000052 ejercicios resueltos electricidad potencial electrico
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Universidad Tecnológica Nacional FRSF
FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA
Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 1 de 21
PROBLEMAS
RESUELTOS Ley de Coulomb Ley de Coulomb –– Campo Eléctrico Campo Eléctrico Ley de Gauss Ley de Gauss -- Potencial Eléctrico Potencial Eléctrico
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FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA
Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 2 de 21
1
LEY
DE
CO
ULO
MB
CA
MP
O E
LÉC
TR
ICO
Universidad Tecnológica Nacional FRSF
FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA
Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 3 de 21
ELECTROSTÁTICA
Ley de Coulomb – Campo Eléctrico
Problemas Resueltos
Problema Nº 1.
Una persona al caminar sobre una alfombra (en un día seco) adquiere una carga
negativa por fricción de 64 µC, al llegar a la puerta de salida siente una descarga. Podría decir
¿Cuántos electrones pasaron de la alfombra a la persona y de la persona a la puerta? e (carga
del electrón) = 1,6 .10-19 C
N (Nº de electrones) = 1419
6
10.410.6,1
10.64=
−
−
C
C
Problema Nº 2.
Dos esferas metálicas montadas sobre soportes aislantes están en contacto. ¿Cómo
podrían cargarse eléctricamente sin tocarlas? ¿De que signo será la carga que tendrán?
Dispongo de una varilla de plástico que he frotado y se encuentra cargada.
El primer paso es colocar las esferas de modo tal que estén en contacto,
tal como se ve en la figura.
El segundo paso será
acercar la varilla cargada a las esferas y por
inducción se separarán las cargas.
Seguidamente manteniendo la varilla quieta
separamos las esferas y posteriormente alejamos
la varilla y las cargas se distribuirán uniformemente en cada esfera.
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FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA
Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 4 de 21
a
Fg
L
Fe
Problema Nº 3.
Una carga punto q1 = +3.10-6 C se coloca a 12 cm de una segunda carga punto
q2 = -1,5.10-6 C. Calcular la magnitud dirección y sentido de la fuerza que obra sobre cada
carga.
Para calcular la magnitud utilizaremos la ley de Coulomb.
Nm
CC
C
mN
r
qqKF 8,2
)12,0(
10.5,110.310.9
22
66
2
29
221 ===
−−
Como los signos de las cargas son distintos la fuerza será de atracción y la dirección será la
recta que une ambas cargas.
Problema Nº 4.
Dos esferas de masa m = 10 g cuelgan de hilos de seda de
longitud L = 120 cm., poseen cargas idénticas q y por
repulsión están separadas x = 5 cm., tal como se muestra en
la figura. Diga cuanto vale q.
2r
qqKFe = gmFg =
021,02/
19,12
22 ===
−=
hx
tgmx
Lh φ
22
29 18,910.9
s
mg
m
CNK ==
CK
rgmtgq
F
Ftg
g
e 82
10.4,2 −===φ
φ
Problema Nº 5.
Una carga se dividirá en dos partes. ¿Cuál será la relación entre ellas, si separadas a cierta
distancia dada, se producirá una máxima repulsión coulombiana?
211
1221221 )(
r
qqqKFqqqqqq
r
qqF
−=−==+=
2220
221112
12
1
qqq
qqqq
r
qK
r
qK
dqdF ==⇒=⇒==−=
F F
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Problema Nº 6.
Tres carga puntuales se hallan en los vértices de un
triángulo equilátero de lado a = 10 cm. Calcular la
fuerza resultante sobre la partícula 3.
q1 = 2.10-6 C ; q2 = 2.10-6 C ; q3 = 4.10-6 C
NFF
Na
qqK
a
qqKF
R 5.12cos2
20.72
322
31
==
===
θ
Problema Nº 7.
Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas positiva. Cuando están separadas 30 cm la
fuerza de repulsión es de F = 0,15 N. diga: a) ¿cuál es la carga de cada esfera? y b) ¿cuál
sería la carga de cada una si una de las esferas tiene tres veces la carga de la otra?
