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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Joo Machado de Lima Burle Cardoso
PONTE DE CONCRETO PROTENDIIDO
COM SEO CAIXO:
ESTABELECIMENTO DE RELAO ENTRE A
ALTURA DA SEO TRANSVERSAL E O VO
Porto Alegre
junho 2014
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JOO MACHADO DE LIMA BURLE CARDOSO
PONTE DE CONCRETO PROTENDIDO
COM SEO CAIXO:
ESTABELECIMENTO DE RELAO ENTRE A
ALTURA DA SEO TRANSVERSAL E O VO
Trabalho de Diplomao a ser apresentado ao Departamento de
Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obteno do
ttulo de Engenheiro Civil
Orientador: Roberto Domingo Rios
Porto Alegre
junho 2014
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Joo Machado de Lima Burle Cardoso
PONTE DE CONCRETO PROTENDIDO
COM SEO CAIXO:
ESTABELECIMENTO DE RELAO ENTRE A
ALTURA DA SEO TRANSVERSAL E O VO
Este Trabalho de Diplomao foi julgado adequado como pr-requisito para a obteno do
ttulo de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo Professor Orientador e
pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomao Engenharia Civil II (ENG01040) da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Porto Alegre, junho de 2014
Prof. Roberto Domingo Rios
Dr. pela UFRGS
Orientador
Profa. Carin Maria Schmitt
Dra. pelo PPGA/UFRGS
Coordenadora
BANCA EXAMINADORA
Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS)
Dr. pela UFRGS
Prof. Amrico Campos Filho (UFRGS)
Dr. pela UFRGS
Prof.a Virgnia Maria Rosito dvila Bessa (UFRGS) Dr.a pela UFRGS
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Dedico este trabalho a minha me, Regina, que sempre
esteve ao meu lado incentivando o meu crescimento e
apoiando as minhas decises.
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AGRADECIMENTOS
Agradeo ao Prof. Roberto Rios, orientador deste trabalho, pelo apoio disponibilizado sempre
que preciso e o comprometimento demonstrado.
Agradeo minha famlia e amigos por compreenderem os diversos momentos em que me fiz
ausente para que esse trabalho pudesse ser finalizado.
Agradeo minha namorada, Carolina, por deixar mais fceis e agradveis as muitas horas de
estudo pelas quais passamos juntos na reta final da faculdade.
Agradeo ao corpo de professores da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio
Grande do Sul pelos preciosos conhecimentos transmitidos em experincias compartilhadas.
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Tente mover o mundo.
O primeiro passo ser mover a si mesmo.
Plato
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RESUMO
O presente estudo estabelece relao entre a altura da seo transversal de uma ponte de
concreto protendido e o vo que esta tem de transpor. A mesma foi estabelecida com o intuito
de fornecer uma base de dados com que o projetista possa iniciar o processo de
dimensionamento da estrutura. A ponte estudada pertence classe 45, possui superestrutura
de viga em seo caixo unicelular bi-apoiada com protenso total e pertence a uma rodovia
de classe II. Os vos estudados esto compreendidos entre 30 e 80 metros. A largura do
tabuleiro foi definida segundo as indicaes de dimenses de pista de rolamento e
acostamento estabelecidas pelo Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes. As
disposies construtivas e cargas consideradas no estudo foram determinadas segundo as
indicaes das normas NBR 7187:2003 e NBR 7188:1990. Depois de adquiridas as
solicitaes caractersticas, foram determinadas as aes e combinaes de aes conforme
indicado na NBR 6118:2007. Para cada um dos vos, foram definidas as alturas mnimas para
que a estrutura satisfaa as condies de segurana, durabilidade e conforto estabelecidas pela
norma NBR 6118:2007. As relaes vo sobre altura da seo resultantes variaram de 20,
para o vo de 30 metros, 15, para o vo de 80 metros.
Palavras-chave: Ponte em Seo Caixo. Ponte em Concreto Protendido. Altura da Seo
Transversal. Relao entre Altura da Seo Transversal e Vo
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Fluxograma das etapas do estudo................................................................... 20
Figura 2 Seo transversal de ponte constituda por vigas T ........................................ 28
Figura 3 Seo transversal de ponte em seo caixo ................................................... 28
Figura 4 Dimenses veculos-tipo ................................................................................. 35
Figura 5 Linha de influncia do esforo cortante na seo (m) .................................... 38
Figura 6 Linha de influncia do momento fletor na seo (m) ..................................... 38
Figura 7 Tenses na seo transversal sob com protenso ........................................... 39
Figura 8 Diagrama de tenso - deformao para o concreto ........................................ 46
Figura 9 Diagrama de tenso - deformao para aos de armaduras passivas.............. 46
Figura 10 Diagrama de tenso - deformao para aos de armaduras ativas ................ 46
Figura 11 Domnios de estado limite ltimo de seo transversal................................. 47
Figura 12 Ponte em viga simplesmente apoiada............................................................ 56
Figura 13 Seo transversal utilizada............................................................................. 57
Figura 14 Seo transversal das barreiras...................................................................... 58
Figura 15 Cargas e solicitaes internas permanentes para o vo de 30 metros............ 59
Figura 16 Cargas e solicitaes internas variveis para o vo de 30 metros.................. 60
Figura 17 Cargas utilizada para obteno do momento toror....................................... 61
Figura 18 Traado dos cabos de protenso.................................................................... 63
Figura 19 Interface do programa Curvexpert................................................................. 75
Figura 20 Funes Curvexpert....................................................................................... 76
Figura 21 Funo Quadrtica......................................................................................... 77
Figura 22 Funo Polinomial......................................................................................... 77
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Limites para deslocamentos.......................................................................... 53
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Dimenses mnimas acostamento................................................................... 30
Tabela 2 Valores de deformao especfica de retrao e do coeficiente de fluncia... 53
Tabela 3 Alturas mnimas de seo transversal............................................................. 74
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LISTA DE SIGLAS
NBR Norma Brasileira
UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul
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LISTA DE SMBOLOS
A rea (m)
projeo ortogonal perpendicular ao vento da rea (m)
rea da seo transversal (cm)
largura da roda dianteira do veculo-tipo (m)
largura da roda intermediria do veculo-tipo (m)
largura da roda traseira do veculo-tipo (m)
coeficiente de presso interna
coeficiente de presso externa
coeficiente de arrasto
d altura til (d)
mdulo de elasticidade secante
F fora exercida sobre um elemento (kN)
fora global exercida sobre um elemento (kN)
resistncia de clculo do concreto
resistncia de caracterstica do concreto
resistncia de caracterstica do concreto na idade j
resistncia trao do concreto
resistncia de clculo do ao da armadura passiva
resistncia caracterstica do ao da armadura passiva
resistncia de clculo do ao da armadura ativa
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resistncia ao escoamento convencional do ao da armadura ativa
resistncia de clculo trao do ao da armadura ativa
resistncia caracterstica trao do ao da armadura ativa
momento de inrcia da seo bruta do concreto;
momento de inrcia da seo fissurada de concreto no estdio II
comprimento do vo terico do elemento carregado
momento fletor na seo mais solicitada do vo considerado
momento de fissurao do elemento estrutural
p` carga sobre os passeios (kN/m)
p carga sobre a pista (kN/m)
p sobrecarga (kN)
q presso dinmica (kN/m)
s coeficiente cimento
fator topogrfico
fator de dimenses, rugosidade e altura sobre o terreno
fator estatstico
t idade efetiva do concreto (d)
idade efetiva inicial do concreto (d)
u permetro da seo transversal (cm)
velocidade bsica do vento (m/s)
velocidade caracterstica do vento (m/s)
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x altura da linha neutra (m)
coeficiente de impacto
coeficiente de ponderao de resistncia do concreto
coeficiente de ponderao de resistncia do ao
Coeficiente de ponderao das cargas oriundas da protenso
coeficiente de ponderao das aes
relao /
deformao especfica do concreto
deformao especfica de retrao
deformao especfica do ao da armadura passiva
deformao especfica do ao da armadura ativa
deformao de escoamento do ao da armadura passiva
tenso no concreto
Taxa de armadura longitudinal de compresso
coeficiente de deformao em funo do tempo.
coeficiente de fluncia do concreto.
rotao de elemento estrutural.
