altura de un triangulo

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NOTAS DE CLASE 15 DE MAYO DE 2015 La sexta sesión de clase, se llevó acabo en uno de los salones del colegio Capellanía. Contaba con la presencia de la profesora Carmen Samper, quien era la encargada de dirigir la sesión de clase, la profesora Patricia Perry y la monitora del grupo, Andrea Ortiz, quienes eran acompañantes de la profesora Carmen. También asistieron 4 profesores del colegio: Andrea, Miguel, Dilia y Xiomara La profesora Carmen dio inicio a la clase preguntando sobre la solución del ejercicio b de la tarea planteada: Determine si la respuesta a la pregunta es Sí, No o No se sabe. Justifique su repuesta usando solo elementos del sistema teórico conformado en las sesiones anteriores. b) T es un punto tal que TY =TX . ¿Es T punto medio del XY ? Miguel comenta que realizo la tarea con Xiomara y que ellos decidieron que no se sabe. A pesar de que Miguel y Xiomara trabajanron juntos, las construcciones que cada uno proponía eran diferentes. Xiomara comenta la construcción que ella proponía: 1. Hace una circunferencia centrada en T. 2. Coloca los puntos X y Y en la circunferencia.

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Son las notas de clase de una clase de geometría en la cual discuten sobre la altura de un triángulo.

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NOTAS DE CLASE 15 DE MAYO DE 2015La sexta sesin de clase, se llev acabo en uno de los salones del colegio Capellana. Contaba con la presencia de la profesora Carmen Samper, quien era la encargada de dirigir la sesin de clase, la profesora Patricia Perry y la monitora del grupo, Andrea Ortiz, quienes eran acompaantes de la profesora Carmen. Tambin asistieron 4 profesores del colegio: Andrea, Miguel, Dilia y XiomaraLa profesora Carmen dio inicio a la clase preguntando sobre la solucin del ejercicio b de la tarea planteada:Determine si la respuesta a la pregunta es S, No o No se sabe. Justifique su repuesta usando solo elementos del sistema terico conformado en las sesiones anteriores.b) es un punto tal que Es punto medio del Miguel comenta que realizo la tarea con Xiomara y que ellos decidieron que no se sabe. A pesar de que Miguel y Xiomara trabajanron juntos, las construcciones que cada uno propona eran diferentes. Xiomara comenta la construccin que ella propona: 1. Hace una circunferencia centrada en .2. Coloca los puntos y en la circunferencia.

3. Traza el , y

De esta forma se obtena un tringulo issceles. (La propuesta descrita fue comentada en la clase, pero no fue construida con geometra dinmica). Miguel hizo un tringulo cualquiera y el arrastraba hasta que fuera issceles. La profesora Carmen cuestiona que porque con el arrastre. Lo siguiente lo escribi la profe Carmen en el tablero, aludiendo a las dos construcciones realizadas, la cual una es de Xiomara y la otra es de Miguel. Construccin robusta (Xiomara)Construccin blanda (Miguel)

con arrastre encuentra

La profesora Carmen comenta al respecto sobre las construcciones propuestas por Xiomara y Miguel: los dos terminaron haciendo triangulo, en que difieren las construcciones, la de Miguel es una construccin blanda, la de Xiomara es una construccin robusta. Luego de esto, cuando Xiomara estaba haciendo la tarea, empez a explorar en las figuras, de esa exploracin Xiomara concluye que: se convierte en punto medio siempre y cuando en la circunferencia se forma un dimetro. La profesora Carmen comenta que si la respuesta es no se sabe, se debe justificar en qu casos si se cumple y en qu casos no. 1 caso: se cumple si es dimetro de la circunferencia. 2 caso: no se cumple si no es dimetro de la circunferencia. A partir de esto, la profesora Carmen le pide a Xiomara que diga cul sera la conjetura segn la construccin que ella realiza. Xiomara intenta realizar una conjetura: Si el segmento , (Xiomara no haba escrito de manera formal la conjetura) Para solucionar la situacin, la profesora Carmen les da el sistema terico para que se vayan guiando de lo que se tiene y poder llevar a cabo una justificacin. La conjetura de Xiomara la formula la profesora Carmen, la cual quedara: si esta entre y entonces es punto medio del . Por otro lado se tendra: si no colineales entonces no es punto medio. La profesora Carmen pregunta a Miguel que porque la respuesta es no se sabe.Miguel responde que si no son colineales determinan un tringulo. La profesora Carmen sugiere buscar otra forma de escribirlo cuando se forma un tringulo issceles, para ello, vuelve y les dice que se pueden apoyar en el marco terico. Por otro lado, la profesora Carmen crea una justificacin de lo realizado por Miguel y Xiomara, la cual sera:Si y entonces por definicin de punto medio, es punto medio del segmento. Una manera ms formal de hacerlo sera: Qu seQu usoQu concluyo

