0)#$%&'()*+,*&+)( résumé du paramagnétisme · 2017-02-23 · résumé du modèle...
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Résumé du paramagnétisme !"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*/"0")"#$%&'()*+,*"&+)(
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J BJ B J
B
g JBm T g J
k T
# ! # ! ! !,.*0 ,.*0# # # #J
J Jx x x
J J J J
x x
12+33.4+(-54(,*+.(/
5.2-3&2')-T 6742+)-3&89/-
# !:J B
B
Bm T g J J
k T
)55 !J Bm g J J
!"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*102(&"3*,'%3-&(+.(;
%&'()*+,-+.(
< <xy yz xzd
# # # #<:x y z rd
,2=;*&3-5+)3> # #x yd
# # # #
)55
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xy z xy zx y x y
B
d L d d L d
m S S
@4)(,0+('-.5-*0)-.2A+*&3-%.%)(*65.2-:>-*2&(;+*+.(-%)*&3-+.(;9/
! =µ0 µBgJ( )2 J(J +1)
3kBT
!"#$"%#&
Assembly of non-interacting magnetic moments
Paramagnetic term
Limit x<<1, i.e. kBT>>H Curie law:
with the effective moment
peff = gJ
�J(J + 1)µB
χ =N
V
(µBgJ)2J(J + 1)3kBT
=C
T=
N
V
p2eff
3kBT
Works well for magnetic moments without interactions, negligible CEF : ex. Gd3+, Fe3+ or Mn2+ (L=0)
susceptibilité magnétique (x<<1): loi de Curie
x = µBgJBkBT
aimantation sous champ:
B!"
moments localisés sans interaction
M (T )MS
=12J
(2J +1)coth((2J +1) x2)! coth( x
2)
"
#$%
&'= BJ (x)
avec:
BJ=1/2 (x) = tanh(x2)cas particulier: (à vérifier !)
BJ (x) 0!"!J +13
x
Résumé du modèle diatomique (H2) Interaction d’échange J: interaction coulombienne + principe d’exclusion de Pauli
échange direct: modèle de Heitler-London de H2
• Coulomb inter-site X,V. Coulomb intra-site U infini
• échange intra-atomique (Hund): triplet, J=2X
• échange inter-atomique: signe dépend recouvrement/orbitales
Délocalisation: orbitales moléculaires
t
X
• U>>t: régime de Heitler-London. Isolant de Mott
• U<<t: régime des orbitales moléculaires. Métal !SHL
!SOM
U/t
énergie
H = !JS!1.S!2Hamiltonien effectif d’Heisenberg
• U=0, intégrale de saut t • Orbitales moléculaires: singulet (délocalisation)
Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (I)
H = !t ci,!+ ci+",!
i,",!=",#$ +U ni,"ni,#
i$Hamiltonien d’Hubbard
i: site, n: occupation, σ: spin t: intégrale de saut U: Coulomb intra-site X=V=0
Sur deux sites avec une orbitale par site: H = !t cA,!
+ cB,! + cB,!+ cA,!"# $%
!=±
& +U nA,'nA,(+ nB,'nB,("# $%= Ht +HU
Pour t=0 A B
!SHL =
12cA,!+ c+B,"! " cA,"!
+ c+B,!( ) 0Etat singulet Heitler-London (approx. orthogonale L=0)
!0 = 0 !0 =U
Ht !HLS = "
t2cA,!+ c+A,"! + cB,!
+ c+B,"! + cA,!+ cA,"!
+ + cB,!+ cB,"!
+( ) 0
Action de Ht, 8 termes ex:
= ! 2t A1 A2 + B1 B2"# $%
Etats Heitler-London dégénérés et déconnectés des états à double occupation
c+! ,c+! '{ }= 0
!cA,!+ cB,!cA,!!
+ c+B,! 0 = cA,!+ c+A,!!cB,!c
+B,! 0 = cA,!
+ c+A,!! 0
c+! ,c! '{ }= !"" ' 1! nB,!4 termes non-nuls
Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (II)
!SHL =
12cA,!+ c+B,"! " cA,"!
+ c+B,!( ) 0 =12
A1 B2 + A2 B1#$ %&
Si t<<U (spin localisés), on peut traiter les états de Heitler-London en perturbation sur Ht
!SHL ! "S
HL Ht "SHL +
"SHL Ht n
2
!0HL #!nn
$Au second ordre en perturbation
≠0 ssi n: état doublement occupé t A1 B2 + A2 B1!" #$ A1 A2 + B1 B2!" #$= 0
A1 A2 , B1 B2
Etat singulet
!SHL =
!SHL Ht n
2
!0HL "!nn
# = "!S
HL Ht A1 A22
U"
!SHL Ht B1 B2
2
U
= !1U
2t A1 A2 + B1 B2"# $% A1 A2"#
$%2!1U
2t A1 A2 + B1 B2"# $% B1 B2"#
$%2
!SHL = !