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SUMRIO
1 INTRODUO ........................................................................................................... 16
2 DIRETRIZES DA PESQUISA................................................................................... 18
2.1 QUESTO DE PESQUISA........................................................................................ 18
2.2 OBJETIVOS DA PESQUISA.................................................................................... 18
2.2.1 Objetivo Principal.................................................................................................. 18
2.2.2 Objetivo Secundrio............................................................................................... 18
2.3 PRESSUPOSTO ......................................................................................................... 19
2.4 PREMISSA ................................................................................................................ 19
2.5 DELIMITAES ...................................................................................................... 19
2.6 LIMITAES ............................................................................................................ 19
2.7 DELINEAMENTO .................................................................................................... 20
3 SISTEMAS ESTRUTURAIS DAS PONTES DE CONCRETO............................. 23
3.1 ELEMENTOS CONSTITUINTES DAS PONTES ................................................... 23
3.2 CLASSIFICAO DAS PONTES QUANTO AO SISTEMA ESTRUTURAL.. 24
3.2.1 Pontes em Viga....................................................................................................... 24
3.2.2 Pontes em Prtico................................................................................................... 25
3.2.3 Pontes em Arco....................................................................................................... 25
3.2.4 Pontes Pnseis......................................................................................................... 25
3.2.5 Pontes Estaiadas..................................................................................................... 25
4 CRITRIOS DE ESCOLHA DA SEO TRANSVERSAL E TABULEIRO
DA SUPERESTRUTURA DE PONTES DE CONCRETO .................................. 27
4.1 CRITRIOS DE ESCOLHA DA SEO TRANSVERSAL ................................... 27
4.1.1 Pontes Em Laje....................................................................................................... 27
4.1.2 Ponte Em Viga T.................................................................................................... 27
4.1.3 Pontes Em Seo Caixo........................................................................................ 28
4.2 LARGURA DO TABULEIRO DE PONTES ............................................................ 29
5 AES CONSIDERADAS EM PROJETOS DE PONTES ................................... 31
5.1 AES PERMANENTES ......................................................................................... 31
5.1.1 Aes Devidas ao Peso Prprio............................................................................. 31
5.1.2 Aes Devidas ao Peso da Pavimentao............................................................. 32
5.1.3 Aes Devidas Protenso.................................................................................... 32
5.2 AES VARIVEIS ................................................................................................ 32
5.3 AES EXCEPCIONAIS ......................................................................................... 35
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5.4 COMBINAES DE AES .................................................................................. 35
5.5 CLCULO DAS SOLICITAES INTERNAS ...................................................... 36
6 PROTENSO .............................................................................................................. 39
6.1 MODALIDADES DE PROTENSO ........................................................................ 40
6.2 PERDAS IMEDIATAS DE FORA DE PROTENSO .......................................... 41
6.2.1 Perdas Por Atrito................................................................................................... 41
6.2.2 Perdas Por Recuo das Ancoragens....................................................................... 41
6.2.3 Perdas Por Recuo Elstico do Concreto............................................................... 42
6.3 PERDAS PROGRESSIVAS DE FORA DE PROTENSO .................................. 43
6.3.1 Perdas de Protenso Devidas Retrao e Fluncia do Concreto.................... 43
6.3.2 Perdas de Protenso Devidas Relaxao do Ao.............................................. 43
7 VERIFICAES DE SEGURANA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ...... 45
7.1 ESTADO LIMITE LTIMO ..................................................................................... 45
7.1.1 Elementos Lineares Sujeitos a Solicitaes Normais.......................................... 45
7.1.2 Elementos Lineares Sujeitos ao Esforo Cortante.............................................. 48
7.1.3 Elementos Lineares Sujeitos Toro................................................................. 50
7.2 ESTADO LIMITE DE SERVIO.............................................................................. 51
8 ANLISE ESTRUTURAL ......................................................................................... 55
8.1 MODELO ESTRUTURAL UTILIZADO.................................................................. 55
8.2 MATERIAIS UTILIZADOS...................................................................................... 56
8.3 DIMENSES CONSTANTES DA SEO TRANSVERSAL................................ 56
8.4 SOLICITAES DEVIDAS S CARGAS EXTERNAS......................................... 57
8.4.1 Cargas Permanentes.............................................................................................. 57
8.4.2 Cargas Variveis.................................................................................................... 59
8.5 SOLICITAES DEVIDAS PROTENSO......................................................... 61
8.5.1 Clculo da Armadura de Protenso..................................................................... 61
8.5.2 Perdas Imediatas.................................................................................................... 63
8.5.3 Perdas Progressivas................................................................................................ 67
8.5.4 Solicitaes Internas............................................................................................... 69
8.6 VERIFICAES DO ESTADO LIMITE LTIMO.................................................. 70
8.6.1 Momento Fletor...................................................................................................... 70
8.6.2 Esforo Cortante e Toro................................................................................... 72
8.7 VERIFICAES DO ESTADO LIMITE DE SERVIO.......................................... 73
8.8 RELAO ENTRE O VO E A ALTURA DA SEO TRANSVERSAL........... 74
9 CONCLUSES ........................................................................................................... 78
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REFERNCIAS ............................................................................................................... 79
APNDICE 1................................................................................................................... 80
APNDICE 2................................................................................................................... 83
APNDICE 3................................................................................................................... 87
APNDICE 4................................................................................................................... 90
APNDICE 5................................................................................................................... 93
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Joo Machado de Lima Burle Cardoso. Porto Alegre: DECIV/UFRGS, 2014
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1 INTRODUO
Uma regio que pretende se desenvolver e prosperar precisa encurtar as distncias entre os
seus centros e transpor os obstculos dentro do seu territrio. As pontes, mesmo sendo uma
das invenes mais antigas do homem, so uma das formas mais eficientes de se alcanar esse
objetivo. Feito o investimento inicial para o seu projeto e construo, ela cumpre a sua funo
de forma eficaz e barata, j que a manuteno da construo tem um valor baixo frente
importncia da mesma. Ela pode se encaixar de forma discreta e bem-proporcionada em quase
toda paisagem na qual construda, feito que nem toda obra de engenharia capaz de fazer,
tornando-se muitas vezes uma atrao da regio onde se localiza. Assim, as pontes so parte
fundamental da infraestrutura necessria para um crescimento econmico slido e sustentvel,
de maneira que indispensvel o domnio dos campos da cincia necessrios para o seu
projeto.
Segundo Mason (1977, p. [9]):
A essncia de um bom projeto implica na satisfao dos requisitos funcionais,
estticos e construtivos, alm da criao de um conjunto harmonioso e de
propores equilibradas, dentro dos preceitos da beleza e esttica. [...] Exige-se,
portanto, do projetista, alm dos conhecimentos especializados, criatividade,
imaginao e viso global dos problemas.
Logo, a interao da estrutura da ponte com as solicitaes a que esta exposta, os obstculos
que tem de transpor e os aspectos arquitetnicos desejados confere ao projeto uma grande
complexidade.
No passado, grande parte desta complexidade residia nas teorias e clculos extensos que o
processo de dimensionamento envolvia. Atualmente os recursos computacionais existentes
aliviam boa parte da carga desta tarefa. Assim, estes aceleram o processo e do mais liberdade
ao engenheiro para se dedicar aos demais aspectos do projeto. O transcurso do
dimensionamento ficou mais caracterizado por uma srie de decises tomadas pelo calculista,
e por um posterior processo de tentativa e erro, do que pelo clculo em si. As decises a
serem tomadas envolvem os dados de entrada usados e os resultados obtidos pelos programas.
O processo de tentativa e erro consiste na anlise feita pelo recurso computacional usado,
que indica a viabilidade da estrutura estudada.
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Os parmetros a serem escolhidos referem-se ao material com o qual a estrutura constituda,
s solicitaes a que ser exposta e s caractersticas geomtricas gerais da mesma. A escolha
dessas variveis denominada pr-dimensionamento. Se este for feito de forma correta e
bem orientada o programa computacional pode fornecer, de forma rpida, as informaes que
lhe so pedidas. Caso no seja, o processo de tentativa e erro estender-se- alm do
necessrio causando desperdcio de tempo e recursos do responsvel. Assim, em uma
realidade na qual os recursos computacionais do eficincia e rapidez para os clculos de
projeto, os dados iniciais fornecidos pelo engenheiro so de extrema importncia.
Baseando-se nos fatos descritos, o presente trabalho se prope a definir parmetros para o pr-
dimensionamento de vigas pertencentes superestrutura de pontes de concreto protendido.
Nele so estabelecidas relaes entre o vo que vigas tm de transpor e altura da seo
transversal das mesmas com o intuito de se ter uma base de dados com a qual se possa iniciar
o processo de dimensionamento.
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Joo Machado de Lima Burle Cardoso. Porto Alegre: DECIV/UFRGS, 2014
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2 DIRETRIZES DA PESQUISA
Para a elaborao deste trabalho foram adotadas as diretrizes descritas nesse captulo.
2.1 QUESTO DE PESQUISA
A questo de pesquisa do trabalho : qual a relao entre as caractersticas geomtricas da
seo transversal de uma ponte de viga em seo caixo e o vo que a mesma tem de
transpor?
2.2 OBJETIVOS DA PESQUISA
Os objetivos do trabalho esto classificados em principal e secundrio e so descritos a seguir.
2.2.1 Objetivo Principal
O objetivo principal do trabalho o estabelecimento de relao entre as dimenses da seo
transversal de uma ponte de concreto protendido de viga em seo caixo e o vo da mesma.