1, Definicin de punto medio es punto medio del segmento .

La profesora Carmen cuestiona cmo se sabe que se usa la definicin de punto medio?, a lo cual dice que es porque se mira en el sistema terico, en el cual esta definicin de punto medio y esta cuadra perfecto con los datos que se tienen; luego, haba de como al estudiante se le puede facilitar el uso del sistema terico, dado que si el estudiante ve algo que se encuentra relacionado con estos datos, el estudiante va a decir: aqu profesora encontr la definicin de punto medio. La idea es que lo digan usando la teora. La anterior justificacin, sera la justificacin para el s, cul sera la justificacin para no. Se tiene la siguiente conjetura para el no:Si no colineales y entonces es vrtice de un tringulo issceles. Qu seQu usoQu concluyo

1. no colinealesDefinicin de TringuloExiste el

2. Existe el Definicin de Tringulo issceles El es issceles

Ya se encuentra resuelto el problema planteado, pero es posible llegar a otra solucin a partir de las dos partes de la respuesta no se sabe, por un lado si el punto pertenece al segmento este es punto medio, por otro lado, si no pertenece a segmento forma un tringulo issceles. El punto que hace posible que se den estas dos partes de la respuesta tiene una propiedad. Segn lo expuesto, Andrea dice que los puntos que cumplen esa propiedad son uno de los puntos pertenecientes a la mediatriz, para lo cual la profesora Carmen est de acuerdo y complementa diciendo que lo que se sabe de ese punto es que equidistan, lo que quiere decir que esos puntos estn en la mediatriz. Si se tiene que punto cumple , se concluye que pertenece a la mediatriz de , tengo cmo llegar a eso?, cuestiona la profesora CarmenXiomara afirma que a partir del sistema terico si se puede llegar a eso, luego de esto, para hacer uso del sistema terico, Miguel lee el hecho geomtrico de la mediatriz (si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los extremos del segmento). Luego la profesora Carmen pregunta que es lo que se tiene dado, con el fin de poder justificar lo que cuestiono. Para dar pautas de la justificacin, la profesora Carmen comenta que lo que se necesita saber para usar ese hecho geomtrico es saber que la mediatriz est en y la consecuencia seria la existencia de ese punto que equidista de los extremos del segmento. Si se quiere justificar tericamente toca introducir un hecho geomtrico, si no pertenece al puedo concluir que esta en la mediatriz?Dilia propone construir un punto que no pertenezca al segmento, luego construir la mediatriz y mirar si al poner igual las distancias ese punto se encuentra en la mediatriz. La profesora Carmen le pide a Dilia realizar la construccin. Pasos de la construccin propuestos por Dilia: 1. Hacer el .

