مقاييس النزعة المركزية والتشتت

الحسينى حمزة السيد فريدمحمد احمد حمادة

محمد محمد اسماعيلشعبان فتحى محمدمحمد محمود قياتيعماد محمد موسيالعجمى محمود

Project Name

Measures of Central Tendency And Dispersion

Measures Of Measures Of

Central TendencyCentral Tendency

المستخدمة * المقاييس وتسمى

مقاييس النزعة المركزية

ميل لها العامة الحياة فى ظاهرة كل

؛ معينة نقطة حول إذا للتجمع ثم ومن

سنصل فإننا النقطة هذه تحديد استطعنا

إلى

القيم حولها تتجمع متوسطة التجمع * .قيمة إلى الميل ذلك يسمى

القيمة هذه حول

بالنزعة المركزية

البيانات • دقة على تؤثر ال سهلة بطريقة .يحسب

لها • المقياس حساب المطلوب المفردات جميع االعتبار فى .يأخذ

العامة • الحياة فى يستخدم مفهوم طبيعى معنى له .يكون

حسابه • طرق بتغير يتغير وال ، الظاهرة فى التغير .يعكس

تاما • خضوعا الجبرية للعمليات .يخضع

المتطرفة • او الشاذة بالقيم يتأثر .ال

الواحد • الحجم ذات العينات باختالف يتأثر .ال

مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central TendencyMeasures Of Central Tendency

مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central TendencyMeasures Of Central Tendency

الحسابى الوسطArithmetic MeanArithmetic Mean

الحسابى الوسطArithmetic MeanArithmetic Mean

التوافقى الوسطHarmonic MeanHarmonic Mean

التوافقى الوسطHarmonic MeanHarmonic Mean

الهندسى الوسطGeometric MeanGeometric Mean

الهندسى الوسطGeometric MeanGeometric Mean

الوسيطMedianMedianالوسيطMedianMedian

المنوالModeMode

المنوالModeMode

فى المستخدمة المقاييس أكثر من يعديصلح و الفهم وسهل بسيط انه حيث االحصاء

المجموعات بين . للمقارنة

Arithmetic MeanArithmetic Meanالوسط الحسابى

المبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فىالمتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم يمكن يمثل الحسابى الوسط فإن ؛ المجموعة

التالى النحو على عنه :-التعبير

n

xΣ== n

x+...+x+x n21x

للقيم مثال الحسابى الوسط ، 2احسب4 ،6 ،1

25.3=4

1+6+4+2=X يتأثر الحسابى الوسط

والجمع بالطرح

للقيم الحسابى فالوسط

X1+a ,X2+a ,… ,Xn+a يكون-: a+n

xΣ=x

مثالللقيم الحسابى الوسط احسب

3 5 7 2، ، ،1+25.3=25.4=

4

2+7+5+3=x يتأثر الحسابى الوسط

القسمة و بالضرب

للقيم الحسابى فالوسط

X1*b ,X2*b ,… ,Xn*b يكون-: b*

n

xΣ=x

مثالللقيم الحسابى الوسط احسب

6 10 14 4، ، ،2*25.4=5.8=

4

4+14+10+6=x

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فىفى البيانات ألن ذلك ؛ جديد نوع من صعوبة تواجهنا هنا

تكون التكرارى التوزيع جدولنظرا أجماال معروفة هى بل ، بالتفصيل معروفة غير

فئات فى . الختصارها؛ الفئة مدى على عادال توزيعا موزعة فئة كل فى المفردات كل ان سنفترض لذلك

الفئة مركز عند متجمعة تكون فئة كل فى المفردات اعتبرنا اذا كثيرا نخطئ لن اننا .اى

الحد = + للفئة األدنى الحد الفئة مركزللفئة األعلى

2

الحسابى الوسط يعرف ذلك وعلىنة بأ التكرارية للتوزيعات

بالتكرارات المرجح الحسابى . الوسط

الحسابى الوسط يعرف ذلك وعلىنة بأ التكرارية للتوزيعات

بالتكرارات المرجح الحسابى . الوسط

الفئات لمراكز الحسابى المناظرة X1, X2,… ,Xn الوسط بالتكرارات والمرجح

F1,F2,…,Fn يكون F

FX= Σ

Σxمثال

للعامل األسبوعى األجر يمثل التالى الجدولالخيمة شبرا بمنطقة محل مائتين فى :-بالجنية