As dimenses so estabelecidas de acordo com os valores mnimos estabelecidos pelas
verificaes dos estados limites ltimo e de servio impostas pela NBR 6118:2007.
2.2.2 Objetivo Secundrio
O objetivo secundrio do trabalho a obteno das dimenses mnimas da seo transversal
de uma ponte com viga em seo caixo para que esta possa transpor uma srie de vos
diferentes e passe nas verificaes dos estados limite ltimo e de servio impostas pela NBR
6118:2007.
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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2.3 PRESSUPOSTO
Como pressuposto do trabalho so consideradas vlidas as recomendaes:
a) da NBR 6118:2007 Projetos de Estruturas de Concreto: procedimento, referentes ao dimensionamento de vigas de concreto protendido;
b) da NBR 7187:2003 Projeto de Pontes de Concreto Armado e Protendido: procedimento, referentes ao projeto de pontes de concreto protendido;
c) da NBR 7188:1982 Carga Mvel em Ponte Rodoviria e Passarela de Pedestres, referentes s cargas mveis atuantes na estrutura estudada;
d) da NBR 8681:2004 Aes e Segurana nas Estruturas: procedimento.
2.4 PREMISSA
O trabalho tem por premissa que para uma anlise estrutural rpida e eficiente importante o
uso de uma base de dados que direcione corretamente o calculista na fase de pr-
dimensionamento.
2.5 DELIMITAES
O trabalho delimita-se a relacionar o vo da ponte somente com as dimenses verticais da
seo transversal da superestrutura da mesma.
2.6 LIMITAES
O estudo analisa somente pontes com vigas em seo caixo unicelulares, bi-apoiadas e com
protenso total. Estas pertencem superestrutura de uma ponte de classe 45 que sustenta uma
rodovia classe I de pista simples. Os vos estudados esto compreendidos entre 30 e 80
metros e as dimenses transversais das vigas foram dimensionadas de acordo com os valores
mnimos estabelecidos pelas verificaes de estados limites ultimo e de servio impostas pela
NBR 6118:2007.
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Joo Machado de Lima Burle Cardoso. Porto Alegre: DECIV/UFRGS, 2014
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2.7 DELINEAMENTO
O estudo foi realizado conforme as etapas descritas a seguir:
a) pesquisa bibliogrfica;
b) concepo estrutural;
c) determinao das cargas atuantes na estrutura;
d) anlise estrutural;
e) determinao das dimenses das sees transversais para os vos estudados;
f) estabelecimento de relao entre os vos estudados e os valores de propriedades
geomtricas alcanados;
g) anlise e consideraes finais.
A sequncia de etapas ainda pode ser visualizada no diagrama exposto na figura 1.
Figura 1 Fluxograma das etapas do estudo
(fonte: elaborado pelo autor)
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Na fase referente pesquisa bibliogrfica, foram obtidas as bases tericas que fundamentam o
estudo. Como pode ser observado na figura 1, essa parte do trabalho se estende por toda
durao do mesmo. Esse fato se justifica pela necessidade de se buscar informaes que
respaldem as decises tomadas em todos estgios do estudo.
Na etapa de concepo estrutural, foram definidas as caractersticas da estrutura a ser
estudada. O tipo de seo transversal adotada, os tipos de apoio da mesma, o conjunto de
valores de vos adotados, o tipo de material com que a ponte construda e o nmero de
pistas da rodovia que a estrutura sustenta foram os principais fatores determinados nessa parte
do estudo. Tambm foram fixados os valores das dimenses horizontais da seo transversal,
uma vez que estes so os mesmos para todos os vos analisados.
A determinao das cargas atuantes na estrutura, para cada um dos vos estudados, foi
realizada de acordo com a literatura tcnica consultada e as normas brasileiras relativas ao
assunto. comum que as normas internacionais, assim como as brasileiras, dividam essas em
cargas permanentes, variveis e excepcionais.
Definidas as cargas a serem aplicadas na estrutura foi desenvolvida a anlise estrutural da
mesma. Nesta etapa, foram calculadas as solicitaes internas crticas presentes em cada um
dos elementos da seo transversal estudada obtendo-se os esforos relativos ao momento
fletor, momento toror, corte e esforo normal.
Na fase de determinao das dimenses, foram feitas as verificaes referentes segurana da
estrutura recomendadas na bibliografia consultada. Com base nessas verificaes foram
determinados os valores de seo transversal a serem adotados para cada um dos vos
analisados.
preciso ressaltar que a determinao das dimenses da seo transversal consistiu em um
processo iterativo. Para se calcular as cargas atuantes, necessrio, primeiramente, arbitrar
valores de dimenses da seo transversal. Usando as cargas calculadas foi feita a anlise
estrutural e por fim as verificaes necessrias. Caso as dimenses escolhidas no passem nas
verificaes, arbitrada uma nova geometria e o processo se repete.
Obtidos os valores das propriedades geomtricas a serem utilizados se buscou uma funo
matemtica que possa representar da forma mais exata o possvel a relao entre estes e os
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Joo Machado de Lima Burle Cardoso. Porto Alegre: DECIV/UFRGS, 2014
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vos correspondentes. Foi desenvolvido tambm um baco para que possam ser representados
os valores que ocasionalmente no puderam ser encaixados com exatido na funo.
A ltima etapa consistiu na anlise dos resultados obtidos e na apresentao das consideraes
finais.
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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3 SISTEMAS ESTRUTURAIS DAS PONTES DE CONCRETO
No presente captulo, apresentam-se as classificaes usadas para subdividir as pontes e suas
partes constituintes.
3.1 ELEMENTOS CONSTITUINTES DAS PONTES
Pfeil (1979, p. 1) divide as pontes em trs partes constituintes principais:
a) infraestrutura;
b) mesoestrutura;
c) superestrutura.
Segundo o autor, a infraestrutura a parte da ponte constituda pelas fundaes e elementos
que do suporte mesma, blocos de cabea de estacas por exemplo. por meio desse
elemento que so transmitidos para o solo os esforos recebidos pela mesoestrutura.
Pfeil (1979) define a mesoestrutura como o elemento responsvel pela transmisso dos
esforos provenientes da superestrutura e de cargas que agem diretamente sobre os pilares
para a infraestrutura. Alguns engenheiros colocam os encontros, elemento responsvel por
absorver o empuxo dos terrenos de acesso, como parte constituinte da mesoestrutura
juntamente com os pilares. Outros, porm, definem esses como parte das fundaes.
A superestrutura a parte da estrutura responsvel pela transmisso dos esforos causados
pela utilizao da ponte para a mesoestrutura. Ela constituda, geralmente por lajes,
vigamento principal e secundrio (PFEIL, 1979, p. 9).
Mason (1977, p. 13) subdivide as superestruturas em duas classes principais: em grelha e
celulares. A primeira consiste em um sistema com tabuleiro, vigas principais (longarinas) e
secundrias (transversinas). O vigamento principal se posiciona no sentido longitudinal da
ponte e responsvel pela transposio dos vos. O vigamento secundrio se posiciona no
sentido transversal da ponte e tem a funo de distribuir os carregamentos oriundos do
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Joo Machado de Lima Burle Cardoso. Porto Alegre: DECIV/UFRGS, 2014
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tabuleiro para as vigas principais de forma mais regular. O tabuleiro tem a funo de
transmitir os esforos devidos utilizao da ponte para as vigas. Na superestrutura celular os
elementos descritos acima no se encontram to nitidamente divididos e se comportam como
um s. As partes da seo da transversal da ponte formam um elemento fechado que confere
uma boa resistncia toro para a superestrutura.
3.2 CLASIFICAO DAS PONTES QUANTO AO SISTEMA
ESTRUTURAL
Segundo Leonhartd (1979), as pontes podem ser classificadas em cinco classes em relao ao
sistema estrutural utilizado. So elas:
a) em viga;
b) em prtico;
c) em arco;
d) pnseis;
e) estaiadas.
As principais caractersticas de cada tipo estrutural so abordadas a seguir.
3.2.1 Pontes em Viga
Leonhardt (1979, p. 23-24) coloca nessa classe as pontes com vigas com dois apoios
simplesmente apoiadas, vigas sobre dois apoios com balanos e vigas contnuas. O primeiro
tipo isosttico, podendo ser disposto em um nico vo ou em uma srie de tramos e exige
juntas em cada uma das extremidades da viga. O segundo similar ao primeiro com a
diferena de que os esforos de momento esto mais distribudos ao longo da estrutura devido
aos balanos na pea. As vigas contnuas apresentam vantagens em relao aos dois primeiros
sistemas estruturais. Uma vez que so hiperestticas, apresentam uma distribuio mais
igualitria dos momentos entre vos e apoios. Elas ainda exigem menos juntas ao longo da
ponte. As juntas mveis encarecem a estrutura, exigem manuteno e causam transtornos para
o trnsito.
