Математическое моделирование задачи о внедрении...
Post on 22-Jan-2016
66 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство
Ванина Снежанна
135 группа
Основные этапы решения
Цель: Определение и исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в
рамках теории плоской деформации идеального жесткопластического тела на примере задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство
Этапы:1. Построение геометрии решения пластической области; составление уравнений, определяющих
положение особенностей поля линии скольжения и свободных подвижных поверхностей, ограничивающих деформированное тело в процессе пластического течения.
2. Определение поля скоростей перемещений в пластической области, удовлетворяющего граничным условиям.
3.Определение нормальной скорости распространения линии разрыва, скоростей перемещений и скорости подвижного центра веера линий скольжения, по которым определяется поле деформаций в пластической области.
Внедрение клина в жесткопластическое полупространство.Автомодельное решение
v – скорость внедрения клина
с – глубина внедрения клина
Вследствие симметричности пластического течения рассмотрим правую половину пластической области ABDEC деформированного материала, состоящую из треугольников ABD и AEC равномерного напряженного состояния и центрированного веера ADE, в центре которого сходятся прямолинейные линии скольжения семейства β.
α ,β – взаимно ортогональные семейства линий скольжений
u ,v – компоненты скорости перемещений
Геометрия пластической области
)sin(cos
1
c
h
sin1
cos2cos
Рассмотрим ∆OBF и ∆AFC. Т.к. площадь вытесняемого материала равна площади внедренной части клина, то:
AFCOBF SS
hACc
hAFгде
hc
hAFACS
tgcOFcOBгде
tgcOFOBS
CAF
CAF
,cos
:
),90sin()cos
(2
1)90sin(
2
12
1,:
,2
1)90sin(
2
1 2
Выражая AH из ∆AFH и ∆ACH, получаем:
OB=cAB=AC=h
И подставляя (2) в (1), получим:
(2)
(1)
(3)
Геометрия пластической области
cyx BB ,0
)sin(,sin hyhx AA
0)),cos((sin CC yhx
Согласно выбранной системе координат , крайние точки рассматриваемой части пластической области имеют следующие координаты: точка A:
точка B:
точка C:
Точка C, согласно предложенной схеме, всегда лежит на первоначальной линии контакта. Уравнения для соответствующих линий BDEC имеют вид:
Линия BD:
)( 00 xxkyy
cxtgy )4
(
Линия DE:
Линия EC:
2,
2:,
sin
cos
h
RгдеRyy
Rxx
A
A
))cos((sin)4
( hxtgy
(4)
(6)
(5)
Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений
4cosG
Известно, что модуль градиента функции определяется через производную этой функции по нормали к линии уровня:
dn
dt
dn
dfyxgradf ),(
С другой стороны, производная
Следовательно, нормальная скорость движения линии разрыва определяется из соотношения:
22
11
y
f
x
fgradfG (7)
Используя формулу (7) для уравнений соответствующих линий BDEC будут иметь вид:
Уравнение задано в явном виде
Линия BD: cxtgy )4
(
tyxf ),( , то функция дифференцируема по соответствующей координате.
Тогда: (8)
Gdt
dn
: ,L f x y tL dn
Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений
)sin(cos2
1,
)sin(cos
)sin(,
)sin(cos
sin
,4
,4
,sincos
dt
dR
dt
dy
dt
dxгде
dt
dR
dt
dy
dt
dxG
AA
AA
Это уравнение задано в параметрическом виде, тогда частные производные функции определяются соотношениями:
Линия DE:
.
,,2
,2
:,sin
cos
областиойпластическвскольжениялиниивееранногоцентрирова
положениезадающийпараметрнекоторыйгдеh
RгдеRyy
Rxx
A
A
Принимая это во внимание, получим:
(9)
y
t
y
fx
t
x
f constx
constx
consty
consty
,
Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений
0,, tyx
t
y
y
f
t
xx
f
,
Уравнение линии EC представляет собой уравнение заданное в неявном виде
частные производные определяются следующим образом:
, тогда
Линия EC: ))cos((sin)4
( hxtgy
Значит, нормальная скорость G будет иметь вид:
sincos
cossin4
sin
G (10)
)sin(cos
1
c
h, где
Нормальная скорость распространения линии разрыва поля скоростей перемещений
EC;
DE
BD;
для
дляdt
dR
dt
dy
dt
dx
для
G AA
,sincos
cossin4
sin
;4
,4
,sincos
,4
cos
sincos
sin
dt
dx A
sincos
sin
dt
dyA
sincos2
1
dt
dR
Учитывая полученные ранее соотношения скорости G, можем написать:
, где:
Деформация на жесткопластической границе
йперемещенискоростей
разрывалинииненияраспростраскоростьнормальнаяG
разрывалинииначастицдвиженияскорости
нормальнаяиякасательнаVVгдеVG
VW n
n
,,
sin2u
Абсолютное значение величины удельной диссипации энергии рассчитывается по формуле:
Поле скоростей однородно во всей пластической области. На жесткопластической границе BDEC проекция
скорости перемещения вдоль равна нулю. Тогда, согласно уравнениюГейрингер:- вдоль линии : 0 vddu
- вдоль линии : 0 vddv,где
- направленный против движения часовой стрелки угол наклона характеристик семейства α к оси абсцисс
Проекция u на каждой линии α является постоянной, и при краевом условии на AB (скорость клина V=1 при глубине внедрения c) равна
Тогда:G
Wsin2
(11)
sin2,0 uuVvVn
Деформация на жесткопластической границе
0cossinsin
0cossinsin
0coscossin
0coscossin
222
1222
212
1121
22212
12
22111
11
aaAa
aaAa
aaAa
aaAa
)sin(cos
)sin(,
)sin(cos
sin
dt
dyb
dt
dxa AA
vu
bauA
sincos
Определение деформаций в окрестности точки А, являющейся центром линии скольжения DAE, сводится к решению системы :
Для рассматриваемой задачи центр веера линий скольжения движется по закону:
, где
Траектория движения частиц в пластической области проходит через жесткопластическую границу BDEC. В частности, частица, попадающая в веер, получает начальные деформации на линии EC. Следовательно, решение системы (12) для закона движения вершины центрированного веера DAE (13) удовлетворяет начальным условиям (для случая 2=60°):
(12)
(13)
1W
01A
EC
,где 5790WEC . - удельная диссипация энергии на линии ЕС.
A- компоненты дисторсии
][][,0 0
,ijij
i
kkjk
k
ijij xaAx
VaV
x
a
t
a
Определение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения
матрицаованнаятранспонирA
дисторсиикомпонентыA
АльманситензорEгдеAAIE ij
*
,*2
1
212
22211
2211
1
42
12
1
,
EEEg
EEe
гдеgeE
1
41
4 2
2
1 W
WE
2221
1211
EE
EEEij
212
1 ,0
0EE
E
EE
В качестве меры деформаций выбран тензор конечных деформаций Альманси:
Или в главных значениях:
При плоской деформации:
Первое главное значение тензора Альманси:
, i,j=1,2
На линии разрыва поля скоростей перемещений
Поле деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения
μ=30°
top related