للعامل المطلوب األسبوعى األجر متوسط حساب

بالجنية األسبوعي 55 35 - 25 - 15 - 5 - األجر المجموع 45 - المحالت 200 40 50 60 20 30 عدد

يمكن االستفادة من خصائص الوسط الحسابىيمكن االستفادة من خصائص الوسط الحسابى فى حل المثال بثالث طرقفى حل المثال بثالث طرق

لتحسين ســـــــــرعة الحسابلتحسين ســـــــــرعة الحساب

الطريقة المطولة

لفئات التكرارا)F(

- 530- 1520- 2560- 3550- 4540

SUM200

مراكزالفئات )X(

10 = 2/)5+15(20 = 2/)15+25(30 = 2/)25+35(40 = 2/)35+45(50 = 2/)45+55(

30*10=30020*20=40060*30=180050*40=200040*50=2000

6500

F*X

5.32=200

6500=

F

FX= Σ

ΣX

جنية32.5أى أن متوسط األجر األسبوعى للعامل هو

مقدار ) نطرحوهنا الطريقة المختصرة فرضيا وسطامراكز ( من ثابتثم إضافته الفئات الوسط نعيد إلى

حسابه بعد الحسابىالمعدلة ) الفئات مراكز ( .من

وذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندماوذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندما . . كسرية كسريةأوأوتكون مراكز الفئات أرقام كبيرة تكون مراكز الفئات أرقام كبيرة

لفئات مراكزالفئات التكرارا)F()X(

- 53010- 152020- 256030- 355040- 454050

SUM200

مراكزالفئاتالمعدلة )X1=X-30(

20-10-0

1020

30*-20=-60020*-10=-20060*0 =050*10 =50040*20 =800

500

F*X1

5.32=30+200

500=30+

F

1FX= Σ

ΣX

الطريقة األكثر اختصارا( نقسم وهنا على ) سابقا المعدلة الفئات مراكز

ثم ثابت ضربة مقدار الحسابى نعيد الوسط فىالنهائية ) الفئات مراكز من حسابه ) .بعد

لفئات مراكزالفئاتالمعدلة مراكزالفئات التكرارا)F()X()X1=X-30(

- 5301020-- 15202010-- 2560300- 35504010- 45405020

SUM200

اتالنهائية مراكزالفئ)X2=X1/10(

2-1-012

30*-2=-6020*-1=-2060*0 =050*1 =5040*2 =80

50

F*X2

5.32=30+10*200

50=30+10*

F

2FX= Σ

ΣX

منتظما عموماعموما التكرارى الجدول كان متساوية )إذا الفئات )أطوالفئة اى أمام صفر وضع يمكن ،فأنةاالرقام الفئة ،...3،-2،-1- ووضع لهذه السابقة الفئات ، أمام

االرقام 1 ووضع لها ،…،2 التالية الفئات .أمام

مقياس أخر

Geometric MeanGeometric Meanالوسط الهندسى

المبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فىالمتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم يمكن يمثل الهندسى الوسط فإن ؛ المجموعة

التالى النحو على عنه :-التعبيرn

n21 x*...*x*x=G باالستعانة باللوغاريتمات

n

Log=Log

xΣG

الحسابى مثال الوسط و الهندسى الوسط احسب2للقيم 4 2 16، ، ،

4=256=16*2*4*2=G 44

4=

602.0=4

16Log+2Log+4Log+2Log=Log

G

G

6=4

24=

4

16+2+4+2=X الحظالحظ

أنأن

الوسط الحسابى دائما أكبر من

)لنفس البيانات الوسط الهندسى )