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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3.2.2 Pontes em Prtico
Leonhardt (1979) define as pontes em prtico como estruturas nas quais as vigas tm ligaes
rgidas flexo com os pilares ou paredes de encontro que as sustentam. Esse tipo de ligao
permite a passagem de parte dos momentos da superestrutura para a mesoestrutura da ponte
podendo-se assim diminuir a altura estrutural necessria no vo. As estruturas em prtico
podem ser isostticas, com trs rtulas por vo; ou hiperestticas, com nenhuma, uma ou duas
articulaes por vo.
3.2.3 Pontes em Arco
Segundo Leonhardt (1979, p. 31), as pontes em arco so indicadas para a transposio de
vales profundos. Os custos desse tipo de ponte so elevados e um tipo de estrutura mais
econmico seria o indicado nos demais casos. Essas podem ser biarticuladas, triarticuladas ou
biengastadas. O primeiro tipo de estrutura uma vez hiperesttico, o segundo isosttico e o
ltimo trs vezes hiperesttico. O autor ainda cita a ponte em arco com apenas uma
articulao ressaltando que esse modelo no indicado para pontes em concreto armado.
3.2.4 Pontes Pnseis
Sobre as pontes do tipo pnsil Leonhardt (1979, p. 35) afirma:
A ponte pnsil clssica, com cabos dispostos parabolicamente e pendurais verticais,
no apropriada para pontes de concreto e por isso foi empregada em apenas algumas raras ocasies. A ponte pnsil, ancorada em si mesma, com pendurais
inclinados (efeito de trelia), interessante no caso de carga mvel leve, como no
caso de pontes para pedestres.
3.2.5 Pontes Estaiadas
Segundo Leonhardt (1979), as pontes estaiadas podem ser consideradas como dois sistemas
estruturais distintos de acordo com o posicionamento e espaamento dos cabos inclinados que
a sustentam. Se houver uma pequena quantidade de cabos, estes forem bem espaados e
apresentarem uma grande distncia ao ponto de suspenso, o sistema estrutural adotado
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similar ao de uma ponte em viga. Se houver uma quantidade grande de cabos e estes forem
pouco espaados, o sistema estrutural similar ao de uma ponte em balano. O autor ainda
indica esse tipo de ponte para a transposio de grandes vos.
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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4 CRITRIOS DE ESCOLHA DA SEO TRANSVERSAL E
TABULEIRO DA SUPERESTRUTURA DE PONTES DE CONCRETO
So apresentados, a seguir, os critrios a serem seguidos na escolha da seo transversal e da
largura do tabuleiro em projetos de pontes rodovirias.
4.1 CRITRIOS DE ESCOLHA DA SEO TRANSVERSAL
Segundo Leonhartd (1979, p. 54), os critrios que devem ser levados em considerao para a
escolha da seo transversal de uma ponte de concreto so:
a) o vo a ser transposto;
b) a esbeltez desejada;
c) o processo construtivo;
d) os custos do sistema estrutural escolhido;
e) a relao entre a carga mvel atuante na estrutura e peso prprio da mesma.
Segue uma descrio dos principais tipos de seo transversal e as ocasies em que uso dos
mesmos mais indicado.
4.1.1 Ponte em Laje
Leonhartd (1979, p. 53) aconselha o uso de pontes com seo transversal em laje para se
transpor vos com no mximo 36 metros. O autor ainda indica o uso desse tipo de seo
transversal para pontes esconsas e pontes em prtico de vo reduzido. Pfeil (1979, p. 82)
indica o uso da mesma em situaes quando se deseja transpor vos de pequeno e mdio porte
com uma altura estrutural reduzida.
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4.1.2 Ponte em Viga T
Segundo Pfeil (1979, p. 82), as pontes em viga T (figura 2) so indicadas para a transposio
de vos mdios. Uma vez que nesses casos permitem uma altura estrutural econmica com o
uso de um jogo de formas simples se comparado com outras solues. Leonhartd (1979, p.
57) ainda afirma: A viga T uma forma de seo transversal muito apropriada para concreto
armado e para protenso parcial, especialmente quando se tiver de absorver momentos
fletores positivos..
Figura 2 Seo transversal de ponte constituda por vigas T
(fonte: LEONHARDT, 1979, p. 58)
4.1.3 Ponte em Seo Caixo
Leonhartd (1979, p. 63) indica o uso da seo em caixo (figura 3) para vigas contnuas de
concreto protendido. A elevada resistncia toro desse tipo de seo possibilita que ela seja
usada em pontes sobre pilares isolados e pontes curvas. As vigas em seo caixo ainda
apresentam uma deformao lenta menor que as vigas T, uma vez que as tenses so menores
e o eixo baricntrico mais centrado na primeira.
Figura 3 Seo transversal de ponte em seo caixo
(fonte: adaptado de LEONHARDT, 1979, p. 64)
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Segundo Mason (1977, p. 82-83), o funcionamento conjunto da seo em caixo com o
tabuleiro e a elevada resistncia toro que a mesma possui fazem com que a esta seja
indicada para a maioria dos casos de transposio de grandes vos. Pfeil (1979) afirma que a
melhor distribuio transversal das cargas dos veculos obtida na seo em caixo permite a
adoo de alturas estruturais menores que o sistema com viga T.
4.2 LARGURA DO TABULEIRO DE PONTES
Segundo Pfeil (1979, p. 26-27), aconselhvel adotar para o tabuleiro da ponte a mesma
largura da via em que esta se encontra. Se a pista ou acostamentos sofrerem uma reduo no
trecho correspondente ponte, se produz um estrangulamento da via e o nvel de servio da
mesma se reduz. Essa indicao tambm encontrada no artigo 50 das Normas Para Projeto
de Estrada de Rodagem onde se l: Nas obras de vo superior a 5 m (pontilhes), a largura
da obra de arte deve corresponder da plataforma da estrada, isto , pista mais acostamentos.
(BRASIL, 1973, p. 11).
Estas normas tambm fazem indicaes para as dimenses transversais de rodovias de pista
simples com duas faixas de trfico (BRASIL, 1973, p. 8). Assim, a pista de estrada de
rodagem de classe:
a) especial deve ter uma largura de 7,5 m;
b) I deve ter uma largura de 7 m;
c) II e III deve ter uma largura de 6 a 7 m.
No caso de rodovias com mais de uma pista vale a seguinte indicao: Nas estradas de duas
pistas independentes com duas faixas de trfego cada uma, a largura da pista ser de 7,00 m.
(BRASIL, 1973, p. 11).
Segundo as Normas para Projeto de Estradas de Rodagem, estradas com duas pistas
independentes devem possuir um refgio central entre as duas de no mnimo seis metros
(BRASIL, 1973, p. 9-10). Em ocasies especiais esse valor pode ser reduzido at os valores
mnimos, ou seja:
a) em regies planas ou onduladas o refgio deve no mnimo ter 3,00 m;
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b) em regies montanhosas o refgio deve ter no mnimo 1,50 m;
c) em regies rurais, zonas onde o terreno tem custo elevado ou regies
escarpadas o refgio deve ter no mnimo 0,8 m.
No que tange largura dos acostamentos so indicados como valores mnimos os
apresentados na tabela 1 (BRASIL, 1973).
Tabela 1 Dimenses mnimas acostamento
CLASSES
REGIO
PLANA
m
ONDULADA
m
MONTANHOSA
m
ESCARPADA
m
Especial 3,00 2,50 2,00 1,50
I 2,50 2,00 1,50 1,20
II 2,00 1,50 1,20 1,00
III 1,00 1,00 1,00 0,80
(fonte: BRASIL, 1973, p. 9)
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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5 AES A SEREM CONSIDERADOS EM PROJETOS DE PONTES
A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007) divide as
aes atuantes em estrutura em permanentes, variveis e excepcionais. So abordadas a seguir
as principais caractersticas de cada tipo de ao.
5.1 AES PERMANENTES
Segundo a NBR 7187 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p.
4), as aes permanentes atuantes em estruturas de pontes so:
Aes cujas intensidades podem ser consideradas como constantes ao longo da vida
til da construo. Tambm so consideradas permanentes as que crescem no tempo,
tendendo a um valor limite constante. As aes permanentes compreendem, entre
outras:
a) as cargas provenientes do peso prprio dos elementos estruturais;
b) as cargas provenientes do peso da pavimentao, dos trilhos, dos dormentes, dos
lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos guarda-rodas, dos guarda-corpos e
de dispositivos de sinalizao;
c) os empuxos de terra e de lquidos;
d) as foras de protenso;
e) as deformaes impostas, isto , provocadas por fluncia e retrao do concreto,
por variaes de temperatura e por deslocamentos de apoios.
A abordagem normativa para algumas dessas aes exibida a seguir.
