Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Post on 11-Feb-2017
713 Views
Preview:
TRANSCRIPT
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
МАТЕМАТИК-2Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Д.Баттөр
2010 оны 3-р сарын 31
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Агуулга
1 Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлy (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэлҮл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциалтэгшитгэлАргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэлХоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Тодорхойлт
2 ≤ n эрэмбийн (шугаман бус)
f (x , y , y ′, ..., y (n)) = 0 (1)
хэлбэрийн тэгшитгэлийг n-дүгээр эрэмбийн дифференциалтэгшитгэл гэнэ.
Тодорхойлт
(1) тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх y(x) функцийн уламждадынхувьд бодогдсон
y (n) = f (x , y , y ′, ..., y (n−1)) (2)
хэлбэрт бичиж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Тодорхойлт
2 ≤ n эрэмбийн (шугаман бус)
f (x , y , y ′, ..., y (n)) = 0 (1)
хэлбэрийн тэгшитгэлийг n-дүгээр эрэмбийн дифференциалтэгшитгэл гэнэ.
Тодорхойлт
(1) тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх y(x) функцийн уламждадынхувьд бодогдсон
y (n) = f (x , y , y ′, ..., y (n−1)) (2)
хэлбэрт бичиж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
y (n) = f (x) (3)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.
(4) тэгшитгэлийн шийд ньy (n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлахзамаар олдоно. Үүнд:
y (n−1) =
∫f (x)dx + C1, C1 = const
y (n−2) =
∫dx
∫f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
y (n−3) =
∫dx
∫dx
∫f (x)dx +
C1x2
2+ C2x + C3, C3 = const
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y =
∫dx
∫dx ...︸ ︷︷ ︸
(nудаа)
∫f (x)dx + C1
xn−1
n − 1+ C2
xn−2
n − 2+ ...+ Cn,
Cn = const
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
y (n) = f (x) (3)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд ньy (n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлахзамаар олдоно. Үүнд:
y (n−1) =
∫f (x)dx + C1, C1 = const
y (n−2) =
∫dx
∫f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
y (n−3) =
∫dx
∫dx
∫f (x)dx +
C1x2
2+ C2x + C3, C3 = const
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y =
∫dx
∫dx ...︸ ︷︷ ︸
(nудаа)
∫f (x)dx + C1
xn−1
n − 1+ C2
xn−2
n − 2+ ...+ Cn,
Cn = const
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
y (n) = f (x) (3)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд ньy (n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлахзамаар олдоно. Үүнд:
y (n−1) =
∫f (x)dx + C1, C1 = const
y (n−2) =
∫dx
∫f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
y (n−3) =
∫dx
∫dx
∫f (x)dx +
C1x2
2+ C2x + C3, C3 = const
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y =
∫dx
∫dx ...︸ ︷︷ ︸
(nудаа)
∫f (x)dx + C1
xn−1
n − 1+ C2
xn−2
n − 2+ ...+ Cn,
Cn = const
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
y (n) = f (x) (3)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд ньy (n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлахзамаар олдоно. Үүнд:
y (n−1) =
∫f (x)dx + C1, C1 = const
y (n−2) =
∫dx
∫f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
y (n−3) =
∫dx
∫dx
∫f (x)dx +
C1x2
2+ C2x + C3, C3 = const
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y =
∫dx
∫dx ...︸ ︷︷ ︸
(nудаа)
∫f (x)dx + C1
xn−1
n − 1+ C2
xn−2
n − 2+ ...+ Cn,
Cn = const
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
y (n) = f (x) (3)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд ньy (n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлахзамаар олдоно. Үүнд:
y (n−1) =
∫f (x)dx + C1, C1 = const
y (n−2) =
∫dx
∫f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
y (n−3) =
∫dx
∫dx
∫f (x)dx +
C1x2
2+ C2x + C3, C3 = const
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y =
∫dx
∫dx ...︸ ︷︷ ︸
(nудаа)
∫f (x)dx + C1
xn−1
n − 1+ C2
xn−2
n − 2+ ...+ Cn,
Cn = const
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
y (n) = f (x) (3)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд ньy (n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлахзамаар олдоно. Үүнд:
y (n−1) =
∫f (x)dx + C1, C1 = const
y (n−2) =
∫dx
∫f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
y (n−3) =
∫dx
∫dx
∫f (x)dx +
C1x2
2+ C2x + C3, C3 = const
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y =
∫dx
∫dx ...︸ ︷︷ ︸
(nудаа)
∫f (x)dx + C1
xn−1
n − 1+ C2
xn−2
n − 2+ ...+ Cn,
Cn = const
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
y (n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл
Сүүлчийн тэнцэтгэл дэх дурын тогтмолуудыг шинээртэмдэглэвэл шийд
y =
∫dx
∫dx ...
