ЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные уравнения второго и высших...
Post on 07-Jan-2016
79 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения - формула Остроградского – Лиувилля - теорема о понижении порядка - структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения - метод Лагранжа вариации произвольных постоянных – пример }
Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка имеет вид y(n)+p1(x)y(n-1)+….+ pn-1(x)y’+pn(x)y = f(x) , где y – искомая функция, а pk(x) и f(x) – заданные функции, определенные и непрерывные на некотором отрезке [a,b].
Частное решение получается при закреплении постоянных C1 , C2 , … ,Cn , получаемое с использованием начальных условий.
При уравнение называется неоднородным, при f(x) = 0 – однородным.
0xf )(
Общим решением уравнения является функция y = (x, C1, C2, ……, Cn ) , зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.
Если функция f - правая часть дифференциального уравнения
y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1))
является непрерывной в некоторой замкнутой (n+1) - мерной области D пространства: oxyy’,…,y(n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по каждому из аргументов функции f , то каждой внутренней точке P0 (x0,y0,y’0,….,y0
(n-1)) области D соответствует, и притом
единственное, решение y = (x), удовлетворяющее заданным начальным условиям
y = y0, y’ = y’0 , ….. , y(n-1)0 при x = x0
т.е. (n)(x)= f(x, (x), ’(x), ….., (n-1)(x) ); (x0) = y0, ……., (n-1)(x0) = y(n-1)0
Однородное линейное уравнение допускает нулевое решение. Это (тривиальное) решение соответствует нулевым начальным условиям.
Введем линейный дифференциальный оператор
Дифференциальные уравнения запишутся как или .
Если y1 (x) является решением неоднородного уравнения, то
Оператор L обладает свойствами линейности и линейной комбинации
Тривиальное решение однородного уравнения:
)()()( xPdxd
xPdxd
xPdxd
L n1n1n
1n
1n
n
yxPdxdy
xPdx
ydxP
dxyd
yL n1n1n
1n
1n
n
)()()()(
)()( xfyL 0yL )(
00yL 0y )(
)()( xfyL 1
)()()( vLuLvuL )()( uLuL )()()( kk11kk11 uLuLuuL
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух функций и если известны частные решения уравнений с каждым из слагаемых в правой части, то сумма этих частных решений есть частное решение исходного дифференциального уравнения
Теорема - о частных решениях однородного линейного уравненияЛюбая линейная комбинация частных решений линейного однородного дифференциального уравнения также является частным решением этого уравнения Доказательство
000yyL 0yL 0yL kk11k1 )(,)(,,)( Теорема - о частных решениях неоднородного линейного уравнения
Доказательство
)()(),()()()()()()( xfyL xfyL xfxfxf xfyL 221121
)()()()()()( xfxfxfyLyL yyL 212121
Теорема - о связи частных решений неоднородного и однородного линейных уравнений
Доказательство
0xfxfyLyLyyL 1212 )()()()()(
Разность любых двух частных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения есть частное решение соответствующего(с той же левой частью) однородного линейного уравнения
Понятие линейной независимости частных решений рассмотрим на примере однородного дифференциального уравнения второго порядка
)()( xqdxd
xpdxd
L 2
2
0yL )(
Две функции y1 и y2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их линейная комбинация не обращается в ноль ни каких значениях коэффициентов (не обращающихся одновременно в ноль), т.е. если )00( 0yy 21
В противном случае функции называются линейно зависимыми.
Две функции y1 и y2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным constyy 21 /
В противном случае функции называются линейно зависимыми.
@@ Решить дифференциальное уравнение второго порядка:
0ydx
yd2
2
xy1 sin xy2 cos
constxx
cossin
0xx cossin
xCxCY 21 cossin
Решение
Две функции y1 и y2 и являются линейно независимыми на некотором интервале, если их вронскиан на этом интервале нигде не обращается в ноль т.е. если:
В противном случае функции называются линейно зависимыми.
21
2121 yy
yyyyW
),( 212121 yyyyyyW ),(
Определителем Вронского называется функциональный определитель
0yy
yyyyW
21
2121
),(
то общее решение однородного линейного уравнения есть комбинация линейно независимых частных решений
)()()(
),,,(
1nn
1n2
1n1
n21
n21
n21
n21
yyy
yyy
yyy
yyy
yyyW
Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка вронскиан запишется в виде
Если 0yyyW n21 ),,,(
nn2211 yCyCyCY
@@ Решить ЛОДУ 2 с заданными начальными условиями :
0x
ydxdy
x1
dx
yd22
2
x1
y xy 21 , xC
xCY 21 0
x2
x
11
x1
x
x1
xW
2
),(
01xx
CxC 2
1
x21
2x
Y
Решение
1(1)y 01y ,)(
11xx
CC 2
21
21
C 21
C1CC
0CC21
21
21 ,
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения y1 и y2 .
0yxqdxdy
xpdx
yd2
2
)()(
Если известно одно из частных решений – y1 , то второе можно найти по формуле Остроградского - Лиувилля
x
0xdxxp
21
12
ey
dxyy
)(
~2211 yCyCY ~
top related