4t2
U
Echange cinétique dans le modèle de Hubbard (III)
!SHL = !
4t2
Ul’état singulet est stabilisé par le processus de sauts virtuels
t t
Etats triplets !THL =
12
A1 B2 " A2 B1#$ %&
!THL = 0 J = ! 4t
2
UEchange cinétique
H ! "JS!1.S!2 Hamiltonien de Hubbard à 1 orbitale
devient Heisenberg si t<<U et demi-remplissage
12cA,!+ c+B,!! + cA,!!
+ c+B,!( ) 0cA,!+ c+B,! 0cA,!!+ c+B,!! 0
Ht !THL = 0
Ht n’agit pas sur les états triplets
3 états:
Ordre orbital (I)
H = !t cA,!,"+ cB,!," + cB,!,"
+ cA,!,""=±!=1,2
" +U ni,!,#ni,# ,$i=A,B!,#=1,2
"Modèle de Hubbard à deux orbitales dégénérées par site
α: orbital t: intégrale de saut uniquement entre orbitales identiques U: Coulomb intra-site (orbitales identiques ou différentes) JH: échange de Hund intra-site
A B
1
2
1
2
t
t
4 types de configuration sans double occupations: dégénérées si t=0
triplet orbitales identiques
singulet orbitales identiques
U-JH U
8 états de Heitler-London (1 orbitale/site) 8 nouveaux états (6+2)
triplet orbitales différentes
singulet orbitales différentes
!0 = 0
!JH12+ 2S!i,1S!i,2
"
#$
%
&'
i=A,B(
Ordre orbital (II)
! = 0
second ordre en t sur les confugurations sans double occupation
! = !4t2
U! = !
4t2
U ! JH! = !
4t2
UÉtat de plus basse Énergie
Hund favorise triplet J =4t2
U!
4t2
U ! JH=
4JHt2
U(U ! JH )
! ! " Ht "S +" Ht n
2
!0 #!nn$Si t<<U
Ordre ferromagnétique + ordre orbital « antiferro »
=0
H = !t cA,!,"+ cB,!," + cB,!,"
+ cA,!,""=±!=1,2
" +U ni,!,#ni,# ,$i=A,B!,#=1,2
" !JH12+ 2S!i,1S!i,2
"
#$
%
&'
i=A,B(
Règles de Anderson/Goodenough/Kanamori
P.W. Anderson (1950) J. Kanamori (1959) J.B. Goodenough (1955)
!""#$%"&'()*+%+,"-.)/%#$-0"%1-&2$03
!"###$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#-1/#'(2030,22+4#/.5,-(26#,6#6-./)*#()4#()-,0+../7(*)+-,!"#9
)(2 2
H
HFM JUU
JtJ
UtJ AFM22
:"#$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#'(2030,22+4#()4#+7;-<#8/.#4/=52<30,22+49#/.5,-(26#,6#1+(>##()4#0+../7(*)+-,"#9
Recouvrement entre deux orbitales au demi-remplissage
J = ! 4t2
USingulet/antiferro
!""#$%"&'()*+%+,"-.)/%#$-0"%1-&2$03
!"###$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#-1/#'(2030,22+4#/.5,-(26#,6#6-./)*#()4#()-,0+../7(*)+-,!"#9
)(2 2
H
HFM JUU
JtJ
UtJ AFM22
:"#$%&'()*+#,)-+.(&-,/)#/0#'(2030,22+4#()4#+7;-<#8/.#4/=52<30,22+49#/.5,-(26#,6#1+(>##()4#0+../7(*)+-,"#9Recouvrement entre une orbitale au demi-remplissage et une orbitale vide
Triplet/ferro (faible) J = 4JHt2
U(U ! JH )
Plan du cours
Magnétisme sans interaction Magnétisme atomique Moments magnétiques localisés Environnement
Magnétisme localisé en interaction Interactions d’échange Modèle de champ moyen du ferromagnétisme
Au delà du champ moyen Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques Magnétisme frustré et liquides de spin
Magnétisme itinérant Paramagnétisme d’un gaz d’électrons libres Instabilité magnétique de Stoner Effets Hall quantiques
Transitions magnétiques
Existe t-il une transition de phase dans le modèle d’Heisenberg sur réseau?