∫f (x)dx + c1x
n−1 + c2xn−2 + ...+ cn
олдоно. Шийдийн энэ илэрхийллээс
y (k)(x0) = 0, (k = 0, 1, 2, ..., n − 1)
эхний нөхцлүүдийг хангадаг тухайн шийдийг
y(x) =1
(n − 1)!
x∫x0
f (t) · (x − t)n−1dt
Коши-ийн томъёогоор олж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
f (x , y ′, y ′′) = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.
эрэмбэ бууруулах арга:y ′ = z гэж орлуулга хийвэл
f (x , z , z ′) = 0
гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ. Иймтэгшитгэлийн ерөнхий шийд
F (x , z ,C1) = 0
хэлбэрээр олдоно. Хэрэв энэ тэгшитгэлээс z-ийг
z = Φ(x ,C1)
ил хэлбэрээр олж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
f (x , y ′, y ′′) = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.эрэмбэ бууруулах арга:
y ′ = z гэж орлуулга хийвэл
f (x , z , z ′) = 0
гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ. Иймтэгшитгэлийн ерөнхий шийд
F (x , z ,C1) = 0
хэлбэрээр олдоно. Хэрэв энэ тэгшитгэлээс z-ийг
z = Φ(x ,C1)
ил хэлбэрээр олж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
f (x , y ′, y ′′) = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.эрэмбэ бууруулах арга:y ′ = z гэж орлуулга хийвэл
f (x , z , z ′) = 0
гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ.
Иймтэгшитгэлийн ерөнхий шийд
F (x , z ,C1) = 0
хэлбэрээр олдоно. Хэрэв энэ тэгшитгэлээс z-ийг
z = Φ(x ,C1)
ил хэлбэрээр олж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
f (x , y ′, y ′′) = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.эрэмбэ бууруулах арга:y ′ = z гэж орлуулга хийвэл
f (x , z , z ′) = 0
гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ. Иймтэгшитгэлийн ерөнхий шийд
F (x , z ,C1) = 0
хэлбэрээр олдоно.
Хэрэв энэ тэгшитгэлээс z-ийг
z = Φ(x ,C1)
ил хэлбэрээр олж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
f (x , y ′, y ′′) = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.эрэмбэ бууруулах арга:y ′ = z гэж орлуулга хийвэл
f (x , z , z ′) = 0
гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ. Иймтэгшитгэлийн ерөнхий шийд
F (x , z ,C1) = 0
хэлбэрээр олдоно. Хэрэв энэ тэгшитгэлээс z-ийг
z = Φ(x ,C1)
ил хэлбэрээр олж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
Орлуулга ёсоорy ′ = Φ(x ,C1)
болно.
Одоо энэхүү нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийншийдийг олоход өгөгдсөн f (x , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y =
∫Φ(x ,C1)dx + C2
хэлбэрээр олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүйдифференциал тэгшитгэл
Орлуулга ёсоорy ′ = Φ(x ,C1)
болно. Одоо энэхүү нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийншийдийг олоход өгөгдсөн f (x , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y =
∫Φ(x ,C1)dx + C2
хэлбэрээр олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (y , y ′, y ′′) = 0 (5)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.
y ′ = p орлуулга хийе (p нь y -ээс хамаарах функц гэжүзнэ). давхар функцийн уламжлалын томъёо ёсоор
y ′′ = p′ =dp
dx=
dp
dy· dydx
=dp
dy· y ′ = p · dp
dy
болох ба иймд өгөгдсөн тэгшитгэл нь нэгдүгээрэрэмбийн дараахь тэгшитгэлд шилжинэ:
f(y , p, p
dp
dy
)= 0
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (y , y ′, y ′′) = 0 (5)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.y ′ = p орлуулга хийе (p нь y -ээс хамаарах функц гэжүзнэ).
