceito para uma grandeza f qualquer. Seja f(t) uma grandeza que varie

discretamente com o tempo, ou seja, ela assume um valor constante f1 durante um tempo

t1 , f2 durante t2 e assim por diante. Se existe N intervalos de tempo, a mdia temporal de f(t) ser:

=

=

=++

+++=

N

1i

i

N

1i

ii

N21

NN2211

t

tf

ttttftftf

fK

K (3)

Supondo agora que f= f(t) seja uma funo contnua no tempo, o valor mdio ser obtido se fizermos as

somatrias da equao (3) para o limite ti 0. Se tomarmos a mdia entre os instantes to e t1 ento :

6

=1

o

1

o

t

t

t

t

dt

dt)t(f

f

Se f(t) for uma funo peridica de perodo T, costuma-se fazer esta mdia para N perodos.

Mostra-se que se a funo no for amortecida, a mdia para um intervalo de tempo igual a NT ser igual a

mdia tirada em um nico perodo T. Assim, colocando-se t1 = to + T, ento:

+

=

Tt

t

o

o

dt)t(fT1

f

Contudo, se f(t) for uma funo trigonomtrica como o seno ou coseno, a mdia ser nula, pelo

simples fato dessas funes assumirem igualmente em um perodo, valores positivos e negativos. Por

este motivo, costuma-se definir o valor mdio quadrtico:

2ffmq = ou +

=

Tt

t

2mq

o

o

dt)t(fT1

f

Seja P a potncia dissipada em um resistor R em um circuito de corrente contnua. Esse mesmo

valor tambm pode ser enc ontrado em um circuito de corrente alternada ao calcularmos a potncia mdia

P dissipada em R. Chamaremos de corrente eficaz e de tenso eficaz aos valores mdios quadrticos da

corrente e tenso necessrios para produzir aquela potncia mdia em um circuito de corrente alternada.

Assim, +

=

Tt

t

2ef

o

o

dt)t(IT1

I e +

=

Tt

t

2ef

o

o

dt)t(T1

Suponha que ( )= tcosoII . Assim:

( )+

=

Tt

t

22o

2ef

o

o

dttcosIT1

I . Como ( )21

dttcosT1

Tt

t

2o

o

=+

, obtemos 2

II oef=

Para a tenso tcos)t( o = , teremos +

=

Tt

t

22o

2ef

o

o

dttcosT1

, o que nos leva a: 2o

ef

=

d. Potncia Mdia

A potncia fornecida por uma fonte a um circuito dada por P = I . usando ( )= tcosoII e tcos)t( o = , obtemos a potncia instantnea transferida ao circuito:

( ) ( )== sentcostsencostcostcostcos)t(Poooo

2II . A potncia mdia

ser:

7

== +++

dttcostsenT1

sendttcosT1

cosIdt)t(PT1

P

Tt

t

2

Tt

t

oo

Tt

t

o

o

o

o

o

o

Usando o fato de que ( )21

dttcosT1

Tt

t

2o

o

=+

e 0dttcostsen

Tt

t

o

o

=+

, chegamos a:

= cosP oo2I

.

O termo cos chamado de fator de potncia. Em um circuito resistivo = 0 ( a corrente e

tenso esto em fase) e teremos:

efefooP I2

I

2=

= , o que nos remete para a definio de valor eficaz de corrente e tenso.

BIBLIOGRAFIA

1. Reitz J., Milford F., Fundamentos da Teoria Eletromagntica

2. Edminister J., Circuitos Eltricos

3. Purcell E., Curso de Fsica de Berkeley, vol.2