CKrF
qr
qKFa 6
2
2
2
10.22,1) −===
CqCK
rFq
r
qK
r
qqKFqqb 6
17
2
22
22
221
21 10.1,210.0,73
33) −− ======
Problema Nº 8.
Un objeto pequeño que posee una carga de -4,0 nC experimenta una fuerza hacia abajo de
5,0 10-8 N cuando se la coloca en un lugar donde existe campo eléctrico. a) ¿Cuál es la
magnitud y dirección del campo eléctrico en ese punto?, b) ¿Cuál sería la magnitud y la
dirección de la fuerza que actuaría sobre un protón colocado en ese punto del campo
eléctrico? qp = 1,6 10-19 C
C
N
C
N
q
FEa 5,12
10.0,4
10.5)
9
8
=== −
−
Hacia arriba
NCC
NqEFb p
1819 10.0,210.6,15,12.) −− === Hacia arriba
a
q3
q1
FF2
q2
F1
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Problema Nº 9.
Una carga puntual q1 = -6,0 nC está en el origen de coordenadas y una segunda carga puntual
q2 = 4,9 nC está sobre el eje x en x = 0,8 m. Encuentre el campo eléctrico en magnitud y
dirección en cada uno de los puntos sobre el eje x: a) x = 0,2 m; b) x = 1,2 m y c) x = -0,2 m.
izquierdalaadirigidoxejeelsobreCN
r
q
r
qKEEE
r
qKEa 3
21
12
2
2122
10.47,1) −=
+=+==
derechalaadirigidoxejeelsobreCN
m
C
m
C
C
mNEEEb 39
22222
29
12 10238,0102,1
0,6
4,0
9,410.9) =
−=−= −
)10.30,1100,1
9,4
2,0
0,610.9) 39
22222
29
21 bidemCN
m
C
m
C
C
mNEEEc =
−=−= −
Problema Nº 10.
Dadas dos cargas colocadas como se indica en la figura indicar los punto donde el
campo eléctrico es nulo. a = 50 cm
Veremos los tres casos posibles:
a) A la izquierda de las cargas. No tendremos solución por ser mayor la carga de la
izquierda.
b) Entre las cargas. El campo producido por cada carga tiene idéntica dirección.
c) A la derecha en este caso deberemos encontrar a que distancia x ambos campos son
idénticos en magnitud y opuestos en sentido.
( )mxxx
x
qK
xa
qKEE 86.005,023 2
22
21
21 ==−−=+
=
a
q1 = -5q
x
q2 =2q
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Problema Nº 11.
Se dispara un electrón como muestra la figura entre dos placas con una velocidad v =
6.106 m/s y un ángulo È = 45º . El campo eléctrico E = 2.103 N/C, la distancia entre las placas
es d = 2 cm y la longitud de las mismas l = 10 cm.
Calcule:
a) Si el electrón pega en alguna de las placas y
b) b) En que punto lo hace.
a) Para decir si el electrón llega a pegar en la placa
superior veremos si la energía cinética que posee es mayor o menor que el trabajo que
hace el campo sobre el.
θθ cos00 vvsenvv xy ==
eriorplacalaenpegaráelectróneldcmeE
vmyyeEyFvmK y
y sup5,222
12
2 >=====
cmxdvm
xeE
v
xvtatvy
v
xtb
xx
yy
x7,1
2
1
2
1)
20
2
0
020
0==+=+==
Problema Nº 12.
Una carga q1 = 16 nC esta en el orígen, una segunda carga desconocida está en x = 3 m y una
tercera carga q3 = 12,0 nC está en x = 7 m. ¿Cuál es la magnitud y signo de la carga
desconocida si el campo neto en x = 9 m E = 18 N/C en dirección de x +?
nCqC
N
r
q
r
q
r
qKEEEE 0,4318
23
322
1
1321 −==
++=++=
Problema Nº 13.
Una pequeña esfera de masa m = 0,6 g tiene una carga q = 3 . 10-10 C,
pende de un hilo de seda de longitud L = 8,0 cm. El otro extremo del
hilo está unido a una gran lámina aislante vertical que posee una
densidad superficial de cargas ó = 25,0 10-6 C/m2. ¿Cuándo la esfera
está en equilibrio que ángulo formará el hilo con la lámina?