давхар функцийн уламжлалын томъёо ёсоор
y ′′ = p′ =dp
dx=
dp
dy· dydx
=dp
dy· y ′ = p · dp
dy
болох ба иймд өгөгдсөн тэгшитгэл нь нэгдүгээрэрэмбийн дараахь тэгшитгэлд шилжинэ:
f(y , p, p
dp
dy
)= 0
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (y , y ′, y ′′) = 0 (5)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.y ′ = p орлуулга хийе (p нь y -ээс хамаарах функц гэжүзнэ). давхар функцийн уламжлалын томъёо ёсоор
y ′′ = p′ =dp
dx=
dp
dy· dydx
=dp
dy· y ′ = p · dp
dy
болох ба
иймд өгөгдсөн тэгшитгэл нь нэгдүгээрэрэмбийн дараахь тэгшитгэлд шилжинэ:
f(y , p, p
dp
dy
)= 0
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (y , y ′, y ′′) = 0 (5)
хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.y ′ = p орлуулга хийе (p нь y -ээс хамаарах функц гэжүзнэ). давхар функцийн уламжлалын томъёо ёсоор
y ′′ = p′ =dp
dx=
dp
dy· dydx
=dp
dy· y ′ = p · dp
dy
болох ба иймд өгөгдсөн тэгшитгэл нь нэгдүгээрэрэмбийн дараахь тэгшитгэлд шилжинэ:
f(y , p, p
dp
dy
)= 0
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F (y , p,C1) = 0
хэлбэрт бичигдэх бөгөөд хэрэв уг тэнцэтгэлээс pхувьсагчийг p = Φ(y ,C1) хэлбэрээр олвол орлуулгаёсоор y ′ = Φ(y ,C1) тэгшитгэлд хүрнэ. Сүүлчийнтэгшитгэл бол хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлучраас түүний ерөнхий шийдийг олсны үр дүнд анхөгөгдсөн f (y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд∫
dy
Φ(y ,C1)= x + C2, C2 = const,
хэлбэрт тавигдана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F (y , p,C1) = 0хэлбэрт бичигдэх бөгөөд хэрэв уг тэнцэтгэлээс pхувьсагчийг p = Φ(y ,C1) хэлбэрээр олвол орлуулгаёсоор y ′ = Φ(y ,C1) тэгшитгэлд хүрнэ.
Сүүлчийнтэгшитгэл бол хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлучраас түүний ерөнхий шийдийг олсны үр дүнд анхөгөгдсөн f (y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд∫
dy
Φ(y ,C1)= x + C2, C2 = const,
хэлбэрт тавигдана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F (y , p,C1) = 0хэлбэрт бичигдэх бөгөөд хэрэв уг тэнцэтгэлээс pхувьсагчийг p = Φ(y ,C1) хэлбэрээр олвол орлуулгаёсоор y ′ = Φ(y ,C1) тэгшитгэлд хүрнэ. Сүүлчийнтэгшитгэл бол хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлучраас түүний ерөнхий шийдийг олсны үр дүнд анхөгөгдсөн f (y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд∫
dy
Φ(y ,C1)= x + C2, C2 = const,
хэлбэрт тавигдана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ;
3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;
dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- y ′ = z ; 3z · z ′2 = (1 + z2) · z ′′;
z ′ = p; z ′′ = p · dpdz
;
3z · p2 = (1 + z2) · pdpdz
;dp
p=
3zdz
1 + z2;
ln p =3
2ln(1 + z2) + lnC ;
p = C · (1 + z2)32 ;
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);
z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2;
z = ± C (x + C1)√1− C 2(x + C1)2
;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Жишээ
3y ′ · y ′′2 = (1 + y ′2) · y ′′′ тэгшитгэл бод.
- p = C · (1 + z2)32 ;
dz
dx= C · (1 + z2)
32 ;
dz
(1 + z2)32
= Cdx ;
z√1 + z2
= C · (x + C1);z2
1 + z2= C 2(x + C1)2;
z2 =C 2(x + C1)2
1− C 2(x + C1)2; z = ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
dy
dx= ± C (x + C1)√
1− C 2(x + C1)2;
y + C2 = ± 1C ·√
1− C 2(x + C1)2;
(x + C1)2 + (y + C2)2 =1
C 2
болох бөгөөд дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл
(x − c1)2 + (y − c2)2 = C 23
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (x , y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц ньy , y ′, y ′′ хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байхтохиолдол:
f (x , ty , ty ′, ty ′′) ≡ tk · f (x , y , y ′, y ′′) (∗)
y ′
y= u = u(x)
орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна.
