تافوفصملاو تاددحملا -...

47

والمصفوفاتالمحددات

السابقة التوابع ومشتقاتها وتكامالتها غير المحدودة والمحدودة وسنتابع في هذه اتفي المحاضر نارسد

المحاضرة التعرف على بعض المواضيع الرياضية األخرى كالمعينات وأنواعها والمصفوفات وأنواعها ثم

نقوم بدراسة بعض خواصها والعمليات الجبرية المعرفة عليها مع إعطاء بعض األمثلة.

)المحددات(المعينات 1.

nهو nالمعين من الدرجة )المرتبة( n عنصرا مرتبة فيn سطر وn عمود وموضوعة بين خطين

متوازيين من الشكل:

11 12 1

21 22 2

1 2

.....

.....

..... ..... ...... ........

.....

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

ويرمز له بشكل مختزل:ija n

ي حيث أنه ف ijaيرمز الدليل األول لرقم السطر والدليل الثاني لرقم العمود الذي يقع فيه العنصر

ija .

وتسمى العناصر الواقعة على القطعة المستقيمة الواصلة بين الزاوية العليا اليسرى والزاوية السفلى اليمنى

بينما تسمى العناصر الواقعة على القطعة المستقيمة الواصلة بين الزاوية العليا القطر الرئيسيعناصر

القطر الثانوي.اليمنى والزاوية السفلى اليسرى عناصر

3 أمثلة:1 2

3 4

1 2 3

4 5 6

7 8 9

معين من الدرجة الثالثة معين من الدرجة الثانية معين من الدرجة األولى

بعض أنواع المعينات: -1

الخامسةالمحاضرة

48

هو معين تكون جميع العناصر الواقعة تحت القطر الرئيسي مساوية للصفر المعين المثلثي العلوي: -1

مثل

1 2 3

0 4 5

0 0 6

مثل ة للصفرهو معين تكون جميع العناصر الواقعة أعلى القطر الرئيسي مساوي المعين المثلثي السفلي: -2

1 0 0

2 3 0

4 5 6

مثل للصفر هو معين تكون جميع العناصر غير الواقعة على القطر الرئيسي مساوية المعين القطري: -3

1 0 0

0 2 0

0 0 3

المعين الواحدي: -4

وهو معين قطري جميع العناصر القطرية فيه مساوية للواحد.

قيمة معين: -2

حساب قيمة معين من الدرجة األولى: -1

1111a a

حساب قيمة معين من الدرجة الثانية: -2

11 12

21

11 22 12 21

22

a a a a a aa a

حساب قيمة معين من الدرجة الثالثة: -3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

49

بحسب عناصر السطر األول نجد:

21 21 22

11 12 13

31

22 23 23

32 33 31 33 32

a a a a a aa a a

a a a a a a

11 1222 33 23 32 23 31 21 33( . . ) ( . . )a a a a a a a a a a

13 21 22 3132( . . )a a a a a

ة الثالثة.لحساب قيمة معين من الدرج وتسمى بصيغة سيروسهذه القيمة ال تتغير بتغير السطر أو العمود

لقطر تساوي جداء العناصر الواقعة على ا قطريأو مثلثي سفليأو مثلثي علويقيمة معين مالحظة:

:مثلالرئيسي

1 2 3

0 4 5 1 4 6 24

0 0 6

خواص المعينات: -4

فر.إذا كان أحد األسطر )أو أحد األعمدة( في معين مساٍو للصفر فإن قيمة المعين تساوي الص -1

المبادلة بين سطرين أو عمودين تغير إشارة قيمة المعين فقط. -2

إذا تساوى سطران )أو عمودان( في معين فإن قيمة المعين تساوي الصفر. -3

في فإن قيمة المعين بعد الضرب تساوي جداء العدد إذا ضرب أحد األسطر )أو أحد األعمدة( بعدد -4

قيمته قبل الضرب.

:1مثال

4 8 12 1 2 3

4 5 6 4. 4 5 6

7 8 9 7 8 9

المعين تساوي الصفر. إذا تناسب سطران )أو عمودان( في معين فإن قيمة -5

اشتقاق المعينات. -4

ليكن المعين:

11 12 1

21 22 2

1 2

....

.....

.... .... .... ....