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

الفئات لمراكز الهندسى المناظرة X1, X2,… ,Xn الوسط بالتكرارات والمرجح

F1,F2,…,Fn يكون

nnn2211 FX*...*FX*FX=G

F

)LogX(F=Log Σ

ΣG

الجدول مثال من الهندسى الوسط احسبالتالى :-التكرارى

لفئات -0 -ا 10- لمجموع30 - 2040 ا

583420التكرار

لفئات التكرارا)F(

- 05- 108- 203- 304

SUM20

مراكزالفئات )X(

5=2/)0+10(15=2/)10+20(25=2/)20+30(35=2/)30+40(

LogX0.6991.1761.3971.544

F*LogX3.4959.4084.1916.176

23.27

58.14=G

16.1=20

27.23=LogG

مقياس أخر

هو القيم من لمجموعه التوافقى الوسطالقيم هذه لمقلوبات الحسابى الوسط . مقلوب

Harmonic MeanHarmonic Meanالوسط التوافقى

المبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فى

المتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم يمكن يمثل التوافقى الوسط فإن ؛ المجموعة

التالى النحو على عنه :-التعبير

x1

=

nx1

+...+2

x1

+1

x1

=Σ

nnH

الوسط مثال و التوافقى الوسط احسبللقيم الحسابى الوسط و الهندسى

10 20 40 50، ، ،

15.25=400000=50*40*20*10=G 44

5.20=195.

4=

501

+401

+201

+101

4=H

30=4

120=

4

50+40+20+10=X

الحظالحظأنأن

من دائمادائما أكبر الحسابى الوسط

الوسط الهندسى أكبر من

) الوسط التوافقى )لنفس البياناتX<G<H

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

الفئات لمراكز التوافقى المناظرة X1, X2,… ,Xn الوسط بالتكرارات والمرجح

F1,F2,…,Fn يكون

XFF

=ΣΣH

التعامل حالة فى التوافقى الوسط استخدام مع

معدالت السر عاتمعدالت السر عات أو األسعار القياسيةاألسعار القياسيةمعدالت التغيرمعدالت التغيرأو

يفضل

مثالالتالى الجدول من التوافقى الوسط احسب

عات لسر التكرارى التوزيع يوضح 100والذى :-متسابق

hKm25.9=84.10

100=H مقياس أخر

لفئات التكرارا)F(

-2.520-7.550

-12.520-17.510

SUM100

مراكزالفئات )X(

5= 2/)2.5+7.5(10= 2/)7.5+12.5(15=2/)12.5+17.5(20=2/)17.5+22.5(

1/x0.20.10.0670.05

F*1/x45

1.340.5

10.84

/ عة سا ال سرعاتبالكيلومتر .2-ال 5-7. 5-12. 5-17. لمجموع5 ا

متسابقين 20502010100عددال

منتصف الوسيطالوسيط فى الموجودة القيمة هوتنازليا ) أو تصاعديا ترتيبها بعد . ( البيانات

MedianMedian الوسيطالمبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فى

المتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم فإن يمثل ؛ هو يكون الوسيطالمجموعة

رتبتها التى الترتيب ) المفردة ) بعد

n + 1 = رتبة الوسيط 2

عدد القيم فردى

عدد القيم زوجى

رتبتان هماالوسيط له

n & n + 1 2 2

مثالللقيم الوسيط 112احسب 3 4 5 6، ، ، ،

الترتيب للقيم التصاعدى

( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 112&6&5&4&3[ ]

