Институт Космических Исследований РАН

Численное моделирование течений вращающейся мелкой воды

Карельский К.Карельский К. В. В. Петросян А.Петросян А. С.С. Славин А.Славин А. Г.Г.

Институт Космических Исследований РАН

Таруса 2009

Физическая постановка задачи

Вращающийся слой жидкости над неоднородной поверхностью

b(x,y)

h(x,y,t)

u(x,y,t)v(x,y,t)

z

Уравнения вращающейся мелкой воды:

2 2

2 2

0

2

2

hu hvh

t x y

hu ghhu huv bgh fvh

t x y x

hv ghhv hvu bgh fuh

t y x y

, .x yfv g k fu g kx y

Сведение решения задачи о вращающейся «мелкой воде» над ровной подстилающей поверхностью к решению задачи о течениях мелкой воды над комплексной нестационарной границей:

2 2

2 2

0

2

2

x

y

hu hvh

t x y

hu ghhu khuv bgh gh

t x y x x

hv gh khv hvu bgh gh

t y x y y

Конечно-разностное представление силы Кориолиса в Конечно-разностное представление силы Кориолиса в численных моделях Годуновского типа для течений численных моделях Годуновского типа для течений

вращающейся мелкой воды.вращающейся мелкой воды.

Разработан конечно-разностный метод для исследования течений вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью сложного профиля. Такие течения характерны для крупномасштабных явлений в атмосфере и океане планет.

Влияние силы Кориолиса на поток жидкостиВлияние силы Кориолиса на поток жидкости

к

Квази-двухслойное представление.

Конечно-разностная схемаКонечно-разностная схема

1 2, 1 2, 1 2, 1 2, , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 21, ,

t t t t t t t tx y x y x y x y x y x y x y x yt t

x y x y

H U H U H V H VH H

X Y

2

, 1,

1 2,

2, 1,

1 2, 1 2,

2

1, ,

1 2,

21, ,

1 2, 1 2,1

, , 1 21,

2

2

2

2

x y x ytx y

x y x y t tx y x y

x y x ytx y

x y x y t tx y x y

t tx y x yt

x y

B Bg H i

K KH U

B Bg H i

K KH U

U H UH

, ,1, 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1

,

t tx y x yt t t t t t

x y x y x y x y x y x y tx y

H UV H U V YH

H

2

, , 1

, 1 2

2, , 1

, 1 2 , 1 2

2

, 1 ,

, 1 2

2, 1 ,

, 1 2 , 1 21

, 1 2,1,

2

2

2

2

x y x ytx y

x y x y t tx y x y

x y x ytx y

x y x y t tx y x y

t tx y x y xt

x y

B Bg H i

K KH U

B Bg H i

K KH U

V H UYH

, ,11 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, , 1

,

t tx y x yt t t t t t

y x y x y x y x y x y tx y

H VV H U V XH

H

Сравнение предложенного алгоритма с известными Сравнение предложенного алгоритма с известными методами расчета течений вращающейся мелкой водыметодами расчета течений вращающейся мелкой воды

Wave-propagation метод (пунктирная линия) и well-balancing метод (штрих - пунктирная линия).

Схема корректировки параметров потока

Wave-propagation метод.

• Wave-propagation метод, основан на решении дополнительной задачи Римана в центре каждой ячейки, внутри которой разность потоков подбирается таким образом, чтобы в точности уравновесить влияние силы Кориолиса в стационарном случае. • Well-balancing метод, в основе которого лежит схема гидростатической реконструкции подсчета потоков на гранях ячеек, использующая решения стационарных состояний.

Коррекция потоковых величин на гранях вычисляемой ячейки не зависит от значений гидродинамических величин в соседних ячейках.

Конечно-разностные схемы для 1-D задачи со ступенчатой границей

Wave-propagation метод:

1 2 1 2 1 2 1 21

2 21 2 1 2 1 2

1 2 2 11 2 1 2 1 2 1

1

21

/2

t t t ti i i it t

i i

i i i

t tt t i ii i i i i t

iti

H U H UH H

X

H U gH

H UU H U gH XH

H

gH a

1 2 1 2 1 2 1 21

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 11

2 21 2

1

2 /1 1

2 2

t t t ti i i it t

i i

t ti i i i it t i ii i t

ii i

H U H UH H

X

H U gH H UH U

U XHH

gH ga gH a

Well-balancing метод:

1 2 1 2 1 2 1 21

2 21 2 1 2 1 2

1 2 2 11 2 1 2 1 2 1

21 2

1

21

/2

1

2

t t t ti i i it t

i i

i i i

t tt t i ii i i i i t

i

i

H U H UH H

X

H U gH

H UU H U gH XH

H

gH a ga

Квази-двухслойный метод:

Результаты численного моделированияРезультаты численного моделирования

Классическая задача геострофической адаптации, известная как задача Россби:

0( ,0)

( ,0) 0

( ,0) ( )jet

h x h

u x

v x Vv x

Начальное возмущение: 2

(1 tanh(4 / 2))(1 tanh(4 / 2))( )

(1 tanh(2))jet

x L x Lv x

Нормализованный профиль .( )jetv x

1, 0.25h Ro Bu Эволюция глубины , в случае

Эволюция распространения акустико-гравитационных волн, в результате воздействия начального возмущения при использовании квазидвухслойного метода.

( )jetVv x

Результаты численного моделированияРезультаты численного моделирования

Потенциальная завихренностьПотенциальная завихренность

v uf

x yQ

h

Потенциальная завихренность в начальный (сплошная линия, ) и конечный (штрих-пунктирная линия, ) моменты времени.

