直线的倾斜角和斜率 ( 二 )
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1. 掌握过两点的直线的斜率公式,牢记公式形式特点及适用范围;
2. 进一步了解向量的作用; 3. 了解斜率和倾斜角是对直线倾斜度从数和型两方面的刻画。教学重点:两点的直线的斜率公式。教学难点:斜率公式的推导。
1. 给定直线的倾斜角 α ,如何求斜率?
2. 若 k≥0 ,则 α 的范围是 ___________. 若 k<0 ,则 α 的范围是 _____________.
k=tan α
0 ° < α < 90 °
90 ° < α < 180 °
( 1 )直线的倾斜角为 α ,则直线的 斜率为 tan α ;( )( 2 )直线的斜率为 tan β, 则直线的 倾斜角为 β; ( ) ( 3 )所有的直线都有倾斜角 , 故所有的直线都有斜率 ;( )
3. 判断正误:
×
×
×
X
Y
O
P1
P2
Pαα P1
P2
O X
Y
Pαα
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则直线 l 的一个方向向量可取为
,, 1212 yyxxP
21PPOP
12
12
12
12 ,tanxx
yyk
xx
yy
1 、过两点的直线的斜率公式
,yy,xxPP 121221 v
,tan1
2
v
vak
如果向量 , 则向量
)0(, 121 vvvv 是直线 l 的方向 v),(
121
1
与vvv
平行
即 ),1(),1(1
2 kv
v 也是直线 l 的
一个方向向量 .
2 、直线方向向量与斜率的关系
⒈ 斜率公式与两点的顺序无关。 ⒉ 若 y1=y2 , x1≠x2 时,直线与 x 轴平 行则 k=0 ,若 y1≠y2 , x
1=x2 ,直线与 x 轴垂直 , 则 k 不存在。 ⒊ 在同一直线上的任何两点所确定的斜率都等。
小结回顾小结回顾
引申根据
12
12tanxx
yyk
可以用来解决那些类型的问题?(1) 已知 α 求 k, 已知 k 求 α;(2) 已知 P1, P2 的坐标求 k ;
(3) 已知 k 及 x1 、 x2 、 y1 、 y
2 中 的三个量可求第四个量;(4) 证明三点共线。
例题 3 求过 A ( -2 , 0 ), B ( -5 , 3 )两点的直线的斜率和倾斜角
解: 1tan,1
25
03
即k
00 1800 0135∴ 这条直线的斜率是 -1 ,倾斜角是 1350
例题 4
求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 α
① P1(-2,3),P2(-2,8) ; ② P1(5,-2),P2(-2,-2) ; ③ P1(-1,2),P2(3,-4) ;
答案:①k 不存在, α=900 ;②k=0, α=00;
③k=-3/2, α=π-arctan3/2.
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