Compétition entre J et T
G. M. Zhao, K. Conder, H. Keller, and K. A. Muller, Nature 381, 676 (1996)
Some generalities on phase transitions and critical phenomena
-Liquid-solid transition: spontaneous
symmetry breaking at Tc
-Order parameter (spatial)
-A liquid has more symmetries as a solid:
complete translational and rotational invariance
-Para-ferromagnetic transition is similar
aimantation macroscopique
TC
Hamiltonien d’Heisenberg sur réseau
H = !JS!1S!2 H = !
12
Jij S!i S!j
i" j# modèle d’Heisenberg
J décroit très rapidement i et j 1er (voire 2ième) voisins
J
J molécule diatomique réseau: somme de liaisons
Sous champ magnétique
H = !J2
S!i S!j
i" j# + gµBB Si
z
i#
2si L=0 (ions 3d)
H = !J2(gJ !1) J
!"i J!"j
i" j# + gJµBB Ji
z
i#
2si L≠0 (ions 4f)
facteur de de Gennes
H = !J12
S!i S!i+!1
i,!1
" !J22
S!i S!i+!2
i,!2
" .....J1
J2
jmj (Jz + Sz ) jmj = gJmj
jmj Sz jmj = ! jmj Jz jmj + gJmj = (gJ !1)mj
J = ES !ET
H = !J2
S!i S!j
i" j#
Ferromagnétisme: champ moyen H = !
J2
S!i S!j
i" j#but: transformer problème à N sites en problème à 1 site
Approximation champ moyen: faibles fluctuations spatiales
découplage champ moyen: S!i.S!j = S!i ! S!i( )+ S
!i
"#$
%&'. S!j ! S!j( )+ S
!j
"#$
%&'
= S!i ! S!i( ). S!j ! S!j( )+ S
!i ! S!i( ). S!j + S!j ! S!j( ). S!i + S!i S!j
second ordre: néglige
fluctuations autour de la moyenne
S!i.S!j = S!i. S!j + S!j. S!i ! S!i S!j
H = !J2
S!i S!j
i" j# $ !
J2
S!i. S!j + S!j. S!i ! S!i S!j
i" j#
S!i moyenne de Si sur N sites
J J
S!j
interaction spin-champ moyen
J>0
ferromagnétisme
HCM = !J S!i. S!j !
12S!i S!j
i" j#
HCM = !J S!i. S!j +
12J S
!i S!j
i" j#
i" j#
• δ: premiers voisins dépend du réseau et dimensionnalité • un seul type de site i: un seul champ moyen
HCM = !J S!i. S!i+! +
12J S
!i S!i+!
i,!"
i,!"
S!i+!δ δ
δ
δ
B!"m = !J S
"i+!
!
" #1gµB
champ moyen ou effectif
HCM = gµB S!i.B"!m +12J S
!i S!i+!
i,!!
i!
constante: 0 si para M2 si ferro
Ferromagnétisme: champ moyen
HCM = gµB S!i.B"!m +EM
i! • assemblée de spin soumis à champ Bm
• Bm dépend de Si: problème auto-cohérent
Transition ferromagnétique (B=0)
B!"m = !J S
"i+!
!
" #1gµB
=zJgµB
M!"!
M (T )Ms
= BS (x)
MS = S
M!"!= ! Si!"
Aimantation réduite
aimantation réduite à saturation
z: nombre de premiers voisins
cubique simple: z=6 carré: z=4 chaîne: z=2 a champ externe nul:
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!"# ! $"#
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J BJ B J
B
g JBm T g J
k T
# ! # ! ! !,.*0 ,.*0# # # #J
J Jx x x
J J J J
x x
12+33.4+(-54(,*+.(/
5.2-3&2')-T 6742+)-3&89/-
# !:J B
B
Bm T g J J
k T
)55 !J Bm g J J
!"#$%&'()*+,*"&+)(*"$-*'+$(.*102(&"3*,'%3-&(+.(;
%&'()*+,-+.(
< <xy yz xzd
# # # #<:x y z rd
,2=;*&3-5+)3> # #x yd
# # # #
)55
?
# !
xy z xy zx y x y
B
d L d d L d
m S S
@4)(,0+('-.5-*0)-.2A+*&3-%.%)(*65.2-:>-*2&(;+*+.(-%)*&3-+.(;9/
x = !µBgBm = !zJM
M (T )Ms
= BS (!zJM )
problème auto-cohérent
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