3=2

1+5=OrderMedian

odd5=nيتأثر لم الوسيط

الشاذة بالقيمة112

مثالللقيم الوسيط 1،-3 -احسب 3 6 7 8، ، ، ،

(-3)1& (-1)2& (3)3& (6)4& (7)5& (8)6

4&3=1+2

6&

2

6=OrdersMedian

]even[6=n

5=Median

5.4=2

6+3=Median

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

يجبيجب الهابط أو الصاعد المتجمعين التكراريين الجدولين أحد من الوسيط حساب

مجموع المقابلة القيمةهو الوسيطالوسيط لنصف. التكرارات

2= رتبة الوسيط

FΣ لذلكلذلك

فى حالة الحساب من الجدول التكرارى *(المتجمع الصاعد )بعد تكوينه

= =الوسيطالوسيط

الوسيط + ) فئة طول الوسيط لفئة األدنى الوسيط - الحد رتبة

الوسيط لفئة السابق الصاعد المتجمع ) التكرار

الوسيط لفئة األصلى التكرار

ϝΎΜϣϞΤϣϦϴΘΎϣϰϓΔϴϨΠϟΎΑϞϣΎόϠϟϰϋϮΒγϷ ήΟϷϞΜϤϳϰϟΎΘϟϝϭΪΠϟ

ΔϤϴΨϟήΒηΔϘτϨϤΑ:-

ΏϮϠτϤϟςϴγϮϟϡΪΨΘγΎΑϞϣΎόϠϟϰϋϮΒγϷήΟϷςγϮΘϣΏΎδΣ.

ΔϴϨΠϟΎΑϲ ϋϮΒγ ϷήΟϷ5 - 15 - 25 - 35 - 45 - 55 ωϮϤΠϤϟΕϼΤϤϟΩΪϋ30 20 60 50 40 200

التكرارالفئات)F(

5-153015-252025-356035-455045-5540

SUM200

مركزالفئات

1020304050

المتجمع التكرارالصاعد

03050

110160

200

ƎǀſƺƫřŠŞţŹ

100=2

200=

2

FΣ=

33

10*)(35 50110_100

Median

.البيانات التى تكثر بها القيم الشاذة •

الجداول التكرارية المفتوحة من أحد طرفيها أو من •

.كليهما

.التوزيعات التكرارية غير المتساوية فى طول الفئات •

يفضاستخدام الوسيط فى حالة التعامل استخدام الوسيط فى حالة التعامل ل

معمع

مقياس أخر

األكثر المنوالالمنوال القيمة هوالبيانات بين .شيوعا

ModeMode المنوالالمبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فى

للقيم مثال المنوال احسب

2 3 4 2 11 2، ، ، ، أكثر القيم تكرارا هى ،2القيمة

2=Mode

المنوالالمنوالالشاذة بالقيم تأثر المركزية النزعة مقاييس أقل

ال يمكن اعتبار مقياساالمنوال

للنزعة المركزية

إن لم يكن هناك قيم • .مكررة

إن كان هناك أكثر من قيمة لها • .نفس الشيوع

3مثال 4 5 6 7، ، ، ،

2مثال 3 2 5 3 4، ، ، ، ،

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

القيمة المنوالالمنوال هوتكرار؛ ألكبر تكرار المقابلة أكبر لها التى للفئة تنتمى والتى

المنوالية) )الفئة فأن ذلك فى المنوالالمنوال وعلى يقعتأثير تحت المنوالية الفئة

للفئة الالحقو السابقالتكراريين :يحدد المنوال باستخدام قانون الرافعة .المنوالية

ذراعها = x القوةذراعها x المقاومة

مثالللعامل األسبوعى األجر يمثل التالى الجدول

الخيمة شبرا بمنطقة محل مائتين فى :-بالجنية

للعامل المطلوب األسبوعى األجر منوال .حساب

ΔϴϨΠϟΎΑϲ ϋϮΒγ ϷήΟϷ5 - 15 - 25 - 35 - 45 - 55 ωϮϤΠϤϟΕϼΤϤϟΩΪϋ30 20 60 50 40 200

الفئة المنوالية = 25-35

لها أكبر تكرار(60(

2التكرار 0

السابق

المنوال

25

5التكرار 0

الالحق

35

بداية الفئة المنوالية

نهاية الفئة المنوالية

- 10سس

)س_10(50=)س(20

=س70

500=14.7

= 7.14 + 25المنوال = جنية32.4

المنوال تحديد بيانيابيانيايمكن

التكرارى المدرج رسم من

المدرجالتكرارى

010203040506070

15-15 15-25 25-35 35-45 45-55

32.14

Mode

مقياس أخر

التشتت مقاييس

االلتواء

المدى

المعيارية الدرجات

المعياري اإلنحراف

التفلطح

اإلختالف معامل

الربيعي المدى نصف

المتوسط اإلنحراف

Rالمدى

إذا كان لدينا مجموعة من المشاهدات فإن المدى لهذه البيانات يساوي أكبر قيمه للبيانات

