“ ОТКРИВЕН НОВИ, НАЈВЕЋИ ПРОСТ БРОЈ ”

ВАЉЕВО, 26. 2. 2013.

ВЕЉКО ЋИРОВИЋ

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

“ОТКРИВЕН НОВИ, НАЈВЕЋИ ПРОСТ БРОЈ”

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Теорема (Еуклид). Постоји бесконачно много простих бројева.

Доказ. Претпоставимо супротно, тј. да постоји коначно много простих бројева:

а да су сви остали природни бројеви сложени.

nppp ,,, 21

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Тако би и број

по претпоставци био сложен.

Па би био дељив са неким од простих бројева који су побројани. Међутим, он при дељењу са сваким од ових бројева даје остатак 1. Контрадикција.

121 npppm

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Основни став аритметике

Теорема. Сваки природан број n, већи од 1, може се на јединствен начин представити у облику производа простих чинилаца.

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

ЈЕДОСТАВНИ ПРИМЕРИ:

2 x 3 x 3 = 18 2x 3 = 18

42=2 x 3 x 748=2 x 3

2

4

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Канонска факторизација броја Nn

kkpppn 21

21

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Теорема. Нека је канонска факторизација природног броја а, тада су сви његови делиоци облика:

nnpppa 21

21

nnpppd 21

21

niii ,1,0 где су,

Па, је укупан број позитивних делилаца броја а једнак:

)1()1)(1( 21 n

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Теорема. Ако је p прост број и важи p|ab, тада је p|a или p|b.

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Теорема. За произвољан број постоји k узастопних сложених природних бројева.

Nk

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Један такав низ узастопних сложених бројева је:

1)!1(1123)1()1(

3)!1(3123)1()1(

2)!1(2123)1()1(

2

1

kkkkkka

kkkka

kkkka

k

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Две важне теореме у вези са простим

бројевима из модуларне аритметике

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Теорема (Мала Фермаова) Ако је p прост број и p не дели цео број a, тада је

Теорема (Вилсон) Ако је p прост број, тада је

)(mod11 pa p

)(mod1)!1( pp

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

РАСПОДЕЛА ПРОСТИХ

БРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ

- скуп свих простих бројева

Функција која броји све просте бројеве мање од броја х.

P|},:{|)( Ppxppx

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Последица Теореме (Еуклид)

- Постављано је питање да ли се, и поред оваквог понашања, ова функција може асимптотски проценити неком другом функцијом која би пружила више информација о њој.

)(lim xx

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Главни резултати:(Чебишев) Постоје позитивни бројеви А и В, тако

да је за све x>2:

(Адамар, Вале-Пусен) (У литератури на енглеском Prime Number Theorem - PNT)

1ln

)(lim x

xx

x

x

Bxx

x

Ax

ln)(

ln

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Уламова спирала

Stanislaw Ulam, 1963.

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Прости бројеви у аритметичким низовима

(Дирихлеова теорема)

Постоје узајамно-прости природни бројеви d и a, такви да постоји бесконачно много простих бpојева облика dn + a

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

ПРИМЕРИ АРИТМЕТИЧКИХ НИЗОВА СА ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

Хвала на пажњи!