º12,4072,022 00
====== θεσ
θεσ
gm
q
gm
qE
F
FtgE
g
L
v
E
d
++++++++++++
Fg
L
Fe
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l
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
y
P
α
α
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + dq1
r
dq2
y
r
dE1x
dE1y dE2y
dE2x
dEdE2dE1
P
Problema Nº 14.
Una varilla no conductora de longitud finita L (m) tiene una carga total Q ( c) uniformemente
distribuida a lo largo de ella. Calcular el campo eléctrico en un punto P perpendicular a la
barra, a una distancia y en el punto medio.
Cada dq genera en el punto N un dE(vector)
∧→
= rr
dqk
Ed2
1 como dxdq
LQ
.λλ =⇒=
222 yxr +=
( )22 yx
yry
sen+
==α
Del análisis de la gráfica se observa que el campo E es:
( ) ( )2222.
..
12.2
yx
y
yx
dx
ksendEdE
++==
λα
( )∫+
=2
322
..2
yx
dxk
yE
λ,aplicando los valores a los extremos de integración obtendremos el
valor del campo.
( )222 . yxy
xE
+=
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+
+
+
+
dq2
++
+ +
dq1
a
+
++
+
++ + +
+
++
P
r
x+
++
+
+
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
N
dEd
dq
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
d
N
Problema Nº 15.
Una barra no conductora de longitud L (m) tiene una carga por unidad de longitud igual ë (C/m)
y una carga total Q (C). Calcular el campo eléctrico en un punto N a lo largo del eje de la barra
a una distancia d del extremo izquierdo.
Cada dq genera en el punto N un dE(vector)
∧→
= rr
dqk
Ed2
1 como dxdq
L
Q.λλ =⇒=
( )
+
−=
−==== ∫∫ ∫
+=
= Lddkxkx
dx
r
dqk
dEEdLx
dx
111.122
λλλ
( )LddQ
kE
+=
.1
Problema Nº 16.
Un anillo de radio a (m), tiene una carga positiva uniformemente distribuida, con una carga
total Q(C). Calcule el campo eléctrico en un punto p a lo largo del eje “x” a una distancia d del
centro del anillo.
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Cada dq genera dE en P, pero debido a la simetría de carga el campo resultante es el que se
observa.
∧→
= rr
dqk
Ed .1
2 como dsdq
L
Q.λλ =⇒=
φcos.1
2r
dqk
dEx = ( )22 xar += y ==r
xφcos
( ) ( )2222
1
xa
x
xa
ds
kdE
++=
λ, integrando
( ) 2
122
.
xak
xQE
+= Que ocurriría en el caso de que “x” sea mucho mayor que “a”
Problema Nº 17.
Un dipolo eléctrico esta formado de dos cargas eléctricas de magnitud q = 1.20 nC separadas
una distancia de 22.0 mm. El dipolo se encuentra dentro de un campo eléctrico externo E =
1.50 N/C, si el momento del dipolo forma 30º con la dirección del campo. Determinar:
a) ¿Cuál es el momento que ejerce el campo en el dipolo?
b) ¿Cuál es el trabajo que debe hacer un agente externo para dar al dipolo un ángulo de 30º a
partir de una posición inicial colineal con el campo (es decir á = 0º)
x
dq2
dq1
dE
dE2x
dE2
dE1
a
P
r
r
dE2y
dE1y dE1x
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a) Ep ×=Τ qap 2= ( momento del dipolo)
αsenEaq .....2=Τ
30.10.50,1.10.20,2.10.20,1.2 526 sen−−−=Τ
[ ]Nm310.96,3 −=Τ
b) [ ]0cos30cos.cos..º30
º0+−=−==Τ= ∫ ∫∫
=
=pEdpEdpEsendW
f
i
φ
φ
φ
φφφφφφ
[ ]JW 410.30,5 −=
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2
LEY
DE
GA
US
S
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ELECTROSTÁTICA
Ley de Gauss
Problemas Resueltos
Problema Nº 18.