2. Un punto cualquiera.

3. Toma la distancia de a y de a .

4. Arrastra hasta obtener la misma distancia. 5. Mediatriz del

Efectivamente, cuando se mueve el punto y las distancias son las mismas entonces pertenece a la mediatriz. A partir de esto, surge un nuevo hecho geomtrico:Hecho geomtrico de la equidistancia: si tengo puntos que equidistan de los extremos de un segmento entonces estos puntos pertenecen a la mediatriz. La profesora Carmen comenta que con geometra dinmica se puede hacer de manera inmediata la mediatriz, pero la construccin propuesta por Dilia comprueba que ese punto cumple las condiciones para que este pertenezca a la mediatriz. A partir del problema planteado, se puede dar una justificacin haciendo uso del sistema terico de porque la respuesta es no se sabe, por un lado, si est en la mediatriz equidista de los extremos de segmento, por otra parte, si est en la mediatriz y en el segmento entonces es punto medio. Las dos afirmaciones se pueden justificar con el nuevo hecho geomtrico de la equidistancia. Luego de discutido el problema, Miguel pregunta que si es mejor trabajar sin circunferencia para construir tringulos issceles, la profesora Carmen le dice que si por ejemplo va a trabajar la mediatriz, se podra decir a los estuantes que construyan tringulos issceles, seguramente algn estudiante sale con la construccin de la mediatriz, como puede que salga la construccin con circunferencia, es bueno que surjan diferentes opciones. Dilia comenta que con los chicos de sptimo, cuando estaban viendo polgonos regulares e irregulares, ella les daba un segmento y les peda ubicar 4 puntos de ese segmento para construir un rectngulo sin usar regla. Para la solucin de esta situacin planteada los estudiantes utilizan el comps. El comps es una herramienta muy til para transferencia de medidas. Despus de realizar el problema planteado y de reflexionar sobre la importancia de trabajar este tipo de ejercicios, se procede a realizar el siguiente punto, en el cual, de igual manera que en el anterior, debe escribir si la respuesta es s, no o no se sabe. es altura del Se tiene que est entre y ? La profesora Carmen pregunta que quien quiere hablar sobre eso. Xiomara sugiere hacer el esquema de justificacin, dado que esto hace que la demostracin y la construccin que realiza se ve organizada y le da pautas para continuarla.Dilia propone hacer un tringulo normal para mostrar la altura. La profesora Carmen pregunta si no sera mejor cambiar la concepcin del estudiante respecto a lo que considera l es la altura de un tringulo.Dilia pasa y hace en geogebra una construccin blanda. Pasos de la construccin propuesta por Dilia: 1. Hace un segmento al tanteo de manera vertical.

2. Hace una recta que sera la base.

3. Une los puntos de la recta y del segmento hasta formar un tringulo.4. Luego, el punto lo coloca de tal manera que sea punto medio del

Dilia comenta que en la construccin que ella realizo, se obtiene un tringulo issceles, que esta seria a construccin por la que ella empezara para introducir altura. A partir de la construccin realizada por Dilia, la profesora Carmen pregunta si el tringulo es issceles ese segmento es la altura. Por qu es la altura?, adicional pregunta a Dilia cual es la definicin de altura, dado que Dilia quiere involucrar el punto medio en la construccin. Dilia dice que esta es la perpendicular trazada desde un vrtice a la recta que contiene el lado opuesto, bueno, al segmento que tiene el lado opuesto; luego dice que es el segmento desde un vrtice al lado opuesto al punto medio del lado opuesto que contiene la recta. La profesora Carmen mueve el punto y pregunta si en ese caso sigue siendo altura o no.

Dilia dice que lo que ella realizo nicamente se cumple para el tringulo issceles, que ella movera la figura de la misma manera que lo hizo la profesora Carmen con la intencin de que ellos se den cuenta que la altura que quedo ah no es altura de un tringulo. La profesora Carmen comenta que si no es altura que no se refiera a ese segmento como altura. Luego Dilia dice que si el tringulo lo tiene de esa manera, ella tomara la altura del tringulo desde el punto . La profesora Patricia comenta que no siempre el punto medio determina la altura de un tringulo. A partir de la propuesta realizada por Dilia, Xiomara comenta que se pueden presentar diferentes tipos de tringulos y definir la altura para cada tringulo, se puede empezar por lo ms fcil que es el tringulo issceles. La profesora Carmen dibuja un tringulo issceles perceptiblemente (realiza una construccin blanda).