5.1.1 Aes Devidas ao Peso Prprio
Na NBR 7187 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 4), se
encontra a orientao: Na avaliao das cargas devidas ao peso prprio dos elementos
estruturais, o peso especfico deve ser tomado no mnimo igual a 24 kN/m para o concreto
simples e 25 kN/m para o concreto armado ou protendido..
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5.1.2 Aes Devidas ao Peso da Pavimentao
Segundo as indicaes da NBR 7187 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS
TCNICAS, 2003, p. 4):
Na avaliao da carga devida ao peso da pavimentao, deve ser adotado para peso
especfico do material empregado o valor mnimo de 24 kN/m, prevendo-se uma
carga adicional de 2 kN/m para atender a um possvel recapeamento. A
considerao desta carga adicional pode ser dispensada, a critrio do proprietrio da
obra, no caso de pontes de grandes vos.
5.1.3 Aes Devidas Protenso
No que diz respeito s aes devidas fora de protenso, na NBR 6118 (ASSOCIAO
BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 55) afirma-se que estas devem ser
levadas em conta no s nas peas protendidas, mas tambm naquelas que sofrem
consequncias indiretas das mesmas. As foras de protenso devem ser calculadas levando em
considerao carga inicial e as perdas decorrentes do processo. Sendo que as ltimas podem
ser obtidas por meio de orientaes presentes na referida Norma.
5.2 AES VARIVEIS
Segundo as orientaes da NBR 7187 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS
TCNICAS, 2003, p. 5), as aes variveis so:
Aes de carter transitrio que compreendem, entre outras:
a) as cargas mveis;
b) as cargas de construo;
c) as cargas de vento;
d) o empuxo de terra provocado por cargas mveis;
e) a presso da gua em movimento;
f) o efeito dinmico do movimento das guas;
g) as variaes de temperatura.
exibida a seguir a abordagem normativa para as aes devidas s cargas mveis. A NBR
7188 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1990, p. 1) classifica as
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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pontes com base nos veculos-tipo usados no clculo das cargas mveis sobre as mesmas. As
classes definidas pela norma so:
a) 45 onde se utiliza um veculo-tipo de 450 kN;
b) 30 onde se utiliza veculo-tipo de 300 kN;
c) 12 onde se utiliza um veculo-tipo de 120 kN.
Essa Norma tambm define cargas sobre os passeios e sobre a pista da ponte. Essas devem ser
levadas em conta nas verificaes juntamente com o peso do veculo-tipo. Na Norma, cargas
de passeio so identificadas como p` e as sobre a pista como p. Os valores das mesmas so:
a) nas pontes de classe 45 e classe 30, 5 kN/m para as cargas sobre a pista e 3
kN/m para cargas as cargas sobre o passeio;
b) nas pontes de classe 12, 4 kN/m para as cargas sobre a pista e 3 kN/m para
cargas as cargas sobre o passeio.
A NBR 7188 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1990) tambm
define as dimenses do veculo-tipo, 3 m de largura por 6 m de comprimento, bem como as
distncias entre os seus eixos. Esses dados podem ser observados na figura 4. Os valores das
constantes , e apontados na figura so:
a) 0,5 m para veculos de classe 45;
b) 0,4 para veculos de classe 30;
c) igual a 0,2 e igual a 0,3 para pontes de classe 12.
A Norma tambm aponta os comprimentos e reas de contato de cada roda. Os valores so 0,2
m e 0,2xb m respectivamente.
Em relao disposio das cargas na pista a NBR 7188 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 1990, p. 4) contm as seguintes orientaes:
4.1 O veculo-tipo, sempre orientado na direo do trfego, colocado na posio
mais desfavorvel para o clculo de cada elemento, no se considerando a poro
do carregamento que provoque reduo das solicitaes.
4.2 Para o clculo de cortinas e transversinas solidrias s lajes, o carregamento, na ausncia de justificativa terica mais precisa, deve ser o de um eixo isolado, com
o peso total do veculo correspondente classe da ponte, acrescido ainda do
respectivo impacto.
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4.3 A carga distribuda de intensidade p aplicada em toda a pista de rolamento,
nesta includas as faixas de trfego, os acostamentos e os afastamentos;
descontada apenas a rea ocupada pelo veculo.
4.4 Os passeios, independentemente de largura ou altura, so carregados com a carga
distribuda de intensidade p`, no majorada de impacto.
4.4.1 As peas que suportam diretamente os passeios so tambm verificadas para a
ao de uma sobrecarga p= 5kN/m(500kgf/m), sem impacto, agindo sobre os
referidos passeios.
4.5 Os guarda-rodas e as barreiras, centrais ou extremos, so verificados para uma
fora horizontal concentrada de intensidade p = 60kN (6 tf) aplicada em sua
aresta superior.
4.6 Se a barreira extrema possuir vigota de corrimo em concreto, tal vigota
verificada para a mesma carga horizontal p = 60kN (6 tf) aplicada no seu eixo
mdio horizontal.
4.7 Permite-se, para avaliao das solicitaes na implantao da barreira ou guarda-
rodas e peas em contato, a distribuio a 45dos efeitos da carga horizontal
referida em 4.5 e 4.6. Tais efeitos no so superpostos, adotando-se o que for
mais desfavorvel.
4.8 Sobre a carga horizontal referida em 4.5 e 4.6 no acrescentado impacto.
A NBR 7187 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 5)
aconselha o uso da teoria da dinmica das estruturas para determinar os efeitos das cargas
mveis, porm a Norma tambm oferece um mtodo simplificado com o qual possvel
calcular as cargas devidas ao movimento sobre a estrutura. Este mtodo fornece os
coeficientes de impacto que devem ser multiplicados pelas cargas estticas para que sejam
obtidos os valores das cargas dinmicas. Esses devem ser obtidos por meio das expresses a
seguir.
Para pontes rodovirias:
=1,4-0,007. 1 (frmula 1)
Para pontes ferrovirias:
=0,001.(1600-60 +2,25.) 1,2 (frmula 2)
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Onde:
= o comprimento do vo terico do elemento carregado.
Figura 4 Dimenses veculos-tipo (m)
(fonte: adaptado de ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 1990, p. 3)
5.3 AES EXCEPCIONAIS
De acordo com as orientaes contidas na NBR 7187 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 2003, p. 7), aes excepcionais esto relacionadas a cargas que
ocorrem em situaes fora da utilizao usual da ponte. Essas podem ser fenmenos naturais
tais como terremotos, enchentes, ventos com velocidade muito acima da mdia, ou o choque
de objetos mveis, o impacto de veculos contra os pilares da estrutura, por exemplo.
5.4 COMBINAES DE AES
As combinaes ltimas descritas na NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 2007, p. 60) se dividem em trs tipos. Esses so:
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11.8.2.1 Combinaes ltimas normais
Em cada combinao devem estar includas as aes permanentes e a ao varivel
principal, com seus valores caractersticos e as demais aes variveis, consideradas
como secundrias, com seus valores reduzidos de combinao [...]
11.8.2.2 Combinaes ltimas especiais ou de construo
Em cada combinao devem estar presentes as aes permanentes e a ao varivel
especial, quando existir, com seus valores caractersticos e as demais aes variveis
com probabilidade no desprezvel de ocorrncia simultnea, com seus valores
reduzidos de combinao [...]
11.8.2.3 Combinaes ltimas excepcionais
Em cada combinao devem figurar as aes permanentes e a ao varivel
excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais aes
variveis com probabilidade no desprezvel de ocorrncia simultnea, com seus
valores reduzidos de combinao [...]. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo,
incndio e colapso progressivo.
As combinaes de servio presentes na NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 2007, p. 62) so classificadas da seguinte maneira:
a) quase permanentes: podem atuar durante grande parte do perodo de vida da
estrutura e sua considerao pode ser necessria na verificao do estado limite
de deformaes excessivas;
b) frequentes: se repetem muitas vezes durante o perodo de vida da estrutura e sua
considerao pode ser necessria na verificao dos estados limites de formao
de fissuras, de abertura de fissuras e de vibraes excessivas. Podem tambm ser consideradas para verificaes de estados limites de deformaes excessivas
decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedaes;
c) raras: ocorrem algumas vezes durante o perodo de vida da estrutura e sua
considerao pode ser necessria na verificao do estado limite de formao de
fissuras.
5.5 CLCULO DAS SOLICITAES INTERNAS
Depois de definida a natureza do carregamento, sua amplitude e os pontos nos quais este atua,
determina-se as solicitaes internas que a carga ocasiona na seo transversal do elemento
estrutural. por meio dessas solicitaes que so realizados o dimensionamento e as
verificaes necessrias na estrutura.
No caso de vigas isostticas, as solicitaes internas podem ser facilmente obtidas por meio
de frmulas extensamente divulgadas em diversas bibliografias. No livro Pontes em Concreto,
Pfeil (1979, p. 98) apresenta frmulas que podem ser usadas para determinar os esforos para
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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uma srie de carregamentos estticos sobre elementos isostticos. Para uma carga
uniformemente distribuda sobre uma viga bi-apoiada, a solicitaes internas mximas podem
ser adquiridas por meio das frmulas:
= .
