선형연립방정식 가우스소거법

연립 방적식. 가우스 소거법판별식.

구경원(돼지고기)

2011.09.24

선형 연립 방적식• 두 개 이상의 미지수를 포함하는 방정식의 조를 말한다.

• 미지수의 개수가 n 이고 최고의 m 차수 일 때, 그 연립방정식을 연립 n원 m차 방정식이라고 한다.

1n1n1,m11,1m01,0m1m

1n1n1,11,101,01

1n1n0,10,100,00

xaxaxab

xaxaxab

xaxaxab

해집합

• 연립방정식에 대해서 가능한 모든 해답의 집합을 “해집합” 이라고 한다.

}7

1x,

7

5{x 해집합

2x3x

12xx

10

10

10

존재한다. 무수히 해가

dczbyax

이다. 공집합"" 않는 존재하지 해가

2xx

1xx

10

10

• Ax = b

• 주어진 A와 b에 대해서 x는 무엇인가

1m

1

0

1n

1

0

1n1,m 1,1m1,0m

1n1,1,11,0

1n0, 0,10,0

b

b

b

x

x

x

a a a

a a a

a a a

1n1n1,m11,1m01,0m1m

1n1n1,11,101,01

1n1n0,10,100,00

xaxaxab

xaxaxab

xaxaxab

선형 연립 방정식 풀기

1 0 0

a 1 0

a a 1

1n1,

1n0, 0,1

1n1m

1n1n1,11

1n1n0,10,100

xb

xaxb

xaxaxb

• 를 통해서 한 개의 미지수 해를 구할 수 잇다.

• 구해진 미지수의 해를 이전 공식에 대입해서 또 다른 해를 구할수 있다.

• 위의 과정을 연쇄적으로 반복해서 해 집합을 구할 수 있다.

• 이러한 행렬을 행 사다리꼴 이라고 한다.

1n1m xb

행 사다리꼴

• 만야 임의의 행이 모두가 0이라면, 행렬에서 임의의 0이 아닌 행들 아래로 내릴수 있다. 다른 말로 하자면, 모든 0인 행렬은 행렬의 아래쪽에 놓인다.

• 임의의 행의 0이 아닌 첫 번째 원소는 1 이어야 한다.

• 각 선두 1은 이전 행의 선두 1보다 오른쪽에 있어야한다.

기약 행 사다리꼴(축약된 행 사다리꼴)

• 선두 1을 가지는 각 열은 다른 행들에서는 0이어야 한다.

기본 행 연산• 선형 연립 방적식을 풀기 위해서 선형 시스템의 성질을 보존하

는 행렬을 사용할 필요가 있다.

• 이러한 이유로 기본 행 연산 이라고 불리는 세가지 변한들 중에하나를 수행하는 행렬들로 제한된다.

0 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 k 1

1 0 0

0 a 0

0 0 1

1

두번째 행에 스칼라 a를 곱한다.

두번째 행에 k배를 해서 첫번째 행에 더한다.

두번째 행에 k배를 해서 첫번째 행에 더한다.

가우스 소거법

1. 행렬 A와 벡터 b를 첨가 행렬 이라고 불리는결합 한다.

2.기본 행 연산을 첨가 행렬에 수행한다.

- 선형 연립 방정식의 해를 얻거나 유일 해를 얻거나 유일 해를 계산하는 것이 가능한지, 해가없는지, 무한한 해가 존재하는지 알 수 있다

순서도1. 열p 에서 가장 큰 절대 값을 가지고 있는 원소

를 찾는다.

2. 만약 최대값이 0이라면 중단한다.

3. 만약 최대값이 p번째 행에 있지 않다면 행을 교환한다.

4. 중심 원소를 1로 만든다.

5. 아래 열 성분들을 지운다.

( 기준 열에 원소들이 0이 되도록 현재 행에서 p 번째 행에 특정값을 곱해서 뺀다)

6. 후 대입법을 수행한다.

5

5

3

1 3- 1

2 1 2

9 6 3

3

5

5

9 6 3

2 1 2

1 3 1

3 9z 6y3x

5 2z y2x

5 z 3yx

1번째 열을 살펴보면 최대원소가 3번째 행의 3이다.

따라서 3번째와 1번째 행을 교체한다.

4

5

1

2- 5- 0

4- 5- 0

3 2 1

3

5

1

1 3- 1

4- 5- 0

3 2 1

3

5

1

1 3- 1

2 1 2

3 2 1중심 원소를 1로 만들기 위

해서 새로운 1번째 행에1/3으로 스케일 한다.

2번째 행의 1번째 원소는2이다. 1번째 행에 -2를

곱해서 그것을 2번째 행에더하자.

3번째 행에 대해서도 마찬가지로 -1을 스케일해서

더하자.

21

53-

1

1 0 0

54 1 0

3 2 1

1

53-

1

2 0 0

54 1 0

3 2 1

4

53-

1

2- 5- 0

54 1 0

3 2 1

다른 행과 열에 대해서도똑같이 반복 계산 해준다.

행 사다리꼴 완성.

3/2

3(1/2)1)2(1

3z2y1x

1

4/5(1/2)3/5

4/5z3/5y

1/2z

3/54/5zy

13z2yx

21

53-

1

1 0 0

54 1 0

3 2 1

행렬의 역

b = Ax 방정식 풀기

양변을 A로 나누면 x = b/A

하지만 행렬은 나눗셈 연산을 가지지 않는다.

그래서 필요한 것이 행렬의 역 행렬 이다.

n*n 행렬 M의 역행렬은 이라고 표기한다.

역 행렬이 존재하는 행렬을 가역 행렬이라고 한다.

존재 하지 않는 행렬을 특이 행렬 이라고 한다.

1M

행렬의 곱셈에서의 역원

역원의 역원은 원본 행렬이다.