Dos largos cilindros concéntricos de radios a = 1cm y b = 3 cm, poseen una carga superficial ó
= 6.10-6 C/m2 de signos opuestos. Calcule utilizando Gauss:
a) el campo E para r = 0,5 cm
b) el campo E para r = 2,0 cm y cual es su dirección
c) el campo E para r = 3,5 cm
d) ¿Cuál debe ser la energía cinética de un protón para que pueda girar entre lo dos
cilindros en forma estable? ¿Cuál es el signo de las cargas en cada cilindro, donde se
encuentran las carga y cual es la dirección
y sentido del campo?
a) Si trazo una superficie gaussiana cilíndrica
con r < a no encerraré cargas y por lo tanto
E=0.
b) En este caso como encierro cargas debo
usar Gauss para calcular E
∫ ====CN
r
aE
lalrE
qAdE 5
000
10.39,32
2.ε
σεπσ
πε
rr
c) En este caso trazo una superficie gaussiana cilíndrica de radio r > b y en ella la carga
neta encerrada por la misma es nula y por lo tanto E = 0
d) Jqa
vmKr
qaqE
rv
mFF pppec
6
0
2
0
2
10.42,521 −======
ε
σ
ε
σ
El cilindro exterior tendrá cargas positivas y se encuentran en la cara interior del mismo. El
cilindro interior tendrá cargas negativas y estarán en la cara exterior del mismo. Por lo tanto el
campo será radial y apuntará hacia el centro.
ar
b
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Problema Nº 19.
Tres grandes láminas aislantes paralelas tienen densidades de carga superficiales de
+ó1=0,02 C/m2; +ó2=0,01 C/m2 y -ó3=0,02 C/m2 . Las láminas adyacentes están a 0,3 m entre
si.
Calcule el campo eléctrico neto (magnitud dirección) debido a las tres láminas en los puntos P,
R, S y T acorde con la figura.
izquierdalahaciaCN
EEEEa P8
0
3
0
2
0
1321 10.64,5
222) −−=+−−=+−−=
εσ
εσ
εσ
derechalahaciaCN
EEEEb R9
0
3
0
2
0
1321 10.69,1
222) =+−=+−=
εσ
εσ
εσ
derechalahaciaCN
EEEEc S9
0
3
0
2
0
1321 10.82,2
222) =++=++=
εσ
εσ
εσ
derechalahaciaCN
EEEEdooo
T8321
321 10.64,5222
) =−+=−+=ε
σε
σε
σ
Problema Nº 20.
Se tiene un cascaron esférico no conductor con una distribución de cargas no uniforme igual a
r = a r (C/m3). Calcular la expresión del campo eléctrico para los puntos situados:
a) 0 < r <r1 b) r1 < r <r2 c) r2 < r
d) realizar una gráfica de E = f(r)
004..) 2
0
===∫ ErEq
AdEa πε
rr
( ) ( )2
0
41
4
0
41
4
0
2
0
2
0 4
4.4..) 11
r
rraE
rradrrradvrE
qAdEb
r
r
r
r
εεπ
ε
π
ε
ρπ
ε−
=−
====∫
∫∫rr
0,15
RP0,150,15 0,15
TS0,15 0,15
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( )2
0
41
42
4dim)
r
rraEientoprocemismoelaplicamosc
ε
−=
d)
0
20
40
60
80
0 10 20 30r
E
Problema Nº 21.
Una carga punto de 1.10-6 C se encuentra en el centro de una superficie gaussiana cúbica de
50 cm de arista. ¿Cuál es el flujo de E para dicha superficie?
CmN
mN
C
Cq 25
2
212
6
0
10.12,1
10.85,8
10.1===Φ
−
−
ε
Problema Nº 22.
En el ejemplo siguiente tengo una esfera no conductora de radio r1 y posee distribución
uniforme de cargas negativas y rodeándola un cascaron esférico conductor de radios r2 y r3 .