En la anterior construccin, si se mueve el punto este no estara en el segmento.

Lo primero que debe notar el estudiante es que el punto debe estar en el segmento. Luego, la profesora Carmen construye el punto en el segmento.

La profesora Carmen intenta rotar el tringulo para que no pierda la forma y hacerlo girar en torno a un punto. En el intento, mueve el punto y obtiene la siguiente construccin:

Dilia dice que en este caso utilizara el punto medio de para trazar la altura y trazara la perpendicular por ese punto medio. Y movera al punto hasta que quede en la recta perpendicular. Esa recta perpendicular seria ahora la mediatriz. En ese sentido, Dilia estara considerando que los nicos que tienen altura son los tringulos issceles. A partir de esta discusin, la profesora Carmen pregunta a Dilia cmo se construira la altura desde el punto . Mientras Dilia piensa como sera la construccin, Xiomara le explica a la profesora Patricia como ella construira la altura que pasara por el punto . La profesora Carmen le pide a Xiomara pasar y realizar la construccin de la altura que pase por el punto . Pasos de la construccin propuesta por Xiomara: 1. Recta que pase por el punto y .

2. Recta perpendicular a la que pase por .

3. Punto , que es interseccin de las dos rectas construidas. La profesora Carmen comenta que la altura es un segmento, por tanto la recta perpendicular se debera ocultar. Se construye el , adicional, tambin se debera ocultar la o puntearla, dado que la altura que de un tringulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene un lado del tringulo y cutos extremos son un punto de la recta y el vrtice del tringulo que no pertenece a la recta.

Dilia hace la aclaracin de que solo se refera al punto medio en el caso del tringulo issceles, que la intencin era mostrar cuales segmentos no eran altura. Respecto a esto, la profesora Carmen comenta que no es necesario meter lo del punto medio, eso podra confundir al estudiante, puede que lo incluya dentro de la definicin de altura; por otro lado, la profesora Patricia comenta que es muy difcil definir algn objeto a partir de las caractersticas que no tiene ese objeto, por ejemplo: para definir casa no es afortunado decir: esto no es una casa, esto no es una casa, esto no es una casa (cuando coloca este ejemplo va sealando objetos que no son casa, como un pupitre, una carpeta, entre otras) Qu es una casa?, definir casa a partir de otros objetos es muy difcil. Andrea por su parte comenta que lo que Dilia menciona es afortunado hacerlo ms adelante para decir que la atura de un tringulo issceles pasa por el punto medio. La profesora Carmen comenta como se podra introducir la altura, por un lado, se puede comenzar con la definicin y que ellos hagan la representacin, otra forma de abordarlo, seria mostrndoles la representacin y que ellos definan las propiedades que aparecen; lo que la profesora Carmen no hara es utilizar punto medio. Volviendo a la pregunta que planteaba el ejercicio: es altura del Se tiene que est entre y ?, la profesora Carmen pregunta cul sera la respuesta. Xiomara responde que la respuesta sera no se sabe. La profesora Carmen comenta que su justificacin sera con geometra dinmica. Andrea adiciona que el punto est entre y si es triangulo es acutngulo, pero si el tringulo es rectngulo y obtusngulo no se cumple.Luego de discutir ese punto, la prfoesora Carmen propone seguir con el siguiente punto, en el cual tambin se debe dar una respuesta de si, no o no se sabe. El siguiente ejercicio es: es mediana del . Es altura del tringulo?Andrea responde que no se sabe. Por otra parte, la profesora Patricia antes de seguir con el ejercicio planteado, sugiere que se haga la demostracin del anterior ejercicio propuesto, dado que Xiomara en algn momento haba mencionado realizar la justificacin, pero esta idea no se haba llevado acabo. A continuacin se presenta la justificacin en la cual la profesora Carmen con la ayuda de la profesora y de Xiomara desarrolla. Que sQue usoQue concluyo

1. es altura del Definicin de altura

2. Definicin de interestacia esta:1. A un lado de .2. En .3. En .4. A un lado de .