행렬이 정방 행렬이라고 역 행렬을 가지는 건 아니다.

IA1

AI1

AA

A)(A

AA

)(AA

11

1

111

I

I

가우스 소거법을 이용하여 역 행렬을 구할 수 있다.

00

0

0

1

0

0

1

eAx

곱하면 A를양변에 . . . . ,0}이며,{1,0,... . .e 여기서

eAx

하면 x열을 번째 첫 의A

1 0 0

3 31 0

2- 0 21

1 0 0

0 1 0

0 0 1

지운다. 성분을 더해 행에 두번째 곱해서 3을 행에 마지막

지우고 성분을 더해 행에 첫번째 곱해서 2를- 행에 마지막 넘어가서 열로 번째 세

1 0 0

0 31 0

0 0 21

1 0 0

3 1 0

2 0 1

해준다 스케일 1 /3 행을 두번째 넘어가서 열로 번째 두

0이므로 성분들이 아닌 성분이 중심 열에서 번째 첫

1 0 0

0 1 0

0 0 21

1 0 0

9 3 0

2 0 1

스케일한다 1/2로 행을 번째 첫

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

9 3 0

4 0 2

- 가우스 소거법이 역원을 구하는 데에 유용하기는하지만 많은 행렬들의 역원을 구하는 데에는 필요하지 않다.

- 게임에서 다루는 행렬들의 대부분은 간단한 역원을 가지고, 그 행렬의 형태를 아는 것이 역원을 계산 하는 것을 명백히 해준다.

1. 행렬 A가 직교행렬 이면, 역원은 전치행렬이다.

TAA 1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 01

2. 0이 아닌 요소들을 가지는 대각행렬

3. 대각은 모두 1이고 한 열 또는 한 행은 0이 아니다.

4. A행렬과 B행렬이 가역행렬이다.

c1 0 0

0 b1 0

0 0 a1

c 0 0

0 b 0

0 0 a1

1 0 0

y 1 0

x 0 1

1 0 0

y 1 0

x 0 11

111 ABAB)(

행렬식=판별식(determinate)정방행렬의 요소들을 평가한 결과인 스칼라 양이다.

행렬에 의해서 변화된 벡터의 크기가 얼마나 변화 하는가의 일반

적인 측정 단위로서 작동한다.

det(A) 또는 |A| 로 표기하며,

두 번째는 행렬의 요소들을 보여줄 때 종종 사용된다.

2*2 행렬의 열 들을 취하고 그것을 평행사변형의 변이면,

평행사변형의 면적과 동일

3*3행렬의 경우 판별식의 절대값은

기저벡터들로 구성된 평행육면체의 부피와 동일

여인수. 의a 성분 )는Adet(1)(

마이너. 의a 성분 는 )Adet(

행렬. 부분 구성한 제외해서 열을 j번째 행과 i번째 A에서는A

)Adet(1)(adet(A)

정의 재귀적 기준으로 를 j 열

)Adet(1)(adet(A)

정의. 재귀적 표준적인 선택해서 i를 행렬 임의의

ji ,ji ,

~j )( i

ji ,ji ,

~

ji ,

~

ji ,

~j )( i

n

1i

ji ,

ji ,

~j )( i

n

1j

ji ,

예제

6 3

4 2

5 3

3 2

5 6

3 4

?

5 6 3

3 4 2

2 1 1

det

1행과 1열을 제거한 부분행렬

1행과 2열을 제거한 부분행렬

1행과 3열을 제거한 부분행렬

eg)c(dhfg)b(difh)a(ei

h g

e ddetc

i g

f ddetb

i h

f edeta

i h g

f e d

c b a

det

bcadcdetbddetad c

b adet

16 3

4 22

5 3

3 21

5 6

3 41det(A)

판별식 3행렬의*3 일반적으로

판별식 2행렬의*2 일반적으로

det(A)

1)2.det(A

B)det(A)det(1.det(AB)

1

- 2*2, 3*3 행렬의 판별식 계산은 단순하다.

- 하지만 큰 행렬의 경우, 재귀적인 정의는 다루기 힘들어지고 계산비용도 측정 불가능한 시간이 소모될 수있다.

- 부동소수점 정밀도 문제들을 야기할 수도 있다.

판별식과 기본 행 연산들

- 행에 k를 곱하는 것판별식에 k를 곱한다.-한 행의 곱한 결과를 다른 행에 더하는 것아무런 영향이 없다.-행들을 교환하는 것판별식의 부호가 바뀐다.

12 1

3 1

13 1

2 1

21 1

4 2

교체한다. 행을 두번째 행과 첫번째

없다. 영향이 아무런 판별식에

것은 더하는 행에 다른 또 한것을 곱을 임의의 한행에

더한다. 행에 두번째 해서 두배를 행에 첫번째

11 1

2 1

곱한다 k를 판별식에도

마찬가지로 곱하면 행에 임의의 k를 스칼라

곱한다. 1/2를 행에 번째 첫

수반행렬과 역원

- 여인수 행렬

- 여인수 행렬의 전치가 수반 행렬

- 스위스 수학자인 가브리엘 크래머는 행렬의 역을 다음과 같이 수반 행렬로 계산 할 수 있다는 것을 증명 했다.

- Ax = b 에서 b가 영행렬이 아니고 A가 역행렬이 존재할 때 Ax = b는 유일한 해를 가진다.

)Adet(1)(C ji ,

~j )( i

ji ,

adjA

adj1 Adet(A)

1A

• 많은 그래픽 엔진들이 역원을 구하기 위해서 크래머의 방법을 사용하고 있다.

• 3 * 3, 4 * 4 행렬에 대해서는 크래머의 방법이 가우스 소거법 보다 더 빠르다

•END