(frmula 3)
Onde:
= momento fletor no meio do vo;
q = carga distribuda no vo;
l = comprimento do vo.
V= .
(frmula 4)
Onde:
V = esforo cortante sobre os apoios;
q = carga distribuda no vo;
l = comprimento do vo.
No caso de solicitaes ocasionadas por cargas mveis o clculo se mostra um pouco mais
complexo. Torna-se necessrio aplicar a carga em uma srie de sees pr-determinadas e
calcular para cada uma das posies quais as solicitaes crticas para cada um dos trechos.
Com esses resultados, possvel chegar envoltria de esforos usada no dimensionamento e
verificaes.
Sobre a determinao de solicitaes internas devidas a cargas mveis, Pfeil (1979, p. 105)
diz:
Em estruturas muito simples, como vigas isostticas, as cargas podem ser
posicionadas, por intuio, nas posies mais desfavorveis para cada seo,
calculando-se diretamente as solicitaes correspondentes. Nos casos mais gerais,
empregam-se as linhas de influncia, diagramas que permitem definir as posies
mais desfavorveis do trem-tipo e ainda calcular os respectivos valores das
solicitaes.
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Basicamente, as linhas de influncia consistem em grficos que fornecem a solicitao
correspondente s diversas posies que a carga pode ocupar na estrutura. Nele, o eixo das
abscissas corresponderia localizao da carga e o das ordenadas solicitao derivada da
mesma. As figuras 5 e 6 representam o comportamento das linhas de influncia para uma viga
isosttica bi-apoiada.
Figura 5 Linha de influncia do esforo cortante na seo (m)
(fonte: adaptado de PFEIL, 1979, p. 107)
Figura 6 Linha de influncia do momento fletor na seo (m)
(fonte: adaptado de PFEIL, 1979, p. 108)
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6 PROTENSO
Segundo Pfeil (1980, p. 1), A protenso um artifcio de introduzir numa estrutura um
estado prvio de tenses capaz de melhorar a sua resistncia ou seu comportamento, sob
diversas condies de carga.. Em outras palavras, consiste em introduzir no elemento
estrutural foras que ajudem a pea a resistir s cargas que provocam tenses desfavorveis na
sua seo transversal.
No caso do concreto, no qual se tem uma baixa resistncia trao e uma boa resistncia
compresso, so introduzidas foras que ou anulem ou reduzam de forma significativas as
tenses de trao na pea. Usualmente, protende-se a estrutura por meio de cabos. Estes
podem ser tracionados antes ou depois do ato de concretagem. A fora de protenso mantida
por meio de cunhas localizadas nas regies do elemento estrutural onde os esforos sobre o
mesmo no so significativos. A figura 7 ilustra o traado de cabo de protenso normalmente
usado em cabos ps-tracionados e a distribuio de tenses na seo transversal depois da
pea ser protendida.
Figura 7 Tenses na seo transversal com protenso
(fonte: adaptado de PFEIL, 1980, p. 10)
Pode se observar que o momento fletor formado pela fora de proteno P e a excentricidade
da mesma em relao ao eixo da estrutura contraria o momento Mq, causado pela cargas de
utilizao q. Segundo Pfeil (1980, p. 5), O artifcio da protenso desloca a faixa de trabalho
do concreto para o mbito das compresses, onde o material eficiente.. Este efeito
demonstrado nos grficos do lado direito da figura 7.
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Pfeil (1980, p. 17-18) ainda ressalta as vantagens do concreto protendido em relao ao
convencional:
a) Reduz das quantidades necessrias de concreto e ao, esse fato decorre do
emprego eficiente de materiais de maior resistncia;
b) Permite vencer vos maiores que o concreto armado convencional; para o mesmo
vo, permite reduzir a altura necessria da viga. Esses fatos provm do citado na
alnea (a) e da maior eficincia do trabalho do concreto, quando previamente comprimido;
c) Reduz em geral a incidncia de fissuras;
d) Reduz as tenses principais de trao provocadas pelo esforo cortante;
e) Durante a operao de protenso, o concreto e o ao so submetidos a tenses em
geral superiores s que podero ocorrer durante a vida da estrutura. Os materiais
componentes da estrutura so, portanto, testados antes de receberem a carga de
servio.
As qualidades citadas acima fazem com que as pontes, estruturas que normalmente
necessitam de uma maior esbeltez que as demais, recebam protenso na grande maioria dos
casos.
6.1 MODALIDADES DE PROTENSO
Segundo Pfeil (1980, p. 20), O concreto protendido e o concreto armado convencional so
modalidades do mesmo sistema estrutural: concreto reforado com barras de ao aderentes e
auxiliado pela pr-compresso. Nas condies da pea em servio, conforme a quantidade de
protenso aplicada, podem estabelecer-se classes estruturais que variam continuamente desde
o concreto totalmente comprimido at o concreto armado convencional (sem pr-
compresso).. O autor classifica as estruturas dentro de quatro modalidades de acordo com o
grau de protenso aplicada nas mesmas. Essas so descritas a seguir:
a) concreto com protenso total - A fora de protenso aplicada na estrutura com
objetivo de anular as tenses de trao oriundas das cargas de servio;
b) concreto com protenso limitada A fora de protenso aplicada permite a permanncia de tenses de trao. Essas, no entanto, ficam limitadas a valores
abaixo da resistncia trao do concreto;
c) concreto com protenso parcial A fora de protenso aplicada permite o surgimento de tenses de trao superiores resistncia trao do concreto.
A pea protendida com o objetivo de limitar a abertura das fissuras na
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estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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estrutura aos limites aceitveis segundo a norma. comum o uso de armadura
frouxa em conjunto com a de protenso para satisfazer-se as condies de
conforto e segurana exigidos;
d) concreto armado A estrutura no tem tenso de compresso previamente aplicada. Possui apenas a armadura convencional para resistir s tenses de
trao e s fissuras presentes na seo.
6.2 PERDAS IMEDIATAS DE FORA DE PROTENSO
Segundo Pfeil (1980, p. 22), Durante as operaes de esticamento e ancoragem dos cabos de
protenso, ocorrem perdas de tenso nos cabos, devidas a causas mecnicas, tais como:
resistncias de atrito ao longo do cabo, deslizamentos nas ancoragens etc.. Essas perdas so
chamadas imediatas, pois ocorrem no ato de protenso. As mesmas so descritas com mais
detalhes a seguir.
6.2.1 Perdas Por Atrito
Essas perdas so ocasionadas pelo atrito que surge nos locais onde o cabo de protenso entra
em contato com outras superfcies. Pfeil (1980, p. 150) ressalta que os valores de perda
dependem muito do sistema construtivo usado. Se forem usados cabos poligonais externos as
zonas de contato e perdas diminuem, pois ficam limitadas aos dispositivos deslizantes usados.
preciso lembrar que mesmo com menores valores de perda estas ainda no podem ser
consideradas desprezveis. J nos cabos curvos internos as perdas so maiores. Isso se deve ao
fato de que os cabos ao serem esticados sofrem atrito com as bainhas em toda sua extenso.
6.2.2 Perdas Por Recuo das Ancoragens
As perdas devidas ao recuo das ancoragens acontecem no momento em que se transfere a
fora de protenso do elemento tensor para as mesmas. Nos sistemas com cabos pr-
tracionados as perdas por recuo das ancoragens so nulas. Nos com cabos ps-tracionados
pode ser alcanado o mesmo efeito desde que sejam usados dispositivos de ancoragem
especiais. Pfeil (1980, p. 162) aponta alguns destes:
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a) Sistemas de grandes blocos de ancoragem em concreto (tipo Leonhardt e
similares). A transferncia dos esforos dos macacos para as escoras pode fazer-
se sem retorno do bloco [...];
b) Sistemas de ancoragem com rosca e porca [...]. Atingida a elongao final da
barra, aperta-se a porca contra a chapa de apoio; retirando-se a presso do
macaco, o esforo de transmite placa de apoio sem perda de elongao do
cabo;
c) Sistemas de ancoragens apoiadas na argamassa ou nata de injeo [...]. Os fios do
cabo so presos a uma ancoragem mecnica, que puxada pelo macaco.
Atingida a elongao desejada, faz-se a injeo de nata ou argamassa no cabo e
na zona de ancoragem, aguardando-se alguns dias para que a massa injetada adquira resistncia. Ao se descarregar o macaco, a ancoragem se apoia na nata
endurecida, sem perda de elongao do cabo.
H, porm, outros mtodos de ancoragem onde as perdas se fazem presentes. Um dos mais
usados so as cunhas. Na ocasio da transferncia da fora de protenso do aparelho tensor
para a cunha essa penetra no elemento estrutural fazendo com que o cabo perca parte do seu
alongamento. Isso consequentemente reduz a tenso nas cordoalhas e provoca reduo da
fora de protenso.