La superficie externa del cascaron exterior está conectada a tierra.¿Calcule:
a) E para 0 < r < r1
b) E para r1 < r < r2
c) E para r2 < r < r3
d) E para r3 < r
00
3
3
0 334
4..)ε
ρε
πρπ
εr
Er
rEq
AdEa ===∫rr
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200
2
41
4.)r
qE
qrEb
επεπ ==
0) =Ec
0) =Ed
Problema Nº 23.
Un cable coaxial largo consiste en un conductor cilíndrico interior de radio a y un cilindro
exterior de radio interior b y radio exterior c. El cilindro exterior está montado sobre soportes
aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene una carga positiva uniforme por unidad
de longitud ë. Calcule el campo eléctrico E para:
a) a < r < b ;
b) b < r < c
c) c < r
d) dibuje una gráfica de E = f(r) desde r = 0 a r = 2 c
e) encuentre cual es la carga por unidad de longitud para la cara interior y exterior del cilindro
externo.
rE
llrE
qAdEa
000 22.)
επλ
ελ
πε
===∫rr
0) =Eb
rEc
02)
επλ=
e) cara exterior + ë Cara interior –ë
E
r0 1 2 3 4 5 6 70
1 0
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3
PO
TE
NC
IAL
ELÉ
CT
RIC
O
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ELECTROSTÁTICA
Potencial Eléctrico
Problemas Resueltos
Problema Nº 24.
Se tienen dos cargas q = 1 .10-10 C, ubicadas sobre una recta a una distancia 2y ; (y = 1 cm)
entre ellas. Sobre una línea perpendicular a la
recta (punto A) se coloca un electrón a una
distancia x = 10 cm., con una v0 = 2.106 m/s
dirigido hacia las cargas. ¿Diga con que velocidad
llegará a la recta de unión ( punto B) si sólo recibe
influencia de dichas cargas?
La fuerza de atracción que ejercerá la carga q1
está dada por la ley de Coulomb
( ) 2/122
222
21
121
1
cos
cos2cos2
yx
xyxr
r
eqKFFestotalacciónla
r
eqKF
+=+=
===
θ
θθ
La velocidad final la calcularemos por la conservación de la energía, teniendo en cuenta que la
fuerza que ejercen las cargas q1 sobre el electrón varían con la distancia x. Por ello debemos
calcular el trabajo realizado sobre la partícula realizando un balance de energía.
( )
( ) ( )
( ) s
m
m
eqKvv
finalmentequedandom
eqK
yz
dzm
eqKI
dxxdzzxhagoegrarpoderparadxyx
xm
eqKI
nteseparadameoperemosyegrallaaIllamemos
dxFm
vvdxFvmvmWKK
yx
yx
B
A
x
x
B
A
6
0
1,0
120
2
1,0
0
11,0
0 2/32
1
1,0
0
22/322
1
20
220
20
10.54,72/122
4
2/122
42
2int4
int
2.
21
21
1
1
=+=
−=+
=
==+
=
+=+=+=
+
+∫
∫
∫∫
X
A
y
B
r
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Problema Nº 25.
Una lámina no conductora infinita tiene una densidad superficial ó = 1.10-7 C/m2. ¿Qué
separación tienen dos superficies equipotenciales entre las cuales hay una diferencia de
potencial de 5 Volts?
Dado que el campo producido por la lámina cargada en puntos alejados de los bordes es
uniforme, podemos:
∫ −−
−
=−
=====−B
A ABABABAB mmC
mNCVdVddEldEVV 3
27
2212
0
10.885,0/10.1
/10.83,8.2.55
2..
εσrr
Problema Nº 26.
Si una carga q se distribuye uniformemente en un volumen esférico no conductor de radio R,
demostrar que el potencial a una distancia a del centro (siendo a < R)
está dado por:
( )3
0
22
8
3
R
aRqV
επ
−=
Para ese cálculo utilizaremos la expresión que nos relaciona el
potencial con el campo:
∫−=−R
aaR rdEVVrr
. (1)
Pero para poder integrar necesitamos conocer la ley de variación del campo E dentro de la
esfera, para ello utilizaremos Gauss.
