Γραμμική Άλγεβρα 2
Post on 28-Jul-2015
2.193 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
(Συνέχεια από προηγούμενο μάθημα)
Αποδεικνύω ότι η < , > ικανοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwartz: 2 2 2u v u v u v u v± ≤ + ⇒ + +
( ) ( )2 2 2 2 2 21 1, 2 24 4
u v u v u v u v u v u v< > = + − − = + + + −
( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1 22 2
u v u v u v u v u v u v= + − − ≤ + + − − =
Έδειξα ότι ,u v u v< > ≤
Για a∈ ( )r∈ θέλω να δείξω ότι , ,cu v c u v< >= < > Αρκεί να δείξω ότι
, , , , , ,
( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,
, ( )
2
c u v cu v c u v r u v r u v cu v
c r u v c r u v c r u v c r u v
c r u v c r u r c r u v c r u v
c r u v
< > − < > = < > + < > − < > − < > =
= − < > − < − > ≤ − < > + < − > =
= − < > + − ⋅ ≤ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =
= − ⋅ ⋅
Είναι 2, ,u v σταθ
Για r c→ έχω αρχική ποσότητα = 0
Επαλήθευση: Η δοθείσα στάθμη προέρχεται από το εσωτερικό γινόμενο 2,u u u< >=
Έστω cV και έστω ότι [ ], εσωτερικό γινόμενο πραγματικό στο χώρο V όταν αυτός θεωρηθεί δ.χ. επί του
, με [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈
Έστω , η μιγαδικών τιμών συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: [ ] [ ], , , , ,x y x y i x iy x y V= + ∀ ∈
Αποδείξτε ότι , είναι ένα ερμιτιανό γινόμενο στο V
Παρένθεση:
cV , { }1 2 3 4, , ,B u u u u= βάση του V και K =
dim 4V B= =
Αν Vω∈ τότε υπάρχουν 1 2 3 4, , ,C C C C ∈ τ.ώ. 1 1 2 2 3 3 4 4w C u C u C u C u= + + +
Αν C iλ λ λα β= + τότε ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4w i u i u i u i uα β α β α β α β= + + + + + + +
1 1 4 4 1 1 4 4.... ( ) .... ( )u u iu iuα α β β= + + + + +
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πράγματι,
α) Θδό: , ,x y y x=
[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= +
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , , ,y x y x i y ix y x y x i y ix y x x y i y ix= + ⇒ = − ⇒ = −
Αρκεί νδό [ ] [ ], ,i y ix i y ix= −
Όμως [ ] [ ]0 , ,x y ix iy x ix= + + = [ ] [ ], ,x iy y iy+ +
β) Θδο: , ,x ay a x y= [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , ,x ay ay x ay x i ay ix a y x i y ix a y x a x y= = + = + = =
γ) Θδο: , , ,x y z x y x z+ = +
Αποδεικνύω την προηγούμενη πρόταση και για τη μιγαδική περίπτωση, δηλ. αν V
εφοδιασμένος με
στάθμη που ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου υπάρχει εσωτερικό γινόμενο που την ικανοποιεί.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την πραγματική περίπτωση, μπορώ να προσδιορίσω εσωτερικό γινόμενο πραγματικό [ ], που προκύπτει από τη δοθείσα στάθμη.
Σε μια δεύτερη φάση, αποδεικνύοντας ότι το [ ], ικανοποιεί την [ ], 0x ix = προσδιορίζω το
[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= + από το οποίο η αρχική στάθμη δινόταν [ ] ( )2 21,4
x y x y x y= + − −
Θα δείξω για αυτό το εσωτερικό γινόμενο την ιδιότητα: [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈
Όμως [ ] ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1, 2 04 4 2
x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix= + − − = + − − − − = + − − =
(ισχύει από κανόνα παραλληλογράμμου)
top related