مطروح منها أصغر قيمه للبيانات

minmaxمن العالقة R

أما في حالة الجداول التكرارية فإن المدى يساوي مركز الفئة الكبرى مطروح منها مركز

الفئة الصغرى

أوجد المدى لدرجات الطالب اآلتية82 ,40 ,62 ,70 ,30 ,80

مثال

الحـــل

523082 R

82أكبر قراءة =

30أصغر قراءة =

احسب المدى لدرجات مجموعة من الطالب الموضحة في الجدول اآلتي

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

مثال

مركز الفئة الكبرى =

2

99905.94

مركز الفئة الكبرى =

2

49405.44

R 5.445.49 50

الحـــل

Qنصف المدى الربيعي

1Qإذا كان الربيع األول لمجموعة بيانات هو

3Qإذا كان الربيع الثالث لمجموعة بيانات هو

فإن نصف المدى الربيعي يتعين من العالقة 2

13 QQ

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

احسب نصف المدى الربيعي ألعمار الطالب الموضحة في الجدول اآلتي

مثال

الفئاالفئاتت

الحدود الحدود الفعلية الفعلية للفئاتللفئات

التكراالتكرارر

من من أقل أقلالحدود الحدود الدنيا الدنيا للفئاتللفئات

التكرار التكرار المتجمع المتجمع الصاعدالصاعد

40-4940-49 39.5-49.539.5-49.5 22 من من أقل أقل39.539.5

00

50-5950-59 49.5-59.549.5-59.5 99 من من أقل أقل49.549.5

22

60-6960-69 59.5-69.559.5-69.5 1515 من من أقل أقل59.559.5

1111

70-7970-79 69.5-79.569.5-79.5 1111 من من أقل أقل69.569.5

2626

80-8980-89 79.5-89.579.5-89.5 22 من من أقل أقل79.579.5

3737

90-9990-99 89.5-99.589.5-99.5 11 من من أقل أقل89.589.5

3939

00 من من أقل أقل99.599.5

4040

المجموعالمجموع 4040

104

n

2f

1f

105.495.59 L

Q1رتبة

A

باستخدام قانون الربيعات i=1عندما L

ff

fn

AQ

12

1

14

10211

2440

5.491

Q

10211

2105.491

Q

Qدرجة 39.581

الفئاالفئاتت

الحدود الحدود الفعلية الفعلية للفئاتللفئات

التكراالتكرارر

من من أقل أقلالحدود الحدود الدنيا الدنيا للفئاتللفئات

التكرار التكرار المتجمع المتجمع الصاعدالصاعد

40-4940-49 39.5-49.539.5-49.5 22 من من أقل أقل39.539.5

00

50-5950-59 49.5-59.549.5-59.5 99 من من أقل أقل49.549.5

22

60-6960-69 59.5-69.559.5-69.5 1515 من من أقل أقل59.559.5

1111

70-7970-79 69.5-79.569.5-79.5 1111 من من أقل أقل69.569.5

2626

80-8980-89 79.5-89.579.5-89.5 22 من من أقل أقل79.579.5

3737

90-9990-99 89.5-99.589.5-99.5 11 من من أقل أقل89.589.5

3939

00 من من أقل أقل99.599.5

4040

المجموعالمجموع 4040

104

n

2f

1f

10L

Q1رتبة

A

304

3

n2f

1f

Q3رتبة

A

باستخدام قانون الربيعات عندما i=3

Lff

fn

AQ

12

1

34

3

102637

264

120

5.693

Q

Qدرجة 14.733

102637

26305.693

Q

213 QQ

2

39.5814.73 38.7

االنحراف المتوسط .. DM

لها الوسط الحسابي

إذا كان لدينا مجموعة من nxxxx المشاهدات و لتكن ,...,,, 321

x

فإن االنحراف المتوسط يتعين من العالقة اآلتيه

n

ii xx

nDM

1

1..

مثال

الحـــل

أوجد االنحراف المتوسط ألعمار مجموعة من الطالب 6 ,5 ,7 ,7 ,8 ,9 ,9 ,5

ix xxi xxi

78

56x

25.18

10.. DM

n

ii xx

nDM

1

1..