y ′ = u · y , y ′′ = u′y +u · y ′ = u′ · y +u ·uy = (u′+u2) · y ,
f (x , y , yu, y(u′ + u2)) = 0, f (x , 1, u, u′ + u2) = 0
гэсэн, нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гаргана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (x , y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц ньy , y ′, y ′′ хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байхтохиолдол:
f (x , ty , ty ′, ty ′′) ≡ tk · f (x , y , y ′, y ′′) (∗)
y ′
y= u = u(x)
орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна.
y ′ = u · y , y ′′ = u′y +u · y ′ = u′ · y +u ·uy = (u′+u2) · y ,
f (x , y , yu, y(u′ + u2)) = 0, f (x , 1, u, u′ + u2) = 0
гэсэн, нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гаргана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (x , y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц ньy , y ′, y ′′ хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байхтохиолдол:
f (x , ty , ty ′, ty ′′) ≡ tk · f (x , y , y ′, y ′′) (∗)
y ′
y= u = u(x)
орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна.
y ′ = u · y , y ′′ = u′y +u · y ′ = u′ · y +u ·uy = (u′+u2) · y ,
f (x , y , yu, y(u′ + u2)) = 0, f (x , 1, u, u′ + u2) = 0
гэсэн, нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гаргана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
f (x , y , y ′, y ′′) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц ньy , y ′, y ′′ хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байхтохиолдол:
f (x , ty , ty ′, ty ′′) ≡ tk · f (x , y , y ′, y ′′) (∗)
y ′
y= u = u(x)
орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна.
y ′ = u · y , y ′′ = u′y +u · y ′ = u′ · y +u ·uy = (u′+u2) · y ,
f (x , y , yu, y(u′ + u2)) = 0, f (x , 1, u, u′ + u2) = 0
гэсэн, нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гаргана.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Хэрэв энэ тэгшитгэлийн шийдийг олвол
u = φ(x ,C1);y ′
y= φ(x ,C1),
болох ба улмаар
ln |y | =
∫φ(x ,C1)dx + lnC2; y = C2 · e
∫φ(x ,C1)dx
хэлбэрээр анх өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Хэрэв энэ тэгшитгэлийн шийдийг олвол
u = φ(x ,C1);y ′
y= φ(x ,C1),
болох ба улмаар
ln |y | =
∫φ(x ,C1)dx + lnC2; y = C2 · e
∫φ(x ,C1)dx
хэлбэрээр анх өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Хэрэв энэ тэгшитгэлийн шийдийг олвол
u = φ(x ,C1);y ′
y= φ(x ,C1),
болох ба улмаар
ln |y | =
∫φ(x ,C1)dx + lnC2; y = C2 · e
∫φ(x ,C1)dx
хэлбэрээр анх өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
z ′′ + p(x) · z ′ + q(x) · z = 0 (6)
хэлбэрт бичигдсэн, зүүн талд байгаа илэрхийлэл нь үлмэдэгдэх функц z ба түүний z ′, z ′′ уламжлалуудыг шугаман(нэг зэрэгтэй) байдлаар агуулсан бөгөөд сул гишүүн нь тэгбайх тэгшитгэл авъя.
