1- coupure dune poutre alors le repère associé à la section de coupure est le repère rs(g, x, y,...
Post on 04-Apr-2015
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1- Coupure d’une poutre
Alors le repère associé à la section de coupure est le repère Rs(G,
X ,
Y ,
Z ) dont l’axe
X est porté par la ligne moyenne et est orienté de la gauche vers la droite. Les axes
Y et
Z peuvent être choisis de manière quelconque, mais souvent l’axe
Y est dans le plan de symétrie de la poutre lorsque celle-ci en possède un.
1.1- Repère associé à une section
Soit une poutre E représentée ci -contre. On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section plane perpendiculaire à la ligne moyenne et de centre de gravité G.
G
2.1- Etude des actions La section S partage la poutre en 2 tronçons : Un à gauche de la section l’autre à droite de la section.
On note : E1 : Le tronçon gauche de la poutre E2 : Le tronçon droite de la poutre E : L’ensemble de la poutre
E : Tout ce qui n’est pas la poutre
Isolons la poutre {T(
E /E)} : Le torseur des actions extérieures à la poutre exercées sur cette poutre
Fb
Fa
Fd
FcCa
Cb
PFS
{T(
E/E)} = {0}
X
Y
Z
1- Coupure d’une poutre 2.1- Etude des actions
Isolons le tronçon gauche de la poutre
{T(
E /E1)} : Le torseur des actions extérieures à la pou tre exercées sur le tronçon gauche de la poutre .
{T(E2/E1)} le torseur de l’action de E2 sur E1
G
Fb
FaCa
CE2/E1
FE2/E1
PFS
{T(
E/E1)}+{T(E2 /E1)}
= {0}
Isolons le tronçon droite la poutre
{T(
E /E2)} : Le torseur des actions extérieures à la poutre exercées sur le tronçon droite de la poutre .
{T(E1/E2)} le torseur de l’action de E1 sur E2
G
Fd
Fc
Cb
CE1/E2
FE1/E2
PFS
{T(
E/E2)}+{T(E1 /E2)}
= {0}
Du principe des actions mutuelles on déduit que : {T(E2 /E1)} = {T(E1 /E2)}
De ces 3 dernières équations on déduit que : {T(
E/E1)} = {T(
E/E2)}
2- Torseur de cohésion
2.1- Définition Le torseur de cohésion dans une section S est le torseur de l’action du tronçon droite de la poutre
sur le tronçon gauche de la poutre : on le note {Tcoh}
{Tcoh } = {T(Droite/Gauche)}
Du paragraphe précédent on en déduit que :
{Tcoh } = {T(Ext/Droite)} = {T(Ext/Gauche)}
Le torseur de cohésion est donc égal à :
- La somme des torseurs des actions exercées sur la partie droite de la poutre - L’opposé de la somme des torseurs des actions exercées sur la partie gauche de la poutre
Ou
2- Torseur de cohésion 2.2- Composantes du torseur de cohésion
Soit Rs(G,
X ,
Y ,
Z ) le repère associé à la section S.
Soit
R et
MG les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre G de la coupure.
On projette ces éléments de réduction sur l’axe
X et sur le plan (
Y ,
Z ) de la section:
Tronçon gauche
X
Y
ZSection S
G
Tronçon gauche
X
Y
ZSection S
G
On définit :
N : Projection de
R sur (G,
X ) Effort normal :
N = N.
X
T : Projection de
R sur (G,
Y ,
Z ) Effort tranchant :
T = TY .
Y + TZ .
Z
Mt : Projection de
MG sur (G,
X ) Moment de torsion :
Mt = Mt .
X
Mf : Projection de
MG sur (G,
Y ,
Z ) Moment de flexion :
Mf = MfY .
Y +MfZ .
Z
N
R
TZ
TYT
Mt
MG
MfZ
MfYMf
2- Torseur de cohésion 2.2- Composantes du torseur de cohésion
Soit Rs(G,
X ,
Y ,
Z ) le repère associé à la section S.
Soit
R et
MG les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre G de la coupure.
On projette ces éléments de réduction sur l’axe
X et sur le plan (
Y ,
Z ) de la section:
Tronçon gauche
X
Y
ZSection S
G
Tronçon gauche
X
Y
ZSection S
G
N
R
TZ
TYT
Mt
MG
MfZ
MfYMf
On projette également
T et
Mf sur les axes
Y et
Z .
On obtient les composantes de
T et
Mf sur
Y et
Z
D’où les composantes du torseur de cohésion au centre de la section S. de la poutre :
{Tcoh} = G
N Mt
TY
TZ
MfY
MfZ
Très souvent, ayant affaire à des problèmes plans on a T z = 0 et M fy = 0 .
3- Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section
G
N 0
0 00 0
Traction simple
Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation
{Tcoh} =
Tronçon gaucheG X
Y
Z
N
3- Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section
G
0 0
TY 0TZ 0
Cisaillementpur
G
0 Mt
0 00 0
Torsionsimple
G
0 0
0 MfY
0 MfZ
Souvent : MfY = 0
Flexionpure
Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation
{Tcoh} =
Tronçon gaucheG X
Y
Z
{Tcoh} =
Tronçon gaucheG X
Y
Z
{Tcoh} =
Tronçon gaucheG X
Y
Z
T
Mt
Mf
3- Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section
G
0 0
TY MfY
TZ MfZ
Souvent : MfY = TZ = 0
Flexion simple
Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation
{Tcoh} =
Tronçon gaucheG X
Y
Z
TMf
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