300
3
3
2
0 4
1343
4
4.R
rqE
R
qr
rEq
AdEεπε
ππ
πε
====∫rr
Reemplazando E en (1)
[ ]223
03
0 84Ra
R
qdrr
R
qVV
R
aaR −=−=− ∫ επεπ (2)
VR podemos calcularla y reemplazarla en la ecuación (2)
[ ] [ ]
[ ]3
0
22
2223
0
223
000
8
3
2884
14
1
R
aRqV
RaRR
qRa
R
q
R
qV
R
qV
R
aR
επ
επεπεπεπ
−=
+−=−−==
Universidad Tecnológica Nacional FRSF
FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA
Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 20 de 21
Problema Nº 27.
Se tienen dos esferas metálicas cargadas y separadas entre sí lo suficiente para que la
influencia mutua sea despreciable. La esfera A tiene: un radio rA = 10 cm. y qA = 1.10-9 C, la B
tiene rB = 15 cm. y una qB = 1.10-10 C.
Calcule:
a) El potencial en cada una de las esferas y la d.d.p. entre ellas.
b) Si dichas esferas se conectan entre si por medio de un alambre conductor fino, diga en
que sentido circularan las cargas.
c) Diga cuales son los potenciales de A y B luego de haberlas conectado.
d) ¿Cuáles son los valores de E en la superficie de cada una?
a.
( )
( )VVV
Vm
C
C
mN
r
qV
Vm
C
C
mN
r
qV
BA
B
BB
A
AA
860
4015,0
10.110.9
41
9001,0
10.110.9
4
1
2
10
2
29
0
2
9
2
29
0
=−
===
===
−
−
επ
επ
b. Las cargas circularan de A a B porque el potencial de VA > VB
c. Al conectar con un alambre conductor las cargas se distribuirán hasta que los
potenciales se igualen.
( )
( )
CqC
rr
Cq
Cqr
rqqC
r
rq
r
qCrqquedanosdoreemplazanyqCq
qqCqqqtotalaclacomor
q
r
qVV
A
B
AB
BB
ABB
B
AB
A
BBBBA
BABAB
B
A
ÁBA
10'109
'
9''
'9'
'9''9'
''9''
''
10.4,410.6,61
10.1,1
10.1,110.1,1
10.1,110.1,1
10.1,1arg
−−−
−−
−−
−
==+
=
=+−=
−=−=
+==+===
d. m
V
r
qE
m
V
r
qE
B
BBB
A
AAA 263
4396
4 02
'
002
'
0
======επε
σ
επεσ
Universidad Tecnológica Nacional FRSF
FÍSICA II Dpto. Materias Básicas - UDB FÍSICA
Autores: Mg Ing: Carlos Ciliberti - Ing. Carlos J. Suárez - Ing. Susana N. Roldán página 21 de 21
Problema Nº 28.
Ahora que conocemos sobre potencial resolveremos el problema Nº 20 de una manera muy
sencilla. De acuerdo a la definición de diferencia de potencial, sabemos que el trabajo que
realizaré para ir de un punto de potencial VA a otro de potencial VB será la energía cinética que
obtendrá la partícula cargada.
Calculamos: VA y VB
( )( )
sm
mK
vvmJeVVvmK
VVVVy
qKVV
yx
qK
rq
KV
AB
ABBA
621720
12/122
11
10.8,72
21
10.9,221
1,16218029,1722
====−+=
=−===+
==
−
Mg. Ing Carlos Ciliberti Ing. Carlos J. Suárez
Ing. Susana N. Roldán
Bibliografía: FÍSICA PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍA. Parte II D. Halliday y R. Resnick, 5ª edición 1964. Compañía editorial continental Méjico FÍSICA. Parte II D. Halliday y R. Resnick, 3ª edición 1982. Compañía editorial continental Méjico FÍSICA. Tomo II R. A. Serway 4º edición Mc Graw Hill. FÍSICA. Tomo II D. Tipler, Compañía editorial Reverté.
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20010 −==+=
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