(6) тэгшитгэлийн зүүн тал дахьилэрхийллийг
L[z ] ≡ z ′′ + p(x) · z ′ + q(x) · z
гэж тэмдэглэвэл (6) тэгшитгэл нь
L[z ] = 0
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
z ′′ + p(x) · z ′ + q(x) · z = 0 (6)
хэлбэрт бичигдсэн, зүүн талд байгаа илэрхийлэл нь үлмэдэгдэх функц z ба түүний z ′, z ′′ уламжлалуудыг шугаман(нэг зэрэгтэй) байдлаар агуулсан бөгөөд сул гишүүн нь тэгбайх тэгшитгэл авъя. (6) тэгшитгэлийн зүүн тал дахьилэрхийллийг
L[z ] ≡ z ′′ + p(x) · z ′ + q(x) · z
гэж тэмдэглэвэл (6) тэгшитгэл нь
L[z ] = 0
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
L[z ] илэрхийллийн хувьд:а) L[z1 + z2] = (z1 + z2)′′ + p(x)(z1 + z2)′ + q(x)(z1 + z2) =(z ′′1 +p(x)z ′1 +q(x)z1) + (z ′′2 +p(x)z ′2 +q(x)z2) = L[z1] +L[z2];
б) C = const утганд L[C · z ] = C · L[z ] чанарууд тус тусбиелэгдэх бөгөөд L[z ] нь шугаман дифференциал операторгэж нэрлэгддэг.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
L[z ] илэрхийллийн хувьд:а) L[z1 + z2] = (z1 + z2)′′ + p(x)(z1 + z2)′ + q(x)(z1 + z2) =(z ′′1 +p(x)z ′1 +q(x)z1) + (z ′′2 +p(x)z ′2 +q(x)z2) = L[z1] +L[z2];б) C = const утганд L[C · z ] = C · L[z ] чанарууд тус тусбиелэгдэх бөгөөд L[z ] нь шугаман дифференциал операторгэж нэрлэгддэг.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд:1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэрz = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор
L[z ] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0
2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоорүржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийналиваа шугаман эвлүүлэг
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1,C2 = const)
нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна.3) z(x) ≡ 0 функц (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд:1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэрz = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор
L[z ] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0
2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоорүржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийналиваа шугаман эвлүүлэг
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1,C2 = const)
нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна.3) z(x) ≡ 0 функц (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд:1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэрz = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор
L[z ] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0
2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоорүржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийналиваа шугаман эвлүүлэг
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1,C2 = const)
нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна.3) z(x) ≡ 0 функц (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд:1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэрz = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор
L[z ] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0
2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоорүржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийналиваа шугаман эвлүүлэг
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1,C2 = const)
нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
3) z(x) ≡ 0 функц (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд:1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэрz = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор
L[z ] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0
2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоорүржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийналиваа шугаман эвлүүлэг
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1,C2 = const)
нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна.3) z(x) ≡ 0 функц (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Тодорхойлолт
Хэрэв (a, b) завсрын бүх цэгүүдийн хувьд
α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0
тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар ядаж нэг нь тэг биш α1, α2
тогтмол тоонууд олдож байвал z1(x) ба z2(x) функцүүдшугаман хамааралтай байна гэнэ.
Тодорхойлолт
Хэрэв z1(x), z2(x) функцүүдийн хувьд
α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0
тэнцэтгэл нь зөвхөн α1 = α2 = 0 байхад биелэгдэж байвалуг z1(x), z2(x) функцүүд шугаман хамааралгүй байна гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Тодорхойлолт
Хэрэв (a, b) завсрын бүх цэгүүдийн хувьд
α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0
тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар ядаж нэг нь тэг биш α1, α2
тогтмол тоонууд олдож байвал z1(x) ба z2(x) функцүүдшугаман хамааралтай байна гэнэ.
Тодорхойлолт
Хэрэв z1(x), z2(x) функцүүдийн хувьд
α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0
тэнцэтгэл нь зөвхөн α1 = α2 = 0 байхад биелэгдэж байвалуг z1(x), z2(x) функцүүд шугаман хамааралгүй байна гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Теорем
Хэрэв L[z ] = 0 шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн z1(x) баz2(x) шийдүүд (a, b) дээр шугаман хамааралгүй байвал
W (z1, z2) =
∣∣∣∣ z1(x) z2(x)z ′1(x) z ′2(x)
∣∣∣∣ = z1(x)·z ′2(x)−z2(x)·z ′1(x) = W (x) 6= 0
байна.
Теорем
Хэрэв z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z ] = 0 тэгшитгэлийн (a, b)завсар дээр шугаман хамаарaлгүй шийдүүд бол дурын C1,C2
тогтмолуудын утганд
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x)
функц нь L[z ] = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд байна.Энэ тохиолдолд, z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z ] = 0тэгшитгэлийн шийдүүдийн фундаменталь систем гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Теорем
Хэрэв L[z ] = 0 шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн z1(x) баz2(x) шийдүүд (a, b) дээр шугаман хамааралгүй байвал
W (z1, z2) =
∣∣∣∣ z1(x) z2(x)z ′1(x) z ′2(x)
∣∣∣∣ = z1(x)·z ′2(x)−z2(x)·z ′1(x) = W (x) 6= 0
байна.
Теорем
Хэрэв z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z ] = 0 тэгшитгэлийн (a, b)завсар дээр шугаман хамаарaлгүй шийдүүд бол дурын C1,C2
тогтмолуудын утганд
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x)
функц нь L[z ] = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд байна.