....

n

n

ij n

n n nn

a a a

a a aa

a a a

,...,1,2حيث عناصر المعين , 1, 2,...,i n j n توابع لمتحول واحد ماx وبالتالي فإن قيمة المعين هذا

يعطى بالدستور إن ويمكن حساب مشتقها xتكون تابعة للعنصر

50

1 2 ..... n

i,...,1,2حيث n ،i ) أعمدته ( نفس أسطر )أعمدة( هو معين أسطره ما عدا السطرi )العمود(

أي أن: )العمود( في المعين iعناصره هي مشتقات عناصر السطر

إذا فرضنا أن:: 5مثال

2

cos

2

x x

x x

نجد أن:

2 2

2

2 cos

4 2 cos sin

x x x

x x x x x

ونجد بتطبيق الدستور أعاله في اشتقاق معين أن:

2

1 sin cos

2 2 2

x x x

x x x

2

2

2 sin 2 2 cos

4 2 cos sin

x x x x x x

x x x x x

أو

2

1 cos sin

2 2 2

x x x

x x x

2

2

(2 2 cos ) (2 sin )

4 2 cos sin

x x x x x x

x x x x x

المصفوفات 2.

تعريف المصفوفة

nالمصفوفة من الدرجة m هي.n m عنصر مرتبة فيn سطراً وm عموداً فإذا رمزنا لهذه المصفوفة

تكتب بالشكل:عندئذ Aب

51

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

n n nm

a a a

a a aA

a a a

وأحياناً يرمز لهذه المصفوفة بالشكل المختصر:

ijA a أو,ij n m

A a

1الشكلتسمى المصفوفة من m 1بمصفوفة سطر، والمصفوفة من الشكلn .مصفوفة عمود

nالحالة الخاصة إذا كانت المصفوفة المربعة: mتسمى المصفوفة ،A مصفوفة مربعة وتسمىn

درجتها.

detبعدد من طبيعة أعداد المصفوفة يرمز له مصفوفة مربعةيرفق بكل A أو( ( ويسمى معين )أو

حيث: Aمحدد( المصفوفة المربعة

11 12 1

21 22 2

1 2

det

m

m

n n nm

a a a

a a aA

a a a

detإذا كان 0A فإن المصفوفة المربعةA أو فريدة وإذا كان مصفوفة شاذةتسمىdet 0A فإن

ليسرى ، تسمى العناصر الواقعة على القطعة المستقيمة بين الزاوية امصفوفة نظاميةتسمى Aالمصفوفة

ويرمز Aةأثر المصفوفويسمى مجموع هذه العناصر القطر الرئيسيعناصر العليا والزاوية اليمنى السفلى

trبله A :أي

11 22 ...... nntr A a a a

منقول مصفوفة:

باستبدال Aتنتج من TAأي أن Aمنقول المصفوفة TAمصفوفة فإننا نسمي المصفوفة Aإذا كانت

األسطر باألعمدة فمثالً إذا فرضنا أن:

1 2 3

4 5 6A

فإن

1 6

2 5

3 4

TA

detمصفوفة مربعة فإن: Aإذا كانت مالحظة: det TA A

:بعض أنواع المصفوفات

52

المصفوفة القطرية: -1

ijAلتكن a 0مصفوفة مربعة تحقق الخاصة التاليةija إذا كان ،i j عندئٍذ تسمى هذه المصفوفة

مصفوفة قطرية، حيث:

11

22

0 0 0

0 0 0

0 0 0 nn

a

aA

a

11ويكون: 22det . ..... nnA a a a

المصفوفة الواحدية: -2

لواحدية فإن المصفوفة تسمى المصفوفة ا 1 لفي مصفوفة قطرية ا إذا تساوت جميع عناصر القطر الرئيسي

بويرمز لها nI أو(I :ويكون ) إذا كان ال يوحد التباس

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

I

detإن: 1I .

المصفوفة المثلثية: -3

فوفة المصفوفة التي جميع عناصرها الواقعة تحت عناصر القطر الرئيسي مساوية للصفر مصتسمى ( 1

مثلثية عليا.

صفوفة تسمى المصفوفة التي جميع عناصرها الواقعة أعلى عناصر القطر الرئيسي مساوية للصفر م (2

مثلثية سفلى.

الصفرية: المصفوفة -4

عموداً معدومة )مساوية للصفر( فإنها تسمى mسطراً و nإذا كانت جميع عناصر المصفوفة المؤلفة من

0n, بالمصفوفة الصفرية أو المصفوفة المعدومة ويرمز لها m:

,

0 0 0

0 0 00

0 0 0

n m

53

:الهرميتية المصفوفة -5

وكانت هذه العناصر تحقق المعادلة: أعداداً مركبة Aالمربعةإذا كانت عناصر المصفوفة

, 1,....,ij jia a i j n أي إذا كان T

A A

تسمى عندئٍذ مصفوفة هرميتية. Aفإن المصفوفة ijaهو العدد المرافق للعدد jiaحيث

. العناصر القطرية أعداداً حقيقيةعندئٍذ

العمليات على المصفوفات:

تساوي مصفوفتين: -1

, 1,....., , 1,.....,ij ijA B a b i n j m

جمع مصفوفتين: -2

لتكن ,ij n m

A a و,ij n m

B b تسمى المصفوفة,ij n m

C c :المحققة للعالقة

, 1,....., , 1,.....,ij ij ijc a b i n j m

C:بونرمز لذلك Bو Aحاصل جمع المصفوفتين A B

:1مثال

1 2 3 3 1 4

1 5 2 7 1 1A B

أن: 4 1 7

6 6 3A B B A

جداء مصفوفتين: -4

C: ب Bبالمصفوفة Aيرمز لجداء المصفوفة AB أوC A B

ومنه يمكن دوماً حساب جداء Bيساوي عدد أسطر Aمعنى إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة AB لويكون

.من نفس الدرجة Bو Aمصفوفتين مربعتين

:2مثال

54

1 2

3 4A

و 5 6

7 8B

1 5 2 7 1 6 2 8 19 22

3 5 4 7 3 6 4 8 43 50AB

5 1 6 3 5 2 6 4 23 34

7 1 8 3 7 2 8 4 31 46BA

ABنالحظ أن BA.

إن جداء مصفوفتين يحقق الخواص التالية:

det det .detAB A B

مصفوفات. Cو Bو Aحيث

.مصفوفة مربعة فإن Aإذا كانت .I A A I A حيث سعةI من سعةA.

:4 مثال

إذا فرصنا أن:

2 12 1 3

3 0 ,0 1 1

1 2

A B

نجد أن:

2 02 3 1

, 1 11 0 2

3 1

T TA B

وأن:

2 1 4 1 72 1 3

. 3 0 6 3 90 1 1

1 2 2 3 1

A B

إن:

4 6 2

. 1 3 3

7 9 1

TA B

و أن:

55

2 0 4 6 22 3 1

. 1 1 1 3 31 0 2

3 1 7 9 1

T TB A

ومنه:

.TT TB A AB

تمارين محلولة:

الخواص السابقة.سوف نقوم بحل بعض التمارين التي تؤكد صحة

:لتكن المصفوفة (:1تمرين )

1 3 5

4 0 7

8 14 3

A

detأحسب كالً من , det TA A.

الحل:

1 3 50 7 4 7 4 0

det 4 0 7 1. 3 . 5..14 3 8 3 8 14

8 14 3

1 0 98 3 12 56 5 56 0 98 204 280 22

A

1 4 80 14 3 14 3 0

det 3 0 14 1. 4. 8..7 3 5 3 5 7

5 7 3

1 0 98 4 9 70 8 21 0 98 244 168 22

TA

ن:يأوجد قيمة كالً من المحدد (:2تمرين )

'

1 0 3 0 1 3

4 2 1 , 2 4 1

5 0 5 0 5 5

الحل:

56

1

2 1 4 1 4 21. 0. 3. 10 0 3(0 10) 10 30 40

0 5 5 5 5 0

2

4 1 2 1 2 40. 1. 3. 0 1 10 0 3(10 0) 10 30 40

5 5 0 5 0 5

1( من نجد أن 2وهذه النتيجة تؤكد صحة الخاصة ) 2 (2 1ينتج عن بتبديل موضعي العمودين

األول والثاني(.

أوجد قيمة المحدد: (:3تمرين )

2 1 3

4 3 5

2 1 3

: الحل

3 5 4 5 4 32. 1. 3. 28 2 30 0

1 3 2 3 2 1

((.3إذن عندما يتساوى سطران في محدد فإن قيمته تساوي الصفر )الخاصة)

أوجد قيمة المحدد: (:4تمرين )

3 0 0

2 4 0

11 6 5

هذا المحدد مثلثي، إذن قيمته تساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي: الحل:

60) = 5-) (4-) (3= (

ABبرهن أن (:5تمرين ) BA حيث3 2 8 1

1 4 0 3A

و

2 1

1 3

0 1

3 1

B

11 0

7 14AB

5 8 16 1

0 14 8 8

1 4 0 3

10 2 24 6

BA

ABنالحظ أن BA.

57

غير محلولة تمارين

سب قيمة كل من المحددات التالية:أح-1

1 2 5 2 1 3 2 0 9

9 1 3 , 3 2 1 , 4 7 0

2 3 4 2 2 5 0 5 6

مستخدماً خواص المحددات أحسب قيمة كال ًمن المحددين: -2

0302

1401

3210

2134

,

211

341

761

ليكون: xعين قيم -3

0

211

232

011

,023

,011

11

x

x

x

x

xx

x

x

تحقق أن المصفوفة اآلتية هرميتية: -4

4 5 2

5 0 4

2 4 1

i i

i i

i i

58

References:

Mathematics for Engineers: A.Croft and R. Davison ،Third Edition (2008).

Introductory Linear Algebra ، An Applied First course :⃰ B. Kolman and D.

Hill (2005

Name: Soueycatt Mohamed

Email: soueycatt55@hotmail.com

المقررإضافات مدرس