6.2.2 Perdas Por Recuo Elstico do Concreto
No momento em que a fora de protenso aplicada no concreto ocorre um encurtamento
imediato do mesmo. Esse encurtamento faz com que o cabo relaxe ocasionando perdas de
fora de protenso na estrutura.
Em estruturas pr-tracionadas as perdas por encurtamento elstico do concreto se do no
momento em que se passa a fora de protenso dos aparelhos de ancoragens provisrios para
a pea. Segundo Pfeil (1980, p. 203), as perdas de tenso devidas ao recuo elstico do
concreto podem ser calculadas por meio da frmula:
= (frmula 5)
Onde:
= perda de tenso no cabo de protenso;
= relao entre os mdulos de elasticidade do ao e concreto;
= tenso no concreto ao nvel do cabo devida ao peso prprio e protenso.
-
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Em estruturas ps-tracionadas a perda por recuo elstico se d no momento em que se
transfere a fora de protenso do aparelho tensor para a ancoragem. Esse tipo de perda no
ocorre nos casos onde se protende apenas um conjunto de cabos. Nos casos onde uma srie de
cabos ou conjuntos de cabos so protendidos em sequncia, todos as protenses posteriores
primeira vo ocasionar perdas de tenso nos cabos j esticados. Pfeil (1980, p. 204) indica a
frmula exibida a seguir para se calcular as perdas devidas ao recuo elstico nesse caso.
=
(frmula 6)
Onde:
= perda de tenso no cabo de protenso;
= relao entre os mdulos de elasticidade do ao e concreto;
= tenso no concreto ao nvel do cabo de protenso;
n = nmero de cabos na seo.
6.3 PERDAS PROGRESSIVAS DE FORA DE PROTENSO
As perdas que ocorrem ao longo do tempo so denominadas perdas progressivas da fora de
protenso. Essas ocorrem em razo do encurtamento do elemento estrutural causado pela
fluncia do concreto e do alongamento do cabo de protenso causado pela relaxao do ao.
Os principais tipos de perda so descritos com mais detalhes a seguir.
6.3.1 Perdas de Protenso Devidas Retrao e Fluncia do Concreto
Esse tipo de perda progressiva ocorre devido ao contnua da fora de protenso sobre o
concreto. A perda de tenso causada pelo encurtamento da estrutura que acaba por afrouxar
o cabo de protenso. A sua amplitude determinada por um conjunto de fatores que passam
pela geometria da pea, os materiais constituintes e as condies do ambiente onde a mesma
se encontra. Podem ser encontrados na norma NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
-
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NORMAS TCNICAS, 2007) frmulas e coeficientes que auxiliam o projetista a aferir tanto
a fluncia como a retrao do concreto ao longo do tempo.
6.3.2 Perdas de Protenso Devidas Relaxao do Ao
A perda por relaxao do ao se deve ao relaxamento que o mesmo desenvolve ao longo do
tempo quando exposto continuamente a tenses elevadas. Esse relaxamento ocasiona perda de
tenso no cabo de protenso e, consequentemente, perda de fora de protenso. A norma NBR
6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007) oferece mtodos por
meio dos quais pode-se aferir a relaxao ao longo do tempo. O uso de aos de baixa relao
diminui esse tipo de perda ainda que no o torne irrelevante.
-
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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7 VERIFICAES DE SEGURANA DE ESTRUTURAS DE
CONCRETO
A NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007) impe
critrios mnimos de segurana, durabilidade e conforto a serem seguidos no projeto de
estruturas de concreto. Este captulo trata dos mesmos.
7.1 ESTADO LIMITE LTIMO
O presente item aborda os critrios de segurana runa impostos pela NBR 6118.
7.1.1 Elementos Lineares Sujeitos a Solicitaes Normais
Entre as hipteses bsicas indicadas na norma (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS
TCNICAS, 2007, p. 107-108) para o dimensionamento e verificao de peas lineares de
concreto para o referido estado limite, esto os seguintes itens:
a) as sees devem ser consideradas planas mesmo depois da pea se deformar;
b) as deformaes do concreto deve ser as mesmas da armadura passivas e ativas
envolvidas por ele;
c) no estado limite ltimo, as tenses de trao longitudinais pea devem ser
ignoradas;
d) o diagrama que descreve a distribuio de tenses dentro do concreto tem um
pico de 0,85 e o formato parbola-retngulo, conforme a figura 8. Este ainda pode ser substitudo pelo diagrama de altura 0,8x (onde x a altura da
linha neutra) com as seguintes bases;
- 0,85 em situaes onde largura da seo no diminui da linha neutra para a base da pea;
- 0,8 para as demais situaes;
e) as tenses das armaduras devem ser obtidas do diagrama de tenses x
deformaes, representado nas figuras 9 e 10;
-
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f) para que o estado limite ltimo esteja caracterizado necessrio que a
distribuio de deformaes da seo transversal da pea de concreto se
enquadre em algum dos domnios apresentados na figura 11.
Figura 8 Diagrama de tenso - deformao para o concreto
(fonte: ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 24)
Figura 9 Diagrama de tenso - deformao para aos de armaduras passivas
(fonte: ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 27)
Figura 10 Diagrama de tenso - deformao para aos de armaduras ativas
(fonte: ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 28)
-
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Figura 11 Domnios de estado limite ltimo de seo transversal:
(fonte: adaptado de ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 108)
No caso do concreto protendido, a Norma (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS
TCNICAS, 2007, p. 109) ainda indica hipteses bsicas adicionais que devem ser levadas
em conta conjuntamente com as j apresentadas:
a) considera-se como resistncia caracterstica do concreto aquela correspondente idade fictcia j (em dias),no ato da potenso, sendo que a
resistncia de deve ser claramente especificada no projeto;
b) para esta verificao, admitem-se os seguintes valores para os coeficientes de
ponderao, com as cargas que efetivamente atuarem nessa ocasio:
= 1,2;
=1,15;
= 1,0 na pre-trao;
= 1,1 na ps trao;
= 1,0 para as aes desfavorveis;
= 0,9 para as aes favorveis.
Para que seja vlida a verificao simplificada (no estdio I) do concreto protendido, a Norma
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 110) ainda impe as
seguintes condies:
-
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a) a tenso mxima de compresso na seo de concreto, obtida atravs das
solicitaes ponderadas de = 1,1 e = 1,0 no deve ultrapassar 70% da
resistncia caracterstica prevista para a idade de aplicao da protenso [...];
b) a tenso mxima de trao do concreto no deve ultrapassar 1,2 vez a resistncia
trao correspondente ao valor especificado;
c) quando nas sees transversais existirem tenses de trao, deve haver amadura de trao calculada no estdio II. Para efeitos de clculo, nessa faze de
construo, a fora nessa armadura pode ser considerada igual resultante das
tenses de trao no concreto no estdio I. Essa fora no deve provocar, na
armadura correspondente, acrscimos de tenso superiores a 150 Mpa no caso de
fios ou barras lisas e a 250 Mpa em barras nervuradas.
A caracterizao dos tipos de ruptura do concreto de acordo com a figura 11 descrita da
seguinte maneia pela Norma (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS,
2007, p. 108):
Ruptura convencional por deformao plstica excessiva:
a) reta a: trao uniforme;
b) domnio 1: trao no uniforme, sem compresso;
c) domnio 2: flexo simples ou composta sem ruptura compresso do concreto
( 3,5 e com o mximo alongamento permitido).
Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto:
a) domnio 3: flexo simples (seo subarmada) ou composta com ruptura
compresso do concreto e com escoamento do ao ( );
b) domnio 4: flexo simples (seo subarmada) ou composta com ruptura
compresso do concreto e ao tracionado sem escoamento ( );
c) domnio 4a: flexo composta com armaduras comprimidas;
d) domnio 5: compresso no uniforme, sem trao;
e) reta b: compresso uniforme.
7.1.2 Elementos Lineares Sujeitos ao Esforo Cortante
Para o caso especfico de elementos lineares sujeitos a esforos cortantes, a norma
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 121) estabelece as
seguintes condies para que a estrutura possa ser considerada segura em relao runa:
-
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estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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(frmula 7)
= + (frmula 8)
Onde:
=fora cortante de calculo na seo;
= a fora cortante resistente relativa runa das diagonais comprimidas;
= a fora cortante resistente de relativa runa por trao diagonal;
=parcela de fora cortante absorvida por mecanismos complementares ao de trelia;
=parcela resistida pela armadura transversal.
A Norma oferece dois modelos de clculo para se chegar aos valores de resistncia citados.