Энэ тохиолдолд, z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z ] = 0тэгшитгэлийн шийдүүдийн фундаменталь систем гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Теорем
Хэрэв L[z ] = 0 шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн z1(x) баz2(x) шийдүүд (a, b) дээр шугаман хамааралгүй байвал
W (z1, z2) =
∣∣∣∣ z1(x) z2(x)z ′1(x) z ′2(x)
∣∣∣∣ = z1(x)·z ′2(x)−z2(x)·z ′1(x) = W (x) 6= 0
байна.
Теорем
Хэрэв z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z ] = 0 тэгшитгэлийн (a, b)завсар дээр шугаман хамаарaлгүй шийдүүд бол дурын C1,C2
тогтмолуудын утганд
z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x)
функц нь L[z ] = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд байна.Энэ тохиолдолд, z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z ] = 0тэгшитгэлийн шийдүүдийн фундаменталь систем гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Жишээ
y ′′ − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
- Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөдтүүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна(шууд орлуулж шалгана). Улмаар
W (x) =
∣∣∣∣ ex e−x
ex −e−x∣∣∣∣ = −2 6= 0
учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаманхамааралгүй байна.Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийнерөнхий шийд y = C1e
x + C2e−x хэлбэртэй байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Жишээ
y ′′ − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.- Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд
түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна(шууд орлуулж шалгана).
Улмаар
W (x) =
∣∣∣∣ ex e−x
ex −e−x∣∣∣∣ = −2 6= 0
учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаманхамааралгүй байна.Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийнерөнхий шийд y = C1e
x + C2e−x хэлбэртэй байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Жишээ
y ′′ − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.- Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд
түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна(шууд орлуулж шалгана). Улмаар
W (x) =
∣∣∣∣ ex e−x
ex −e−x∣∣∣∣ = −2 6= 0
учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаманхамааралгүй байна.Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийнерөнхий шийд y = C1e
x + C2e−x хэлбэртэй байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Жишээ
y ′′ − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.- Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд
түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна(шууд орлуулж шалгана). Улмаар
W (x) =
∣∣∣∣ ex e−x
ex −e−x∣∣∣∣ = −2 6= 0
учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаманхамааралгүй байна.
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийнерөнхий шийд y = C1e
x + C2e−x хэлбэртэй байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэл
Жишээ
y ′′ − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.- Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд
түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна(шууд орлуулж шалгана). Улмаар
W (x) =
∣∣∣∣ ex e−x
ex −e−x∣∣∣∣ = −2 6= 0
учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаманхамааралгүй байна.Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийнерөнхий шийд y = C1e
x + C2e−x хэлбэртэй байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэлд эрэмбэ бууруулах арга
Хэрэв L[z ] = z ′′ + p(x) · z ′ + q(x)z = 0 тэгшитгэлийн ямарнэг тухайн шийд z1(x) мэдэгдэж байвал уг тэгшитгэлдz = z1 · u, u = u(x) орлуулга хийх замаар тэгшитгэлийнэрэмбийг 1-ээр бууруулж болно. Үнэндээ
(z ′′1 · u + 2z ′1 · u′ + z1 · u′′) + p(z ′1 · u + z1 · u′) + qz1u = 0,
өөрөөр хэлбэл,
z1 · u′′ + (2z ′1 + pz1) · u′ + (z ′′1 + p · z ′1 + qz1)u = 0
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Дээдэрэмбийндифференциалтэгшитгэлy(n) = f (x)хэлбэрийнтэгшитгэлҮл мэдэгдэхфункцийг илагуулаагүйдифференциалтэгшитгэлАргументийгилагуулаагүйтэгшитгэлХоёрдугаарэрэмбийншугаманнэгэнтөрлийнтэгшитгэл
Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийнтэгшитгэлд эрэмбэ бууруулах арга
Гэхдээ L[z1] = 0 учраас гуравдахь гишүүн устах бөгөөдu′ = v гэж орлуулбал
z1 · v ′ + (2z ′1 + pz1) · v = 0
гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлгарна.Энэ бол хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл учраас
dv
v= −2z ′1 + pz1
z1dx , ln |v | = −2 ln |z1| −
∫p(x)dx + lnC2;
v =C2
z21e−
∫p(x)dx , u = C2 ·
∫1
z21e−
∫p(x)dx + C1;
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
z = C1 · z1 + C2 · z1 ·∫
1
z21· e−
∫p(x)dx
хэлбэрт тавигдана.
top related