66

55

77

77

88

99

99

55

5656

--11

--22

00

00

11

22

22

--22

00

11

22

00

00

11

22

22

22

1010

االنحراف المتوسط في حالة الجدول التكراري

هي الوسط الحسابي

إذا كان لدينا جدول تكراري مراكز الفئات له nxxxx هي ,...,,, 321

x

فإن االنحراف المتوسط يتعين من

n

iii xxf

nDM

1

1..

nffff ,...,,, 321 ولها التكرارات

حيث

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

احسب االنحراف المتوسط لدرجات الطالب الموضحة في الجدول اآلتي

مثال

الفئاتالفئات التكرارالتكرار مراكزالفئمراكزالفئاتات

40-4940-49 22

50-5950-59 99

60-6960-69 1515

70-7970-79 1111

80-8980-89 22

90-9990-99 11

المجموعالمجموع 4040

xxi xxi xxf ii ii xf

ixif

44.544.5

54.554.5

64.564.5

74.574.5

84.584.5

94.594.5

8989

490.5490.5

967.5967.5

819.5819.5

169169

94.594.5

26302630

--21.2521.25

--11.2511.25

--1.251.25

8.758.75

18.7518.75

28.7528.75

21.2521.25

11.2511.25

1.251.25

8.758.75

18.7518.75

28.7528.75

42.542.5

101.25101.25

18.7518.75

96.2596.25

37.537.5

28.7528.75

325325

401

k

iifn

i

k

ii xfn

x

1

175.65

40

2630

n

iii xxf

nDM

1

1.. 125.8)325(

40

1.. DM

االنحراف االمعياري S

إذا كان لدينا مجموعة من nxxxx المشاهدات و لتكن ,...,,, 321

يتعين من العالقة Sفإن االنحراف المعياري اآلتيه

n

i

n

iii x

nx

nS

1

2

1

22 1

1

1

احسب االنحراف المعياري ألعمار الطالب في مثال : 5, 6, 7, 9, 8المرحلة االبتدائية و هي

ix2ix

88

99

77

66

55

3535

6464

8181

4949

3636

2525

255255

n

i

n

iii x

nx

nS

1

2

1

22 1

1

1

22 )35(

5

1255

15

1S

5.22452554

12 S

581.15.2 S

االنحراف المعياري في حالة الجدول التكراري

يتعين من Sفإن االنحراف المعياري العالقة اآلتيه

n

i

n

iiiii xf

nxf

nS

1

2

1

22 1

1

1

إذا كان لدينا جدول تكراري مراكز nxxxx الفئات له هي ,...,,, 321

nffff ,...,,, 321 ولها التكرارات

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

احسب االنحراف المعياري لدرجاتالطالب الموضحة في الجدول اآلتي

مثال

الفئاتالفئات مركز مركز التكرارالتكرارالفئةالفئة

40-4940-49 22

50-5950-59 99

60-6960-69 1515

70-7970-79 1111

80-8980-89 22

90-9990-99 11

المجموعالمجموع 4040

الحل

xifi

xf ii xf ii

2

44.544.5

54.554.5

64.564.5

74.574.5

84.584.5

94.594.5

8989

490.5490.5

967.5967.5

819.5819.5

169169

94.594.5

26302630

3960.53960.5

26732.2526732.25

62403.7562403.75

61052.7561052.75

1428014280 . .55

8930.258930.25

177361773600

n

i

n

iiiii xf

nxf

nS

1

2

1

22 1

1

1

24012 )2630(177360

140

1

S

5.17292217736039

12 S

67.10S

معامل االختالف ..VC

يعرف معامل االختالف أو التشتت لمجموعة بيانات كاآلتي:

x

sVC ..

13

13..QQ

QQVC

أو

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

احسب معامل االختالف بطريقتين لدرجات الطالب الموضحة في الجدول اآلتي

مثال

الطريقة األولى

x

sVC ..

67.10S

75.65x

75.65

67.10.. VC 167.0

الطريقة الثانية

39.581 Q

13

13..QQ

QQVC

14.733 Q

39.5814.73

39.5814.73..