0,2 ft T16 ft T

Наблюдается сохранение инварианта - потенциального вихря, со временем. Максимум функции сдвигается в антициклонную область, а минимум потенциальной завихренности со временем увеличивается.

Q

Расчет вращающейся мелкой воды над подстилающейРасчет вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью параболического профиляповерхностью параболического профиля

Начальные параметры ветра: 0 m/c 20 m/cu v

Эволюция течения жидкости/газа под влиянием силы Кориолиса над горой;

верхние графики – поля скоростей, нижние – свободная поверхность.

Эволюция теченияЭволюция течения

Характерное время одного оборота системы в целом было получено равным 25 часам, что, с достаточной точностью, соответствует природному феномену (характерное время одного оборота системы в целом для задач геофизической динамики составляет сутки).

Моделирование течений жидкости над неоднородным профилем Моделирование течений жидкости над неоднородным профилем дна в присутствии произвольной внешней силыдна в присутствии произвольной внешней силы

Уравнения мелкой воды, для течений жидкости с учетом внешней силы над неоднородной подстилающей поверхностью в двумерном случае:

2 2

2 2

0

2

2

x

y

hu hvh

t x y

hu ghhu huv bgh E h

t x y x

hv ghhv hvu bgh E h

t y x y

x y

k kg E g E

x y

Задача о разрушении двумерной дамбы над наклонной Задача о разрушении двумерной дамбы над наклонной подстилающей поверхностью с учетом гидравлического тренияподстилающей поверхностью с учетом гидравлического трения

2 2

2 2

0

2 1

2

2 1

2

hu hvh

t x y

hu ghhu huv bgh u u h

t x y x

hv ghhv hvu bgh v v h

t y x y

42 32gn h

0.007n

Схема расчетной области и расположения контрольных точек двумерного распада разрыва.

Задача о разрушении двумерной дамбы над наклонной Задача о разрушении двумерной дамбы над наклонной подстилающей поверхностью с учетом гидравлического тренияподстилающей поверхностью с учетом гидравлического трения

Результаты численного моделированияРезультаты численного моделирования

Зависимость глубины жидкости от времени в различных контрольных точках. Сплошная черная линия – результат предложенного квазидвухслойного метода; сплошная серая линия – результат

лабораторного эксперимента; пунктирная линия – результат численного WAF метода.

Результаты численного моделированияРезультаты численного моделирования

Зависимость глубины жидкости от времени в эксперименте с наклонной подстилающей поверхностью. Лабораторным измерениям соответствуют тонкие линии: пунктирная – точке Р2 , сплошная – точке О. Результаты вычислений квазидвухслойным методом показаны жирными линиями: серая линия – точка Р2, черная – точка О.

Зависимость глубины жидкости от времени в эксперименте с наклонной подстилающей поверхностью. Результаты вычислений, полученные WAF методом: сплошная линия – в

точке О, пунктирная – в точке Р2.

Зависимость скорости жидкости в направлении x от времени в точке Р5. Сплошная жирная серая линия – зависимость, полученная экспериментально; сплошная тонкая серая линия – зависимость, полученная численно на основе WAF метода; сплошная жирная черная линия – зависимость, полученная с помощью предлагаемого квазидвухслойного метода.

Результаты численного моделированияРезультаты численного моделирования

• Разработано квазидвухслойное представление течений вращающейся мелкой воды, описывающее силу Кориолиса в численных методах Годуновского типа.

• Определена структура вертикальной неоднородности течения под влиянием силы Кориолиса, представленной фиктивной подстилающей поверхностью.

• Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением, и найдена соответствующая ей горизонтальная неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющая консервативность силы Кориолиса.

• Предложен численный алгоритм для изучения течений вращающейся мелкой воды для произвольной подстилающей поверхности.

• Работоспособность алгоритма продемонстрирована на примере решения классической задачи геострофической адаптации, известной как задача Россби.

• Осуществлено численное моделирование крупномасштабного течения атмосферы над подстилающей поверхностью параболического профиля и получено качественное согласие с представлениями геофизической гидродинамики.

• Предложенный алгоритм обобщен на случай произвольной внешней силы.

Выводы:Выводы:

Публикации по теме работыПубликации по теме работы

1. Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water// Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling. 2009. Vol. 3. Принята в печать.

2. Карельский К.В, Петросян А.С, Славин А.Г. Численный метод для исследования течений мелкой воды над сложным профилем дна в присутствии внешней силы, Математическое моделирование. 2009. Принята в печать.

3. Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Advanced numerical analysis of rotating shallow water equations on complex boundary. Eighth Annual Meeting of the European Meteorological Society, Amsterdam, 2008.

4. Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water. 2nd International Symposium on Shallow Flows, Hong Kong, 2008.

5. Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Numerical simulation of flows of a heavy nonviscous fluid with a free surface in the gravity field over a bed surface with an arbitrary profile. Euromech Colloquium 501, Mixing of coastal, estuarine and riverine shallow flows, Eindhoven, 2008.

6. К. V. Karelsky, A.S. Petrosyan, A. G. Slavin. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water. International Conference "Mesoscale meteorology and air pollution", Odessa, Ukraine, 15-17 September 2008, pp 54-55.

7. Slavin A.G. Modeling of flows of rotating shallow water by Godunov-type method based on quasi-two-layer presentation, Proceedings of the V Conference of Young Scientists devoted to Cosmonautics Day, Moscow, 2008, p.40

8. Slavin A.G. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water, Proceedings of the XXX Conference of Young Scientists, Department of Mechanics and Mathematics, Moscow State University, 2008.