No modelo I as bielas comprimidas tem uma inclinao de 45 graus em relao ao eixo
longitudinal e a parcela de resistncia Vc independe dos valores de Vsd. No modelo II a
inclinao das bielas comprimidas pode variar entre 30 e 45 graus em relao ao eixo
longitudinal e Vc sofre reduo com o aumento da fora cortante de clculo na seo. A
equao indicada para se verificar a runa da biela comprimida seguindo o modelo I exibida
a seguir.
= 0,27(1 250
) (frmula 9)
Onde:
=resistncia caracterstica do concreto em megapascal;
=resistncia de projeto do concreto;
= a menor largura da seo;
d=altura til da seo.
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7.1.3 Elementos Lineares Sujeitos Toro
Em se tratando de estruturas expostas toro pura, a Norma (ASSOCIAO BRASILEIRA
DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 125) estabelece as seguintes condies para que a
estrutura possa ser considerada segura:
(frmula 10)
(frmula 11)
(frmula 12)
Onde:
=toro solicitante de clculo;
=resistncia das diagonais comprimidas de concreto;
=resistncia devida aos estribos normais ao eixo do elemento;
=representa o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais.
A resistncia para a verificao da biela comprimida pode ser determinada por meio da
frmula:
= 0,5 (1 250
) (2 ) (frmula 13)
Onde:
=rea limitada pela linha mdia da parede da seo vazada, incluindo a rea vazada;
= a espessura equivalente da parede da seo vazada;
=ngulo de inclinao das bielas.
-
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estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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A Norma ainda exige que, no caso de esforos de toro e corte agindo juntos, seja satisfeita a
seguinte expresso:
+
= 1 (frmula 14)
7.2 ESTADO LIMITE DE SERVIO
O estado limite de servio relacionado com as solicitaes limites que uma estrutura pode
suportar sem que fique comprometido o seu uso. As indicaes, contidas na NBR 6118
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 112), referentes a esse
so:
A verificao dos valores limites [...] para a deformao da estrutura, mais propriamente rotaes e deslocamentos em elementos estruturais lineares, analisados
isoladamente e submetidos combinao de aes [...], deve ser realizada atravs de
modelos que considerem a rigidez efetiva das sees do elemento estrutural, ou seja,
levem em considerao a presena da armadura, a existncia de fissuras no concreto
ao longo dessa armadura e as deformaes diferidas no tempo.
A deformao real da estrutura depende tambm do processo construtivo, assim
como das propriedades dos materiais (principalmente do mdulo de elasticidade e da
resistncia trao) no memento de sua efetiva solicitao. Em face da grande
variabilidade dos parmetros citados, existe uma grande variabilidade das
deformaes reais. No se pode esperar, portanto, grande preciso nas previses de
deslocamento dadas pelos processos analticos a seguir prescritos.
De acordo com a Norma (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007,
p. 113-114), a flecha imediata em estruturas de concreto, aquela que se forma
simultaneamente com a aplicao das cargas iniciais, pode ser calculada por meio da
expresso de rigidez a seguir:
( ) = {(
)
+ [1 (
)
] } ) (frmula 15)
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Onde:
=momento de inrcia da seo bruta do concreto;
=momento de inrcia da seo fissurada de concreto no estdio II;
=em vigas bi-apoiadas, momento fletor na seo mais solicitada do vo considerado;
=momento de fissurao do elemento estrutural;
=mdulo de elasticidade secante do concreto.
A norma ainda cita a flecha diferida ao longo do tempo. Esta pode ser obtida pela
multiplicao da flecha imediata pelo coeficiente somado a 1. A deformao a longo prazo
devida principalmente fluncia do concreto e a cargas de longa durao atuantes sobre a
estrutura. A expresso usada para se chegar ao valor do coeficiente :
=
1 + 50
(frmula 16)
Onde:
= Taxa de armadura longitudinal de compresso;
= coeficiente de deformao em funo do tempo.
O coeficiente pode ser obtio por meio das expresses:
= ( )- ( ) (frmula 17)
( )=0,68(0,99 ) , para t 70 meses (frmula 18)
( )= 2 para t > 70 meses (frmula 19)
-
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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Onde:
t=idade em que se deseja saber a flecha em meses;
=idade de aplicao da carga em meses.
No caso de concreto com armadura ativa, a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE
NORMAS TCNICAS, 2007, p. 114) estabelece:
Nos elementos estruturais com armaduras ativas suficiente considerar ( ) = , desde que no seja ultrapassado o estado limite de formao de fissuras. Caso contrrio, a expresso completa [...] pode ser aplicada, desde que , e sejam calculados considerando o elemento estrutural de concreto submetido combinao
de aes escolhida, acrescida da protenso representada como ao externa
equivalente [...]
Para considerao da deformao diferida no tempo, basta multiplicar a parcela
permanente da flecha imediata [...] por (1 + ), onde o coeficiente de fluncia [...]
A Norma fornece valores para a fluncia ao longo do tempo. Estes esto expostos na tabela 2.
Tabela 2 Valores de deformao especfica de retrao e do coeficiente de fluncia
(fonte: ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 25)
Os valores limites de flecha admitidos pela norma so determinados por meio de relaes
entre o deslocamento relativo da estrutura e o vo livre da mesma. Essas so exibidas a seguir
no quadro 1.
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Quadro1 Limites para deslocamentos
(fonte: adaptado de ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 70)
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8 ANLISE ESTRUTURAL
So descritos nesse captulo os mtodos e clculos por meio dos quais foram obtidas as alturas
mnimas admissveis para cada um dos vos estudados. Primeiramente, foram definidas as
dimenses da seo transversal que se mantiveram constantes ao longo de todo estudo. A
seguir foi feito o levantamento e clculo das cargas externas atuantes na estrutura e definidas
as solicitaes internas provenientes das mesmas. Feito isso, calculou-se a fora e armaduras
de protenso necessrias para se protender totalmente a estrutura. Foram consideradas as
perdas imediatas e progressivas de tenso nos cabos para se chegar ao esforos efetivos de
protenso ao longo do tempo. Definidos os esforos internos atuantes na estrutura,
verificaram-se os estados limites ltimo e de servio para a mesma e obteve-se a altura
mnima para que o vo estudado estivesse dentro dos padres de segurana, durabilidade e
conforto exigidos pela norma NBR 6118.
8.1 MODELO ESTRUTURAL UTILIZADO
O modelo estrutural utilizado no estudo similar ao usualmente utilizado em vigas
simplesmente apoiadas. Trata-se de uma estrutura contida no plano xy. Essa tem dois apoios,
um travado nas direes x e y e o outro travado somente na direo y. Ambos esto livres em
relao ao giro O traado da estrutura se desenvolve horizontalmente e a altura estrutural
adotada constante.
Por se tratar de uma modelo estrutural relativamente simples, foi possvel programar a
obteno das suas propriedades geomtricas, solicitaes internas e verificaes necessrias
no EXCEL. No programa o vo da estrutura foi dividido em 10 trechos que tiveram cada uma
das suas sees analisadas separadamente. A figura 12 ilustra um exemplo de ponte que
utiliza o modelo estrutural citado.
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Figura 12 Ponto em viga simplesmente apoiada
(fonte: LEONHARDT, 1979, p. 25)
8.2 MATERIAIS UTILIZADOS
O presente estudo considerou um fck 30 MPa para o concreto utilizado. Os mdulos de
elasticidade normal e secante do mesmo foram obtidos atravs das frmulas 20 e 21
(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2007, p. 23) expostas a seguir.
= 5600 (frmula 20)
Onde:
=mdulo de elasticidade tangente na origem;
=resistncia caracterstica do concreto.
= 0,85. (frmula 21)
Onde:
=mdulo de elasticidade secante.
O ao utilizado para a armadura ativa foi o CP190RB 12,7. Cordoalhas de ao de relaxao
baixa com fptk de 190 kN/cm, dimetro de meia polegada (12,7 mm) e mdulo de
elasticidade de 20200 kN/cm.
8.3 DIMENSES CONSTANTES DA SEO TRANSVERSAL
Na seo transversal estudada, a altura das vigas a nica varivel. Mantm-se constantes
para todos vos estudados todas as dimenses horizontais, a espessura das lajes superior e
inferior e a altura das msulas superiores e inferiores.
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Ponte de concreto protendido com seo caixo:
estabelecimento de relao entre a altura da seo transversal e o vo
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A largura total do tabuleiro foi definida com objetivo de comportar uma rodovia de classe I
localizada em regio plana. Essa contm 7 metros de pista, 2,5 de acostamento de cada lado e
mais 0,8 metros para acomodar as barreiras, totalizando uma largura total de 12,8 metros.
preciso salientar que as espessuras mnimas, estipuladas na norma NBR 7187, para lajes e
vigas foram obedecidas. Segundo a norma (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS
TCNICAS, 2003), a espessura mnima para a laje de tabuleiro 15 cm e para a laje inferior
8 cm. A dimenso mnima para a base das vigas 20 cm. Podem ser observadas as
dimenses usadas no estudo na figura 13.
Figura 13 Seo
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