VC

111.0.. VC

المتغير المعياريZ

من العالقة Zيعرف المتغير المعياري

s

xxZ ii

حيث

x الوسطالحسابي sاالنحراف

المعياري

درجة في مقرر اإلحصاء حيث 82حصل طالب على درجة وانحراف معياري 75كان متوسط الدرجات هو

درجة في مقرر الرياضيات89 درجات ثم حصل على 10 درجة و انحراف81 وكان متوسط الدرجات للرياضيات هو

درجة في أي من المقررين كانت درجة استيعاب16 معياري هذا الطالب أعلى

مثال

الحـــــــــل

الدرجة المعيارية لمقرر اإلحصاء

s

xxZ iإحصاء

10

7582 إحصاءZ 7.0إحصاءZ

الدرجة المعيارية لمقرر الرياضيات

s

xxZ iياضيات الر

16

8189 ياضيات Zالر 5.0ياضيات Zالر

من ذلك نجد أن استيعاب الطالب لمقرر اإلحصاء أعلى من الرياضيات

vمعامل االلتواء

يتعين من إحدى العالقات اآلتية

حيث

s

medxV

)(3

s

xV

mod

33

s

mV

3

3 )(1 xxn

m i

3

3 )(1 xxfn

m ii

بيانات في جدول تكراري

بيانات عادية

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

احسب معامل االلتواء لدرجات الطالب الموضحة في الجدول اآلتي

مثال

الحـــــــــل

75.65x

s

xV

mod

s

medxV

)(3

67.10

5.6575.65

5.65mod5.65med 67.10s

67.10

)5.6575.65(3 07.0

023.0

Kمعامل التفلطح

يتعين من العالقة اآلتية

حيث

44

s

mK

4

4 )(1 xxn

m i

4

4 )(1 xxfn

m ii

بيانات في جدول تكراري

بيانات مباشرة

الفئاتالفئات 40-4940-49 50-5950-59 60-6960-69 70-7970-79 80-8980-89 90-9990-99

عدد عدد الطالبالطالب

22 99 1515 1111 22 11

احسب معامل االلتواء و معامل التفلطح لدرجات الطالب الموضحة في الجدول اآلتي

مثال

الفئاتالفئات مركز مركز التكرارالتكرارالفئةالفئة

40-4940-49 22 44.544.5 8989 3960.53960.5

50-5950-59 99 54.554.5 490.5490.5 26732.2526732.25

60-6960-69 1515 64.564.5 967.5967.5 62403.7562403.75

70-7970-79 1111 74.574.5 819.5819.5 61052.7561052.75

80-8980-89 22 84.584.5 169169 14280. 514280. 5

90-9990-99 11 94.594.5 94.594.5 8930.258930.25

المجموعالمجموع 4040 26302630 177360177360

الحل

xifi

xf ii xf ii

2

الحـــــــــل

xxi 2)( xxi 3)( xx

i 4)( xx

i

3)( xxfi i 4)( xxfi i

--21.2521.25

--11.2511.25

--1.251.25

8.758.75

18.7518.75

28.7528.75

451.56451.56

14.0614.06

1.561.56

76.5676.56

351.56351.56

826.56826.56

--9595.659595.65

--158.175158.175

--1.951.95

669.9669.9

6591.756591.75

23763.623763.6

203906.43203906.43

197.68197.68

2.432.43

5861.435861.43

123594.43123594.43

683201.43683201.43

--19191.319191.3

--1423.571423.5755 --29.2529.25

7368.97368.9

13183.513183.5

23763.623763.6

407812.86407812.86

1779.121779.12

36.4536.45

64475.7364475.73

247188.86247188.86

683201.43683201.43

2367187236718755

1404494.451404494.45

4

4 )(1 xxfn

m ii35112.36)1404494.45(

40

14 m

591796.8723671875)(40

13 m3

3 )(1 xxfn

m ii

67.10S

33

s

mv 17.487

77.1214

591796.87

)67.10(

591796.873

v

44

s

mK 08.27

57.12961

36.351112

)67.10(

36.3511124

K